Частни случаи на топлинното уравнение. Проблеми на топлопроводимостта в различни координатни системи. Декартова координатна система. Топлинно уравнение в правоъгълна координатна система

страница 4

. (2.24)

Уравнение (2.24) се нарича диференциално топлинно уравнение (или диференциално уравнение на Фурие) за триизмерно нестационарно температурно поле в отсъствието на вътрешни източници на топлина. Той е основен при изучаването на нагряването и охлаждането на телата в процеса на топлообмен чрез топлопроводимост и установява връзка между времеви и пространствени температурни промени във всяка точка на полето. Отоларингология лазерно приложение на лазери.

Коефициентът на топлопроводимост е физичен параметър на веществото и има единицата m2/s. При нестационарни топлинни процеси a характеризира скоростта на изменение на температурата.

От уравнение (2.24) следва, че промяната на температурата във времето за всяка точка от тялото е пропорционална на стойността на a. Следователно при същите условия температурата на тялото, което има по-голям коефициент на топлопроводимост, се повишава по-бързо.

Диференциалното уравнение на топлопроводимостта с източник на топлина вътре в тялото има формата:

, (2.25)

където qV е специфичната мощност на източника, т.е. количеството топлина, отделена на единица обем от веществото за единица време.

Това уравнение е написано в Декартови координати. В други координати операторът на Лаплас има различна форма, така че формата на уравнението също се променя. Например в цилиндрични координатидиференциалното уравнение за топлопроводимост с вътрешен източник на топлина е:

, (2.26)

където r е радиус-векторът в цилиндрична координатна система;

полярен ъгъл.

2.5 Гранични условия

Полученото диференциално уравнение на Фурие описва явленията на пренос на топлина чрез топлопроводимост в общ изглед. За да се приложи в конкретен случай е необходимо да се знае разпределението на температурата в тялото или началните условия. Освен това трябва да се знае следното:

геометричната форма и размерите на тялото,

физически параметри на околната среда и тялото,

· гранични условия, характеризиращи разпределението на температурите върху повърхността на тялото или взаимодействието на изследваното тяло с околната среда.

Всички тези специфични характеристики заедно с диференциалното уравнение дават Пълно описаниеспецифичен процес на топлопроводимост и се наричат ​​условия на уникалност или гранични условия.

Обикновено началните условия за разпределението на температурата се дават за времето t = 0.

Граничните условия могат да бъдат определени по три начина.

Граничното условие от първи род се определя от разпределението на температурата върху повърхността на тялото за всеки момент от време.

Граничното условие от втория вид се дава от повърхностната плътност на топлинния поток във всяка точка от повърхността на тялото за всеки момент от време.

Граничното условие от третия вид се определя от температурата на средата, заобикаляща тялото, и закона за пренос на топлина между повърхността на тялото и околната среда.

Решение диференциално уравнениетоплопроводимостта при определени условия на уникалност ви позволява да определите температурното поле в целия обем на тялото за всеки момент от време или да намерите функцията .

2.6 Топлопроводимост през сферична стена

Като се има предвид терминологията, описана в раздели 2.1 - 2.5, задачата на това срочна писмена работаможе да се формулира така. През сферичната стена се насочва постоянен топлинен поток, а източникът на топлина е вътрешната сфера с радиус R1. Мощността на източника P е постоянна. Средата между граничните сфери е изотропна, така че нейната топлопроводимост c е функция на една променлива - разстоянието от центъра на сферите (радиус) r. Според задачата . В резултат температурата на средата и в този случай е функция на една променлива - радиуса r: T = T(r), а изотермичните повърхности са концентрични сфери. Така желаното температурно поле е стационарно и едномерно, а граничните условия са условия от първи вид: T(R1) = T1, T(R2) = T2.

