Методи за изчисляване на неопределени интеграли. Антипроизводен и неопределен интеграл - Хипермаркет на знанието
Преглед на методите за изчисление определени интеграли. Разгледани са основните методи на интегриране, които включват интегриране на сбора и разликата, изваждане на константата от знака за интеграл, промяна на променливата и интегриране по части. Разглеждат се и специални методи и техники за интегриране на дроби, корени, тригонометрични и експоненциални функции.
СъдържаниеПравило за интегриране на сумата (разликата).
Изваждане на константата от интегралния знак
Нека c е константа, независима от x. Тогава може да се извади от интегралния знак:
Променливо заместване
Нека x е функция на променлива t, тогава x = φ(t).
.
Или обратното, t = φ(x),
.
С помощта на промяна на променлива можете не само да изчислявате прости интеграли, но и да опростите изчисляването на по-сложни.
Правило за интегриране по части
Интегриране на дроби (рационални функции)
Нека въведем нотация. Нека P k (x), Q m (x), R n (x) означават съответно полиноми от степени k, m, n по отношение на променливата x.
Помислете за интеграл, състоящ се от част от полиноми (така наречената рационална функция):
Ако k ≥ n, тогава първо трябва да изберете цялата част от дробта:
.
Интегралът на полинома S k-n (x) се изчислява от таблицата на интегралите.
Интегралът остава:
, където m< n
.
За да се изчисли, интегрантът трябва да се разложи на прости дроби.
За да направите това, трябва да намерите корените на уравнението:
Q n (x) = 0 .
Използвайки получените корени, трябва да представите знаменателя като продукт на фактори:
Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ....
Тук s е коефициентът за x n, x 2 + ex + f > 0, x 2 + gx + k > 0, ....
След това разложете фракцията на най-простата:
Интегрирайки, получаваме израз, състоящ се от по-прости интеграли.
Интеграли на формата
се свеждат до таблично заместване t = x - a .
Помислете за интеграла:
Нека трансформираме числителя:
.
Замествайки в интегранта, получаваме израз, който включва два интеграла:
,
.
Първо, заместването t \u003d x 2 + ex + f се свежда до таблица.
Второто, според формулата за намаляване:
се свежда до интеграла
Привеждаме знаменателя му към сумата от квадрати:
.
След това чрез заместване, интегралът
също е дадено в таблицата.
Интегриране на ирационални функции
Нека въведем нотация. Нека R(u 1 , u 2 , ... , u n) означава рационална функция на променливите u 1 , u 2 , ... , u n . Това е
,
където P, Q са полиноми на променливи u 1 , u 2 , ... , u n .
Дробна линейна ирационалност
Обмисли интеграли на формата:
,
Където - рационални числа, m 1 , n 1 , ..., m s , n s са цели числа.
Нека n - общ знаменателчислата r 1 , ..., r s .
Тогава интегралът се редуцира до интеграла на рационалните функции чрез заместване:
.
Интеграли от диференциални биноми
Помислете за интеграла:
,
където m, n, p са рационални числа, a, b - реални числа.
Такива интеграли се свеждат до интеграли на рационални функции в три случая.
1) Ако p е цяло число. Заместване x = t N , където N е общият знаменател на дробите m и n .
2) Ако е цяло число. Заместване a x n + b = t M , където M е знаменателят на p .
3) Ако е цяло число. Заместване a + b x - n = t M , където M е знаменателят на p .
Ако нито едно от трите числа не е цяло число, тогава според теоремата на Чебишев интегралите от тази форма не могат да бъдат изразени чрез крайна комбинация от елементарни функции.
В някои случаи може да е полезно първо да намалите интеграла до по-удобни стойности на m и p. Това може да стане с помощта на формулите за отливане:
;
.
Интеграли, съдържащи квадратен корен от квадратен тричлен
Тук разглеждаме интеграли от формата:
,
Замествания на Ойлер
Такива интеграли могат да бъдат сведени до интеграли на рационални функции на едно от трите замествания на Ойлер:
, за a > 0 ;
, за c > 0 ;
, където x 1 е коренът на уравнението a x 2 + b x + c = 0. Ако това уравнение има реални корени.
