Қарапайым дифференциалдық теңдеулерді шешу. Пикард әдісі Пикардтың дәйекті жуықтау әдісі

Бұл әдіс жуықтау әдістері класының өкілі болып табылады

Әдістің идеясы өте қарапайым және процедураға келеді

интегралдық теңдеуді шешуге арналған жуықтаулар

бастапқы дифференциалдық теңдеу берілген.

Коши мәселесі қойылсын

,

Жазбаша теңдеуді интегралдаймыз

. (5.2)

Пикард әдісінің дәйекті жуықтау процедурасы келесі схема бойынша жүзеге асырылады

, (5.3)

Мысал . Пикард теңдеуін шешіңіз

,

Бұл теңдеудің шешімі элементар функциялар арқылы өрнектелмейді.

,

үшін қатардың тез жинақталатынын көруге болады. Егер интегралдарды аналитикалық жолмен алуға болатын болса, әдіс ыңғайлы.

Пикард әдісінің жинақтылығын дәлелдеп көрейік. Шектеулі болсын

аймақ, оң жағы үздіксіз және қосымша, айнымалыға қатысты Липшиц шартын қанағаттандырады, яғни.

қай жерде тұрақты.

Аймақтың шектелуіне, теңсіздіктеріне байланысты

(5.3) формуласын (5.2) алып тастаймыз, оң және сол модульдер үшін аламыз

,

.

Соңында, Липшицтің үздіксіздік шартын қолданып, аламыз

, (5.4)

мұндағы шамамен шешімнің қатесі.

(5.4) формуласын ретімен қолдану мынаны ескере отырып, келесі қатынастар тізбегін береді

,

,

.

Өйткені , онда бізде бар

.

Стирлинг формуласымен ауыстыра отырып, біз ақырында шамамен шешімнің қателігінің бағасын аламыз.

. (5.5)

(5.4)-ден қателік модулі үшін, яғни.

жуық шешім дәл шешімге біркелкі жақындайды.

5.2.2. Рунге-Кутта әдістері

Бұл әдістер сандық болып табылады.

Практикада Рунге-Кутта әдістері қолданылады, олардан кейінгі жағдайды қамтамасыз етеді.

әртүрлі дəлдік дəрежедегі үйінді айырмашылық сұлбалары (əдістері). Көпшілігі

екінші және төртінші реттердің ортақ схемалары (әдістері). Біз және олар

төменде қарастырыңыз.

Алдымен кейбір ұғымдар мен анықтамаларды енгізейік. тор қосулы

сегмент – осы кесіндінің тұрақты нүктелерінің жиыны.

Осы нүктелерде анықталған функция тор функциясы деп аталады.

Нүктелердің координаталары шарттарды қанағаттандырады

Нүктелер тордың түйіндері болып табылады. Біркелкі тор – нүктелер жиынтығы

, ,

тор аралығы қайда.

Шешім қабылдағанда дифференциалдық теңдеулержуықтау әдісі конвергенцияның негізгі мәселесі болып табылады. Айырмашылық әдістерге қолданылғанда, конвергенция ұғымы дәстүрлі түрде жиі кездеседі. Тор функциясының мәндерін - түйініндегі дифференциалдық теңдеудің (5.1) нақты шешімінің мәндері ретінде белгілейік (олар жуық мәндер). Конвергенция келесіні білдіреді. Біз нүктені бекітеміз және торлар жиынтығын осылай жасаймыз (Сонымен бірге). Сонда сандық әдіс егер нүктеде жинақталады деп есептеледі

кезінде ,. Әдіс сегментте жинақталады, егер ол әрбір нүктеде жинақталса. Әдіс дәлдіктің ші реті деп аталады, егер мұндай сан табылса сағ.

Әрі қарай бастапқы теңдеуді шешуде берілген дифференциалдық теңдеуді алмастыратын айырма теңдеуінің қалдық немесе жуықтау қатесі ұғымын енгіземіз, яғни, сәйкессіздік (5.1) теңдеудің дәл шешімін айырма теңдеуіне ауыстырудың нәтижесі болып табылады. Мысалы, (5.1) келесі қарапайым айырым теңдеуімен ауыстырылуы мүмкін

, .

Сонда сәйкессіздік келесі өрнек арқылы анықталады

.

Шамамен шешім әдетте -мен сәйкес келмейді, сондықтан ші нүктедегі сәйкессіздік нөлге тең емес. Келесі анықтама енгізіледі: сандық әдіс бастапқы дифференциалдық теңдеуді жуықтайды, егер болса, және дәлдіктің ші реті бар, егер .

Дифференциалдық теңдеуді шешудің сандық әдісінің дәлдік реті жеткілікті жалпы болжамдардағы жуықтау ретімен сәйкес келетіні дәлелденді.

Енді Рунге-Кутта схемаларын талдауға көшейік. Алдымен соған жүгінейік

дәлдіктің екінші ретті схемалары.

Тейлор формуласын қолдану, дифференциалдық теңдеуді шешу

(5.1) ретінде көрсетуге болады

, (5.6)

көрсетілген жерде, ,.

(5.1) сәйкес екенін ескеріңіз. ,.

келесідей туынды

,

белгісіз шамалар қайда. Болсын

Түйіндегі шешімнің жуық мәнін арқылы арқылы белгілейік (дәл осы шешім қатарды екіншіден жоғары емес ретті мүшелермен шектегеннен кейін алынады).

