Екі жазықтықтың қиылысы болатын түзудің теңдеуін табыңыз. Ұшақтардың қиылысу сызығы онлайн. Кері матрицалардың қасиеттері

Осының көмегімен онлайн калькуляторжазықтықтардың қиылысу сызығын табуға болады. берілген егжей-тегжейлі шешімтүсініктемелерімен. Жазықтықтардың қиылысу сызығының теңдеуін табу үшін жазықтықтардың теңдеулеріне коэффициенттерді енгізіп, «Шешу» түймесін басыңыз. Төмендегі теориялық бөлімді және сандық мысалдарды қараңыз.

×

Ескерту

Барлық ұяшықтарды тазалау керек пе?

Жабу Таза

Мәліметтерді енгізу нұсқаулығы.Сандар бүтін сандар (мысалы: 487, 5, -7623, т.б.), ондық сандар (мысалы, 67., 102.54, т.б.) немесе бөлшек сандар ретінде енгізіледі. Бөлшекті a/b түрінде теру керек, мұнда a және b (b>0) бүтін сандар немесе ондық сандар. Мысалдар 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, т.б.

Жазықтықтардың қиылысу сызығы – теория, мысалдар және шешімдер

Кеңістіктегі екі жазықтық параллель болуы мүмкін, сәйкес келуі немесе қиылысуы мүмкін. Бұл мақалада біз екі жазықтықтың өзара орналасуын анықтаймыз, ал егер бұл жазықтықтар қиылысатын болса, онда жазықтықтардың қиылысу сызығының теңдеуін шығарамыз.

Декарттық тікбұрышты координаталар жүйесі берілсін Oxyzжәне жазықтықтар осы координаталар жүйесінде берілсін α 1 және α 2:

Векторлардан бері n 1 және n 2 коллинеар болса, онда сан болады λ ≠0, ол теңдікті қанағаттандырады n 1 =λ n 2, яғни. А 1 =λ А 2 , Б 1 =λ Б 2 , C 1 =λ C 2 .

(2) теңдеуді көбейту λ , Біз алып жатырмыз:

Теңдік болса D 1 =λ D 2 , содан кейін ұшақ α 1 және α 2 сәйкес келсе D 1 ≠λ D 2 содан кейін ұшақ α 1 және α 2 параллель, яғни қиылыспайды.

2. Қалыпты векторлар n 1 және n 2 ұшақ α 1 және α 2 коллинеар емес (Cурет 2).

Егер векторлар n 1 және n 2 коллинеар емес, онда (1) және (2) сызықтық теңдеулер жүйесін шешеміз. Ол үшін бос мүшелерді теңдеулердің оң жағына аударып, сәйкес матрицалық теңдеуді құрастырамыз:

Қайда x 0 , ж 0 , z 0 , м, п, лнақты сандар, және т− айнымалы.

Теңдік (5) келесі түрде жазылуы мүмкін:

Мысал 1. Жазықтықтардың қиылысу сызығын табыңыз α 1 және α 2:

қатысты (9) сызықтық теңдеулер жүйесін шешейік x, y, z. Жүйені шешу үшін кеңейтілген матрицаны құрастырамыз:

Екінші кезең. Кері Гаусс.

Элемент үстіндегі матрицаның 2-бағанының элементтерін алып тастаңыз а 22. Ол үшін 1-жолды −2/5-ке көбейтілген 2-жолмен қосыңыз:

Біз шешімді аламыз:

Жазықтықтардың қиылысу сызығының теңдеуін алды α 1 және α 2 параметрлік түрде. Біз оны канондық түрде жазамыз.

Жауап. Жазықтықтардың қиылысу сызығының теңдеуі α 1 және α 2 келесідей көрінеді:

α 1 нормаль векторы бар n 1 ={А 1 , Б 1 , C 1 )=(1, 2, 7). Ұшақ α 2 нормаль векторы бар n 2 ={А 2 , Б 2 , C 2 }={2, 4, 14}.

n 1 және n 2 коллинеар ( n 1 көбейту арқылы алуға болады n 2 саны 1/2), содан кейін жазықтық α 1 және α 2 параллель немесе сәйкес келеді.

α 2 санын 1/2 санына көбейту:

Шешім. Алдымен осы жазықтықтардың өзара орналасуын анықтайық. Ұшақ α 1 нормаль векторы бар n 1 ={А 1 , Б 1 , C 1 )=(5, −2, 3). Ұшақ α 2 нормаль векторы бар n 2 ={А 2 , Б 2 , C 2 }={15, −6, 9}.

Бағыт векторлары болғандықтан n 1 және n 2 коллинеар ( n 1 көбейту арқылы алуға болады n 2 саны 1/3), содан кейін жазықтық α 1 және α 2 параллель немесе сәйкес келеді.

Теңдеуді нөлдік емес санға көбейту теңдеуді өзгертпейді. Жазықтықтың теңдеуін түрлендірейік α 2 санын 1/3 санына көбейту:

(17) және (19) теңдеулердің нормаль векторлары сәйкес келетіндіктен және бос мүшелері тең болғандықтан, жазықтықтар α 1 және α 2 сәйкестік.

Кеңістіктегі түзуді екі параллель емес жазықтықтың қиылысу сызығы, яғни екі сызықтық теңдеулер жүйесін қанағаттандыратын нүктелер жиыны ретінде анықтауға болады.

(V.5)

Керісінше тұжырым да дұрыс: (V.5) түріндегі екі тәуелсіз сызықтық теңдеулер жүйесі түзуді жазықтықтардың қиылысу сызығы ретінде анықтайды (егер олар параллель болмаса). (V.5) жүйесінің теңдеулері деп аталады жалпы теңдеутікелей кеңістікте
.

МысалВ.12 . Берілген түзудің канондық теңдеуін құрастыр жалпы теңдеулерұшақтар

Шешім. Түзудің канондық теңдеуін немесе берілген екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін жазу үшін түзудің кез келген екі нүктесінің координаталарын табу керек. Олар, мысалы, кез келген екі координаталық жазықтықпен түзудің қиылысу нүктелері болуы мүмкін ОйЖәне Oxz.

