Сандар қатары: анықтамалары, қасиеттері, жинақтылық критерийлері, мысалдар, шешімдер. Сандық қатарлар: анықтамалар, қасиеттер, жинақтылық критерийлері, мысалдар, шешімдер Д'Аламбер белгісінің қолданылуы

Жан Лерон д'Аламбер - 18 ғасырдағы әйгілі француз математигі. Жалпы, д'Аламбер мамандандырылған дифференциалдық теңдеулержәне ұлы мәртебелі зеңбірек оқтары жақсы ұшатындай етіп, өз зерттеулерінің негізінде баллистиканы зерттеді. Сонымен қатар, мен сандық қатарды ұмытпадым, Наполеон әскерлерінің қатарлары соншалықты анық жақындап, алшақтатыны бекер емес.

Белгінің өзін тұжырымдамас бұрын маңызды сұрақты қарастырайық:
Д'Аламбер конвергенция критерийін қашан қолдану керек?

Алдымен қайталаудан бастайық. Ең танымалды пайдалану қажет болған жағдайларды еске түсіріңіз шекті салыстыру критерийі. Шекті салыстыру критерийі қатардың ортақ мүшесінде қолданылады:
1) Бөлгіште көпмүше бар.
2) Көпмүшелер алымдарда да, бөлімдерде де болады.
3) Бір немесе екі көпмүше түбірдің астында болуы мүмкін.

Д'Аламбер белгісін қолданудың негізгі алғышарттары мыналар:

1) қатардың ортақ мүшесі («қатар толтырылуы») дәрежедегі кейбір санды қамтиды, мысалы, , т.б. Оның үстіне, бұл заттың қай жерде, алымда немесе бөлгіште орналасқаны мүлдем маңызды емес - оның сол жерде болуы маңызды.

2) қатардың ортақ мүшесі факториалды қамтиды. Факторлық дегеніміз не? Күрделі ештеңе жоқ, факториал - бұл өнімнің бүктелген жазбасы:

…

…

! Д'Аламбер сынамасын пайдаланған кезде факториалды егжей-тегжейлі бояуымыз керек. Алдыңғы абзацтағыдай факториал бөлшектің жоғарғы немесе төменгі жағында орналасуы мүмкін.

3) қатардың ортақ мүшесінде «факторлар тізбегі» болса, мысалы, . Бұл жағдай сирек кездеседі, бірақ! Мұндай серияны зерттегенде жиі қате жіберіледі - 6-мысалды қараңыз.

Дәрежелермен және (және) факториалдармен қатар қатарларды толтыруда көпмүшелер жиі кездеседі, бұл ештеңені өзгертпейді - сізге d'Alembert тестін қолдану керек.

Сонымен қатар қатардың жалпы мүшесінде дәрежесі де, факториалы да бір уақытта болуы мүмкін; екі факторлық, екі дәреже болуы мүмкін, оның болуы маңызды кем дегенде бір нәрсеқарастырылған ұпайлардың - және бұл д'Аламбер белгісін қолданудың алғышарты ғана.

Д'Аламбер белгісі: қарастырайық оң сандар қатары. Келесі мүшенің алдыңғыға қатынасының шегі болса: , онда:
а) қатарда жинақталады
б) қатарда алшақтайды
в) Қашан белгі жауап бермейді. Басқа белгіні пайдалану керек. Көбінесе бірлік шекті салыстыру сынамасын қолдану қажет болған жағдайда д'Аламбер тестін қолдануға тырысқанда алынады.

Әлі де шектеулер немесе шектеулерді түсінбеу мәселесі барлар үшін тақырыпты қараңыз Шектеулер. Шешу мысалдары. Шекті түсінбей және белгісіздікті одан әрі ашу мүмкіндігінсіз, өкінішке орай, алға жылжу мүмкін емес. Ал енді көптен күткен мысалдар.

1-мысал
Біз серияның жалпы терминінде бізде бар екенін көреміз және бұл д'Аламбер тестін қолдануымыз керек деген дұрыс алғышарт. Біріншіден, толық шешім және дизайн үлгісі, төменде түсініктемелер.

Біз d'Alembert тестін қолданамыз:

жинақталады.

(1) Қатардың келесі мүшесінің алдыңғысына қатынасын құрастыр: . Шарттан біз қатардың ортақ мүшесі екенін көреміз. Серияның келесі мүшесін алу үшін бұл қажет орнына ауыстырыңыз: .
(2) Төрт қабатты бөлшектен құтылыңыз. Бұл қадамды шешуде кейбір тәжірибеңіз болса, оны өткізіп жіберуге болады.
(3) Алымдағы жақшаларды ашыңыз. Бөлгіште дәрежеден төртеуін шығарамыз.
(4) арқылы азайтыңыз. Шектеу белгісінен тыс тұрақтыны шығарамыз. Бөлімшеде жақшаның ішінде ұқсас мүшелерді береміз.
(5) Белгісіздік стандартты әдіспен жойылады - алым мен бөлгішті «en»-ге ең жоғары дәрежеге бөлу арқылы.
(6) Алымдарды бөлгіштерге мүшеге бөліп, нөлге бейім мүшелерді көрсетіңіз.
(7) Жауапты жеңілдетеміз және д'Аламбер критерийіне сәйкес зерттелетін қатар жинақталатындығы туралы қорытындымен ескертеміз.

Қарастырылған мысалда қатардың жалпы мүшесінде 2-дәрежелі көпмүшені кездестірдік. 3, 4 немесе одан жоғары дәрежелі көпмүше болса ше? Мәселе мынада, егер жоғары дәрежелі көпмүше берілсе, онда жақшаларды ашуда қиындықтар туындайды. Бұл жағдайда «турбо» шешім әдісін қолдануға болады.

2-мысал Ұқсас қатарды алып, конвергенцияны тексеріңіз
Алдымен толық шешім, содан кейін түсініктемелер:

Біз d'Alembert тестін қолданамыз:

Осылайша, зерттелетін сериялар жинақталады.

(1) қатынасты құрастырыңыз.
(2) Төрт қабатты бөлшектен құтылыңыз.
(3) Алымдағы өрнекті және бөлгіштегі өрнекті қарастырайық. Біз санауышта жақшаларды ашып, төртінші дәрежеге дейін көтеру керек екенін көреміз: , оны мүлдем жасағыңыз келмейді. Сонымен қатар, Ньютон биномиясымен таныс емес адамдар үшін бұл тапсырма мүлде орындалмауы мүмкін. Жоғары дәрежелерді талдап көрейік: егер біз жоғарғы жақтағы жақшаларды ашсақ, біз ең жоғары дәреже аламыз. Төменде бізде бірдей жоғары дәреже бар: . Алдыңғы мысалмен салыстырсақ, алым мен бөлімді мүшеге бөлгенде шекті бір келетініміз анық. Немесе, математиктер айтқандай, көпмүшелер және - өсудің бір реті. Осылайша, пропорцияны қарапайым қарындашпен айналдыруға және бұл нәрсенің бірлікке бейім екенін бірден көрсетуге әбден болады. Сол сияқты, біз көпмүшелердің екінші жұбын қарастырамыз: және , олар да өсудің бір реті, ал олардың қатынасы бірлікке ұмтылады.

Шындығында, мұндай «бұзушылық» №1 мысалда жасалуы мүмкін еді, бірақ 2-ші дәрежелі көпмүше үшін мұндай шешім әлі күнге дейін қандай да бір түрде жарамсыз болып көрінеді. Мен мұны істеймін: егер бірінші немесе екінші дәрежелі көпмүшелік (немесе көпмүшелер) болса, мен 1-мысалды шешудің «ұзын» әдісін қолданамын. Егер 3-ші немесе одан көп көпмүшелік кездессе жоғары дәрежелер, 2-мысалға ұқсас «турбо» әдісін қолданамын.

3-мысал .

Факториалдармен типтік мысалдарды қарастырыңыз:

4-мысал Қатарларды жинақтылық үшін қарастырыңыз

Қатардың ортақ мүшесі дәрежені де, факториалды да қамтиды. Мұнда д'Аламбер белгісін қолдану керек екені күндізгі жарық сияқты анық. Біз шешеміз.

Осылайша, зерттелетін сериялар алшақтайды.

(1) қатынасты құрастырыңыз. Қайтадан қайталаймыз. Шарты бойынша қатардың ортақ мүшесі: . Серияның келесі мүшесін алу үшін, орнына ауыстыру керек, Осылайша: .
(2) Төрт қабатты бөлшектен құтылыңыз.
(3) Біз жетіні градустан шымшып аламыз. Факториалдар егжей-тегжейлі сипатталған. Мұны қалай жасауға болады - сабақтың басын қараңыз.
(4) Қысқартуға болатын барлық нәрсені азайтыңыз.
(5) Тұрақтыны шек таңбасынан тыс жылжытамыз. Алымдағы жақшаларды ашыңыз.
(6) Белгісіздік стандартты жолмен жойылады - алым мен бөлгішті «en»-ге ең жоғары дәрежеге бөлу арқылы.

5-мысалҚатарларды жинақтау үшін қарастырыңыз Толық шешім төменде берілген.

6-мысалҚатарларды жинақтылық үшін қарастырыңыз

Кейде олардың толтыруында көбейткіштердің «тізбегін» қамтитын жолдар бар, біз бұл жол түрін әлі қарастырған жоқпыз. Факторлар «тізбегі» бар қатарды қалай зерттеуге болады? Д'Аламбер белгісін қолданыңыз. Бірақ алдымен не болып жатқанын түсіну үшін біз серияларды егжей-тегжейлі жазамыз:

Кеңейтуден біз қатардың әрбір келесі мүшесі үшін бөлгішке қосымша фактор қосылатынын көреміз, сондықтан қатардың ортақ мүшесі болса, онда қатардың келесі мүшесі:
. Мұнда олар жиі автоматты түрде қателеседі, алгоритмге сәйкес ресми түрде жазады

Үлгі ҮлгіШешім келесідей болуы мүмкін: Біз d'Alembert тестін қолданамыз:
Осылайша, зерттелетін сериялар жинақталады.
РАДИКАЛЫҚ КОШИ БЕЛГІСІ

Огюстен Луи Коши - одан да әйгілі француз математигі. Кез келген техникалық мамандықтың студенті Кошидің өмірбаянын айтып бере алады. Ең әдемі түстерде. Бұл фамилия Эйфель мұнарасының бірінші қабатында қашалып жазылғаны кездейсоқ емес.

