Термосерпімділіктің термодинамикалық негіздері. Шектік және бастапқы шарттар Дифференциалдық теңдеудің шекаралық және бастапқы шарттары

тиісінше қарастырылатын аумақ.

Әдетте дифференциалдық теңдеудің бір шешімі емес, олардың тұтас тобы болады. Бастапқы және шекаралық шарттар оның ішінен нақты физикалық процеске немесе құбылысқа сәйкес келетінін таңдауға мүмкіндік береді. Қарапайым дифференциалдық теңдеулер теориясында бастапқы шарты бар есептің шешімінің бар болуы және бірегейлігі туралы теорема (Коши есебі деп аталады) дәлелденеді. Жартылай дифференциалдық теңдеулер үшін бастапқы және шекаралық есептердің белгілі бір кластары үшін шешімдердің кейбір бар болу және бірегейлік теоремалары алынады.

Терминология

Кейде гиперболалық немесе параболалық теңдеулерді шешу сияқты стационарлы емес есептердегі бастапқы шарттарды шекаралық шарттар деп те атайды.

Стационарлық есептер үшін шекаралық шарттарды бөлу бар негізгіЖәне табиғи.

Негізгі шарттар әдетте нысанға ие болады , мұндағы аймақтың шекарасы.

Табиғи шарттар шекараға нормальға қатысты ерітіндінің туындысын да қамтиды.

Мысал

Теңдеу жердің гравитациялық өрісіндегі дененің қозғалысын сипаттайды. Ол пішіннің кез келген квадраттық функциясымен қанағаттандырылады, мұндағы - ерікті сандар. Қозғалыстың белгілі бір заңын оқшаулау үшін дененің бастапқы координатасын және оның жылдамдығын, яғни бастапқы шарттарын көрсету керек.

Шекаралық шарттарды қоюдың дұрыстығы

Математикалық физика есептері нақты физикалық процестерді сипаттайды, сондықтан олардың тұжырымы келесі табиғи талаптарды қанағаттандыруы керек:

Шешім болуы керек барфункциялардың кез келген класында;
Шешім болуы керек жалғызфункциялардың кез келген класында;
Шешім болуы керек деректерге үздіксіз тәуелді(бастапқы және шекаралық шарттар, бос мерзім, коэффициенттер және т.б.).

Шешімнің үздіксіз тәуелділігінің талабы физикалық деректер, әдетте, эксперименттен шамамен анықталатындығына байланысты, сондықтан таңдалған математикалық модель шеңберіндегі мәселені шешуге сенімді болу керек. өлшеу қателігіне айтарлықтай тәуелді емес. Математикалық тұрғыдан бұл талапты, мысалы, келесідей жазуға болады (еркін терминге тәуелсіз болу үшін):

Екі болсын дифференциалдық теңдеулер: бірдей дифференциалдық операторлармен және бірдей шекаралық шарттармен, олардың шешімдері бос мүшеге үздіксіз тәуелді болады, егер:

сәйкес теңдеулердің шешімдері.

Көрсетілген талаптар қанағаттандырылатын функциялар жиынтығы шақырылады дұрыстық сыныбы. Шекаралық шарттарды қате орнату Хадамардтың мысалында жақсы көрсетілген.

да қараңыз

1-ші түрдегі шекаралық шарттар (Дирихле мәселесі), kz:Дирихле шекаралық шарты
2-ші түрдегі шекаралық шарттар (Нейман мәселесі), kz:Нейман шекаралық шарты
3-ші түрдегі шекаралық шарттар (Робин мәселесі), kz:Робин шекаралық шарты
Мінсіз термиялық байланыс шарттары , en:Мінсіз термиялық байланыс

Әдебиет

Викимедиа қоры. 2010 ж.

Басқа сөздіктерде «Бастапқы және шекаралық шарттар» деген не екенін қараңыз:

Дифференциалдық теңдеулер теориясында бастапқы және шекаралық шарттар негізгі дифференциалдық теңдеуге (жай немесе жеке туындылар) қосымша болып табылады, ол уақыттың бастапқы сәтінде немесе қарастырылатын ... ... шекарасында оның әрекетін көрсетеді. Wikipedia

Дифференциалдық теңдеулердегі Нейман есебі – екінші текті шекаралық шарттар деп аталатын аймақтың шекарасында қалаған функцияның туындысы үшін берілген шекаралық шарттары бар шекаралық есеп. Аудан түріне қарай Нейман есебін екіге бөлуге болады ... Википедия

