1 және 2 туындылардың механикалық мағынасы. Екінші ретті туынды және оның механикалық мағынасы. Туындының геометриялық, механикалық, экономикалық мәні

Функцияның экстремумы жергілікті экстремум деп аталады, өйткені экстремум түсінігі тек х 1 нүктесінің жеткілікті шағын маңайымен байланысты. Сонымен, бір аралықта функцияның бірнеше экстремумдары болуы мүмкін және бір нүктедегі минимум екінші нүктедегі максимумнан үлкен болуы мүмкін. Интервалдың бөлек нүктесінде максимум немесе минимумның болуы осы нүктеде функцияның орындалатынын білдірмейді f(x) осы аралықта ең үлкен немесе ең кіші мәнді қабылдайды.

Қажетті экстремум шарты: дифференциалданатын функцияның экстремум нүктесінде оның туындысы нөлге тең.

Жеткілікті экстремум шарты: Егер дифференциалданатын функцияның қандай да бір х 0 нүктесіндегі туындысы нөлге тең болса және осы мән арқылы өткенде таңбасын өзгертсе, онда f (x 0) саны функцияның экстремумы, ал таңбасы өзгерсе плюстен минусқа дейін, содан кейін максимум, минустан плюске дейін болса, минимум.

Үздіксіз функцияның туындысы нөлге тең немесе жоқ нүктелер критикалық деп аталады.

Функцияны экстремумға дейін зерттеу оның барлық экстремумдарын табу дегенді білдіреді. Функцияны экстремумға тексеру ережесі:

1). Функцияның маңызды нүктелерін табыңыз y = f(x)және олардың ішінен функция анықталу облысының ішкі нүктелері болып табылатындарды ғана таңдау;

2). Туындының таңбасын қарастырыңыз f"(x)таңдалған сыни нүктелердің әрқайсысының сол және оң жағына;

3). Жеткілікті экстремум шартына сүйене отырып, экстремум нүктелерін (бар болса) жазып, олардағы функция мәндерін есептеңіз.

табу үшін ең үлкен және ең кіші мәнсегменттегі функциялар үшін бірнеше қадамдарды орындау қажет:

1). f'(x)=0 теңдеуін шешу арқылы функцияның критикалық токтарын табыңыз.

2). Егер сыни нүктелер сегментке түссе, онда критикалық нүктелердегі және аралық шекараларындағы мәндерді табу керек. Егер сыни нүктелер кесіндіге түспесе (немесе олар жоқ болса), онда функцияның мәндері тек сегменттің шекарасында ғана табылады.

3). Функцияның алынған мәндерінің ішінен ең үлкені және ең кішісі таңдалып, жауап жазылады, мысалы: ; .

Мәселені шешу

2.1-мысал. Функцияның дифференциалын табыңыз: .

Шешім.Функция дифференциалының 2 қасиетіне және дифференциалдың анықтамасына сүйене отырып, бізде:

2.2-мысал. Функцияның дифференциалын табыңыз:

Шешім. Функцияны былай жазуға болады: , . Сонда бізде:

2.3-мысал. Функцияның екінші туындысын табыңыз:

Шешім. Функцияны түрлендірейік.

Бірінші туындыны табайық:

екінші туындыны табыңыз:

.

2.4-мысал. Функцияның екінші ретті дифференциалын табыңыз .

Шешім.Есептеуге арналған өрнек негізінде екінші ретті дифференциалды табайық:

Алдымен бірінші туындыны табайық:

; екінші туындыны табыңыз: .

2.5-мысал. Абцисса нүктесінде жүргізілген қисыққа жанаманың еңісін табыңыз x=2 .

Шешім. Туындының геометриялық мағынасына сүйене отырып, көлбеу нүктедегі функцияның туындысына тең, абсциссасы тең X . Табайық .

Есептеңіз – функция графигіне жанаманың еңісі.

Мысал 2.6. Белгілі бір уақытта бактериялардың популяциясы т (тсағатпен өлшенеді) жеке тұлғалар. Бактериялардың өсу жылдамдығын табыңыз. Бір уақытта бактериялардың өсу жылдамдығын табыңыз t=5сағат.

Шешім.Бактерия популяциясының өсу қарқыны уақыт бойынша бірінші туынды болып табылады т: .

Егер t=5сағат, содан кейін. Демек, бактериялардың өсу жылдамдығы сағатына 1000 дара болады.

2.7-мысал. Дененің енгізілген препаратқа реакциясы қан қысымының жоғарылауында, дене температурасының төмендеуінде, импульстің өзгеруінде немесе басқа физиологиялық көрсеткіштерде көрінуі мүмкін. Реакция дәрежесі препараттың тағайындалған дозасына байланысты. Егер Xтағайындалған препараттың дозасын және реакция дәрежесін көрсетеді сағфункциясы арқылы сипатталады . Қандай бағамен Xмаксималды жауап?