Оң сандық қатарлар үшін Коши конвергенция сынағы жаңа қарастырылған д'Аламбер сынағына біршама ұқсас.

Кошидің радикалды белгісі:Қарастырыңыз оң сандар қатары. Егер шектеу болса: , онда:
а) қатарда жинақталады. Атап айтқанда, қатарлар үшін жинақталады.
б) қатарда алшақтайды. Атап айтқанда, қатарлар -де алшақтайды.
в) Қашан белгі жауап бермейді. Басқа белгіні пайдалану керек. Бір қызығы, егер Коши сынағы қатарлардың жинақтылығы туралы сұраққа жауап бермесе, д'Аламбер сынағы да жауап бермейді. Бірақ егер д'Аламбер белгісі жауап бермесе, онда Коши белгісі жақсы «жұмыс істеуі» мүмкін. Яғни, Коши белгісі осы мағынада күштірек белгі.

Коши радикал белгісін қашан қолдану керек?Радикалды Коши сынағы әдетте қатардың жалпы термині болған жағдайларда қолданылады ТОЛЫҚдәрежеде «en»-ге тәуелді. Немесе қатардың жалпы мүшесінен «жақсы» түбірі алынғанда. Экзотикалық жағдайлар әлі де бар, бірақ біз олармен басымызды ұрмаймыз.

7-мысалҚатарларды жинақтылық үшін қарастырыңыз

Біз серияның жалпы термині -ге байланысты толығымен дәрежеде екенін көреміз, яғни радикалды Коши тестін қолдану керек:

Осылайша, зерттелетін сериялар алшақтайды.

(1) Түбір астындағы қатардың ортақ мүшесін шығарамыз.
(2) Дәл сол нәрсені тек түбірсіз, дәрежелер қасиетін пайдаланып қайта жазамыз.
(3) Көрсеткіште алым мен бөлгіш мүшесін мүшеге бөлеміз, бұл
(4) Нәтижесінде бізде белгісіздік бар. Мұнда сіз ұзақ жолмен жүре аласыз: текше, текше, содан кейін алым мен бөлгішті «en»-ге ең жоғары дәрежеде бөліңіз. Бірақ бұл жағдайда тиімдірек шешім бар: алым мен бөлгішті термин-мүше бойынша градус тұрақтысының астына бөлуге болады. Белгісіздікті жою үшін алым мен бөлгішті (ең үлкен қуат) бөлеміз.
(5) Біз іс жүзінде термин бойынша бөлуді орындаймыз және нөлге бейім терминдерді көрсетеміз.
(6) Жауапты еске түсіріп, оны белгілеп, қатардың алшақтататыны туралы қорытынды жасаймыз.

Міне, тәуелсіз шешім үшін қарапайым мысал:

8-мысал Қатарларды жинақтылық үшін қарастырыңыз

Және тағы бірнеше типтік мысалдар.

Толық шешім және үлгі дизайны төменде берілген.

9-мысал Қатарларды жинақтылық үшін қарастырыңыз
Біз радикалды Коши тестін қолданамыз:

Осылайша, зерттелетін сериялар жинақталады.

(1) қатардың ортақ мүшесін түбір астына қойыңыз.
(2) Қысқартылған көбейту формуласын пайдаланып жақшаларды ашқанда, бір нәрсені түбірсіз қайта жазамыз: .
(3) Көрсеткіште алым мен бөлгіш мүшесін мүшеге бөлеміз және екенін көрсетеміз.
(4) Пішіннің белгісіздігі алынады. Мұнда сіз алымды бөлгішке "en"-ге дәл жақшаның ішіндегі ең жоғары дәрежеге бөлуге болады. Оқу барысында біз де осындай жағдайға тап болдық екінші керемет шек. Бірақ бұл жерде жағдай басқаша. Егер жоғары қуаттардағы коэффициенттер болса бірдей, мысалы: , онда термин-мерзімге бөлудің айласы өтпес еді, ал екіншісін қолдану керек еді. тамаша шек. Бірақ бізде бұл коэффициенттер бар әртүрлі(5 және 6), сондықтан терминді терминге бөлуге болады (және қажет) (айтпақшы, керісінше - екінші тамаша шек әртүрліжоғары қуаттағы коэффициенттер енді жұмыс істемейді).
(5) Біз іс жүзінде терминдер бойынша бөлуді орындаймыз және біздің жағдайда қай терминдер нөлге тең келетінін көрсетеміз.
(6) Белгісіздік жойылды, ең қарапайым шек қалады: Неліктен шексіз үлкендәрежесі нөлге ұмтылады? Өйткені дәреженің негізі теңсіздікті қанағаттандырады . Егер кімде-кім лимиттің әділдігіне күмәнданса, мен жалқау болмаймын, мен калькуляторды аламын:
Егер болса, онда
Егер болса, онда
Егер болса, онда
Егер болса, онда
Егер болса, онда
… және т.б. шексіздікке дейін - яғни шекпен:
(7) Біз мұны көрсетеміз және қатар жинақталады деген қорытындыға келеміз.

10-мысал Қатарларды жинақтылық үшін қарастырыңыз

Бұл өз қолыңызбен жасалатын мысал.

Кейде шешім үшін арандатушы мысал ұсынылады, мысалы:. Мұнда көрсеткіште жоқ "en", тек тұрақты. Мұнда сіз алым мен бөлгішті квадраттауыңыз керек (көпмүшелер шығады), содан кейін мақаладағы алгоритмді орындаңыз Шәйнектер үшін қатарлар. Мұндай мысалда қатарлардың жинақтылығы үшін қажетті критерий немесе салыстыру үшін шекті критерий жұмыс істеуі керек.
ИНТЕГРАЛДЫ КОШИ ТЕСТІ

Бірінші курстың материалын нашар меңгергендердің көңілін қалдырамын. Коши интегралдық критерийін қолдану үшін туындыларды, интегралдарды азды-көпті сенімді түрде таба білу, сондай-ақ есептеу дағдысына ие болу керек. дұрыс емес интегралбірінші түрі. арналған оқулықтарда математикалық талдауКоши интегралдық критерийі математикалық қатаң түрде берілген, критерийді біршама қарабайыр, бірақ түсінікті түрде тұжырымдаймыз. Түсіндіру үшін бірден мысалдар.

Интегралдық Коши белгісі:Қарастырыңыз оң сандар қатары. Бұл қатар жақындайды немесе ажыратылады

11-мысал Қатарларды жинақтылық үшін қарастырыңыз

Классикалық дерлік. Табиғи логарифм және кейбір ақымақтық.

Коши интегралдық тестін қолданудың негізгі алғы шартықатардың ортақ мүшесі қандай да бір функцияны және оның туындысын қамтитын факт болып табылады. Тақырыптан ТуындыСіз ең қарапайым кестелік нәрсені есте сақтауыңыз мүмкін: , және бізде дәл осындай канондық жағдай бар.

Интегралдық белгі қалай қолданылады? Біріншіден, біз интегралды белгішені аламыз және жолдың «есептегішінен» жоғарғы және төменгі шектерді қайта жазамыз: . Содан кейін, интегралдың астына жолдың «толтыруын» «ол» әрпімен қайта жазамыз:. Бірдеңе жетіспейді ..., иә, алымға дифференциалды белгішені де қою керек: .

Енді біз есептеуіміз керек дұрыс емес интеграл. Бұл жағдайда екі жағдай болуы мүмкін:

1) Егер интеграл жинақталатыны шықса, онда біздің қатарлар да жинақталады.

2) Егер интеграл ажырайтыны шықса, онда біздің қатарларымыз да ажырайды.

Қайталап айтамын, егер материал жұмыс істеп тұрса, онда абзацты оқу қиын және түсініксіз болады, өйткені функцияны қолдану негізінен есептеуге дейін созылады. дұрыс емес интегралбірінші түрі.

Мысалдың толық шешімі мен дизайны келесідей болуы керек:

Біз интегралды функцияны қолданамыз:

Осылайша, зерттелетін сериялар алшақтайдысәйкес бұрыс интегралмен бірге.

12-мысал Қатарларды жинақтылық үшін қарастырыңыз

Сабақтың соңындағы шешім және дизайн үлгісі

Қарастырылған мысалдарда логарифм түбірдің астында болуы мүмкін, бұл шешім әдісін өзгертпейді.

Ал жеңіл тағамдарға тағы екі мысал

13-мысал Қатарларды жинақтылық үшін қарастырыңыз

Жалпы «параметрлерге» сәйкес қатардың ортақ термині шекті салыстыру критерийін қолдану үшін қолайлы сияқты. Бұл қатарды конвергентті қатармен мүмкіндігінше салыстыру үшін жақшаларды ашып, дереу үміткерге тапсыру керек. Дегенмен, мен аздап айлакер болдым, жақшалар ашылмауы мүмкін, бірақ бәрібір шекті салыстыру критерийі арқылы шешім өте қарапайым көрінеді.

Сондықтан интегралды Коши тестін қолданамыз:

Интегралүздіксіз

жинақталадысәйкес бұрыс интегралмен бірге.

! Ескерту:алынған нөмір -емес қатардың қосындысы!

14-мысал Қатарларды жинақтылық үшін қарастырыңыз

Шешім және дизайн үлгісі аяқталатын бөлімнің соңында.

Сандық қатарлар тақырыбын түпкілікті және қайтымсыз меңгеру мақсатында тақырыптарға барыңыз.

Шешімдер мен жауаптар:

3-мысал:Біз d'Alembert тестін қолданамыз:

Осылайша, зерттелетін сериялар алшақтайды.
Ескертпе: «Турбо» шешім әдісін де қолдануға болады: қатынасты бірден қарындашпен дөңгелетіп, оның бірлікке бейім екенін көрсетіңіз және «бірдей өсу ретімен» деп белгілеңіз.

5-мысал: д'Аламбер тестін қолдану: Осылайша, зерттелетін қатар жинақталады.

8-мысал:

Осылайша, зерттелетін сериялар жинақталады.

10-мысал:
Біз радикалды Коши критерийін қолданамыз.

Осылайша, зерттелетін сериялар алшақтайды.
Ескерту: Міне, дәреженің негізі, сондықтан

12-мысал: Біз интегралдық таңбаны қолданамыз.

Ақырғы сан алынады, бұл зерттелетін қатарды білдіреді жинақталады

14-мысал: Біз интегралдық таңбаны қолданамыз
интеграл үзіліссіз.

