Суретте функцияның антитуындысы көрсетілген

Туынды таңбаның функцияның монотондылық сипатымен байланысын көрсету.

Келесіде өте сақ болыңыз. Қараңызшы, сізге НЕ берілген кесте! Функция немесе оның туындысы

Туындының графигі берілген, онда бізді тек функция белгілері мен нөлдер қызықтырады. Ешқандай «шұңқырлар» мен «шұңқырлар» бізді қызықтырмайды!

1-тапсырма.

Суретте интервалда анықталған функцияның графигі көрсетілген. Функцияның туындысы теріс болатын бүтін нүктелердің санын анықтаңыз.

Шешімі:

Суретте функцияның кему аймақтары түспен бөлінген:

4 бүтін мән функцияның төмендейтін аймақтарына жатады.

2-тапсырма.

Суретте интервалда анықталған функцияның графигі көрсетілген. Функция графигінің жанамасы түзумен параллель немесе сәйкес келетін нүктелердің санын табыңыз.

Шешімі:

Функция графигінің жанамасы бар түзумен (немесе, ол бірдей, ) параллель (немесе сәйкес) болғандықтан еңіс, нөлге тең, онда тангенс көлбеу болады .

Бұл өз кезегінде жанама оське параллель екенін білдіреді, өйткені еңіс жанаманың оське көлбеу бұрышының тангенсі болып табылады.

Сондықтан графиктен экстремум нүктелерін табамыз (максимум және ең кіші нүктелер), - дәл оларда графикке жанама функциялар оське параллель болады.

Мұндай 4 нүкте бар.

3-тапсырма.

Суретте интервалда анықталған функцияның туындысының графигі көрсетілген . Функция графигінің жанамасы түзумен параллель немесе сәйкес келетін нүктелердің санын табыңыз.

Шешімі:

Функция графигінің жанамасы еңісі бар түзумен параллель (немесе сәйкес келетін) болғандықтан, жанаманың еңісі болады.

Бұл өз кезегінде байланыс нүктелерінде дегенді білдіреді.

Сондықтан графтағы қанша нүктенің ординатасы -ге тең болатынын қарастырамыз.

Көріп отырғаныңыздай, мұндай төрт нүкте бар.

4-тапсырма.

Суретте интервалда анықталған функцияның графигі көрсетілген. Функцияның туындысы 0 болатын нүктелер санын табыңыз.

Шешімі:

Туынды экстремум нүктелерінде нөлге тең. Бізде олардың 4-еуі бар:

5-тапсырма.

Суретте функция графигі және х осіндегі он бір нүкте көрсетілген:. Осы нүктелердің қаншасында функцияның туындысы теріс болады?

Шешімі:

Функцияның кему аралықтарында оның туындысы алынады теріс мәндер. Ал функция нүктелерде төмендейді. Мұндай 4 нүкте бар.

6-тапсырма.

Суретте интервалда анықталған функцияның графигі көрсетілген. Функцияның экстремум нүктелерінің қосындысын табыңыз .

Шешімі:

экстремум нүктелерімаксималды ұпайлар (-3, -1, 1) және ең төменгі ұпайлар (-2, 0, 3) болып табылады.

Шектеу нүктелерінің қосындысы: -3-1+1-2+0+3=-2.

7-тапсырма.

Суретте интервалда анықталған функцияның туындысының графигі көрсетілген . Функцияның өсу аралықтарын табыңыз. Жауабыңызда осы интервалдардағы бүтін нүктелердің қосындысын көрсетіңіз.

Шешімі:

Сурет функцияның туындысы теріс емес болатын аралықтарды ерекшелейді.

Кіші ұлғаю интервалында бүтін нүктелер жоқ, ұлғаю интервалында төрт бүтін мән бар: , , және .

Олардың сомасы:

8-тапсырма.

Суретте интервалда анықталған функцияның туындысының графигі көрсетілген . Функцияның өсу аралықтарын табыңыз. Жауабыңызда олардың ең үлкенінің ұзындығын жазыңыз.

