Біртекті емес шөгінділердің жалпы ерітіндісі. Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу, шешу әдістері, мысалдар. Өтілген материалдың дамуын бақылау

Шешімкалькулятор арқылы табыңыз. Шешу алгоритмі сызықтық жүйелермен бірдей біртекті теңдеулер.
Тек жолдармен жұмыс істей отырып, біз матрицаның рангін табамыз, негізгі минор; тәуелді және бос белгісіздерді жариялап, жалпы шешімін табамыз.

2-мысал. Жүйенің жалпы шешімін және негізгі шешімдер жүйесін табыңыз
Шешім.



,
матрицаның рангі 3 және санына теңбелгісіз. Бұл жүйеде бос белгісіздер жоқ, сондықтан бірегей шешім - тривиальды шешім бар дегенді білдіреді.

Жаттығу. Жүйені зерттеп, шешіңіз сызықтық теңдеулер.
4-мысал

Жаттығу. Әрбір жүйе үшін жалпы және жеке шешімдерді табыңыз.
Шешім.Жүйенің негізгі матрицасын жазамыз:

Тапсырма. Біртекті сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімдерінің іргелі жиынын табыңыз.

Жүйе мсызықтық теңдеулер c nбелгісіз деп аталады сызықтық біртекті жүйебарлық бос мүшелер нөлге тең болса, теңдеулер. Мұндай жүйе келесідей көрінеді:

Қайда және ij (i = 1, 2, …, м; j = 1, 2, …, n) - берілген сандар; x i- белгісіз.

Сызықтық біртекті теңдеулер жүйесі әрқашан сәйкес келеді, өйткені r(A) = r(). Ол әрқашан кем дегенде нөлге ие ( тривиальды) ерітіндісі (0; 0; ...; 0).

Қандай жағдайларда біртекті жүйелердің нөлдік емес шешімдері болатынын қарастырайық.

Теорема 1.Сызықтық біртекті теңдеулер жүйесінің нөлден басқа шешімдері бар, егер оның негізгі матрицасының рангі болса ғана r саннан азбелгісіз n, яғни. r < n.

□ 1). Сызықтық біртекті теңдеулер жүйесінің нөлге тең емес шешімі болсын. Ранг матрица өлшемінен аспайтындықтан, бұл анық r ≤ n. Болсын r = n. Содан кейін өлшемдегі кәмелетке толмағандардың бірі n nнөлден өзгеше. Сондықтан сәйкес сызықтық теңдеулер жүйесінің бірегей шешімі бар: , , . Демек, тривиальды шешімдерден басқа шешімдер жоқ. Мәселен, егер тривиальды емес шешім болса, онда r < n.

2). Болсын r < n. Сонда біртекті жүйе дәйекті бола отырып, шексіз болады. Демек, оның шешімдерінің шексіз саны бар, яғни. нөлдік емес шешімдері де бар. ■

Біртекті жүйені қарастырайық nсызықтық теңдеулер c nбелгісіз:

(2)

2-теорема.біртекті жүйе nсызықтық теңдеулер c nбелгісіздердің (2) нөлден басқа шешімдері бар, егер оның анықтауышы нөлге тең болса ғана: = 0.

□ Егер (2) жүйенің нөлдік емес шешімі болса, онда = 0. кезінде үшін жүйеде тек бірегей нөлдік шешім бар. Егер = 0 болса, онда дәреже rжүйенің негізгі матрицасы белгісіздер санынан аз, яғни. r < n. Және, демек, жүйеде шешімдердің шексіз саны бар, яғни. нөлдік емес шешімдері де бар. ■

(1) жүйенің шешімін белгілеңіз X 1 = к 1 , X 2 = к 2 , …, x n = k nжіп ретінде .

Сызықтық біртекті теңдеулер жүйесінің шешімдері бар келесі қасиеттер:

1. Егер жол (1) жүйенің шешімі болса, онда жол да (1) жүйенің шешімі болады.

2. Егер сызықтар және (1) жүйенің шешімдері, онда кез келген мәндер үшін бірге 1 және бірге 2 олардың сызықтық комбинациясы да (1) жүйенің шешімі болып табылады.

Бұл қасиеттердің дұрыстығын жүйенің теңдеулеріне тікелей ауыстыру арқылы тексеруге болады.

Тұжырымдалған қасиеттерден сызықтық біртекті теңдеулер жүйесінің шешімдерінің кез келген сызықтық комбинациясы да осы жүйенің шешімі болып табылатыны шығады.

Сызықтық тәуелсіз шешімдер жүйесі e 1 , e 2 , …, e rшақырды іргелі, егер (1) жүйенің әрбір шешімі осы шешімдердің сызықтық комбинациясы болса e 1 , e 2 , …, e r.

Теорема 3.Егер дәреже rүшін коэффициенттік матрицалар жүйелік айнымалыларсызықтық біртекті теңдеулер (1) айнымалылар санынан аз n, онда (1) жүйенің шешімдерінің кез келген іргелі жүйесі тұрады n–rшешімдер.

Сондықтан ортақ шешімсызықтық біртекті теңдеулер жүйесі (1) келесідей болады:

Қайда e 1 , e 2 , …, e rжүйе шешімдерінің кез келген іргелі жүйесі (9), бірге 1 , бірге 2 , …, б – ерікті сандар, Р = n–r.

Теорема 4.Жалпы жүйелік шешім мсызықтық теңдеулер c nбелгісіздер сәйкес сызықтық біртекті теңдеулер жүйесінің жалпы шешімі (1) мен осы жүйенің ерікті жеке шешімі (1) қосындысына тең.

Мысал.Жүйені шешу

Шешім.Бұл жүйе үшін м = n= 3. Анықтауыш

2-теорема бойынша жүйенің тек тривиальды шешімі бар: x = ж = z = 0.

Мысал. 1) Жүйенің жалпы және жеке шешімдерін табыңыз

2) Шешімдердің іргелі жүйесін табыңыз.