Осылайша, зерттелетін сериялар алшақтайдысәйкес бұрыс интегралмен бірге.
Ескертпе: серияны пайдалану арқылы да зерттеуге боладыШекті салыстыру критерийі . Ол үшін түбір астындағы жақшаларды ашып, зерттелетін қатарды дивергентті қатармен салыстыру керек.

Ауыспалы қатарлар. Лейбниц белгісі. Шешу мысалдары

Мысалдарды түсіну үшін осы сабақоң сандық қатарларды жақсы білу қажет: қатардың не екенін түсіну, қатардың жинақтылығының қажетті белгісін білу, салыстыру белгілерін, д'Аламбер белгісін, Коши таңбаларын қолдана білу. Мақалаларды дәйекті түрде зерделеу арқылы тақырыпты нөлден дерлік көтеруге болады Шәйнектер үшін қатарларЖәне Д'Аламбер белгісі. Коши белгілері. Логикалық тұрғыдан, бұл сабақ қатарынан үшінші және ол ауыспалы жолдарды түсінуге ғана емес, сонымен бірге өткен материалды біріктіруге мүмкіндік береді! Жаңалық аз болады, ал ауыспалы қатарларды меңгеру қиын болмайды. Барлығы қарапайым және қолжетімді.

Ауыспалы қатар дегеніміз не?Бұл атаудан анық немесе анық. Бірден қарапайым мысал. Серияны қарастырып, оны толығырақ жазыңыз:

Енді өлтіруші туралы түсініктеме. Ауыспалы қатардың мүшелері ауыспалы таңбалар: плюс, минус, плюс, минус, плюс, минус, т.б. шексіздікке.
Араластыру көбейткішті қамтамасыз етеді: егер жұп болса, онда қосу таңбасы, тақ болса, минус таңбасы болады. Математикалық жаргонда бұл қарама-қайшылықты жарқыл деп атайды. Осылайша, ауыспалы қатар «en» дәрежесіне минус бір арқылы «анықталады».

Практикалық мысалдарда қатар мүшелерінің кезектесуі тек факторды ғана емес, сонымен қатар оның інілерін де қамтамасыз ете алады: , , , …. Мысалы:

Қиындық – «трюктар»:,, т.б. осындай көбейткіштер белгіні өзгертуді қамтамасыз етпеңіз. Кез келген табиғи : , , . Төменгі қатарлар ерекше дарынды оқушыларға ғана емес, шешу барысында кейде «өздігінен» пайда болады. функционалдық қатарлар.

Конвергенция үшін ауыспалы қатарды қалай тексеруге болады?Лейбниц белгісін қолданыңыз. Неміс ойының алыбы Готфрид Вильгельм Лейбниц туралы айтқым келмейді, өйткені ол математикалық жұмыстардан басқа философияның бірнеше томын шығарды. Миға қауіпті.

Лейбниц белгісі: ауыспалы қатардың мүшелері болса монотондымодульді азайтады, содан кейін қатар жинақталады. Немесе екі абзацта:

2) Қатар мүшелерінің кему модулі: . Оның үстіне олар монотонды түрде азаяды.

Орындалса екеуі дешарттар, содан кейін қатар жинақталады.

Қысқаша ақпаратмодуль туралы нұсқаулықта берілгенЫстық формулалар мектеп курсыматематика , бірақ қайтадан ыңғайлы болу үшін:

«Модуль» нені білдіреді? Модуль, мектептен есте қалғандай, минус белгісін «жейді». Сериалға қайта оралайық. Барлық белгілерді өшіргішпен ойша өшіріңіз және сандарды қараңыз. Біз мұны көреміз әрқайсысы келесіқатар мүшесі Аздауалдыңғыға қарағанда. Сонымен, келесі тіркестер бірдей мағынаны білдіреді:

– Серияның мүшелері белгісі жоқтөмендеуі.
– Сериал мүшелері азайып барады модуль.
– Сериал мүшелері азайып барады абсолютті мәнде.
– Модульқатардың ортақ мүшесі нөлге ұмтылады: Көмектің соңы

Енді монотондылық туралы аздап сөйлесейік. Монотондылық - жалықтыратын тұрақтылық.

Қатар мүшелері қатаң монотондысерияның ƏР КЕЛЕСІ мүшесі болса, модульді азайтыңыз модульАлдыңғыға қарағанда АЗ: . Серия үшін төмендеудің қатаң монотондылығы орындалады, оны егжей-тегжейлі жазуға болады:

Біз қысқаша айта аламыз: серияның әрбір келесі мүшесі модульалдыңғысынан аз: .

Қатар мүшелері қатаң монотонды емесмодульдің төмендеуі, егер қатар модулінің ӘР КЕЛЕСІ мүшесі алдыңғысынан КӨП БОЛМАСА: . Факториалы бар қатарды қарастырайық: Мұнда қатаң емес монотондылық орын алады, өйткені қатардың алғашқы екі мүшесінің модулі бірдей. Яғни, серияның әрбір келесі мүшесі модульалдыңғысынан артық емес: .

Лейбниц теоремасының жағдайында кемудің монотондылығы қанағаттандырылуы керек (қатаң немесе қатаң емес екені маңызды емес). Бұл жағдайда серияның мүшелері жасай алады тіпті біраз уақытқа модульді арттырыңыз, бірақ қатардың «құйрығы» міндетті түрде монотонды түрде азаюы керек. Мен жинаған нәрседен қорқудың қажеті жоқ, практикалық мысалдар бәрін өз орнына қояды:

1-мысалҚатарларды жинақтылық үшін қарастырыңыз

Серияның ортақ термині факторды қамтиды, бұл Лейбниц сынамасын қолдану керек екенін білдіреді

1) Жолды кезектесу үшін тексеру. Әдетте, шешімнің осы тұсында қатарлар жан-жақты сипатталып, «Қатар белгі бойынша ауысады» деген үкім шығарылады.

2) Қатар мүшелері модульді азайта ма? Көбінесе өте қарапайым болатын шектеуді шешу қажет.

– қатардың мүшелері модульді азайтпайды. Айтпақшы, төмендеудің монотондылығы туралы пайымдаудың қажеті жоқ. Қорытынды: қатар алшақтайды.

Ненің тең екенін қалай анықтауға болады? Өте оңай. Өздеріңіз білетіндей, модуль минустарды жояды, сондықтан толықтыру үшін шатырдан жыпылықтайтын маякты алып тастау керек. Бұл жағдайда қатардың ортақ мүшесі болып табылады. «Жылқындатқышты» ақымақтықпен алып тастаңыз:.

2-мысал Қатарларды жинақтылық үшін қарастырыңыз

Біз Лейбниц белгісін қолданамыз:

1) Қатар таңбамен ауысады.

2) – қатардың мүшелері абсолютті мәнінің төмендеуі. Қатардың әрбір келесі мүшесінің модулі алдыңғыға қарағанда аз: осылайша, азаю монотонды.

Қорытынды: қатар жинақталады.

Барлығы өте қарапайым болар еді - бірақ бұл шешімнің соңы емес!

Егер қатарлар Лейбниц сынағы бойынша жинақталса, онда қатарлар да болады деп аталады шартты түрде жинақталады.

Егер модульдерден құралған қатар да жинақталса: , онда қатар деп айтамыз абсолютті біріктіреді.

Сондықтан типтік тапсырманы шешудің екінші кезеңі – абсолютті жинақтылық үшін ауыспалы қатарды зерттеу күн тәртібінде тұр.

Мен кінәлі емеспін - сандар қатарының мұндай теориясы =)

Біз серияларды абсолютті жинақтылық үшін қарастырамыз.
Модульдер тізбегін құрастырайық – тағы да белгілердің кезектесуін қамтамасыз ететін факторды алып тастаймыз: - диверсиялық (гармоникалық қатар).

Сонымен, біздің сериямыз абсолютті конвергентті емес.
Оқу сериясы шартты түрде ғана жинақталады.

No 1 мысалда абсолюттік емес жинақтылықты зерттеудің қажеті жоқ екенін ескеріңіз, өйткені бірінші қадамда қатар алшақтайды деген қорытынды жасалды.

Біз шелектерді, күректерді, машиналарды жинап, экскаваторымның кабинасынан әлемге үлкен көзбен қарау үшін құмсалғыштан шығамыз:

3-мысал Жинақтау қатарын зерттеңіз Біз Лейбниц тестін қолданамыз:

1)
Бұл қатар таңбамен ауысады.

2) – қатардың мүшелері абсолютті мәнінің төмендеуі. Қатардың әрбір келесі мүшесінің модулі алдыңғыға қарағанда аз: , бұл кему біркелкі екенін білдіреді. Қорытынды: қатар жинақталады.

Қатарлардың толтырылуын талдай отырып, біз бұл жерде салыстырудың шектік белгісін қолдану қажет деген қорытындыға келеміз. Бөлгіштегі жақшаларды ашу ыңғайлырақ:

Осы қатарды жинақты қатармен салыстырыңыз. Салыстырудың шекті тестін қолданамыз.

Нөлден басқа шекті сан алынады, бұл қатар қатармен бірге жинақталатынын білдіреді. Оқу сериясы абсолютті біріктіреді.

4-мысал Қатарларды жинақтылық үшін қарастырыңыз

5-мысал Қатарларды жинақтылық үшін қарастырыңыз

Бұл өз-өзіне көмектесу мысалдары. Бөлімнің соңында толық шешім және үлгі дизайн.

Көріп отырғаныңыздай, ауыспалы жолдар қарапайым және қызықсыз! Бірақ бетті жабуға асықпаңыз, бірнеше экранда біз көпшілікті таң қалдыратын істі қарастырамыз. Бұл арада жаттығу және қайталау үшін бірнеше мысал.

6-мысал Қатарларды жинақтылық үшін қарастырыңыз

Біз Лейбниц сынамасын қолданамыз.
1) Қатар таңбамен ауысады.
2)
Қатар шарттары модульді азайтады. Қатардың әрбір келесі мүшесінің модулі алдыңғыға қарағанда аз, бұл төмендеудің біркелкі екенін білдіреді. Қорытынды: қатар жинақталады.

