Түзу сызықтағы нүктенің проекциясы, нүктенің түзудегі проекциясының координаталары. Нүктенің түзуге проекциясы, нүктенің түзуге проекциясының координаттары Нүктенің түзуге ортогональ проекциясы онлайн калькулятор

1-12. Нүктенің жазықтыққа немесе түзуге проекциясы

МӘСЕЛЕНІҢ ТҰЖЫРЫМЫ. P(^PiURCHzp) нүктесінің Ax + By -\- Cz-\- D \u003d O жазықтығына P" проекциясының координаталарын табыңыз.

ШЕШІМ ЖОСПАРЫ. Р нүктесінің жазықтыққа проекциясы Р нүктесінен осы жазықтыққа түсірілген перпендикулярдың табаны болады.

1. Берілген жазықтыққа перпендикуляр Р нүктесі арқылы өтетін түзудің теңдеулерін құрастырамыз. Ол үшін бағыттаушы вектор ретінде түзу сызықты аламыз қалыпты векторжазықтық: a \u003d n \u003d \u003d (A, B, C). Сонда жолдың канондық теңдеулері пішінге ие болады

X = At-\- xp, y = Bt-\-yp, Z = z Ct-\- Zp.

3. Жазық теңдеуге x^y^z орнына қойып, оны t-ге қатысты шешіп, түзу мен жазықтық қиылысатын t = параметрінің мәнін табамыз.

4. Табылған ^o мәні түзудің параметрлік теңдеулеріне ауыстырылады және нүктенің қажетті координаталарын аламыз. R».

Пікір қалдыру. Нүктенің түзуге проекциясының координаталарын табу мәселесі де осылай шешіледі.

МЫСАЛ. ЗЖ - 2/4-22 жазықтығына P (1,2, -1) нүктесінің P " проекциясының координаталарын табыңыз: - 4 \u003d 0.

1. Берілген жазықтыққа перпендикуляр Р нүктесі арқылы өтетін түзудің теңдеулерін құрастырамыз. Ол үшін түзудің бағыттаушы векторы ретінде жазықтықтың нормаль векторын аламыз: a = n =

3. Осы өрнектерді x^ y және z үшін жазықтықтың теңдеуіне қойып, түзу мен жазықтық қиылысатын ^ параметрінің мәнін табамыз:

3(3t + 1) - l(-t + 2) + 2(2t - 1) - 27 = O => -дан = 2-ге дейін.

4. Табылған мәнді түзудің параметрлік теңдеулеріне = 2-ге қойып, х0 = 7, у0 = 0, у0 = 1 аламыз.

Сонымен, түзу мен жазықтықтың қиылысу нүктесі және, демек, П нүктесінің жазықтықтағы проекциясы координаталарына (7,0,1) ие.

Жауап. P» проекциясының координаттары (7,0,1) бар.

Жауаптар. 1.(2,3/2,2). 2. (-3/2,-3/2,-1/2). 3.(2,-1/2,-3/2). 4. (-1/2,1,1). 5.(1,-1/2,-1/2). 6.(3/2,-1/2,0). 7.(1/2,-1,-1/2). 8.(1/2,-1/2,1/2). 9.(1/2,-1/2,1/2). 10.(1,1/2,0).

1.13. Түзу немесе жазықтыққа қатысты симметрия

МӘСЕЛЕНІҢ ТҰЖЫРЫМЫ.Симметриялы Q нүктесінің координаталарын табыңыз

ШЕШІМ ЖОСПАРЫ. Қажетті Q нүктесі берілгенге перпендикуляр түзуде жатыр және оны P" нүктесінде қиып өтеді. P" нүктесі PQ кесіндісін екіге бөлетіндіктен, Q Нүктесінің w, yd және ZQ координаталары шарттардан анықталады.

оның берілген түзуге P» проекциясы.

1. Нүктенің проекциясын табыңызР берілген түзу сызыққа, яғни. P тармағы (1.12 есепті қараңыз). Ол үшін:

а) берілген түзуге перпендикуляр Р нүктесі арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін құрастыр. Бұл жазықтықтың нормаль векторы p ретінде берілген түзудің бағыттаушы векторын алуға болады, яғни. n = a = (l^m^n). Біз алып жатырмыз

1 (x - Xp) + m (y - UR) -f n (z - zp) \u003d 0;

б) берілген түзумен осы жазықтықтың Р қиылысу нүктесінің координаталарын табыңыз.Ол үшін түзудің теңдеулерін параметрлік түрде жазамыз.