Мұнда енгізілген параметрлерді анықтау керек.

Тейлор сериясының оң жағын кеңейтіп, ұқсас шарттарды келтірсек, біз аламыз

дәйекті

Параметрлерді таңдау шарты және біз өрнектің жақындығын орнатамыз

(5.7) қатарға (5.6) қатынасы, онда

, ,.

Бір параметр бос қалады. Солай болсын

, ,

және үшін табылған қатынастарды ескере отырып (5.7) ең соңында

Қатынас (5.8) екі мерзімді Рунге-Кутта формулаларының бір параметрлі тобын сипаттайды.

Арнайы әдебиеттерде, егер үзіліссіз және оның екінші туындыларымен шектелген болса, онда (5.8) схеманың жуық шешімі қатесі бар дәл шешімге біркелкі жинақталатыны дәлелденген. , яғни. (5.8) сұлба дәлдіктің екінші ретіне ие.

Есептеу тәжірибесінде , параметрінің мәндері үшін формулалар (5.8) қолданылады.

(5.8) тармақтан шығарамыз

(5.9) формуланы қолдану келесі қадамдар тізбегіне дейін қысқартылады:

1. Функция мәні шамамен есептеледі (үзік сызық схемасына сәйкес)

2. () нүктесіндегі интеграл қисығының еңісі анықталады

3. Функцияның қадамдағы туындысының орташа мәні табылды

4. Функцияның мәні ()-ші түйінде есептеледі

Бұл схеманың «болжаушы-түзетуші» деген арнайы атауы бар.

(5.8) сәйкес аламыз

Мәселе келесі қадамдар арқылы шешіледі:

1. Жартылай түйіндегі функцияның мәні есептеледі

.

2. Түйіндегі туындының мәні анықталады

.

3. Функцияның мәні ()-ші түйінде табылады

Есептер тәжірибесінде жоғарыда қарастырылған екі мерзімді схемалардан басқа дәлдіктің төртінші ретті Рунге-Кутта схемалары кеңінен қолданылады. Сәйкес формулалар төменде туындысыз берілген.

(5.10)

Мүшелері көп схемалар іс жүзінде қолданылмайды. Бес-

мүше формулалары дәлдіктің төртінші ретін қамтамасыз етеді, алты мүшелі формулалар алтыншы ретке ие, бірақ олардың пішіні өте күрделі.

Жоғарыда келтірілген Рунге-Кутта схемаларының қателері максимуммен анықталады

сәйкес туындылардың мәндері.

Құқықтың ерекше жағдайы үшін қателердің бағасын алу оңай

дифференциалдық теңдеудің бөліктері

.

Бұл жағдайда теңдеудің шешімін квадратураға келтіруге болады және

барлық айырмашылықты шешу схемалары сандық интегралдау формулаларына түрлендіріледі

серуендеу. Мысалы, схема (5.9) пішінді қабылдайды

,

яғни оның трапеция формуласының формасы бар және (5.10) схема схемаға өтеді.

бұл қадаммен Симпсон формуласы.

Трапеция және Симпсон формулалары үшін үлкен қателерді бағалау белгілі (3.2 тарауды қараңыз). (3.4) және (3.5) тармақтарынан Рунге-Кутта схемаларының дәлдігі біршама жоғары екенін көруге болады.

Белгілі бір мәселені шешу үшін жоғарыда аталған схемалардың біреуін немесе басқасын таңдау

саяжай келесі ойлармен анықталады. Егер функция ішінде

теңдеудің оң жағы үздіксіз және шектелген, сонымен қатар үздіксіз және

оның төртінші туындылары шектеулі, содан кейін ең жақсы нәтижеге қол жеткізіледі

схемасын (5.10) пайдалану кезінде. Функция болған жағдайда

жоғарыда аталған туындылары жоқ, шектеуші (төртінші) ретті

(5.10) сызбаға қол жеткізу мүмкін емес және ол мақсатқа сай болып шықты

қарапайым схемаларды қолдану.

Рунге-Кутта схемаларынан басқа көп сатылы әдістер практикалық қызығушылық тудырады, оларды келесі теңдеулер жүйесімен сипаттауға болады.

Қайда , a - сандық коэффициенттер, ,.

Осы теңдеу бойынша есеп - тен басталады. Бұл жағдайда форманың қатынасын аламыз

анау. санауды бастау үшін бастапқы мәндер болуы керек. Бұл мәндерді басқа әдіспен есептеу керек, мысалы, Рунге-Кутта әдісі.

Көп сатылы әдістердің ішінде Адамс әдісі ең кең тараған, оның орындалу схемасы (5.11)-ден туындайды. және үшін :

.

, үшін Адамс әдісі айқын болып шығады, ал үшін , ол жасырын болып шығады.

Жұмыс мақсаты:студенттердің әртүрлі салаларда қашықтан басқару құралын қолдану туралы түсінігін қалыптастыру; қашықтан басқару үшін Коши мәселесін шешу мүмкіндігін енгізу сағ" = f(x,ж) сегментінде [ а, б] берілген бастапқы шарт үшін сағ 0 = f(x 0) Пикард, Эйлер, Рунге-Кутта, Адамс әдістері; қолданбалы бағдарламалар көмегімен алынған нәтижелерді тексеру дағдыларын дамыту.

Пикард әдісі

5.1-мысал.

: сағ h= 0,1 қадаммен Пикард әдісі бойынша h.

