Мысал ретінде функцияның максимум-минимум нүктелері түсінігін келтіруге болады. Функцияның ең үлкен және ең кіші нүктелерін қалай табуға болады. Функцияның экстремумының қажетті шарты

Функция және оның ерекшеліктерін зерттеу қазіргі математиканың негізгі тарауларының бірін алады. Кез келген функцияның негізгі компоненті оның қасиеттерін ғана емес, сонымен қатар осы функцияның туындысының параметрлерін бейнелейтін графиктер болып табылады. Осы күрделі тақырыпты қарастырайық. Сонымен, функцияның ең үлкен және ең төменгі нүктелерін табудың ең жақсы жолы қандай?

Функция: Анықтама

Қандай да бір түрде басқа шаманың мәндеріне тәуелді кез келген айнымалыны функция деп атауға болады. Мысалы, f(x 2) функциясы квадраттық болып табылады және бүкіл x жиынының мәндерін анықтайды. Айталық, x = 9, онда функциямыздың мәні 9 2 = 81-ге тең болады.

Функциялар әр түрлі болады: логикалық, векторлық, логарифмдік, тригонометриялық, сандық және т.б. Оларды зерттеумен Лакруа, Лагранж, Лейбниц және Бернулли сияқты көрнекті адамдар айналысты. Олардың жазбалары функцияларды зерттеудің заманауи әдістерінде қорған болады. Минималды нүктелерді таппас бұрын, функцияның және оның туындысының мағынасын түсіну өте маңызды.

Туынды және оның рөлі

Барлық функциялар олардың айнымалыларына тәуелді, яғни олар өз мәнін кез келген уақытта өзгерте алады. Графикте бұл y осі бойымен төмен түсетін немесе көтерілетін қисық ретінде бейнеленетін болады (бұл графиктің вертикаль бойындағы «y» сандарының бүкіл жиынтығы). Сонымен, функцияның максимум және минимум нүктесін анықтау дәл осы «тербелістермен» байланысты. Бұл қатынастың не екенін түсіндірейік.

Кез келген функцияның туындысы оның негізгі сипаттамаларын зерттеу және функцияның қаншалықты жылдам өзгеретінін (яғни «х» айнымалысына байланысты мәнін өзгертетінін) есептеу үшін салынады. Функция өскен сәтте оның туындысының графигі де өседі, бірақ кез келген секундта функция төмендей бастауы мүмкін, содан кейін туындының графигі кемиді. Туынды минустан плюсқа өтетін нүктелер минималды нүктелер деп аталады. Минималды ұпайларды қалай табуға болатынын білу үшін сіз жақсырақ түсінуіңіз керек

Туындыны қалай есептеу керек?

Анықтама мен функциялар бірнеше ұғымдарды білдіреді Жалпы алғанда, туынды анықтаманың өзін көрсетуге болады келесідей: бұл функцияның өзгеру жылдамдығын көрсететін мән.

Көптеген оқушылар үшін оны анықтаудың математикалық жолы күрделі болып көрінеді, бірақ іс жүзінде бәрі әлдеқайда қарапайым. Кез келген функцияның туындысын табудың стандартты жоспарын орындау ғана қажет. Төменде дифференциалдау ережелерін қолданбай және туындылар кестесін жаттамай-ақ функцияның минималды нүктесін қалай табуға болатыны сипатталған.

1. Функцияның туындысын график арқылы есептеуге болады. Ол үшін функцияның өзін бейнелеу керек, содан кейін оның бір нүктесін алу керек (суреттегі А нүктесі), абсцисса осіне тігінен төмен қарай түзу (х 0 нүктесі) және графигіне жанама салу керек. А нүктесіндегі функция. Абсцисса осі мен жанама а бұрышын құрайды. Функцияның қаншалықты жылдам өсетінінің мәнін есептеу үшін осы бұрыштың тангенсін есептеу керек a.
2. Х осінің бағыты мен тангенсі арасындағы бұрыштың тангенсі А нүктесі бар шағын аудандағы функцияның туындысы болып табылады.Бұл әдіс туындыны анықтаудың геометриялық әдісі болып саналады.