X = H-\-jo, y = mt-\-yo, Z = nt-\- ZQ.

Жазықтықтың теңдеуіне x^y^z-ді қойып, оны t-ге қатысты шешіп, түзу мен жазықтық қиылысатын t = параметрінің мәнін табамыз;

в) табылған мәнді түзудің параметрлік теңдеулеріне ауыстырып, Р" нүктесінің қажетті координаталарын аламыз.

2. Берілген түзуге қатысты Р нүктесіне симметриялы Q нүктесінің координаталары (1) шарттардан анықталады. Біз алып жатырмыз

XQ = 2xp/ - Xp, yq = 2ur" - ur, ZQ = 22;p/ - zp.

Пікір қалдыру. Жазықтыққа қатысты берілген нүктеге симметриялы нүктенің координаталарын табу мәселесі де осылай шешіледі.

МЫСАЛ. түзуіне қатысты P(2, -1,2) нүктесіне симметриялы Q нүктесінің координаталарын табыңыз.

X - 1 _ y __ Z -\-1

ШЕШІМ.

1. Нүктенің проекциясын табыңызР берілген түзу сызыққа, яғни. P нүктесі. Ол үшін:

а) берілген түзуге перпендикуляр Р нүктесі арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуін құрастыр. Осы жазықтықтың нормаль векторы p ретінде осы түзудің бағыттаушы векторын алуға болады: n = a = (1,0,-2). Содан кейін

Бұл өрнектерді x, y және z үшін жазықтықтың теңдеуіне қойып, түзу мен жазықтық қиылысатын t параметрінің мәнін табамыз: дейін = -1;

в) түзудің параметрлік теңдеулеріне табылған мәнді = -1-ге қойып, аламыз

zhp/ = 0, g/p/ = 0, zpr = 1.

Сонымен, түзу мен жазықтықтың қиылысу нүктесі және, демек, Р нүктесінің түзуге проекциясы Р"(0,0,1) болады.

2. Берілген түзуге қатысты Р нүктесіне симметриялы Q нүктесінің координаталары (1) шарттардан анықталады:

XQ \u003d 2xp "- Xp \u003d -2,

VQ \u003d 2ur / - 2 / p \u003d 1,

ZQ = 2zpf - zp = 0.

Жауап. Q нүктесінің координаттары бар (-2,1,0).

ТАПСЫРМА ШАРТТАРЫ. Берілген түзуге қатысты Р нүктесіне симметриялы нүктенің координаталарын табыңыз.

Нүктенің түзу сызыққа проекциясы өте қарапайым түрде табылады және кейбір амалдарды орындау кезінде нөлдік жуықтау нүктенің жанама түзуге проекциясы ретінде есептеледі. Осыны қарастырыңыз жеке оқиғажалпы тапсырма.

Түзу сызық берілсін

және нүкте. w түзу векторының ерікті ұзындығы бар деп есептейміз. Түзу сызық t параметрі нөлге тең және w векторының бағытына ие болатын нүкте арқылы өтеді. Түзудегі нүктенің проекциясын табу талап етіледі. Бұл мәселенің бірегей шешімі бар. Түзу нүктесінен нүктеге векторды тұрғызып, осы вектор мен w түзу векторының скаляр көбейтіндісін есептейік. Суретте. 4.5.1 w түзуінің бағыттаушы векторын, оның бастапқы Co нүктесін және проекциясын көрсетеді; берілген нүкте. Осы скаляр көбейтіндіні w векторының ұзындығына бөлсек, вектордың түзу сызыққа проекциясының ұзындығын аламыз.

Күріш. 4.5.1. Нүктенің түзу сызыққа проекциясы

Егер осы скаляр көбейтіндіні w векторының ұзындығының квадратына бөлетін болсақ, онда вектордың түзу сызыққа проекциясының ұзындығын w векторының ұзындығының бірліктерімен аламыз, яғни t параметрін аламыз. нүктенің түзу сызыққа проекциясы.