Есепте: жұмыстың орындалу барысы, бағдарлама – функция, қате, шешімнің графикалық иллюстрациясын көрсетіңіз.

Шешім.

1. Деректерді енгізіңіз (5.1-сурет)

а= 1,7 b= 2,7

h = 0,1

ж 0 = 5,3 мен = 0..n

5.1-сурет.Бастапқы деректерді орнату

2. Айнымалыға қатысты бірінші туындының мәндерін қайтаратын функцияны орнаттық сағ(5.2-сурет).

fшығару( ж) =

5.2-сурет.Функцияның бірінші туындысының мәнін қайтаратын функция

3. Әдіс бойынша DE шешімін қайтаратын функцияны құрастырыңыз

Пикард. Мұнда: f-бастапқы функция; f туынды –

қатысты функцияның туындысы сағ; а,б- сегменттің ұштары; h- қадам; сағ 0 –

айнымалының бастапқы мәні сағ.

4. ДЭ шешімін Пикард әдісімен табыңыз (5.3-сурет).

fnPikan(fn, fn туындысы, a, b, h, y0)=

Күріш. 5.3. DE шешімін қайтаратын функцияны көрсету

Picard әдісі (fnPikar.mcd файлы)

fnPikar(f, f туындысы, a, b, 0.1, y0) =

Күріш. 5.4.Пикард әдісі бойынша DE сандық шешімін табу

Эйлер әдісі және оның модификациялары

5.2-мысал.

сағ(1.7) = 5.3 және интеграция қадамы h= 0,1 Эйлер әдісі және жетілдірілген Эйлер әдісі қадамдарымен hЖәне h/2.

Шешім.

Есепті Эйлер әдісімен шешу барысы суретте көрсетілген. 5,5 - 5,7.

a = 1,7 b = 2,7 y0 = 5,3

y 0 = y0 x i = a + ih h2 = 0,05

5.5-сурет.Шешімі бар Mathcad жұмыс парағы фрагменті

қадаммен Эйлер әдісі бойынша теңдеулер hЖәне h/2 және графикалық

Эйлер әдісінің визуализациясы.

1. Эйлер әдісін жүзеге асыратын программа құрайық (Cурет ).

5.6-сурет.Эйлер әдісін жүзеге асыратын бағдарламалар тізімі

2. ДЭ ерітіндісін Эйлер әдісімен аламыз (5.7. сурет).

ES h = eyler(f, a, b, h, y0)

ES h2 = eyler(f, a, b, , y0)

Күріш. 5.7.Эйлер әдісі бойынша DE сандық шешімін табу

Ескерту

Жақсартылған Эйлер әдісімен DE шешімін қайтаратын функцияны өзіңіз құрастырыңыз.

Күріш. 5.8.Жетілдірілген әдіспен қашықтан басқаруды шешу

Қадамдары бар Эйлер hЖәне h/2

5.3. Рунге-Кутта әдісі

Іс жүзінде төртінші ретті Рунге-Кутта әдісі жиі қолданылады.

5.3-мысал.

Берілген НУ үшін сегменттегі DE үшін Коши есебін шешіңіз сағ(1.7) = 5.3 және интеграция қадамы h= 0,1 қадаммен төртінші ретті Рунге-Кутта әдісі бойынша hжәне 2 h.

Есепте мыналарды көрсетіңіз: жұмыстың орындалу барысы, бағдарлама, функция, қате, шешімнің графикалық иллюстрациясы және жуықтау қатесінің бағасы.

Шешім.

1. Тапсырма деректерін енгізіңіз (Cурет 5.9).

а = 1,7 б = 2,7

h = 0,1

ж 0 = 5,3

мен= 0...n

5.9-сурет.Бастапқы деректерді орнату

2. Бірінші ретті DE шешімін Рунге-Кутта әдісімен қайтаратын функцияны құрастырайық. Мұнда: fn – берілген функция; а, б- сегменттің ұштары; h- қадам; ж 0 – функцияның бастапқы мәні.

3. Mathcad бағдарламасының кіріктірілген функцияларын пайдаланып, бірінші ретті DE шешімін табайық (5.10-сурет).

RK h = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0)

RK 2сағ = fnRungeKutta(f, a, b, 2h, y0)

Күріш. 5.10.Санды қайтаратын функцияның тізімі

Рунге-Кутта әдісі бойынша DE шешімі

Адамс әдісі

5.4-мысал.

Берілген НУ үшін сегменттегі DE үшін Коши есебін шешіңіз сағ(1.7) = 5.3 және интеграция қадамы h= 0,1 Адамс әдісі қадаммен h.

Есепте мыналарды көрсетіңіз: қолмен есеп, бағдарлама - функция, қате, шешімнің графикалық иллюстрациясы және жуықтау қатесінің бағасы.

Шешім.

1. Рунге-Кутта формуласы арқылы алғашқы төрт санды табыңыз (5.11-сурет).

y i = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0) i

Күріш. 5.11.Рунге-Кутта формуласы арқылы сандық шешімнің алғашқы төрт мәнін есептеу

2. Адамс әдісін жүзеге асыратын функцияны құрастырайық (2.10.3-сурет). Мұнда а, б- сегменттің ұштары; ж 1 – функцияның бастапқы мәні; h- қадам.

Күріш. 5.12.Сандық шешімді қайтаратын функция

Адамстың DE әдісі

3. Әртүрлі әдістермен DE ерітіндісінің графикалық суреті күріште көрсетілген. 5.13.