Функцияны тексеру әдістері

IN мектеп бағдарламасыматематикада функцияның ең кіші нүктесін екі жолмен табуға болады. Біз графикті пайдаланып бірінші әдісті талдадық, бірақ туындының сандық мәнін қалай анықтауға болады? Ол үшін туындының қасиеттерін сипаттайтын және түрлендіруге көмектесетін бірнеше формулаларды үйрену керек айнымалыларсандарға «x» теріңіз. Келесі әдіс әмбебап болып табылады, сондықтан оны функциялардың барлық дерлік түрлеріне (геометриялық және логарифмдік) қолдануға болады.

1. Функцияны туынды функцияға теңестіру керек, содан кейін дифференциалдау ережелерін пайдаланып өрнекті жеңілдету керек.
2. Кейбір жағдайларда, «x» айнымалысы бөлгіш болып табылатын функция берілгенде, одан «0» нүктесін алып тастау арқылы қолайлы мәндер ауқымын анықтау қажет (қарапайым себеппен математикада сіз ешқашан нөлге бөлуге болмайды).
3. Осыдан кейін функцияның бастапқы түрін бүкіл өрнекті нөлге теңестіретін қарапайым теңдеуге айналдыру керек. Мысалы, егер функция келесідей көрінсе: f (x) \u003d 2x 3 + 38x, онда дифференциалдау ережелеріне сәйкес оның туындысы f "(x) \u003d 3x 2 + 1-ге тең. Содан кейін біз оны түрлендіреміз. өрнекті келесі түрдегі теңдеуге айналдырыңыз: 3x 2 +1 \u003d 0 .
4. Теңдеуді шешіп, «х» нүктелерін тапқаннан кейін оларды х осінде бейнелеп, белгіленген нүктелер арасындағы осы аймақтардағы туындының оң немесе теріс екенін анықтау керек. Белгілеуден кейін функция қай кезде төмендей бастайтыны белгілі болады, яғни ол таңбаны минустан керісінше өзгертеді. Осылайша сіз ең төменгі және максималды нүктелерді таба аласыз.

Дифференциация ережелері

Функцияны және оның туындысын зерттеудегі ең негізгі компонент дифференциалдау ережелерін білу болып табылады. Тек олардың көмегімен қиын және үлкен өрнектерді түрлендіруге болады күрделі функциялар. Олармен танысайық, олар өте көп, бірақ олардың барлығы дәрежелік және логарифмдік функциялардың тұрақты қасиеттеріне байланысты өте қарапайым.

1. Кез келген тұрақтының туындысы нөлге тең (f(x) = 0). Яғни, f (x) \u003d x 5 + x - 160 туындысы келесі пішінді алады: f "(x) \u003d 5x 4 +1.
2. Екі мүшенің қосындысының туындысы: (f+w)" = f"w + fw".
3. Логарифмдік функцияның туындысы: (log a d)" = d/ln a*d. Бұл формула логарифмдердің барлық түрлеріне қолданылады.
4. Қуат туындысы: (x n)"= n*x n-1. Мысалы, (9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. Синусоидалы функцияның туындысы: (sin a)" = cos a. Егер a бұрышының күнәсы 0,5 болса, онда оның туындысы √3/2 болады.

экстремум нүктелері

Минималды нүктелерді қалай табуға болатынын біз жоғарыда талқыладық, дегенмен функцияның максималды нүктелері туралы түсінік бар. Егер минимум функция минустан плюске өтетін нүктелерді белгілесе, онда максималды нүктелер х осіндегі функцияның туындысы плюстен қарама-қарсы - минусқа өзгеретін нүктелер болып табылады.

Сіз оны жоғарыда сипатталған әдіс бойынша таба аласыз, тек олар функция төмендей бастайтын бөлімдерді белгілейтінін ескеру керек, яғни туынды нөлден аз болады.

Математикада екі ұғымды да «экстремум нүктелері» тіркесімен алмастыру әдетке айналған. Тапсырма осы нүктелерді анықтауды сұрағанда, бұл осы функцияның туындысын есептеп, минималды және максималды нүктелерді табу керек екенін білдіреді.