Мен серия мүшелерін егжей-тегжейлі сипаттамағанымды ескеріңіз. Оларды бояу әрқашан құптарлық, бірақ «ауыр» жағдайларда еңсерілмейтін жалқаулықтан «Қатар белгі бойынша ауысады» деген сөзбен шектелуге болады. Айтпақшы, бұл мәселені ресми түрде қабылдаудың қажеті жоқ, әрқашан тексеріңіз(кем дегенде ойша) сериал шынымен де ауысады. Үстімен қарау сәтсіз аяқталады және «машинада» қате жіберіледі. «Айлалар» туралы есте сақтаңыз , , , егер олар бар болса, онда сіз оң терминдері бар «қалыпты» қатарды алу арқылы олардан құтылуыңыз керек.

Екінші нәзіктік монотондылық туралы сөйлемге қатысты, мен оны мүмкіндігінше азайттым. Сіз мұны істей аласыз және әрқашан дерлік сіздің тапсырмаңыз есептеледі. Мен өте жаман нәрсені айтайын - жеке өзім жиі монотондылық туралы үндемеймін және мұндай сан өтеді. Бірақ теңсіздіктердің егжей-тегжейлі тізбектеріне дейін бәрін егжей-тегжейлі бояуға дайын болыңыз (сабақтың басындағы мысалды қараңыз). Сонымен қатар, кейде монотондылық қатал емес, сондықтан «аз» сөзін «артық емес» сөзімен ауыстыру үшін оны бақылау қажет.

Абсолютті жинақтылық үшін қатарларды қарастырамыз:

Әрине, сізге радикалды Коши тестін қолдану керек:

Осылайша қатар жинақталады. Оқу сериясы абсолютті біріктіреді.

7-мысалҚатарларды жинақтылық үшін қарастырыңыз

Бұл тәуелсіз шешімнің мысалы.Көбінесе қиындықтар тудыратын ауыспалы қатарлар бар.

8-мысалҚатарларды жинақтылық үшін қарастырыңыз

Біз Лейбниц белгісін қолданамыз:
1) Қатар таңбамен ауысады.

Өйткені, мұндай шектеулерді шешудің стандартты күнделікті амалдары жоқ. Бұл шектеу қайда барады? Нөлге, шексіздікке? Бұл жерде НЕнің шексіздікте жылдам өсетіні маңызды- алым немесе бөлгіш.

ЕСКЕРТПЕ: функцияның өсу реті түсінігі мақалада егжей-тегжейлі қарастырылғанШектеулерді шешу әдістері . Бізде бар реттілік шектеулері, бірақ бұл мәселені өзгертпейді.

Егер алым факториалға қарағанда жылдам өссе, онда . Егер шексіздікте факториал алымға қарағанда жылдам өссе, онда, керісінше, ол шекті нөлге «тартады»: . Немесе бұл шектеу нөлдік емес санға тең болуы мүмкін бе?

Серияның алғашқы бірнеше шарттарын жазуға тырысайық:
сіз мыңыншы дәрежелі көпмүшені алмастыра аласыз, бұл жағдайды өзгертпейді - ерте ме, кеш пе факториал әлі де осындай қорқынышты көпмүшені «басып алады». Факторлық Көбірек жоғары тәртіпөсукез келген қуат реттілігіне қарағанда.

– Факториал жылдамырақ өседі кез келген мөлшердегі өнімэкспоненциалды және дәрежелік тізбектер (біздің жағдайымыз).

– Кез келгенэкспоненциалды реттілік кез келген қуат тізбегінен жылдам өседі, мысалы: , . экспоненциалды реттілік өсудің жоғары тәртібікез келген қуат реттілігіне қарағанда. Факториалға ұқсас, экспоненциалды реттілік кез келген дәрежелік тізбектердің немесе көпмүшелердің кез келген санының көбейтіндісін «тартады»: .

– Факториалдан «салқын» нәрсе бар ма? Жеңдер! Экспоненциалды реттілік («en» «en» дәрежесіне) факториалға қарағанда жылдамырақ өседі. Іс жүзінде бұл сирек кездеседі, бірақ ақпарат артық болмайды. Көмектің соңы

Сонымен, зерттеудің екінші нүктесін (бұл әлі есіңізде ме? =)) келесідей жазуға болады:
2) қарағанда өсу реті жоғары болғандықтан.
Қатар шарттары модульді азайтады, кейбір саннан басталады, сонымен қатар қатардың әрбір келесі мүшесі алдыңғыға қарағанда абсолютті мәнде аз болады, осылайша кему монотонды болады.

Қорытынды: қатар жинақталады.

Міне, серияның шарттары абсолютті мәнге бірінші рет өсетін қызықты жағдай, сондықтан бізде шектеу туралы қате бастапқы пікір бар. Бірақ, кейбір «en» санынан бастап, факториалды алым басып озады, ал қатардың «құйрығы» монотонды түрде кемиді, бұл Лейбниц теоремасының шарттарын орындау үшін принципті маңызды. Бұл «en» неге тең екенін анықтау өте қиын.

Сәйкес теорема бойынша қатардың абсолютті жинақтылығы қатардың шартты жинақтылығын білдіреді. Қорытынды: Оқу сериясы абсолютті біріктіреді.

Соңында, тәуелсіз шешім қабылдауға бірнеше мысал. Бірдей операның бірі (анықтаманы қайта оқыңыз), бірақ қарапайым. Гурмандарға арналған тағы бір нәрсе - конвергенцияның интегралды белгісін бекіту.

9-мысалҚатарларды жинақтылық үшін қарастырыңыз

10-мысалҚатарларды жинақтылық үшін қарастырыңыз

Сандық оң және ауыспалы қатарларды таза ар-ұжданмен сапалы түрде зерттегеннен кейін келесіге баруға болады функционалдық қатарлар, олар одан кем емес монотонды және біркелкі, қызықты.

Шешімдер мен жауаптар:

4-мысал: Біз Лейбниц белгісін қолданамыз:

1) Бұл серия кезектесіп отырады.
2)
Серияның шарттары модульді азайтпайды. Қорытынды: қатар алшақтайды.. , сонымен қатар қатардың әрбір келесі мүшесі алдыңғыға қарағанда абсолютті мәнде аз болады, осылайша кему монотонды болады.

Осылайша, қатар сәйкес бұрыс интегралмен бірге ажырайды. Оқу сериясы шартты түрде ғана жинақталады.

д'Аламбердің жинақтылық критерийі Кошидің түбегейлі жинақтылық критерийі Кошидің интегралдық жинақтылық критерийі

Практикалық мысалдарда кездесетін жалпы салыстыру белгілерінің бірі - д'Аламбер белгісі. Коши белгілері сирек кездеседі, бірақ сонымен бірге өте танымал. Әдеттегідей, мен материалды қарапайым, қолжетімді және түсінікті етіп беруге тырысамын. Тақырып ең қиын емес және барлық тапсырмалар белгілі бір дәрежеде стереотиптік.

Жан Лерон д'Аламбер - 18 ғасырдағы әйгілі француз математигі. Жалпы, д'Аламбер дифференциалдық теңдеулерге маманданған және өз зерттеулерінің негізінде ұлы мәртебелі зеңбіректер жақсы ұшатындай баллистикамен айналысқан. Сонымен қатар, мен сандық қатарды ұмытпадым, Наполеон әскерлерінің қатарлары соншалықты анық жақындап, алшақтатыны бекер емес.

Д'Аламбер белгісін қолданудың негізгі алғышарттары мыналар:

2) қатардың ортақ мүшесі факториалды қамтиды. Факториалдармен сабақта қылыштарды кесіп өттік Сандар тізбегі және оның шегі. Дегенмен, өздігінен құрастырылатын дастарханды қайтадан жаю зиян тигізбейді:

…

…

Сонымен қатар қатардың жалпы мүшесінде дәрежесі де, факториалы да бір уақытта болуы мүмкін; екі факторлық, екі дәреже болуы мүмкін, оның болуы маңызды кем дегенде кейбіреулеріқарастырылған нүктелер - және бұл д'Аламбер белгісін пайдаланудың алғышарты ғана.

Д'Аламбер белгісі: қарастырайық оң сандар қатары. Келесі мүшенің алдыңғыға қатынасының шегі болса: , онда:
а) қатарда жинақталады. Атап айтқанда, қатарлар үшін жинақталады.
б) қатарда алшақтайды. Атап айтқанда, қатарлар -де алшақтайды.
в) Қашан белгі жауап бермейді. Басқа белгіні пайдалану керек. Көбінесе бірлік шекті салыстыру сынамасын қолдану қажет болған жағдайда д'Аламбер тестін қолдануға тырысқанда алынады.

Егер сізде әлі де шектеулер немесе шектеулерді түсінбеу мәселесі болса, сабақты қараңыз Шектеулер. Шешу мысалдары. Шекті түсінбей және белгісіздікті одан әрі ашу мүмкіндігінсіз, өкінішке орай, алға жылжу мүмкін емес.

Ал енді көптен күткен мысалдар.

1-мысал

Біз серияның жалпы терминінде бізде бар екенін көреміз және бұл д'Аламбер тестін қолдануымыз керек деген дұрыс алғышарт. Біріншіден, толық шешім және дизайн үлгісі, төменде түсініктемелер.

Біз d'Alembert тестін қолданамыз:

жинақталады.

2-мысал

Ұқсас қатарды алып, конвергенцияны тексеріңіз

Алдымен толық шешім, содан кейін түсініктемелер:

Біз d'Alembert тестін қолданамыз:

Осылайша, зерттелетін сериялар жинақталады.

Шындығында, мұндай «бұзушылық» №1 мысалда жасалуы мүмкін еді, бірақ 2-ші дәрежелі көпмүше үшін мұндай шешім әлі күнге дейін қандай да бір түрде жарамсыз болып көрінеді. Жеке мен мұны істеймін: бірінші немесе екінші дәрежелі көпмүшелік (немесе көпмүшелер) болса, 1-мысалды шешудің «ұзын» әдісін қолданамын. Егер 3-ші немесе одан жоғары дәрежелі көпмүшелік кездессе, мен «турбо» қолданамын. 2-мысалға ұқсас әдіс.

3-мысал

Қатарларды жинақтылық үшін қарастырыңыз

Сан тізбегі бойынша сабақтың соңында толық шешім және дизайн үлгісі.
(4) Қысқартуға болатын барлық нәрсені азайтыңыз.
(5) Тұрақтыны шек таңбасынан тыс жылжытамыз. Алымдағы жақшаларды ашыңыз.
(6) Белгісіздік стандартты жолмен жойылады - алым мен бөлгішті «en»-ге ең жоғары дәрежеге бөлу арқылы.