Күріш. 5.13. DE ерітіндісін әртүрлі әдістермен визуализациялау

Қатысты сұрақтар

1. Бірінші ретті ДЕ үшін Коши есебін шешу нені білдіреді?

2. DE сандық шешімін графикалық түсіндіру.

3. DE шешудің қандай әдістеріне байланысты

шешім формасы?

4. Сығымдау принципінің мәні неде

салыстырулар?

5. Пикард әдісінің рекурсивті формуласы.

6. Эйлердің сынық сызығы әдісінің мәні неде?

7. Қолданба, қандай формулалар мәндерді алуға мүмкіндік береді

Эйлер әдісі арқылы қажетті функция?

8. Эйлер әдісінің графикалық түсіндірмесі және

жетілдірілген Эйлер әдісі. Олардың айырмашылығы неде?

9. Рунге-Кутта әдісінің мәні неде?

10. Сандағы дұрыс цифрлардың санын қалай анықтайды,

Эйлер әдісі бойынша DE шешімі,

жетілдірілген Эйлер, Пикард, Рунге әдісі–

No5 зертханалық жұмысқа тапсырма

5.1-тапсырма.

DE үшін Коши есебін шешіңіз ж’ = f(x, ж) сегментінде [ а, б] берілген NU-де сағ(А) = біргежәне интеграциялық қадам h(бастапқы параметрлер 2.10.1-кестеде келтірілген):

1) Эйлер әдісі және сатылы жақсартылған Эйлер әдісі hЖәне h/2;

2) қадаммен Рунге – Кутта әдісімен hжәне 2 h;

3) Адамс әдісі;

4) Пикард әдісімен.

Шешімде мыналар болуы керек: жұмыстың орындалу барысы, әдіс бағдарламасы, теңдеудің графикалық шешімі және жуықтау қатесін бағалау. Сандарда ондық бөлшектен кейін 5 цифр қалдырыңыз.

5.1-кесте.Аяқталатын тапсырмаларға арналған опциялар өзіндік жұмыс

№	f( x, ж)	[а, б]	y 0	h
	3X 2 + 0,1ху		сағ(0) = 0,2	0,1
	0,185(x 2 + cos(0,7 x)) + 1,843ж		сағ(0,2) = 0,25	0,1
			сағ(1,6) = 4,6	0,1
			сағ(0,2) = 1,1	0,1
			сағ(1,4) = 2,5	0,1
			сағ(1,7) = 5,3	0,1
			сағ(2,6) = 3,5	0,2
			сағ(2) = 2,3	0,1
	1,6 + 0,5ж2		сағ(0) = 0,3	0,1
			сағ(1,8) = 2,6	0,1
			сағ(2,1) = 2,5	0,1
	e 2x + 0,25ж 2		сағ(0) = 2,6	0,05
		[- 2; -1]	сағ(-2) = 3	0,1
	0,133 ( x2+ күнә(2 x)) + 0,872ж		сағ(0,2) = 0,25	0,1
	күнә( x + ж) +1,5		сағ(1,5) = 4,5	0,1
			сағ(0,4) = 0,8	0,1
	2,5x+ cos( ж + 0,6)		сағ(1) = 1,5	0,2
	cos(1,5 ж +x) 2 + 1,4		сағ(1) = 1,5	0,1
			сағ(1,5) = 2,1	0,05
	cos y + 3x		сағ(0) = 1,3	0,1
	cos(1,5 x – ж 2) – 1,3	[-1; 1]	сағ(-1) = 0,2	0,2
			сағ(1,6) = 4,6	0,1
	e -(ж – 1) + 2x		сағ(0) = 0,3	0,05
	1 + 2жкүнә x – ж 2		сағ(1) = 0	0,1
			сағ(0) = 0	0,1
	0,166(x 2 + күнә(1,1 x)) + 0,883ж		сағ(0,2) = 0,25	0,1
			сағ(1,7) = 5,6	0,1
			сағ(1,4) = 2,5	0,1
			сағ(0,6) = 0,8	0,1
			сағ(1) = 5,9	0,1
	1 + 0,8жкүнә x - 2ж 2		сағ(0) = 0	0,1
			сағ(0,5) = 1,8	0,1
			сағ(1,2) = 1,8	0,1
	1 + 2,2 күнә x + 1,5ж 2		сағ(0) = 0	0,1
			сағ(0) = 0	0,1
			сағ(0) = 0	0,1
			сағ(0) = 0	0,1
	0,2x 2 + ж 2		сағ(0) = 0,8	0,1
	x 2+ж		сағ(0) = 0,4	0,1
	xy + 0,1ж 2		сағ(0) = 0,5	0,1

Әдебиет

Негізгі әдебиеттер:

Алексеев Г.В., Вороненко Б.А., Лукин Н.И. Математикалық әдістер

Тамақтану инженериясы: Оқулық. – Санкт-Петербург: «Лан», 2012. – 212 б.

Алексеев Г.В. Инженериядағы математикалық әдістер: зерттеу әдісі. жәрдемақы. - Санкт-Петербург: NRU ITMO; IHiBT. 2012. - 39 б.

Алексеев Г.В., Холявин И.И. Сандық экономикалық-математикалық модельдеу және оңтайландыру: оқу құралыуниверситеттерге арналған, GIEFPT, 2011, 211 б.

Макаров Е.Г. Mathcad: Оқу курсы. - Петербург: Петр, 2009. - 384 б.