Түзудің жазықтықпен қиылысу нүктесі Ойабсциссасы бар
. Сондықтан бұл теңдеулер жүйесінде қабылдау
, біз екі айнымалысы бар жүйені аламыз:

Оның шешімі
,
бірге
нүктені анықтайды
қалаған түзу сызық. Бұл теңдеулер жүйесінде қабылдау
, біз жүйені аламыз

кімнің шешімі
,
бірге
нүктені анықтайды
түзудің жазықтықпен қиылысуы Oxz.

Енді нүктелер арқылы өтетін түзудің теңдеулерін жазамыз
Және
:
немесе
, Қайда
осы түзудің бағыт векторы болады.

МысалВ.13. Түзу канондық теңдеу арқылы берілген
. Осы жолдың жалпы теңдеуін жазыңыз.

Шешім.Түзудің канондық теңдеуін екі тәуелсіз теңдеулер жүйесі түрінде жазуға болады:



Біз түзудің жалпы теңдеуін алдық, ол енді екі жазықтықтың қиылысуымен берілген, олардың біреуі
осіне параллель Оз (
), және басқа
– осьтер OU (
).

Бұл түзуді оның канондық теңдеуін басқа тәуелсіз теңдеулер жұбы түрінде жазу арқылы басқа екі жазықтықтың қиылысу сызығы ретінде көрсетуге болады:



Түсініктеме . Бір түзуді екі сызықтық теңдеулердің әртүрлі жүйелерімен (яғни әр түрлі жазықтықтардың қиылысуымен, өйткені бір түзу арқылы сансыз жазықтықтарды жүргізуге болады), сондай-ақ әртүрлі канондық теңдеулермен (нүктенің таңдауына байланысты) беруге болады. түзуде және оның бағыт векторында) .

Түзуге параллель нөлдік емес вектор, біз оны атаймыз бағыттаушы вектор .

Үш өлшемді кеңістікке рұқсат етіңіз түзу берілген лнүктесі арқылы өтеді
, және оның бағыт векторы
.

Кез келген вектор
, Қайда
, түзуде жатқан, вектормен коллинеар , сондықтан олардың координаттары пропорционал, яғни

. (V.6)

Бұл теңдеу түзудің канондық теңдеуі деп аталады. ﻉ жазықтық болған нақты жағдайда, жазықтықтағы түзудің теңдеуін аламыз.

. (V.7)

МысалВ.14. Екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін табыңыз
,
.

,

Қайда
,
,
.

(V.6) теңдеуді параметрлік түрде жазу ыңғайлы. Параллель түзулердің бағыт векторларының координаталары пропорционал болғандықтан, алсақ

,

Қайда т - параметр,
.

Нүктеден сызыққа дейінгі қашықтық

Декарттық координаттар жүйесі бар екі өлшемді евклидтік кеңістікті ﻉ қарастырайық. Нүкте болсын
ﻉ және лﻉ. Осы нүктеден түзуге дейінгі қашықтықты табыңыз. қояйық
, және түзу сызық лтеңдеуімен беріледі
(V.8-сурет).

Қашықтық
, векторы
, Қайда
нормаль сызық векторы болып табылады л,
Және коллинеар, сондықтан олардың координаталары пропорционал, яғни.
, демек,
,
.

Осы жерден
немесе осы теңдеулерді көбейту АЖәне Бтиісінше және оларды қоса отырып, біз табамыз
, демек

.

(V.8)

нүктеге дейінгі қашықтықты анықтайды
түзу
.

МысалВ.15. Нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін табыңыз
түзуге перпендикуляр л:
және қашықтығын табыңыз
түзу л.

Суреттен. V.8 бізде бар
, ал нормаль векторы түзу болады л
. Перпендикулярлық шартынан бізде

Өйткені
, Бұл

. (V.9)

Бұл нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі
, түзуге перпендикуляр
.

нүктесі арқылы өтетін түзудің (V.9) теңдеуі болсын
, түзуге перпендикуляр л:
. нүктеден қашықтықты табыңыз
түзу л, (V.8) формуласын қолдану.

Қажетті қашықтықты табу үшін екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін табу жеткілікті
және нүкте
перпендикуляр негізіндегі түзуде жатыр. Болсын
, Содан кейін

Өйткені
, және векторы
, Бұл

. (V.11)

Нүктеден бастап
түзу сызықта жатыр л, онда бізде тағы бір теңдік бар
немесе

Жүйені Крамер әдісін қолдануға ыңғайлы пішінге келтірейік

Оның шешімі мынаған ұқсайды

,

. (V.12)

(V.12) (V.10) орнына қойып, бастапқы қашықтықты аламыз.

МысалВ.16. Екі өлшемді кеңістікте нүкте берілген
және тікелей
. Нүктеден қашықтықты табыңыз
түзу сызыққа; нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін жаз
берілген түзуге перпендикуляр және нүктеден қашықтықты табыңыз
бастапқы түзудің перпендикуляр негізіне.

(V.8) формуласы бойынша бізде

Перпендикуляры бар түзудің теңдеуін екі нүкте арқылы өтетін түзу түрінде табуға болады
Және
, (V.11) формуласы арқылы. Өйткені
, содан кейін оны ескере отырып
, А
, бізде бар

.

Координаталарды табу үшін
дегенді ескеретін жүйеміз бар
бастапқы сызықта жатыр

Демек,
,
, осы жерден.

Үш өлшемді евклидтік кеңістікті ﻉ қарастырайық. Нүкте болсын
ﻉ және жазықтық ﻉ. Осы нүктеге дейінгі қашықтықты табыңыз
теңдеуімен берілген  жазықтығына (V.9-сурет).