шекаралық жағдайлар- басқалармен қатар қысыммен өңдеу мәселелерінің бірегей шешімін алуға мүмкіндік беретін деформация аймағының шекарасындағы формальды физикалық жағдайлар немесе олардың математикалық моделі. Шекаралық шарттар бөлінеді…

бастапқы шарттар- дененің деформацияға дейінгі күйін сипаттау. Әдетте бастапқы моментте дене бетінің xi0 нүктелерінің Эйлер координаталары, дененің кез келген М нүктесіндегі кернеу, жылдамдық, тығыздық, температура беріледі. Дия ғарыш аймағы, ...... энциклопедиялық сөздікметаллургияда

алу жағдайлары- орамдармен металды бастапқы ұстау және деформация аймағының толтырылуы қамтамасыз етілетін ұсталу бұрышы мен коэффициенті немесе үйкеліс бұрышы байланыстыратын илемдеу кезіндегі белгілі бір қатынас; Сондай-ақ қараңыз: еңбек жағдайлары... Металлургияның энциклопедиялық сөздігі

Шарттар- : Сондай-ақ қараңыз: еңбек жағдайлары дифференциалды тепе-теңдік шарттары техникалық шарттар (TS) бастапқы шарттар ... Металлургияның энциклопедиялық сөздігі

жұмыс жағдайы- технологиялық процестер жүзеге асырылатын сыртқы ортаның (температура мен ылғалдылық, шаңдылық, шу және т.б.) санитарлық-гигиеналық сипаттамаларының жиынтығы; Ресейде еңбекпен реттеледі ... ... Металлургияның энциклопедиялық сөздігі

Кітаптар

Математикалық физиканың кері есептерін шешудің сандық әдістері , Самарский А.А. Математикалық физика есептерін шешу әдістері бойынша дәстүрлі курстар тікелей есептерді қарастырады. Бұл жағдайда шешім ішінара дифференциалдық теңдеулерден анықталады, олар ... толықтырылады.

Кіріспеде атап өтілгендей, екінші ретті дербес дифференциалдық теңдеулердің екі ерікті функцияға байланысты шешімдерінің шексіз саны болады. Бұл ерікті функцияларды анықтау үшін немесе басқаша айтқанда, бізге қажет нақты шешімді оқшаулау үшін қажетті функцияға қосымша шарттарды қою керек. Оқырман осыған ұқсас құбылысты қарапайым дифференциалдық теңдеулерді шешу кезінде кездестірді, жалпы шешімнен ортақ шешімді таңдау берілген бастапқы шарттар бойынша ерікті тұрақтыларды табу процесінде болған кезде.

Жолдық тербеліс мәселесін қарастырғанда қосымша шарттар екі түрлі болуы мүмкін: бастапқы және шекаралық (немесе шекаралық).

Бастапқы шарттар тербеліс басталған сәтте жолдың қандай күйде болғанын көрсетеді. Ең қолайлы деп санау, бұл жіп тербеле бастады сәтінде. Жол нүктелерінің бастапқы орны шартпен беріледі

және бастапқы жылдамдық

мұнда функциялар берілген.

Белгілеу және функцияның ерікті мәнде және кезінде қабылданатынын білдіреді, яғни ұқсас. Жазудың бұл түрі болашақта үнемі қолданылады; сондықтан, мысалы, т.б.

(1.13) және (1.14) шарттар динамиканың қарапайым есебіндегі бастапқы шарттарға ұқсас. материалдық нүкте. Онда нүктенің қозғалыс заңын анықтау үшін дифференциалдық теңдеуден басқа нүктенің бастапқы орнын және оның бастапқы жылдамдығын білу керек.

Шекаралық шарттар басқа сипатта болады. Олар дірілдің барлық уақытында жолдың ұштарында не болатынын көрсетеді. Ең қарапайым жағдайда, жолдың ұштары бекітілген кезде (жолдың басы бастапқыда, ал соңы нүктеде болса, функция шарттарға бағынады

Оқырман статикалық жүктеменің әсерінен екі тіреуіште жатқан арқалықтың иілуін зерттеу кезінде материалдардың беріктігі курсында дәл осындай шарттарды кездестірді.

Бастапқы және шекаралық шарттарды орнату процесті толығымен анықтайтын фактінің физикалық мағынасын жағдай үшін оңай байқауға болады. еркін тербелісжіптер.