Шешім. 1) Бұл жүйе үшін м = n= 3. Анықтауыш

2-теорема бойынша жүйенің нөлден басқа шешімдері бар.

Өйткені жүйеде бір ғана тәуелсіз теңдеу бар

x + ж – 4z = 0,

содан кейін біз одан білдіреміз x =4z- ж. Шешімдердің шексіз жиынтығын қайдан аламыз: (4 z- ж, ж, z) жүйенің жалпы шешімі болып табылады.

Сағат z= 1, ж= -1, біз бір нақты шешімді аламыз: (5, -1, 1). Қою z= 3, ж= 2, біз екінші нақты шешімді аламыз: (10, 2, 3), т.б.

2) Жалпы шешімде (4 z- ж, ж, z) айнымалылар жЖәне zеркін және айнымалы X- оларға тәуелді. Шешімдердің іргелі жүйесін табу үшін біз бос айнымалыларға мәндерді тағайындаймыз: бірінші ж = 1, z= 0, онда ж = 0, z= 1. Шешімдердің іргелі жүйесін құрайтын нақты шешімдерді (-1, 1, 0), (4, 0, 1) аламыз.

Иллюстрациялар:

Күріш. 1 Сызықтық теңдеулер жүйесінің классификациясы

Күріш. 2 Сызықтық теңдеулер жүйесін оқу

Презентациялар:

SLAE_matrix әдісін шешу

Шешім SLAU_Cramer әдісі

Шешім SLAE_Gauss әдісі

・Шешім пакеттері математикалық есептер Математика: аналитикалық іздеу және сандық шешімсызықтық теңдеулер жүйесі

Бақылау сұрақтары:

1. Сызықтық теңдеуге анықтама беріңіз

2. Қандай жүйе жасайды мбар сызықтық теңдеулер nбелгісіз?

3. Сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімі қалай аталады?

4. Қандай жүйелер эквивалентті деп аталады?

5. Қандай жүйе үйлесімсіз деп аталады?

6. Қандай жүйе буын деп аталады?

7. Қандай жүйе анықталған деп аталады?

8. Қандай жүйе анықталмаған деп аталады

9. Сызықтық теңдеулер жүйесінің элементар түрлендірулерін атаңыз

10. Матрицалардың элементар түрлендірулерін атаңыз

11. Қолдану теоремасын көрсетіңіз элементарлық түрлендірулерсызықтық теңдеулер жүйесіне

12. Қандай жүйелерді матрицалық әдіспен шешуге болады?

13. Крамер әдісімен қандай жүйелерді шешуге болады?

14. Гаусс әдісімен қандай жүйелерді шешуге болады?

15. Гаусс әдісімен сызықтық теңдеулер жүйесін шешу кезінде туындайтын 3 ықтимал жағдайды көрсетіңіз.

16. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің матрицалық әдісін сипаттаңыз

17. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешуге арналған Крамер әдісін сипаттаңыз

18. Сызықтық теңдеулер жүйесін шешудің Гаусс әдісін сипаттаңыз

19. Қандай жүйелердің көмегімен шешуге болады кері матрица?

20. Сызықтық теңдеулер жүйесін Крамер әдісімен шешу кезінде туындайтын 3 ықтимал жағдайды көрсетіңіз.

Әдебиет:

1. Жоғары математикаэкономистерге: Жоғары оқу орындарына арналған оқулық / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н.Фридман. Ред. Н.Ш. Кремер. – М.: ЮНИТИ, 2005. – 471 б.

2. Жоғары математиканың экономистерге арналған жалпы курсы: Оқу құралы. / Ред. ЖӘНЕ. Ермаков. -М.: ИНФРА-М, 2006. - 655 б.

3. Экономистер үшін жоғары математикадан есептер жинағы: Оқу құралы/ Редакциямен В.И. Ермаков. М.: ИНФРА-М, 2006. - 574 б.

4. В.Е.Гмурман, Ықтималдықтар теориясы мен магматикалық статистикадағы есептерді шешуге арналған нұсқаулық. - М.: магистратура, 2005. - 400 б.

5. Гмурман. В.Е. Ықтималдық теориясы және математикалық статистика. - М.: Жоғары мектеп, 2005 ж.

6. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Жаттығулар мен тапсырмалардағы жоғары математика. 1, 2 бөлім. - М .: Оникс 21 ғасыр: Әлем және білім, 2005. - 304 б. 1-бөлім; – 416 б. 2-бөлім

7. Экономикадағы математика: Оқулық: 2 сағатта / А.С. Солодовников, В.А. Бабаицев, А.В. Брайлов, И.Г. Шандара. - М.: Қаржы және статистика, 2006 ж.

8. Шипачев В.С. Жоғары математика: Студенттерге арналған оқулық. университеттер - М .: Жоғары мектеп, 2007. - 479 б.

Ұқсас ақпарат.

6.3. СЫЗЫҚТЫҚ ТЕҢДЕЛЕРДІҢ БІРТІКТІ ЖҮЙЕЛЕРІ

Енді жүйеде рұқсат етіңіз (6.1).

Біртекті жүйе әрқашан сәйкес келеді. Шешім () аталады нөл, немесе тривиальды.

Біртекті жүйенің (6.1) нөлден басқа шешімі бар, егер оның дәрежесі ( ) белгісіздер санынан аз. Атап айтқанда, теңдеулер саны белгісіздер санына тең болатын біртекті жүйенің анықтауышы нөл болған жағдайда ғана нөлден басқа шешімі болады.

Өйткені бұл жолы бәрі, (6.6) формулаларының орнына келесіні аламыз:

(6.7)

(6.7) формулалар біртекті жүйенің (6.1) кез келген ерітіндісін қамтиды.

1. Біртекті сызықтық теңдеулер жүйесінің (6.1) барлық шешімдерінің жиыны сызықтық кеңістікті құрайды.

2. Сызықтық кеңістікР(6.1) бар біртекті сызықтық теңдеулер жүйесінің барлық шешімдерініңnбелгісіздер және негізгі матрицаның рангі теңr, өлшемі барn–r.