Шешім. Туындыны табайық .

Сыни нүктелерді табайық: ⇒ . ⇒ Сондықтан бізде екі маңызды нүкте бар: . Мән мәселенің шартын қанағаттандырмайды.

Екінші туындыны табайық . -дегі екінші туындының мәнін есептейік. . Демек, максималды жауап беретін доза деңгейі.

Өздігінен шешуге мысалдар

Функцияның дифференциалын табыңыз:

1. .

2. .

3. .

4.

Мына функциялардың екінші туындыларын табыңыз:

6. .

Екінші ретті туындыларды табыңыз және келесі функциялар үшін екінші ретті дифференциалдарды жазыңыз:

9. .

11. Функцияны экстремумға дейін зерттеңіз.

12. Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табыңыз сегментте.

13. Функцияның өсу және кему аралықтарын, ең үлкен және ең кіші нүктелерін және осьтермен қиылысу нүктелерін табыңыз:

14. Нүктенің қозғалыс заңының нысаны бар . Осы нүктенің жылдамдық пен үдеу заңын анықтаңыз.

15. Нүктенің қозғалыс теңдеуі (m) түрінде болады. 1) нүктенің s және s уақыттарындағы орнын табыңыз; 2) осы уақыт аралығындағы уақыттың орташа жылдамдығы; 3) белгіленген уақыттағы лездік жылдамдықтар; 4) көрсетілген уақыт кезеңіндегі орташа үдеу; 5) белгіленген уақыттағы лездік үдеулер.

Үйге тапсырма.

Тәжірибе:

Функцияның дифференциалын табыңыз:

1. ;

2. ;

Функцияның екінші ретті туындыларын табыңыз:

4.

5.

Екінші ретті дифференциалдарды табыңыз

6. .

7. Нүкте заң бойынша түзу бойымен қозғалады. Жылдамдық пен үдеу уақытын есептеңіз және.

Функциялардың өсу және кему аралықтарын табыңыз:

9. .

10. Глюкозаны енгізу кезінде оның адам қанындағы мөлшері сәйкес өлшем бірліктермен көрсетілгеннен кейін тсағат болады . а) қандағы глюкозаның өзгеру жылдамдығын табыңыз. t=1 h; б) t=2 h.

Теория.

1. «Бірнеше аргументтердің функциясының туындылары мен дифференциалдары» тақырыбына дәріс. Бірнеше аргументтердің функциясының дифференциалын қолдану.

2. Осы нұсқаулықтың 3-сабағы.

3. Павлушков И.В. және басқалар 101-113, 118-121 беттер.

Сабақ 3. Бірнеше аргументтердің функциясының туындылары мен дифференциалдары

Тақырыптың өзектілігі: математиканың бұл бөлімі бірқатар қолданбалы есептерді шешуде кеңінен қолданылады, өйткені физикалық, биологиялық, химиялық құбылыстардың көптеген құбылыстары бір емес, бірнеше айнымалыларға (факторларға) тәуелділікпен сипатталады.

Сабақтың мақсаты: бірнеше айнымалы функциялардың дербес туындылары мен дифференциалдарын табуды үйрену.

Мақсатты міндеттер:

білуі: екі айнымалы функция туралы түсінік; екі айнымалы функцияның жеке туындылары туралы түсінік; бірнеше айнымалы функцияның толық және жеке дифференциалдары туралы түсінік;

істей алуы керек: бірнеше айнымалы функциялардың туындылары мен дифференциалдарын табу.

Теориялық курстан қысқаша мәлімет

Негізгі ұғымдар

z айнымалысы екі аргумент x және y функциясы деп аталады, егер кейбір мәндер жұптарына қандай да бір ережеге немесе заңға сәйкес белгілі бір z мәні тағайындалған болса. Екі аргументтің функциясы арқылы белгіленеді.

Функция кеңістіктегі тікбұрышты координаталар жүйесіндегі бет ретінде көрсетіледі. Екі айнымалы функцияның графигі үш өлшемді х кеңістігіндегі нүктелер жиынын айтады

Жұмыс деп аталады жеке дифференциал z=f(x,y) функциялары Xжәне белгіленеді.

Функцияның толық дифференциалы

Функцияның дифференциалы - бұл функцияның жартылай туындыларының көбейтінділерінің қосындысы және сәйкес тәуелсіз айнымалылардың өсімі, яғни. . Өйткені Және онда сіз жаза аласыз: немесе .

Функция күрделі болады, егер оны y = f[φ(x)] функциясының функциясы ретінде көрсетуге болатын болса, мұндағы y = f(u), au=φ(x), мұндағы u аралық аргумент. Кез келген күрделі функция оның аралық аргументтері болып табылатын элементар функциялар (қарапайым) ретінде ұсынылуы мүмкін.