5-мысал

Қатарларды жинақтылық үшін қарастырыңыз

Сабақ соңында толық шешім және дизайн үлгісі

6-мысал

Қатарларды жинақтылық үшін қарастырыңыз

Мысал шешімі келесідей болуы мүмкін:

Біз d'Alembert тестін қолданамыз:

Осылайша, зерттелетін сериялар жинақталады.

Осы тақырыппен жұмысты бастамас бұрын мен сандар қатарының терминологиясы бар бөлімді қарауға кеңес беремін. Әсіресе қатардың жалпы термині ұғымына назар аударған жөн. Егер жинақтылық белгісін дұрыс таңдауға күмәніңіз болса, «Сан қатарларының жинақтылық белгісін таңдау» тақырыбын қарауға кеңес беремін.

Д'Аламбер сынағы (немесе д'Аламберт сынағы) ортақ мүшесі нөлден қатаң үлкен, яғни $u_n > 0$ болатын қатарлардың жинақтылығын зерттеу үшін қолданылады.Мұндай қатарлар деп аталады. қатаң позитивті. Стандартты мысалдарда D белгісі «Аламберт шектеуші формада қолданылады.

D белгісі «Аламбер (шектеу түрінде)

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ қатары қатаң оң болса және $$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=L , $ $ содан кейін $L үшін<1$ ряд сходится, а при $L>1$ (және $L=\infty$ үшін) қатар алшақтайды.

Тұжырымдама өте қарапайым, бірақ келесі сұрақ ашық күйінде қалады: $L=1$ болса не болады? D белгісі «Аламберт бұл сұраққа жауап бере алмайды. Егер $L \u003d 1 $ болса, онда қатар жинақталуы да, алшақтығы да мүмкін.

Көбінесе стандартты мысалдарда D «Аламберт белгісі егер қатардың ортақ мүшесінің өрнегі $n$ көпмүшені (көпмүше түбір астында да болуы мүмкін) және $a түрінің дәрежесі болса, қолданылады. ^n$ немесе $n!$. Мысалы, $u_n= \frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ (№1 мысалды қараңыз) немесе $u_n=\frac( \sqrt(4n+5))((3n-2)$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ - это своеобразная "визитная карточка" признака Д"Аламбера.!}

«n!» өрнегі нені білдіреді? көрсету/жасыру

Жазылуда "n!" («en факториалды» оқыңыз) барлығының көбейтіндісін білдіреді натурал сандар 1-ден n-ге дейін, яғни.

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n $$

Анықтама бойынша $0!=1!=1$ деп есептеледі. Мысалы, 5-ті табайық!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

Сонымен қатар, D "Аламберт сынағы жиі ортақ мүшесі келесі құрылымның туындысын қамтитын қатардың жинақтылығын анықтау үшін қолданылады: $u_n=\frac(3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n) +1))(2\ cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1))$.

№1 мысал

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$ қатарын жинақтау үшін қарастырыңыз.

Төменгі жиынтық шегі 1-ге тең болғандықтан, қатардың ортақ мүшесі қосынды белгісінің астында жазылады: $u_n=\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$. $n≥ 1$ үшін бізде $3n+7 > 0$, $5^n>0$ және $2n^3-1 > 0$, содан кейін $u_n > 0$ болады. Сондықтан, біздің сериялар қатаң позитивті.

$$ 5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac((3n+10)\сол(2n^3-1\оң))(\сол(2(n+1)^3-1\оң). )(3n+7))=\сол|\frac(\infty)(\infty)\оң|= 5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\frac((3n+10)\сол) (2n^3-1\оң жақ))(n^4))(\frac(\left(2(n+1)^3-1\оң)(3n+7))(n^4))= 5 \cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n+10)(n)\cdot\frac(2n^3-1)(n^3))(\frac(\left(2() n+1)^3-1\оң жақ))(n^3)\cdot\frac(3n+7)(n))=\\ =5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\ left(\frac(3n)(n)+\frac(10)(n)\right)\cdot\left(\frac(2n^3)(n^3)-\frac(1)(n^3) \right))(\left(2\left(\frac(n)(n)+\frac(1)(n)\right)^3-\frac(1)(n^3)\оң)\cdot \left(\frac(3n)(n)+\frac(7)(n)\оң))=5\cdot\lim_(n\to\infty)\frac(\left(3+\frac(10)) (n)\оң)\cdot\left(2-\frac(1)(n^3)\оң))(\сол(2\сол(1+\frac(1)(n)\оң)^3 -\frac(1)(n^3)\оң)\cdot\left(3+\frac(7)(n)\оң))=5\cdot\frac(3\cdot 2)(2\cdot 3 )=5. $$

$\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=5>1$ болғандықтан, берілген қатарға сәйкес алшақтайды.

Шынымды айтсам, D белгісі «Аламберт бұл жағдайда жалғыз нұсқа емес. Сіз, мысалы, радикалды Коши белгісін пайдалана аласыз. Дегенмен, радикалды Коши белгісін пайдалану қосымша формулаларды білуді (немесе дәлелдеуді) қажет етеді. Сондықтан бұл жағдайда D» Аламбер белгісін қолдану ыңғайлырақ.

Жауап: қатар алшақтайды.

№2 мысал

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2) қатарын зерттеңіз$ на сходимость.!}

Төменгі жиынтық шегі 1 болғандықтан, қатардың ортақ мүшесі қосынды белгісімен жазылады: $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.!}

Қатардың ортақ мүшесі түбір астында көпмүшені қамтиды, яғни. $\sqrt(4n+5)$ және факторлық $(3n-2)!$. Стандартты мысалда факториалдың болуы D «Аламбер белгісін қолданудың жүз пайыз дерлік кепілі болып табылады.

Бұл мүмкіндікті қолдану үшін $\frac(u_(n+1))(u_n)$ қатынасының шегін табуымыз керек. $u_(n+1)$ жазу үшін $u_n=\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2) формуласын қолдану керек.$ вместо $n$ подставить $n+1$:!}

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4(n+1)+5))((3(n+1)-2)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}. $$ !}

$(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$ болғандықтан, $u_(n+1)$ формуласын басқаша жазуға болады. :

$$ u_(n+1)=\frac(\sqrt(4n+9))((3n+1)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}. $$ !}

Бұл жазба шектің астындағы бөлшекті азайту керек болған кезде әрі қарай шешу үшін ыңғайлы. Факторийлермен теңдік түсіндіруді қажет етсе, төмендегі ескертпені кеңейтіңіз.

$(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$ қалай алдық? көрсету/жасыру

$(3n+1)!$ белгісі 1-ден $3n+1$-ға дейінгі барлық натурал сандардың көбейтіндісін білдіреді. Анау. бұл өрнекті былай жазуға болады:

$$ (3n+1)!=1\cdot 2\cdot\ldots\cdot(3n+1). $$

$3n+1$ санының алдында бірден бір сан кем, яғни. саны $3n+1-1=3n$. Ал $3n$ санының алдында $3n-1$ саны тұрады. $3n-1$ санының алдында бізде $3n-1-1=3n-2$ саны бар. $(3n+1) формуласын қайта жазайық!$:

$$ (3n+1)!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)\cdot(3n-1)\cdot 3n\cdot (3n+1) $$

$1\cdot2\cdot\ldots\cdot(3n-2)$ көбейтіндісі қандай? Бұл өнім $(3n-2)!$-ға тең. Сондықтан $(3n+1)!$ өрнегін мына пішінде қайта жазуға болады:

$$(3n+1)!=(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)$$

Бұл жазба шектің астындағы бөлшекті азайту керек болған кезде әрі қарай шешу үшін ыңғайлы.

$\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)$ мәнін есептеңіз:

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(\sqrt(4n+9))(( 3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)))(\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)}= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{(3n-2)!}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}=1\cdot 0=0. $$ !}

$\lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_n)=0 болғандықтан<1$, то согласно

Д'Аламбер тестін қолданудың негізгі алғышарттары мыналар:

1) қатардың ортақ мүшесі («қатар толтырылуы») дәрежедегі кейбір санды қамтиды, мысалы, , т.б. Оның үстіне, бұл функциялардың қай жерде, алымда немесе бөлгіште орналасқаны мүлдем маңызды емес - олардың сол жерде болуы маңызды.

2) қатардың ортақ мүшесі факториалды қамтиды. Факторлық дегеніміз не?

…

…

3) қатардың ортақ мүшесінде «факторлар тізбегі» болса, мысалы, . Бұл жағдай сирек кездеседі.

Шекті түсінбей және белгісіздікті одан әрі ашу мүмкіндігінсіз, өкінішке орай, алға жылжу мүмкін емес.

Мысалы:
Шешімі:Біз серияның жалпы терминінде бізде бар екенін көреміз және бұл д'Аламбер тестін қолдануымыз керек деген дұрыс алғышарт.

Біз d'Alembert тестін қолданамыз:

жинақталады.

Кошидің радикалды белгісі.

Оң сандық қатарлар үшін Коши конвергенция сынағы жаңа қарастырылған д'Аламбер сынағына біршама ұқсас.

! Бір қызығы, егер Коши сынағы қатарлардың жинақтылығы туралы сұраққа жауап бермесе, д'Аламбер сынағы да жауап бермейді. Бірақ егер д'Аламбер белгісі жауап бермесе, онда Коши белгісі жақсы «жұмыс істеуі» мүмкін. Яғни, Коши белгісі осы мағынада күштірек белгі.

!!! Коши радикал белгісін қашан қолдану керек?Радикалды Коши сынағы әдетте қатардың жалпы термині болған жағдайларда қолданылады ТОЛЫҚдәрежеде «en»-ге тәуелді. Немесе қатардың жалпы мүшесінен «жақсы» түбірі алынғанда. Экзотикалық жағдайлар әлі де бар, бірақ біз олармен басымызды ұрмаймыз.

Мысалы:Қатарларды жинақтылық үшін қарастырыңыз

Шешімі:Біз серияның жалпы термині -ге байланысты толығымен дәрежеде екенін көреміз, яғни радикалды Коши тестін қолдану керек:

Осылайша, зерттелетін сериялар алшақтайды.

Интегралдық Коши сынағы.

Коши интегралдық критерийін қолдану үшін туындыларды, интегралдарды азды-көпті сенімді түрде таба білу, сондай-ақ есептеу дағдысына ие болу керек. дұрыс емес интегралбірінші түрі.