Мысалы, ұштарында бекітілген жол қандай да бір түрде артқа тартылсын, яғни функция орнатылады - теңдеу бастапқы пішініжолдар және бастапқы жылдамдықсыз шығарылады (бұл дегеніміз ) біртекті теңдеутиісті жағдайларда. Сіз жолды басқа жолмен, атап айтқанда жолдың нүктелеріне бастапқы жылдамдықты беру арқылы тербеліс жасай аласыз. Бұл жағдайда тербелістердің одан әрі процесі толығымен анықталатыны физикалық тұрғыдан анық. Іштің бастапқы жылдамдығының нүктелерін беру ішекті соғу арқылы жүзеге асады (фортепиано ойнаған кездегідей); ішекті қоздырудың бірінші тәсілі шертпелі аспаптарда (мысалы, гитарада) ойнағанда қолданылады.

Енді қорытындылайық математикалық есеп, бұл екі ұшында бекітілген жіптің еркін тербелістерін зерттеуге әкеледі.

Тұрақты коэффициенттері бар біртекті сызықты екінші ретті дербес дифференциалдық теңдеуді шешу қажет.

), ол сәйкесінше уақыттың бастапқы сәтінде немесе қарастырылатын аймақтың шекарасында оның әрекетін көрсетеді.

Терминология

Стационарлық есептер үшін шекаралық шарттарды бөлу бар негізгіЖәне табиғи.

Негізгі шарттар әдетте нысанды алады u (∂ Ω) = g (\displaystyle u(\жартылай \Омега)=g), Қайда ∂ Ω (\displaystyle \жартылай \Омега )- аудан шекарасы Ω (\displaystyle \Omega ).

Табиғи шарттар шекараға нормальға қатысты ерітіндінің туындысын да қамтиды.

Мысал

теңдеу d 2 y d t 2 = − g (\displaystyle (\frac (d^(2)y)(dt^(2)))=-g)жердің гравитациялық өрісіндегі дененің қозғалысын сипаттайды. Ол форманың кез келген квадраттық функциясымен қанағаттандырылады y (t) = − g t 2 / 2 + a t + b , (\displaystyle y(t)=-gt^(2)/2+at+b,)Қайда a , b (\displaystyle a,b)- ерікті сандар. Қозғалыстың белгілі бір заңын оқшаулау үшін дененің бастапқы координатасын және оның жылдамдығын, яғни бастапқы шарттарын көрсету керек.

Шекаралық шарттарды қоюдың дұрыстығы

Шешім болуы керек барфункциялардың кез келген класында;
Шешім болуы керек жалғызфункциялардың кез келген класында;
Шешім болуы керек деректерге үздіксіз тәуелді(бастапқы және шекаралық шарттар, бос мерзім, коэффициенттер және т.б.).

Екі дифференциалдық теңдеу берілсін: L u = F 1 , L u = F 2 (\displaystyle Lu=F_(1),~Lu=F_(2))бірдей дифференциалдық операторлармен және бірдей шекаралық шарттармен, олардың шешімдері бос мүшеге үздіксіз тәуелді болады, егер:

∀ ε > 0 ∃ δ > 0: (‖ F 1 − F 2 ‖< δ) ⇒ (‖ u 1 − u 2 ‖ < ε) {\displaystyle \forall \varepsilon >0~\бар \delta >0:~\left(\|F_(1)-F_(2)\|<\delta \right)\Rightarrow \left(\|u_{1}-u_{2}\|<\varepsilon \right)} , Қайда u 1 (\displaystyle u_(1)), u 2 (\displaystyle u_(2))- сәйкес теңдеулердің шешімдері.

Көрсетілген талаптар қанағаттандырылатын функциялар жиынтығы шақырылады дұрыстық сыныбы. Шекаралық шарттарды дұрыс орнатпау жақсы суреттелген

Физикалық процесті математикалық сипаттау үшін қозғалыстың бір теңдеуі (1.116) жеткіліксіз. Процесті бір мағыналы анықтау үшін жеткілікті шарттарды тұжырымдау қажет. Жолдық тербеліс мәселесін қарастырғанда қосымша шарттар екі түрлі болуы мүмкін: бастапқы және шекаралық (шекаралық).

Ұштары бекітілген жолдың қосымша шарттарын тұжырымдаймыз. Ұзындық жолының ұштары бекітілгендіктен, олардың нүктелеріндегі ауытқулары кез келгені үшін нөлге тең болуы керек:

, .