қосымша әдебиеттер:

Поршнев С.В., Беленкова И.В. Mathcad негізіндегі сандық әдістер. -

Санкт-Петербург: BHV-Петербург, 2005. - 464 б.

Агапиев Б.Д., Белов В.Н., Кесаманлы Ф.П., Козловский В.В., Марков С.И. Эксперименттік мәліметтерді өңдеу: Проц. жәрдемақы / SPbGTU. СПб., 2001 ж.

Горелова Г.В. Ықтималдық теориясы және математикалық статистика Excel көмегімен мысалдар мен тапсырмаларда. - М.: Феникс, 2005. - 476 б.

Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Оңтайлы жағдайларды іздеуде экспериментті жоспарлау.-М .: Наука, 1976

Асатурян В.И. Экспериментті жоспарлау теориясы.-М .: Радио және байланыс, 1983 ж

Бродский В.З. Тәжірибені факторлық жоспарлауға кіріспе.- М .: Наука, 1976

Демиденко Е.З. Сызықтық және сызықты емес регрессия.-М.: Қаржы және статистика, 1981 ж.

Красовский Г.И., Филаретов Г.Ф. Экспериментті жоспарлау.-Минск: БГУ, 1982 ж

Маркова Е.В., Лисенков А.Н. Көп факторлы эксперимент тапсырмаларындағы комбинаторлық жоспарлар.- М .: Наука, 1979 ж.

Фролкис В.А. Сызықтық және сызықты емес оңтайландыру.-Санкт-Петербург. 2001. 306 б.

Курицкий Б.Я. Excel 7.0.-Санкт-Петербург арқылы оңтайлы шешімдерді іздеу: BHV, 1997, 384c

бағдарламалық қамтамасыз ету және интернет ресурстары:

http://www.open-mechanics.com/journals - Тамақ өнімдерін өндіру процестері мен аппараттары

http://www.spbgunpt.narod.ru/ur_gigm.htm - Сұйықтық пен газ механикасы, гидравлика және гидравликалық машиналар

http://elibrary.ru/defaultx.asp - ғылыми сандық кітапханаКітапхана

Кіріспе

1.Зертханалық жұмыс№1: жуықтау теориясы

1.1. Абсолютті және салыстырмалы қателер

1.2. Дөңгелектеу қатесі

1.3. Арифметикалық қателер

1.4. Элементар функциялардың қателері

1.5. Шекара жолы

1.6. Қателер теориясының кері есебі

1.7. Қатысты сұрақтар

1.8. No1 зертханалық жұмыстың тапсырмалары

2.Зертханалық жұмыс №2: Шешудің сандық әдістері

скаляр теңдеулер

1.1. аккорд әдісі

1.2. Тангенс әдісі

1.3. Қарапайым итерация әдісі

1.4. Қатысты сұрақтар

1.5. No2 зертханалық жұмыстың тапсырмалары

3. Зертханалық жұмыс No3: Жүйелерді шешудің сандық әдістері

сызықтық емес теңдеулер

3.1. Ньютон әдісі

3.2. Қатысты сұрақтар

3.3. No3 зертханалық жұмысқа тапсырма

4. №4 зертханалық жұмыс: Сандық интеграция

4.1. Тіктөртбұрыш әдісі

4.2. Симпсон әдісі

4.3. Трапеция әдісі

4 .4. Монте-Карло әдісі

4.5. Қатысты сұрақтар

4.6. No4 зертханалық жұмысқа тапсырма

5. №5 зертханалық жұмыс: Жай дифференциалдық теңдеулерді шешу

5.1. Пикард әдісі

5.2. Эйлер әдісі және оның модификациялары

5.3. Рунге-Кутта әдісі

Берілген есептің (Коши мәселесі) шешімінің бар болуы және бірегейлігі туралы белгілі Пикар және Пиано теоремаларын еске түсіреміз.

ПЕАНО теоремасы, егер f(x,Y) функциясы нүктенің маңайында (X 0 ,Y 0) үзіліссіз болса, Коши есебінің шешімі X o нүктесінің кейбір маңайында бар екенін айтады.

PICARD теоремасы f (x, Y) функциясы ғана емес, сонымен қатар оның жартылай туынды f "y (x, Y) де нүктенің маңайында (X 0, Y 0) үзіліссіз болса, онда шешім Коши есебінің кейбір интервалында бірегей, құрамында Х 0 нүктесі бар.

Пикар теоремасының дәлелі мынадан шығады жалпы принципкелісім-шарттық картографиялау, бұл оңай емес, бірақ оның маңызды артықшылығы бар - бұл конструктивті. Оның үстіне оған салынған Y n (x) функцияларының тізбегі геометриялық прогрессияның жылдамдығымен кесіндіде біркелкі шешімге жинақталады. Пикард әдісінде U n (x) функциялар тізбегі рекурсивті формула бойынша құрастырылады:

n= 0,1,2,..., үшін

және нөлдік жуықтау тұрақты Y 0: Y 0 (х)ºY 0 .

Бұл қайталанатын формуланың шығу тегін түсіну үшін интегралдық теңдеуді атап өтеміз

бастапқы Коши есебіне баламалы, өйткені оның шешімі болып табылатын кез келген Y (x) функциясы Y (X o) \u003d Y o бастапқы шартын және Y "(x) \u003d f (x, Y () теңдеуін қанағаттандырады. x)) және керісінше.