Мысалдар:

Қарапайым функциялар: Күрделі функциялар:

y \u003d x 2 y \u003d (x + 1) 2; u \u003d (x + 1); y \u003d u 2;

y = sinx; у \u003d sin2x;u \u003d 2x; y=sinu;

у \u003d e x y \u003d e 2x;u \u003d 2x; y \u003d e u;

y \u003d lnx y \u003d ln (x + 2); u \u003d x + 2; y=lnu.

Күрделі функцияны дифференциалдаудың жалпы ережесі жоғарыдағы теорема арқылы дәлелсіз берілген.

Егер u \u003d φ (x) функциясының x нүктесінде u "x \u003d φ" (x) туындысы болса, ал y \u003d f (u) функциясының y "u \u003d f" туындысы болса. " (u) сәйкес u нүктесінде, онда x нүктесіндегі y \u003d f [φ (x)] күрделі функциясының туындысы мына формула бойынша табылады: y "x \u003d f " (u) u "(x).

Бұл теореманың дәлірек емес, бірақ қысқарақ тұжырымы жиі қолданылады. : күрделі функцияның туындысы аралық айнымалыға қатысты туындының туындысына және тәуелсіз айнымалыға қатысты аралық айнымалының туындысына тең.

Мысалы: y=sin2x 2 ; u \u003d 2x 2; y=sinu;

y "x \u003d (sinu)" u (2x 2) "x \u003d cosu 4x \u003d 4x cos2x 2.

3. Екінші ретті туынды. Екінші туындының механикалық мағынасы.

y \u003d f (x) функциясының туындысы бірінші ретті туынды немесе функцияның жай бірінші туындысы деп аталады. Бұл туынды х функциясы болып табылады және екінші рет дифференциалдануы мүмкін. Туындының туындысы екінші ретті туынды немесе екінші туынды деп аталады. Ол былай белгіленеді: y "xx - (y екі штрих қосу x); f "(x) – ( eff екі штрих x бойынша); d 2 y / dx 2 - (de екі у де х екі рет); d 2 f / dx 2 - (de екі ef on de x екі рет).

Екінші туынды анықтамасына сүйене отырып, мынаны жаза аламыз:

y "xx \u003d (y" x) "x; f" (x) \u003d "x d 2 y / dx 2 \u003d d / dx (dy / dx).

Екінші туынды, өз кезегінде, х функциясы болып табылады және үшінші ретті туынды алу үшін дифференциалдануы мүмкін және т.б.

Мысалы: y \u003d 2x 3 + x 2; y "xx \u003d [(2x 3 + x 2)" x] "x \u003d (6x 2 + 2x)" x \u003d 12x + 2;

Екінші туындының механикалық мағынасы ауыспалы қозғалысты сипаттайтын лездік үдеу негізінде түсіндіріледі.

Егер S=f(t) қозғалыс теңдеуі болса, онда=S" t ; Ақараңыз. =;

Аинст. =
А cf =
=" t ; Аинст. = " t = (S" t)" t = S" tt .

Осылайша, жолдың уақытқа қатысты екінші туындысы айнымалы қозғалыстың лездік үдеуіне тең. Бұл 2-ші туындының физикалық (механикалық) мағынасы.

Мысалы:Материалдық нүктенің түзу сызықты қозғалысы S=t 3 /3 заңы бойынша жүрсін. Материалдық нүктенің үдеуі S "tt екінші туындысы ретінде анықталады: А\u003d S "tt \u003d (t 3/3)" \u003d 2t.

4. Функция дифференциалы.

Туынды ұғымымен тығыз байланысты функцияның дифференциалы ұғымы маңызды практикалық қолданулары бар.

f функциясы X) туындысы бар
= f " (X);

α(∆х)() шексіз аз шаманың қосылуы туралы теорема бойынша (теореманы қарастырмаймыз)
α(∆х)=0) туындысы бар: = f " (х)+ α (∆х), одан ∆f = f " (х) ∆х+α(∆х) ∆х.

Соңғы теңдіктен функцияның өсімшесінің әрбір мүшесі ∆х→ 0 сияқты шексіз аз мән болатын қосындыдан тұратыны шығады.

Осы қосындының әрбір шексіз кіші мәнінің шексіз кіші ∆x-ке қатысты кішілік ретін анықтайық:

Демек, шексіз аз f (х) ∆х және ∆x шамасы бірдей реттілікке ие.

Демек, α(∆х)∆х шексіз аз мәні ∆х шексіз аз шамасына қатысты кішілік реті жоғары болады. Бұл ∆f өрнектерінде α(∆х)∆х екінші мүшесі f бірінші мүшесіне қарағанда ∆х→0 сияқты 0-ге тезірек ұмтылатынын білдіреді. " (x)∆x.

