Кері туындының геометриялық мағынасы. Туындының физикалық мағынасы. VI. Зертханалық жұмыс

Тақырып. Туынды. Геометриялық және механикалық сезімтуынды

Егер бұл шек бар болса, онда функция нүктеде дифференциалданатын деп аталады. Функцияның туындысы белгіленеді (формула 2).

1. Туындының геометриялық мағынасы. Функция графигін қарастырайық. 1-суреттен функция графигінің кез келген екі А және В нүктесі үшін 3) формуласын жазуға болатынын көруге болады. Онда – АВ секантының көлбеу бұрышы.

Осылайша, айырмашылық қатынасы секанттың еңісіне тең. Егер А нүктесін бекітіп, В нүктесін оған қарай жылжытсақ, онда ол шексіз төмендейді және 0-ге жақындайды, ал АВ бөлгіші АС жанамасына жақындайды. Демек, айырмашылық қатынасының шегі А нүктесіндегі жанаманың еңісіне тең. Демек, қорытынды шығады.

Функцияның нүктедегі туындысы деп сол нүктедегі сол функцияның графигіне жанаманың көлбеуін айтады. Бұл туындының геометриялық мағынасы.

1. Тангенс теңдеуі . Нүктедегі функцияның графигіне жанаманың теңдеуін шығарайық. Жалпы жағдайда еңісі бар түзудің теңдеуі келесідей болады: . b табу үшін жанаманың А нүктесі арқылы өтетінін пайдаланамыз: . Бұл мынаны білдіреді: . Осы өрнекті b орнына қойып, тангенс теңдеуін аламыз (4 формула).

Туындының геометриялық мәнін білу үшін у = f(x) функциясының графигін қарастырайық. Координаталары (x, y) болатын ерікті М нүктесін және оған жақын N нүктесін (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y) алыңыз. $\overline(M_(1) M)$ және $\overline(N_(1) N)$ ординаталарын салып, М нүктесінен ОХ осіне параллель түзу жүргізейік.

$\frac(\Delta y)(\Delta x) $ қатынасы OX осінің оң бағытымен MN секантпен құрылған $\alpha $1 бұрышының тангенсі. $\Delta $x нөлге ұмтылатындықтан, N нүктесі M-ге жақындайды, ал M нүктесіндегі қисыққа MT жанама MN секантының шекті позициясына айналады.Осылайша, f`(x) туындысы мынаған тең. $\alpha $ бұрышының тангенсі M (x, y) нүктесінде ОК осіне оң бағыты бар қисық қисық арқылы түзілген бұрыштың тангенсі - жанаманың еңісі (1-сурет).

Сурет 1. Функцияның графигі

Формулаларды (1) пайдаланып мәндерді есептеу кезінде белгілерде қателеспеу маңызды, өйткені өсім теріс болуы мүмкін.

Қисықта жатқан N нүктесі кез келген жағынан М-ге жақындай алады. Сонымен, 1-суретте жанамаға қарама-қарсы бағыт берілсе, $\alpha $ бұрышы $\pi $-ға өзгереді, бұл бұрыштың тангенсіне және сәйкесінше еңіске айтарлықтай әсер етеді.

Қорытынды

Бұдан туындының бар болуы y = f(x) қисығына жанаманың болуымен байланысты, ал еңіс -- tg $\alpha $ = f`(x) шекті болады. Сондықтан тангенс OY осіне параллель болмауы керек, әйтпесе $\alpha $ = $\pi $/2, ал бұрыштың тангенсі шексіз болады.

Кейбір нүктелерде үздіксіз қисық жанама болмауы немесе OY осіне параллель жанама болуы мүмкін (2-сурет). Сонда бұл мәндерде функцияның туындысы болуы мүмкін емес. Функция қисығында мұндай нүктелердің кез келген саны болуы мүмкін.

Сурет 2. Қисықтың ерекше нүктелері

2-суретті қарастырыңыз. $\Delta $x теріс немесе оң мәндерден нөлге ұмтылсын:

\[\Delta x\ -0\begin(массив)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(массив)\]

Егер бұл жағдайда (1) қатынастардың соңғы жолы болса, ол былай белгіленеді:

Бірінші жағдайда сол жақта туынды, екіншісінде оң жақта туынды.

Шектің болуы сол және оң туындылардың эквиваленттілігі мен теңдігі туралы айтады:

Егер сол және оң туындылар тең болмаса, онда бұл нүктеде OY параллель емес жанамалар пайда болады (М1 нүктесі, 2-сурет). M2, M3 нүктелерінде (1) қатынастар шексіздікке ұмтылады.

M2 сол жағындағы N нүкте үшін $\Delta $x $

$M_2$ оң жағында, $\Delta $x $>$ 0, бірақ өрнек сонымен қатар f(x + $\Delta $x) -- f(x) $

$M_3$ нүктесі үшін сол жақта $\Delta $x $$ 0 және f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, яғни. (1) өрнектер оң және сол жақта оң болады және $\Delta $x -0 және +0 мәніне жақындағанда +$\infty $ болады.

Түзудің белгілі нүктелерінде туындының болмауы жағдайы (x = c) 3-суретте көрсетілген.

Сурет 3. Туындылардың болмауы

1-мысал

4-суретте функцияның графигі және $x_0$ абсциссасы бар нүктедегі графикке жанама көрсетілген. Функцияның абсциссадағы туындысының мәнін табыңыз.

Шешім. Нүктедегі туынды функция өсімшесінің аргумент өсіміне қатынасына тең. Тангенс бойынша бүтін координаталары бар екі нүктені таңдайық. Мысалы, бұл F (-3.2) және С (-2.4) нүктелері болсын.

Математикалық есептер көптеген ғылымдарда өз қолданылуын табады. Олардың қатарында тек физика, химия, техника және экономика ғана емес, сонымен қатар медицина, экология және басқа да пәндер бар. Маңызды дилеммалардың шешімін табу үшін меңгеру керек маңызды ұғымдардың бірі – функцияның туындысы. физикалық мағынасыоны түсіндіру мәселенің мән-мағынасы бейхабар адамдарға көрінетіндей қиын емес. Бұған нақты өмірден және қарапайым күнделікті жағдайлардан лайықты мысалдарды табу жеткілікті. Шындығында, кез-келген моторист күн сайын спидометрге қараған кезде, белгіленген уақыттың белгілі бір мезетінде көлігінің жылдамдығын анықтайтын ұқсас тапсырманы жеңеді. Өйткені туындының физикалық мағынасының мәні осы параметрде жатыр.

Жылдамдықты қалай табуға болады

Кез келген бесінші сынып оқушысы жүріп өткен жолды және жүру уақытын біле отырып, адамның жолдағы жылдамдығын оңай анықтай алады. Ол үшін берілген мәндердің біріншісі екіншісіне бөлінеді. Бірақ кез келген жас математик қазіргі уақытта функция мен аргументтің өсімдерінің қатынасын тауып жатқанын біле бермейді. Шынында да, егер қозғалысты у осі бойынша жолды және абсцисса бойымен уақытты сала отырып, график түрінде елестетсек, дәл солай болады.

Дегенмен, жаяу жүргіншінің немесе жолдың үлкен бөлігінде анықтайтын кез келген басқа нысанның жылдамдығы қозғалысты біркелкі деп есептей отырып, жақсы өзгеруі мүмкін. Физикада қозғалыстың көптеген түрлері бар. Оны тек тұрақты үдеумен ғана емес, ерікті түрде баяулатып, арттыруға болады. Айта кету керек, бұл жағдайда қозғалысты сипаттайтын сызық енді түзу сызық болмайды. Графикалық түрде ол ең күрделі конфигурацияларды қабылдай алады. Бірақ графиктегі кез келген нүкте үшін біз әрқашан сызықтық функциямен көрсетілген жанама сала аламыз.

Уақытқа байланысты орын ауыстырудың өзгеру параметрін нақтылау үшін өлшенген сегменттерді азайту қажет. Олар шексіз кішкентай болғанда, есептелген жылдамдық лезде болады. Бұл тәжірибе туындыны анықтауға көмектеседі. Оның физикалық мағынасы да осындай пайымдаудан логикалық түрде шығады.

Геометрия тұрғысынан

Дененің жылдамдығы неғұрлым үлкен болса, орын ауыстырудың уақытқа тәуелділік графигі соғұрлым тік болатыны белгілі, демек белгілі бір нүктедегі жанаманың графқа көлбеу бұрышы болады. Мұндай өзгерістердің көрсеткіші х осі мен жанама сызығының арасындағы бұрыштың тангенсі болуы мүмкін. Дәл сол туындының мәнін анықтайды және белгілі бір нүктеден х осіне түсірілген перпендикулярдан құрылған тікбұрышты үшбұрыштың көршілес катетінің ұзындықтарының қатынасымен есептеледі.

Бұл бірінші туындының геометриялық мағынасы. Физикалық жағы біздің жағдайда қарама-қарсы аяқтың мәні жүріп өткен қашықтық, ал көршілес - уақыт екендігінде ашылады. Олардың қатынасы жылдамдық. Және тағы да қорытындыға келеміз, екі саңылау да шексіз азға бейім болғанда анықталатын лездік жылдамдық оның физикалық мағынасын көрсете отырып, мәні болып табылады. Бұл мысалдағы екінші туынды дененің үдеуі болады, ол өз кезегінде жылдамдықтың өзгеру дәрежесін көрсетеді.

Физикадағы туындыларды табу мысалдары

Туынды сөздің тура мағынасында қозғалыс туралы айтпағанда да, кез келген функцияның өзгеру жылдамдығының көрсеткіші болып табылады. Мұны анық көрсету үшін бірнеше нақты мысал келтірейік. Уақытқа байланысты ток күші келесі заңға сәйкес өзгереді делік: I= 0,4т2.Процестің 8 секундының соңында бұл параметр өзгеретін жылдамдықтың мәнін табу талап етіледі. Қажетті мәннің өзі, теңдеуден көрінетіндей, үнемі өсетінін ескеріңіз.

Шешім үшін физикалық мағынасы бұрын қарастырылған бірінші туындыны табу қажет. Мұнда dI/ дт = 0,8 т. Әрі қарай, біз оны табамыз т=8 , ток күшінің өзгеру жылдамдығына тең болатынын аламыз 6,4 А/ в. Мұнда ток күші ампермен, ал уақыт сәйкесінше секундтармен өлшенетіні қарастырылады.

Барлығы өзгермелі

Көрінетін қоршаған орта, материядан тұратын, онда болып жатқан әртүрлі процестердің қозғалысында бола отырып, үнемі өзгерістерге ұшырайды. Оларды сипаттау үшін әртүрлі параметрлерді қолдануға болады. Егер олар тәуелділік арқылы біріктірілсе, онда олардың өзгерістерін анық көрсететін функция ретінде математикалық түрде жазылады. Қозғалыс бар жерде (ол қандай формада көрінсе де), қазіргі уақытта физикалық мағынасын қарастыратын туынды да бар.

Осыған байланысты келесі мысал. Дене температурасы заңға сәйкес өзгерді делік Т=0,2 т 2 . Оның қызу жылдамдығын 10 секундтың соңында табу керек. Мәселе алдыңғы жағдайда сипатталғанға ұқсас жолмен шешіледі. Яғни, туындыны тауып, оның мәнін ауыстырамыз т= 10 , Біз алып жатырмыз Т= 0,4 т= 4. Бұл дегеніміз, соңғы жауап секундына 4 градус, яғни қыздыру процесі және градуспен өлшенетін температураның өзгеруі дәл осы жылдамдықта жүреді.

Практикалық есептерді шешу

Әрине, нақты өмірде бәрі теориялық есептерге қарағанда әлдеқайда күрделірек. Тәжірибеде шамалардың мәні әдетте тәжірибе кезінде анықталады. Бұл жағдайда белгілі бір қателікпен өлшеу кезінде көрсеткіштерді беретін аспаптар қолданылады. Сондықтан есептеулерде параметрлердің жуық мәндерімен айналысу керек және ыңғайсыз сандарды дөңгелектеуге, сондай-ақ басқа да жеңілдетуге жүгіну керек. Осыны ескере отырып, біз табиғатта болып жатқан ең күрделі процестердің математикалық моделінің бір түрі ғана екенін ескере отырып, туындының физикалық мағынасына арналған есептерге қайта көшеміз.

Жанартау атқылауы

Жанартау атқылағанын елестетіңіз. Ол қаншалықты қауіпті болуы мүмкін? Бұл сұраққа жауап беру үшін көптеген факторларды ескеру қажет. Солардың бірін есепке алуға тырысамыз.

«Отты құбыжықтың» аузынан тастар сыртқа шыққан сәттен бастап бастапқы жылдамдыққа ие болып, тігінен жоғары қарай лақтырылады.Олардың максималды биіктікке қаншалықты биіктікке жете алатынын есептеу керек.

Қажетті мәнді табу үшін метрмен өлшенетін H биіктігінің басқа шамаларға тәуелділігінің теңдеуін құрастырамыз. Оларға бастапқы жылдамдық пен уақыт кіреді. Үдеу мәні белгілі және шамамен 10 м/с 2 деп саналады.

Жартылай туынды

Енді функция туындысының физикалық мағынасын сәл басқа бұрыштан қарастырайық, өйткені теңдеудің өзінде бір емес, бірнеше айнымалы болуы мүмкін. Мысалы, алдыңғы есепте жанартау саңылауынан лақтырылған тастардың биіктігіне тәуелділік тек уақыт сипаттамаларының өзгеруімен ғана емес, сонымен қатар бастапқы жылдамдықтың мәнімен де анықталды. Соңғысы тұрақты, тұрақты шама болып саналды. Бірақ мүлде басқа жағдайлары бар басқа тапсырмаларда бәрі басқаша болуы мүмкін. Қандай мөлшерлер болса күрделі функция, бірнеше, есептеулер төмендегі формулалар бойынша жүргізіледі.

Жиі туындының физикалық мағынасы әдеттегі жағдайдағыдай анықталуы керек. Бұл айнымалының параметрі өскен сайын функцияның белгілі бір нүктеде өзгеру жылдамдығы. Ол барлық басқа компоненттер тұрақтылар ретінде қабылданатындай етіп есептеледі, тек біреуі ғана айнымалы ретінде қарастырылады. Содан кейін бәрі әдеттегі ережелерге сәйкес болады.

Туындының физикалық мағынасын түсіне отырып, күрделі де күрделі есептерді шешуге мысалдар келтіру қиын емес, олардың жауабын осындай біліммен табуға болады. Егер бізде машинаның жылдамдығына байланысты отын шығынын сипаттайтын функция болса, соңғысының қандай параметрлерінде бензин шығыны аз болатынын есептей аламыз.

Медицинада адам ағзасының дәрігер тағайындаған дәріге қалай әсер ететінін болжауға болады. Препаратты қабылдау әртүрлі физиологиялық параметрлерге әсер етеді. Оларға қан қысымының, жүрек соғу жылдамдығының, дене температурасының және т.б. өзгерістер жатады. Олардың барлығы қабылданған препараттың дозасына байланысты. Бұл есептеулер емделушінің ағзасындағы өзгерістерге өліммен әсер ететін қолайлы көріністерде де, жағымсыз оқиғаларда да емдеу курсын болжауға көмектеседі.

Техникалық мәселелерде, атап айтқанда электротехникада, электроникада, дизайнда және құрылыста туындының физикалық мағынасын түсіну маңызды екені сөзсіз.

Тежеу қашықтығы

Келесі мәселені қарастырайық. Тұрақты жылдамдықпен қозғалып, көпірге жақындаған көлік кірер алдында 10 секунд бұрын жылдамдығын төмендетуге мәжбүр болды, өйткені жүргізуші 36 км/сағ жоғары жылдамдықпен қозғалысқа тыйым салатын жол белгісін байқады. Тежеу қашықтығын S = 26t - t 2 формуласымен сипаттауға болатын болса, жүргізуші ережелерді бұзды ма?

Бірінші туындыны есептеп, жылдамдық формуласын табамыз, v = 28 - 2t аламыз. Әрі қарай t=10 мәнін көрсетілген өрнекке ауыстырамыз.

Бұл мән секундтарда көрсетілгендіктен, жылдамдық 8 м / с құрайды, бұл 28,8 км / сағ дегенді білдіреді. Бұл жүргізушінің уақытында жылдамдығын төмендете бастағанын және жол қозғалысы ережелерін бұзбағанын, демек, жылдамдық белгісінде көрсетілген шекті түсінуге мүмкіндік береді.

Бұл туынды сөздің физикалық мағынасының маңыздылығын дәлелдейді. Бұл мәселені шешудің мысалы осы тұжырымдаманы қолданудың кеңдігін көрсетеді әртүрлі аймақтарөмір. Оның ішінде күнделікті жағдайларда.

Экономикадағы туынды

19 ғасырға дейін экономистер негізінен еңбек өнімділігі немесе өнімнің бағасы болсын, орташа көрсеткіштермен айналысты. Бірақ белгілі бір сәттен бастап осы салада тиімді болжамдар жасау үшін мәндерді шектеу қажет болды. Оларға шекті пайдалылық, кіріс немесе шығындар жатады. Мұны түсіну экономикалық зерттеулерде жүз жылдан астам өмір сүріп, дамып келе жатқан мүлде жаңа құралды жасауға серпін берді.

Минималды және максимум сияқты ұғымдар басым болатын мұндай есептеулерді жасау үшін туындының геометриялық және физикалық мағынасын түсіну қажет. Жасаушылар арасында теориялық негізіБұл пәндерді В.С.Джевонс, К.Менгер және т.б. сияқты көрнекті ағылшын және австриялық экономистер деп атауға болады. Әрине, экономикалық есептеулердегі шекті мәндерді пайдалану әрқашан қолайлы бола бермейді. Және, мысалы, тоқсан сайынғы есептер міндетті түрде қолданыстағы схемаға сәйкес келмейді, бірақ бәрібір мұндай теорияны қолдану көптеген жағдайларда пайдалы және тиімді.

Сабақтың мақсаттары:

Оқушылар білуі керек:

• түзудің еңісі деп нені атайды;
• түзу мен х осінің арасындағы бұрыш;
• туындының геометриялық мағынасы қандай;
• функцияның графигіне жанаманың теңдеуі;
• параболаға жанама салу әдісі;
• теориялық білімдерін практикада қолдана білу.

Сабақтың мақсаттары:

Тәрбиелік: Туындының механикалық және геометриялық мағынасы туралы түсініктермен білім, білік, дағды жүйесін оқушылардың меңгеруіне жағдай жасау.

Тәрбиелік: Оқушылардың ғылыми дүниетанымын қалыптастыру.

Дамытушылық: Оқушылардың танымдық қызығушылығын, шығармашылық қабілеттерін, ерік-жігерін, есте сақтау, сөйлеу, зейінін, қиялын, қабылдауын дамыту.

Оқу-танымдық іс-әрекетті ұйымдастыру әдістері:

• көрнекі;
• практикалық;
• ақыл-ой әрекеті бойынша: индуктивті;
• материалды меңгеру бойынша: ішінара зерттеушілік, репродуктивті;
• дербестік дәрежесі бойынша: зертханалық жұмыс;
• ынталандыру: ынталандыру;
• бақылау: ауызша фронтальды зерттеу.

Сабақ жоспары

1. Ауызша жаттығулар (туындыны табыңыз)
2. «Пайдалану себептері математикалық талдау”.
3. Жаңа материалды меңгерту
4. Физ. Минут.
5. Мәселені шешу.
6. Зертханалық жұмыс.
7. Сабақты қорытындылау.
8. Үй тапсырмасына түсінік беру.

Құрал-жабдықтар: мультимедиялық проектор (презентация), карточкалар (зертханалық жұмыс).

«Адам өзіне сенген жерде ғана бір нәрсеге қол жеткізеді»

Л.Фейербах

Сабақ бойына сыныпты ұйымдастыру, оқушылардың сабаққа дайындығы, тәртібі мен тәртібі.

Бүкіл сабақ үшін де, оның жеке кезеңдері үшін де оқушыларға оқу мақсаттарын қою.

Осы тақырып бойынша да, бүкіл курс бойынша да оқытылатын материалдың маңыздылығын анықтаңыз.

Ауызша санау

1. Туындыларды табыңыз:

" , ()" , (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "

2. Логикалық тест.

а) Түсіп қалған өрнекті қойыңыз.

Ғылым дамуының жалпы бағыты түптеп келгенде адамның іс-әрекет тәжірибесінің талаптарымен анықталады. Күрделі иерархиялық басқару жүйесі бар ежелгі мемлекеттердің өмір сүруі арифметика мен алгебраның жеткілікті дамуынсыз мүмкін болмас еді, өйткені салықтарды жинау, әскерді қамтамасыз етуді ұйымдастыру, сарайлар мен пирамидалар салу, суару жүйелерін құру қажет болды. күрделі есептеулер. Қайта өрлеу дәуірінде ортағасырлық әлемнің әртүрлі бөліктері арасындағы байланыстар кеңейіп, сауда мен қолөнер дамыды. Өндірістің техникалық деңгейінің тез көтерілуі басталады, адамның немесе жануарлардың бұлшықет күшіне байланысты емес, жаңа энергия көздері өнеркәсіпте қолданылады. ХІ-ХІІ ғасырларда тоқу машиналары мен тоқыма станоктары, ал XV ғасырдың ортасында баспахана пайда болды. Осы кезеңдегі қоғамдық өндірістің қарқынды дамуының қажеттілігіне байланысты ежелгі дәуірден сипаттамалық сипатта болған жаратылыстану ғылымдарының мәні өзгереді. Жаратылыстанудың мақсаты объектілерді емес, табиғи процестерді терең зерттеуге айналады. Антикалық сипаттағы жаратылыстану тұрақты мәндермен жұмыс істейтін математикаға сәйкес келді. Процестің нәтижесін емес, оның ағымының табиғатын және оған тән заңдылықтарды сипаттайтын математикалық аппарат құру қажет болды. Нәтижесінде 12 ғасырдың аяғында Англияда Ньютон мен Германияда Лейбниц математикалық анализ жасаудың бірінші кезеңін аяқтады. «Математикалық талдау» дегеніміз не? Кез келген процестің ерекшеліктерін қалай сипаттауға және болжауға болады? Осы мүмкіндіктерді пайдалану керек пе? Осы немесе басқа құбылыстың мәніне тереңірек ену үшін?

Ньютон мен Лейбництің жолымен жүрейік және оны уақыт функциясы ретінде қарастыра отырып, процесті қалай талдауға болатынын көрейік.

Бізге одан әрі көмектесетін кейбір түсініктерді енгізейік.

y=kx+ b сызықтық функциясының графигі түзу, k саны деп аталады түзудің еңісі. k=tg, мұндағы түзудің бұрышы, яғни осы түзу мен Ох осінің оң бағыты арасындағы бұрыш.

1-сурет

y \u003d f (x) функциясының графигін қарастырайық. Кез келген екі нүкте арқылы секантты сызыңыз, мысалы, AM секанты. (Cурет 2)

Секанттың еңісі k=tg. AMC тікбұрышты үшбұрышында<МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

2-сурет

3-сурет

«Жылдамдық» терминінің өзі бір шаманың өзгеруінің басқа шаманың өзгеруіне тәуелділігін сипаттайды, ал соңғысы уақыт болуы міндетті емес.

Сонымен, секанттың көлбеуінің тангенсі tg = .

Біз мәндердің өзгеруінің қысқа мерзімдегі тәуелділігіне мүдделіміз. Аргументтің өсімін нөлге бейімдейміз. Сонда формуланың оң жағы А нүктесіндегі функцияның туындысы болады (неге екенін түсіндіріңіз). Егер x -> 0 болса, онда M нүктесі график бойымен А нүктесіне жылжиды, бұл AM түзуінің кейбір AB түзуіне жақындағанын білдіреді, ол А нүктесіндегі y \u003d f (x) функциясының графигіне жанама. (Cурет 3)

Секанттың көлбеу бұрышы жанаманың көлбеу бұрышына бейім.

Туындының геометриялық мәні мынада: нүктедегі туындының мәні нүктедегі функция графигіне жанаманың еңісіне тең.

Туындының механикалық мағынасы.

Тангенс көлбеуінің тангенсі – берілген нүктедегі функцияның лездік өзгеру жылдамдығын көрсететін шама, яғни зерттелетін процестің жаңа сипаттамасы. Лейбниц бұл шаманы атады туынды, ал Ньютон лездік деп айтты жылдамдық.

№ 91(1) 91 бет - тақтада көрсету.

x 0 - 1 нүктесіндегі f (x) \u003d x 3 қисығына жанаманың еңісі бұл функцияның x \u003d 1 кезіндегі туындысының мәні болып табылады. f '(1) \u003d 3x 2; f'(1) = 3.

No91 (3,5) – диктантпен.

No 92 (1) - өз қалауы бойынша тақтада.

No 92 (3) – ауызша тексерумен дербес.

№ 92 (5) – алқада.

Жауаптары: 45 0, 135 0, 1,5 e 2.

Мақсаты: «Туындының механикалық мағынасы» ұғымын дамыту.

Туындының механикада қолданылуы.

Заң берілген түзу сызықты қозғалыснүктелері x = x(t), t.

1. Белгіленген уақыт аралығындағы қозғалыстың орташа жылдамдығы;
2. t 04 уақытындағы жылдамдық пен үдеу
3. тоқтау нүктелері; нүкте тоқтаған сәттен кейін сол бағытта қозғала ма немесе қарама-қарсы бағытта қозғала бастайды ма;
4. Белгілі бір уақыт аралығындағы қозғалыстың ең жоғары жылдамдығы.

Жұмыс 12 нұсқа бойынша орындалады, тапсырмалар күрделілік деңгейі бойынша сараланады (бірінші нұсқа күрделіліктің ең төменгі деңгейі).

Жұмысты бастамас бұрын келесі сұрақтар бойынша әңгімелесу керек:

1. Орын ауыстыру туындысының физикалық мағынасы қандай? (Жылдамдық).
2. Жылдамдықтың туындысын таба аласыз ба? Бұл шама физикада қолданылады ма? Ол қалай аталады? (Жеделдету).
3. Лездік жылдамдық нөлге тең. Осы сәттегі дененің қозғалысы туралы не айтуға болады? (Бұл тоқтау нүктесі).
4. Төмендегі тұжырымдардың физикалық мағынасы қандай: қозғалыстың туындысы t 0 нүктесінде нөлге тең; t 0 нүктесінен өткенде туынды таңбасын өзгерте ме? (Дене тоқтайды; қозғалыс бағыты керісінше өзгереді).

Оқушыларға үлгі жұмыс.

x (t) \u003d t 3 -2 t 2 +1, t 0 \u003d 2.

4-сурет

Қарсы бағытта.

Жылдамдықтың схемалық графигін салайық. Ең жоғары жылдамдық нүктеде жетеді

t=10, v (10) =3 10 2 -4 10 =300-40=260

5-сурет

1) Туындының геометриялық мағынасы қандай?
2) Туындының механикалық мағынасы қандай?
3) Жұмысыңыз туралы қорытынды жасаңыз.

90-бет. No 91 (2,4,6), No 92 (2,4,6,), 92 No 112 б.

Қолданылған кітаптар

• Оқулық Алгебра және талдаудың басы.
  Авторлары: Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин.
  Жижченконың редакциясымен А.Б.
• Алгебра 11 сынып. Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоровтың оқулығы бойынша сабақ жоспарлары. 1 бөлім.
• Интернет ресурстары: http://orags.narod.ru/manuals/html/gre/12.jpg

f (x) функциясының x0 нүктесіндегі туындысы х0 нүктесіндегі функция өсімінің Δx аргументінің өсімшесінің қатынасының шегі (егер ол бар болса), егер аргумент өсімі келесіге ұмтылса нөл және f '(x0) арқылы белгіленеді. Функцияның туындысын табу әрекеті дифференциалдау деп аталады.
Функцияның туындысы мынадай физикалық мағынаға ие: функцияның берілген нүктедегі туындысы деп функцияның берілген нүктедегі өзгеру жылдамдығын айтады.

Туындының геометриялық мағынасы. x0 нүктесіндегі туынды осы нүктедегі y=f(x) функциясының графигіне жанаманың еңісіне тең.

Туындының физикалық мағынасы.Егер нүкте х осінің бойымен қозғалса және оның координаты x(t) заңына сәйкес өзгерсе, онда нүктенің лездік жылдамдығы:

Дифференциал туралы түсінік, оның қасиеттері. Дифференциация ережелері. Мысалдар.

Анықтама.Функцияның қандай да бір х нүктесіндегі дифференциалы функция өсімшесінің негізгі, сызықтық бөлігі болып табылады.y = f(x) функциясының дифференциалы оның туындысы мен тәуелсіз айнымалы x ( өсімшесінің көбейтіндісіне тең. аргумент).

Ол былай жазылған:

немесе

Немесе


Дифференциалдық қасиеттер
Дифференциал туындының қасиеттеріне ұқсас қасиеттерге ие:





TO дифференциацияның негізгі ережелерімыналарды қамтиды:
1) көрсету тұрақты фактортуынды белгісі үшін
2) қосындының туындысы, айырманың туындысы
3) функциялар туындысының туындысы
4) екі функцияның бөлігінің туындысы (бөлшектің туындысы)

Мысалдар.
Формуланы дәлелдейміз: Туындының анықтамасы бойынша бізде:

Ерікті факторды шекке өту белгісінен шығаруға болады (бұл шектің қасиеттерінен белгілі), сондықтан

Мысалы:Функцияның туындысын табыңыз
Шешімі:Туындының таңбасынан көбейткішті алу ережесін қолданамыз :

Көбінесе туындылар кестесін және туындыларды табу ережелерін қолдану үшін дифференциалданатын функцияның формасын жеңілдетуге тура келеді. Келесі мысалдар мұны анық растайды.

Дифференциалдау формулалары. Дифференциалды жуықтап есептеулерде қолдану. Мысалдар.

Дифференциалды шамамен есептеулерде қолдану дифференциалды функция мәндерін жуықтап есептеу үшін пайдалануға мүмкіндік береді.
Мысалдар.
Дифференциалды пайдаланып, шамамен есептеңіз
Бұл мәнді есептеу үшін біз теориядан формуланы қолданамыз
a функциясын енгізейік мәнді орнатутүрінде көрсетеді
содан кейін Есептеңіз

Барлығын формулаға ауыстыра отырып, біз ақырында аламыз
Жауап:

16. 0/0 немесе ∞/∞ түріндегі белгісіздіктерді ашуға арналған L'Hopital ережесі. Мысалдар.
Екі шексіз аз немесе екі шексіз үлкен шамалардың қатынасының шегі олардың туындыларының қатынасының шегіне тең.

1)

17. Өсу және кему функциялары. функцияның экстремумы. Монотондылық пен экстремум үшін функцияны зерттеу алгоритмі. Мысалдар.

Функция артадыаралықта, егер осы интервалдың қатынасымен байланысты кез келген екі нүктесі үшін теңсіздік ақиқат болса. Яғни, аргументтің үлкен мәні функцияның үлкен мәніне сәйкес келеді және оның графигі «төменнен жоғарыға» өтеді. Демонстрациялық функция аралықта өседі

Сол сияқты, функция төмендеуаралықта, егер берілген интервалдың кез келген екі нүктесі үшін теңсіздік ақиқат болатындай. Яғни, аргументтің үлкен мәні функцияның кішірек мәніне сәйкес келеді және оның графигі «жоғарыдан төменге» өтеді. Біздікі аралықтарда азаяды .

ЭкстремалдарНүкте y=f(x) функциясының ең үлкен нүктесі деп аталады, егер теңсіздік оның маңындағы барлық х үшін ақиқат болса. Функцияның максималды нүктесіндегі мәні шақырылады максималды функцияжәне белгілеңіз.
Бұл нүкте y=f(x) функциясының ең кіші нүктесі деп аталады, егер теңсіздік оның маңындағы барлық х үшін ақиқат болса. Функцияның минимум нүктесіндегі мәні шақырылады функцияның минимумыжәне белгілеңіз.
Нүктенің көршілестігі интервал деп түсініледі , мұндағы жеткілікті аз оң сан.
Минималды және максималды нүктелер экстремум нүктелері деп, ал экстремум нүктелеріне сәйкес функция мәндері деп аталады. экстремалды функция.

Функцияны зерттеу үшін монотондылық үшінкелесі диаграмманы пайдаланыңыз:
- функцияның қолданылу саласын табу;
- функцияның туындысын және туындының анықталу облысын табу;
- Туындының нөлдерін табыңыз, яғни. туынды нөлге тең болатын аргументтің мәні;
- сандық сәуледе функцияның анықталу облысының ортақ бөлігін және оның туындысының анықталу облысын, ал оған - туындының нөлдерін белгілеңіз;
- алынған аралықтардың әрқайсысы бойынша туындының белгілерін анықтау;
-Туындының белгілері бойынша функция қай аралықта артып, қай жерде кемитінін анықтау;
- Үтірмен бөлінген сәйкес бос орындарды жазыңыз.

Зерттеу алгоритмі үздіксіз функция y = f(x) монотондылық және экстремум үшін:
1) f ′(x) туындысын табыңыз.
2) y = f(x) функциясының стационар (f ′(x) = 0) және критикалық (f ′(x) жоқ) нүктелерін табыңыз.
3) Стационарлық және белгілеңіз сыни нүктелерсан түзуінде және алынған интервалдардағы туындының таңбаларын анықтаңыз.
4) Функцияның монотондылығы және оның экстремум нүктелері туралы қорытынды жасаңыз.

18. Функцияның дөңестігі. Иілу нүктелері. Функцияны дөңес болу үшін тексеру алгоритмі (Шұңқырлық) Мысалдар.

дөңес төмен X интервалында, егер оның графигі Х интервалының кез келген нүктесіндегі жанамасынан төмен емес орналасса.

Дифференциалданатын функция деп аталады жоғары дөңес X интервалында, егер оның графигі Х интервалының кез келген нүктесіндегі жанамасынан жоғары орналаспаса.

Нүкте формуласы деп аталады графиктің иілу нүктесі y \u003d f (x) функциясы, егер берілген нүктеде функцияның графигіне жанама болса (ол Oy осіне параллель болуы мүмкін) және нүкте формуласының көршілестігі болса, оның ішінде графигі функцияның М нүктесінен солға және оңға қарай дөңестігінің әртүрлі бағыттары бар.

Дөңес үшін аралықтарды табу:

Егер y=f(x) функциясының X интервалында соңғы екінші туындысы болса және теңсіздік болса (), онда функция графигі X бойынша төмен (жоғары) бағытталған дөңес болады.
Бұл теорема функцияның ойыс және дөңес интервалдарын табуға мүмкіндік береді, тек бастапқы функцияның анықталу облысы бойынша сәйкесінше және теңсіздіктерін шешу керек.

Мысал: Функция графигі қандай аралықтарда болатынын табыңыз Функцияның графигі болатын аралықтарды табыңыз жоғары бағытталған дөңес және төмен бағытталған дөңес бар. жоғары бағытталған дөңес және төмен бағытталған дөңес бар.
Шешімі:Бұл функцияның облысы бүкіл жиын болып табылады нақты сандар.
Екінші туындыны табайық.

Екінші туындының анықталу облысы бастапқы функцияның анықталу облысымен сәйкес келеді, сондықтан ойыс және дөңес аралықтарды білу үшін сәйкесінше шешу жеткілікті. Демек, функция интервал формуласында төмен қарай дөңес және интервал формуласында жоғары дөңес болады.

19) Функцияның асимптоталары. Мысалдар.

Тікелей қоңырау шалды тік асимптотафункцияның графигі, егер шекті мәндердің кем дегенде біреуі немесе тең болса.

Түсініктеме.Функция үзіліссіз болса, сызық тік асимптота бола алмайды. Сондықтан функцияның үзіліс нүктелерінен тік асимптоталарды іздеу керек.

Тікелей қоңырау шалды көлденең асимптотафункцияның графигі, егер шекті мәндердің кем дегенде біреуі болса немесе оған тең болса.

Түсініктеме.Функция графигінде тек оң жақ көлденең асимптот немесе сол жақ қана болуы мүмкін.

Тікелей қоңырау шалды қиғаш асимптотфункциясының графигі, егер

МЫСАЛ:

Жаттығу.Функция графигінің асимптоттарын табыңыз

Шешім.Функция көлемі:

а) тік асимптоталар: түзу сызық тік асимптота, өйткені

б) көлденең асимптоталар: функцияның шексіздік шегін табамыз:

яғни көлденең асимптоталар жоқ.

в) қиғаш асимптоталар:

Сонымен, қиғаш асимптотасы: .

Жауап.Тік асимптот – түзу сызық.

Қиғаш асимптот – түзу сызық.

20) Функцияны зерттеудің жалпы схемасы және графигі. Мысал.

а.
Функцияның ODZ және үзіліс нүктелерін табыңыз.

б. Функция графигінің координата осьтерімен қиылысу нүктелерін табыңыз.

2. Бірінші туындыны пайдаланып функцияны зерттеу, яғни функцияның экстремум нүктелері мен өсу және кему аралықтарын табу.

3. Екінші ретті туынды арқылы функцияны зерттеңіз, яғни функция графигінің иілу нүктелерін және оның дөңес және ойыс аралықтарын табыңыз.

4. Функция графигінің асимптоталарын табыңыз: а) тік, ә) қиғаш.

5. Зерттеу негізінде функцияның графигін тұрғызыңыз.

Графикті құру алдында берілген функцияның жұп немесе тақ екенін анықтау пайдалы екенін ескеріңіз.

Аргументтің таңбасы өзгерген кезде функцияның мәні өзгермесе де функция шақырылатынын еске түсірейік: f(-x) = f(x)және функция егер тақ деп аталады f(-x) = -f(x).

Бұл жағдайда функцияны зерттеп, ODZ-ге жататын аргументтің оң мәндері үшін оның графигін құру жеткілікті. Сағат теріс мәндерАргумент, график жұп функция үшін оське қатысты симметриялы болатын негізде аяқталады Ой, және шығу тегіне қатысты тақ үшін.

Мысалдар.Функцияларды зерттеп, олардың графиктерін құрастырыңыз.

Функция ауқымы D(y)= (–∞; +∞).Үзіліс нүктелері жоқ.

Осьтердің қиылысы Өгіз: x = 0,у= 0.

Функция тақ, сондықтан оны тек интервалда ғана зерттеуге болады)