Мен өз сөзіммен тұжырымдаймын (түсінікті болу үшін).

Интегралдық Коши белгісі:Қарастырыңыз оң сандар қатары. Бұл қатар сәйкес дұрыс емес интегралмен бірге жинақталады немесе ажыратылады.

! !! Коши интегралдық тестін қолданудың негізгі алғы шартықатардың ортақ мүшесі қандай да бір функцияны және оның туындысын қамтитын факт болып табылады.

Мысалы:Қатарларды жинақтылық үшін қарастырыңыз

Шешімі:Тақырыптан ТуындыСіз ең қарапайым кестелік нәрсені есте сақтауыңыз мүмкін: , және бізде дәл осындай канондық жағдай бар.

Интегралдық белгі қалай қолданылады? Біріншіден, біз интегралды белгішені аламыз және жолдың «есептегішінен» жоғарғы және төменгі шектерді қайта жазамыз: . Содан кейін, интегралдың астына біз «x» әрпімен қатар «толтыруын» қайта жазамыз:.

Енді дұрыс емес интегралды есептеу керек. Бұл жағдайда екі жағдай болуы мүмкін:

1) Егер интеграл жинақталатыны шықса, онда біздің қатарлар да жинақталады.

2) Егер интеграл ажырайтыны шықса, онда біздің қатарларымыз да ажырайды.

Біз интегралды функцияны қолданамыз:

Интеграл үзіліссіз

Осылайша, зерттелетін сериялар алшақтайдысәйкес бұрыс интегралмен бірге.

Мысалы:Қатардың жинақтылығын зерттеңіз

Шешімі:Ең алдымен біз тексереміз қатардың жинақтылығының қажетті критерийі. Бұл формальдылық емес, «аз қантөгіс» мысалымен күресудің тамаша мүмкіндігі.

Сандық реттілікжоғарырақ өсу ретіқарағанда, сондықтан , яғни жинақтылықтың қажетті критерийі орындалады және қатар жинақтауға да, ажырауға да болады.

Осылайша, кейбір белгілерді пайдалану керек. Бірақ не? Салыстырудың шектік белгісісәйкес келмейтіні анық, өйткені логарифм қатардың жалпы мүшесіне енгізілген, д'Аламбер мен Коши белгілеріда нәтижеге әкелмейді. Егер бізде болса, онда, ең болмағанда, оны жеңуге болатын еді интегралдық қасиеті.

«Оқиғаны тексеру» дивергентті қатарды (жалпыланған гармоникалық қатардың жағдайы) ұсынады, бірақ қайтадан сұрақ туындайды, алымдағы логарифмді қалай ескеру керек?

Көбінесе есепке алынбайтын және алыс сөреде шаң жинайтын теңсіздіктерге негізделген салыстырудың ең бірінші белгісі қалады. Толығырақ серия жазайық:

Мен сізге еске саламын - шексіз өсу сандық реттілік:

Ал саннан бастап теңсіздік орындалады:

яғни сериалдың мүшелері болады Көбіректиісті мүшелер дивергентті қатар .

Нәтижесінде, сериалға да бөлектенуден басқа ештеңе қалмады.

Сандық қатардың жинақтылығы немесе дивергенциясы оның «шексіз құйрығына» (қалдығына) байланысты. Біздің жағдайда, теңсіздіктің алғашқы екі сан үшін дұрыс емес екенін ескермеуге болады - бұл қорытындыға әсер етпейді.

Мысалдың таза дизайны келесідей болуы керек:

Осы қатарды дивергентті қатармен салыстырыңыз.
-ден басталатын барлық сандар үшін теңсіздік орындалады, сондықтан салыстыру арқылы зерттелетін қатарлар алшақтайды.

Ауыспалы қатарлар. Лейбниц белгісі. Шешу мысалдары.

Ауыспалы қатар дегеніміз не?Бұл атаудан анық немесе анық. Ең қарапайым мысал.

Серияны қарастырып, оны толығырақ жазыңыз:

Ауыстыру көбейткішті қамтамасыз етеді: егер жұп болса, онда қосу таңбасы, тақ болса, минус таңбасы болады.

Қиындық – «трюктар»:,, т.б. осындай көбейткіштер белгіні өзгертуді қамтамасыз етпеңіз. Кез келген табиғи : , , .

Конвергенция үшін ауыспалы қатарды қалай тексеруге болады?Лейбниц белгісін қолданыңыз.

Лейбниц белгісі: Ауыспалы қатарда екі шарт орындалса: 1) қатардың мүшелері абсолютті шамада монотонды түрде кемиді. 2) ортақ мүшенің шегі абсолютті мәнде нөлге тең болса, онда қатар жинақталады, ал осы қатардың қосындысының модулі бірінші мүшенің модулінен аспайды.

Модуль туралы қысқаша мәлімет:

«Модуль» нені білдіреді? Модуль, мектептен есте қалғандай, минус белгісін «жейді». Сериалға қайта оралайық . Барлық белгілерді өшіргішпен ойша өшіріңіз және сандарды қараңыз. Біз мұны көреміз әрқайсысы келесіқатар мүшесі Аздауалдыңғыға қарағанда.

Енді аздап монотондылық туралы.

Қатар мүшелері қатаң монотондысерияның ƏР КЕЛЕСІ мүшесі болса, модульді азайтыңыз модульАлдыңғыға қарағанда АЗ: . Сан үшін төмендеудің қатаң монотондылығы орындалады, оны егжей-тегжейлі сипаттауға болады:

Біз қысқаша айта аламыз: серияның әрбір келесі мүшесі модульалдыңғысынан аз: .

Қатар мүшелері қатаң монотонды емесмодульдің төмендеуі, егер қатар модулінің ӘР КЕЛЕСІ мүшесі алдыңғысынан КӨП БОЛМАСА: . Факториалы бар қатарды қарастырыңыз: Мұнда қатаң емес монотондылық орын алады, өйткені қатардың алғашқы екі мүшесі абсолютті мәні бойынша бірдей. Яғни, серияның әрбір келесі мүшесі модульалдыңғысынан артық емес: .

Мысалы:Қатарларды жинақтылық үшін қарастырыңыз

Шешімі:Серияның ортақ термині факторды қамтиды, бұл Лейбниц сынамасын қолдану керек екенін білдіреді

1) Қатарларды монотонды кему үшін тексеру.

1<2<3<…, т.е. n+1>nбірінші шарт орындалмайды

2) – екінші шарт да орындалмайды.

Қорытынды: қатар алшақтайды.

Анықтамасы:Егер қатар Лейбниц критерийі бойынша жинақталса және модульдерден тұратын қатар да жинақталса, онда қатар деп айтамыз. абсолютті біріктіреді.

Егер қатар Лейбниц критерийі бойынша жинақталса, ал модульдерден құралған қатар алшақтайтын болса, онда қатар деп аталады. шартты түрде жинақталады.

Егер модульдерден тұратын қатар жинақталса, онда бұл қатар да жинақталады.

Сондықтан айнымалы жинақты қатар абсолютті немесе шартты жинақтылық үшін тексерілуі керек.

Мысалы:

Шешімі:Біз Лейбниц белгісін қолданамыз:

1) Қатардың әрбір келесі мүшесінің модулі алдыңғыға қарағанда аз: – бірінші шарт орындалады.

2) – екінші шарт да орындалды.

Қорытынды: қатар жинақталады.

Шартты немесе абсолютті жинақтылықты тексеріңіз.

Модульдер сериясын жасайық - қайтадан біз ауысуды қамтамасыз ететін көбейткішті алып тастаймыз:
- диверсиялық (гармоникалық қатар).

Сонымен, біздің сериямыз абсолютті конвергентті емес.
Оқу сериясы шартты түрде жинақталады.

Мысалы:Шартты немесе абсолютті жинақтылық үшін қатарды қарастырыңыз

Шешімі:Біз Лейбниц белгісін қолданамыз:
1) Қатардың алғашқы бірнеше шарттарын жазып көрейік:

…?!

Егер алым факториалға қарағанда жылдам өссе, онда . Егер шексіздікте факториал алымға қарағанда жылдам өссе, онда, керісінше, шекті нөлге дейін «тартады»: . Немесе бұл шектеу нөлдік емес санға тең болуы мүмкін бе? немесе . Оның орнына сіз мыңдық дәрежелі көпмүшені ауыстыра аласыз, бұл жағдайды өзгертпейді - ерте ме, кеш пе факториал әлі де осындай қорқынышты көпмүшені «басып алады». Факторлық өсудің жоғары тәртібі.

– қарағанда факториал жылдам өседі кез келген мөлшердегі өнімдәрежелік және дәрежелік тізбектер(біздің жағдай).

– Факториалдан «күшті» нәрсе бар ма? Жеңдер! Экспоненциалды реттілік («en» «en» дәрежесіне) факториалға қарағанда жылдамырақ өседі. Іс жүзінде бұл сирек кездеседі, бірақ ақпарат артық болмайды.

Көмектің соңы

Сонымен, зерттеудің екінші нүктесін келесідей жазуға болады:
2) қарағанда өсу реті жоғары болғандықтан.
Қатар шарттары модульді азайтады, кейбір саннан басталады, сонымен қатар қатардың әрбір келесі мүшесі алдыңғыға қарағанда абсолютті мәнде аз болады, осылайша кему монотонды болады.

Қорытынды: қатар жинақталады.

Міне, серияның шарттары абсолютті мәнге бірінші рет өсетін қызықты жағдай, сондықтан бізде шектеу туралы қате бастапқы пікір бар. Бірақ, кейбір «en» санынан бастап, факториал алымнан асып түседі, ал қатардың «құйрығы» монотонды түрде кемиді, бұл Лейбниц теоремасының шартын орындау үшін принципті маңызды. Бұл «en» деген не екенін білу өте қиын.

Қатарларды абсолютті немесе шартты жинақтылық үшін қарастырамыз:

Міне, д'Аламбер белгісі қазірдің өзінде жұмыс істейді:

Біз d'Alembert тестін қолданамыз:

Осылайша қатар жинақталады.

Оқу сериясы абсолютті біріктіреді.

Талданған мысалды басқа жолмен шешуге болады (біз ауыспалы қатардың жинақтылығы үшін жеткілікті критерийді қолданамыз).