Сұрақ: Неліктен бұл шынымен солай?

4.1-мысал Y(0)=1 бастапқы шарты бар Y"=Y теңдеуін Пикард әдісімен шешейік. Бұл есеп Y=1+òY(t)dt интегралдық теңдеуінің шешімін табуға эквивалентті.

Бастапқы жуықтау ретінде Y o =1 функциясын аламыз.

Сонда Y 1 =1+òY o (t)dt= 1+òdt= 1+x.

Y 3 = 1+òY 2 (t)dt= 1+ò(1+t+t 2/2)dt= 1+x+x 2/2+x 3/6.

Y n = 1+х+x 2 /2+ ... +x n /n! екеніне көз жеткізуге болады.

4.1-жаттығу Математикалық индукция принципін пайдаланып соңғы теңдікті қатаң түрде дәлелдеңіз.

4.2-жаттығу 4.1-мысалда дәл Y(X) шешімін тауып, кесіндідегі Y n (x) -> Y(X) біркелкі жинақтылық жылдамдығын бағалаңыз.

Жалпы, қарапайым дифференциалдық теңдеулерді шешудің жуық әдістерін 3 түрге бөлуге болады:

· аналитикалық, формула түріндегі Y(x) жуық шешімін алуға мүмкіндік береді,

· графика, Y(x) шешімінің графигін жуықтап алуға мүмкіндік береді, яғни. интегралдық қисық,

· сандық, нәтижесінде Y(x) функциясының жуық мәндерінің кестесі алынады,

мұндай бөлу біршама ерікті болса да.

Пикард әдісінен басқа аналитикалық әдістерге де кіреді

сериядағы белгісіз Y(x) функциясын кеңейту әдісі,

соған біз енді тоқталамыз.

Тейлор қатарындағы Y(X) формальды кеңеюін а нүктесінде жазайық:

Бұл теңдік а нүктесіндегі белгісіз U(X) функциясының туындыларын қамтиды, алайда дәл осы нүктеде есептің шарттарын пайдалана отырып, кез келген туынды санын дәйекті түрде тауып, шешімнің қажетті жуықтауын алуға болады. . IN жалпы көрінісол келесідей көрінеді: Y o (a)=Y(a)= Y o; Y "(a) \u003d f (a, Y (a)) \u003d f (a, Y o)

Бізге берілген теңдеуді Х-қа қатысты дифференциалдау арқылы аламыз

Y "" (X) \u003d f " x (x, Y (x)) + f" y (x, Y (x)) * Y "(x), қайдан Y "" (a) \u003d f " x (a ,Yo)+f" y (a,Yo)*f(a,Yo).

Сол сияқты, біз үшінші және одан кейінгі туындылардың мәндерін а нүктесінде аламыз - бастапқы теңдеудің қажетті санын дифференциялаймыз және бұрын алынған туындылардың мәндерін а нүктесінде ауыстырамыз.

4.2-мысал Y "=2xY теңдеуін және Y(0)=1 бастапқы шартын қанағаттандыратын Y(x) функциясының қатарындағы кеңейтудің бірінші мүшелерін жазайық.

Y"""(x)=2 Y"(x)+2 Y"(x)+2x*Y""(x)= 4Y"(x)+2xY""(x), қайдан Y"""( 0)=0.

Y (4) (x)=4Y""(x)+2xY"""(x), одан Y (4) (0)=6.

Y(x)»1+x 2 +0,5x 4 жуық шешімін аламыз.

4.3-жаттығу.Лейбниц формуласы арқылы функциялардың туындысының n-ші туындысын табу үшін, 4.2-мысалда ізделетін функцияның кеңеюін Тейлор қатарында жазыңыз.

4.4-жаттығу 4.2-мысалдағы нақты шешімді табыңыз және [-0.5,0.5] кесіндісінде 4.2-мысалдағы жуықтау сапасын бағалаңыз.

Жоғарыда сипатталған әдістер тәжірибеде жиі қолданылмайды, өйткені Пикард әдісінде әр қадамда интегралды есептеу қажет, бұл есептеулерді қиындатады және дәлдікті нашарлатады, ал серияларды кеңейту әдісінде процесті ресімдеу өте қиын. кез келген тілдегі туынды сөздерді табу жоғары тәртіп, және кеңейту терминдерінің аз саны үшін бұл әдіс тек а нүктесіне жақын жерде жақсы жуықтау береді.

ГРАФИКАлардың арасында қарастырыңыз

Пикард әдісі Пикард Шарль Эмиль (1856-1941) француз математигі.

Бұл әдіс дифференциалдық теңдеудің (1) жуық шешімін аналитикалық түрде берілген функция түрінде алуға мүмкіндік береді.

Болмыс теоремасының шарттары бойынша бастапқы шарты (2) бар (1) теңдеудің шешімін табу қажет болсын. (1) теңдеудің сол және оң жақ бөліктерін келесіге дейінгі шектерде интегралдаймыз:

(9) интегралдық теңдеудің шешімі дифференциалдық теңдеуді (1) және бастапқы шартты (2) қанағаттандырады. Шынында да, біз мынаны аламыз:

Сонымен қатар (9) интегралдық теңдеу дәйекті жуықтау әдісін қолдануға мүмкіндік береді. (9) формуланың оң жағын кез келген функцияны (9) тармағына кіретін интеграл бар функциялар класынан) сол кластың басқа функциясына салыстыратын оператор ретінде қарастырамыз:

Егер бұл оператор контрактивті болса (бұл Пикар теоремасының шартынан туындайды), онда дәл шешімге жақындайтын жуықтаулар тізбегін құруға болады. Бастапқы жуықтау қабылданғандықтан, бірінші жуықтау табылғандай

Оң жағындағы интеграл тек x айнымалысын қамтиды; осы интегралды тапқаннан кейін х айнымалысының функциясы ретінде жуықтау үшін аналитикалық өрнек алынады. Әрі қарай (9) теңдеудің оң жағындағы у-ны табылған мәнмен ауыстырып, екінші жуықтауды аламыз.

