Криволинейни интеграли за манекени. Криволинеен интеграл от първи род (по дължината на дъгата). Кривата е дадена в декартови правоъгълни координати

Председател " висша математика»

Криволинейни интеграли

Насоки

Волгоград

UDC 517.373(075)

Рецензент:

Старши преподавател от катедрата по приложна математика Н.И. Колцова

Публикува се по решение на редакционно-издателския съвет

Волгоградски държавен технически университет

Криволинейни интеграли: метод. инструкции / комп. М.И.Андреева,

О.Е. Григориев; ВолгГТУ. - Волгоград, 2011. - 26 с.

Методическите указания са ръководство за изпълнение на самостоятелни задачи по темата „Криволинейни интеграли и техните приложения в теорията на полето“.

Първата част на ръководството съдържа необходимия теоретичен материал за изпълнение на индивидуалните задачи.

Във втората част са разгледани примери за изпълнение на всички видове задачи, включени в отделните задачи по темата, което допринася за по-добра организация. самостоятелна работастуденти и успешно усвояване на темата.

Методическите указания са предназначени за студенти от първи и втори курс.

© Държава Волгоград

Технически университет, 2011

1. КРИВОЛИНЕЕН ИНТЕГРАЛ ОТ 1-ВИ РОД

Дефиниция на криволинеен интеграл от 1-ви род

Нека È AB– дъга от равнинна или пространствена късично-гладка крива Л, f(П) - дадено на тази дъга непрекъсната функция, А 0 = А, А 1 , А 2 , …, A n – 1 , A n = б ABИ Писа произволни точки върху частичните дъги È A i – 1 Ai, чиито дължини D аз (аз = 1, 2, …, н

при н® ¥ и макс. D аз® 0, което не зависи от това как дъгата È ABточки Ai, нито от избора на точки Пина частични дъги È A i – 1 Ai (аз = 1, 2, …, н). Тази граница се нарича криволинеен интеграл от първия вид на функцията f(П) по кривата Ли означено

Изчисляване на криволинеен интеграл от 1-ви род

Изчисляването на криволинейния интеграл от 1-ви вид може да се сведе до изчисляването на определен интеграл за различни начининастройка на интеграционната крива.

Ако дъгата È ABравнинната крива се дава параметрично от уравненията, където х(T) И г(T T, и х(T 1) = х А, х(T 2) = х Б, Че

Където - диференциал на дължината на дъгата на кривата.

Подобна формула има и в случай на параметрична спецификация на пространствена крива Л. Ако дъгата È ABкрив Лдадено от уравненията , и х(T), г(T), z(T) са непрекъснато диференцируеми функции на параметъра T, Че

където е диференциалът на дължината на дъгата на кривата.

V Декартови координати

Ако дъгата È ABплоска крива Лдадено от уравнението Където г(х

и формулата за изчисляване на криволинейния интеграл е:

При посочване на дъга È ABплоска крива Лкато х= х(г), г Î [ г 1 ; г 2 ],
Където х(г) е непрекъснато диференцируема функция,

И криволинейни интегралиизчислено по формулата

(1.4)

Задаване на крива на интегриране с полярно уравнение

Ако плоска крива Лдадено от уравнението в полярна системакоординати r = r(j), j О , където r(j) тогава е непрекъснато диференцируема функция

И

(1.5)

Приложения на криволинейния интеграл от 1-ви род

С помощта на криволинеен интеграл от 1-ви вид се изчисляват: дължината на дъгата на кривата, площта на част от цилиндричната повърхност, масата, статични моменти, моменти на инерция и координати на центъра на тежестта на материална крива с дадена линейна плътност.

1. Дължина лплоска или пространствена крива Лсе намира по формулата

2. Площта на част от цилиндрична повърхност с успоредна ос унцияобразуваща и разположена в равнината XOYръководство Лзатворен между равнината XOYи повърхността, дадена от уравнението z = f(х; г) (f(П) ³ 0 за П Î Л), е равно на

(1.7)

3. Маса мматериална крива Лс линейна плътност m( П) се определя по формулата

(1.8)

4. Статични моменти около осите волИ Ойи координати на центъра на тежестта на крива на плоска материя Лс линейна плътност m( х; г) са съответно равни на:

(1.9)

5. Статични моменти спрямо равнини Окси, Oxz, Ойзи координати на центъра на тежестта на пространствената материална крива с линейна плътност m( х; г; z) се определят по формулите:

(1.11)

6. За плоска материална крива Лс линейна плътност m( х; г) моменти на инерция спрямо осите вол, Ойи съответно началото на координатите са:

(1.13)

7. Инерционни моменти на пространствена материална крива Лс линейна плътност m( х; г; z) спрямо координатните равнини се изчисляват по формулите