Айнымалы қатардың жинақтылығының жеткілікті критерийі:Егер берілген қатардың мүшелерінің абсолютті мәндерінен құралған қатар жинақталса, онда берілген қатар да жинақталады.

Екінші жол:

Шартты немесе абсолютті жинақтылық үшін қатарды қарастырыңыз

Шешім : Абсолютті жинақтылық үшін қатарларды қарастырамыз:

Біз d'Alembert тестін қолданамыз:

Осылайша қатар жинақталады.
Айнымалы қатардың жинақтылығының жеткілікті критерийіне сүйене отырып, қатардың өзі жинақталады.

Қорытынды: Оқу сериясы абсолютті біріктіреді.

Берілген дәлдікпен қатардың қосындысын есептеукелесі теореманы қолданамыз:

Ауыспалы серия болсын Лейбниц сынағының шарттарын қанағаттандырады және let - оның n- ішінара сома. Содан кейін қатар жинақталады және оның қосындысын жуықтап есептеудегі қателік Сабсолютті мәнде бірінші жойылған мүшенің модулінен аспайды:

функционалдық қатарлар. Қуат қатары.
Қатарлардың жинақтылық аймағы.

Тақырыпты сәтті меңгеру үшін қарапайым сандық қатарларды жақсы білу керек.

Бұл мақалада қатардың қосындысын табудан бастап оның жинақтылығын тексеруге дейінгі сандар қатары тақырыбы бойынша кез келген дерлік мысалды шешуге қажетті ақпарат жиналды және құрылымдалған.

Мақалаға шолу.

Оң таңбалы, ауыспалы таңбалы қатардың анықтамаларынан және жинақтылық ұғымынан бастайық. Содан кейін гармоникалық қатар, жалпылама гармоникалық қатар сияқты стандартты қатарларды қарастырып, шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның қосындысын табу формуласын еске түсіріңіз. Осыдан кейін жинақты қатарлардың қасиеттеріне тоқталып, қатардың жинақтылығының қажетті шартына тоқталып, қатар жинақтылығының жеткілікті шарттарын айтамыз. Біз егжей-тегжейлі түсініктемелері бар типтік мысалдарды шешу арқылы теорияны сұйылтамыз.

Бетті шарлау.

Негізгі анықтамалар мен түсініктер.

Бізде сандық реттілік болсын, мұндағы .

Мұнда сандық тізбектің мысалы берілген: .

Сандық қатарпішіннің сандық тізбегі мүшелерінің қосындысы болып табылады .

Сан қатарының мысалы ретінде q = -0,5 бөлгіші бар шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның қосындысын беруге болады: .

деп аталады сандар қатарының ортақ мүшесінемесе қатардың k-мүшесі.

Алдыңғы мысал үшін сандар қатарының ортақ мүшесі болып табылады.

Сан қатарының жартылай қосындысы- түрінің қосындысы, мұндағы n - кейбір натурал сан. сандар қатарының n-ші толықтай қосындысы деп те атайды.

Мысалы, қатардың төртінші жартылай қосындысы Сонда бар .

Жартылай сомалар сандар қатарының ішінара қосындыларының шексіз тізбегін құрайды.

Біздің қатарымыз үшін n-ші бөлшек қосынды геометриялық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысының формуласы арқылы табылады. , яғни бізде ішінара сомалардың келесі тізбегі болады: .

Сан сызығы деп аталады жинақтау, ішінара қосындылар тізбегінің соңғы шегі болса. Егер сандық қатардың жартылай қосындыларының тізбегінің шегі болмаса немесе шексіз болса, онда қатар деп аталады. дивергентті.

Жинақталған сандар қатарының қосындысыоның жартылай қосындыларының реттілігінің шегі деп аталады, яғни .

Біздің мысалда, демек, қатар жинақталады және оның қосындысы үштен он алтыға тең: .

Дивергентті қатардың мысалы ретінде бөлгіші бірден үлкен геометриялық прогрессияның қосындысын келтіруге болады: . n-ші жартылай қосынды арқылы берілген , ал ішінара қосындылардың шегі шексіз: .

Дивергентті сандар қатарының тағы бір мысалы - пішіннің қосындысы . Бұл жағдайда n-ші жартылай қосындыны ретінде есептеуге болады. Жартылай соманың шегі шексіз .

Жиынтық көрінісі шақырды гармоникалық сандар қатары.

Жиынтық көрінісі , мұндағы s - қандай да бір нақты сан, деп аталады жалпыланған гармоникалық сандар қатары.

Жоғарыда келтірілген анықтамалар келесі өте жиі қолданылатын мәлімдемелерді негіздеу үшін жеткілікті, біз оларды есте сақтауды ұсынамыз.

ГАРМОНИКАЛЫҚ СЕРИЯ ДИвергентті.

Гармоникалық қатардың дивергенциясын дәлелдеп көрейік.

Қатар жинақталады деп есептейік. Сонда оның жартылай қосындыларының шекті шегі болады. Бұл жағдайда біз және деп жаза аламыз, бұл бізді теңдікке әкеледі .

Басқа жақтан,

Келесі теңсіздіктер күмән тудырмайды. Осылайша, . Пайда болған теңсіздік бізге теңдік екенін айтады қол жеткізу мүмкін емес, бұл гармоникалық қатардың жинақтылығы туралы болжамымызға қайшы келеді.

Қорытынды: гармоникалық қатар алшақтайды.

ТҮРДІҢ ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ ПРОГРЕССИЯНЫҢ АЗЫМШЫСЫ q БАР ҚОСЫНАУЫ IF БОЛҒАН КОНВЕРГЕНТТЫ САНДЫҚ ҚАТАР, ЖӘНЕ АТҚА ДИВЕРГЕНТТЫ ҚАТТАР.

Дәлелдейік.

Геометриялық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысы формула арқылы табылатынын білеміз .

Әділ болғанда

бұл сандық қатардың жинақтылығын көрсетеді.

q = 1 үшін бізде сандар қатары бар . Оның ішінара қосындылары ретінде табылады, ал ішінара қосындылардың шегі шексіз , бұл жағдайда қатардың алшақтығын көрсетеді.

Егер q \u003d -1 болса, онда сандар қатары пішінді алады . Жартылай қосындылар тақ n үшін және жұп n үшін мән алады. Бұдан ішінара қосындылардың шегі жоқ және қатар алшақтайды деген қорытынды жасауға болады.

Әділ болғанда

бұл сандық қатардың алшақтығын көрсетеді.

ЖАЛПЫ ГАРМОНИЯЛЫҚ СЕРИЯ s > 1 ҮШІН ЖЫНЫСТЫРАДЫ ЖӘНЕ СӨҢІЗГЕН ҮШІН .

Дәлелдеу.

s = 1 үшін гармоникалық қатарды аламыз және жоғарыда оның дивергенциясын анықтадық.

Сағат s теңсіздігі барлық табиғи k үшін орындалады. Гармоникалық қатардың дивергенциясына байланысты оның ішінара қосындыларының реттілігі шексіз деп айтуға болады (себебі шекті шек жоқ). Сонда сандық қатардың ішінара қосындыларының тізбегі анағұрлым шексіз болады (бұл қатардың әрбір мүшесі гармоникалық қатардың сәйкес мүшесінен үлкен), сондықтан жалпыланған гармоникалық қатар s-те алшақтайды.

s > 1 үшін қатардың жинақтылығын дәлелдеу қалады.

Айырмашылығын жазайық:

Әлбетте, сонда

n = 2, 4, 8, 16, ... үшін алынған теңсіздікті жазайық.

Осы нәтижелерді пайдалана отырып, бастапқы сандық қатармен келесі әрекеттерді орындауға болады:

Өрнек - бөлгіші болатын геометриялық прогрессияның қосындысы. Біз s > 1 жағдайын қарастыратындықтан, онда . Сондықтан
. Осылайша, s > 1 үшін жалпыланған гармоникалық қатардың ішінара қосындыларының тізбегі ұлғаяды және бір уақытта жоғарыдан мәнімен шектеледі, демек, оның шегі бар, ол қатардың жинақтылығын көрсетеді. Дәлел толық.

Сан сызығы деп аталады оң таңбаегер оның барлық шарттары оң болса, яғни .

Сан сызығы деп аталады кезектесіпоның көршілес терминдерінің белгілері әртүрлі болса. Айнымалы сандар қатарын былай жазуға болады немесе , Қайда .

Сан сызығы деп аталады кезектесіпонда оң және теріс мүшелердің шексіз саны болса.

Айнымалы сандар қатары - айнымалы қатардың ерекше жағдайы.

дәрежелер

тиісінше таңбалы оң, таңбалы және таңбалы болып келеді.

Ауыспалы қатар үшін абсолютті және шартты жинақтылық ұғымы бар.

абсолютті конвергентті, егер оның мүшелерінің абсолютті мәндерінің қатары жинақталса, яғни оң таңбалы сандық қатар жинақталады.

Мысалы, сандық сызықтар Және абсолютті жинақталады, өйткені қатар жинақталады , ол шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның қосындысы.

Ауыспалы қатар деп аталады шартты конвергенттіегер қатар алшақтап, қатар жинақталса.

Шартты жинақталған сандар қатарының мысалы қатар болып табылады . Сандық қатар , бастапқы қатар мүшелерінің абсолютті мәндерінен тұрады, дивергентті, өйткені ол гармоникалық. Сонымен бірге бастапқы қатар жинақтаушы болып табылады, ол көмегімен оңай орнатылады. Осылайша, сандық таңба-айнымалы қатар шартты конвергентті.

Жинақталған сандық қатарлардың қасиеттері.

Мысал.

Сандық қатарлардың жинақтылығын дәлелдеңдер.

Шешім.

Қатарларды басқа формада жазайық . Сандар қатары жинақталады, өйткені жалпыланған гармоникалық қатар s > 1 үшін жинақталады және жинақталған сандар қатарының екінші қасиетіне байланысты сандық коэффициенті бар қатарлар да жинақталады.

Мысал.

Сандар қатары жинақталады ма?

Шешім.

Түпнұсқа серияны түрлендірейік: . Осылайша, біз және екі сандық қатарының қосындысын алдық және олардың әрқайсысы жинақталады (алдыңғы мысалды қараңыз). Сондықтан жинақталған сандық қатарлардың үшінші қасиетіне байланысты бастапқы қатарлар да жинақталады.

Мысал.

Сандар қатарының жинақтылығын дәлелдеңдер және оның сомасын есептеңіз.