Тригонометрични и хиперболични замествания
Директни методи
В повечето случаи заместванията на Ойлер водят до по-дълги изчисления от директните методи. Използвайки директни методи, интегралът се редуцира до един от следните типове.
аз пиша
Интеграл на формата:
,
където P n (x) е полином от степен n.
Такива интеграли се намират по метода на неопределените коефициенти, като се използва идентичността:
Диференцирайки това уравнение и приравнявайки лявата и дясната му страна, намираме коефициентите A i .
II вид
Интеграл на формата:
,
където P m (x) е полином от степен m.
Заместване t = (x - α) -1този интеграл се свежда до предишния тип. Ако m ≥ n, тогава дробта трябва да има цяло число.
III тип
Третият и най-труден тип:
.
Тук трябва да направите замяна:
.
Тогава интегралът ще приеме формата:
.
Освен това, константите α, β трябва да бъдат избрани така, че коефициентите при t да изчезнат:
B = 0, B 1 = 0 .
Тогава интегралът се разлага на сумата от интеграли от два вида:
;
,
които са интегрирани съответно чрез замествания:
z 2 \u003d A 1 t 2 + C 1;
y 2 \u003d A 1 + C 1 t -2.
Общ случай
Интегриране на трансцендентални (тригонометрични и експоненциални) функции
Предварително отбелязваме, че онези методи, които са приложими за тригонометрични функции, също са приложими за хиперболични функции. Поради тази причина няма да разглеждаме отделно интегрирането на хиперболични функции.
Интегриране на рационални тригонометрични функции на cos x и sin x
Помислете за интеграли на тригонометрични функции от формата:
,
където R е рационална функция. Това може също да включва тангенси и котангенси, които трябва да бъдат преобразувани чрез синуси и косинуси.
Когато интегрирате такива функции, е полезно да имате предвид три правила:
1) ако R( cosx, sinx)умножено по -1 от промяната на знака пред една от величините cos xили грях х, тогава е полезно другият от тях да се означи с t .
2) ако R( cosx, sinx)не се променя от промяна на знака по същото време преди cos xИ грях х, тогава е полезно да поставите тен x = tили ctg x = t.
3) заместването във всички случаи води до интеграл от рационална дроб. За съжаление това заместване води до по-дълги изчисления от предишните, ако е приложимо.
Произведение на степенни функции на cos x и sin x
Помислете за интеграли от формата:
Ако m и n са рационални числа, тогава една от пермутациите t = грях хили t= cos xинтегралът се редуцира до интеграла на диференциалния бином.
Ако m и n са цели числа, тогава интегралите се изчисляват чрез интегриране по части. Това води до следните формули за намаляване:
;
;
;
.
Интеграция по части
Приложение на формулата на Ойлер
Ако подинтегралната функция е линейна по отношение на една от функциите
cos брадваили синакс, тогава е удобно да се приложи формулата на Ойлер:
e iax = cos брадва + isin брадва(където i 2 = - 1
),
замяна на тази функция с eiaxи подчертаване на реалното (при замяна cos брадва) или въображаемата част (при замяна синакс) от резултата.
Препратки:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузмин, Сборник задачи по висша математика, Lan, 2003.
НЕОПРЕДЕЛИМ ИНТЕГРАЛ
Започваме да изучаваме интеграли, които се използват широко в много области на технологията. Нека започнем с неопределения интеграл.
Първопроизводен и неопределен интеграл
Основната задача на диференциалното смятане е диференцирането на тези функции, с други думи, задачата да се намери скоростта на промяна на дадена функция. Многобройни въпроси на науката и технологиите водят до формулирането на обратния проблем: дадена функция f (x) възстановява такава функция F(x), за която f (x) би била производна: F ¢ (x) = f (x).
Определение. Функцията F(x) се нарича първоизводна за f (x), ако
F ¢ (x) = f (x) или dF(x) = f (x) dx.
Примери. 1) f (x) \u003d 3x 2, F (x) \u003d x 3;
2) f(x) = cosx, F(x) = sinx.
