Функцияның максималды және минимумының жеткілікті критерийлері. Функцияның ең үлкен және ең кіші нүктелерін қалай табуға болады. Біз бірге функцияның экстремумдарын іздеуді жалғастырамыз

Осы мақаладан оқырман функционалдық мәннің экстремумының не екенін, сондай-ақ оны практикада қолдану ерекшеліктері туралы біледі. Мұндай тұжырымдаманы зерттеу негіздерді түсіну үшін өте маңызды жоғары математика. Бұл тақырып курсты тереңірек зерттеу үшін негіз болып табылады.

Байланыста

Экстрим деген не?

IN мектеп курсы«экстремум» ұғымына көптеген анықтамалар берілген. Бұл мақала осы мәселеден бейхабар жандарға терминді барынша терең және анық түсінуге арналған. Сонымен, термин белгілі бір жиынтықта функционалдық интервал қаншалықты минималды немесе максималды мәнге ие болатыны түсініледі.

Экстремум - бұл функцияның ең кіші мәні де, бір уақыттағы максимум да. Минималды нүкте және максималды нүкте бар, яғни графиктегі аргументтің экстремалды мәндері. Бұл ұғым қолданылатын негізгі ғылымдар:

• статистика;
• машинаны басқару;
• эконометрика.

Тізбекті анықтауда шеткі нүктелер маңызды рөл атқарады берілген функция. Графиктегі координаттар жүйесі функцияның өзгеруіне байланысты экстремалды позицияның өзгеруін ең жақсы түрде көрсетеді.

Туынды функцияның экстремумы

«Туынды» деген де бар. Экстремум нүктесін анықтау қажет. Минималды немесе максималды нүктелерді ең үлкен және ең кіші мәндермен шатастырмау маңызды. Бұл әртүрлі ұғымдар, бірақ олар ұқсас көрінуі мүмкін.

Функцияның мәні максималды нүктені қалай табуға болатынын анықтайтын негізгі фактор болып табылады. Туынды мәндерден емес, тек қана оның бір немесе басқа реттегі ең шеткі орнынан жасалады.

Туындының өзі ең үлкен немесе ең кіші мән емес, шеткі нүктелердің деректері негізінде анықталады. Орыс мектептерінде бұл екі ұғымның арасындағы шекара анық сызылмаған, бұл жалпы осы тақырыпты түсінуге әсер етеді.

Енді мұндай нәрсені «өткір экстремум» деп қарастырайық. Бүгінгі күні өткір ең төменгі мән және өткір максималды мән бар. Анықтама функцияның критикалық нүктелерінің орыс классификациясына сәйкес берілген. Экстремум нүктесі түсінігі диаграммадағы критикалық нүктелерді табудың негізі болып табылады.

Мұндай ұғымды анықтау үшін Ферма теоремасы қолданылады. Бұл оқуда өте маңызды экстремалды нүктелержәне олардың бір немесе басқа түрде болуы туралы нақты түсінік береді. Экстремалдылықты қамтамасыз ету үшін диаграммада азайту немесе арттыру үшін белгілі бір шарттарды жасау маңызды.

«Максималды нүктені қалай табуға болады» деген сұраққа нақты жауап беру үшін сіз мына ережелерді сақтауыңыз керек:

1. Диаграммадан нақты анықтау аймағын табу.
2. Функцияның туындысын және экстремум нүктесін іздеу.
3. Аргументтің анықталу облысы үшін стандартты теңсіздіктерді шешіңіз.
4. Графиктегі нүкте қандай функцияларда анықталған және үздіксіз екенін дәлелдей алу.

Назар аударыңыз!Іздеу сыни нүктефункциясы ең болмағанда екінші ретті туынды болған жағдайда ғана мүмкін болады, бұл экстремум нүктесінің қатысуының жоғары үлесімен қамтамасыз етіледі.

Функцияның экстремумының қажетті шарты

Экстремум болуы үшін ең төменгі нүктелердің де, максималды нүктелердің де болуы маңызды. Егер бұл ереже тек ішінара сақталса, онда экстремумның болуы шарты бұзылады.

Кез келген позициядағы әрбір функция оның жаңа мағыналарын анықтау үшін саралануы керек. Нүктенің жойылу жағдайы дифференциалданатын нүктені табудың негізгі принципі емес екенін түсіну маңызды.