(1.14)

а инерционните моменти спрямо координатните оси са:

(1.15)

2. КРИВОЛИНЕЕН ИНТЕГРАЛ ОТ 2-РИ РОД

Дефиниция на криволинеен интеграл от 2-ри род

Нека È ABе дъга от късово-гладка ориентирана крива Л, = (a x(П); a y(П); a z(П)) е непрекъсната векторна функция, А 0 = А, А 1 , А 2 , …, A n – 1 , A n = б– произволно разцепване на дъгата ABИ Писа произволни точки върху частични дъги A i – 1 Ai. Нека е вектор с координати D x i, Д y i, Д z i(аз = 1, 2, …, н), и е скаларното произведение на вектори и ( аз = 1, 2, …, н). Тогава има граница на последователността от интегрални суми

при н® ¥ и max ÷ ç ® 0, което не зависи от това как е разделена дъгата ABточки Ai, нито от избора на точки Пина частични дъги È A i – 1 Ai
(аз = 1, 2, …, н). Тази граница се нарича криволинеен интеграл от 2-ри вид на функцията ( П) по кривата Ли означено

В случай, когато векторната функция е дадена върху равнинна крива Л, по подобен начин имаме:

При промяна на посоката на интегриране криволинейният интеграл от 2-ри род променя знака.

Криволинейните интеграли от първи и втори род са свързани с релацията

(2.2)

където е единичният вектор на допирателната към ориентираната крива.

Използвайки криволинеен интеграл от 2-ри вид, можете да изчислите работата на сила при движение материална точкапо дъгата на крива Л:

Положителна посока около затворена крива С,ограничаващи просто свързан регион Ж, обратно на часовниковата стрелка се счита.

Криволинеен интеграл от 2-ри род върху затворена крива СЪСсе нарича циркулация и се обозначава

(2.4)

Изчисляване на криволинеен интеграл от 2-ри род

Изчисляването на криволинейния интеграл от 2-ри род се свежда до изчисляването на определен интеграл.

Параметрична спецификация на интеграционната крива

Ако È ABориентираната равнинна крива се дава параметрично от уравненията , където х(T) И г(T) са непрекъснато диференцируеми функции на параметъра T, и тогава

Подобна формула има и в случай на параметрична спецификация на пространствено ориентирана крива Л. Ако дъгата È ABкрив Лдадено от уравненията , и са непрекъснато диференцируеми функции на параметъра T, Че

Явна спецификация на плоска интеграционна крива

Ако дъгата È AB Лсе дава в декартови координати чрез уравнението, където г(х) тогава е непрекъснато диференцируема функция

(2.7)

При посочване на дъга È ABплоска ориентирана крива Лкато
х= х(г), г Î [ г 1 ; г 2], където х(г) е непрекъснато диференцируема функция, формулата

(2.8)

Нека функциите са непрекъснати заедно с техните производни

в равна затворена зона Ж, ограничена от частично-гладка затворена самодизюнктна положително ориентирана крива СЪС+ . Тогава формулата на Грийн е валидна:

Позволявам Же повърхностно просто свързана област и

= (a x(П); a y(П); a z(П))

е векторното поле, посочено в този регион. поле ( П) се нарича потенциал, ако съществува такава функция U(П), Какво

(П) = град U(П),

Необходимо и достатъчно условие за потенциалността на векторно поле ( П) изглежда като:

гниене ( П) = , където (2.10)

(2.11)

Ако векторното поле е потенциално, тогава криволинейният интеграл от 2-ри род не зависи от кривата на интегриране, а зависи само от координатите на началото и края на дъгата М 0 М. потенциал U(М) на векторното поле се определя с точност до постоянен член и се намира по формулата

(2.12)

Където М 0 Ме произволна крива, свързваща фиксирана точка М 0 и променлива точка М. За да се опростят изчисленията, прекъснатата линия може да бъде избрана като път на интегриране М 0 М 1 М 2 Мс връзки, успоредни на координатните оси, например:

3. примерни задачи

Упражнение 1

Изчислете криволинейния интеграл от първи род

където L е дъгата на кривата, 0 ≤ х ≤ 1.

Решение.По формула (1.3) редукцията на криволинейния интеграл от първи род до определен интеграл в случай на гладка равнина, изрично дадена крива:

Където г = г(х), х 0 ≤ х ≤ х 1 - уравнение на дъгата Линтеграционна крива. В този пример Намираме производната на тази функция

и диференциала на дължината на дъгата на кривата Л

след това, замествайки в този израз вместо г, получаваме

Преобразуваме криволинейния интеграл в определен:

Изчисляваме този интеграл с помощта на заместването. Тогава
T 2 = 1 + х, х = T 2 – 1, dx = 2t dt; при x= 0 T= 1; А х= 1 съвпадения. След трансформациите получаваме

Задача 2

Да се ​​изчисли криволинеен интеграл от 1-ви род в дъга Лкрив Л:х= cos 3 T, г= грях 3 T, .