Осы мақаладан оқырман функционалдық мәннің экстремумының не екенін, сондай-ақ оны практикада қолдану ерекшеліктері туралы біледі. Мұндай тұжырымдаманы зерттеу негіздерді түсіну үшін өте маңызды жоғары математика. Бұл тақырып курсты тереңірек зерттеу үшін негіз болып табылады.

Байланыста

Экстрим деген не?

IN мектеп курсы«экстремум» ұғымына көптеген анықтамалар берілген. Бұл мақала осы мәселеден бейхабар жандарға терминді барынша терең және анық түсінуге арналған. Сонымен, термин белгілі бір жиынтықта функционалдық интервал қаншалықты минималды немесе максималды мәнге ие болатыны түсініледі.

Экстремум - бұл функцияның ең кіші мәні де, бір уақыттағы максимум да. Минималды нүкте және максималды нүкте бар, яғни графиктегі аргументтің экстремалды мәндері. Бұл ұғым қолданылатын негізгі ғылымдар:

• статистика;
• машинаны басқару;
• эконометрика.

Тізбекті анықтауда шеткі нүктелер маңызды рөл атқарады берілген функция. Графиктегі координаттар жүйесі функцияның өзгеруіне байланысты экстремалды позицияның өзгеруін ең жақсы түрде көрсетеді.

Туынды функцияның экстремумы

«Туынды» деген де бар. Экстремум нүктесін анықтау қажет. Минималды немесе максималды нүктелерді ең үлкен және ең кіші мәндермен шатастырмау маңызды. Бұл әртүрлі ұғымдар, бірақ олар ұқсас көрінуі мүмкін.

Функцияның мәні максималды нүктені қалай табуға болатынын анықтайтын негізгі фактор болып табылады. Туынды мәндерден емес, тек қана оның бір немесе басқа реттегі ең шеткі орнынан жасалады.

Туындының өзі ең үлкен немесе ең кіші мән емес, шеткі нүктелердің деректері негізінде анықталады. Орыс мектептерінде бұл екі ұғымның арасындағы шекара анық сызылмаған, бұл жалпы осы тақырыпты түсінуге әсер етеді.

Енді мұндай нәрсені «өткір экстремум» деп қарастырайық. Бүгінгі күні өткір ең төменгі мән және өткір максималды мән бар. Анықтама функцияның критикалық нүктелерінің орыс классификациясына сәйкес берілген. Экстремум нүктесі түсінігі диаграммадағы критикалық нүктелерді табудың негізі болып табылады.

Мұндай ұғымды анықтау үшін Ферма теоремасы қолданылады. Бұл экстремалды нүктелерді зерттеудегі ең маңыздысы және олардың бір немесе басқа нысанда болуы туралы нақты түсінік береді. Экстремалдылықты қамтамасыз ету үшін диаграммада азайту немесе арттыру үшін белгілі бір шарттарды жасау маңызды.

«Максималды нүктені қалай табуға болады» деген сұраққа нақты жауап беру үшін сіз мына ережелерді сақтауыңыз керек:

1. Диаграммадан нақты анықтау аймағын табу.
2. Функцияның туындысын және экстремум нүктесін іздеу.
3. Аргументтің анықталу облысы үшін стандартты теңсіздіктерді шешіңіз.
4. Графиктегі нүкте қандай функцияларда анықталған және үздіксіз екенін дәлелдей алу.

Назар аударыңыз!Функцияның критикалық нүктесін іздеу экстремум нүктесінің қатысуының жоғары үлесімен қамтамасыз етілетін ең болмағанда екінші ретті туынды болған жағдайда ғана мүмкін болады.

Функцияның экстремумының қажетті шарты

Экстремум болуы үшін ең төменгі нүктелердің де, максималды нүктелердің де болуы маңызды. Егер бұл ереже тек ішінара сақталса, онда экстремумның болуы шарты бұзылады.

Кез келген позициядағы әрбір функция оның жаңа мағыналарын анықтау үшін саралануы керек. Нүктенің жойылу жағдайы дифференциалданатын нүктені табудың негізгі принципі емес екенін түсіну маңызды.

Өткір экстремум, сондай-ақ функцияның минимумы шешімнің өте маңызды аспектісі болып табылады математикалық есепэкстремалды мәндерді пайдалану. Бұл компонентті жақсы түсіну үшін функцияны анықтау үшін кестелік мәндерге сілтеме жасау маңызды.