Өткір экстремум, сондай-ақ функцияның минимумы шешімнің өте маңызды аспектісі болып табылады математикалық есепэкстремалды мәндерді пайдалану. Бұл компонентті жақсы түсіну үшін функцияны тағайындау үшін кестелік мәндерге сілтеме жасау маңызды.

Функционалдық экстремум

Жоғарыда көрсетілген мәнді табу үшін келесі ережелерді сақтау керек:

• экстремалды қатынастың қажетті шартын анықтау;
• графиктегі шеткі нүктелердің жеткілікті жағдайын ескеру;
• жедел экстремумды есептеуді орындаңыз.

Әлсіз минимум және күшті минимум сияқты ұғымдар да бар. Бұл экстремумды анықтау және оны нақты есептеу кезінде ескерілуі керек. Сонымен қатар, өткір функционалдылық - бұл функция графигімен жұмыс істеу үшін барлық қажетті жағдайларды іздеу және жасау.

Функция және оның ерекшеліктерін зерттеу қазіргі математиканың негізгі тарауларының бірін алады. Кез келген функцияның негізгі компоненті оның қасиеттерін ғана емес, сонымен қатар осы функцияның туындысының параметрлерін бейнелейтін графиктер болып табылады. Осы күрделі тақырыпты қарастырайық. Сонымен, функцияның ең үлкен және ең төменгі нүктелерін табудың ең жақсы жолы қандай?

Қызметі: анықтамасы

Қандай да бір түрде басқа шаманың мәндеріне тәуелді кез келген айнымалыны функция деп атауға болады. Мысалы, f(x 2) функциясы квадраттық болып табылады және бүкіл x жиынының мәндерін анықтайды. Айталық, x = 9, онда функциямыздың мәні 9 2 = 81-ге тең болады.

Функциялар әр түрлі болады: логикалық, векторлық, логарифмдік, тригонометриялық, сандық және т.б. Оларды зерттеумен Лакруа, Лагранж, Лейбниц және Бернулли сияқты көрнекті адамдар айналысты. Олардың жазбалары функцияларды зерттеудің заманауи әдістерінде қорған болады. Минималды нүктелерді таппас бұрын, функцияның және оның туындысының мағынасын түсіну өте маңызды.

Туынды және оның рөлі

Барлық функциялар олардың айнымалыларына тәуелді, яғни олар өз мәнін кез келген уақытта өзгерте алады. Графикте бұл y осі бойымен төмен түсетін немесе көтерілетін қисық ретінде бейнеленеді (бұл графиктің вертикаль бойындағы «y» сандарының бүкіл жиынтығы). Сонымен, функцияның максимум және минимум нүктесін анықтау дәл осы «тербелістермен» байланысты. Бұл қатынастың не екенін түсіндірейік.

Кез келген функцияның туындысы оның негізгі сипаттамаларын зерттеу және функцияның қаншалықты жылдам өзгеретінін (яғни «х» айнымалысына байланысты мәнін өзгертетінін) есептеу үшін салынады. Функция өскен сәтте оның туындысының графигі де өседі, бірақ кез келген секундта функция төмендей бастауы мүмкін, содан кейін туындының графигі кемиді. Туынды минустан плюсқа өтетін нүктелер минималды нүктелер деп аталады. Минималды ұпайларды қалай табуға болатынын білу үшін сіз жақсырақ түсінуіңіз керек

Туындыны қалай есептеу керек?

Анықтама мен функциялар бірнеше ұғымдарды білдіреді Жалпы алғанда, туынды анықтаманың өзін көрсетуге болады келесідей: бұл функцияның өзгеру жылдамдығын көрсететін мән.

Көптеген оқушылар үшін оны анықтаудың математикалық жолы күрделі болып көрінеді, бірақ іс жүзінде бәрі әлдеқайда қарапайым. Кез келген функцияның туындысын табудың стандартты жоспарын орындау ғана қажет. Төменде дифференциалдау ережелерін қолданбай және туындылар кестесін жаттамай-ақ функцияның минималды нүктесін қалай табуға болатыны сипатталған.

1. Функцияның туындысын график арқылы есептеуге болады. Ол үшін функцияның өзін бейнелеу керек, содан кейін оның бір нүктесін алу керек (суреттегі А нүктесі), абсцисса осіне тігінен төмен қарай түзу (х 0 нүктесі) және графигіне жанама салу керек. А нүктесіндегі функция. Абсцисса осі мен жанама а бұрышын құрайды. Функцияның қаншалықты жылдам өсетінінің мәнін есептеу үшін осы бұрыштың тангенсін есептеу керек a.
2. Тангенс пен х осінің бағыты арасындағы бұрыштың тангенсі А нүктесі бар шағын аудандағы функцияның туындысы болып табылады.Бұл әдіс туындыны анықтаудың геометриялық әдісі болып саналады.