Бұл бірінші термин f " (x)∆x функциясының х нүктесіндегі дифференциалы деп аталады. Белгіленген dy (de y) немесе df (de ef). Сонымен dy=df= f " (x)∆x немесе dy= f " (x)dx, өйткені аргументтің dx дифференциалы оның ∆x өсіміне тең (егер df= f формуласында болса " (x)dx f(x)=x деп қабылдаймыз, онда біз аламызdf=dx=x"x ∆x, butx"x =1, яғни dx=∆x). Сонымен, функцияның дифференциалы осы функция мен аргументтің дифференциалының көбейтіндісіне тең.

Дифференциалдың аналитикалық мағынасы функцияның дифференциалының ∆x аргументіне қатысты сызықты ∆f функциясының өсімшесінің негізгі бөлігі болып табылатындығында. Функция дифференциалы функция өсімінен α(∆х)∆х шексіз аз мәнмен ерекшеленеді. ∆х қарағанда кішіліктің жоғары реті. Шынында да ∆f=f " (х)∆х+α(∆х)∆х немесе ∆f=df+α(∆х)∆х; мұндағы df= ∆f- α(∆х)∆х.

Мысалы: y \u003d 2x 3 + x 2; dy \u003d? dy \u003d y "dx \u003d (2x 3 + x 2)" x dx \u003d (6x 2 + 2x) dx.

Жоғары ретті α(∆x)∆x шексіз кіші мәнін елемеу қарағанда кішігірім ∆X, Біз алып жатырмыз df≈∆f≈ f " (x)dx, яғни. функцияның дифференциалын функцияның өсімін жуықтау үшін пайдалануға болады, өйткені дифференциалды есептеу әдетте оңайырақ. Дифференциалды функцияның мәнін жуықтап есептеуге де қолдануға болады. y= f(x) функциясын және оның х нүктесіндегі туындысын білейік. Қандай да бір жақын нүктеде (x+∆x) f(x+∆x) функциясының мәнін табу керек. Ол үшін ∆у ≈dy немесе ∆у ≈f жуық теңдігін қолданамыз. " (x) ∆x. ∆y=f(x+∆x)-f(x) екенін ескерсек, f(x+∆x)-f (x) ≈f аламыз. " (x) dx , мұндағы f(х+∆х) = f(х)+f " (x) dx. Алынған формула мәселені шешеді.

Туынды(нүктедегі функциялар) – функцияның (берілген нүктедегі) өзгеру жылдамдығын сипаттайтын дифференциалдық есептеудің негізгі түсінігі. Ол функция өсімінің оның аргументінің өсіміне қатынасының шегі ретінде анықталады, өйткені мұндай шектеу бар болса, аргумент өсімі нөлге ұмтылады. Ақырлы туындысы бар (кейбір нүктеде) функция дифференциалданатын (берілген нүктеде) деп аталады.

Туынды. Кейбір функцияларды қарастырыңыз ж = f (x ) екі нүктеде x 0 және x 0 + : f (x 0) және f (x 0 +). Мұнда, аргументтің кейбір шағын өзгерісімен белгіленген, деп аталады аргумент өсімі; сәйкес функцияның екі мәні арасындағы айырмашылық: f (x 0 + )  f (x 0 ) аталады функция өсімі.туындыфункциялары ж = f (x ) нүктесінде x 0 шек деп аталады:

Егер бұл шектеу болса, онда функция f (x ) аталады дифференциалданатыннүктесінде x 0 . Функция туындысы f (x ) келесідей белгіленеді:

Туындының геометриялық мағынасы. Функцияның графигін қарастырайық ж = f (x ):

1-суреттен функция графигінің кез келген екі А және В нүктесі үшін:

мұндағы АВ секантының көлбеу бұрышы.

Осылайша, айырмашылық қатынасы секанттың еңісіне тең. Егер А нүктесін бекітіп, В нүктесін оған қарай жылжытсақ, онда ол шексіз төмендейді және 0-ге жақындайды, ал АВ бөлгіші АС жанамасына жақындайды. Демек, айырмашылық қатынасының шегі А нүктесіндегі жанаманың еңісіне тең. Бұдан шығады: нүктедегі функцияның туындысы деп сол функцияның сол нүктедегі графигіне жанаманың еңісін айтады.Ол осыдан тұрады геометриялық мағына туынды.

Тангенс теңдеуі. А нүктесіндегі функцияның графигіне жанаманың теңдеуін шығарайық ( x 0 , f (x 0 )). Жалпы жағдайда еңісі бар түзудің теңдеуі f ’(x 0 ) келесідей көрінеді:

ж = f ’(x 0 ) · x + b .

Табу б, жанаманың А нүктесі арқылы өтетінін қолданамыз:

f (x 0 ) = f ’(x 0 ) · x 0 +б ,

осы жерден б = f (x 0 ) – f ’(x 0 ) · x 0 , және осы өрнек орнына қойылады б, аламыз жанама теңдеу:

ж =f (x 0 ) + f ’(x 0 ) · ( x-x 0 ) .