Шешімі:

Суретте туынды оң болатын барлық интервалдар ерекшеленген, яғни функцияның өзі осы интервалдарда артады.

Олардың ең үлкенінің ұзындығы 6.

9-тапсырма.

Суретте интервалда анықталған функцияның туындысының графигі көрсетілген . Сегменттің қай нүктесінде ол ең үлкен мәнді қабылдайды.

Шешімі:

Біз графиктің сегментте қалай әрекет ететінін қарастырамыз, атап айтқанда, бізді қызықтырады тек туынды белгісі .

Туындының таңбасы минус, өйткені бұл сегменттегі график осьтен төмен.

Жауап:

Тапсырма №: 323383. Прототип нөмірі:
Суретте кейбір функцияның графигі \(y=f(x)\) көрсетілген. \(F(x)=-\frac(4)(9)x^3-\frac(34)(3)x^2-\frac(280)(3)x-\frac(18)(5) функциясы )\) - \(f(x)\) функциясының антитуындыларының бірі. Көлеңкеленген фигураның ауданын табыңыз.

Жауап:

Тапсырма №: 323385. Прототип нөмірі:
Суретте кейбір функцияның графигі \(y=f(x)\) көрсетілген. \(F(x)=-\frac(1)(6)x^3-\frac(17)(4)x^2-35x-\frac(5)(11)\) функциясы мыналардың бірі болып табылады. \(f(x)\) функциясының антитуындылары. Көлеңкеленген фигураның ауданын табыңыз.

Жауап:

Тапсырма №: 323387. Прототип нөмірі:
Суретте кейбір функцияның графигі \(y=f(x)\) көрсетілген. \(F(x)=-\frac(1)(5)x^3-\frac(9)(2)x^2-30x-\frac(11)(8)\) функциясы мыналардың бірі болып табылады. \(f(x)\) функциясының антитуындылары. Көлеңкеленген фигураның ауданын табыңыз.

Жауап:

Тапсырма №: 323389. Прототип нөмірі:
Суретте кейбір функцияның графигі \(y=f(x)\) көрсетілген. \(F(x)=-\frac(11)(30)x^3-\frac(33)(4)x^2-\frac(297)(5)x-\frac(1)(2) функциясы )\) - \(f(x)\) функциясының антитуындыларының бірі. Көлеңкеленген фигураның ауданын табыңыз.

Жауап:

Тапсырма №: 323391. Прототип нөмірі:
Суретте кейбір функцияның графигі \(y=f(x)\) көрсетілген. \(F(x)=-\frac(7)(27)x^3-\frac(35)(6)x^2-42x-\frac(7)(4)\) функциясы мыналардың бірі болып табылады. \(f(x)\) функциясының антитуындылары. Көлеңкеленген фигураның ауданын табыңыз.

Жауап:

Тапсырма №: 323393. Прототип нөмірі:
Суретте кейбір функцияның графигі \(y=f(x)\) көрсетілген. \(F(x)=-\frac(1)(4)x^3-\frac(21)(4)x^2-\frac(135)(4)x-\frac(13)(2) функциясы )\) - \(f(x)\) функциясының антитуындыларының бірі. Көлеңкеленген фигураның ауданын табыңыз.

Жауап:

Тапсырма №: 323395. Прототип нөмірі:
Суретте кейбір функцияның графигі \(y=f(x)\) көрсетілген. \(F(x)=-x^3-21x^2-144x-\frac(11)(4)\) функциясы \(f(x)\) функциясының антитуындыларының бірі болып табылады. Көлеңкеленген фигураның ауданын табыңыз.

Жауап:

Тапсырма №: 323397. Прототип нөмірі:
Суретте кейбір функцияның графигі \(y=f(x)\) көрсетілген. \(F(x)=-\frac(5)(8)x^3-\frac(105)(8)x^2-90x-\frac(1)(2)\) функциясы мыналардың бірі болып табылады. \(f(x)\) функциясының антитуындылары. Көлеңкеленген фигураның ауданын табыңыз.