Решение.защото Ле дъга от гладка равнинна крива, дадена в параметрична форма, тогава използваме формулата (1.1) за редуциране на криволинейния интеграл от 1-ви род до определен:

.

В този пример

Намерете разликата в дължината на дъгата

Заместваме намерените изрази във формула (1.1) и изчисляваме:

Задача 3

Намерете масата на дъгата на права Лс линейна равнина m.

Решение.Тегло мдъги Лс плътност m( П) се изчислява по формула (1.8)

Това е криволинеен интеграл от 1-ви род върху параметрично зададена гладка дъга на крива в пространството, следователно се изчислява по формулата (1.2) за редуциране на криволинеен интеграл от 1-ви род до определен интеграл:

Да намерим производни

и разлика в дължината на дъгата

Заменяме тези изрази във формулата за масата:

Задача 4

Пример 1Изчислете криволинейния интеграл от 2-ри род

в дъга Лкрива 4 х + г 2 = 4 от точката А(1; 0) до точката б(0; 2).

Решение.плоска дъга Лзададен имплицитно. За изчисляване на интеграла е по-удобно да се изрази хпрез г:

и намерете интеграла по формулата (2.8) от трансформацията на криволинейния интеграл от 2-ри род в определен интеграл по отношение на променливата г:

Където a x(х; г) = xy – 1, a y(х; г) = xy 2 .

Като се има предвид настройката на кривата

По формула (2.8) получаваме

Пример 2. Изчислете криволинейния интеграл от 2-ри род

Където Л- прекъсната линия ABC, А(1; 2), б(3; 2), ° С(2; 1).

Решение. По свойството на адитивност на криволинейния интеграл

Всеки от интегралните членове се изчислява по формулата (2.7)

Където a x(х; г) = х 2 + г, a y(х; г) = –3xy.

Уравнение на отсечката AB: г = 2, г¢ = 0, х 1 = 1, х 2 = 3. Замествайки тези изрази във формула (2.7), получаваме:

За изчисляване на интеграла

напишете уравнението на права линия пр.н.еспоред формулата

Където х Б, y Б, x C, y C– координати на точки бИ СЪС. Получаваме

г – 2 = х – 3, г = х – 1, г¢ = 1.

Заместваме получените изрази във формула (2.7):

Задача 5

Да се ​​изчисли криволинеен интеграл от 2-ри род по дъга Л

0 ≤ T ≤ 1.

Решение. Тъй като кривата на интегриране е зададена параметрично от уравненията х = х(T), y=y(T), T Î [ T 1 ; T 2], където х(T) И г(T) са непрекъснато диференцируеми функции Tпри T Î [ T 1 ; T 2], тогава за изчисляване на криволинейния интеграл от втори род използваме формулата (2.5) за редуциране на криволинейния интеграл до дефинирания за равнинна параметрично зададена крива

В този пример a x(х; г) = г; a y(х; г) = –2х.

Като се има предвид настройката на кривата Лполучаваме:

Заместваме намерените изрази във формула (2.5) и изчисляваме определения интеграл:

Задача 6

Пример 1 ° С + Където СЪС : г 2 = 2х, г = х – 4.

Решение.Обозначаване ° С+ показва, че контурът се преминава в положителна посока, т.е. обратно на часовниковата стрелка.

Нека проверим дали формулата на Грийн (2.9) може да се използва за решаване на задачата

Тъй като функциите a x (х; г) = 2г – х 2 ; a y (х; г) = 3х + ги техните частни производни непрекъснато в плоска затворена област Ж, ограничена от контура ° С, то формулата на Грийн е приложима.

За да изчислите двойния интеграл, начертайте площта Ж, като предварително са определени точките на пресичане на дъгите на кривите г 2 = 2хИ
г = х- 4, съставляващи контура ° С.

Намираме пресечните точки чрез решаване на системата от уравнения:

Второто уравнение на системата е еквивалентно на уравнението х 2 – 10х+ 16 = 0, откъдето х 1 = 2, х 2 = 8, г 1 = –2, г 2 = 4.

И така, точките на пресичане на кривите: А(2; –2), б(8; 4).

Тъй като областта Ж– правилен по посока на оста вол, тогава за да редуцираме двойния интеграл до повторен, ние проектираме домейна Жна ос ойи използвайте формулата

.