Туындының механикалық мағынасы. Ең қарапайым жағдайды қарастырайық: материалдық нүктенің координат осі бойымен қозғалысы және қозғалыс заңы берілген: координат xҚозғалыс нүктесі белгілі функция болып табылады x (т) уақыт т. бастап уақыт аралығы ішінде т 0 дейін т 0 + нүкте қашықтыққа жылжиды: x (т 0 + ) x (т 0) = , және оның орташа жылдамдық тең: v а =  . 0-де орташа жылдамдықтың мәні белгілі бір мәнге ұмтылады, ол аталады лезде жылдамдық v ( т 0 ) уақыттың материалдық нүктесі т 0 . Бірақ туынды анықтамасы бойынша бізде:

осы жерден v (т 0 ) = x' (т 0 ), яғни. жылдамдық координатаның туындысы болып табылады Авторы уақыт. Ол осыдан тұрады механикалық сезімтуынды . Сияқты, үдеу – жылдамдықтың уақытқа қатысты туындысы: а = v' (т).

8. Туындылар кестесі және дифференциалдау ережелері

Туындының не екенін біз «Туындының геометриялық мағынасы» мақаласында айттық. Егер функция графикпен берілсе, оның әрбір нүктесіндегі туындысы функция графигіне жанаманың көлбеуінің тангенсіне тең. Ал егер функция формула арқылы берілсе, туындылар кестесі мен дифференциалдау ережелері, яғни туындыны табу ережелері көмектеседі.

§ 2. Туынды сөздің анықтамасы.

Функция болсын ж= f(x) аралықта анықталады ( а;б). Аргументтің мәнін қарастырыңыз

(а;б) . Аргументті көбейтейік ∆ x 0 шарты ( x 0 +∆ x)

а;б). Функцияның сәйкес мәндерін y 0 және y 1 арқылы белгілейік:

ж 0 = f(x 0 ), ж 1 = f(x 0 +∆ x). Көшіп жатқанда x 0 Кімге x 0 +∆ xфункция ұлғайтылады

∆у= ж 1 -ж 0 = f(x 0 +∆ x) -f(x 0 ). Егер, ұмтылуда ∆ xнөлге дейін функция өсімінің қатынасының шегі бар ∆ждеп аталатын аргумент өсіміне ∆ x,

анау. шегі бар

=

,

онда бұл шек функцияның туындысы деп аталады ж= f(x) нүктесінде x 0 . Сонымен, функцияның туындысы ж= f(x) нүктесінде x=x 0 аргумент өсімі нөлге ұмтылған кезде функция өсімінің аргумент өсіміне қатынасының шегі бар. Функция туындысы ж= f(x) нүктесінде xтаңбалармен белгіленеді (x) немесе (x). Белгілер де қолданылады , , ,. Соңғы үш белгі туындының айнымалыға қатысты қабылданғанын атап көрсетеді x.

Егер функция ж= f(x) Кейбір интервалдың әрбір нүктесінде туындысы бар, содан кейін осы аралықта туынды ( x) аргумент функциясы болып табылады x.

§ 3. Туындының механикалық және геометриялық мағынасы.

Функция графигіне нормаль және жанама теңдеулері.

§ 1-де көрсетілгендей, нүктенің лездік жылдамдығы тең

v = .

Бірақ бұл жылдамдық дегенді білдіреді v жүріп өткен жолдың туындысы болып табылады С уақыт бойынша т ,

v =. Осылайша, егер функция ж= f(x) материалдық нүктенің түзу сызықты қозғалысының заңын сипаттайды, мұндағы жқозғалыстың басталу сәтінен уақыт сәтіне дейінгі материалдық нүктенің жүріп өткен жолы x, содан кейін туынды ( x) бір уақыттағы нүктенің лездік жылдамдығын анықтайды x. Бұл туындының механикалық мағынасы.

§ 1-де функцияның графигіне жанаманың көлбеулігін де таптық ж= f(x) к= тгα= . Бұл қатынас жанаманың көлбеуі туындыға тең ( x). Дәлірек айтқанда, туынды ( x) функциялары ж= f(x) , тең аргумент мәнімен есептелген x, абсциссасы тең нүктедегі осы функцияның графигіне жанаманың еңісіне тең. x. Бұл туындының геометриялық мағынасы.