Екі өлшемді кеңістікке ұқсас, бізде де бар
және вектор
аа, осы жерден

. (V.13)

Құрамында  жазықтығына перпендикуляр болатын түзудің теңдеуін екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі ретінде жазамыз.
Және
жазықтықта жатқан :

. (V.14)

Нүктенің координаталарын табу
(V.14) формуласының кез келген екі теңдігіне теңдеуді қосамыз

Үш теңдеулер жүйесін шешу (V.14), (V.15), табамыз ,,- нүкте координаталары
. Сонда перпендикуляр теңдеуді былай жазуға болады

.

Нүктеден қашықтықты табу үшін
(V.13) формуласының орнына жазықтығына

Кеңістіктегі әрбір түзу арқылы шексіз жазықтықтар өтеді. Олардың кез келген екеуі қиылыса отырып, оны кеңістікте анықтайды. Демек, бірге қарастырылған кез келген осындай екі жазықтықтың теңдеулері осы түзудің теңдеулері болып табылады.

Жалпы алғанда, жалпы теңдеулер арқылы берілген кез келген екі параллель емес жазықтық

олардың қиылысу сызығын анықтаңыз. Бұл теңдеулер деп аталады жалпы теңдеулерТүзу

Билет 6Түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрышқа, түзу мен жазықтықтың параллелдік және перпендикулярлық шартына өрнек жаз.

бұрыштүзу мен жазықтықтың арасындағы түзуден пайда болған бұрышты және оның жазықтыққа проекциясын атаймыз. Жазықтық теңдеулер арқылы берілсін

Векторларды және . Егер олардың арасындағы бұрыш сүйір болса, онда ол болады, мұндағы φ - түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрыш. Содан кейін .

Егер және векторларының арасындағы бұрыш доғал болса, онда ол -ге тең болады. Демек . Сондықтан, кез келген жағдайда . Векторлар арасындағы бұрыштың косинусын есептеу формуласын есте сақтай отырып, біз аламыз .

Түзу мен жазықтықтың перпендикулярлық шарты.Түзу мен жазықтық перпендикуляр болады, егер түзудің бағыт векторы мен жазықтықтың нормаль векторы коллинеар болса ғана, яғни. .

Түзу мен жазықтықтың параллельдік шарты.Түзу мен жазықтық параллель болады, егер және векторлары перпендикуляр болса ғана.

Билет 7. Эллипсті анықтаңыз. Эллипс теңдеуін канондық түрде жаз. Эллипстің шыңдары, ошақтары, осьтері және эксцентриситеттері.

Анықтамасы:Эллипс — жазықтықтағы нүктелердің орналасуы, олардың әрқайсысы үшін эллипс фокусы деп аталатын бір жазықтықтың берілген екі нүктесіне дейінгі қашықтықтардың қосындысы тұрақты шама болады.

Болсын Ф 1 және Ф 2 – эллипс ошақтары. Бастау Окоординат жүйелері сегменттің ортасында орналасқан Ф 1 Ф 2. Ось Өгізосы сегмент, ось бойымен тікелей Ой- осы кесіндіге перпендикуляр (сурет).

Анықтамасы:Эллипстің симметрия осьтерімен қиылысу нүктелері деп аталады шыңы эллипсі a, симметрия центрі эллипстің ортасы, ошақтары бар екі төбенің арасындағы кесінді деп аталады эллипстің негізгі осі, ұзындығының жартысы эллипстің жартылай үлкен осі. Фокустары жоқ симметрия осіндегі төбелер арасындағы кесінді деп аталады эллипстің кіші осі, оның ұзындығының жартысы кіші жарты ось болып табылады. Мән деп аталады эллипс эксцентриситет.

Егер эллипс канондық теңдеулер арқылы берілсе, онда оның төбелерінің координаталары болады (– а;0), (а;0),(0; –б), (0;б), жартылай негізгі осі болып табылады а, кіші жарты ось тең б. Мән в, ол фокустар арасындағы жарты қашықтықты құрайды, формула бойынша анықталады в 2 = а 2 – б 2 .

Эллипстің эксцентристілігі эллипстің созылу дәрежесін сипаттайды. Неғұрлым эксцентриситет нөлге жақын болса, соғұрлым эллипс шеңберге ұқсайды. Эксцентриситет 1-ге жақын болған сайын эллипс соғұрлым көп созылады. Анықтама бойынша эллипс үшін 0 екенін ескеріңіз< <1.

теңдеу деп аталады эллипстің канондық теңдеуі.

Билет 8Гиперболаға анықтама беріңіз. Гиперболаның теңдеуін канондық түрде жазыңыз. Гиперболаның төбелері, ошақтары, осьтері, асимптоталары және эксцентриситеттері,

Анықтамасы:Гипербола деп жазықтықтағы нүктелердің локусын айтады, олардың әрқайсысы үшін гиперболаның ошақтары деп аталатын бір жазықтықтың екі қозғалмайтын нүктесіне дейінгі қашықтықтар айырмасының абсолютті мәні тұрақты шама болып табылады.

Эллипс жағдайында сияқты, гиперболаның теңдеуін алу үшін сәйкес координаталар жүйесін таңдаймыз. Координаталар басы ошақтар, осьтер арасындағы кесіндінің ортасында орналасқан Өгізосы кесіндінің бойымен тура, ал у осі оған перпендикуляр.

теңдеу деп аталады канондық теңдеугипербола.

Гиперболаның екі өзара перпендикуляр симметрия осі бар, олардың бірінде гиперболаның ошақтары және симметрия центрі болады. Егер гипербола канондық теңдеу арқылы берілсе, онда оның симметрия осьтері координаталық осьтер болады. ӨгізЖәне Ой, ал басы гиперболаның симметрия центрі.

Анықтамасы:Гиперболаның осімен канондық теңдеумен берілген қиылысу нүктелері Өгізшақырды гиперболаның төбелері, олардың арасындағы сегмент деп аталады гиперболаның нақты осі. (0;–) нүктелері арасындағы у осінің кесіндісі б) және (0; б) елестету осі деп аталады. Сандар аЖәне бсәйкесінше гиперболаның нақты және жорамал жарты осьтері деп аталады. Координаталар басы оның центрі деп аталады. Мән деп аталады эксцентристікгипербола.

