Шектеулер. Екінші керемет шек x шегі 2-ге ұмтылады
Шектеу дегеніміз не? Шек туралы түсінік
Әрбір адам, ерекшеліксіз, өз жанының бір жерінде шектеудің не екенін түсінеді, бірақ олар «функция шегі» немесе «дәйектілік шегі» дегенді естіген бойда, аздап шатасу болады.
Қорықпа, бұл тек білімсіздіктен! Төмендегілерді 3 минут оқығаннан кейін сіз сауатты боласыз.
Олардың кейбір шектеу позициялары, мәндері, жағдайлары туралы айтқан кезде және жалпы өмірдегі шектеу терминіне жүгінгенде нені білдіретінін біржолата түсіну маңызды.
Үлкендер мұны интуитивті түрде түсінеді, біз оны бірнеше мысалдармен талдаймыз.
Бір мысал
Chaif тобының әніндегі жолдарды еске түсірейік: «... оны шекке түсірме, шекке апарма ...».
Екінші мысал
Сіз заттың кеңістіктегі өте тұрақты орны туралы сөзді естігеніңіз анық.
Сіз өзіңіз осындай жағдайды импровизацияланған заттармен оңай модельдей аласыз.
Мысалы, пластикалық бөтелкені сәл еңкейтіп, оны босатыңыз. Ол түбіне қайта оралады.
Бірақ мұндай шектеулі бейімді позициялар бар, олардан тыс ол жай ғана құлап кетеді.
Тағы да, бұл жағдайда шектеу позициясы нақты нәрсе. Мұны түсіну маңызды.
Лимит терминін қолданудың көптеген мысалдарын келтіруге болады: адам мүмкіндіктерінің шегі, материалдың шекті беріктігі және т.б.
Жалпы, біз күнде заңсыздыққа тап боламыз)))
Бірақ қазір бізді математикадағы реттілік шегі мен функцияның шегі қызықтырады.
Математикадағы сандар тізбегінің шегі
Шек (сандық реттілік) математикалық талдаудың негізгі ұғымдарының бірі болып табылады. Қазіргі ғылымды анықтайтын жүздеген, жүздеген теоремалар шекке өту тұжырымдамасына негізделген.
Түсінікті болу үшін нақты мысал.
Сандардың шексіз тізбегі бар делік, олардың әрқайсысы алдыңғының жартысы, бірінен бастап: 1, ½, ¼, ...
Сонымен, сандық реттілік шегі (егер ол бар болса) белгілі бір мән болып табылады.
Жартысына бөлу процесінде тізбектің әрбір келесі мәні белгілі бір санға шексіз жақындайды.
Ол нөлге тең болатынын болжау оңай.
Маңызды!
Біз шектің (шектік мәннің) болуы туралы айтатын болсақ, бұл тізбектің кейбір мүшесі осы шекті мәнге тең болады дегенді білдірмейді. Ол тек соған ұмтыла алады.
Біздің мысалдан бұл анық. Қанша рет бір-бірден екіге бөлсек те, нөл болмайды. Алдыңғы санның жартысы ғана болады, бірақ нөл емес!
Математикадағы функцияның шегі
Математикалық талдауда, әрине, ең маңыздысы – функцияның шегі ұғымы.
Теорияға тереңірек үңілмей, мынаны айтайық: функцияның шекті мәні әрқашан функцияның мәндерінің диапазонына жатпауы мүмкін.
Аргумент өзгерген кезде функция белгілі бір мәнге ұмтылады, бірақ оны ешқашан қабылдамауы мүмкін.
Мысалы, гипербола 1/хкез келген нүктеде нөлдік мәнге ие емес, бірақ ол нөлге ұмтылатындықтан шексіз нөлге ұмтылады. xшексіздікке.
Лимиттік калькулятор
Біздің мақсатымыз сізге теориялық білім беру емес, бұл үшін көптеген ақылды қалың кітаптар бар.
Бірақ біз сізді пайдалануға шақырамыз онлайн калькуляторШешімді дұрыс жауаппен салыстыруға болатын шектеулер.