және т.б. Жалпы жағдайда қайталанатын формуланың пішіні болады

(n=1, 2…) (10)

(10) формуланың циклдік қолданылуы функциялардың ретін береді

(9) интегралдық теңдеудің (және, демек, (1) бастапқы шарттары (2)) болатын дифференциалдық теңдеудің шешіміне жинақтау. Бұл да соны білдіреді k-ші тоқсан(11) тізбегі – белгілі бір бақыланатын дәлдік дәрежесімен (1) теңдеудің дәл шешіміне жуықтау.

Кезекті жуықтау әдісін пайдаланған кезде дифференциалдық теңдеудің оң жағының аналитикалық болуы қажет емес екенін ескеріңіз, сондықтан бұл әдісті дәрежелік қатардағы дифференциалдық теңдеудің шешімін кеңейту мүмкін емес жағдайларда да қолдануға болады.

Пикард қатесі

k-ші жуықтау үшін қатені бағалау формуламен берілген

мұндағы y(x) – дәл шешім, (4) теңсіздіктен Липшиц тұрақтысы.

Практикада Пикард әдісі өте сирек қолданылады. Себептерінің бірі – дәйекті жуықтауларды құру кезінде есептелуі қажет интегралдар көбінесе аналитикалық жолмен табылмайды және оларды сандық әдістерді есептеу үшін қолдану шешімді қиындатқаны сонша, бастапқыда басқа әдістерді тікелей қолдану әлдеқайда ыңғайлы болады. сандық.

Maple бағдарламасында есепті шешу мысалдары

№1 тапсырма: Кезекті жуықтау әдісін қолданып, мәнін табыңыз, дифференциалдық теңдеудің шешімі мұндағы: бастапқы шартты қанағаттандыру, кесінді бойынша, қадам жасау (екінші жуықтауды есептеңіз).

Берілген: - дифференциалдық теңдеу

Бастапқы жағдай

Интервал

Табу: мағынасы

Шешімі:

> y1:=жеңілдету(1+int(x+1, x=0…x));

> y2:= жеңілдету (1+int (x+simplify (1+int (x+1, x=0…x))^2, x=0…x));

x=0,5 мәнін табыңыз:

№2 тапсырма: Кезекті жуықтау әдісін пайдаланып, бастапқы шартты қанағаттандыратын дифференциалдық теңдеудің жуық шешімін табыңыз.

Берілген: - дифференциалдық теңдеу

Бастапқы жағдай

Табу: мағынасы

Шешімі:

Бұл DE-нің жуық шешімін қадамы бар сегментте (еркін таңдалған) табамыз.

Бұл жағдайға (10) түрінің формуласын жазайық.

> y1:=жеңілдету(1+int(x*1, x=0…x));

>y2:=жеңілдету (1+int (x*simplify (1+int (x*1, x=0…x)), x=0…x));

Сол сияқты біз үшінші жуықтауды табамыз:

>y3:=жеңілдету (1+int (x*жеңілдету (1+int (x*жеңілдету (1+int (x*1, x=0…x)), x=0…x)), x=0… x));

Осы DE-нің жуық шешімін табайық, ол үшін үшінші жуықтауда х орнына ауыстырып, алайық:

Алынған жуық нәтижені дифференциалдық теңдеудің нақты шешімімен салыстырайық:

Кестенің нәтижесі бойынша есептеу қателігі өте аз екенін көруге болады.

Бірінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеуді (ODE) қарастырамыз

бастапқы шартымен

y(x 0) \u003d y 0, (2)

Мұндағы f(x) – кейбір берілген, жалпы жағдайда екі айнымалының сызықтық емес функциясы. Бастапқы есеп немесе Коши есебі деп аталатын берілген есеп (1)-(2) үшін оның шешімі y=y [x 0 ,b] кесіндісінде бар және бірегейлікті қамтамасыз ететін талаптар орындалады деп есептейміз. (x).

(1) теңдеудің сыртқы қарапайымдылығына қарамастан, оны аналитикалық жолмен шешіңіз, яғни. табу ортақ шешім y \u003d y (x, C) одан кейін берілген нүкте арқылы өтетін y \u003d y (x) интегралдық қисығын таңдау үшін (x 0; y 0), бұл кейбіреулер үшін ғана мүмкін. ерекше түрлерімұндай теңдеулер. Сондықтан (1)-(2) тармақтарына қатысты интегралдарды есептеу есепіндегі сияқты, үш топқа бөлуге болатын ODE үшін бастапқы есептерді шешудің жуықтау әдістеріне сүйену керек:

1) шамамен аналитикалық әдістер;

2) графикалық немесе компьютерлік-графикалық әдістер;

3) сандық әдістер.