Жауап:

Тапсырма №: 323399. Прототип нөмірі:
Суретте кейбір функцияның графигі \(y=f(x)\) көрсетілген. \(F(x)=-\frac(1)(10)x^3-\frac(21)(10)x^2-\frac(72)(5)x-\frac(4)(3) функциясы )\) - \(f(x)\) функциясының антитуындыларының бірі. Көлеңкеленген фигураның ауданын табыңыз.

Жауап:

Бетке өту: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 29 30 31 32 33 34 34 34 36 49 51 51 52 53 54 55 57 58 58 59 60 61 62 63 64 65 66 68 68 69 70 71 72 72 74 75 75 76 77 79 80 81 82 83 85 86 86 87 88 88 89 90 91 92 94 95 96 96 96 96 96 96 96 96 96 96 96 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 108 108 109 110 111 112 112 113 114 115 116 118 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 134 135 137 138 138 139 140 141 142 144 145 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 158 159 160 161 162 163 164 165 167 167 168 169 170 171 171 172 174 175 176 178 179 180 181 184 185 185 187 187 188 189 191 192 193 193 195 195 195 195 196 197 199 200 201 202 203 204 205 205 206 208 209 210 210 211 212 212 214 215 216 217 218 219 220 220 220 222 222 223 224 225 226 227 230 231 232 233 234 235 236 237 238 240 241 242 243 244 245 246 246 246 246 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 274 276 277 278 278 279 281 282 283 285 286 287 2 297 298 299 300 301 302 302 304 305 306 307 308 308 310 311 311 312 313 314 315 316 317 318 319 319 321 322 323 324 326 327 328 328 330 331 333 334 335 336 337 339 339 339 339 339 339 339 339 339 339 339 339 339 339 339 339 339 339 339 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 369 370 372 373 373 374 375 377 378 380 381 382 382 382 385 386 386 386 386 386 386 386 386 386 386 386 386 386 386 386 386 386 386 386 386 386 386 386 386 386 386 386 386 386 386 386 386 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412

Сәлем достар! Бұл мақалада біз қарабайырға арналған тапсырмаларды қарастырамыз. Бұл тапсырмалар математикадан емтиханға енгізілген. Бөлімдердің өзі - дифференциалдау және интеграция алгебра курсында айтарлықтай сыйымды және түсінуге жауапкершілікпен қарауды талап ететініне қарамастан, математикадан ашық тапсырмалар банкіне енгізілген және емтиханда болатын тапсырмалардың өздері өте қарапайым және бір немесе екі қадаммен шешіледі.

Антитуындының мәнін және, атап айтқанда, интегралдың геометриялық мағынасын түсіну маңызды. Теориялық негіздерін қысқаша қарастырыңыз.

Интегралдың геометриялық мағынасы

Интеграл туралы қысқаша айтқанда, мынаны айтуға болады: интеграл - аудан.

Анықтама: интервалда берілген f оң функциясының графигі координаталық жазықтықта берілсін. қосалқы сызба (немесе қисық сызықты трапеция) - f функциясының графигімен, x \u003d a және x \u003d b түзулерімен және x осімен шектелген фигура.

Анықтама: Шекті интервалда анықталған оң f функциясы берілсін. f функциясының кесіндідегі интегралы оның субграфының ауданы болып табылады.

Жоғарыда айтылғандай, F (x) = f (x).Біз қандай қорытынды жасай аламыз?

Ол қарапайым. Бұл графикте F′(x) = 0 болатын қанша нүкте бар екенін анықтауымыз керек. Функция графигінің жанамасы х осіне параллель болатын нүктелерде біз білеміз. Осы нүктелерді [–2;4] интервалында көрсетейік:

Бұл берілген F(x) функциясының экстремум нүктелері. Олардың он саны бар.

Жауабы: 10

323078. Суретте y = f (x) қандай да бір функцияның графигі (ортақ бастапқы нүктесі бар екі сәуле) көрсетілген. Суретті пайдалана отырып, F(8) – F(2) есептеңіз, мұндағы F(x) f(x) туындысының қарсы туындыларының бірі.

Ньютон-Лейбниц теоремасын қайта жазайық:f берілген функция, F оның еркін туындысы болсын. Содан кейін

Бұл, бұрын айтылғандай, функцияның ішкі графасының ауданы.