Функцияны тексеру әдістері

IN мектеп бағдарламасыматематикада функцияның ең кіші нүктесін екі жолмен табуға болады. Біз графикті пайдаланып бірінші әдісті талдадық, бірақ туындының сандық мәнін қалай анықтауға болады? Ол үшін туындының қасиеттерін сипаттайтын және түрлендіруге көмектесетін бірнеше формулаларды үйрену керек айнымалыларсандарға «x» теріңіз. Келесі әдіс әмбебап болып табылады, сондықтан оны функциялардың барлық дерлік түрлеріне (геометриялық және логарифмдік) қолдануға болады.

1. Функцияны туынды функцияға теңестіру керек, содан кейін дифференциалдау ережелерін пайдаланып өрнекті жеңілдету керек.
2. Кейбір жағдайларда, «x» айнымалысы бөлгіш болып табылатын функция берілгенде, одан «0» нүктесін алып тастау арқылы қолайлы мәндер ауқымын анықтау қажет (қарапайым себеппен математикада сіз ешқашан нөлге бөлуге болмайды).
3. Осыдан кейін функцияның бастапқы түрін бүкіл өрнекті нөлге теңестіретін қарапайым теңдеуге айналдыру керек. Мысалы, егер функция келесідей көрінсе: f (x) \u003d 2x 3 + 38x, онда дифференциалдау ережелеріне сәйкес оның туындысы f "(x) \u003d 3x 2 + 1-ге тең. Содан кейін біз оны түрлендіреміз. өрнекті келесі түрдегі теңдеуге айналдырыңыз: 3x 2 +1 \u003d 0 .
4. Теңдеуді шешіп, «х» нүктелерін тапқаннан кейін оларды х осінде бейнелеп, белгіленген нүктелер арасындағы осы аймақтардағы туындының оң немесе теріс екенін анықтау керек. Белгілеуден кейін функция қай кезде төмендей бастайтыны белгілі болады, яғни ол таңбаны минустан керісінше өзгертеді. Осылайша сіз ең төменгі және максималды нүктелерді таба аласыз.

Дифференциация ережелері

Функцияны және оның туындысын зерттеудегі ең негізгі компонент дифференциалдау ережелерін білу болып табылады. Тек олардың көмегімен қиын және үлкен өрнектерді түрлендіруге болады күрделі функциялар. Олармен танысайық, олар өте көп, бірақ олардың барлығы дәрежелік және логарифмдік функциялардың тұрақты қасиеттеріне байланысты өте қарапайым.

1. Кез келген тұрақтының туындысы нөлге тең (f(x) = 0). Яғни, f (x) \u003d x 5 + x - 160 туындысы келесі пішінді алады: f "(x) \u003d 5x 4 +1.
2. Екі мүшенің қосындысының туындысы: (f+w)" = f"w + fw".
3. Логарифмдік функцияның туындысы: (log a d)" = d/ln a*d. Бұл формула логарифмдердің барлық түрлеріне қолданылады.
4. Қуат туындысы: (x n)"= n*x n-1. Мысалы, (9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. Синусоидалы функцияның туындысы: (sin a)" = cos a. Егер a бұрышының күнәсы 0,5 болса, онда оның туындысы √3/2 болады.

экстремум нүктелері

Минималды нүктелерді қалай табуға болатынын біз жоғарыда талқыладық, дегенмен функцияның максималды нүктелері туралы түсінік бар. Егер минимум функция минустан плюске өтетін нүктелерді белгілесе, онда максималды нүктелер х осіндегі функцияның туындысы плюстен қарама-қарсы - минусқа өзгеретін нүктелер болып табылады.

Сіз оны жоғарыда сипатталған әдіс арқылы таба аласыз, тек олар функция төмендей бастайтын аймақтарды белгілейтінін ескеру керек, яғни туынды нөлден аз болады.

Математикада екі ұғымды да «экстремум нүктелері» тіркесімен алмастыру әдетке айналған. Тапсырма осы нүктелерді анықтауды сұрағанда, бұл осы функцияның туындысын есептеп, минималды және максималды нүктелерді табу керек екенін білдіреді.