рұқсат етіңіз x=x 0 функциясы ж= f(x) мәнді қабылдайды ж 0 =f(x 0 ) , ал бұл функцияның графигі координаталары бар нүктеде жанамаға ие ( x 0 ;ж 0). Содан кейін жанаманың еңісі

k = ( x 0). Аналитикалық геометрия курсынан белгілі, берілген бағытта берілген нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуін қолдану ( ж-ж 0 =к(x-x 0)), тангенс теңдеуін жазамыз:

Жанасу нүктесінен жанамаға перпендикуляр өтетін түзу қисыққа нормаль деп аталады. Нормал жанамаға перпендикуляр болғандықтан, оның еңісі кнормалар жанаманың еңісімен байланысты каналитикалық геометриядан белгілі қатынас: кнормалар = ─ , яғни. координаттары бар нүкте арқылы қалыпты өту үшін ( x 0 ;ж 0),кнорма = ─ . Демек, бұл нормальдың теңдеуі:

(бұл жағдайда

).

§ 4. Туындыны есептеу мысалдары.

Функцияның туындысын есептеу ж= f(x) нүктесінде x, қажетті:

Аргумент xөсу ∆ x;

∆ функциясының сәйкес өсімін табыңыз ж=f(x+∆x) -f(x);

Қатынас құрастыру ;

∆ үшін осы қатынастың шегін табыңыз x→0.

4.1-мысал. Функцияның туындысын табыңыз ж=C=const.

Аргумент x∆ өсімін беріңіз x.

Бәрі бір x, ∆ж=0: ∆ж=f(x+∆x) ─f(x)=С─С=0;

Осы жерден =0 және =0, яғни. =0.

4.2-мысал. Функцияның туындысын табыңыз ж=x.

∆ ж=f(x+∆x) ─f(x)= x+∆x– x=∆ x;

1, =1, яғни. =1.

4.3-мысал. Функцияның туындысын табыңыз ж=x 2.

∆ ж= (x+∆ x)2–x 2= 2 x∙∆ x+ (∆ x)2;

= 2 x+ ∆ x, = 2 x, яғни. =2 x.

4.4-мысал. y=sin функциясының туындысын табыңыз x.

∆ ж=күнә( x+∆x) -күнә x= 2күн cos( x+);

=

;

=



= cos x, яғни. = cos x.

4.5-мысал. Функцияның туындысын табыңыз ж=

.

=

, яғни. = .

ТУЫНДЫҚТЫҢ МЕХАНИКАЛЫҚ МӘНІ

Бірқалыпты қозғалыс заңының нысаны болатыны физикадан белгілі s = v t, Қайда с- уақыт нүктесіне дейін жүріп өткен жол т, vбірқалыпты қозғалыс жылдамдығы болып табылады.

Алайда, бері табиғатта болатын қозғалыстардың көпшілігі біркелкі емес, жалпы жағдайда жылдамдық, демек, қашықтық суақытқа байланысты болады т, яғни. уақыт функциясы болады.

Сонымен, материалдық нүкте заң бойынша бір бағытта түзу сызықпен қозғалсын s=s(t).

Бір сәтке назар аударыңыз т 0 . Осы кезде нүкте жолдан өтті s=s(t 0 ). Жылдамдықты анықтайық vуақыттың материалдық нүктесі т 0 .

Мұны істеу үшін уақыттың басқа сәтін қарастырыңыз т 0 + Δ т. Ол жүріп өткен қашықтыққа s сәйкес келеді =s(т 0 + Δ т). Содан кейін Δ уақыт аралығы үшін тнүкте Δs жолын жүріп өтті =s(т 0 + Δ т)–s(t).

Қарым-қатынасты қарастырайық. Ол Δ уақыт интервалындағы орташа жылдамдық деп аталады т. Орташа жылдамдық осы сәтте нүктенің қозғалыс жылдамдығын дәл сипаттай алмайды т 0 (қозғалыс біркелкі емес болғандықтан). Бұл шынайы жылдамдықты орташа жылдамдықты пайдаланып дәлірек көрсету үшін Δ аз уақыт аралығын алу керек т.

Сонымен, белгілі бір уақытта қозғалыс жылдамдығы т 0 (лездік жылдамдық) - аралықтағы орташа жылдамдықтың шегі т 0 дейін т 0 +Δ тқашан Δ т→0:

,

анау. біркелкі емес қозғалыс жылдамдығыуақыт бойынша жүріп өткен жолдың туындысы болып табылады.

ТУЫНДЫҚТЫҢ ГЕОМЕТРИЯЛЫҚ МӘНІ

Алдымен берілген нүктедегі қисыққа жанаманың анықтамасын енгізейік.

Бізде қисық және оның тұрақты нүктесі болсын М 0(суретті қараңыз) Басқа тармақты қарастырыңыз Мосы қисық сызықты және секантты сызыңыз М 0 М. Егер нүкте Мқисық және нүкте бойымен қозғала бастайды М 0қозғалыссыз қалады, секант өз орнын өзгертеді. Егер нүктенің шектеусіз жуықтауымен Мнүктеге дейін қисық М 0кез келген жағында секант белгілі бір түзу сызықтың орнын алуға бейім М 0 Т, содан кейін түзу М 0 Тберілген нүктедегі қисыққа жанама деп аталады М 0.