Кез келген жиынтық (n–r) біртекті жүйенің сызықты тәуелсіз шешімдері (6.1) кеңістікте базис құрайдыРбарлық шешімдер. деп аталады іргелібіртекті теңдеулер жүйесінің шешімдер жиыны (6.1). Бөлектеу "қалыпты"біртекті жүйе шешімдерінің негізгі жиынтығы (6.1):

(6.8)

Базистің, кез келген шешімнің анықтамасы бойынша Xбіртекті жүйені (6.1) түрінде көрсетуге болады

(6.9)

Қайда ерікті тұрақтылар болып табылады.

(6.9) формула біртекті жүйенің (6.1) кез келген ерітіндісін қамтитындықтан, ол береді ортақ шешімбұл жүйе.

Мысал.

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу (SLAE) курстың ең маңызды тақырыбы екені сөзсіз. сызықтық алгебра. Математиканың барлық салаларындағы есептердің үлкен саны сызықтық теңдеулер жүйесін шешуге дейін қысқарады. Бұл факторлар осы мақаланы жасау себебін түсіндіреді. Мақаланың материалы оның көмегімен сіз жасай алатындай етіп таңдалған және құрылымдалған

• сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің оңтайлы әдісін таңдау,
• таңдалған әдістің теориясын зерттеу,
• типтік мысалдар мен есептердің шешімдерін егжей-тегжейлі қарастыра отырып, сызықтық теңдеулер жүйесін шешіңіз.

Мақала материалының қысқаша сипаттамасы.

Алдымен біз барлық қажетті анықтамаларды, ұғымдарды береміз және кейбір белгілерді енгіземіз.

Әрі қарай, теңдеулер саны белгісіз айнымалылар санына тең және бірегей шешімі бар сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу әдістерін қарастырамыз. Біріншіден, Крамер әдісіне тоқталайық, екіншіден, мұндай теңдеулер жүйесін шешудің матрицалық әдісін көрсетеміз, үшіншіден, Гаусс әдісін (белгісіз айнымалыларды дәйекті жою әдісі) талдаймыз. Теорияны бекіту үшін біз бірнеше SLAE-ны әртүрлі тәсілдермен шешеміз.

Осыдан кейін біз сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешуге көшеміз жалпы көрініс, онда теңдеулер саны белгісіз айнымалылар санымен сәйкес келмейтін немесе жүйенің негізгі матрицасы азғындаған. Біз SLAE үйлесімділігін орнатуға мүмкіндік беретін Кронекер-Капелли теоремасын тұжырымдаймыз. Жүйелердің шешімін (олардың үйлесімділігі жағдайында) матрицаның базистік миноры түсінігін пайдалана отырып талдап көрейік. Сондай-ақ Гаусс әдісін қарастырамыз және мысалдардың шешімдерін егжей-тегжейлі сипаттаймыз.

Сызықтық алгебралық теңдеулер біртекті және біртекті емес жүйелердің жалпы шешімдерінің құрылымына тоқталуды ұмытпаңыз. Шешімдердің іргелі жүйесі түсінігін беріп, шешімдердің іргелі жүйесінің векторларының көмегімен SLAE жалпы шешімі қалай жазылатынын көрсетейік. Жақсырақ түсіну үшін бірнеше мысалды қарастырайық.

Қорытындылай келе, сызықтыққа келтіретін теңдеулер жүйесін, сонымен қатар қарастырамыз әртүрлі тапсырмалар, оның шешімі SLAE тудырады.

Бетті шарлау.

Анықтамалар, ұғымдар, белгілеулер.

n белгісіз айнымалысы бар p сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін қарастырамыз (p n -ге тең болуы мүмкін)

Белгісіз айнымалылар, - коэффициенттер (кейбір нақты немесе күрделі сандар), - бос мүшелер (сонымен қатар нақты немесе күрделі сандар).

SLAE бұл формасы деп аталады координат.

IN матрицалық пішінбұл теңдеулер жүйесі мынадай
Қайда - жүйенің негізгі матрицасы, - белгісіз айнымалы матрица-баған, - бос мүшелердің матрица-бағанасы.

Егер А матрицасына (n + 1)-ші баған ретінде бос мүшелердің матрицалық бағанасын қоссақ, онда біз деп аталатынды аламыз. кеңейтілген матрицасызықтық теңдеулер жүйесі. Әдетте, кеңейтілген матрица T әрпімен белгіленеді, ал бос мүшелер бағанасы қалған бағандардан тік сызықпен бөлінеді, яғни,

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу арқылыжүйенің барлық теңдеулерін сәйкестендіруге айналдыратын белгісіз айнымалы мәндердің жиыны деп аталады. Белгісіз айнымалылардың берілген мәндері үшін матрицалық теңдеу де сәйкестендіруге айналады.

Егер теңдеулер жүйесінің ең болмағанда бір шешімі болса, онда ол деп аталады буын.

Егер теңдеулер жүйесінің шешімдері болмаса, онда ол аталады үйлеспейтін.

Егер SLAE бірегей шешімі болса, онда ол шақырылады белгілі; егер бірнеше шешім болса, онда - белгісіз.

Жүйенің барлық теңдеулерінің бос мүшелері нөлге тең болса , содан кейін жүйе шақырылады біртекті, әйтпесе - гетерогенді.

Сызықтық алгебралық теңдеулердің элементар жүйелерін шешу.

Егер жүйелік теңдеулердің саны белгісіз айнымалылар санына тең болса және оның негізгі матрицасының анықтаушысы нөлге тең болмаса, онда мұндай SLAE деп атаймыз. бастауыш. Мұндай теңдеулер жүйелерінің бірегей шешімі бар, ал біртекті жүйе жағдайында барлық белгісіз айнымалылар нөлге тең.