(1.119)

(1.119) шарттары шақырылады шекарашарттар; олар діріл процесі кезінде жіптің ұштарында не болатынын көрсетеді.

Тербеліс процесі жіптің тепе-теңдіктен қалай шығарылатынына байланысты болатыны анық. Ыңғайлы деп санауға болады, бұл жіп тербеле бастады уақыт сәтінде. Уақыттың бастапқы моментінде жолдың барлық нүктелеріне кейбір орын ауыстырулар мен жылдамдықтар беріледі:

(1.120)

Мұндағы және берілген функциялар.

(1.120) шарттары шақырылады бастапқышарттар.

Сонымен, жол тербелістерінің физикалық есебі келесі математикалық есептерге қысқартылды: (1.116) (немесе (1.117) немесе (1.118)) шектік шарттарды және бастапқы шарттарды (1.119) қанағаттандыратын теңдеудің шешімін табу. 1.120). Бұл есеп шекаралық және бастапқы шарттарды қамтитындықтан аралас шекаралық есеп деп аталады. Функцияларға қойылған кейбір шектеулер мен , аралас есептің бірегей шешімі бар екені дәлелденді.

Жіптердің тербелістерінен басқа көптеген физикалық есептерді (1.116), (1.119), (1.120) есебіне келтіруге болады екен: серпімді өзекшенің бойлық тербелісі, біліктің бұралу тербелісі, құбырдағы сұйықтықтар мен газдар және т.б.

Шекаралық шарттардан басқа (1.119) шекаралық шарттардың басқа түрлері мүмкін. Ең көп таралғандары мыналар:

I. , ;

II. , ;

III. , ,

мұндағы , белгілі функциялар, ал , белгілі тұрақтылар.

Берілген шекаралық шарттар сәйкесінше бірінші, екінші және үшінші текті шекаралық шарттар деп аталады. Заттың ұштары (жіп, стержень, т.б.) берілген заң бойынша қозғалса, I шарттары орын алады; II шарттар – егер көрсетілген күштер ұштарға қолданылса; III шарттар – ұштарды серпімді бекіту жағдайында.

Егер теңдіктердің оң жағында берілген функциялар нөлге тең болса, онда шекаралық шарттар деп аталады. біртекті.Осылайша, шекаралық шарттар (1.119) біртекті.

Шекаралық шарттардың әртүрлі аталған түрлерін біріктіре отырып, біз қарапайым шекаралық есептердің алты түрін аламыз.

(1.116) теңдеу үшін басқа есеп те қойылуы мүмкін. Жол жеткілікті ұзын болсын және біз оның ұштарынан жеткілікті қашықтықта және қысқа уақыт аралығындағы нүктелерінің тербелісіне қызығушылық танытамыз. Бұл жағдайда ұштардағы режим айтарлықтай әсер етпейді, сондықтан ол ескерілмейді; жол шексіз деп есептеледі. Толық есептің орнына олар шектелмеген аймақ үшін бастапқы шарттары бар шекті есепті қояды: бастапқы шарттарды қанағаттандыратын (1.116) теңдеуінің шешімін табыңыз:

, .

Бастапқы шарттар координаталар басы ретінде қабылданған уақытта температура өрісі қандай болды деген сұраққа жауап береді. Олар өрнек арқылы сипатталады. Көбінесе технологиялық ішкі жүйелердің құрамдас бөліктерінің температурасы уақыттың бастапқы сәтінде қоршаған орта температурасына тең қабылдануы мүмкін, яғни. Бұл жағдайда, жоғарыда айтылғандай, шартты түрде деп есептей отырып, артық температура деп аталатында есептеуді жүргізу ыңғайлы, содан кейін есептеудің соңында нәтижеге қосу. Шекаралық шарттар деп денелер беттерінің қоршаған ортамен немесе басқа денелермен әрекеттесу жағдайларын айтады. Шекаралық шарттардың бірнеше түрі бар. Бірінші текті шекаралық шарттарда (GU1) дененің шекаралық беттеріндегі температураның таралу заңы белгілі деп есептеледі. . Мысалы, қандай да бір бөліктің немесе құралдың ішіндегі температура өрісін анықтау қажет болсын. Өлшеу объектісін бұзбай мұны эксперименттік түрде орындау өте қиын, бірақ бөлшектің, құралдың немесе басқа қатты дененің бетіндегі температураны эксперименттік түрде өлшеу әлдеқайда оңай, бұл объектіні зақымдамай орындауға болады. Егер біз GU1-ді дене беттеріндегі температураның таралу заңы түрінде білсек, онда жылуөткізгіштіктің дифференциалдық теңдеуін шешу арқылы бөлшектің, аспаптың және т.б. ішіндегі температуралық өрісті есептей аламыз.GU1 ерекше жағдайы шарт болып табылады. дене беттерінің изотермиялық қасиеті, яғни. .