Сол., жанамаберілген нүктедегі қисыққа М 0секанттың шекті орны деп аталады М 0 Мнүкте болғанда Мқисық бойымен нүктеге қарай ұмтылады М 0.

Енді үздіксіз функцияны қарастырайық y=f(x)және осы функцияға сәйкес қисық. Кейбір құндылық үшін X 0 функциясы мән қабылдайды y0=f(x0).Бұл құндылықтар x 0 және жҚисық сызықтағы 0 нүктеге сәйкес келеді M 0 (x 0; y 0).Аргумент келтірейік x0Δ өсімі X. Аргументтің жаңа мәні функцияның көбейтілген мәніне сәйкес келеді ж 0 +Δ y=f(x 0 –Δ x). Біз ұпай аламыз M(x 0+Δ x; y 0+Δ y).Секантты салайық М 0 Мжәне осьтің оң бағытымен секант жасаған бұрышты φ деп белгілеңіз Өгіз. Қатынас жасап, соған назар аударайық.

Егер қазір Δ x→0, онда Δ функциясының үзіліссіздігіне байланысты сағ→0, демек нүкте М, қисық бойымен қозғала отырып, нүктеге шексіз жақындайды М 0. Содан кейін секант М 0 Мнүктедегі қисыққа жанама позициясын алуға бейім болады М 0, және Δ нүктесінде φ→α бұрышы x→0, мұндағы α жанама мен осьтің оң бағыты арасындағы бұрышты білдіреді Өгіз. tg φ функциясы φ≠π/2 кезінде φ-ге үздіксіз тәуелді болғандықтан, онда φ→α tg φ → tg α кезінде және, демек, жанаманың көлбеуі мынадай болады:

анау. f"(x)= tgα.

Осылайша, геометриялық y "(x 0)нүктедегі осы функцияның графигіне жанаманың еңісін көрсетеді x0, яғни. аргументтің берілген мәні үшін x, туынды функция графигіне жанама жасаған бұрыштың тангенсіне тең f(x)сәйкес нүктеде M 0 (x; y)оң ось бағытымен Өгіз.

Мысал.Қисық сызыққа жанаманың еңісін табыңыз y = x 2 нүктесінде М(-1; 1).

Біз мұны бұрыннан көрдік ( x 2)" = 2X. Бірақ қисыққа жанаманың еңісі tg α = ж"| x=-1 = - 2.

Туындының геометриялық, механикалық, экономикалық мәні

Туынды сөздің анықтамасы.

Дәріс №7-8

Библиография

1 Ухоботов, V. I. Математика: Оқу құралы.- Челябинск: Челяб. күй ун-т, 2006.- 251 б.

2 Ермаков, В.И. Жоғары математикадан есептер жинағы. Оқу құралы. -М.: ИНФРА-М, 2006. - 575 б.

3 Ермаков, В.И. Жоғары математиканың жалпы курсы. Оқулық. -М.: ИНФРА-М, 2003. - 656 б.

Тақырыбы «Туынды»

Мақсат:туынды ұғымды түсіндіру, функцияның үзіліссіздігі мен дифференциалдығы арасындағы байланысты қадағалаңыз, туындыны мысалдар арқылы қолдану мүмкіндігін көрсету.

Бұл шекті экономикада өндірістің шекті құны деп атайды.

Туынды сөздің анықтамасы. Туындының геометриялық және механикалық мағынасы, графикке жанама функцияның теңдеуі.

Қысқа жауап қажет (қосымша су жоқ)

Өлі_ақ_қар

Туынды – функцияның өзгеру жылдамдығын сипаттайтын дифференциалдық есептеудің негізгі ұғымы.
Геометриялық?
нүктесінде жұмыс істеуге тангенс... .
Функцияны арттыру шарты: f "(x) > 0.
Функцияның кему шарты: f "(x)< 0.
Иілу нүктесі (қажетті шарт): f " " (x0) = 0.
Дөңес жоғары: f " " (x) Дөңес төмен: f " " (x) >0
Қалыпты теңдеу: y=f(x0)-(1/f `(x0))(x-x0)
Механикалық?
Жылдамдық қашықтыққа қатысты туынды, үдеу — жылдамдыққа қатысты туынды, ал қашықтыққа қатысты екінші туынды...
x0 нүктесіндегі f функциясының графигіне жанаманың теңдеуі
y=f(x0)+f `(x0)(x-x0)