Лесно се вижда, че тази функция f (x) = 3x 2 съответства не на една първоизводна, а на набор: x 3 ; x 3 + 1; х 3 - 1; х 3 + 5; х 3 - 100; х 3 + С.
Действително, (x 3)¢ \u003d 3x 2; (x 3 + 1)¢ = 3x 2; (x 3 - 1) ¢ = 3x 2; . . . . (x 3 + C)¢ \u003d 3x 2.
Като цяло, ако F(x) е първоизводната на дадена функция f (x), тогава първоизводната функция също ще бъде функцията F(x) + c, "СнR, тъй като:
¢ = F¢(x) = f (x).
Множеството от всички първоизводни f(x) изчерпва ли се от изрази във формата F(x) + C, или има антипроизводни на тази функция, които не са резултат от F(x) + C за която и да е стойност на C? Оказва се, че твърдението е вярно: няма други първоизводни на функцията f (x). С други думи, ако F 1 (x) и F 2 (x) са две антипроизводни за f (x), тогава F 1 (x) = F 2 (x) + C,
където C е някаква константа.
Наистина, тъй като F 1 (x) и F 2 (x) са противопроизводни за f (x), тогава
Помислете за разликата 
за всички x.
Нека x 0 е някаква фиксирана стойност на аргумента,
x е произволна друга стойност.
Според формулата на Лагранж
където е някакво число между x 0 и x. защото:
Всяка функция f(x) има ли първоизводна?
Теорема.Ако функция f(x) е непрекъсната на някакъв интервал, тогава тя има първоизводна върху него (без доказателство).
Определение.Ако F (x) е някакъв вид антипроизводно за f (x), тогава изразът F (x) + C, където C е произволна константа, се нарича неопределен интеграл и се обозначава: , докато f (x) се нарича интегранд и изразът f (x) dx - интегранд:
Действието за намиране на неопределен интеграл, в противен случай намирането на всички антипроизводни на дадена функция, се нарича интеграциятази функция. Очевидно операциите диференциране и интегриране са взаимно обратни.
Събиране и изваждане, степенуване и извличане на корен, умножение и деление са примери за реципрочни математически операции.
функция F(х ) Наречен примитивен за функция е(х) на даден интервал, ако за всички х от този интервал равенството
F"(х ) = f(х ) .
Например функцията F(x) = x 2 е(х ) = 2х , защото
F "(x) \u003d (x 2 )" = 2x = f(x). ◄
Основното свойство на антипроизводното
Ако F(x) е първоизводната за функцията f(x) на даден интервал, тогава функцията f(x) има безкрайно много противопроизводни и всички тези първоизводни могат да бъдат записани като F(x) + C, Където СЪС е произволна константа.
Например. функция F(x) = x 2 + 1 е първоизводната за функцията е(х ) = 2х , защото F "(x) \u003d (x 2 + 1 )" = 2 x = f(x); функция F(x) = x 2 - 1 е първоизводната за функцията е(х ) = 2х , защото F "(x) \u003d (x 2 - 1)" = 2x = f(x) ; функция F(x) = x 2 - 3 е първоизводната за функцията е(х) = 2х , защото F "(x) \u003d (x 2 - 3)" = 2 x = f(x); всяка функция F(x) = x 2 + СЪС , Където СЪС е произволна константа и само такава функция е антипроизводна за функцията е(х) = 2х . ◄ |
Правила за изчисляване на първоизводни
- Ако F(x) - оригинал за f(x) , А G(x) - оригинал за g(x) , Че F(x) + G(x) - оригинал за f(x) + g(x) . С други думи, първоизводната на сбора е равна на сбора на първоизводните .
- Ако F(x) - оригинал за f(x) , И к тогава е константа к · F(x) - оригинал за к · f(x) . С други думи, постоянният фактор може да бъде изваден от знака на производната .
- Ако F(x) - оригинал за f(x) , И к,b- постоянен и k ≠ 0 , Че 1 / к F(к x + b ) - оригинал за f(к x + b) .