Біз мұндай SLAE-ді зерттей бастадық орта мектеп. Оларды шешу кезінде біз бір теңдеуді алып, бір белгісіз айнымалыны басқаларымен өрнектеп, оны қалған теңдеулерге ауыстырдық, содан кейін келесі теңдеуді алып, келесі белгісіз айнымалыны өрнектеп, оны басқа теңдеулерге ауыстырдық және т.б. Немесе олар қосу әдісін қолданды, яғни кейбір белгісіз айнымалыларды жою үшін екі немесе одан да көп теңдеулерді қосты. Біз бұл әдістерге егжей-тегжейлі тоқталмаймыз, өйткені олар негізінен Гаусс әдісінің модификациясы болып табылады.

Сызықтық теңдеулердің элементар жүйелерін шешудің негізгі әдістеріне Крамер әдісі, матрицалық әдіс және Гаусс әдісі жатады. Оларды реттеп көрейік.

Сызықтық теңдеулер жүйесін Крамер әдісімен шешу.

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешуіміз керек

онда теңдеулер саны белгісіз айнымалылар санына тең және жүйенің негізгі матрицасының анықтауышы нөлден өзгеше, яғни .

Жүйенің бас матрицасының анықтауышы болсын, және ауыстыру арқылы А-дан алынатын матрицалардың анықтаушылары болып табылады 1-ші, 2-ші, …, n-шібос мүшелер бағанына сәйкес баған:

Мұндай белгілермен белгісіз айнымалылар Крамер әдісінің формулалары бойынша есептеледі . Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің шешімі Крамер әдісімен осылайша табылады.

Мысал.

Крамер әдісі .

Шешім.

Жүйенің негізгі матрицасы пішінге ие . Оның анықтаушысын есептеңіз (қажет болса, мақаланы қараңыз):

Жүйенің негізгі матрицасының анықтауышы нөлге тең емес болғандықтан, жүйенің Крамер әдісімен табуға болатын бірегей шешімі бар.

Қажетті анықтауыштарды құрастырыңыз және есептеңіз (анықтауыш А матрицасындағы бірінші бағанды ​​бос мүшелер бағанымен, анықтауыш — екінші бағанды ​​бос мүшелер бағанымен ауыстыру арқылы, - А матрицасының үшінші бағанын бос мүшелер бағанымен ауыстыру арқылы алынады ):

Формулалар арқылы белгісіз айнымалыларды табу :

Жауап:

Крамер әдісінің негізгі кемшілігі (егер оны кемшілік деп атауға болатын болса) жүйелік теңдеулердің саны үштен көп болған кезде анықтауыштарды есептеудің күрделілігі болып табылады.

Матрицалық әдіспен сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу (кері матрицаны қолдану).

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесі матрицалық түрде берілсін, мұндағы А матрицасының өлшемі n арқылы n және анықтауышы нөлге тең емес.

болғандықтан, онда А матрицасы инверсивті, яғни кері матрица бар. Егер теңдіктің екі бөлігін сол жаққа көбейтсек, онда белгісіз айнымалылардың баған матрицасын табу формуласын аламыз. Сонымен, сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің матрицалық әдіспен шешімін алдық.

Мысал.

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу матрицалық әдіс.

Шешім.

Теңдеулер жүйесін матрицалық түрде қайта жазайық:

Өйткені

онда SLAE матрицалық әдіспен шешілуі мүмкін. Кері матрицаны пайдаланып, бұл жүйенің шешімін келесідей табуға болады .

А матрицасының элементтерінің алгебралық толықтауыштарының матрицасын пайдаланып кері матрицаны құрастырайық (қажет болса, мақаланы қараңыз):

Кері матрицаны көбейту арқылы белгісіз айнымалы матрицаны есептеу қалады бос мүшелердің матрицалық бағанында (қажет болса, мақаланы қараңыз):

Жауап:

немесе басқа белгілеуде x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Матрицалық әдіспен сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің шешімдерін табудағы негізгі мәселе кері матрицаны табудың күрделілігі болып табылады, әсіресе үшіншіден жоғары ретті квадрат матрицалар үшін.

Сызықтық теңдеулер жүйесін Гаусс әдісімен шешу.

n белгісіз айнымалысы бар n сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімін табу керек делік.
негізгі матрицасының анықтауышы нөлден өзгеше.

Гаусс әдісінің мәнібелгісіз айнымалыларды дәйекті алып тастаудан тұрады: біріншіден, x 1 екіншіден бастап жүйенің барлық теңдеулерінен шығарылады, содан кейін x 2 үшіншіден бастап барлық теңдеулерден алынып тасталады және т.б. тек белгісіз айнымалыға дейін. x n соңғы теңдеуде қалады. Белгісіз айнымалыларды дәйекті жою үшін жүйенің теңдеулерін түрлендірудің мұндай процесі деп аталады. тікелей Гаусс әдісі. Гаусс әдісінің алға жүруі аяқталғаннан кейін соңғы теңдеуден х n табылады, осы мәнді пайдаланып соңғыдан кейінгі теңдеуден х n-1 есептеледі және осылайша бірінші теңдеуден х 1 табылады. Жүйенің соңғы теңдеуінен бірінші теңдеуіне өту кезінде белгісіз айнымалыларды есептеу процесі деп аталады. кері Гаусс әдісі.

Белгісіз айнымалыларды жою алгоритмін қысқаша сипаттайық.

Біз жүйенің теңдеулерін қайта реттеу арқылы әрқашан қол жеткізе алатындықтан, деп есептейміз. Екіншіден бастап жүйенің барлық теңдеулерінен белгісіз x 1 айнымалысын алып тастаймыз. Ол үшін жүйенің екінші теңдеуіне бірінші көбейтілген теңдеуді қосыңыз, үшінші теңдеуге бірінші көбейтіндіні қосыңыз және т.б. бірінші көбейтіндіні n-ші теңдеуге қосыңыз. Мұндай түрлендірулерден кейін теңдеулер жүйесі пішінге ие болады

қайда, а .