Пікір:Теңдіктен б 2 = в 2 – а 2 осыдан шығады в>а, яғни гипербола >1. Эксцентриситет асимптоталар арасындағы бұрышты сипаттайды, 1-ге жақын болған сайын бұл бұрыш соғұрлым аз болады.

Билет 9.Параболаға анықтама беріңіз. Парабола теңдеуін канондық түрде жазыңыз. Директриса, параболаның фокусы

Парабола деп берілген F нүктесінен және берілген нүктеден өтпейтін d түзуінен бірдей қашықтықта орналасқан жазықтықтағы нүктелердің орналасуын айтады. Бұл геометриялық анықтаманы білдіреді парабола каталогының қасиеті.

Параболаның бағыттаушы қасиеті F нүктесі параболаның фокусы, d түзуі параболаның директрисасы, фокустан директрисаға түсірілген перпендикулярдың О ортаңғы нүктесі параболаның төбесі, фокустан директрицаға дейінгі p қашықтығы параболаның параметрі, ал параболаның төбесінен оның фокусына дейінгі p2 қашықтығы фокус қашықтығы (а-сурет). Директрисаға перпендикуляр және фокустан өтетін түзу параболаның осі (параболаның фокустық осі) деп аталады. Параболаның ерікті М нүктесін фокусымен қосатын FM кесіндісі М нүктесінің фокустық радиусы деп аталады. Параболаның екі нүктесін қосатын кесінді параболаның хордасы деп аталады.

Параболаның ерікті нүктесі үшін фокусқа қашықтықтың директрисаға дейінгі арақашықтыққа қатынасы бірге тең. Эллипстің, гиперболаның және параболаның каталогтық қасиеттерін салыстыра отырып, мынадай қорытындыға келеміз параболалық эксцентриситетанықтамасы бойынша біреуге тең

.Параболаның геометриялық анықтамасы , оның каталог қасиетін білдіре отырып, оның аналитикалық анықтамасына – параболаның канондық теңдеуімен берілген сызыққа тең:

Билет 10. Квадрат дегеніміз не, сәйкестік, симметриялы, ортогональды матрица. Транспозицияны анықтаңыз және кері матрицаларс.

Анықтама 1.Матрицажолдар мен бағандардан тұратын төртбұрышты сандар кестесі деп аталады. .

Анықтама 2.Сандар және шақырылады Матрицалық тәртіптер(немесе матрицаның өлшемі бар делік)

Анықтама 3.Бұл матрицаны құрайтын сандар оның деп аталады элементтері.

1. Анықтама 4. Матрица деп аталады Шаршы егер жолдар саны бағандар санына тең болса. Шаршы матрица жағдайында ұғымдар негізгі диагональ(бұл сандар - ) және Бүйірлік диагональ(бұл сандар - ).

2.Симметриялық(Симметриялық) матрица - элементтері негізгі диагональға қатысты симметриялы болатын шаршы матрица. Ресми түрде матрица симметриялы деп аталады, егер .

Бұл оның транспозицияланған матрицасына тең екенін білдіреді:

3. Сәйкестік матрицасы барлық диагональ элементтері біреуге тең болатын диагональды матрица деп аталады. Мысалы, үшінші ретті сәйкестік матрицасы матрица болып табылады

ортогональды матрица

шаршы матрица А, ол үшін A -1 = A Tшақырды ортогональды матрица. Ортогональды матрицаның негізгі қасиеттері:Ортогональды матрицаның анықтауышының модулі біреуге тең. Бұл қасиет анықтауыштардың қасиеттерінен туындайды:

Ортогональды матрицаның кез келген бағанының элементтерінің квадраттарының қосындысы біреуге тең.

Жолдың және оның скалярлық көбейтіндісі 1-ге тең, ал кез келген басқа жолдың 0-ге тең. Бағандар үшін де солай.

Ортогональды матрицаның кез келген жолының элементтерінің басқа жолдың сәйкес элементтеріне көбейтінділерінің қосындысы нөлге тең.

кері матрица берілген матрицаға оңға да, солға да көбейткенде сәйкестік матрицасын беретін матрица.Матрицаға кері матрицаны белгілеңіз. Аарқылы, содан кейін анықтамаға сәйкес біз аламыз: Қайда Есәйкестік матрицасы болып табылады.

Кері матрица барлық матрицалар үшін жоқ. Дегенерацияланбаудың қажетті және жеткілікті шарты болып табылады

дет( А) ≠ 0 немесе дәреже( А) = Н.

Кері матрицалардың қасиеттері

· , мұндағы анықтауышты білдіреді.

· кез келген екі инвертивті матрица үшін және .

· , мұндағы транспозицияланған матрицаны белгілейді.

· кез келген коэффициент үшін.

· Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу қажет болса , (b - нөлдік емес вектор) мұндағы қажетті вектор, ал егер ол бар болса, онда . Әйтпесе, шешім кеңістігінің өлшемі нөлден үлкен немесе мүлде жоқ.

Транспозицияланған матрица- жолдарды бағандармен ауыстыру арқылы бастапқы матрицадан алынған матрица.

Ресми түрде, өлшемдік матрица үшін транспозициялық матрицасы ретінде анықталған өлшемдік матрица болып табылады.

Билет 11.Эквивалентті матрицалар дегеніміз не. Матрицалардың элементар түрлендірулерін көрсетіңіз. Эквивалентті матрицалардың қатарлары туралы не айтуға болады.

Анықтама. Элементар түрлендіру нәтижесінде алынған матрицалар деп аталады эквивалент.

Матрицалар қатарындағы элементар түрлендірулеркелесі жолдық түрлендірулер деп аталады:

1. жолды нөл емес санға көбейту;

2. екі жолды ауыстыру;

3. оның басқа жолының матрицасының бір жолына нөлдік емес кейбір санға көбейтіндісі.