Неопределен интеграл
Неопределен интеграл от функция f(x) наречен израз F(x) + C, т.е. множеството от всички антипроизводни на дадената функция f(x) . Неопределеният интеграл се означава по следния начин:
∫ f(x) dx = F(x) + C ,
f(x)- Наречен интегрант ;
f(x) dx- Наречен интегрант ;
х - Наречен интеграционна променлива ;
F(x) е една от първоизводните на функцията f(x) ;
СЪС е произволна константа.
Например, ∫ 2 x dx =х 2 + СЪС , ∫ cosx dx =грях х + СЪС и така нататък. ◄
Думата "интеграл" идва от латинската дума цяло число , което означава "възстановен". Като се има предвид неопределеният интеграл на 2 х, някак си възстановяваме функцията х 2 , чиято производна е 2 х. Възстановяване на функция от нейната производна или, което е същото, намиране на неопределен интеграл по даден интегранд се нарича интеграция тази функция. Интегрирането е обратна операция на диференцирането.За да проверите дали интегрирането е извършено правилно, достатъчно е да диференцирате резултата и да получите интегрант.
Основни свойства на неопределения интеграл
- Производната на неопределения интеграл е равна на интегралната функция:
- Постоянният фактор на интегранта може да бъде изваден от интегралния знак:
- Интегралът на сумата (разликата) на функциите е равен на сумата (разликата) на интегралите на тези функции:
- Ако к,b- постоянен и k ≠ 0 , Че
(∫ f(x) dx )" = f(x) .
∫ к · f(x) dx = к · ∫ f(x) dx .
∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .
∫ е( к x + b) dx = 1 / к F(к x + b ) + C .
Таблица на първообразни и неопределени интеграли
| f(x)
| F(x) + C
| ∫
f(x) dx = F(x) + C
|
|
| аз | $$0$$ | $$C$$ | $$\int 0dx=C$$ |
| II. | $$k$$ | $$kx+C$$ | $$\int kdx=kx+C$$ |
| III. | $$x^n~(n\neq-1)$$ | $$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ | $$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$ |
| IV. | $$\frac(1)(x)$$ | $$\ln |x|+C$$ | $$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$ |
| v. | $$\sin x$$ | $$-\cos x+C$$ | $$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$ |
| VI. | $$\cos x$$ | $$\sin x+C$$ | $$\int\cos x~dx=\sin x+C$$ |
| VII. | $$\frac(1)(\cos^2x)$$ | $$\textrm(tg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$ |
| VIII. | $$\frac(1)(\sin^2x)$$ | $$-\textrm(ctg) ~x+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$ |
| IX. | $$e^x$$ | $$e^x+C$$ | $$\int e^xdx=e^x+C$$ |
| х. | $$a^x$$ | $$\frac(a^x)(\ln a)+C$$ | $$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$ |
| XI. | $$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$ | $$\arcsin x +C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$ |
| XII. | $$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$ | $$\arcsin \frac(x)(a)+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$ |
| XIII. | $$\frac(1)(1+x^2)$$ | $$\textrm(arctg) ~x+C$$ | $$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$ |
| XIV. | $$\frac(1)(a^2+x^2)$$ | $$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ | $$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$ |
| XV. | $$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$ | $$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ | $$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$ |
| XVI. | $$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$ | $$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$ | $$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$ |
| XVII. | $$\textrm(tg) ~x$$ | $$-\ln |\cos x|+C$$ | $$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$ |
| XVIII. | $$\textrm(ctg) ~x$$ | $$\ln |\sin x|+C$$ | $$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$ |
| XIX. | $$ \frac(1)(\sin x) $$ | $$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$ |
| XX. | $$ \frac(1)(\cos x) $$ | $$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$ | $$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(vmatrix)+C $$ |
| Примитивните и неопределените интеграли, дадени в тази таблица, обикновено се наричат таблични примитиви
И таблични интеграли
. |
|||
Определен интеграл
Нека между тях [а; b] дадена непрекъсната функция y = f(x) , Тогава определен интеграл от a до b функции f(x) се нарича нарастване на примитива F(x) тази функция, т.е
$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$
Числа аИ bсе наричат съответно нисък И Горна част интеграционни граници.