Сонымен, нүктенің түзуге проекциялау параметрі және проекцияның радиус векторы ; формулалар арқылы есептеледі

(4.5.3)

Егер w векторының ұзындығы біреуге тең болса, онда (4.5.2) -ге бөлу талап етілмейді Нүктеден оның қисыққа проекциясына дейінгі қашықтық әдетте вектордың ұзындығы ретінде есептеледі. Нүктеден оның түзу сызыққа проекциясына дейінгі қашықтықты нүктенің проекциясын есептемей-ақ, формула арқылы анықтауға болады.

Ерекше жағдайлар.

Нүктенің аналитикалық қисықтарға проекциясын сандық әдістерді қолданбай-ақ табуға болады. Мысалы, нүктенің конустық кесіндіге проекциясын табу үшін проекцияланатын нүктені конус қимасының жергілікті координаталар жүйесіне аударып, осы нүктені конус қимасының жазықтығына проекциялап, екеуінің параметрін табу керек. -берілген нүктенің өлшемді проекциясы.

Жалпы жағдай.

Қисық сызыққа нүктенің барлық проекцияларын табу талап етілсін.Қисықтың әрбір қажетті нүктесі теңдеуді қанағаттандырады.

(4.5.5)

Бұл теңдеу бір белгісіз шаманы – t параметрін қамтиды. Жоғарыда айтылғандай, біз бұл мәселені шешуді екі кезеңге бөлеміз. Бірінші кезеңде нүктенің қисыққа проекцияларының параметрлерінің нөлдік жуықтауларын анықтаймыз, ал екінші кезеңде берілген нүктенің проекцияларын анықтайтын қисық параметрлерінің нақты мәндерін табамыз. арқылы қисық сызыққа

Бұл онлайн калькулятордың көмегімен сіз нүктенің түзуге проекциясын таба аласыз. берілген егжей-тегжейлі шешімтүсіндірмелерімен. Түзу сызықтағы нүктенің проекциясын есептеу үшін өлшемді көрсетіңіз (2-егер түзу жазықтықта қарастырылса, 3-егер түзу кеңістікте қарастырылса), нүктенің координаталары мен элементтерін енгізіңіз. ұяшықтардағы теңдеуді тауып, «Шешу» түймесін басыңыз.

×

Ескерту

Барлық ұяшықтарды тазалау керек пе?

Жабу Таза

Мәліметтерді енгізу нұсқаулығы.Сандар бүтін сандар (мысалы: 487, 5, -7623, т.б.), ондық сандар (мысалы, 67., 102.54, т.б.) немесе бөлшек сандар ретінде енгізіледі. Бөлшекті a/b түрінде теру керек, мұнда a және b (b>0) бүтін сандар немесе ондық сандар. Мысалдар 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, т.б.

Нүктенің түзуге проекциясы – теория, мысалдар және шешімдер

Бұл мәселені екі өлшемді және үш өлшемді кеңістікте қарастырайық.

1. Екі өлшемді кеңістікте нүкте берілсін М 0 (x 0 , ж 0) және тікелей Л:

Түзудегі нүктенің проекциясын табу алгоритмі Лкелесі қадамдарды қамтиды:

• түзу сызық салу Л 1 нүкте арқылы өту М 0 және түзуге перпендикуляр Л,
• түзулердің қиылысуын табыңыз ЛЖәне Л 1 (нүкте М 1)

Нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі М 0 (x 0 , ж 0) келесі нысанда болады:

Жақшаларды ашайық

(5)

Мәндерді ауыстырыңыз xЖәне ж 4-те):

Қайда x 1 =мт»+x", ж 1 =pt"+у".

Мысал 1. Нүктенің проекциясын табыңыз М 0 (1, 3) тікелей

Анау. м=4, б=5. нүктесі арқылы өтетінін (6) түзудің теңдеуінен көруге болады М" (x", у")=(2, −3)(мұны тексеру оңай – бұл мәндерді (6) орнына қойып, 0=0 сәйкестігін аламыз), яғни. x"=2, у"=-3. Мәндерді ауыстырыңыз m, p, x 0 , ж 0 ,x",y" 5"):

2. Үш өлшемді кеңістікте нүкте берілсін М 0 (x 0 , ж 0 , z 0) және тікелей Л:

Нүктенің түзуге проекциясын табу Лкелесі қадамдарды қамтиды:

• ұшақ жасау α нүктесі арқылы өтеді М 0 және түзуге перпендикуляр Л,
• жазықтықтың қиылысуын табыңыз α және тікелей Л(нүкте М 1)

Нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі М 0 (x 0 , ж 0 , z 0) келесі нысанда болады:

Жақшаларды ашайық

Мәндерді ауыстырыңыз xЖәне ж 9-да):

Бұл мақалада нүктенің түзу сызыққа (оське) проекциясы түсінігі қарастырылады. Түсіндірме фигураның көмегімен анықтаймыз; нүктенің түзудегі (жазықтықта немесе үш өлшемді кеңістіктегі) проекциясының координаталарын анықтау әдісін зерттейміз; мысалдарды қарастырайық.

«Нүктенің жазықтыққа проекциясы, координаттар» мақаласында фигураның проекциясы перпендикуляр немесе ортогональ проекцияның жалпылама ұғымы екенін айттық.

Барлық геометриялық фигураларнүктелерден тұрады, сәйкесінше бұл фигураның проекциясы оның барлық нүктелерінің проекцияларының жиынтығы болып табылады. Сондықтан фигураны түзу сызыққа проекциялай білу үшін нүктені түзу сызыққа проекциялау дағдысын меңгеру керек.

Анықтама 1

Нүктенің түзуге проекциясы- бұл не нүктенің өзі, егер ол берілген түзуге жататын болса, немесе осы нүктеден берілген түзуге түсірілген перпендикуляр негізі.

Төмендегі суретті қарастырайық: Н 1 нүктесі М 1 нүктесінің а түзуіне проекциясы қызметін атқарады, ал түзуге жататын М 2 нүктесі өзінің проекциясы болып табылады.

Бұл анықтама жазықтықтағы және үш өлшемді кеңістіктегі жағдайға қатысты.

М 1 нүктесінің жазықтықтағы а түзуіне проекциясын алу үшін берілген М 1 нүктесі арқылы b өтетін және а түзуіне перпендикуляр түзу жүргізеді. Сонымен a және b түзулерінің қиылысу нүктесі М 1 нүктесінің а түзуіне проекциясы болады.

Үш өлшемді кеңістікте а түзуінің қиылысу нүктесі мен M 1 нүктесі арқылы өтетін және а түзуіне перпендикуляр α жазықтығы нүктенің түзуге проекциясы қызметін атқарады.

Түзуге нүктенің проекциясының координаталарын табу

Бұл мәселені жазықтықта және үш өлшемді кеңістікте проекциялау жағдайларында қарастырайық.

Бізге O x y тік бұрышты координаталар жүйесі, M 1 (x 1, y 1) нүктесі және а түзуі берілсін. М 1 нүктесінің а түзуіне проекциясының координаталарын табу керек.

Берілген M 1 (x 1, y 1) нүктесі арқылы а түзуіне перпендикуляр в түзуін саламыз. Біз қиылысу нүктесін H 1 деп белгілейміз. H 1 нүктесі М 1 нүктесінің а түзуіне проекциялау нүктесі болады.

Сипатталған конструкциядан M 1 (x 1, y 1) нүктесінің а түзуіне проекциясының координаталарын табуға мүмкіндік беретін алгоритмді құрастыруға болады:

Түзу теңдеуін құрастырамыз (егер ол орнатылмаса). Бұл әрекетті орындау үшін жазықтықта негізгі теңдеулерді құрастыру дағдысы қажет;

b түзуінің теңдеуін жазамыз (М 1 нүктесі арқылы өтетін және а түзуіне перпендикуляр). Бұл жерде берілген түзуге перпендикуляр берілген нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі туралы мақала көмектеседі;

Қалаған проекция координаталарын a және b түзулерінің қиылысу нүктесінің координаталары ретінде анықтаймыз. Ол үшін құраушылары а және b түзулерінің теңдеулері болатын теңдеулер жүйесін шешеміз.

1-мысал

O x y жазықтығында M 1 (1, 0) нүктелері мен а түзуі берілген (жалпы теңдеу 3 x + y + 7 = 0). М 1 нүктесінің а түзуіне проекциясының координаталарын анықтау керек.