Шешім.

Бұл сандар қатарын екі қатардың айырмасы ретінде көрсетуге болады:

Осы қатарлардың әрқайсысы шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның қосындысы, сондықтан жинақты. Жинақтаушы қатардың үшінші қасиеті бастапқы сандық қатар жинақталатынын бекітуге мүмкіндік береді. Оның қосындысын есептейік.

Қатардың бірінші мүшесі бір, ал сәйкес геометриялық прогрессияның бөлгіші 0,5-ке тең, сондықтан .

Қатардың бірінші мүшесі 3-ке тең, ал сәйкес шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның бөлімі 1/3-ке тең, сондықтан .

Алынған нәтижелерді бастапқы сандар қатарының қосындысын табу үшін қолданайық:

Қатардың жинақтылығының қажетті шарты.

Егер сандар қатары жинақталса, онда оның k-ші мүшесінің шегі нөлге тең болады: .

Жинақтау үшін кез келген сандық қатарларды зерттеуде ең алдымен жинақтылықтың қажетті шартының орындалуын тексеру қажет. Бұл шартты орындамау сандық қатардың алшақтығын көрсетеді, яғни егер болса, онда қатар алшақтайды.

Екінші жағынан, бұл шарт жеткіліксіз екенін түсіну керек. Яғни, теңдіктің орындалуы сандық қатардың жинақтылығын көрсетпейді. Мысалы, гармоникалық қатар үшін қажетті жинақтылық шарты орындалады, ал қатар алшақтайды.

Мысал.

Жинақтау үшін сандар қатарын қарастырыңыз.

Шешім.

Сандық қатардың жинақтылығының қажетті шартын тексерейік:

Шектеу Сандық қатардың n-ші мүшесі нөлге тең емес, сондықтан қатар алшақтайды.

Оң таңбалы қатардың жинақтылығының жеткілікті шарттары.

Қолдану жеткілікті белгілерконвергенция үшін сандық қатарларды зерттеу үшін сіз үнемі -мен айналысуыңыз керек, сондықтан қиындық туындаған жағдайда осы бөлімге жүгінуді ұсынамыз.

Оң таңбалы сандар қатарының жинақтылығының қажетті және жеткілікті шарты.

Таңбалы оң сандар қатарының жинақтылығы үшін оның ішінара қосындыларының реттілігі шектелуі қажет және жеткілікті.

Қатарларды салыстыру мүмкіндіктерінен бастайық. Олардың мәні зерттелетін сандық қатарларды жинақтылығы немесе дивергенциясы белгілі қатармен салыстыруда жатыр.

Бірінші, екінші және үшінші салыстыру белгілері.

Жолдарды салыстырудың бірінші белгісі.

Екі оң таңбалы сандық қатар болсын және болсын және теңсіздік барлық k = 1, 2, 3, үшін орындалады ... Сонда қатардың жинақтылығы жинақтылықты білдіреді, ал қатардың дивергенциясы дивергенцияны білдіреді.

Бірінші салыстыру критерийі өте жиі қолданылады және жинақтылық үшін сандық қатарларды зерттеудің өте күшті құралы болып табылады. Негізгі мәселе - салыстыру үшін қолайлы қатарды таңдау. Салыстыру үшін қатар әдетте (бірақ әрқашан емес) оның k-ші мүшесінің көрсеткіші зерттелетін сандар қатарының k-ші мүшесінің алымы мен бөлгішінің дәрежелерінің айырмасына тең болатындай етіп таңдалады. Мысалы, алым мен бөлгіштің дәрежелерінің айырмасы 2 - 3 = -1 болсын, сондықтан салыстыру үшін k-ші мүшесі бар қатарды, яғни гармоникалық қатарды таңдаймыз. Бірнеше мысалды қарастырайық.

Мысал.

Қатарлардың жинақтылығын немесе дивергенциясын орнатыңыз.

Шешім.

Қатардың ортақ мүшесінің шегі нөлге тең болғандықтан, қатардың жинақтылығының қажетті шарты орындалады.

Теңсіздіктің барлық табиғи k үшін ақиқат екенін көру оңай. Гармоникалық қатардың алшақтататынын білеміз, сондықтан салыстырудың бірінші белгісіне сәйкес бастапқы қатар да дивергентті болады.

Мысал.

Жинақтау үшін сандар қатарын қарастырыңыз.

Шешім.

Қажетті жағдайсандар қатарының жинақтылығы қанағаттандырылады, өйткені . теңсіздік екені анық k-ның кез келген табиғи мәні үшін. Қатар жинақталады, себебі жалпыланған гармоникалық қатар s > 1 кезінде жинақталады. Сонымен қатарларды салыстырудың бірінші белгісі бастапқы сандық қатардың жинақтылығын айтуға мүмкіндік береді.

Мысал.

Сан қатарының жинақтылығын немесе дивергенциясын анықтаңыз.

Шешім.

, демек, сандық қатардың жинақтылығының қажетті шарты орындалады. Салыстыру үшін қай қатарды таңдау керек? Сандық қатар өзін көрсетеді және s-ті анықтау үшін біз сандық тізбекті мұқият зерттейміз. Сандық қатардың мүшелері шексіздікке қарай өседі. Осылайша, кейбір N санынан бастап (дәлірек айтқанда, N = 1619 бастап) бұл тізбектің мүшелері 2-ден үлкен болады. Осы N санынан бастап теңсіздік жарамды . Сандық қатар жинақталған қатардың бірінші қасиетіне байланысты жинақталады, өйткені ол жинақты қатардан бірінші N - 1 мүшесін алып тастау арқылы алынады. Сонымен, салыстырудың бірінші белгісі бойынша қатар жинақталады, ал жинақталған сандық қатарлардың бірінші қасиетіне байланысты қатарлар да жинақталады.

Салыстырудың екінші белгісі.

Таңбалы оң сандық қатар болсын және болсын. Егер , онда қатардың жинақтылығы -ның жинақталуын білдіреді. Егер , онда сандық қатардың дивергенциясы -ның дивергенциясын білдіреді.

Салдары.

Егер және болса, онда бір қатардың жинақтылығы екіншісінің жинақталуын білдіреді, ал дивергенция дивергенцияны білдіреді.

Екінші салыстыру критерийі арқылы жинақтылық қатарын зерттейміз. Қатар ретінде жинақталған қатарды алайық. Сандық қатардың k-ші мүшелерінің қатынасының шегін табайық:

Сонымен, салыстырудың екінші критерийі бойынша сандық қатарлардың жинақтылығы бастапқы қатардың жинақтылығын білдіреді.

Мысал.

Сандар қатарының жинақтылығын зерттеңіз.

Шешім.

Қатардың жинақтылығының қажетті шартын тексерейік . Шарт орындалды. Салыстырудың екінші белгісін қолдану үшін гармоникалық қатарды алайық. k-ші мүшелердің қатынасының шегін табайық:

Демек, бастапқы қатардың дивергенциясы екінші салыстыру критерийі бойынша гармоникалық қатардың алшақтығынан туындайды.

Ақпарат үшін қатарларды салыстырудың үшінші критерийін ұсынамыз.

Салыстырудың үшінші белгісі.

Таңбалы оң сандық қатар болсын және болсын. Егер шарт белгілі N санынан орындалса, онда қатардың жинақтылығы жинақтылықты, ал қатардың дивергенциясы дивергенцияны білдіреді.

Д'Аламбер белгісі.

Түсініктеме.

д'Аламбер таңбасы жарамды, егер шек шексіз болса, яғни егер , онда қатар жинақталады, егер , содан кейін қатар алшақтайды.

Егер болса, онда д'Аламбер сынағы қатарлардың жинақтылығы немесе дивергенциясы туралы ақпарат бермейді және қосымша зерттеулер қажет.

Мысал.

Д'Аламбер негізінде жинақтау үшін сандар қатарын қарастырыңыз.

Шешім.

Сандық қатардың жинақтылығының қажетті шартының орындалуын тексерейік, шегін мына жолмен есептейміз:

Шарт орындалды.

Д'Аламбер белгісін қолданайық:

Осылайша қатар жинақталады.

Кошидің радикалды белгісі.

Оң таңбалы сандар қатары болсын. Егер , онда қатар жинақталады, егер болса, онда қатар ажыратылады.

Түсініктеме.

Кошидің радикалды сынағы егер шек шексіз болса, яғни егер , онда қатар жинақталады, егер , содан кейін қатар алшақтайды.

Егер болса, онда Коши радикалдық сынағы қатарлардың жинақтылығы немесе дивергенциясы туралы ақпарат бермейді және қосымша зерттеулер қажет.

Радикалды Коши тестін қолданған дұрыс болатын жағдайларды көру әдетте оңай. Сандық қатардың ортақ мүшесі экспоненциалды дәреже өрнегі болған жағдайда тән жағдай. Бірнеше мысалды қарастырайық.

Мысал.

Радикалды Коши сынағы арқылы конвергенция үшін оң таңбалы сандар қатарын зерттеңіз.

Шешім.

. Радикалды Коши сынағы бойынша біз аламыз .

Сондықтан қатарлар жинақталады.

Мысал.

Сандар қатары жинақталады ма? .

Шешім.

қолданайық радикалды белгіКоши , демек, сандар қатары жинақталады.

Интегралдық Коши сынағы.

Оң таңбалы сандар қатары болсын. функциясына ұқсас үздіксіз y = f(x) аргументі функциясын құрастырайық. y = f(x) функциясы оң, үзіліссіз және , мұндағы ) интервалында кемімелі болсын. Содан кейін конвергенция жағдайында дұрыс емес интегралзерттелетін сандар қатарын жинақтайды. Егер дұрыс емес интеграл алшақтайтын болса, онда бастапқы қатар да ажырайды.

y = f(x) функциясының интервал бойынша ыдырауын тексергенде, бөлімдегі теорияны пайдалы деп табуға болады.

Мысал.

Оң мүшелері бар сандар қатарын жинақтылық үшін қарастырыңыз.

Шешім.

Қатардың жинақтылығының қажетті шарты қанағаттандырылады, өйткені . Функцияны қарастырайық. Ол оң, үздіксіз және аралықта азаяды. Бұл функцияның үздіксіздігі мен позитивтілігі күмән тудырмайды, бірақ азаюына толығырақ тоқталайық. Туындыны табайық:
. Ол аралықта теріс болады, сондықтан функция осы интервалда азаяды.