От едномерността на температурното поле следва, че плътността на топлинния поток j, както и топлопроводимостта и температурата, в този случай са функции на една променлива - радиуса r. Неизвестните функции j(r) и T(r) могат да бъдат определени по един от двата начина: или да се реши диференциалното уравнение на Фурие (2.25), или да се използва законът на Фурие (2.11). В тази работа е избран вторият метод. Законът на Фурие за изследваното едномерно сферично симетрично температурно поле има вида:1 4

1. Диференциално топлинно уравнение без вътрешни източници на топлина ( = 0) :

2. Диференциално топлинно уравнение без вътрешни източници на топлина в цилиндрични координати.

В цилиндрични координати, където rе радиус векторът, е полярният ъгъл, уравнението ще изглежда така

Условия за уникалност на процесите на топлопроводимост. Диференциалното уравнение на топлопроводимостта описва не един, а цял клас явления на топлопроводимост. За да се получи аналитично описание на конкретен процес, е необходимо да се посочат неговите особености, които заедно с диференциалното уравнение дават пълно математическо описание на конкретен процес на топлопроводимост и се наричат ​​условия на уникалност или гранични условия.

Условията за уникалност включват:

Геометрични условия, характеризиращи формата и размерите на тялото, в което протича процесът;

Физически условия, характеризиращи физичните свойства на средата и тялото;

Времеви или начални условия, характеризиращи разпределението на температурата в тялото в началния момент от време;

Гранични условия, характеризиращи условията на взаимодействие между разглежданото тяло и околната среда.

Граничните условия могат да бъдат определени по няколко начина.

Граничните условия от първия вид определят разпределението на температурата върху повърхността на тялото за всеки момент от време:

Граничните условия от втория вид определят стойностите на топлинния поток за всяка точка от повърхността на тялото и всеки момент от време:

Граничните условия от третия вид се дават от температурата заобикаляща средаи законът за пренос на топлина между тялото и околната среда, който се използва като закон за пренос на топлина (уравнение на Нютон-Рихман):

Съгласно този закон, плътността на топлинния поток на повърхността

тялото е пропорционална на температурната разлика между повърхността на стената и околната среда. Коефициентът на пропорционалност в това уравнение се нарича коефициент на топлопреминаване и се означава с a, [W / (m 2 × K)]. Той характеризира интензивността на топлообмена между повърхността на тялото и околната среда.

От друга страна, същата плътност на топлинния поток може да се намери от уравнението:

където индексът "c" показва, че температурният градиент се изчислява на повърхността на тялото. Получаваме аналитичен израз за граничните условия от трети вид:

Граничните условия от четвъртия вид разглеждат случая, когато две или повече тела са в тесен контакт едно с друго. В този случай топлинният поток, преминал през повърхността на едно тяло, ще премине и през повърхността на друго тяло (няма топлинни загуби в контактната точка).

Лекция 2. Раздел 2. Топлопроводимост в стационарен режим

Разпространение на топлина чрез топлопроводимост в плоски и цилиндрични стени в стационарен режим (Гранични условия от първи род)

Хомогенна еднослойна плоска стена. Нека разгледаме разпространението на топлина чрез топлопроводимост в хомогенна еднослойна плоска стена с дебелина 8 с нейната неограничена ширина и дължина.

ос хнасочете го перпендикулярно на стената (фиг. 7.4). На двете повърхности на стената както по посока на оста y,както и по посока на оста Жпоради равномерното подаване и отвеждане на топлина, температурите се разпределят равномерно.

Тъй като стената по посока на тези оси има безкрайно големи размери, съответните температурни градиенти W / yu \u003d (k / (k= = 0 и по този начин няма влияние върху процеса на топлопроводимост на крайните повърхности на стената. При тези опростени условия стационарното температурно поле е функция само на координатата Х,тези. разглежда се едномерен проблем. Приложено към този случай, диференциалното уравнение на топлопроводимостта ще приеме формата (at d^dh = 0)

Дадени са гранични условия от първи вид:

Ориз. 7.4.

Да намерим уравнението на температурното поле и да определим топлинния поток Ф, преминаващ през сечението на стената с площ А(на фиг. 1лстената не е посочена, тъй като е разположена в равнина, перпендикулярна на равнината на фигурата). Първата интеграция дава

тези. температурният градиент е постоянен по цялата дебелина на стената.