Бірінші топтың әдістеріне қандай да бір «жақсы» функция түрінде бірден y(x) шешімінің жуықтауын табуға мүмкіндік беретін әдістер жатады. φ (X).Мысалы, белгілі дәрежелі қатарлар әдісі, оның іске асырылуының бірі қажетті y(x) функциясын Тейлор қатарының сегментімен бейнелеуге негізделген, мұнда жоғары ретті туындылары бар Тейлор коэффициенттері (1) теңдеудің өзін дәйекті дифференциалдау арқылы табылады. Бұл әдістер тобының тағы бір өкілі - мәні төменде келтірілген тізбекті жуықтау әдісі.

Аты графикалық әдістер бұл мәселені графикалық интерпретациялауға байланысты белгілі бір ережелерге сәйкес құрастыруға болатын график түріндегі интервал бойынша қажетті шешімнің у(х) жуық көрінісі туралы айтады. Теңдеулердің кейбір түрлері үшін бастапқы есептерді физикалық немесе, мүмкін, электрлік интерпретациялау жуықтап шешудің компьютерлік-графикалық әдістерінің негізінде жатыр. Берілген электрлік процестерді физикалық және техникалық деңгейде жүзеге асыра отырып, осциллограф экранында осы процестерді сипаттайтын дифференциалдық теңдеулер шешімдерінің әрекеті байқалады. Теңдеудің параметрлерін өзгерту мамандандырылған аналогтық компьютерлердің (АСМ) негізі болып табылатын шешімдердің әрекетінің адекватты өзгеруіне әкеледі.

Ақырында, сандық есептеулердің адам қызметінің барлық салаларына қарқынды дамуымен және енуімен сипатталатын қазіргі уақытта ең маңыздысы дифференциалдық теңдеулерді шешудің сандық әдістері болып табылады, олар қажетті y шешімінің y i жуық мәндерінің сандық кестесін алуды қамтиды. (x) белгілі бір торда
x аргументінің мәндері. Бұл әдістер келесі талқылаудың тақырыбы болады. Шешімнің алынған сандық мәндерімен не істеу мәселенің қолданбалы тұжырымына байланысты. Егер біз тек y(b) мәнін табу туралы айтатын болсақ, онда b нүктесі x i есептелген нүктелер жүйесіне соңғы нүкте ретінде және соңғысынан басқа барлық жуық мәндер y i ≈y(x i) кіреді. бір, тек аралық ретінде қатысу, яғни. есте сақтауды немесе өңдеуді қажет етпейді. Кез келген x нүктесінде шамамен y(x) шешімі қажет болса, онда y i мәндерінің нәтижелі сандық кестесіне бұрын талқыланған кесте функцияларын жуықтау әдістерінің кез келгенін қолдануға болады, мысалы, интерполяция немесе сплайн интерполяциясы . Шешім туралы сандық деректерді басқа пайдалану да мүмкін.

Бастапқы есепті (1)-(2) шешудің бір жуықтап-аналитикалық әдісіне тоқталайық, онда x 0 нүктесінің қандай да бір оң жақ маңындағы қалаған шешімі y \u003d y (x) тізбегінің шегі болып табылады. белгілі бір жолмен алынған y n (x) функциялары.

(1) теңдеудің сол және оң бөліктерін x 0-ден х-ке дейінгі шекараларда біріктіреміз:

Демек, y"(x) үшін қарсы туындылардың бірі у(x) болатынын ескере отырып, біз мынаны аламыз.

немесе бастапқы шартты (2) пайдалана отырып,

(3)

Осылайша, бастапқы шарты (2) бар бұл дифференциалдық теңдеу (1) интегралдық теңдеуге айналдырылды (мұнда белгісіз функция интегралдық таңбаның астына енеді).

Алынған интегралдық теңдеу (3) бекітілген нүктелік есеп түрінде болады оператор үшін
Ресми түрде бұл мәселеге қарапайым итерациялар әдісін қолдануға болады

сызықтық және сызықтық емес алгебралық және трансценденттік теңдеулер жүйелеріне қатысты жеткілікті егжей-тегжейлі қарастырылады. Бастапқы функция ретінде y 0 (x) (2) тармағында көрсетілген у 0 тұрақтысын алып, (4) формула бойынша n=0 кезінде бірінші жуықтауды табамыз.

Оны n=1 орнына (4) ауыстыру екінші жуықтауды береді

және т.б. Осылайша, дәйекті жуықтау әдісі немесе Пикард әдісі деп аталатын бұл жуықтау-аналитикалық әдіс формуламен анықталады.

(5)

мұндағы n=0,1, 2,... және y 0 (x)=y 0 .

Теріс деп жіктеуге болатын Пикардтың дәйекті жуықтау әдісінің екі сипаттамасын атап өтеміз. Біріншіден, антитуындыларды тиімді табудың белгілі мәселелеріне байланысты (5) әдіс оның таза түрінде сирек жүзеге асырылады. Екіншіден, жоғарыда келтірілген мәлімдемеден көрініп тұрғандай, бұл әдісті бастапқы нүктенің оң жақ шағын маңайында шешімді жуықтау үшін қолайлы жергілікті деп санау керек. Пикар әдісі практикада табудан гөрі Коши мәселесінің шешімінің бар және бірегейлігін дәлелдеу үшін маңыздырақ.

№ 17 сабақ. Эйлер әдістері.

Мақсат -студенттерді қарапайым дифференциалдық теңдеулер үшін Коши есебін шешудің Эйлер әдістерімен таныстыру.