Егер біз жүйенің бірінші теңдеуіндегі x 1-ді басқа белгісіз айнымалылар арқылы өрнектеп, алынған өрнекті барлық басқа теңдеулерге ауыстырсақ, дәл осындай нәтижеге келер едік. Осылайша, х 1 айнымалысы екіншіден бастап барлық теңдеулерден алынып тасталады.

Әрі қарай, біз ұқсас әрекет етеміз, бірақ тек суретте белгіленген нәтиже жүйесінің бөлігімен

Ол үшін жүйенің үшінші теңдеуіне екінші көбейтіндіні қосыңыз, төртінші теңдеуге екінші көбейтіндіні қосыңыз және т.б. n-ші теңдеуге екінші көбейтіндіні қосыңыз. Мұндай түрлендірулерден кейін теңдеулер жүйесі пішінге ие болады

қайда, а . Осылайша, х 2 айнымалысы үшіншіден бастап барлық теңдеулерден алынып тасталады.

Әрі қарай, суретте белгіленген жүйе бөлігіне ұқсас әрекет ете отырып, белгісіз x 3-ті жоюға кірісеміз.

Сонымен, жүйе пішінді алғанша Гаусс әдісінің тура курсын жалғастырамыз

Осы сәттен бастап біз Гаусс әдісінің кері бағытын бастаймыз: біз соңғы теңдеуден х n-ді келесідей есептейміз, алынған x n мәнін пайдаланып, соңғыдан кейінгі теңдеуден х n-1 табамыз және т.б., біріншіден х 1 табамыз. теңдеу.

Мысал.

Сызықтық теңдеулер жүйесін шешу Гаусс әдісі.

Шешім.

Жүйенің екінші және үшінші теңдеулерінен белгісіз x 1 айнымалысын алып тастайық. Ол үшін екінші және үшінші теңдеулердің екі бөлігіне де бірінші теңдеудің сәйкес бөліктерін сәйкесінше көбейтіндісін қосамыз:

Енді үшінші теңдеуден х 2-ні оның сол және оң бөліктеріне екінші теңдеудің сол және оң бөліктерін қосып, келесіге көбейтеміз:

Осымен Гаусс әдісінің алға жүруі аяқталды, біз кері бағытты бастаймыз.

Алынған теңдеулер жүйесінің соңғы теңдеуінен х 3-ті табамыз:

Екінші теңдеуден біз аламыз.

Бірінші теңдеуден біз қалған белгісіз айнымалыны табамыз және бұл Гаусс әдісінің кері бағытын аяқтайды.

Жауап:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Жалпы түрдегі сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу.

Жалпы жағдайда p жүйесінің теңдеулерінің саны белгісіз n айнымалылар санына сәйкес келмейді:

Мұндай SLAE шешімдері болмауы мүмкін, жалғыз шешімі немесе шексіз көп шешімдері болуы мүмкін. Бұл мәлімдеме негізгі матрицасы квадрат және азғындаған теңдеулер жүйесіне де қатысты.

Кронеккер-Капелли теоремасы.

Сызықтық теңдеулер жүйесінің шешімін таппас бұрын оның үйлесімділігін анықтау қажет. SLAE қай кезде үйлесімді, ал қай кезде үйлеспейді деген сұраққа жауап береді Кронеккер – Капелли теоремасы:
n белгісізі бар p теңдеулер жүйесі (p тең болуы мүмкін n ) дәйекті болу үшін жүйенің негізгі матрицасының рангі кеңейтілген матрицаның рангіне тең болуы қажет және жеткілікті, яғни Rank( A)=Дәреже(T) .

Мысал ретінде сызықтық теңдеулер жүйесінің үйлесімділігін анықтау үшін Кронекер-Каппелли теоремасының қолданылуын қарастырайық.

Мысал.

Сызықтық теңдеулер жүйесінің бар-жоғын табыңыз шешімдер.

Шешім.

. Кәмелетке толмағандарды шекараласу әдісін қолданайық. Екінші ретті кіші нөлден өзгеше. Оны қоршаған үшінші дәрежелі кәмелетке толмағандарға тоқталайық:

Барлық шекаралас үшінші ретті кәмелетке толмағандар нөлге тең болғандықтан, негізгі матрицаның дәрежесі екіге тең.

Өз кезегінде, кеңейтілген матрицаның рангі үшінші ретті минор болғандықтан үшке тең

нөлден өзгеше.

Осылайша, Rang(A) , сондықтан Кронекер-Капелли теоремасы бойынша сызықтық теңдеулер жүйесінің бастапқы жүйесі сәйкес емес деген қорытынды жасауға болады.

Жауап:

Шешім жүйесі жоқ.

Сонымен, біз Кронеккер-Капелли теоремасын пайдаланып жүйенің сәйкессіздігін анықтауды үйрендік.

Бірақ егер оның үйлесімділігі анықталған болса, SLAE шешімін қалай табуға болады?

Ол үшін бізге матрицаның базистік миноры ұғымы және матрица рангі туралы теорема қажет.

Кәмелетке толмаған ең жоғары тәртіпнөлге тең емес А матрицасы деп аталады негізгі.

Минор базисінің анықтамасынан оның реті матрица рангіне тең екендігі шығады. Нөлге тең емес А матрицасы үшін бірнеше негізгі минорлар болуы мүмкін; әрқашан бір негізгі минор болады.

Мысалы, матрицаны қарастырайық .

Бұл матрицаның барлық үшінші ретті минорлары нөлге тең, өйткені бұл матрицаның үшінші жолының элементтері бірінші және екінші жолдардың сәйкес элементтерінің қосындысы болып табылады.

Екінші ретті келесі кәмелетке толмағандар негізгі болып табылады, өйткені олар нөлге тең емес

Кәмелетке толмағандар негізгі емес, өйткені олар нөлге тең.

Матрицалық дәрежелер теоремасы.

Егер p-n ретті матрицаның рангі r болса, онда матрицаның таңдалған минорды құрамайтын жолдарының (және бағандарының) барлық элементтері жолдардың (және бағандардың) сәйкес элементтері бойынша сызықты түрде өрнектеледі. ) минордың негізін құрайтын.