Основни правила за изчисляване на определен интеграл
1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);
2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);
3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) където к - постоянен;
4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x) dx \);
5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);
6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), където f(x) е четна функция;
7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), където f(x) е странна функция.
Коментирайте . Във всички случаи се приема, че интегрантите са интегрируеми на числови интервали, чиито граници са границите на интегрирането.
Геометричен и физически смисъл на определения интеграл
| геометричен смисъл определен интеграл | физически смисъл
определен интеграл |
 |  |
Квадрат С криволинеен трапец(фигура, ограничена от графика на непрекъснат положителен интервал [а; b] функции f(x) , ос вол и директно х=а , x=b ) се изчислява по формулата $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$ | Пътека скойто е преодолял материална точка, движейки се по права линия с различна скорост според закона v(t)
, за интервал от време a ;
b], след това площта на фигурата, ограничена от графиките на тези функции и прави линии х = а
, x = b
, се изчислява по формулата $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$ |
 | Например. Изчислете площта на фигурата ограничени с линии y=x 2 И y= 2-х . Ще изобразим схематично графиките на тези функции и ще подчертаем фигурата, чиято площ трябва да се намери в различен цвят. За да намерим границите на интегриране, решаваме уравнението: х 2 = 2-х ; х 2 + х- 2 = 0 ; х 1 = -2, х 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$ |
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \right )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄ |
|
Обем на тялото на въртене
 | Ако тялото се получава в резултат на въртене около оста вол криволинеен трапец, ограничен от графика на непрекъсната и неотрицателна върху интервала [а; b] функции y = f(x) и директно х = аИ x = b , тогава се нарича тяло на революцията . Обемът на тялото на въртене се изчислява по формулата $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Ако тялото на въртене се получава в резултат на въртене на фигура, ограничена отгоре и отдолу с функционални графики y = f(x) И y = g(x) , съответно тогава $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$ |
 | Например. Изчислете обема на конус с радиус r
и височина ч
. Нека поставим конуса на правоъгълна системакоординати, така че оста му да съвпада с ос вол
, а центърът на основата беше разположен в началото на координатите. Въртене на генератора ABопределя конус. Тъй като уравнението AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$ |
| и за обема на конуса, който имаме $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄ |
|
Държавно бюджетно професионално учебно заведение
"Невинномисски енергиен колеж"
Методическа разработка открит урокпо дисциплина "Математика"
Тема на урока :
Първоизводна на функция. Неопределен интеграл.
Учител по математика:
Скрилникова Валентина Евгениевна
Невинномисск 2016 г.
Цели на урока :
образователен : Да се формират идеи за интегралното смятане, да се разбере неговата същност. Да се развият умения за намиране на неопределен интеграл и антипроизводни, способността да се използват свойствата и методите на интегриране.
Разработване: Развиване на математически грамотна реч, внимание, съзнателно възприемане на учебен материал.
Образователни : възпитавам познавателна дейност, изобретателност и мислене, благодарение на постиженията на велики математици в областта на интеграцията.
Тип клас : урок
Тип урок : послания за нови знания
Метод на провеждане : словесна, визуална, самостоятелна работа.
Квалификационни изисквания:
Студентите трябва:
По време на изучаването на темата "Първопроизводната на функция. Неопределен интеграл » студентида науча основни понятия и твърдения,имам идеи за възможностите за използване на средствата на интегралното смятане в геометрични, физически и други приложни проблеми.
Зная:
дефиниция на първообразна функция и неопределен интеграл;
свойства и методи за намиране на интеграли
формули на най-простите интеграли.
Умейте да:
изчисляване на първообразни и неопределени интеграли, като се използват основни свойства и методи за намиране.
Междупредметни връзки Ключови думи: физика, история на математиката.
Вътрешнопредметни връзки : „Намиране на производната”, „Изчисляване на обемите на тела”, „Изчисляване на определен интеграл”.
Осигуряване на урока :
-Нагледни помагала : портрети на велики математици, които имат идея за интегрално смятане
-Раздаване : резюме с диаграми, карти със задачи (на етапа на фиксиране).