Осылайша, тапсырма трапецияның ауданын табуға қысқарады (2-ден 8-ге дейінгі аралық):

Оны ұяшықтар арқылы есептеу қиын емес. Біз 7 аламыз. Таңба оң, өйткені фигура х осінен жоғары (немесе у осінің оң жарты жазықтығында) орналасқан.

Бұл жағдайда да мынаны айтуға болады: нүктелердегі антитуынды мәндердегі айырмашылық фигураның ауданы болып табылады.

Жауабы: 7

323079. Суретте кейбір у = f (х) функциясының графигі көрсетілген. F (x) \u003d x 3 +30x 2 +302x–1,875 функциясы y \u003d f (x) функциясының антитуындыларының бірі болып табылады. Көлеңкеленген фигураның ауданын табыңыз.

Жоғарыда айтылғандай геометриялық мағынаинтеграл, бұл f (x) функциясының графигімен, x \u003d a және x \u003d b түзу сызықтарымен және ось осімен шектелген фигураның ауданы.

Теорема (Ньютон-Лейбниц):

Осылайша, мәселе есептеуге дейін азаяды анықталған интегралБұл функцияның -11-ден -9-ға дейінгі аралықта немесе басқаша айтқанда, көрсетілген нүктелерде есептелген антитуынды мәндерінің арасындағы айырмашылықты табу керек:

Жауабы: 6

323080. Суретте кейбір у = f (х) функциясының графигі көрсетілген.

F (x) = –x 3 –27x 2 –240x– 8 функциясы f (x) функциясының қарсы туындыларының бірі болып табылады. Көлеңкеленген фигураның ауданын табыңыз.

Теорема (Ньютон-Лейбниц):

Тапсырма –10-нан –8-ге дейінгі аралықта осы функцияның анықталған интегралын есептеуге келтірілген:

Жауабы: 4

Бұл мәселенің тағы бір шешімі, сайттан.

Туынды және дифференциалдау ережелері әлі де бар. Мұндай міндеттерді шешу үшін ғана емес, оларды білу қажет.

Сондай-ақ сайттағы анықтама ақпаратын және.

Шағын бейнені қараңыз, бұл «Соқыр жағы» фильмінен үзінді. Бұл оқу туралы, мейірімділік туралы, өміріміздегі «кездейсоқ» кездесулердің маңыздылығы туралы фильм деп айта аламыз ... Бірақ бұл сөздер жеткіліксіз болады, мен фильмнің өзін көруге кеңес беремін, мен оны өте ұсынамын.

Іске сәт!

Құрметпен, Александр Крутицких

P.S: Сайт туралы әлеуметтік желіде айтсаңыз, риза болар едім.

Жұмыс түрі: 7
Тақырыбы: Функцияның антитуындысы

Шарт

Суретте y=f(x) функциясының графигі берілген (ол үш түзу кесіндіден тұратын сынық сызық). Суретті пайдаланып, F(9)-F(5) есептеңдер, мұндағы F(x) f(x) туындыларының бірі болып табылады.

Шешім

Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша F(9)-F(5) айырмасы, мұндағы F(x) f(x) функциясының антитуындыларының бірі болып табылады, шектелген қисық сызықты трапеция ауданына тең. y=f(x) функциясының графигі бойынша, y=0 , x=9 және x=5 түзулері. Графикке сәйкес, көрсетілген қисық сызықты трапеция табандары 4 пен 3-ке тең, биіктігі 3-ке тең трапеция екенін анықтаймыз.

Оның ауданы тең \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Жауап

Жұмыс түрі: 7
Тақырыбы: Функцияның антитуындысы

Шарт

Суретте (-5; 5) интервалында анықталған кейбір f(x) функциясының антитуындыларының бірі y=F(x) функциясының графигі көрсетілген. Суретті пайдаланып, [-3 аралықтағы f(x)=0 теңдеуінің шешімдерінің санын анықтаңыз; 4].