(a, b) интервалында қарастырылатын y = f(x) функциясын қарастырайық.

Барлық x (x1, b) үшін f(x1) > f(x) теңсіздігі орындалатын (a, b) интервалына жататын х1 нүктесінің осындай b-көршілестігін көрсету мүмкін болса, онда y1 = f1(x1) деп аталады максималды функция y = f(x) суретті қараңыз.

y = f(x) функциясының максимумы max f(x) арқылы белгіленеді. Егер (a, b) интервалына жататын x2 нүктесінің 6-көршілестігін көрсету мүмкін болса, онда барлық х үшін ол O(x2, 6)-ға тиесілі, х х2-ге тең емес, теңсіздік f(x2)< f(x) , онда y2= f(x2) y-f(x) функциясының минимумы деп аталады (суретті қараңыз).

Максималды табудың мысалы, келесі бейнені қараңыз

Минималды мүмкіндік

y = f(x) функциясының минимумы min f(x) арқылы белгіленеді. Басқа сөзбен, функцияның ең үлкен немесе минимумы y = f(x) шақырдыоның мәні, ол берілгенге жеткілікті жақын және одан өзгеше нүктелерде алынған барлық басқа мәндерден үлкен (кем).

Ескерту 1. Максималды функция, теңсіздікпен анықталатын қатаң максимум деп аталады; қатаң емес максимум f(x1) > = f(x2) теңсіздігімен анықталады.

Ескерту 2. жергілікті сипатқа ие (бұл сәйкес нүктенің жеткілікті шағын маңындағы функцияның ең үлкен және ең кіші мәндері); кейбір функцияның жеке минимумдары сол функцияның максимумдарынан үлкен болуы мүмкін

Нәтижесінде функцияның максимумы (минимумы) шақырылады жергілікті максимум(жергілікті минимум) абсолютті максимумнан (минимум) айырмашылығы – функция облысындағы ең үлкен (ең кіші) мән.

Функцияның максимумы мен минимумы экстремум деп аталады. . Функцияларды сызу үшін табудағы экстремалдар

латын экстремум «төтенше» дегенді білдіреді мағынасы. Экстремумға жеткен х аргументінің мәні экстремум нүктесі деп аталады. Қажетті жағдайэкстремум келесі теорема арқылы өрнектеледі.

Теорема. Дифференциалданатын функцияның экстремум нүктесінде және оның туындысы нөлге тең.

Теореманың қарапайымы бар геометриялық мағына: сәйкес нүктедегі дифференциалданатын функцияның графигіне жанама х осіне параллель

Экстремалды табудың қарапайым алгоритмі.

• Функцияның туындысын табу
• Осы туындыны нөлге теңестіріңіз
• Алынған өрнектің айнымалы мәндерін табамыз (туынды нөлге түрленетін айнымалының мәндері)
• Біз координаталық түзуді осы мәндері бар интервалдарға бөлеміз (бір уақытта үзіліс нүктелерін де ұмытпау керек, олар да сызыққа қолданылуы керек), бұл нүктелердің барлығы экстремум үшін «күдікті» нүктелер деп аталады.
• Осы интервалдардың қайсысында туынды оң, ал қайсысында теріс болатынын есептейміз. Ол үшін интервалдағы мәнді туындыға ауыстыру керек.

Экстремумға күдікті нүктелердің ішінен дәл табу керек. Ол үшін координаталық түзудегі бос орындарымызды қарастырамыз. Егер қандай да бір нүктеден өткенде туындының таңбасы плюстен минусқа өзгерсе, онда бұл нүкте болады. максимум, ал егер минустан плюсқа дейін болса, онда минимум.

Ең үлкенін табу үшін және ең кіші мәнфункция үшін сегменттің ұштарында және экстремум нүктелерінде функцияның мәнін есептеу керек. Содан кейін ең үлкен және ең кіші мәнді таңдаңыз.

Мысал қарастырайық
Туындыны тауып, оны нөлге теңейміз:

Айнымалылардың алынған мәндерін координаталық түзуге қолданамыз және әрбір интервал бойынша туындының белгісін есептейміз. Мысалы, бірінші қабылдау үшін-2 , содан кейін туынды болады-0,24 , екінші қабылдау үшін0 , содан кейін туынды болады2 , ал үшінші үшін біз аламыз2 , содан кейін туынды болады-0,24. Тиісті белгілерді қоямыз.