Екінші текті шекаралық шарттар (ВС2) жылу ағынының тығыздығының таралу заңының белгілі болуын қамтамасыз етеді. шекаралық беттер арқылы өтеді. Белгілі бір жағдайда. Бұл қарастырылып отырған беттің қоршаған ортамен жылу алмасатынын білдіреді, яғни адиабаталық. Технологиялық ішкі жүйелерге қатысты жылулық есептеулерді орындаған кезде, көп жағдайда тәжірибе үшін жеткілікті дәлдікпен белгілі бір беттің (немесе оның учаскесінің) қоршаған ортамен жылу алмасуын елемеуге болады, яғни қабылдау , бұл есептеуді жеңілдетеді.

Үшінші түрдегі шекаралық шарттар (GUZ) бет пен қоршаған орта арасындағы жылу алмасуды елемеуге болмайтын кезде қолданылады. Бұл жағдайда берілген дене жанасатын ортаның температурасы және орта мен бет арасындағы жылу алмасуды сипаттайтын Вт / (м 2 × ° C) деп аталатын жылу беру коэффициенті болуы керек. берілген.

Ньютон-Рихман заңына сәйкес жылу ағынының тығыздығы бет пен оны қоршаған орта арасындағы температура айырмашылығына пропорционалды, яғни.

Формула (2.1) жылу мөлшерін анықтауға мүмкіндік береді , Вт/м 2, уақыт бірлігінде бірлік бетінен қоршаған ортаға шығарылады. Фурье заңы бойынша дененің бетіне ағын беріледі

Демек,

немесе . (2.2)

Өрнек (2.2) үшінші текті шекаралық шарттардың математикалық сипаттамасы.

Төртінші текті шекаралық шарттар (ВС4) қарастырылып отырған қатты дене басқа қатты денемен саңылаусыз байланыста болғанда және олардың арасында жылу алмасу орын алғанда пайда болады. Шектік жағдайлардың бұл нұсқасы технологиялық процестердің жылу физикасында жеткілікті түрде кездеседі. Мысалы, қысыммен өңдеу кезінде штамптың бөлшектері өңделетін дайындамаға саңылаусыз дерлік байланыста болады; металды кесу кезінде белгілі бір жерлерде құралдың беті жоңқалармен және дайындамамен байланыста болады. Төртінші текті шекаралық жағдайларда денелер арасындағы жанасу идеалды болғанда, жанасу бетінің кез келген нүктесіндегі температура бір жағынан да, екінші дене жағынан да бірдей болады, яғни.

Есептеулерді жеңілдету үшін әрбір жанасу нүктесіндегі температуралардың теңдігінің орнына, жанасу бетіндегі орташа температуралардың теңдігі жиі GU4 ретінде қабылданады, яғни (2.3) формуласының орнына, біз қабылдаймыз.

Төртінші текті шекаралық шарттар тепе-теңдік есептерін шешуде, яғни жанасатын денелер арасындағы жылудың таралуын талдауда қолданылады. Жанасу бетінде түзілетін жылуды жанасатын денелер арасында таратып, әрбір денедегі жылу ағынының тығыздығын есептеп, екінші текті шекаралық шарттар қолданылады.

Шекаралық шарттар туралы мәселені қарастыруды қорытындылай келе, нақты денелердің әртүрлі қималарында әртүрлі шекаралық шарттар болуы мүмкін екенін атап өтеміз. Мысалы, кесе дөңгелегі бар дайындаманың бетін тегістеу процесін қарастырайық (2.5-суретті қараңыз). Дөңгелек пен дайындама арасында ұнтақтау жылуын бөлу мәселесі шешілсе, онда дайындамаға қатысты бізде келесі шекаралық шарттар болады: GU3 – сұйықтықпен жанасу бетінде; GU2 - жылу ағынының тығыздығы белгілі шеңбермен жанасу бетінде және оның ауаға жылу беруін ескермеген жағдайда адиабаталық деп санауға болатын дайындаманың ұшында; GU4 - дайындама станоктың магниттік үстелімен жанасатын бетінде.