-Оборудване : принадлежности за рисуване, линийка.
Структура на урока.
1. Организиране на времето(1 минута.)
Мотивация учебни дейности. (3 мин.)
Представяне на нов материал. (50-51 мин.)
Самостоятелна работа(10 минути)
Затвърдяване на изучения материал. (5 минути.)
Обобщаване на урока. (2-3 мин.)
Съобщение домашна работа. (1 минута.)
Напредък на курса.
Организиране на времето . (1 минута.)
Учителят поздравява учениците, проверява присъстващите в аудиторията.
Учениците се подготвят за работа. Ръководителят попълва протокол. Офицерите раздават листовки.
Мотивация за учебна дейност .(3 мин.)
Темата на днешния урок е „Антипроизводна на функция. Неопределен интеграл. Знанията по тази тема ще ни бъдат използвани в следващите уроци при намиране на определени интеграли, площи на плоски фигури. Много внимание се обръща на интегралното смятане в разделите висша математикав по-високо образователни институциипри решаване на приложни задачи.
Нашият урок днес е урокът за изучаване на нов материал, следователно той ще бъде от теоретичен характер.
Цел на урока: да формират идеи за интегралното смятане, да разберат неговата същност, да развият умения за намиране на първоизводни и неопределени интеграли.
Учениците записват датата и темата на урока.
3. Представяне на нов материал (50-51 мин.)
Предмет : „Производната на функция. Неопределен интеграл."
Из историята на интегралното смятане. За произхода на термините и обозначенията.
Дефиниция на първоизводна, нейно основно свойство, правила за намиране на първоизводни.
Концепцията за неопределен интеграл, неговите свойства.
1. Историята на понятието интеграл е тясно свързана с проблемите на намирането на квадратури. Задачи за квадратурата на една или друга плоска фигура по математика Древна Гърцияи Рим бяха наречени задачи, които сега наричаме задачи за изчисляване на площи.
Много значителни постижения на древногръцките математици при решаването на такива проблеми са свързани с използването на метода на изчерпване, предложен от Евдокс от Книд. С този метод Евдокс доказва:
1. Площите на два кръга се отнасят като квадратите на техните диаметри.
2. Обемът на конус е равен на 1/3 от обема на цилиндър със същата височина и основа.
Методът на Евдокс е усъвършенстван от Архимед и са доказани следните неща:
1. Извеждане на формулата за площта на кръг.
2. Обемът на сферата е 2/3 от обема на цилиндъра.
Всички постижения са доказани от велики математици с помощта на интеграли.
Символвъведен от Лайбниц през 1675 г. Този знак е промяна от латинската буква S. Думата "интегрална ” е измислен от Бернули през 1690 г. Произлиза от латинското integro, което се превежда като как да се върне към предишното му състояние, да се възстанови. Действително, операцията на интегриране е обратна на диференциацията, т.е. за да се провери правилността на намирането на интеграла, е необходимо да се диференцира отговорът и да се получи интегралът. С други думи, интегралното смятане решава проблема: като се има предвид производната или диференциала на неизвестна функция, се изисква да се определи тази функция. От това можем да направим извод, който записваме под формата на определение.
2. Определение 1 : Функция Е(х) е наречен примитивен за функция f(х) на този интервал, ако има такъвхот този интервалЕ’(х) = f(х).
Пример: Антипроизводно за функцияf( х)= х 3 на цялата числова ос еЕ( х)= х 4 /4 защото (х 4 /4)’= х.
Основното свойство на примитивите
Ако Е(х) е първоизводната на функциятаf(х), след това функцията Е(х)+ ° С, Където ° Се произволна константа, също е първоизводна на функциятаf(х).
Геометрична интерпретация
графики на всички първоизводни на дадена функция f ( х ) се получават от графиката на всяка една първоизводна чрез паралелни прехвърляния по остаг.
Три правила за намиране на антипроизводни
Правило #1: Ако F е първоизводната на f и G е първоизводната на g, тогава F+G е първоизводната на f+g.
(F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f + g
Правило #2: Ако F е антипроизводна за f и k е константа, тогава функцията kF е антипроизводна за kf.