Көреміз -1 нүктесі арқылы өткенде туынды таңбаны минустан плюске өзгертеді, яғни ол минимум нүкте болады, ал 1-ден өткенде плюстен минусқа қарай сәйкесінше бұл максимум нүкте болады.

Максималды ең үлкен сан немесе жетуге болатын ең үлкен шек деп атау керек. Минимум - бұл бәріміз жақсы білетініміздей, максимумға дәл қарсы, яғни. дәл осы аз санжәне ең кіші шек. Минимум және максимум сөздері, сондай-ақ олардың туындылары мынадай тіркестер мен сөз тіркестерінде кездеседі:

Қарым-қатынастан барынша пайда алыңыз.

Өлеңді үйрену үшін оны кемінде 3-4 рет оқу керек.

Оның қолынан келетін ең көп нәрсе...

Олардың кем дегенде екі ортақ досы бар.

Ол ең жоғары балл алды.

Мүмкіндіктеріңізді барынша пайдаланыңыз!

Бұл сіз білуіңіз керек минимум.

Күнкөріс деңгейі.

Минималды атмосфералық қысым.

……жылдардағы ең төменгі/максималды суық.

Бұл жұмысты аяқтау үшін сізге кемінде бірнеше сағат қажет.

Максимум және минимум сияқты ұғымдарды арнайы ғылыми терминдерде де кездестіруге болады. Мысалы, математикада функцияның максимумы мен минимумы деген ұғым бар.

Осылайша, математикадағы максимум деп аталады ең жоғары мәнфункциялары. Бұл жағдайда функцияның максималды мәні оған жақын барлық мәндерден үлкен болады. Функцияның максимумы оның мәні бірінші өскен кездегі, содан кейін бірден төмендей бастағандағы мәні болып табылады, ал функцияның өсуі мен кемуі бірінен екіншісіне өтетін жерде максимум болады. Функцияның минимумы сәйкесінше функцияның ең кіші мәні болып табылады.

Функцияның бірінші туындысын оң деп санауға болады, егер айнымалыны көбейткенде ол жоғарыласа, онда функцияны оң деп санауға болады. Егер бірінші айнымалы туынды көбейтілген сайын кемитін болса, онда функцияны теріс деп санау керек.

Туынды дифференциалдық есептеулерде қолданылатын негізгі шама (математикалық функцияларды зерттеуге көмектесетін туынды және дифференциалды зерттеу), оны белгілі бір нүктедегі функцияның өзгеру жылдамдығы деп түсінуге болады. Жылдамдық неғұрлым үлкен болса, функция соғұрлым күшті өзгереді, соғұрлым аз, соғұрлым баяу (бірақ бұл функция оң болса ғана дұрыс болады). Сонымен, бұл функцияның берілген нүктедегі өзгеру жылдамдығы оның еңістері мен дөңестігін анықтайды. Айнымалы – өз мәнін өзгерте алатын шама. Ол х немесе уақыт ретінде белгіленеді.

Айнымалыны оның мәнін өзгерте алатын жүйенің (физикалық және абстрактілі) атрибуты деп санауға болады. Ғаламдық мағынада айнымалыны уақыт пен температура деп атауға болады, жалпы алғанда, бүкіл өмір (олар өзгеруі мүмкін). Айнымалының өзі қабылдай алатын көптеген мәндері бар. Бұл жиын айнымалы деп болжауға болады.

Функцияның өзіне келетін болсақ, ол нөл арқылы оң мәннен теріс мәнге өтуі керек. Сонымен, функцияның максимумына сәйкес келетін айнымалының мәнінде оның туындысы нөлге тең болады. Дәл функцияның осы қасиеті функция максимумға жететін х мәндерін анықтауға мүмкіндік береді. Алайда, егер айнымалыны көбейтсек және сонымен бірге функция алдымен артады, содан кейін азаяды, содан кейін функциядан өзгерген кезде теріс мәноңға (нөлден өту), ол максимумға жетпейді, керісінше, ең төменгі мәнге жетеді. Дегенмен, логикалық тұрғыдан бұл максималды мән ретінде қабылдануы мүмкін (ол функцияның жоғарғы жағында).

Функцияның ең үлкен және ең кіші нүктелері экстремум нүктелері деп те аталады.

Осылайша, қарапайым өмірде де, математикада да максимум мен минимум бір нәрсені ең үлкенді және ең кішіні білдіретін екі шеткі қарама-қарсылық болып табылады.