Шешім

Антитуындының анықтамасы бойынша теңдік орындалады: F "(x) \u003d f (x). Сондықтан f (x) \u003d 0 теңдеуін F "(x) \u003d 0 түрінде жазуға болады. Суретте y=F(x) функциясының графигі көрсетілгендіктен, сол интервал нүктелерін табуымыз керек [-3; 4], онда F(x) функциясының туындысы нөлге тең. Суреттен бұл F(x) графигінің шеткі нүктелерінің (максимум немесе минимум) абсциссалары болатынын көруге болады. Көрсетілген интервалда олардың дәл 7-і бар (төрт минимум және үш максималды ұпай).

Жауап

Дереккөз: «Математика. Емтиханға дайындық-2017. Профиль деңгейі«. Ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.

Жұмыс түрі: 7
Тақырыбы: Функцияның антитуындысы

Шарт

Суретте y=f(x) функциясының графигі берілген (ол үш түзу кесіндіден тұратын сынық сызық). Суретті пайдаланып, F(5)-F(0) есептеңіз, мұндағы F(x) f(x) туындысының антитуындыларының бірі.

Шешім

Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша F(5)-F(0) айырмасы, мұндағы F(x) f(x) функциясының антитуындыларының бірі болып табылады, шектелген қисық сызықты трапеция ауданына тең. y=f(x) функциясының графигі бойынша, y=0 , x=5 және x=0 түзулері. Графикке сәйкес, көрсетілген қисық сызықты трапеция табандары 5 пен 3-ке тең, биіктігі 3-ке тең трапеция екенін анықтаймыз.

Оның ауданы тең \frac(5+3)(2)\cdot 3=12.

Жауап

Дереккөз: «Математика. Емтиханға дайындық-2017. профиль деңгейі. Ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.

Жұмыс түрі: 7
Тақырыбы: Функцияның антитуындысы

Шарт

Суретте (-5; 4) интервалында анықталған f(x) кейбір функциясының антитуындыларының бірі y=F(x) функциясының графигі көрсетілген. Суретті пайдаланып, (-3; 3] кесіндісі бойынша f (x) = 0 теңдеуінің шешімдерінің санын анықтаңыз.

Шешім

Антитуындының анықтамасы бойынша теңдік орындалады: F "(x) \u003d f (x). Сондықтан f (x) \u003d 0 теңдеуін F "(x) \u003d 0 түрінде жазуға болады. Суретте y=F(x) функциясының графигі көрсетілгендіктен, сол интервал нүктелерін табуымыз керек [-3; 3], онда F(x) функциясының туындысы нөлге тең.

Суреттен бұл F(x) графигінің шеткі нүктелерінің (максимум немесе минимум) абсциссалары болатынын көруге болады. Көрсетілген аралықта олардың дәл 5-і бар (екі минималды ұпай және үш максималды ұпай).

Жауап

Дереккөз: «Математика. Емтиханға дайындық-2017. профиль деңгейі. Ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.

Жұмыс түрі: 7
Тақырыбы: Функцияның антитуындысы

Шарт

Суретте кейбір y=f(x) функциясының графигі көрсетілген. F(x)=-x^3+4,5x^2-7 функциясы f(x) функциясының антитуындыларының бірі болып табылады.

Көлеңкеленген фигураның ауданын табыңыз.

Шешім

Көлеңкеленген фигура y=f(x) функциясының графигімен, y=0, x=1 және x=3 түзулерімен жоғарыдан шектелген қисық сызықты трапеция. Ньютон-Лейбниц формуласы бойынша оның S ауданы F(3)-F(1) айырмасына тең, мұндағы F(x) шартта көрсетілген f(x) функциясының қарсы туындысы. Сондықтан S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

Жауап

Дереккөз: «Математика. Емтиханға дайындық-2017. профиль деңгейі. Ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова.

Жұмыс түрі: 7
Тақырыбы: Функцияның антитуындысы

Шарт

Суретте кейбір y=f(x) функциясының графигі көрсетілген. F(x)=x^3+6x^2+13x-5 функциясы f(x) функциясының антитуындыларының бірі болып табылады. Көлеңкеленген фигураның ауданын табыңыз.