4. Егер матрица матрицадан матрицаға жолдар бойынша эквивалентті түрлендірулер көмегімен берілсе, онда мұндай матрицалар деп аталады. эквивалентжәне белгілеңіз.

5. Элементар түрлендірулер әдісі

6. Матрицалық ранг санына теңматрицадағы нөл емес жолдар матрица жолдарының үстіндегі элементар түрлендірулерді пайдалана отырып, оны сатылы пішінге келтіргеннен кейін.

Билет 12Кіші негіз дегеніміз не. Негізгі минор теоремасын көрсетіңіз.

Анықтама. А матрицасының рангі – нөлдік емес минордың максимум реті (минор – квадрат матрицаның анықтаушысы ). Белгіленген.

Анықтама. Матрицаның дәрежесін анықтайтын минор базалық минор деп аталады. БМ құрайтын жолдар мен бағандар негізгі жолдар мен бағандар деп аталады.

Анықтама. Бағандар жүйесі барлығы нөлге тең емес, сызықты тәуелді сандар деп аталады, сондықтан:

Негізгі минор теоремасы

Негізгі минорға кіретін матрицаның бағандары сызықты тәуелсіз жүйені құрайды. Матрицаның кез келген бағанасы негізгі минордан қалған бағандармен сызықты түрде өрнектеледі.

Өлшем матрицасында --ші ретті минор нөлден басқа болса және барлық -ro ретті минорлары нөлге тең болса немесе мүлде жоқ болса, негізгі деп аталады.

Салдары.Егер матрицаның барлық бағандары сызықтық тәуелсіз жүйені құрайтын бағандар арқылы сызықты түрде өрнектелсе, онда матрицаның рангі болады.

Билет 13Біртекті және біртекті емес теңдеулер жүйесі дегеніміз не. Теңдеулер жүйесінің шешімі деп нені атайды. Терминдерді түсіндіріңіз: үйлесімді теңдеулер жүйесі, үйлесімсіз теңдеулер жүйесі. Қандай теңдеулер жүйелері эквивалент деп аталады?

Анықтама 1.Егер барлық бос мүшелер нөлге тең болса, онда жүйе біртекті, ал басқаша гетерогенді деп аталады.

Анықтама 2.Жүйенің шешімі - жиыны nсандар бірге 1 , бірге 2 , …, бірге n , белгісіздердің орнына жүйеге ауыстырылған кезде, мсандық сәйкестіктер.

Анықтама 3.Жүйені үйлесімді (үйлесімді емес) деп атайды, егер оның кем дегенде бір шешімі болса (шешімдері жоқ).

Анықтама 4.Сызықтық алгебралық теңдеулердің бірлескен жүйесі, егер оның бірегей шешімі (шешімдер жиыны) болса, оны анықталған (анықталмаған) деп атайды.

Анықтама.

Екі сызықтық теңдеулер жүйесі деп аталады эквивалент (эквивалент), егер олардың шешімдері бірдей болса.

Баламалы жүйелер алынады, атап айтқанда, қашан элементарлық түрлендірулержүйе, түрлендірулер тек жүйелік жолдарда орындалған жағдайда.

Билет 14Негізгі шешім жүйесі дегеніміз не біртекті жүйетеңдеулер. Біртекті теңдеулер жүйесінің жалпы шешімі деп нені атайды.

Анықтама.Сызықтық жүйенің шешім кеңістігінің негізі біртекті теңдеулероны шақырды негізгі шешімдер жүйесі.

Біртекті теңдеулер жүйесінің жалпы шешімінің құрылымы туралы теорема:

Біртекті сызықтық теңдеулер жүйесінің кез келген шешімі формуламен анықталады

Қайда X 1 , X 2 , … , X n − r- сызықтық теңдеулер біртекті жүйесінің шешімдерінің іргелі жүйесі және C 1 , C 2 , … , C n − rерікті тұрақтылар болып табылады.

Біртекті теңдеулер жүйесінің жалпы шешімінің қасиеттері:

1. Кез келген мәндер үшін C 1 , C 2 , … , C n − r X, (3) формуламен анықталатын, (1) жүйенің шешімі болып табылады.

2. Қандай шешім қабылдаса да X 0, сандар бар C 1 0 , … , C n − r 0 солай

Қорытынды:Негізгі жүйені табу және ортақ шешімбіртекті жүйе, сәйкес сызықтық оператордың ядросының негізін табу керек.

Билет 16. Сызықтық кеңістікке анықтама беріңіз және оның қасиеттерін тұжырымдаңыз.

Бір топ Л шақырды сызықтық немесе векторлық кеңістік , егер осы жиынның барлық элементтері (векторлары) үшін санға қосу және көбейту амалдары анықталған болса және ол ақиқат болса:

1. Элементтердің әрбір жұбы xЖәне жбастап Л элементімен кездеседі x + жбастап Л , деп аталады сомаxЖәне ж, және:

x + ж = y+x− қосу ауыстырымды;

x + (ж + z) = (x + y) + z− қосу ассоциативті;

x +0 = x- бір ғана nullэлемент 0 (x +0 = xкез келген адам үшін xбастап Л );

x + (− x)= 0 − әрбір элемент үшін xбастап Л біреу ғана бар қарама-қарсыэлемент −x (x + (−x) = 0кез келген адам үшін xбастап Л) .

2. Әр жұп xжәне α, мұндағы α − саны, және xэлементінен Л , α элементіне сәйкес келеді x, деп аталады жұмысα Жәнеx, және:

α·(β · x) = (α·β) · x− санға көбейту ассоциативті: ;

1· x = x− кез келген элемент үшін xбастап Л .

3. Санға қосу және көбейту амалдары мына қатынастар арқылы байланысады:

α·( x + ж) = α· x + α· ж− санға көбейту элементтерді қосуға қатысты үлестірімді болады;

(α + β )· x = α· x + β · x− векторға көбейту сандарды қосуға қатысты үлестірімді болады.