(kF)' = kF' = kf
Правило #3:
Ако F е първоизводната на f и k и b са константи (
), след това функцията
- първоизводна за f(kx+b).
3. Нека се върнем към теорема 1 и да изведем ново определение.
Определение 2 : Изразът F(x) + C, където C е произволна константа, се нарича неопределен интеграл и се означава със символа
От определението имаме:
(1)
Неопределен интеграл на функция f(x) следователно е множеството от всички първоизводни за f(x).
В равенство (1) функцията f(x) се извикваинтегрант и изразът f(x)dx–интегрант , променлива x –интеграционна променлива , термин C -интеграционна константа .
Интеграцията е обратното на диференциацията. За да проверите дали интегрирането е правилно, е достатъчно да диференцирате резултата и да получите подинтегралната функция.
Неопределен интеграл
Множеството от всички първоизводни на дадена функцияf( х) се нарича тянеопределен интеграл и означено :
Където° Се произволна константа.
Свойства на неопределения интеграл.
Въз основа на определението за антипроизводно е лесно да се докаже следнотосвойства на неопределения интеграл
Диференциалът на неопределения интеграл е равен на интегранта
Неопределеният интеграл на диференциала на някаква функция е равен на тази функция плюс произволна константа
Неопределеният интеграл на алгебричната сума на две или повече функции е равен на алгебричната сума на техните интеграли
Константният фактор може да бъде изваден от интегралния знак, тоест ако a=const, тогава
Таблица на простите интеграли.
Учениците записват имената на велики математици и техните постижения в областта на интегралното смятане.
Учениците записват информация за историята на интеграла.
Студентите записват лекцията, използвайки раздавателния материал и обясненията на преподавателя. При доказване свойствата на първоизводните и интегралите използват знания по темата за диференцирането.
Решаване на примери за намиране на неопределен интеграл.
Самостоятелна работа
Опция 1
4. Затвърдяване на изучения материал (12 мин.)
На етапа на фиксиране на изучения материал се предлага играта „Намерете своята сродна душа“. Всички присъстващи са поканени да се разделят на осем подгрупи. На всяка подгрупа се дава карта, на която е изписано „функция“ или „примитив“ и съответната задача, т.е.
Ако думата „функция“ е написана на вашата карта, тогава трябва да използвате таблицата с прости интеграли, за да намерите интеграла на тази функция.
Ако пише "антипроизводна", тогава трябва да намерите самата функция, като използвате операцията за диференциране.
Намерете своята сродна душа на дъската. След това прикрепете отговора си с магнит. След пълен комплект се уверете, че всички съвпадения са правилни. как? Обърнете отговорите с обратната страна, където е образувана ключовата дума "Интеграл" - темата на урока.
Спазвайте инструкциите за правилата на играта.
IKTIB ITA SFU
ЛЕКЦИОНЕН КУРС ПО МАТЕМАТИКА
Глава 5 Интегрално смятане
функции на една променлива
Лекция 21 Първоизводна, неопределен интеграл
План на лекцията
Първопроизводен и неопределен интеграл. Свойства на неопределения интеграл. Интегриране на таблици. Свойство за инвариантност на формулите за интегриране. Подвеждане под знака на диференциала. Промяна на променлива в неопределен интеграл. Интеграция по части. Факторизиране на полиноми. Разлагане на правилни рационални дроби на прости. Интегриране на прости и рационални дроби. Интегриране на тригонометрични функции и някои ирационални изрази.
Концепцията за първоизводна и неопределен интеграл
Какво е интеграл? Вярно ли е, че интеграцията е обратното на диференциацията? Нека отговорим на тези и други въпроси.
Определение 1 . Първоизводна за функция е функция, такава че .
И така, първопроизводната е функция, чиято производна е равна на дадената функция. Имайте предвид, че първоизводната за дадена функция не е еднозначно определена. Например, производната на функция е равна на функцията. Следователно функцията е противопроизводна на функцията . Но в крайна сметка производната на функция също е равна на функцията. Следователно функцията също е първоизводна за функцията , както и функцията , където е произволна константа.