Функционалдық экстремум

Жоғарыда көрсетілген мәнді табу үшін келесі ережелерді сақтау керек:

• экстремалды қатынастың қажетті шартын анықтау;
• графиктегі шеткі нүктелердің жеткілікті жағдайын ескеру;
• жедел экстремумды есептеуді орындаңыз.

Әлсіз минимум және күшті минимум сияқты ұғымдар да бар. Бұл экстремумды анықтау және оны нақты есептеу кезінде ескерілуі керек. Сонымен қатар, өткір функционалдылық - бұл функция графигімен жұмыс істеу үшін барлық қажетті жағдайларды іздеу және жасау.

(a, b) интервалында қарастырылатын y = f(x) функциясын қарастырайық.

Барлық x (x1, b) үшін f(x1) > f(x) теңсіздігі орындалатын (a, b) интервалына жататын х1 нүктесінің осындай b-көршілестігін көрсету мүмкін болса, онда y1 = f1(x1) деп аталады максималды функция y = f(x) суретті қараңыз.

y = f(x) функциясының максимумы max f(x) арқылы белгіленеді. Егер (a, b) интервалына жататын x2 нүктесінің 6-көршілестігін көрсету мүмкін болса, онда барлық х үшін ол O(x2, 6)-ға тиесілі, х х2-ге тең емес, теңсіздік f(x2)< f(x) , онда y2= f(x2) y-f(x) функциясының минимумы деп аталады (суретті қараңыз).

Максималды табудың мысалы, келесі бейнені қараңыз

Минималды мүмкіндік

y = f(x) функциясының минимумы min f(x) арқылы белгіленеді. Басқа сөзбен, функцияның ең үлкен немесе минимумы y = f(x) шақырдыоның мәні, ол берілгенге жеткілікті жақын және одан өзгеше нүктелерде алынған барлық басқа мәндерден үлкен (кем).

Ескерту 1. Мүмкіндік Максимум, теңсіздікпен анықталатын қатаң максимум деп аталады; қатаң емес максимум f(x1) > = f(x2) теңсіздігімен анықталады.

Ескерту 2. жергілікті сипатқа ие (бұл сәйкес нүктенің жеткілікті шағын маңындағы функцияның ең үлкен және ең кіші мәндері); кейбір функцияның жеке минимумдары сол функцияның максимумдарынан үлкен болуы мүмкін

Нәтижесінде функцияның максимумы (минимумы) шақырылады жергілікті максимум(жергілікті минимум) абсолютті максимумнан (минимум) айырмашылығы – функция облысындағы ең үлкен (ең кіші) мән.

Функцияның максимумы мен минимумы экстремум деп аталады. . Функцияларды сызу үшін табудағы экстремалдар

латын экстремум «төтенше» дегенді білдіреді мағынасы. Экстремумға жеткен х аргументінің мәні экстремум нүктесі деп аталады. Экстремумның қажетті шарты келесі теорема арқылы өрнектеледі.

Теорема. Дифференциалданатын функцияның экстремум нүктесінде және оның туындысы нөлге тең.

Теореманың қарапайымы бар геометриялық мағынасы: сәйкес нүктедегі дифференциалданатын функцияның графигіне жанама х осіне параллель

Функция мәндері және максималды және минималды нүктелер

Ең жоғары мәнфункциялары

Функцияның ең кіші мәні

Өкіл әке айтқандай: «Жеке ештеңе жоқ». Тек туындылар!

Статистикадағы 12-тапсырма өте қиын болып саналады және мұның бәрі жігіттер бұл мақаланы оқымағандықтан (әзіл). Көп жағдайда абайсыздық кінәлі.

12 тапсырма екі түрге бөлінеді:

1. Жоғары/төмен нүктені табыңыз («x» мәндерін табу сұралады).
2. Мүмкіндіктің ең үлкен/ең кіші мәнін табыңыз («y» мәндерін табу сұралады).

Жоғары/төмен нүктені табыңыз

1. Оны нөлге теңестіріңіз.
2. Табылған немесе табылған «x» және минималды немесе максималды ұпайлар болады.
3. Интервал әдісі арқылы белгілерді анықтаңыз және тапсырмада қай нүкте қажет екенін таңдаңыз.