Билет 17. Сызықтық кеңістіктің ішкі кеңістігі. Оның қасиеттері. Сызықтық қабық.

Сызықтық ішкі кеңістіктің анықтамасы

V сызықтық кеңістігінің бос емес ішкі жиыны L деп аталады сызықтық ішкі кеңістік V кеңістігі егер

1) u+v∈L ∀u,v∈L (қосу операциясына қатысты ішкі кеңістік жабық);

2) λv∈L ∀v∈L және кез келген λ саны (ішкі кеңістік векторды санға көбейту операциясына қатысты жабық).

Мүлік 1 R сызықтық кеңістігінің кез келген ішкі кеңістігі сызықтық кеңістік болып табылады.

Мүлік 2күңгірт M ≤ күңгірт Rn.

3-мүлік (негізді аяқтағаннан кейін). Егер (ep)k Rn сызықтық кеңістігінің M ішкі кеңістігіндегі базис болса, және k< n, то можно так выбрать элементы в Rn ek+1, ek+2, . . . , en, что (ep)n будет базисом в Rn.

Анықтама. Сызықтық қабықсызықтық ішкі кеңістікті анықтайтын векторлар жиыны болып табылады. Қатаң айтқанда, сызықтық аралық - барлығының жиынтығы сызықтық комбинациялардеректер векторлары. Сондай-ақ ерекшеліктерді атап өтейік:

Билет 18. Евклид кеңістігіне анықтама беріңіз. Векторды нормалау операциясын түсіндіріңіз.

Анықтама V векторлық кеңістік болсын. Кез келген екі x, y ∈ V векторлары тағайындалса, V ішкі көбейтінді деп айтамыз. нақты сан, осы векторлардың ішкі көбейтіндісі деп аталады және xy немесе (x, y) арқылы белгіленеді, осылайша келесі шарттар орындалады (мұндағы x, y, z - V-дан ерікті векторлар, және

t – ерікті нақты сан):

1) xy = yx (скаляр көбейтіндісі ауыстырымды);

2) (tx)y = t(xy);

3) (x + y)z = xz + yz (қосуға қатысты скаляр көбейтіндісі дистрибутивтік);

4) xx >=0, және xx = 0, егер x = 0 болса ғана.

Скаляр көбейтіндісі берілген векторлық кеңістік Евклид деп аталады. 1)–4) қасиеттері Евклид кеңістігінің аксиомалары деп аталады.

Векторлық қоңырау нормаланған немесе сингулярлыегер оның ұзындығы біреуге тең болса. Ерікті нөлдік емес векторды нормалау үшін оны ұзындығына бөлу керек. Нәтиже - түпнұсқаға тең бағытталған бірлік векторы.
Бірлікке ерікті вектордың скаляр көбейтіндісі осы вектордың бірлік бағытына проекциясының дәл ұзындығын береді. Тек ұзындықты ғана емес, проекция векторының өзін де алу үшін бұл ұзындықты бірлік векторымызға көбейту керек:

Билет 19Ортонормалық негіз дегеніміз не. Мысал ретінде екі өлшемді негізді пайдаланып, Грам-Шмидт ортогонализация процесін түсіндіріңіз.

Ортонормальдық жүйеден тұрады nвекторлар n-өлшемді евклидтік кеңістік, осы кеңістіктің негізін құрайды. Мұндай негіз деп аталады ортонормалықнегізі.

Егер e 1 , e 2 , ..., еn -ортонормалықнегізі n-өлшемді евклидтік кеңістік және

x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + ... + x n e n - векторлық ыдырау xосы негізде, содан кейін координаттар xмен векторы xортонормалық негізде формулалар арқылы есептеледі xмен =(x, eмен ), мен= 1, 2, ..., n.

ГРАМА-ШМИДТ,Векторлардың сызықтық тәуелсіз жүйесі берілген b 1 , b 2 , …, b l , a l+1 , …, a n l ≥ 1(1) ортогональ болатын бөлікті белгілейміз b l+1вектордың ортогональды компоненті және l+1ортогональды жүйеге қатысты b 1 , b 2 , …, bл Содан кейін 1. Векторлық жүйе b 1 , b 2 , …, b l , b l+1 , a l+2 , …, a n(2) (1) тең.

2. Векторлар жүйесі (2) сызықты тәуелсіз және оның бөлігі b 1 , b 2 , …, b l , b l+1– ортогональ.Ортогональды компонент ұғымын пайдалана отырып, сызықты тәуелсіз жүйенің түрлену процесін сипаттаймыз. a 1 , a 2 , …, a nортогональды жүйеге айналдырады b 1 , b 2 , …, b nнөлдік емес векторлар деп аталады жүйенің ортогонализациясы a 1 , a 2 , …, a n.Бұл процесс n қадамнан тұрады, n – бастапқы жүйедегі векторлар саны a 1 , a 2 , …, a n.

1 қадам. Біз сенеміз b 1 \u003d a 1және жүйені алыңыз b 1 , a 2 , …, a n

2 қадам. (3) жүйедегі векторды ауыстырайық. а 2қатысты ортогоналды компонент б 1, және біз жүйені аламыз: b 1 ,b 2 , a 3 ,..., a n (4)

Ортогонализация қадамдарына сәйкес (4) жүйе сызықты тәуелсіз және оның бөлігі б 1, б 2-ортогональды.

Біз сызықтық тәуелсіз жүйені құрдық деп есептейік b 1 , b 2 , …, b k-1 , a k ,…, a n, (5)

онда b 1 , b 2 , …, b k-1ортогональды болады.

k-ші қадамда k = 3, n, (5) жүйедегі векторды ауыстырамыз. а коның жүйеге қатысты ортогональды компоненті b 1 , b 2 , …, b k-1және жүйені алыңыз b 1 , …,b k , a k+1 , …, a n.

n-ші қадамды орындағаннан кейін векторлардың сызықтық тәуелсіз және ортогональды жүйесін аламыз b 1 , b 2 , …, b n.