Сонымен қатар, калькулятор нүктедегі немесе белгілі бір кесіндідегі үздіксіз функцияның алымы мен бөлімін дифференциалдау арқылы жиі L'Hopital ережесін қолдана отырып, шектеулердің сатылы шешімін береді.
Лимиттер математиканың барлық студенттеріне көп қиындық тудырады. Шектеуді шешу үшін кейде көптеген трюктерді қолдануға және әртүрлі шешімдердің ішінен нақты мысалға сәйкес келетінін таңдауға тура келеді.
Бұл мақалада біз сіздің қабілеттеріңіздің шегін түсінуге немесе бақылау шегін түсінуге көмектеспейміз, бірақ біз сұраққа жауап беруге тырысамыз: жоғары математикадағы шектеулерді қалай түсінуге болады? Түсіну тәжірибе арқылы келеді, сондықтан біз түсіндірмелермен шектеулерді шешудің егжей-тегжейлі мысалдарын береміз.
Математикадағы шек ұғымы
Бірінші сұрақ: ненің шегі және ненің шегі? Сандық тізбектер мен функциялардың шектері туралы айтуға болады. Бізді функцияның шегі ұғымы қызықтырады, өйткені олармен студенттер жиі кездеседі. Бірақ біріншіден, шектеудің ең жалпы анықтамасы:
Біраз бар делік айнымалы. Егер бұл мән өзгеру процесінде белгілі бір санға шексіз жақындаса а , Бұл а бұл мәннің шегі болып табылады.
Кейбір интервалда анықталған функция үшін f(x)=y шектеу - бұл сан А , оған функция қашан ұмтылады X белгілі бір нүктеге ұмтылады А . Нүкте А функция анықталған интервалға жатады.
Бұл қиын көрінеді, бірақ ол өте қарапайым жазылған:
Лим- ағылшын тілінен шектеу- шектеу.
Сондай-ақ шекті анықтаудың геометриялық түсіндірмесі бар, бірақ бұл жерде біз теорияға бармаймыз, өйткені бізді мәселенің теориялық жағына қарағанда практикалық жағы қызықтырады. Біз мұны айтқанда X қандай да бір мәнге ұмтылады, бұл айнымалы санның мәнін қабылдамайды, бірақ оған шексіз жақындайды.
Нақты мысал келтірейік. Мәселе шегін табу.
Бұл мысалды шешу үшін мәнді ауыстырамыз x=3 функцияға айналдырады. Біз алып жатырмыз:
Айтпақшы, егер сізді матрицалардағы негізгі операциялар қызықтырса, осы тақырып бойынша бөлек мақаланы оқыңыз.
Мысалдарда X кез келген мәнге бейім болуы мүмкін. Ол кез келген сан немесе шексіз болуы мүмкін. Міне, мысалы, қашан X шексіздікке ұмтылады:
Бұл интуитивті түрде түсінікті көбірек санбөлгіште функция соғұрлым кіші мәнді қабылдайды. Сонымен, шексіз өсумен X мағынасы 1/х төмендейді және нөлге жақындайды.
Көріп отырғаныңыздай, шектеуді шешу үшін функцияға ұмтылатын мәнді ауыстыру қажет. X . Дегенмен, бұл ең қарапайым жағдай. Көбінесе шекті табу соншалықты айқын емес. Шектердің ішінде түрдегі белгісіздіктер бар 0/0 немесе шексіздік/шексіздік . Мұндай жағдайларда не істеу керек? Фокустарды қолданыңыз!
Ішіндегі белгісіздік
Infinity/infinity пішінінің белгісіздігі
Шектеу болсын:
Функцияға шексіздікті қоюға тырыссақ, алымда да, бөлгіште де шексіздік аламыз. Жалпы, мұндай белгісіздіктерді шешуде өнердің белгілі бір элементі бар екенін айту керек: функцияны белгісіздік жойылатындай етіп түрлендіруге болатынын байқау керек. Біздің жағдайда алым мен азайтқышты бөлеміз X жоғары дәрежеде. Не болады?