Матрицалық дәрежелер теоремасы бізге не береді?

Егер Кронекер-Капелли теоремасы бойынша жүйенің үйлесімділігін анықтаған болсақ, онда жүйенің бас матрицасының кез келген негізгі минорын таңдаймыз (оның реті r-ге тең) және жүйеден жоқ барлық теңдеулерді алып тастаймыз. таңдалған негізгі минорды құрайды. Осылайша алынған SLAE бастапқыға тең болады, өйткені жойылған теңдеулер әлі де артық (матрицалық дәрежелер теоремасы бойынша олар қалған теңдеулердің сызықтық комбинациясы болып табылады).

Нәтижесінде жүйенің шамадан тыс теңдеулерін алып тастағаннан кейін екі жағдай болуы мүмкін.

Егер алынған жүйедегі r теңдеулерінің саны белгісіз айнымалылар санына тең болса, онда ол анықталған болады және жалғыз шешімді Крамер әдісі, матрицалық әдіс немесе Гаусс әдісі арқылы табуға болады.

Мысал.

.

Шешім.

Жүйенің негізгі матрицасының дәрежесі екінші ретті минор болғандықтан екіге тең нөлден өзгеше. Кеңейтілген матрица дәрежесі да екіге тең, өйткені үшінші реттің жалғыз миноры нөлге тең

ал жоғарыда қарастырылған екінші ретті минор нөлден өзгеше. Кронеккер-Капелли теоремасына сүйене отырып, Rank(A)=Rank(T)=2 болғандықтан, бастапқы сызықтық теңдеулер жүйесінің үйлесімділігін растауға болады.

Минордың негізі ретінде біз қабылдаймыз . Ол бірінші және екінші теңдеулердің коэффициенттері арқылы құрылады:


Жүйенің үшінші теңдеуі негізгі минорды құруға қатыспайды, сондықтан оны матрицалық дәрежелі теорема негізінде жүйеден шығарамыз:


Осылайша біз сызықтық алгебралық теңдеулердің элементар жүйесін алдық. Оны Крамер әдісімен шешейік:


Жауап:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Егер алынған SLAE-дегі r теңдеулерінің саны белгісіз айнымалылар санынан аз болса n , онда негізгі минорды құрайтын мүшелерді теңдеулердің сол жақ бөліктеріне қалдырамыз, ал қалған мүшелерін теңдеулердің оң жақ бөліктеріне көшіреміз. қарама-қарсы таңбалы жүйе.

Теңдеулердің сол жағында қалған белгісіз айнымалылар (олардың r бар) деп аталады. негізгі.

Оң жағында аяқталатын белгісіз айнымалылар (олардың n - r бар) деп аталады. Тегін.

Енді біз бос белгісіз айнымалылар ерікті мәндерді қабылдай алады деп есептейміз, ал r негізгі белгісіз айнымалылар еркін белгісіз айнымалылар арқылы бірегей түрде өрнектелетін болады. Олардың өрнегі алынған SLAE-ны Крамер әдісімен, матрицалық әдіспен немесе Гаусс әдісімен шешу арқылы табуға болады.

Мысал келтірейік.

Мысал.

Сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу .

Шешім.

Жүйенің бас матрицасының рангін табыңыз шекаралас кәмелетке толмағандар әдісімен. 1 1 = 1 мәнін нөлдік емес бірінші ретті минор ретінде алайық. Осы кәмелетке толмағанның айналасындағы нөлдік емес екінші ретті минорды іздеуді бастайық:


Осылайша біз екінші ретті нөлдік емес минорды таптық. Үшінші ретті нөлдік емес шекаралас минорды іздеуді бастайық:


Осылайша, негізгі матрицаның дәрежесі үш. Толықтырылған матрицаның дәрежесі де үшке тең, яғни жүйе дәйекті.

Үшінші реттің табылған нөлдік емес миноры негізгі ретінде қабылданады.

Түсінікті болу үшін біз минор негізін құрайтын элементтерді көрсетеміз:


Негізгі минорға қатысатын терминдерді жүйе теңдеулерінің сол жағына қалдырамыз, ал қалғандарын қарама-қарсы таңбаларымен оң жақтарына ауыстырамыз:


Еркін белгісіз айнымалы x 2 және x 5 ерікті мәндерді береміз, яғни қабылдаймыз , мұндағы ерікті сандар. Бұл жағдайда SLAE пішінді қабылдайды


Алынған сызықтық алгебралық теңдеулердің элементар жүйесін Крамер әдісімен шешеміз:


Демек, .

Жауапта бос белгісіз айнымалыларды көрсетуді ұмытпаңыз.

Жауап:

Ерікті сандар қайда.

Қорытындылау.

Жалпы түрдегі сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешу үшін алдымен оның үйлесімділігін Кронеккер-Капелли теоремасы арқылы анықтаймыз. Егер негізгі матрицаның рангі кеңейтілген матрицаның рангіне тең болмаса, онда жүйе сәйкес емес деген қорытындыға келеміз.

Егер негізгі матрицаның рангі кеңейтілген матрицаның рангіне тең болса, онда біз негізгі минорды таңдаймыз және таңдалған негізгі минорды құруға қатыспайтын жүйе теңдеулерін алып тастаймыз.

Егер минор базисінің реті белгісіз айнымалылар санына тең болса, онда SLAE бірегей шешімі бар, оны бізге белгілі кез келген әдіспен табуға болады.

Егер базистік минордың реті белгісіз айнымалылар санынан аз болса, онда жүйе теңдеулерінің сол жағында негізгі белгісіз айнымалылары бар мүшелерді қалдырамыз, қалған мүшелерді оң жақтарына ауыстырып, ерікті мәндерді тағайындаймыз. бос белгісіз айнымалыларға. Алынған сызықтық теңдеулер жүйесінен негізгі белгісіз айнымалыларды Крамер әдісі, матрицалық әдіс немесе Гаусс әдісі арқылы табамыз.