Шешім

Берілген жолдың теңдеуі белгілі, сондықтан алгоритм бойынша b түзуінің теңдеуін жазу қадамына көшеміз. b түзуі а түзуіне перпендикуляр, яғни а түзуінің нормаль векторы b түзуінің бағыт векторы қызметін атқарады. Сонда b түзуінің бағыттаушы векторын былай жазуға болады b → = (3 , 1) . Сонымен қатар b түзуінің канондық теңдеуін жазамыз, өйткені бізге b түзуі өтетін М 1 нүктесінің координаталары да берілген:

Соңғы қадам a және b түзулерінің қиылысу нүктесінің координаталарын анықтау болып табылады. Одан әрі қарай жүрейік канондық теңдеулероның жалпы теңдеуіне b түзу:

x - 1 3 = y 1 ⇔ 1 (x - 1) = 3 y ⇔ x - 3 y - 1 = 0

a және b түзулерінің жалпы теңдеулерінен теңдеулер жүйесін құрастырамыз және оны шешеміз:

3 x + y + 7 = 0 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 (- 3 x - 7 ) - 1 = 0 ⇔ ⇔ y = - 3 x - 7 x = - 2 ⇔ y = - 3 (- 2) - 7 x = - 2 ⇔ y = - 1 x = - 2

Соңында M 1 (1, 0) нүктесінің 3 x + y + 7 = 0 түзуіне проекциясының координаталарын алдық: (- ​​2, - 1) .

Жауап: (- 2 , - 1) .

Берілген нүктенің координаталық түзулерге және оларға параллель түзулерге проекциясының координаталарын анықтау қажет болған жағдайды толығырақ қарастырайық.

O x және O y координаталық түзулері, сондай-ақ M 1 (x 1 , y 1) нүктесі берілсін. Берілген нүктенің у = 0 түріндегі О х координаталық түзуіне проекциясы координаталары (x 1 , 0) нүкте болатыны анық. Сонымен, берілген нүктенің O y координаталық түзуіндегі проекциясының координаталары 0, у 1 болады.

Х осіне параллель кез келген ерікті түзуді толық емес беруге болады жалпы теңдеу B y + C \u003d 0 ⇔ y \u003d - C B, ал ордината осіне параллель түзу - A x + C \u003d 0 ⇔ x \u003d - C A.

Сонда M 1 (x 1, y 1) нүктесінің y \u003d - C B және x \u003d - C A түзулеріне проекциялары координаталары x 1, - C B және - C A, y 1 болатын нүктелер болады.

2-мысал

М 1 (7, - 5) нүктесінің О у координаталық түзуіндегі, сондай-ақ О у 2 у - 3 = 0 түзуіне параллель түзудегі проекциясының координаталарын анықтаңдар.

Шешім

Берілген нүктенің O y түзуіне проекциясының координаталарын жазайық: (0 , - 5) .

2 y - 3 = 0 түзуінің теңдеуін у = 3 2 түрінде жазамыз. Берілген нүктенің у = 3 2 түзуіне проекциясы 7, 3 2 координаталары болатыны түсінікті болады.

Жауап:(0 , - 5) және 7 , 3 2 .

Тік бұрышты координаталар жүйесі O x y z , M 1 (x 1 , y 1 , z 1) нүктесі және а түзуі үш өлшемді кеңістікте берілсін. М 1 нүктесінің а түзуіне проекциясының координаталарын табайық.

М 1 нүктесі арқылы өтетін және а түзуіне перпендикуляр α жазықтығын салайық. Берілген нүктенің а түзуіне проекциясы а түзуі мен α жазықтығының қиылысу нүктесі болады. Осының негізінде М 1 (x 1, y 1, z 1) нүктесінің а түзуіне проекциясының координаталарын табу алгоритмін ұсынамыз:

a түзуінің теңдеуін жазайық (егер ол берілмесе). Бұл есепті шешу үшін кеңістіктегі түзудің теңдеулері туралы мақаланы оқу керек;

М 1 нүктесі арқылы өтетін және а түзуіне перпендикуляр α жазықтықтың теңдеуін құрастырайық («Берілген түзуге перпендикуляр берілген нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі» мақаласын қараңыз);

M 1 (x 1, y 1, z 1) нүктесінің а түзуіне проекциясының қажетті координаталарын табайық – бұлар α түзуі мен α жазықтығының қиылысу нүктесінің координаталары болады (көмектесу үшін - мақала «Түзу мен жазықтықтың қиылысу нүктесінің координаттары»).