Жоғарыда қарастырылған мысалдан біз бөлгіште х бар терминдер нөлге бейім болатынын білеміз. Сонда шектің шешімі:
Түрдің анық еместігін ашу үшін шексіздік/шексіздікалым мен азайтқышты бөлу Xең жоғары дәрежеге дейін.
Айтпақшы! Біздің оқырмандар үшін қазір 10% жеңілдік бар кез келген жұмыс түрі
Белгісіздіктің басқа түрі: 0/0
Әдеттегідей, мән функциясына ауыстыру x=-1 береді 0 алым мен бөлгіште. Кішкене мұқият қарасаңыз, бізде алымдағы бар екенін байқайсыз квадрат теңдеу. Түбірлерін тауып жазайық:
азайтып, алайық:
Сонымен, егер сіз екіұштылыққа тап болсаңыз 0/0 - алым мен азайтқышты көбейткіштерге бөлу.
Мысалдарды шешуді жеңілдету үшін, мұнда кейбір функциялардың шектеулері бар кесте берілген:
Ішіндегі L'Hopital ережесі
Белгісіздіктің екі түрін де жоюдың тағы бір қуатты жолы. Әдістің мәні неде?
Егер шекте белгісіздік болса, белгісіздік жойылғанша алым мен бөлгіштің туындысын аламыз.
Көрнекі түрде L'Hopital ережесі келесідей көрінеді:
Маңызды нүкте : алым мен азайтқыштың орнына алым мен бөлгіштің туындылары болатын шек болуы керек.
Ал енді нақты мысал:
Әдеттегі белгісіздік бар 0/0 . Алым мен бөлгіштің туындыларын алайық:
Voila, белгісіздік тез және талғампаздықпен жойылады.
Сіз бұл ақпаратты тәжірибеде тиімді пайдалана аласыз және «жоғары математикадағы шектерді қалай шешуге болады» деген сұраққа жауап таба аласыз деп үміттенеміз. Егер нүктедегі реттілік шегін немесе функция шегін есептеу қажет болса және бұл жұмысқа «мүлдем» сөзінен бастап уақыт болмаса, жылдам және егжей-тегжейлі шешім алу үшін кәсіби студенттік қызметке хабарласыңыз.
Шектеу дегеніміз не? Шек туралы түсінік
Әрбір адам, ерекшеліксіз, өз жанының бір жерінде шектеудің не екенін түсінеді, бірақ олар «функция шегі» немесе «дәйектілік шегі» дегенді естіген бойда, аздап шатасу болады.
Қорықпа, бұл тек білімсіздіктен! Төмендегілерді 3 минут оқығаннан кейін сіз сауатты боласыз.
Олардың кейбір шектеу позициялары, мәндері, жағдайлары туралы айтқан кезде және жалпы өмірдегі шектеу терминіне жүгінгенде нені білдіретінін біржолата түсіну маңызды.
Үлкендер мұны интуитивті түрде түсінеді, біз оны бірнеше мысалдармен талдаймыз.
Бір мысал
Chaif тобының әніндегі жолдарды еске түсірейік: «... оны шекке түсірме, шекке апарма ...».
Екінші мысал
Сіз заттың кеңістіктегі өте тұрақты орны туралы сөзді естігеніңіз анық.
Сіз өзіңіз осындай жағдайды импровизацияланған заттармен оңай модельдей аласыз.
Мысалы, пластикалық бөтелкені сәл еңкейтіп, оны босатыңыз. Ол түбіне қайта оралады.
Бірақ мұндай шектеулі бейімді позициялар бар, олардан тыс ол жай ғана құлап кетеді.
Тағы да, бұл жағдайда шектеу позициясы нақты нәрсе. Мұны түсіну маңызды.
Лимит терминін қолданудың көптеген мысалдарын келтіруге болады: адам мүмкіндіктерінің шегі, материалдың шекті беріктігі және т.б.
Жалпы, біз күнде заңсыздыққа тап боламыз)))
Бірақ қазір бізді математикадағы реттілік шегі мен функцияның шегі қызықтырады.
Математикадағы сандар тізбегінің шегі
Шек (сандық реттілік) математикалық талдаудың негізгі ұғымдарының бірі болып табылады. Қазіргі ғылымды анықтайтын жүздеген, жүздеген теоремалар шекке өту тұжырымдамасына негізделген.
Түсінікті болу үшін нақты мысал.
Сандардың шексіз тізбегі бар делік, олардың әрқайсысы алдыңғының жартысы, бірінен бастап: 1, ½, ¼, ...
Сонымен, сандық реттілік шегі (егер ол бар болса) белгілі бір мән болып табылады.
Жартысына бөлу процесінде тізбектің әрбір келесі мәні белгілі бір санға шексіз жақындайды.
Ол нөлге тең болатынын болжау оңай.
Маңызды!
Біз шектің (шектік мәннің) болуы туралы айтатын болсақ, бұл тізбектің кейбір мүшесі осы шекті мәнге тең болады дегенді білдірмейді. Ол тек соған ұмтыла алады.
Біздің мысалдан бұл анық. Қанша рет бір-бірден екіге бөлсек те, нөл болмайды. Алдыңғы санның жартысы ғана болады, бірақ нөл емес!
Математикадағы функцияның шегі
Математикалық талдауда, әрине, ең маңыздысы – функцияның шегі ұғымы.
Теорияға тереңірек үңілмей, мынаны айтайық: функцияның шекті мәні әрқашан функцияның мәндерінің диапазонына жатпауы мүмкін.
Аргумент өзгерген кезде функция белгілі бір мәнге ұмтылады, бірақ оны ешқашан қабылдамауы мүмкін.
Мысалы, гипербола 1/хкез келген нүктеде нөлдік мәнге ие емес, бірақ ол нөлге ұмтылатындықтан шексіз нөлге ұмтылады. xшексіздікке.
Лимиттік калькулятор
Біздің мақсатымыз сізге теориялық білім беру емес, бұл үшін көптеген ақылды қалың кітаптар бар.
Бірақ біз сізге онлайн шектеу калькуляторын пайдалануды ұсынамыз, оның көмегімен шешіміңізді дұрыс жауаппен салыстыруға болады.
Сонымен қатар, калькулятор нүктедегі немесе белгілі бір кесіндідегі үздіксіз функцияның алымы мен бөлімін дифференциалдау арқылы жиі L'Hopital ережесін қолдана отырып, шектеулердің сатылы шешімін береді.
Бұл мақалада шектеулерді қалай табуға болатынын білгісі келетіндер үшін біз бұл туралы айтатын боламыз. Біз теорияны тереңдете бермейміз, оны әдетте оқытушылар лекциясында береді. Сондықтан дәптерлеріңізде «қызықсыз теорияны» атап өту керек. Олай болмаса, кітапханадан алынған оқулықтарды оқуға болады оқу орнынемесе басқа онлайн ресурстар.
Сонымен, курсты оқуда шек ұғымы өте маңызды жоғары математика, әсіресе интегралдық есептеулермен кездесіп, шек пен интеграл арасындағы байланысты түсінгенде. Ағымдағы материалда қарапайым мысалдар, сондай-ақ оларды шешу жолдары қарастырылады.