Емтиханға байланысты тапсырмалар:

Функцияның ең үлкен нүктесін табыңыз

• Біз туындыны аламыз:

Функцияның ең кіші нүктесін табыңыз

• Туындыны түрлендіріңіз және алыңыз:

• Тамаша! Біріншіден, функция төмендейді, содан кейін артады - бұл ең төменгі нүкте!

Функцияның ең үлкен/ең кіші мәнін табыңыз

1. Ұсынылған функцияның туындысын алыңыз.
   
2. Оны нөлге теңестіріңіз.
   
3. Табылған «x» ең төменгі немесе максималды нүкте болады.
   
4. Интервал әдісі арқылы белгілерді анықтаңыз және тапсырмада қай нүкте қажет екенін таңдаңыз.
5. Мұндай тапсырмаларда әрқашан бос орын қойылады: 3-параграфта табылған х осы алшақтыққа қосылуы керек.
6. Түпнұсқа теңдеуде алынған максималды немесе ең кіші нүктені ауыстырсақ, функцияның ең үлкен немесе ең кіші мәнін аламыз.

Емтиханға байланысты тапсырмалар:

[−4 аралықтағы функцияның ең үлкен мәнін табыңыз; −1]

Жауабы: -6

Функцияның кесіндідегі ең үлкен мәнін табыңыз

• Функцияның ең жоғары мәні «11» максималды нүктесінде (осы сегментте) «0».

Жауабы: 11

Қорытындылар:

1. Қателердің 70% -ы жігіттердің не деп жауап бергенін есіне түсірмейді функцияның ең үлкен/ең кіші мәнін «y» жазу керек, және одан әрі максимум/минимум нүктесін «x» жазыңыз.
2. Функция мәндерін табу кезінде туындының шешімі бар ма?Уайымдамаңыз, оны киіңіз экстремалды нүктелералшақтық!
3. Жауап әрқашан сан немесе ондық бөлшек түрінде жазылуы мүмкін.Жоқ? Содан кейін мысалды өзгертіңіз.
4. Көптеген тапсырмаларда бір ұпай алынады және максимум немесе минимумды тексерудегі жалқаулығымыз ақталады. Бізде бір ұпай бар - сіз жауап ретінде қауіпсіз жаза аласыз.
5. Ал міне функцияның мәнін іздеу арқылы сіз мұны істемеуіңіз керек!Бұл қажетті нүкте екеніне көз жеткізіңіз, әйтпесе алшақтықтың экстремалды мәндері үлкенірек немесе кішірек болуы мүмкін.

1°. Функцияның экстремумын анықтау.

Екі айнымалы функцияның максимум, минимум, экстремум ұғымы бір тәуелсіз айнымалы функцияның сәйкес ұғымдарына ұқсас.

Функция болсын z=f(x; у)белгілі бір аумақта анықталады D,нүкте N(x 0 ;y0) D.

Нүкте (x 0 ;y0)нүкте деп аталады максимумфункциялары z= f(x;у),егер нүктенің осындай -көршілігі бар болса (x 0 ;y 0),бұл әр нүкте үшін (x; y),айырмашылығы (x 0 ;y0)бұл маңай теңсіздікті қанағаттандырады f(x;у)< f(x 0 ;y0). 12-сурет: N 1 -максималды нүкте, а N 2 -функцияның минималды нүктесі z=f(x;y).

Нүкте минимумфункциялары: барлық нүктелер үшін (x 0 ;y 0),басқа (x 0 ;y 0),нүктенің d-төңірегінен (x 0 ;y0)келесі теңсіздік орындалады: f(x 0 ;y 0) >f(x 0 ;y0).

Сол сияқты үш немесе одан да көп айнымалы функцияның экстремумы анықталады.

Функцияның максимум (минимум) нүктесіндегі мәні шақырылады максимум (минимум)функциялары.

Функцияның ең үлкені мен минимумы деп аталады экстремум.

Анықтаманың арқасында функцияның экстремум нүктесі функцияның анықталу облысы ішінде жатқанын ескеріңіз; максимум және минимум болады жергілікті(жергілікті) таңба: функцияның нүктедегі мәні (x 0 ;y0)жеткілікті жақын нүктелердегі мәндерімен салыстырылады (x 0 ;y0).Облыста DФункцияда бірнеше экстремум болуы немесе ешқайсысы болмауы мүмкін.

2°. Қажетті шарттарэкстремум.

Функцияның экстремумының болу шарттарын қарастырайық.

Геометриялық тең f"y (x 0 ;y0)= 0 және f"y (x 0 ;y 0) = 0 функцияның экстремум нүктесінде екенін білдіреді z = f(x; у)функцияны бейнелейтін бетке жанама жазықтық f(x; у),жазықтыққа параллель О, хуөйткені жанама жазықтық теңдеуі z=z0.

Түсініктеме.Функцияның жартылай туындыларының кем дегенде біреуі жоқ нүктелерде экстремум болуы мүмкін. Мысалы, функция нүктесінде максимумы бар ТУРАЛЫ(0;0), бірақ бұл нүктеде ішінара туындылары жоқ.

Функцияның бірінші ретті жеке туындылары болатын нүкте z = f(x;у)нөлге тең, яғни. f"x = 0, f" у= 0, шақырылды стационарлық нүктефункциялары z.

Тұрақты нүктелер және кем дегенде бір жартылай туындысы жоқ нүктелер деп аталады сыни нүктелер.

Критикалық нүктелерде функцияның экстремумы болуы немесе болмауы мүмкін. Жартылай туындылардың нөлге теңдігі экстремумның болуы үшін қажетті, бірақ жеткіліксіз шарт болып табылады. Мысалы, функцияны қарастырайық z = ху.Ол үшін 0(0; 0) нүктесі критикалық болып табылады (олар сонда жоғалады). Алайда экстремум ондағы қызмет атқарады z = xyжоқ, өйткені О(0;0) нүктесінің жеткілікті шағын төңірегінде нүктелер бар z > 0 (I және III тоқсандар) және z< 0 (II және IV тоқсандар).

Осылайша, берілген аймақтағы функцияның экстремумын табу үшін әрқайсысы сыни нүктефункцияларын одан әрі зерттеу қажет.

Стационар нүктелер теңдеулер жүйесін шешу арқылы табылады

(экстремум үшін қажетті жағдайлар).

Жүйе (1) бір теңдеуге тең df(x, y)=0.Жалпы, экстремум нүктесінде P(a, b)функциялары f(x, y)немесе df(x, y)=0, немесе df(a, b) жоқ.

3°. Экстремум үшін жеткілікті жағдайлар. Болсын P(a; b)- функцияның стационарлық нүктесі f(x, y),яғни . df(а, b) = 0. Содан кейін:

ал егер d2f (a, b)< 0 кезінде, содан кейін f(а, б) Сонда бар максимумфункциялары f (x, y);

б) егер d2f (а, b) > 0кезінде, содан кейін f(а, б)Сонда бар минимумфункциялары f (x,y);

в) егер d2f (a, b)содан кейін таңбаны өзгертеді f (а, б) функцияның экстремумы емес f (x, y).

Жоғарыда келтірілген шарттар келесіге тең: let Және . Құрастырайық дискриминант ∆=AC-B2.

1) егер Δ > 0 болса, онда функцияның нүктесінде экстремумы болады P (a; b)атап айтқанда максималды, егер А<0 (немесе МЕН<0 ) және минимум болса A>0(немесе С>0);

2) егер Δ< 0, то экстремума в точке P(a; b)Жоқ;

3) егер Δ = 0 болса, онда функцияның нүктеде экстремумының болуы туралы мәселе P(a; b)ашық күйінде қалады (қосымша зерттеуді қажет етеді).

4°. Көп айнымалы функцияның жағдайы. Үш және функциясы үшін Көбірекайнымалылар, экстремумның болуының қажетті шарттары (1) шарттарына, ал жеткілікті шарттары а), b), в) 3° шарттарына ұқсас.

Мысал. Экстремум үшін функцияны зерттеңіз z=x³+3xy²-15x-12y.

Шешім. Жеке туындыларды тауып, (1) теңдеулер жүйесін құрайық:

Жүйені шеше отырып, біз төрт стационарлық нүктені аламыз:

2-ші ретті туындыларды табайық

және дискриминант жасаңыз ∆=AC - B²әрбір стационарлық нүкте үшін.

1) нүкте үшін: , ∆=AC-B²=36-144<0 . Сондықтан нүктеде экстремум жоқ.

2) P2 нүктесі үшін: A=12, B=6, C=12; Δ=144-36>0, A>0. Р2 нүктесінде функцияның минимумы бар. Бұл минимум функцияның мәніне тең x=2, y=1: ​​zmin=8+6-30-12=-28.

3) тармақ үшін: A=-6, B=-12, C=-6; Δ = 36-144<0 . Ешқандай экстремалдылық жоқ.

4) P 4 нүктесі үшін: A=-12, B=-6, C=-12; Δ=144-36>0. Р4 нүктесінде функцияның максималды мәні бар Zmax=-8-6+30+12=28.

5°. Шартты экстремум. Ең қарапайым жағдайда шартты экстремумфункциялары f(x,y) - бұл функцияның аргументтері теңдеу арқылы байланысқан жағдайда жеткен ең үлкен немесе минимум. φ(x,y)=0 (қосылу теңдеуі). Функцияның шартты экстремумын табу f(x, y) қатынастың қатысуымен φ(x, y) = 0, деп аталатынды құрайды Лагранж функциясы

F(x ,у)=f(x ,у)+λφ (x ,у),

мұндағы λ анықталмаған тұрақты коэффициент және осы көмекші функцияның әдеттегі экстремумын іздеңіз. Экстремумға қажетті шарттар үш теңдеу жүйесіне келтіріледі

үш белгісіз x, y, λ, олардан, жалпы айтқанда, бұл белгісіздерді анықтауға болады.

Шартты экстремумның болуы және табиғаты туралы мәселе Лагранж функциясының екінші дифференциалының белгісін зерттеу негізінде шешіледі.

сыналған құндылықтар жүйесі үшін x, y, λ(2) арқылы алынған dxЖәне дутеңдеуімен байланысты

.

Атап айтқанда, функция f(x,y) шартты максимумы бар, егер d²F< 0 және шартты минимум, егер d²F>0. Атап айтқанда, егер функция үшін дискриминант Δ болса F(x, y)стационар нүктеде оң болса, онда осы нүктеде функцияның шартты максимумы болады f(x, y), Егер А< 0 (немесе МЕН< 0) және шартты минимум, егер A > O(немесе С>0).

Сол сияқты үш немесе одан да көп айнымалы функцияның шартты экстремумы бір немесе бірнеше байланыс теңдеулері болған кезде табылады (бірақ олардың саны саннан азайнымалылар). Мұнда Лагранж функциясына қосылу теңдеулері қанша болса, сонша анықталмаған факторларды енгізу қажет.

Мысал. Функцияның экстремумын табыңыз z=6-4x-3жайнымалылар болған жағдайда XЖәне сағтеңдеуді қанағаттандырыңыз x²+y²=1.

Шешім. Геометриялық тұрғыдан мәселе ең үлкен және табу үшін қысқарады ең кіші мәндераппликациялар zұшақ z=6 - 4x - Zuцилиндрмен қиылысу нүктелері үшін x2+y2=1.

Лагранж функциясын құрастырыңыз F(x,y)=6 -4x -3y+λ(x2+y2 -1).

Бізде бар . Қажетті шарттар теңдеулер жүйесін береді

шешу арқылы біз табамыз:

.

,

d²F=2λ (dx²+dy²).

Егер және содан кейін d²F >0, және, демек, осы нүктеде функцияның шартты минимумы бар. Егер содан соң d²Ф<0, және, демек, осы нүктеде функцияның шартты максимумы болады.

Осылайша,

6°. Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндері.

Функция болсын z=f(x; у)шектелген жабық доменде анықталған және үздіксіз . Содан кейін ол кейбір нүктелерге жетеді оның ең ұлысы Мжәне ең аз Тқұндылықтар (деп аталатын. жаһандық экстремалды).Бұл мәндерге аймақтың ішінде орналасқан нүктелердегі функция жетеді , немесе облыс шекарасында жатқан нүктелерде.