3-мысал

Тік бұрышты координаталар жүйесі O x y z берілген және ондағы М 1 (0, 1, - 1) нүктесі және а түзуі. a сызығы келесі түрдегі канондық теңдеулерге сәйкес келеді: x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 . М 1 нүктесінің а түзуіне проекциясының координаталарын анықтаңдар.

Шешім

Біз жоғарыда аталған алгоритмді қолданамыз. a жолының теңдеулері белгілі, сондықтан алгоритмнің бірінші қадамын өткізіп жібереміз. α жазықтығының теңдеуін жазайық. Ол үшін жазықтықтың нормаль векторының координаталарын анықтаймыз α . Берілген а түзуінің канондық теңдеулерінен осы түзудің бағыттаушы векторының координаталарын таңдаймыз: (3 , - 4 , 1) , ол а түзуіне перпендикуляр α жазықтығының нормаль векторы болады. Содан кейін n → = (3 , - 4 , 1) α жазықтығының нормаль векторы . Сонымен, α жазықтығының теңдеуі келесідей болады:

3 (x - 0) - 4 (y - 1) + 1 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 3 x - 4 y + z + 5 = 0

Енді а түзуі мен α жазықтығының қиылысу нүктесінің координаталарын табамыз, ол үшін екі әдісті қолданамыз:

1. Берілген канондық теңдеулер а түзуін анықтайтын екі қиылысатын жазықтықтың теңдеулерін алуға мүмкіндік береді:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ - 4 (x + 2) = 3 (y - 6) 1 (x + 2) = 3 (z + 1) 1 ( y - 6) = - 4 (z + 1) ⇔ 4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0

4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 түзуінің және 3 x - 4 y + z + 5 = 0 жазықтығының қиылысу нүктелерін табу үшін теңдеулер жүйесін шешеміз:

4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 3 x - 4 y + z + 5 = 0 ⇔ 4 x + 3 y = 10 x - 3 z = 1 3 x - 4 y + z = - 5

Бұл жағдайда біз Крамер әдісін қолданамыз, бірақ кез келген ыңғайлысын қолдануға болады:

∆ = 4 3 0 1 0 - 3 3 - 4 1 = - 78 ∆ x = 10 3 0 1 0 - 3 - 5 - 4 1 = - 78 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 78 - 78 = 1 ∆ у = 4 10 0 1 1 - 3 3 - 5 1 = - 156 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 156 - 78 = 2 ∆ z = 4 3 10 1 0 1 3 - 4 - 5 = 0 ⇒ z = ∆ z = 0 - 78 = 0

Сонымен, берілген нүктенің а түзуіне проекциясы координаталары (1 , 2 , 0) нүкте болып табылады.

1. Берілген канондық теңдеулерге сүйене отырып, кеңістікте түзудің параметрлік теңдеулерін жазу оңай:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ x = - 2 + 3 λ y = 6 - 4 λ z = - 1 + λ

3 x - 4 y + z + 5 = 0 түріндегі жазықтықтың теңдеуіне x, y және z орнына олардың өрнектерін параметр арқылы ауыстырайық:

3 (- 2 + 3 λ) - 4 (6 - 4 λ) + (- 1 + λ) + 5 = 0 ⇔ 26 λ = 0 ⇔ λ = 1

λ = 1 үшін а түзуінің параметрлік теңдеулерін пайдаланып, а түзуі мен α жазықтығының қиылысу нүктесінің қажетті координаталарын есептейік:

x = - 2 + 3 1 y = 6 - 4 1 z = - 1 + 1 ⇔ x = 1 y = 2 z = 0

Сонымен, берілген нүктенің а түзуіне проекциясының координаталары (1 , 2 , 0) болады.

Жауап: (1 , 2 , 0)

Соңында, M 1 (x 1, y 1, z 1) нүктесінің O x, O y және O z координаталық түзулеріне проекциялары координаталары (x 1, 0, 0) , (0) болатын нүктелер болатынын атап өтеміз. , y 1 , 0 ) және (0 , 0 , z 1) сәйкес.

Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз