Интегралдық оның түрлері мен қасиеттері. Манекендерге арналған интегралдар: шешу жолы, есептеу ережелері, түсіндіру. Тұрақты коэффициентті интегралдық таңбадан шығаруға болады
Функция болсын ж = f(x) [ интервалында анықталады а, б ], а < б. Келесі операцияларды орындайық:
1) бөлу [ а, б] ұпай а = x 0 < x 1 < ... < x мен- 1 < x мен < ... < x n = б қосулы nішінара сегменттер [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x мен- 1 , x мен ], ..., [x n- 1 , x n ];
2) ішінара сегменттердің әрқайсысында [ x мен- 1 , x мен ], мен = 1, 2, ... n, ерікті нүктені таңдап, осы нүктедегі функцияның мәнін есептеңіз: f(z i ) ;
3) жұмыстарды табу f(z i ) · Δ x мен , мұндағы жартылай кесіндінің ұзындығы [ x мен- 1 , x мен ], мен = 1, 2, ... n;
4) құрастыру интегралдық қосындыфункциялары ж = f(x) сегментінде [ а, б ]:
Геометриялық тұрғыдан алғанда бұл σ қосындысы табандары жартылай кесінділер болатын тіктөртбұрыштардың аудандарының қосындысы болып табылады [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x мен- 1 , x мен ], ..., [x n- 1 , x n ], ал биіктіктер f(z 1 ) , f(z 2 ), ..., f(z n) тиісінше (Cурет 1). арқылы белгілеңіз λ ең үлкен жартылай сегменттің ұзындығы:
5) болғанда интегралдық қосындының шегін табыңыз λ → 0.
Анықтама.Егер интегралдық қосындының шекті шегі болса (1) және ол кесіндіні бөлу әдісіне тәуелді болмаса [ а, б] ішінара сегменттерге немесе нүктелерді таңдаудан z iоларда, онда бұл шек деп аталады анықталған интегралфункциясынан ж = f(x) сегментінде [ а, б] және белгіленеді
Осылайша,
Бұл жағдайда функция f(x) аталады интегралдықкүні [ а, б]. Сандар аЖәне бсәйкесінше интеграцияның төменгі және жоғарғы шегі деп аталады, f(x) интеграл, f(x ) dx- интеграл, x– интеграциялық айнымалы; сызық сегменті [ а, б] интегралдау интервалы деп аталады.
Теорема 1.Егер функция ж = f(x) [ интервалында үздіксіз а, б] болса, ол осы интервалда интегралданады.
Интегралдау шектері бірдей анықталған интеграл нөлге тең:
Егер а > б, содан кейін анықтау бойынша біз орнаттық
2. Анықталған интегралдың геометриялық мағынасы
аралықта болсын [ а, б] үздіксіз теріс емес функция ж = f(x ) . Қисық сызықты трапецияфункцияның графигімен жоғарыдан шектелген фигура деп аталады ж = f(x), төменнен – Ox осі бойынша, солға және оңға – түзу сызықтармен x = aЖәне x = b(Cурет 2).
Теріс емес функцияның анықталған интегралы ж = f(x) геометриялық тұрғыдан ауданына теңфункцияның графигімен жоғарыдан шектелген қисық сызықты трапеция ж = f(x), сол жақта және оң жақта - сызық сегменттері бойынша x = aЖәне x = b, төменнен - Ox осінің сегменті бойынша.
3. Анықталған интегралдың негізгі қасиеттері
1. Мағынасы анықталған интегралинтегралдау айнымалысының белгісіне тәуелді емес:
2. Анықталған интегралдың таңбасынан тұрақты көбейткішті шығаруға болады:
3. Екі функцияның алгебралық қосындысының анықталған интегралы осы функциялардың анықталған интегралдарының алгебралық қосындысына тең:
4.if функциясы ж = f(x) интегралданады [ а, б] Және а < б < в, Бұл
5. (орташа мән теоремасы). Егер функция ж = f(x) [ интервалында үздіксіз а, б] болса, онда бұл сегментте нүкте бар
4. Ньютон-Лейбниц формуласы
2-теорема.Егер функция ж = f(x) [ интервалында үздіксіз а, б] Және Ф(x) осы сегменттегі оның антитуындыларының кез келгені болса, келесі формула дұрыс болады:
деп аталады Ньютон-Лейбниц формуласы.Айырмашылық Ф(б) - Ф(а) былай жазылады:
мұндағы таңба қос қойылмалы таңба деп аталады.
Сонымен, (2) формуланы былай жазуға болады:
1-мысалИнтегралды есепте
Шешім. Үшін интеграл f(x ) = x 2 ерікті антитуындының пішіні бар
Ньютон-Лейбниц формуласында кез келген антитуындыны қолдануға болатындықтан, интегралды есептеу үшін ең қарапайым түрі бар қарсы туындыны аламыз:
5. Анықталған интегралдағы айнымалының өзгеруі
Теорема 3.Функция болсын ж = f(x) [ интервалында үздіксіз а, б]. Егер:
1) функция x = φ ( т) және оның туындысы φ "( т) үшін үздіксіз;
2) функция мәндерінің жиыны x = φ ( т) үшін бұл сегмент [ а, б ];
3) φ ( а) = а, φ ( б) = б, содан кейін формула
деп аталады анықталған интегралдағы айнымалы формуланың өзгеруі .
Ұнайды анықталмаған интеграл, бұл жағдайда қажет емесбастапқы интеграциялық айнымалыға оралу үшін - α және β жаңа интеграциялық шектерді табу жеткілікті (ол үшін айнымалы үшін шешу қажет ттеңдеулер φ ( т) = ажәне φ ( т) = б).
Ауыстырудың орнына x = φ ( т) ауыстыруды қолдануға болады т = g(x). Бұл жағдайда айнымалыға қатысты интеграцияның жаңа шегін табу тжеңілдетеді: α = g(а) , β = g(б) .
2-мысал. Интегралды есепте
Шешім. Формула бойынша жаңа айнымалы енгізейік . Теңдеудің екі жағын квадраттап, 1 + аламыз x= т 2 , қайда x= т 2 - 1, dx = (т 2 - 1)"дт= 2тдт. Біз интеграцияның жаңа шегін табамыз. Ол үшін формулаға ескі шектерді ауыстырамыз x= 3 және x= 8. Біз аламыз: , қайдан т= 2 және α = 2; , қайда т= 3 және β = 3. Сонымен,
3-мысалЕсептеу
Шешім. Болсын u=ln x, Содан кейін, v = x. (4) формула бойынша
Бұл мақалада біз анықталған интегралдың негізгі қасиеттерін тізімдейміз. Бұл қасиеттердің көпшілігі Риман мен Дарбудың анықталған интеграл тұжырымдамалары негізінде дәлелденген.
Анықталған интегралды есептеу өте жиі алғашқы бес қасиет арқылы жүзеге асырылады, сондықтан қажет болған жағдайда оларға сілтеме жасаймыз. Анықталған интегралдың қалған қасиеттері негізінен әртүрлі өрнектерді бағалау үшін қолданылады.
Одан бұрын анықталған интегралдың негізгі қасиеттері, біз а-дан b аспайтынына келісеміз.
x = a үшін анықталған y = f(x) функциясы үшін теңдік ақиқат болады.
Яғни, интегралдау шектері бірдей анықталған интегралдың мәні нөлге тең. Бұл қасиет Риман интегралының анықтамасының салдары болып табылады, өйткені бұл жағдайда интервалдың кез келген бөлімі және нүктелердің кез келген таңдауы үшін әрбір интегралдық қосынды нөлге тең, сондықтан интегралдық қосындылардың шегі нөлге тең.
Сегментте интегралданатын функция үшін бізде бар 
.
Басқаша айтқанда, интегралдаудың жоғарғы және төменгі шекаралары өзгергенде, анықталған интегралдың мәні кері өзгереді. Анықталған интегралдың бұл қасиеті Риман интегралы ұғымынан да шығады, тек кесіндінің бөлімін нөмірлеу х = b нүктесінен басталуы керек.
y = f(x) және y = g(x) аралықта интегралданатын функциялары үшін.
Дәлелдеу.
Функцияның интегралдық қосындысын жазамыз 
кесіндінің берілген бөлімі және нүктелердің берілген таңдауы үшін: 
мұндағы және сәйкесінше сегменттің берілген бөлімі үшін y = f(x) және y = g(x) функцияларының интегралдық қосындылары.
Шектеуге өту 
Риман интегралының анықтамасы бойынша дәлелденетін сипатты бекітуге эквивалентті екенін аламыз.
Тұрақты көбейткішті белгілі интегралдың таңбасынан шығаруға болады. Яғни, y = f(x) кесіндісінде интегралданатын функция үшін және ерікті санк 
.
Анықталған интегралдың бұл қасиетінің дәлелі алдыңғыға абсолютті ұқсас: 
y = f(x) функциясы X , және интервалында интегралданатын болсын 
содан соң 
.
Бұл сипат екеуі үшін де, немесе үшін де жарамды.
Дәлелдеуді анықталған интегралдың алдыңғы қасиеттеріне сүйене отырып жүзеге асыруға болады.
Егер функция сегментте интегралданатын болса , онда ол кез келген ішкі сегментте де интегралданады .
Дәлелдеу Darboux сомаларының қасиетіне негізделген: егер сегменттің бар бөлігіне жаңа нүктелер қосылса, онда төменгі Darboux сомасы азаймайды, ал жоғарғысы өспейді.
Егер у = f(x) функциясы интервалда және аргументтің кез келген мәні үшін интегралданатын болса, онда 
.
Бұл қасиет Риман интегралының анықтамасы арқылы дәлелденеді: кесіндінің және нүктенің бөлінетін нүктелерінің кез келген таңдауы үшін кез келген интегралдық қосынды теріс емес (оң емес) болады.
Салдары.
Интервалда интегралданатын y = f(x) және y = g(x) функциялары үшін келесі теңсіздіктер орындалады: 
Бұл мәлімдеме теңсіздіктерді біріктіруге рұқсат етілгенін білдіреді. Бұл қорытындыны келесі қасиеттерді дәлелдеу үшін қолданамыз.
y = f(x) функциясы , содан кейін теңсіздік кесіндісінде интегралданатын болсын 
.
Дәлелдеу.
Ол анық 
. Алдыңғы қасиетте біз теңсіздікті мүшелер бойынша интегралдауға болатынын анықтадық, сондықтан бұл дұрыс 
. Бұл қос теңсіздікті былай жазуға болады .
y = f(x) және y = g(x) функциялары интервалда және аргументтің кез келген мәні үшін интегралданатын болсын, онда 
, Қайда 
Және .
Дәлелдеу дәл осылай жүзеге асырылады. Өйткені m және M ең кіші және ең жоғары мән y = f(x) функциясы , онда кесіндісінде 
. Қос теңсіздікті y = g(x) теріс емес функцияға көбейту бізді келесі қос теңсіздікке әкеледі. Оны сегментке біріктіре отырып, біз дәлелденетін бекітуге келеміз.
Салдары.
Егер g(x) = 1 алсақ, онда теңсіздік пішінді қабылдайды 
.
Орташа мәннің бірінші формуласы.
y = f(x) функциясы , кесіндісінде интегралданатын болсын, және , онда мұндай сан бар 
.
Салдары.
Егер y = f(x) функциясы , кесіндісінде үздіксіз болса, онда мұндай сан бар 
.
Жалпылама түрдегі орташа мәннің бірінші формуласы.
y = f(x) және y = g(x) функциялары интервалда интегралданатын болсын, және , және аргументтің кез келген мәні үшін g(x) > 0. Сонда мұндай сан бар 
.
Орташа мәннің екінші формуласы.
Егер сегментте y = f(x) функциясы интегралданатын болса және y = g(x) монотонды болса, онда теңдік болатындай сан бар. 
.
Дифференциалды есептеуде мәселе шешіледі: берілген ƒ(x) функциясы бойынша оның туындысын табыңыз(немесе дифференциал). Интегралдық есептеу кері есепті шешеді: F (x) функциясын табу, оның F "(x) \u003d ƒ (x) (немесе дифференциал) туындысын білу. Қажетті функция F (x) функцияның антитуындысы деп аталады. ƒ (x).
F(x) функциясы шақырылады қарапайым(a; b) интервалындағы ƒ(x) функциясы, егер кез келген x є (a; b) үшін теңдік
F " (x)=ƒ(x) (немесе dF(x)=ƒ(x)dx).
Мысалы, антитуынды функциясы y \u003d x 2, x є R, функция, өйткені
Антидеривативтер де кез келген функция болатыны анық
мұндағы С тұрақты, өйткені
Теорема 29. 1. Егер F(x) функциясы (a;b) бойынша ƒ(x) функциясының қарсы туындысы болса, онда ƒ(x) үшін барлық қарсы туындылар жиыны F(x)+ формуласымен беріледі. C, мұндағы C тұрақты сан.
▲ F(x)+C функциясы ƒ(x) санына қарсы туынды болып табылады.
Шынында да, (F(x)+C) "=F" (x)=ƒ(x).
F(x) F(x)-тен өзгеше басқа болсын, функцияның қарсы туындысыƒ(х) , яғни Ф "(x)=ƒ(х). Сонда кез келген x є (a; b) үшін бізде
Және бұл дегеніміз (25.1 қорытындыны қараңыз).
мұндағы С – тұрақты сан. Демек, Ф(х)=F(x)+С.▼
ƒ(x) үшін барлық қарабайыр функциялардың F(x)+C жиыны шақырылады ƒ(x) функциясының анықталмаған интегралыжәне ∫ ƒ(x) dx символымен белгіленеді.
Сонымен анықтамасы бойынша 
∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.
Мұнда ƒ(x) шақырылады интеграл, ƒ(x)dx — интеграл, X - интеграциялық айнымалы, ∫ -анықталмаған интегралдық таңба.
Функцияның анықталмаған интегралын табу операциясы осы функцияны интегралдау деп аталады.
Геометриялық анықталмаған интеграл y \u003d F (x) + C «параллель» қисықтарының тобы (С әрбір сандық мәні отбасының белгілі қисығына сәйкес келеді) (166-суретті қараңыз). Әрбір антитуындының графигі (қисық) деп аталады интегралдық қисық.
Әрбір функцияның анықталмаған интегралы бар ма?
«(a;b) бойынша үзіліссіз әрбір функцияның осы интервалда қарсы туындысы бар» және, демек, анықталмаған интеграл болатынын көрсететін теорема бар.
Анықталмаған интегралдың оның анықтамасынан туындайтын бірқатар қасиеттерін атап өтеміз.
1. Анықталмаған интегралдың дифференциалы интегралға тең, ал анықталмаған интегралдың туындысы интегралға тең:
d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) "=ƒ(x).
Шынында да, d (∫ ƒ (x) dx) \u003d d (F (x) + C) \u003d dF (x) + d (C) \u003d F "(x) dx \u003d ƒ (x) dx
(∫ ƒ (x) dx) "=(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ(x).
Осы қасиетінің арқасында интеграцияның дұрыстығы дифференциалдау арқылы тексеріледі. Мысалы, теңдік
∫(3x 2 + 4) dx=x h + 4x+C
ақиқат, өйткені (x 3 + 4x + C) "= 3x 2 +4.
2. Кейбір функцияның дифференциалының анықталмаған интегралы осы функция мен ерікті тұрақтының қосындысына тең:
∫dF(x)=F(x)+C.
Шынымен,
3. Тұрақты коэффициентті интегралдық таңбадан шығаруға болады:
α ≠ 0 – тұрақты шама.
Шынымен,
(C 1 / a \u003d C қойыңыз.)
4. Үзіліссіз функциялардың ақырлы санының алгебралық қосындысының анықталмаған интегралы функция мүшелерінің интегралдарының алгебралық қосындысына тең:
F"(x)=ƒ(x) және G"(x)=g(x) болсын. Содан кейін
мұндағы C 1 ±C 2 \u003d C.
5. (Интегралдау формуласының инварианты).
Егер 
, мұндағы u=φ(x) - үзіліссіз туындысы бар ерікті функция.
▲ x тәуелсіз айнымалы болсын, ƒ(x) - үздіксіз функцияжәне F(x) – оның антитуындысы. Содан кейін
Енді u=φ(x) орнатайық, мұндағы φ(x) үздіксіз дифференциалданатын функция. F(u)=F(φ(x)) күрделі функцияны қарастырайық. Функцияның бірінші дифференциалының түрінің инварианттылығына байланысты (160-бетті қараңыз) бізде
Осы жерден▼
Осылайша, интегралдау айнымалысы тәуелсіз айнымалы немесе оның үздіксіз туындысы бар кез келген функциясына қарамастан анықталмаған интеграл формуласы жарамды болып қалады.
Сонымен, формуладан 
x-ті u-ге ауыстыру арқылы (u=φ(x)) аламыз 
Сондай-ақ,
29.1-мысал.Интегралды табыңыз 
мұндағы C \u003d C1 + C 2 + C 3 + C 4.
29.2-мысал.Интегралдық шешімін табыңыз:
- 29.3. Негізгі анықталмаған интегралдар кестесі
Интегралдау дифференциалдауға кері болатынын пайдалана отырып, дифференциалдық есептеудің сәйкес формулаларын (дифференциалдар кестесі) төңкеру және анықталмаған интегралдың қасиеттерін пайдалану арқылы негізгі интегралдар кестесін алуға болады.
Мысалы, өйткені
d(sin u)=cos u . ду,
Интеграцияның негізгі әдістерін қарастыру кезінде кесте формулаларының бірқатарын шығару беріледі.
Төмендегі кестедегі интегралдар кестелік интегралдар деп аталады. Оларды жатқа білу керек. Интегралдық есептеуде дифференциалдық есептеудегі сияқты элементар функциялардан антитуынды табудың қарапайым және әмбебап ережелері жоқ. Антитуындыларды табу әдістері (яғни функцияны интегралдау) берілген (қажетті) интегралды кестеге әкелетін әдістерді көрсетуге дейін қысқарады. Сондықтан кестелік интегралдарды білу және оларды тани білу қажет.
Негізгі интегралдар кестесінде интегралдау айнымалысы және тәуелсіз айнымалыны да, тәуелсіз айнымалының функциясын да белгілей алатынын ескеріңіз (интегралдау формуласының инварианттық қасиетіне сәйкес).
Төмендегі формулалардың дұрыстығын формуланың сол жағындағы интегралға тең болатын оң жағындағы дифференциалды алу арқылы тексеруге болады.
Мысалы, 2 формуласының дұрыстығын дәлелдейміз. 1/u функциясы барлық u-ның нөлдік емес мәндері үшін анықталған және үздіксіз.
Егер u > 0 болса, онда ln|u|=lnu, онда 
Сондықтан
Егер сіз<0, то ln|u|=ln(-u). Но
білдіреді
Сондықтан 2 формула дұрыс. Сол сияқты 15 формуланы тексерейік:
Негізгі интегралдар кестесі
Достар! Сізді талқылауға шақырамыз. Егер сізде пікір болса, бізге түсініктемелерде жазыңыз.
Антитуынды және анықталмаған интеграл.
(a; b) интервалындағы f(x) антитуынды функциясы берілген аралықтағы кез келген х үшін теңдік орындалатын F(x) функциясы.
С тұрақтысының туындысы нөлге тең болатынын ескерсек, онда теңдік 
. Сонымен, f(x) функциясының F(x)+C антитуындылар жиыны бар, ерікті С тұрақтысы үшін және бұл қарсы туындылар бір-бірінен еркін тұрақты мәнмен ерекшеленеді.
f(x) функциясының барлық антитуындылар жиыны осы функцияның анықталмаған интегралы деп аталады және онымен белгіленеді. 
.
Өрнекті интеграл деп атайды, ал f(x) интегралды деп атайды. Интеграл f(x) функциясының дифференциалы.
Белгісіз функцияны берілген дифференциал арқылы табу әрекеті белгісіз интегралдау деп аталады, өйткені интегралдаудың нәтижесі бір F(x) функциясы емес, оның F(x)+C қарсы туындыларының жиыны болады.
Кестелік интегралдар
Интегралдардың ең қарапайым қасиеттері
1. Интегралдау нәтижесінің туындысы интегралға тең.
2. Функция дифференциалының анықталмаған интегралы функцияның өзінің және ерікті тұрақтының қосындысына тең.
3. Коэффицентті анықталмаған интегралдың таңбасынан шығаруға болады.
4. Функциялар қосындысының/айырмасының анықталмаған интегралы функциялардың анықталмаған интегралдарының қосындысына/айырмасына тең.
Анықталмаған интегралдың бірінші және екінші қасиеттерінің аралық теңдіктері нақтылау үшін берілген.
Үшінші және төртінші қасиеттерді дәлелдеу үшін теңдіктердің оң жақтарының туындыларын табу жеткілікті:
Бұл туындылар интегралдарға тең, бұл бірінші қасиет арқылы дәлелделеді. Ол соңғы ауысуларда да қолданылады.
Сонымен, интеграциялық мәселе дифференциацияның кері мәселесі болып табылады және бұл есептер арасында өте тығыз байланыс бар:
бірінші сипат интеграцияны тексеруге мүмкіндік береді. Орындалған интеграцияның дұрыстығын тексеру үшін алынған нәтиженің туындысын есептеу жеткілікті. Егер дифференциалдау нәтижесінде алынған функция интегралға тең болып шықса, онда бұл интегралдау дұрыс орындалды дегенді білдіреді;
анықталмаған интегралдың екінші қасиеті функцияның белгілі дифференциалынан оның қарсы туындысын табуға мүмкіндік береді. Анықталмаған интегралдарды тура есептеу осы қасиетке негізделген.
1.4 Интегралдау формаларының инварианттылығы.
Инвариантты интегралдау – аргументтері топтың элементтері немесе біртекті кеңістіктің нүктелері болып табылатын функциялар үшін интегралдау түрі (осындай кеңістіктің кез келген нүктесі топтың берілген әрекеті арқылы басқасына ауыстырылуы мүмкін).
f(x) функциясы f.w дифференциалдық түрінің интегралын есептеуге келтіріледі, мұндағы
Төменде r(x) үшін айқын формула берілген. Келісім шартының нысаны бар 
.
мұнда Tg gOG көмегімен X бойынша ауыстыру операторын білдіреді: Tgf(x)=f(g-1x). X=G топология болсын, солға жылжу арқылы өзіне әрекет ететін топ. I. және. G жергілікті түрде жинақы болса ғана бар (атап айтқанда, шексіз өлшемді топтарда int. жоқ). I. ішкі жиыны үшін және. сипаттамалық функция cA (А бойынша 1-ге тең және А сыртында 0) сол жақ Хаар өлшемін m(A) анықтайды. Бұл өлшемнің анықтаушы қасиеті оның солға жылжу кезіндегі инварианттылығы болып табылады: барлық gОG үшін m(g-1A)=m(A). Топтағы сол жақ Haar өлшемі орнатылған скалярлық факторға дейін бірегей түрде анықталады. Егер Хаар өлшемі m белгілі болса, онда I. және. f функциясы формуламен берілген 
. Дұрыс Haar өлшемі ұқсас қасиеттерге ие. Үздіксіз гомоморфизм (топтық қасиетін сақтайтын карта жасау) бар G тобының DG тобына (көбейтуге қатысты) қойды. ол үшін сандар
мұндағы dmr және dmi оң және сол Хаар өлшемдері. DG(g) функциясы шақырылады. G тобының модулі. Егер , онда G тобы шақырылады. бірмодульдік; бұл жағдайда оң және сол Хаар өлшемдері бірдей. Ықшам, жартылай қарапайым және нильпотентті (атап айтқанда, коммутативті) топтар бірмодульді. Егер G n өлшемді Li тобы болса және q1,...,qn сол жақ инвариантты 1-формалар кеңістігінде базис болса, G бойынша сол жақ Хаар өлшемі n-формасымен беріледі. Есептеу үшін жергілікті координаттарда
qi құрайды, сіз G тобының кез келген матрицалық орындалуын пайдалана аласыз: 1-формасы g-1dg матрицасы сол жақ инвариантты және оның коэфті. сол жақ инвариантты скаляр 1-пішіндер, олардың ішінен қажетті базис таңдалады. Мысалы, GL(n, R) толық матрицалық тобы бірмодульді және ондағы Хаар өлшемі пішінмен берілген. Болсын 
X=G/H – біртекті кеңістік, ол үшін жергілікті ықшам G тобы түрлендіру тобы болып табылады және H тұйық топшасы қандай да бір нүктенің тұрақтандырғышы болып табылады. I.I. X-де болуы үшін DG(h)=DH(h) теңдігі барлық hОH үшін орындалуы қажет және жеткілікті. Атап айтқанда, бұл H жинақы немесе жартылай қарапайым болғанда дұрыс. I. және толық теориясы. шексіз өлшемді коллекторларда жоқ.
Айнымалылардың өзгеруі.
Бұл қасиеттер интегралды элементар интегралдардың біріне келтіру және одан әрі есептеу үшін түрлендірулерді жүзеге асыру үшін қолданылады.
1. Анықталмаған интегралдың туындысы интегралға тең:
2. Анықталмаған интегралдың дифференциалы интегралға тең:
3. Кейбір функцияның дифференциалының анықталмаған интегралы осы функция мен ерікті тұрақтының қосындысына тең:
4. Интегралдық таңбадан тұрақты көбейткішті шығаруға болады:
Сонымен қатар, a ≠ 0
5. Қосындының (айырымның) интегралы интегралдардың қосындысына (айырымы) тең:
6. Сипат 4 және 5 қасиеттердің қосындысы болып табылады:
Сонымен қатар, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0
7. Анықталмаған интегралдың инварианттық қасиеті:
Егер болса, онда
8. Мүлік:
Егер болса, онда
Шын мәнінде, бұл қасиет келесі бөлімде толығырақ қарастырылатын айнымалыны өзгерту әдісін қолданатын интеграцияның ерекше жағдайы болып табылады.
Мысал қарастырайық:
Алдымен 5-қасиетті, содан кейін 4-қасиетті қолдандық, содан кейін антитуындылар кестесін қолданып, нәтиже алдық.
Біздің онлайн интегралдық калькулятордың алгоритмі жоғарыда аталған барлық қасиеттерді қолдайды және сіздің интегралыңыздың егжей-тегжейлі шешімін оңай табады.
Жүктелуде...
