Основни свойства на неопределения интеграл. Интеграли за манекени: как се решава, правила за изчисление, обяснение. Производна на неопределен интеграл с интегранд

Тези свойства се използват за извършване на трансформации на интеграла, за да се доведе до един от елементарните интеграли и по-нататъшно изчисление.

1. Производната на неопределения интеграл е равна на интегранта:

2. Диференциалът на неопределения интеграл е равен на интегранта:

3. Неопределеният интеграл на диференциала на някаква функция е равен на сумата от тази функция и произволна константа:

4. От интегралния знак може да се извади постоянен фактор:

Освен това a ≠ 0

5. Интегралът на сбора (разликата) е равен на сбора (разликата) на интегралите:

6. Имотът е комбинация от имоти 4 и 5:

Освен това, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Свойството за инвариантност на неопределения интеграл:

Ако , тогава

8. Имот:

Ако , тогава

Всъщност този имот е специален случайинтеграция с помощта на метода за промяна на променливата, който се обсъжда по-подробно в следващия раздел.

Помислете за пример:

Първо приложихме свойство 5, след това свойство 4, след това използвахме таблицата с антипроизводни и получихме резултата.

Алгоритъмът на нашия онлайн интегрален калкулатор поддържа всички свойства, изброени по-горе, и може лесно да се намери подробно решениеза вашия интеграл.

Решаването на интеграли е лесна задача, но само за елита. Тази статия е за тези, които искат да се научат да разбират интегралите, но знаят малко или нищо за тях. Интеграл... Защо е необходим? Как да го изчислим? Какво представляват определени и неопределени интеграли?

Ако единственото приложение на интеграла, което знаете, е да вземете нещо полезно от труднодостъпни места с кука във формата на интегрална икона, тогава добре дошли! Научете как да решавате прости и други интеграли и защо не можете без това в математиката.

Ние изучаваме концепцията « интегрална »

Интеграцията вече беше известна в Древен Египет. Разбира се, не в модерна форма, но все пак. Оттогава математиците са написали много книги по темата. Особено отличен Нютон И Лайбниц но същността на нещата не се е променила.

Как да разберем интегралите от нулата? Няма начин! За да разберете тази тема, все пак ще ви трябват основни познания за основите. математически анализ. Информация за граници и производни, необходими за разбиране на интегралите, вече имаме в нашия блог.

Неопределен интеграл

Нека имаме някаква функция f(x) .

Неопределеният интеграл на функцията f(x) се нарича такава функция F(x) , чиято производна е равна на функцията f(x) .

С други думи, интегралът е обратна производна или антипроизводна. Между другото, прочетете нашата статия за това как да изчислявате производни.

Примитивното съществува за всички непрекъснати функции. Също така към антипроизводното често се добавя постоянен знак, тъй като производните на функции, които се различават по константа, съвпадат. Процесът на намиране на интеграл се нарича интегриране.

Прост пример:

За да не се изчисляват постоянно антипроизводните на елементарни функции, е удобно да ги поставите в таблица и да използвате готови стойности.

Пълна таблица на интегралите за ученици

Определен интеграл

Когато се занимаваме с концепцията за интеграл, имаме работа с безкрайно малки количества. Интегралът ще помогне да се изчисли площта на фигурата, масата на нехомогенно тяло, преминало през неравномерно движениепът и др. Трябва да се помни, че интегралът е сумата от безкрайното Голям бройбезкрайно малки термини.

Като пример, представете си графика на някаква функция.

Как да намерим площта на фигура, ограничена от графика на функция? С помощта на интеграл! Нека разделим криволинейния трапец, ограничен от координатните оси и графиката на функцията, на безкрайно малки сегменти. Така фигурата ще бъде разделена на тънки колони. Сумата от площите на колоните ще бъде площта на трапеца. Но не забравяйте, че такова изчисление ще даде приблизителен резултат. Въпреки това, колкото по-малки и по-тесни са сегментите, толкова по-точно ще бъде изчислението. Ако ги намалим до такава степен, че дължината клони към нула, тогава сумата от площите на сегментите ще клони към площта на фигурата. Това е определеният интеграл, който се записва по следния начин:

Точките a и b се наричат граници на интегриране.

« Интеграл »

Между другото! За нашите читатели вече има 10% отстъпка от всякакъв вид работа

Правила за изчисляване на интеграли за манекени

Свойства на неопределения интеграл

Как да решим неопределен интеграл? Тук ще разгледаме свойствата на неопределения интеграл, които ще бъдат полезни при решаването на примери.

Производната на интеграла е равна на интеграла:

Константата може да бъде извадена от знака за интеграл:

Интегралът от сбора е равен на сбора от интегралите. Също вярно за разликата:

Свойства на определения интеграл

Линейност:

Знакът на интеграла се променя, ако границите на интегриране са обърнати:

При всякаквиточки а, bИ с:

Вече разбрахме, че определеният интеграл е границата на сумата. Но как да получите конкретно значениепри решаване на пример? За това има формулата на Нютон-Лайбниц:

Примери за решаване на интеграли

По-долу разглеждаме неопределения интеграл и примери с решения. Предлагаме ви самостоятелно да разберете тънкостите на решението и ако нещо не е ясно, задавайте въпроси в коментарите.

За затвърждаване на материала гледайте видео как се решават на практика интеграли. Не се отчайвайте, ако интегралът не бъде даден веднага. Свържете се с професионален студентски сервиз и всяка тройна или криволинейни интегралина затворена повърхност ще бъде по силите ви.

Първопроизводна функция и неопределен интеграл

Факт 1. Интегрирането е обратното на диференцирането, а именно възстановяването на функция от известната производна на тази функция. Възстановената по този начин функция Е(х) е наречен примитивенза функция f(х).

Определение 1. Функция Е(х f(х) на някакъв интервал х, ако за всички стойности хот този интервал равенството Е "(х)=f(х), тоест тази функция f(х) е производната на антипроизводната функция Е(х). .

Например функцията Е(х) = грях х е първоизводната за функцията f(х) = cos х на цялата числова линия, тъй като за всяка стойност на x (грях х)" = (cos х) .

Определение 2. Неопределен интеграл на функция f(х) е колекцията от всички негови антипроизводни. Това използва нотацията

∫

f(х)dx

къде е табелата ∫ се нарича интегрален знак, функцията f(х) е интегрант и f(х)dx е интегрантът.

По този начин, ако Е(х) е някакво антипроизводно за f(х) , Че

∫

f(х)dx = Е(х) +° С

Където ° С - произволна константа (константа).

Да разбере смисъла на множеството антипроизводни функциикато неопределен интеграл е подходяща следната аналогия. Нека има врата (традиционна дървена врата). Функцията му е "да бъде врата". От какво е направена вратата? От дърво. Това означава, че наборът от антипроизводни на интегранта "да бъде врата", тоест неговият неопределен интеграл, е функцията "да бъде дърво + C", където C е константа, която в този контекст може да означава, за например дървесен вид. Точно както една врата е направена от дърво с някои инструменти, производната на функция е "направена" от антипроизводната функция с формула, която научихме чрез изучаване на производната .

Тогава таблицата на функциите на общите обекти и съответните им примитиви („да бъде врата“ – „да бъде дърво“, „да бъде лъжица“ – „да бъде метал“ и т.н.) е подобна на таблицата на основни неопределени интеграли, които ще бъдат дадени по-долу. Таблицата с неопределени интеграли изброява общи функции, като посочва антипроизводните, от които тези функции са "направени". Като част от задачите за намиране на неопределен интеграл са дадени такива интегранти, които могат да бъдат интегрирани директно без специални усилия, тоест според таблицата на неопределените интеграли. При по-сложни задачи интегралната функция трябва първо да се трансформира, за да могат да се използват таблични интеграли.

Факт 2. Възстановявайки функция като антипроизводна, трябва да вземем предвид произволна константа (константа) ° С, и за да не пишете списък от антипроизводни с различни константи от 1 до безкрайност, трябва да запишете набор от антипроизводни с произволна константа ° С, така: 5 х³+C. И така, произволна константа (константа) е включена в израза на антипроизводното, тъй като антипроизводното може да бъде функция, например 5 х³+4 или 5 х³+3 и при диференциране на 4 или 3 или друга константа изчезва.

Поставяме задачата за интегриране: за дадена функция f(х) намери такава функция Е(х), чиято производнае равно на f(х).

Пример 1Намерете множеството от първоизводни на функция

Решение. За тази функция антипроизводната е функцията

функция Е(х) се нарича първоизводна за функцията f(х), ако производната Е(х) е равно на f(х), или, което е същото нещо, диференциала Е(х) е равно на f(х) dx, т.е.

(2)

Следователно функцията е противопроизводна на функцията . Това обаче не е единственото антипроизводно на . Те също са функции

Където СЪСе произволна константа. Това може да се провери чрез диференциране.

По този начин, ако има една първоизводна за функция, тогава за нея има безкраен набор от първоизводни, които се различават с постоянно събираемо. Всички първоизводни за функция се записват в горната форма. Това следва от следната теорема.

Теорема (официално изложение на факт 2).Ако Е(х) е първоизводната за функцията f(х) на някакъв интервал х, след това всяка друга антипроизводна за f(х) на същия интервал могат да бъдат представени като Е(х) + ° С, Където СЪСе произволна константа.

В следващия пример вече се обръщаме към таблицата с интеграли, която ще бъде дадена в параграф 3, след свойствата на неопределения интеграл. Правим това, преди да се запознаем с цялата таблица, за да е ясна същността на горното. И след таблицата и свойствата ще ги използваме изцяло при интегрирането.

Пример 2Намерете набори от антипроизводни:

Решение. Намираме набори от антипроизводни функции, от които тези функции са "направени". Когато споменавате формули от таблицата на интегралите, засега просто приемете, че има такива формули и ще изучим изцяло таблицата на неопределените интеграли малко по-нататък.

1) Прилагайки формула (7) от таблицата на интегралите за н= 3, получаваме

2) Използвайки формула (10) от таблицата на интегралите за н= 1/3, имаме

3) Тъй като

тогава съгласно формула (7) при н= -1/4 намерете

Под знака за интеграл те не записват самата функция f, и неговото произведение от диференциала dx. Това се прави основно, за да се посочи коя променлива се търси антипроизводната. Например,

, ;

тук и в двата случая подинтегралната функция е равна на , но нейните неопределени интеграли в разглежданите случаи се оказват различни. В първия случай тази функция се разглежда като функция на променлива х, а във втория - като функция на z .

Процесът на намиране на неопределен интеграл на функция се нарича интегриране на тази функция.

Геометричният смисъл на неопределения интеграл

Нека се изисква да се намери крива y=F(x)и вече знаем, че тангенсът на наклона на допирателната във всяка от нейните точки е дадена функция f(x)абсцисата на тази точка.

Според геометричния смисъл на производната, тангенса на наклона на допирателната в дадена точка на кривата y=F(x)равна на стойността на производната F"(x). И така, трябва да намерим такава функция F(x), за което F"(x)=f(x). Задължителна функция в задачата F(x)се извлича от f(x). Условието на задачата се изпълнява не от една крива, а от семейство криви. y=F(x)- една от тези криви и всяка друга крива може да бъде получена от нея чрез паралелно преместване по оста Ой.

Нека наречем графиката на първоизводната функция на f(x)интегрална крива. Ако F"(x)=f(x), след това графиката на функцията y=F(x)е интегрална крива.

Факт 3. Неопределеният интеграл е геометрично представен от семейството на всички интегрални криви като на снимката по-долу. Разстоянието на всяка крива от началото се определя от произволна константа (константа) на интегриране ° С.

Свойства на неопределения интеграл

Факт 4. Теорема 1. Производната на неопределен интеграл е равна на интегранта, а неговият диференциал е равен на интеграла.

Факт 5. Теорема 2. Неопределеният интеграл на диференциала на функция f(х) е равно на функцията f(х) до постоянен срок , т.е.

(3)

Теореми 1 и 2 показват, че диференцирането и интегрирането са взаимно обратни операции.

Факт 6. Теорема 3. Постоянен множителв интегранта може да бъде изваден от знака на неопределения интеграл , т.е.

Нека функцията г = f(х) е дефинирана на интервала [ а, b ], а < b. Нека извършим следните операции:

1) разделяне [ а, b] точки а = х 0 < х 1 < ... < х аз- 1 < х аз < ... < х н = b На нчастични сегменти [ х 0 , х 1 ], [х 1 , х 2 ], ..., [х аз- 1 , х аз ], ..., [х н- 1 , х н ];

2) във всеки от частичните сегменти [ х аз- 1 , х аз ], аз = 1, 2, ... н, изберете произволна точка и изчислете стойността на функцията в тази точка: f(z i ) ;

3) намиране на произведения f(z i ) · Δ х аз , където е дължината на частичния сегмент [ х аз- 1 , х аз ], аз = 1, 2, ... н;

4) композирам интегрална сумафункции г = f(х) на сегмента [ а, b ]:

От геометрична гледна точка тази сума σ е сумата от площите на правоъгълници, чиито основи са частични сегменти [ х 0 , х 1 ], [х 1 , х 2 ], ..., [х аз- 1 , х аз ], ..., [х н- 1 , х н ], а височините са f(z 1 ) , f(z 2 ), ..., f(z n) съответно (фиг. 1). Означаваме с λ дължина на най-големия частичен сегмент:

5) намерете границата на интегралната сума, когато λ → 0.

Определение.Ако има крайна граница на интегралната сума (1) и тя не зависи от метода на разделяне на сегмента [ а, b] на частични сегменти, нито от избора на точки z iв тях, тогава тази граница се нарича определен интегралот функция г = f(х) на сегмента [ а, b] и означ

По този начин,

В този случай функцията f(х) е наречен интегрируемиНа [ а, b]. Числа аИ bсе наричат съответно долна и горна граница на интегриране, f(х) е интегралната функция, f(х ) dx- интегрант, х– интеграционна променлива; сегмент [ а, b] се нарича интервал на интегриране.

Теорема 1.Ако функцията г = f(х) е непрекъснат на отсечката [ а, b], тогава той е интегрируем на този интервал.

Определеният интеграл със същите граници на интегриране е равен на нула:

Ако а > b, тогава по дефиниция задаваме

2. Геометричният смисъл на определен интеграл

Нека на интервала [ а, b] непрекъсната неотрицателна функция г = f(х ) . Криволинеен трапецсе нарича фигура, ограничена отгоре от графиката на функция г = f(х), отдолу - по оста Ох, отляво и отдясно - с прави линии х = аИ x = b(фиг. 2).

Определен интеграл на неотрицателна функция г = f(х) от геометрична гледна точка равна на площ криволинеен трапец, ограничена отгоре от графиката на функцията г = f(х) , отляво и отдясно - по отсечки х = аИ x = b, отдолу - с отсечка от оста Ox.

3. Основни свойства на определен интеграл

1. Стойността на определения интеграл не зависи от записа на интегралната променлива:

2. Константен фактор може да бъде изваден от знака на определен интеграл:

3. Определеният интеграл на алгебричната сума на две функции е равен на алгебричната сума определени интегралиот тези функции:

4.if функция г = f(х) е интегрируем на [ а, b] И а < b < ° С, Че

5. (теорема за средната стойност). Ако функцията г = f(х) е непрекъснат на отсечката [ а, b], тогава на този сегмент съществува такава точка, че

4. Формула на Нютон–Лайбниц

Теорема 2.Ако функцията г = f(х) е непрекъснат на отсечката [ а, b] И Е(х) е който и да е от неговите антипроизводни в този сегмент, тогава следната формула е вярна:

което се нарича Формула на Нютон-Лайбниц.Разлика Е(b) - Е(а) се записва по следния начин:

където символът се нарича двоен заместващ знак.

Така формула (2) може да се запише като:

Пример 1Изчислете интеграл

Решение. За интегранта f(х ) = х 2 произволна първоизводна има формата

Тъй като всяка първоизводна може да се използва във формулата на Нютон-Лайбниц, за изчисляване на интеграла вземаме първоизводната, която има най-простата форма:

5. Замяна на променлива в определен интеграл

Теорема 3.Нека функцията г = f(х) е непрекъснат на отсечката [ а, b]. Ако:

1) функция х = φ ( T) и неговата производна φ "( T) са непрекъснати за ;

2) набор от стойности на функцията х = φ ( T) за е отсечката [ а, b ];

3) φ ( а) = а, φ ( b) = b, след това формулата

което се нарича промяна на формулата на променливата в определен интеграл .

За разлика от неопределения интеграл, в този случай не е задължителноза да се върнете към първоначалната променлива за интегриране - достатъчно е просто да намерите нови граници на интегриране α и β (за това е необходимо да се реши за променливата Tуравнения φ ( T) = аи φ ( T) = b).

Вместо замяна х = φ ( T) можете да използвате замяната T = ж(х) . В този случай намиране на нови граници на интегриране по отношение на променливата Tопростява: α = ж(а) , β = ж(b) .

Пример 2. Изчислете интеграл

Решение. Нека въведем нова променлива според формулата. Поставяйки на квадрат двете страни на уравнението, получаваме 1 + x= T 2 , където x= T 2 - 1, dx = (T 2 - 1)"дт= 2tdt. Откриваме нови граници на интеграция. За да направим това, заместваме старите граници във формулата x= 3 и x= 8. Получаваме: , откъде T= 2 и α = 2; , където T= 3 и β = 3. И така,

Пример 3Изчисли

Решение. Позволявам u=вн х, Тогава , v = х. По формула (4)

Първопроизводен и неопределен интеграл.

Производна функция f(x) на интервала (a; b) е такава функция F(x), че равенството е в сила за всеки x от даден интервал.

Ако вземем предвид факта, че производната на константата C е равна на нула, тогава равенството . По този начин функцията f(x) има набор от първоизводни F(x)+C за произволна константа C и тези антипроизводни се различават една от друга с произволна постоянна стойност.

Цялото множество от първоизводни на функцията f(x) се нарича неопределен интеграл на тази функция и се обозначава .

Изразът се нарича интегранд, а f(x) се нарича интегранд. Интегралната функция е диференциалът на функцията f(x).

Действието за намиране на неизвестна функция по нейния даден диференциал се нарича неопределена интеграция, защото резултатът от интегрирането не е една функция F(x), а множеството от нейните първоизводни F(x)+C.

Таблични интеграли

Най-простите свойства на интегралите

1. Производната на резултата от интегрирането е равна на интегралната функция.

2. Неопределеният интеграл на диференциала на функция е равен на сумата от самата функция и произволна константа.

3. Коефициентът може да бъде изваден от знака на неопределения интеграл.

4. Неопределеният интеграл на сбора/разликата на функциите е равен на сбора/разликата на неопределените интеграли на функциите.

За пояснение са дадени междинни равенства на първо и второ свойство на неопределения интеграл.

За доказване на третото и четвъртото свойство е достатъчно да се намерят производните на десните части на равенствата:

Тези производни са равни на интеграндите, което е доказателството по силата на първото свойство. Използва се и при последните преходи.

По този начин проблемът с интеграцията е обратен на проблема с диференциацията и между тези проблеми има много тясна връзка:

първото свойство позволява проверка на интеграцията. За да проверите правилността на извършеното интегриране, е достатъчно да изчислите производната на получения резултат. Ако функцията, получена в резултат на диференциране, се окаже равна на интегранта, това ще означава, че интегрирането е извършено правилно;

второто свойство на неопределения интеграл ни позволява да намерим неговата първоизводна от известния диференциал на функция. Прякото изчисляване на неопределени интеграли се основава на това свойство.

1.4 Инвариантност на интеграционните форми.

Инвариантното интегриране е вид интегриране за функции, чиито аргументи са елементи от група или точки от хомогенно пространство (всяка точка от такова пространство може да бъде прехвърлена в друга чрез дадено действие на групата).

функция f(x) се свежда до изчисляване на интеграла на диференциалната форма f.w, където

По-долу е дадена ясна формула за r(x). Условието на споразумението има формата .

тук Tg означава оператора за смяна на X с помощта на gOG: Tgf(x)=f(g-1x). Нека X=G е топология, група, действаща върху себе си чрез леви смени. Аз и. съществува тогава и само ако G е локално компактен (по-специално, върху безкрайномерни групи, int. не съществува). За подмножество от I. и. характеристичната функция cA (равна на 1 в A и 0 извън A) определя лявата мярка на Хаар m(A). Определящото свойство на тази мярка е нейната инвариантност при леви отмествания: m(g-1A)=m(A) за всички gОG. Лявата мярка на Хаар в група е уникално дефинирана до зададен скаларен фактор. Ако мярката на Хаар m е известна, тогава I. и. функция f е дадена с формулата . Правилната мярка на Хаар има подобни свойства. Съществува непрекъснат хомоморфизъм (преобразуване, което запазва груповото свойство) DG на групата G в групата (по отношение на умножението) put. числа, за които

където dmr и dmi са дясната и лявата мярка на Хаар. Извиква се функцията DG(g). модул на групата G. Ако , тогава групата G се нарича. едномодулен; в този случай дясната и лявата мярка на Хаар са еднакви. Компактни, полупрости и нилпотентни (в частност, комутативни) групи са унимодуларни. Ако G е n-мерна група на Ли и q1,...,qn е база в пространството на лявоинвариантните 1-форми на G, тогава лявата мярка на Хаар на G е дадена от n-формата. В местни координати за изчисление

форми qi, можете да използвате всяка матрична реализация на групата G: матричната 1-форма g-1dg е ляво-инвариантна и нейният коеф. са ляво-инвариантни скаларни 1-форми, от които се избира желаната база. Например пълната матрична група GL(n, R) е унимодуларна и мярката на Хаар върху нея е дадена от форма. Позволявам X=G/H е хомогенно пространство, за което локално компактната група G е трансформационна група, а затворената подгрупа H е стабилизатор на някаква точка. За да съществува I.I. върху X е необходимо и достатъчно за всички hОH да е изпълнено равенството DG(h)=DH(h). По-специално, това е вярно, когато H е компактно или полупросто. Пълна теория на I. и. не съществува на безкрайномерни многообразия.

Промяна на променливите.