Теорема 1 . (Обща формапървоизводни за дадена функция) Нека функцията е първоизводна за функцията . Тогава всяка първоизводна на функцията се представя като , където е произволна константа. И обратното, тъй като всяка функция е антипроизводна за функцията .
Доказателство
. Втората част от теоремата е очевидна, тъй като е очевидно, че . Сега е достатъчно да докажем, че ако производните на две функции са равни, тогава тези функции се различават с константа. Всъщност е достатъчно да се докаже, че ако производната на функция (разликата на споменатите функции) е равна на 0, то това е производна на константа. Но това е вярно. Вземете произволни две точки. Разликата между стойностите на функцията в тези точки, съгласно формулата за крайно нарастване на Лагранж, е равна на производната в някаква междинна точка, умножена по разликата на аргументите ( 
). Но в края на краищата производната е навсякъде равна на 0, следователно нарастването на функцията винаги е равно на 0, т.е. функцията е равна на константа. Теоремата е доказана.
Определение 2 . Множеството от всички първоизводни за дадена функция се нарича неопределен интеграл на функцията и се обозначава със символа .
Така че, наистина, да се изчисли неопределен интеграл означава извършване на действие, което е обратното на изчисляване на производна. Освен това, като се вземе предвид теорема 1, формулата за изчисляване на неопределения интеграл е валидна 
, (1)
където е една от антипроизводните за функцията, наречена под синтегрална функция.
Вече знаем, че производната на функция има много приложения. Речта в приложенията, разбира се, е за стойността на производните в отделни точки, тоест за числата. Обърнете внимание, че неопределеният интеграл е колекция от функции. Следователно прякото приложение на неопределения интеграл е много ограничено. В приложенията има и други видове интеграли, където резултатът е число, а технически изчислението се свежда до намиране на функцията на първообразната. Ето защо е много важно да се научите как да изчислявате неопределения интеграл.
1. От какви функции можете да изчислите
неопределен интеграл
Знаем, че е възможно да се изчисли производната на всяка елементарна функция, като се използва таблицата с производни на основните елементарни функции и правилата за изчисляване на производни (производна на сбора, разликата, произведението, частното, сложна функция).
От тук можете да напишете таблица с антипроизводни, като прочетете таблицата с производни "от дясно на ляво". Също така е възможно да се формулират правила, съответстващи на правилата за изчисляване на производната. При сумата, разликата, представянето на числово множество правилата за диференциране и интегриране са идентични. Но с произведението, частното и изчисляването на производната на сложна функция ситуацията е по-сложна. В края на краищата, производната на, да речем, продукт не е равна на „продукта на производните“. Следователно таблицата на първоизводните и правилата за изчисляване на първоизводните не позволяват да се намери първоизводната на която и да е елементарна функция. Има така наречените "невзети" интеграли на елементарни функции. Например, изглежда, че прост интеграл не може да бъде изчислен според нашето разбиране, защото сред елементарните функции няма функция, чиято производна е равна на . противопроизводно за непрекъсната функциявинаги съществува, но в случая не е сред елементарните. Такива функции се наричат специални. Много от тях са необходими в приложенията и се изучават отделно.
Така че, за разлика от изчисляването на производната на функция, не е необходимо да можем да изчислим неопределения интеграл на която и да е елементарна функция. Ще изучаваме някои видове елементарни функции, от които трябва да се научим да изчисляваме неопределени интеграли.
Таблица на простите неопределени интеграли
Нека си припомним таблицата с производни на основните елементарни функции:
| 1) | 2) | 3) | 4)  |
| 5) | 6)  | 7) | 8)  |
9)  | 10)  | 11)  | 12)  |
По много начини той генерира таблица от най-простите неопределени интеграли. Тук има и други интеграли. Всички те могат лесно да бъдат проверени чрез изчисляване на производната на дясната страна.
| 1) | 2) | 3)  |
| 4) | 5)  | 6)  |
7)  | 8)  | 9)  |
10)  | 11)  | 12)  |
13)  | 14)  | 15)  |
| | | следваща лекция ==> | |
| | |
Зареждане...