Шешу мысалдары
| 1-мысал |
| Есептеңіз a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $ |
| Шешім |
|
a) $$ \lim \limits_(x \0-ден) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \-дан \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Біз бұл шектеулерді шешуге көмек сұрап жиі жібереміз. Біз оларды бөлек мысал ретінде көрсетуді жөн көрдік және бұл шектеулерді, әдетте, есте сақтау керек екенін түсіндіруді жөн көрдік. Мәселеңізді шеше алмасаңыз, оны бізге жіберіңіз. қамтамасыз етеміз егжей-тегжейлі шешім. Есептің орындалу барысымен танысып, ақпарат жинай аласыз. Бұл сізге мұғалімнен дер кезінде несие алуға көмектеседі! |
| Жауап |
| $$ \text(a)) \lim \limits_(x \dan \0-ге дейін) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \\infty) \frac (1 )(x) = 0 $$ |
Пішіннің белгісіздігімен не істеу керек: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $
| 3-мысал |
| $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $ шешіңіз. |
| Шешім |
|
Әдеттегідей, біз $ x $ мәнін шек белгісінің астындағы өрнекке ауыстырудан бастаймыз. $$ \lim \limits_(x \ -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0) $$ Келесі не? Нәтиже қандай болуы керек? Бұл белгісіздік болғандықтан, бұл әлі жауап емес және біз есептеуді жалғастырамыз. Бөлімшелерде көпмүше болғандықтан, біз оны $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$ формуласы арқылы көбейткіштерге бөлеміз. Есте қалды ма? Тамаша! Енді әрі қарай оны әнмен бірге қолданыңыз :) $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ алымын аламыз Жоғарыдағы түрлендіруді ескере отырып, біз шешуді жалғастырамыз: $$ \lim \limits_(x \-1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \-1)\frac((x-1)(x+ 1) ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$ |
| Жауап |
| $$ \lim \limits_(x \-1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$ |
Соңғы екі мысалдағы шекті шексіздікке алып, белгісіздікті қарастырайық: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $
| 5-мысал |
| $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $ есептеңіз |
| Шешім |
|
$ \lim \limits_(x \\infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Енді не істеу керек? Не істейін? Дүрбелең емес, өйткені мүмкін емес нәрсе мүмкін. Алымдағы да, Х бөлгішіндегі де жақшаларды алып тастау керек, содан кейін оны азайту керек. Осыдан кейін шекті есептеп көріңіз. Әрекет етуде... $$ \lim \limits_(x \\\infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \\infty) \frac(x^2(1-\frac) (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \\infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ 2-мысалдағы анықтаманы пайдаланып және х орнына шексіздікті қолданып, біз мынаны аламыз: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty))))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$ |
| Жауап |
| $$ \lim \limits_(x \\infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$ |
Лимиттерді есептеу алгоритмі
Сонымен, талданған мысалдарды қысқаша қорытындылап, шектеулерді шешу алгоритмін құрайық:
- Шектеу белгісінен кейінгі өрнектегі х нүктесін қойыңыз. Егер белгілі бір сан немесе шексіздік алынса, онда шек толығымен шешілді. Әйтпесе, бізде белгісіздік бар: «нөлге бөлінген нөл» немесе «шексіздікке бөлінген шексіздік» және нұсқаулықтың келесі абзацтарына өтіңіз.
- «Нөлді нөлге бөлу» белгісіздігін жою үшін алым мен бөлгішті көбейткіштерге бөлу керек. Ұқсастарды азайтыңыз. Өрнектегі х нүктесін шек таңбасының астына қойыңыз.
- Егер белгісіздік «шексіздікке бөлінген шексіздік» болса, онда ең үлкен дәрежедегі алымдағы да, х бөлгішінен де шығарамыз. Біз x-ті қысқартамыз. Қалған өрнекке шектің астындағы x мәндерін ауыстырамыз.
Бұл мақалада сіз курста жиі қолданылатын шекті шешудің негіздерімен таныстыңыз. Математикалық талдау. Әрине, бұл емтихан алушылар ұсынатын есептердің барлық түрлері емес, тек қарапайым шектеулер. Тапсырмалардың басқа түрлері туралы біз алдағы мақалаларда айтатын боламыз, бірақ алға жылжу үшін алдымен осы сабақты үйрену керек. Түбірлер, дәрежелер болса не істеу керектігін талқылаймыз, шексіз аз эквивалентті функцияларды, тамаша шектерді, L'Hopital ережесін зерттейміз.
Егер сіз шектеулерді өзіңіз анықтай алмасаңыз, үрейленбеңіз. Біз әрқашан көмектесуге қуаныштымыз!
Жүктелуде...