Жалпы түрдегі сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешудің Гаусс әдісі.

Гаусс әдісін қолдана отырып, кез келген түрдегі сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін олардың үйлесімділігін алдын ала зерттемей-ақ шешуге болады. Белгісіз айнымалыларды дәйекті жою процесі SLAE үйлесімділігі мен сәйкессіздігі туралы қорытынды жасауға мүмкіндік береді, ал егер шешім бар болса, оны табуға мүмкіндік береді.

Есептеу жұмысы тұрғысынан Гаусс әдісі қолайлы.

Оның толық сипаттамасын және талданған мысалдарын жалпы түрдегі сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесін шешуге арналған Гаусс әдісі мақаласынан қараңыз.

Шешімдердің іргелі жүйесінің векторларын пайдалана отырып, біртекті және біртекті емес сызықтық алгебралық жүйелердің жалпы шешімін жазу.

Бұл бөлімде біз шешімдерінің шексіз саны бар сызықтық алгебралық теңдеулердің бірлескен біртекті және біртекті емес жүйелеріне тоқталамыз.

Алдымен біртекті жүйелермен айналысайық.

Шешім қабылдаудың негізгі жүйесі n белгісіз айнымалысы бар p сызықты алгебралық теңдеулердің біртекті жүйесі бұл жүйенің (n – r) сызықты тәуелсіз шешімдерінің жиынтығы, мұндағы r – жүйенің бас матрицасының базистік минорының реті.

Егер біртекті SLAE сызықты тәуелсіз шешімдерін X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) ретінде белгілесек, n өлшемді матрицалар бағандары болып табылады. арқылы 1 ) , онда бұл біртекті жүйенің жалпы шешімін түрінде көрсетуге болады сызықтық комбинацияС 1 , С 2 , …, С (n-r) ерікті тұрақты коэффициенттері бар шешімдердің іргелі жүйесінің векторлары, яғни, .

Біртекті сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесінің жалпы шешімі (орослау) термині нені білдіреді?

Мағынасы қарапайым: формула барлығын белгілейді мүмкін шешімдербастапқы SLAE, басқаша айтқанда, еркін С 1 , С 2 , …, С (n-r) мәндерінің кез келген жиынын ала отырып, формула бойынша бастапқы біртекті SLAE шешімдерінің бірін аламыз.

Осылайша, егер біз шешімдердің іргелі жүйесін тапсақ, онда осы біртекті SLAE барлық шешімдерін ретінде орнатуға болады.

Біртекті SLAE шешімдерінің іргелі жүйесін құру процесін көрсетейік.

Түпнұсқа сызықтық теңдеулер жүйесінің негізгі минорын таңдап, жүйеден барлық басқа теңдеулерді алып тастаймыз және бос белгісіз айнымалылары бар барлық мүшелерін қарама-қарсы таңбалары бар жүйе теңдеулерінің оң жағына көшіреміз. Бос белгісіз айнымалыларға 1,0,0,…,0 мәндерін берейік және алынған сызықтық теңдеулердің элементар жүйесін кез келген тәсілмен, мысалы, Крамер әдісімен шешу арқылы негізгі белгісіздерді есептейік. Осылайша, X (1) алынады - іргелі жүйенің бірінші шешімі. Егер бос белгісіздерге 0,1,0,0,…,0 мәндерін беріп, негізгі белгісіздерді есептесек, онда X (2) аламыз. Тағыда басқа. Егер бос белгісіз айнымалыларға 0,0,…,0,1 мәндерін беріп, негізгі белгісіздерді есептесек, онда X (n-r) аламыз. Біртекті SLAE шешімдерінің іргелі жүйесі осылай құрылады және оның жалпы шешімін түрінде жазуға болады.

Сызықтық алгебралық теңдеулердің біртекті емес жүйелері үшін жалпы шешім келесі түрде берілген

Мысалдарды қарастырайық.

Мысал.

Сызықтық алгебралық теңдеулердің біртекті жүйесінің шешімдерінің іргелі жүйесін және жалпы шешімін табыңыз. .

Шешім.

Сызықтық теңдеулер біртекті жүйелерінің негізгі матрицасының рангі әрқашан кеңейтілген матрицаның рангіне тең. Кәмелетке толмағандарды жиектеу әдісімен негізгі матрицаның рангін табайық. Бірінші ретті нөлдік минор ретінде жүйенің негізгі матрицасының a 1 1 = 9 элементін аламыз. Екінші ретті шекаралас нөлдік емес минорды табыңыз:

Нөлден өзгеше екінші ретті минор табылды. Нөлдік емес біреуін іздеу үшін онымен шектесетін үшінші дәрежелі кәмелетке толмағандарды қарастырайық:

Үшінші ретті барлық шекаралас кәмелетке толмағандар нөлге тең, сондықтан негізгі және кеңейтілген матрицаның рангі екіге тең. Негізгі минорды алайық. Түсінікті болу үшін оны құрайтын жүйенің элементтерін атап өтеміз:

Бастапқы SLAE үшінші теңдеуі негізгі минордың қалыптасуына қатыспайды, сондықтан оны алып тастауға болады:

Негізгі белгісіздері бар мүшелерді теңдеулердің оң жақтарына қалдырамыз, ал бос белгісіздері бар мүшелерді оң жақтарына көшіреміз:

Сызықтық теңдеулердің бастапқы біртекті жүйесінің шешімдерінің іргелі жүйесін құрайық. Бұл SLAE шешімдерінің іргелі жүйесі екі шешімнен тұрады, өйткені бастапқы SLAE төрт белгісіз айнымалыдан тұрады, ал оның негізгі минорының реті екі. X (1) табу үшін біз бос белгісіз айнымалыларға x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0 мәндерін береміз, содан кейін теңдеулер жүйесінен негізгі белгісіздерді табамыз.
.