След второто интегриране получаваме желаното уравнение на температурното поле

Където АИ б -интеграционни константи.

Така следва промяната на температурата по дебелината на стената линеен закон, а изотермичните повърхности са равнини, успоредни на лицата на стените.

За да определим произволни константи на интегриране, използваме граничните условия:

защото? > ? CT2 , след това проекцията на градиента върху оста хтолкова отрицателен, колкото

това трябваше да се очаква за избраната посока на оста, съвпадаща с посоката на вектора на плътността на повърхностния топлинен поток.

Замествайки стойността на константите в (7.24), получаваме крайния израз за нулевата температура

Линия а-бна фиг. 7.4, т.нар температурна крива, показва промяната в температурата спрямо дебелината на стената.

Познавайки температурния градиент, е възможно, използвайки уравнението на Фурие (7.10), да се намери количеството топлина 8 (), преминаващо през елемента с повърхностна площ?? 4, перпендикулярно на оста T.

и за повърхностна площ А

Формула (7.28) за топлинния поток и повърхностната плътност на топлинния поток приема формата

Помислете за разпространението на топлина чрез топлопроводимост в многослойна плоска стена, състояща се от няколко (например три) близко съседни слоя (виж фиг. 7.5).

Ориз. 7.5.

Очевидно, в случай на стационарно температурно поле, топлинният поток, преминаващ през повърхностите на същата област а,ще бъде еднакъв за всички слоеве. Следователно уравнение (7.29) може да се използва за всеки от слоевете.

За първия слой

за втория и третия слой

Където X 2, A 3 - топлопроводимост на слоевете; 8 1? 8 2 , 8 3 - дебелина на слоя.

На външните граници на трислойната стена температурите, считани за известни ли са? St1 и? ST4. Температурите са зададени по интерфейсите на слоевете? ST2 И? STZ, които се считат за неизвестни. Уравнения (7.31) - (7.33) ще бъдат решени по отношение на температурните разлики:

и след това добавете термин по термин и по този начин елиминирайте неизвестните междинни температури:

Обобщавайки (7.36) за стена на z-слой, получаваме

За определяне на междинни температури? ST2, ? STz върху равнините на разделяне на слоевете, използваме формулите (7.34):

Накрая, обобщавайки извода за стена на u-слой, получаваме формула за температурата на границата на i-тия и (r + 1)-ия слой:

Понякога те използват концепцията за еквивалентна топлопроводимост R еквив. За повърхностната плътност на топлинния поток, преминаващ през плоска многослойна стена,

където е общата дебелина на всички слоеве на многослойната стена. Сравнявайки изразите (7.37) и (7.40), заключаваме, че

На фиг. 7.5 под формата на прекъсната линия показва графика на температурните промени по дебелината на многослойна стена. В рамките на слоя, както беше доказано по-горе, промяната на температурата следва линеен закон. Тангентата на наклона cp, температурната права линия към хоризонталата

тези. равна на абсолютната стойност на температурния градиент ^1 "ac1 Така според наклона на правите линии ab, bcи със

следователно

тези. температурните градиенти за отделните слоеве на многослойна плоска стена са обратно пропорционални на топлопроводимостта на тези слоеве.

Това означава, че за да се получат големи температурни градиенти (което се изисква например при изолиране на паропроводи и др.), Необходими са материали с ниски стойности на топлопроводимост.

Хомогенна еднослойна цилиндрична стена. Нека намерим за стационарния режим на топлопроводимост температурното поле и повърхностната плътност на топлинния поток за хомогенна еднослойна цилиндрична стена (фиг. 7.6). За да решим проблема, използваме диференциалното уравнение на топлопроводимостта в цилиндрични координати.

Ос 2 ще бъде насочена по оста на тръбата. Да приемем, че дължината на тръбата е безкрайно голяма в сравнение с диаметъра. В този случай можем да пренебрегнем ефекта на краищата на тръбата върху разпределението на температурата по ос 2. Предполагаме, че поради равномерното подаване и отвеждане на топлина, температурата на вътрешната повърхност е навсякъде ST1, а на външната повърхност -? ST2 (гранични условия от първи род). С тези опростявания (k/ = 0, и с оглед на симетрията на температурното поле по отношение на всеки диаметър (d), където Ж- текущ радиус на цилиндричната стена.

Ориз. 7.6.

Диференциалното уравнение на топлопроводимостта (7.19) при условието dt/d m = 0 приема формата

Нека въведем нова променлива

което е температурният градиент (град?).

Заместване на променлива Ив (7.43) получаваме диференциално уравнение от първи ред с разделими променливи

или

Интегрирайки, получаваме

За цилиндрична стена температурният градиент е променлива, която нараства с намаляване на радиуса Ж.Следователно температурният градиент на вътрешната повърхност е по-голям, отколкото на външната.

Заместваща стойност Иот (7.44) до (7.45), получаваме И

Където б- интеграционни константи.

Следователно кривата на разпределение на температурата по дебелината на стената е логаритмична крива (крива а-бна фиг. 7.6).

Нека дефинираме константите АИ б,включени в уравнението на температурното поле, въз основа на граничните условия от първи вид. Означаваме вътрешния радиус на повърхността r x,на открито - g 2 .Означаваме съответните диаметри (1 лИ (1 2 . Тогава имаме система от уравнения

Решавайки тази система от уравнения, получаваме

Уравнението за нулева температура ще приеме формата Температурният градиент се определя по формулата (7.45):

защото? ST1 > ? CT2 , и r, r 2 , тогава проекцията grad? върху радиус вектора има отрицателна стойност.

Последното показва, че в този случай топлинният поток е насочен от центъра към периферията.

За определяне на топлинния поток, преминаващ през участък от цилиндрична повърхност с дължина б,използвайте уравнението

От (7.46) следва, че топлинният поток, преминаващ през цилиндричната повърхност, зависи от съотношението на външния и вътрешния радиус r 2 / g x(или диаметри c1 2 / (1 {), не дебелина на стената.

Плътността на повърхностния топлинен поток за цилиндрична повърхност може да се намери чрез отнасяне на топлинния поток Ф към площта на вътрешната повърхност A vpили към външната повърхност И np.При изчисленията понякога се използва линейната плътност на топлинния поток:

От (7.47)-(7.49) следва

Многослойна цилиндрична стена. Помислете за разпространението на топлина чрез топлопроводимост в трислойна цилиндрична стена (тръба) с дължина А (фиг. 7.7) с вътрешен диаметър c1 xи външен диаметър (1 л.Междинни диаметри на отделните слоеве - c1 2и X2, X3.

Ориз. 7.7.

Известни ли са температурите? ст) вътрешна и температура? CT4 външна повърхност. Определят ли се топлинният поток Ф и температурата? ST2 И? STz на границите на слоя. Нека съставим уравнение от вида (7.46) за всеки слой:

Решавайки (7.51)-(7.53) по отношение на температурните разлики и след това добавяйки член по член, получаваме

От (7.54) имаме изчислителен израз за определяне на топлинния поток за трислойна стена:

Нека обобщим формула (7.55) за стената на тръбата на u-слоя:
Където аз- пореден номер на слоя.

От (7.51)-(7.53) намираме израз за определяне на температурата на границите на междинните слоеве:

температура? Изкуство. +) на границата?-та и (Г+ 1)-ти слой може да се определи по подобна формула

Литературата съдържа решения на диференциалното топлинно уравнение за куха топка при гранични условия от първи род, както и решения за всички разглеждани тела при гранични условия от трети род. Ние не разглеждаме тези въпроси. Въпросите за стационарната топлопроводимост в пръти (ребра) с постоянно и променливо напречно сечение, както и въпросите за нестационарната топлопроводимост, също останаха извън обхвата на нашия курс.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.