Билет 20.Сызықтық кеңістіктегі операторды анықтаңыз. Қандай оператор сызықтық деп аталады.

Операторәрбір элемент сәйкес ереже деп аталады x X бір элемент сәйкестендіріледі жкейбір бос емес жиынтық Ы . Оператор әрекет ететіні айтылады X В Ы .

Оператордың әрекеті белгіленеді ж = А (x), ж- сурет x, x- прототип ж.

Әрбір элемент болса жбастап Ы бірыңғай премизасы бар x бастап X , ж= А (x), оператор шақырылады бір-бірден картаға түсіру X В Ы немесе трансформация X , X - операторды анықтау саласы.

Болсын X Және Ы екі сызықтық кеңістік. Оператор А бастап әрекет етеді X В Ы , аталады желі операторы, кез келген екі элемент үшін uЖәне vбастап X кез келген α саны ақиқат:

А(u+ v) = А (u) + А (v) , А (α· u) = α· А (u).

Билет 21.Сызықтық операторға мысал келтіріңіз. Сызықтық операторларға қандай амалдарды білесіз?

Екі ұшақ болса қиылысатын болса, онда сызықтық теңдеулер жүйесі кеңістіктегі түзудің теңдеуін анықтайды.

Яғни, түзу екі жазықтықтың теңдеулері арқылы берілген. Типтік және жалпы тапсырма - түзудің теңдеулерін канондық түрде қайта жазу:

9-мысал

Шешім: Құрастыру канондық теңдеулертүзу үшін нүкте мен бағыт векторын білу керек. Ал біз екі жазықтықтың теңдеулерін бердік ....

1) Алдымен берілген түзуге жататын нүктені табыңыз. Бұны қалай істейді? Теңдеулер жүйесінде кейбір координаттарды қалпына келтіру керек. болсын, онда екі белгісізі бар екі сызықтық теңдеулер жүйесін аламыз: . Теңдеулерді мүше бойынша қосып, жүйенің шешімін табамыз:

Осылайша, нүкте осы сызыққа жатады. Келесі техникалық нүктеге назар аударыңыз: нүктені тапқан жөн тұтаскоординаттар. Егер біз жүйеде «x» немесе «z» нөлін белгілесек, онда бөлшек координаталарсыз «жақсы» нүкте алатынымыз шындық емес. Мұндай талдау және нүктені таңдау ойша немесе жоба бойынша жүргізілуі керек.

Тексерейік: нүктенің координаталарын бастапқы теңдеулер жүйесіне ауыстырайық: . Алынған шынайы теңдіктер, бұл шын мәнінде дегенді білдіреді.

2) Түзудің бағыттаушы векторын қалай табуға болады? Оның орналасуы келесі схемалық сызбамен анық көрсетілген:

Біздің түзудің бағыт векторы жазықтықтардың нормаль векторларына ортогональ. Ал егер болса, онда «pe» векторын ретінде табамыз векторлық өнімқалыпты векторлар: .

Жазықтықтардың теңдеулерінен олардың қалыпты векторларын алып тастаймыз:

Ал түзудің бағыт векторын табамыз:

Нәтижені қалай тексеруге болады, мақалада талқыланды Векторлардың айқас көбейтіндісі.

3) Нүкте және бағыттаушы вектор бойынша түзудің канондық теңдеулерін құрастырайық:

Жауап:

Практикада дайын формуланы қолдануға болады: егер түзу екі жазықтықтың қиылысуымен берілсе, онда вектор осы түзудің бағыттаушы векторы болады.

10-мысал

Сызықтың канондық теңдеулерін жазыңыз

Бұл өз қолыңызбен жасалатын мысал. Сіздің жауабыңыз менікінен өзгеше болуы мүмкін (қай нүктені таңдағаныңызға байланысты). Егер айырмашылық бар болса, онда тексеру үшін теңдеуіңізден нүкте алып, оны менің теңдеуімнің орнына қойыңыз (немесе керісінше).

Толық шешім және сабақ соңында жауап беру.

Сабақтың екінші бөлімінде түзулердің кеңістіктегі өзара орналасуын қарастырамыз, сонымен қатар кеңістіктік түзулер мен нүктелерге байланысты есептерді талдаймыз. Мені материал лайықты болады деген түсініксіз үміттер қинады, сондықтан бөлек веб-парақ жасаған дұрыс.

Қош келдіңіз: Кеңістікте түзу сызыққа есептер >>>

Шешімдер мен жауаптар:

4-мысал: Жауаптар:

6-мысал: Шешім: түзудің бағыт векторын табыңыз:

Нүкте мен бағыт векторы бойынша түзудің теңдеулерін құрастырамыз:

Жауап : («y» - кез келген) :

Жауап :

Мысал шешімін қарастырайық.

Мысал.

Кеңістікте қиылысатын екі жазықтықтың теңдеулері арқылы берілген түзудің кез келген нүктесінің координаталарын табыңдар. .

Шешім.

Теңдеулер жүйесін келесі түрде қайта жазайық

Жүйенің бас матрицасының базистік миноры ретінде екінші ретті нөлдік емес минорды аламыз. , яғни z – бос белгісіз айнымалы. Құрамында z бар мүшелерді теңдеулердің оң жақ бөліктеріне көшірейік: .

Қабыл алайық , мұндағы ерікті нақты сан, онда .

Алынған теңдеулер жүйесін шешейік:

Осылайша, теңдеулер жүйесінің жалпы шешімі нысаны бар, мұнда.

Алсаң нақты мағынапараметр , онда біз берілген түзуде жатқан нүктенің қажетті координаталарын беретін теңдеулер жүйесінің белгілі бір шешімін аламыз. Онда алайық , демек, түзудің қажетті нүктесі.

Табылған нүкте координаталарын екі қиылысатын жазықтықтың бастапқы теңдеулеріне ауыстыру арқылы тексеруге болады:

Жауап:

Екі жазықтық қиылысатын түзудің бағыт векторы.