Біртекті жүйелерсызықтық алгебралық теңдеулер

Сабақтар аясында Гаусс әдісіЖәне Ортақ шешімі бар үйлеспейтін жүйелер/жүйелерқарастырдық біртекті емес сызықтық теңдеулер жүйесі, Қайда тегін мүше(ол әдетте оң жақта) кем дегенде біреуітеңдеулердің нөлден айырмашылығы болды.
Ал енді, жақсы қыздырудан кейін матрицалық дәреже, біз техниканы жылтыратуды жалғастырамыз элементарлық түрлендірулерқосулы біртекті сызықтық теңдеулер жүйесі.
Бірінші абзацтарға сәйкес, материал қызықсыз және қарапайым болып көрінуі мүмкін, бірақ бұл әсер алдамшы. Әдістемелерді одан әрі дамытудан басқа, көптеген жаңа ақпараттар болады, сондықтан осы мақаладағы мысалдарды елемеуге тырысыңыз.

Біртекті сызықтық теңдеулер жүйесі дегеніміз не?

Жауап өзін көрсетеді. Сызықтық теңдеулер жүйесі, егер бос мүше болса, біртекті болады барлығыжүйе теңдеуі нөлге тең. Мысалы:

Бұл анық біртекті жүйе әрқашан сәйкес келеді, яғни оның әрқашан шешімі бар. Және, ең алдымен, деп аталатындар тривиальдышешім . Тривиальды, сын есімнің мағынасын мүлде түсінбейтіндер үшін, bespontovoe білдіреді. Әрине, академиялық емес, бірақ түсінікті =) ... Неліктен бұтаның айналасында ұрып-соғу керек, бұл жүйенің басқа шешімдері бар-жоғын білейік:

1-мысал

Шешім: біртекті жүйені шешу үшін жазу керек жүйелік матрицаал элементар түрлендірулер көмегімен сатылы түрге келтіреді. Мұнда бос мүшелердің тік жолағын және нөлдік бағанды ​​жазудың қажеті жоқ екенін ескеріңіз - нөлдермен не істесеңіз де, олар нөл болып қалады:

(1) Бірінші жол екінші жолға қосылды, -2-ге көбейтілді. Бірінші жол үшінші жолға қосылып, -3-ке көбейтілді.

(2) Екінші жол үшінші жолға қосылып, -1-ге көбейтілді.

Үшінші қатарды 3-ке бөлудің мағынасы жоқ.

Элементар түрлендірулер нәтижесінде эквивалентті біртекті жүйе алынады , және Гаусс әдісінің кері қозғалысын қолданып, шешімнің бірегей екенін тексеру оңай.

Жауап:

Айқын критерийді тұжырымдап көрейік: біртекті сызықтық теңдеулер жүйесі бар тек тривиальды шешім, Егер жүйелік матрица дәрежесі(бұл жағдайда 3) айнымалылар санына тең (бұл жағдайда 3 дана).

Біз радиомызды қарапайым өзгерістер толқынына қыздырып, баптаймыз:

2-мысал

Біртекті сызықтық теңдеулер жүйесін шешу

Мақаладан Матрицаның дәрежесін қалай табуға болады?біз матрицаның сандарын кездейсоқ азайтудың рационалды әдісін еске түсіреміз. Әйтпесе, үлкен және жиі тістейтін балықты союға тура келеді. Үлгі Үлгісабақтың соңындағы тапсырма.

Нөлдер жақсы және ыңғайлы, бірақ іс жүзінде жүйенің матрицасының жолдары болған кезде жағдай әлдеқайда жиі кездеседі. сызықтық тәуелді. Содан кейін жалпы шешімнің пайда болуы сөзсіз:

3-мысал

Біртекті сызықтық теңдеулер жүйесін шешу

Шешім: жүйенің матрицасын жазамыз және элементар түрлендірулерді қолдана отырып, оны қадамдық формаға келтіреміз. Бірінші әрекет бір мәнді алуға ғана емес, сонымен қатар бірінші бағандағы сандарды азайтуға бағытталған:

(1) Үшінші жол бірінші жолға қосылды, -1 көбейтілді. Үшінші жол екінші жолға қосылып, -2-ге көбейтілді. Жоғарғы сол жақта мен «минус» белгісі бар блокты алдым, бұл көбінесе одан әрі түрлендірулер үшін әлдеқайда ыңғайлы.

(2) Алғашқы екі жол бірдей, олардың біреуі жойылды. Шын сөзім, шешімді теңшеген жоқ - бұл орын алды. Үлгіде түрлендірулерді орындасаңыз, онда сызықтық тәуелділік сызықтар сәл кейінірек пайда болады.

(3) Үшінші жолға 3-ке көбейтілген екінші жолды қосыңыз.

(4) Бірінші жолдың белгісі өзгертілді.

Элементар түрлендірулер нәтижесінде эквивалентті жүйе алынады:

Алгоритм дәл үшін сияқты жұмыс істейді гетерогенді жүйелер. «Басқышта отырған» айнымалылар негізгі болып табылады, «қадамдарды» алмаған айнымалы бос.

Негізгі айнымалыларды еркін айнымалы арқылы өрнектейміз:

Жауап: ортақ шешім:

Тривиальды шешім жалпы формулаға енгізілген және оны бөлек жазудың қажеті жоқ.

Тексеру әдеттегі схема бойынша да жүзеге асырылады: алынған жалпы шешім жүйенің әрбір теңдеуінің сол жағына ауыстырылуы керек және барлық алмастырулар үшін заңды нөл алынады.

Мұны тыныш аяқтауға болады, бірақ біртекті теңдеулер жүйесінің шешімі жиі ұсынылуы керек векторлық түріндекөмегімен негізгі шешімдер жүйесі. Өтінемін, уақытша ұмытыңыз аналитикалық геометрия, енді мен мақалада аздап ашқан жалпы алгебралық мағынадағы векторлар туралы айтатын боламыз матрицалық дәреже. Терминологияны көлеңкелеу қажет емес, бәрі өте қарапайым.