Пайдаланушы жойылды

Егер delta x нөлге ұмтылған кезде delta y функциясының өсімшесінің delta x аргументінің өсіміне оны тудырған delta y және delta x қатынасында шектеу болса, онда бұл шек функцияның туындысы деп аталады. y = f (x) берілген x нүктесінде және y "немесе f "(x) арқылы белгіленеді.
Түзу сызықты қозғалыстың v жылдамдығы t уақытқа қатысты s жолының туындысы: v = ds/dt. Бұл туындының механикалық мағынасы.
Абсцисса x нөл нүктесіндегі y \u003d f (x) қисығына жанаманың еңісі f "(x нөл) туындысы болып табылады. Бұл туындының геометриялық мағынасы.
М нөл нүктесіндегі жанама қисық M нөл T түзу сызығы деп аталады, оның еңісі дельта х нөлге ұмтылған кездегі M нөлдік M бір еңістің шегіне тең.
tg phi = lim tg альфа дельта х нөлге жақындағанда = lim (delta x/delta y) дельта x нөлге жақындағанда
Туындының геометриялық мағынасынан тангенс теңдеу келесі түрде болады:
y - y null = f "(x null) (x - x null)

Нұсқаулық карта №20

Тақырыбы/Тақырып: « Екінші туынды және оның физикалық мағынасы ».

Мақсаты:

Жанаманың теңдеуін, сонымен қатар жанаманың ОК осіне еңкею бұрышының тангенсін таба білу. Функцияның өзгеру жылдамдығын, сондай-ақ үдеуін таба білу.

Зерттелген фактілер мен ұғымдарды салыстыру, жіктеу дағдыларын қалыптастыруға жағдай жасау.

Тәрбие жұмысына жауапкершілікпен қарауға, тангенс теңдеуін тапқанда, сонымен қатар функцияның өзгеру жылдамдығы мен үдеуін тапқанда түпкілікті нәтижеге жетуге ерік-жігер мен табандылыққа тәрбиелеу.

Теориялық материал:

(Туындының геометриялық мағынасы)

Функция графигінің жанамасының теңдеуі:

1-мысал: 2 обциссасы бар нүктедегі функцияның графигіне жанаманың теңдеуін табайық.

Жауабы: у = 4х-7

Абсцисса x o нүктесіндегі функция графигіне жанаманың k көлбеуі f / (x o) (k = f / (x o)) тең. Берілген нүктедегі функция графигіне жанаманың көлбеу бұрышы тең

arctg k \u003d arctg f / (x o), яғни. k= f / (x o)= тг

2-мысал: Синусоид қандай бұрышта орналасқан координат басындағы х осін қияды?

Бұл функцияның графигі абсцисса осімен қиылысатын бұрышы осы нүктеде f (x) функциясының графигіне сызылған жанаманың а көлбеу бұрышына тең. Туындыны табайық: Туындының геометриялық мағынасын қарастырсақ, бізде: және а = 60°. Жауабы: =60 0 .

Егер функцияның облысындағы әрбір нүктеде туындысы болса, онда оның туындысы -ның функциясы болады. Функция, өз кезегінде, деп аталатын туынды болуы мүмкін екінші ретті туындыфункциялары (немесе екінші туынды) және таңбасымен белгіленеді.

3-мысал: Функцияның екінші туындысын табыңыз: f(x)=x 3 -4x 2 +2x-7.

Ең басында біз бұл функцияның бірінші туындысын табамыз f "(x) \u003d (x 3 -4x 2 + 2x-7) '= 3x 2 -8x + 2,

Сонда, алынған бірінші туындының екінші туындысын табамыз

f""x)=(3x 2 -8x+2)''=6x-8. Жауабы: f""x) = 6x-8.

(Екінші туындының механикалық мағынасы)

Егер нүкте түзу бойымен қозғалса және оның қозғалыс заңы берілсе, онда нүктенің үдеуі жолдың уақытқа қатысты екінші туындысына тең болады:

Материалдық дененің жылдамдығы жолдың бірінші туындысына тең, яғни:

Материалдық дененің үдеуі жылдамдықтың бірінші туындысына тең, яғни:

4-мысал: Дене s (t) \u003d 3 + 2t + t 2 (m) заңына сәйкес түзу сызықта қозғалады. Оның t = 3 с уақытындағы жылдамдығы мен үдеуін анықтаңыз. (Жол метрмен, уақыт секундпен өлшенеді).
Шешім
v (т) = s΄ (т) =(3+2t+t 2)'= 2 + 2т
а (т) = v΄ (т) =(2+2т)’= 2 (м/с 2)
v(3) = 2 + 2∙3 = 8 (м/с). Жауабы: 8 м/с; 2 м/с 2 .

Практикалық бөлім:

Бақылау сұрақтары:

Туындының физикалық мағынасы қандай деп ойлайсыз – бұл лездік жылдамдық па, әлде орташа жылдамдық па?

Кез келген нүкте арқылы функция графигіне жүргізілген жанама мен туынды ұғымының арасында қандай байланыс бар?

М (x 0; f (x 0)) нүктесіндегі функцияның графигіне жанаманың анықтамасы қандай?

Екінші туындының механикалық мағынасы қандай?