IN тікбұрышты жүйетүзуден координаталар, түзудің бағыттаушы векторы бөлінбейді. Үшөлшемді кеңістіктегі тікбұрышты координаталар жүйесіндегі а түзуі қиылысатын екі жазықтықтың теңдеулерімен берілгенде және , онда түзудің бағыттаушы векторының координаталары көрінбейді. Енді біз оларды қалай анықтау керектігін көрсетеміз.

Түзу сол жазықтықтағы кез келген түзуге перпендикуляр болғанда жазықтыққа перпендикуляр болатынын білеміз. Сонда жазықтықтың нормаль векторы осы жазықтықта жатқан кез келген нөлдік емес векторға перпендикуляр болады. Бұл фактілерді түзудің бағыттаушы векторын табу кезінде қолданамыз.

a түзуі жазықтықта да, жазықтықта да жатады. Демек, а түзуінің бағыттаушы векторы да нормаль векторға перпендикуляр болады жазықтық , және нормаль векторы ұшақтар. Осылайша, а түзуінің бағыттаушы векторы болады Және :

Түзу сызықтың барлық бағыт векторларының жиыны және біз ретінде орнатуға болады , мұндағы – нөлден басқа кез келген нақты мәнді қабылдайтын параметр.

Мысал.

3D кеңістігінде Oxyz тікбұрышты координаттар жүйесінде қиылысатын екі жазықтықтың теңдеулері арқылы берілген түзудің кез келген бағыт векторының координаталарын табыңыз. .

Шешім.

Жазықтықтардың нормаль векторлары мен векторлары болып табылады Және тиісінше. Берілген екі жазықтықтың қиылысы болып табылатын түзудің бағыттаушы векторы векторлық көбейтіндіні аламыз қалыпты векторлар:

Жауап:

Кеңістіктегі түзудің параметрлік және канондық теңдеулеріне көшу.

Түзу сызықты сипаттау үшін қиылысатын екі жазықтықтың теңдеулерін пайдалану өте ыңғайлы емес жағдайлар бар. Кеңістіктегі түзудің канондық теңдеулері болса, кейбір есептерді шешу оңайырақ немесе пішіннің кеңістігіндегі түзудің параметрлік теңдеулері , мұндағы x 1 , y 1 , z 1 - түзудің кейбір нүктесінің координаталары, a x , a y , a z - түзудің бағыттаушы векторының координаталары және ерікті нақты мәндерді қабылдайтын параметр. Пішіннің тура теңдеулерінен көшу процесін сипаттайық кеңістіктегі түзудің канондық және параметрлік теңдеулеріне.

Алдыңғы абзацтарда біз түзудің белгілі бір нүктесінің координаталарын, сондай-ақ екі қиылысатын жазықтықтың теңдеулері арқылы берілген түзудің кейбір бағыттаушы векторының координаталарын табуды үйрендік. Бұл мәліметтер кеңістіктегі тікбұрышты координаталар жүйесінде осы түзудің канондық те, параметрлік те теңдеулерін жазу үшін жеткілікті.

Мысалдың шешімін қарастырайық, содан кейін кеңістіктегі түзудің канондық және параметрлік теңдеулерін табудың басқа әдісін көрсетеміз.

Мысал.

Шешім.

Алдымен түзудің бағыттаушы векторының координаталарын есептейік. Ол үшін қалыпты векторлардың векторлық көбейтіндісін табамыз Және ұшақтар Және :

Яғни, .

Енді берілген түзудің кейбір нүктесінің координаталарын анықтайық. Ол үшін теңдеулер жүйесінің шешімдерінің бірін табамыз .

Анықтаушы нөлден өзгеше, оны жүйенің бас матрицасының базистік миноры ретінде аламыз. Сонда z айнымалысы бос, онымен мүшелерді теңдеулердің оң жақтарына көшіреміз және z айнымалысына ерікті мән береміз:

Алынған теңдеулер жүйесін Крамер әдісімен шешеміз:

Демек,

Түзу нүктесінің координаталарын алған кезде біз қабылдаймыз: .

Енді біз кеңістікте бастапқы жолдың қажетті канондық және параметрлік теңдеулерін жаза аламыз:

Жауап:

Және

Міне, бұл мәселені шешудің екінші жолы.

Түзуде белгілі бір нүктенің координаталарын тапқанда теңдеулер жүйесін шешеміз . Жалпы оның шешімдерін былай жазуға болады .

Және бұл кеңістіктегі түзудің қажетті параметрлік теңдеулері ғана. Егер алынған теңдеулердің әрқайсысы параметрге қатысты шешілсе, содан кейін теңдіктердің оң жақтары теңестірілсе, онда кеңістіктегі түзудің канондық теңдеулерін аламыз.

Осы әдіс арқылы алдыңғы есептің шешімін көрсетейік.

Мысал.

Үш өлшемді кеңістіктегі түзу екі қиылысатын жазықтықтың теңдеулері арқылы берілген . Осы жолдың канондық және параметрлік теңдеулерін жазыңыз.

Шешім.

Бұл үш белгісіз екі теңдеу жүйесін шешеміз (шешуі алдыңғы мысалда берілген, біз оны қайталамаймыз). Сонымен бірге біз аламыз . Бұл кеңістіктегі түзудің қажетті параметрлік теңдеулері.

Кеңістіктегі түзудің канондық теңдеулерін алу керек:

Түзу сызықтың алынған теңдеулері алдыңғы мысалда алынған теңдеулерден сырттай ерекшеленеді, бірақ олар эквивалентті, өйткені олар үш өлшемді кеңістікте бірдей нүктелер жиынын анықтайды (демек, бірдей түзу).

Жауап:

Және

Әдебиеттер тізімі.

• Бугров Я.С., Никольский С.М. Жоғары математика. Бірінші том: Элементтер сызықтық алгебражәне аналитикалық геометрия.
• Ильин В.А., Позняк Е.Г. Аналитикалық геометрия.