защото а = –2, b = 4, х 2 (г) = 4+г, Че

Пример 2Да се ​​изчисли криволинеен интеграл от 2-ри род по затворен контур Където СЪС- контур на триъгълник с върхове А(0; 0), б(1; 2), ° С(3; 1).

Решение.Нотацията означава, че контурът на триъгълника се преминава по посока на часовниковата стрелка. В случай, че криволинейният интеграл се взема по затворен контур, формулата на Грийн приема формата

Начертайте област Жограничени от даден контур.

Функции и частични производни и непрекъснато в региона Ж, така че може да се приложи формулата на Грийн. Тогава

Регион Жне е правилно в посоката на някоя от осите. Начертайте отсечка х= 1 и си представете Жкато Ж = Ж 1 Е Ж 2, където Ж 1 и Ж 2 зони са правилни в посоката на оста Ой.

Тогава

За да намалим всеки от двойните интеграли върху Ж 1 и Ж 2 за повторно използване ще използваме формулата

Където [ а; b] – площна проекция дна ос вол,

г = г 1 (х) е уравнението на долната гранична крива,

г = г 2 (х) е уравнението на горната гранична крива.

Нека напишем уравненията за границите на региона Ж 1 и намерете

AB: г = 2х, 0 ≤ х ≤ 1; AD: , 0 ≤ х ≤ 1.

Съставете уравнението на границата пр.н.еобласти Ж 2 с помощта на формулата

пр.н.е: където 1 ≤ х ≤ 3.

DC: 1 ≤ х ≤ 3.

Задача 7

Пример 1Намерете работна ръка Л: г = х 3 от точка М(0; 0) към точка н(1; 1).

Решение. Работата на променлива сила при преместване на материална точка по дъга на крива Лсе определя по формула (2.3) (като криволинеен интеграл от втори род на функцията по кривата Л) .

Тъй като векторната функция е дадена от уравнението и дъгата на равнинно ориентираната крива е изрично дефинирана от уравнението г = г(х), х Î [ х 1 ; х 2], където г(х) е непрекъснато диференцируема функция, тогава по формула (2.7)

В този пример г = х 3 , , х 1 = х М = 0, х 2 = х Н= 1. Следователно

Пример 2. Намерете работна ръка при преместване на материална точка по права Л: х 2 + г 2 = 4 от точката М(0; 2) към точка н(–2; 0).

Решение. Използвайки формула (2.3), получаваме

.

В този пример дъгата на кривата Л(È MN) е една четвърт от окръжността, дадена от каноничното уравнение х 2 + г 2 = 4.

За да изчислите криволинейния интеграл от втория вид, е по-удобно да преминете към параметричната спецификация на кръга: х = Р cos T, г = Ргрях Tи използвайте формула (2.5)

защото х= 2cos T, г= 2sin T, , , получаваме

Задача 8

Пример 1. Изчислете модула на циркулацията на векторното поле по протежение на контура Ж:

Решение.Да се ​​изчисли циркулацията на векторно поле по затворен контур Жизползваме формула (2.4)

Тъй като са дадени пространствено векторно поле и пространствен затворен контур Ж, след което преминаваме от векторната форма на запис на криволинейния интеграл към координатната форма, получаваме

Извивка Жсе определя като пресечната точка на две повърхности: хиперболичен параболоид z=x 2 – г 2+2 и цилиндър х 2 + г 2 = 1. За да изчислите криволинейния интеграл, е удобно да преминете към параметричните уравнения на кривата Ж.

Уравнението на цилиндрична повърхност може да бъде написано като:
х= cos T, г= грях T, z = z. Израз за zв параметричните уравнения кривата се получава чрез заместване х= cos T, г= грях Tв уравнението на хиперболичен параболоид z= 2 + cos2 T– грях 2 T= 2 + cos2 T. Така, Ж: х= cos T,
г= грях T, z= 2 + cos2 T, 0 ≤ T≤ 2p.

Тъй като включените в параметрични уравнениякрив Жфункции
х(T) = cos T, г(T) = грях T, z(T) = 2 + cos 2 Tса непрекъснато диференцируеми функции на параметъра Tпри Tн , тогава намираме криволинейния интеграл по формулата (2.6)

За случая, когато областта на интегриране е сегмент от някаква крива, лежаща в равнина. Общата нотация на криволинейния интеграл е следната:

Където f(х, г) е функция на две променливи и Л- крива, по сегмент ABв който се осъществява интеграцията. Ако интегралната функция е равна на единица, тогава криволинейният интеграл равен на дължинатадъги AB .

Както винаги в интегралното смятане, криволинейният интеграл се разбира като границата на интегралните суми на някои много малки части от нещо много голямо. Какво се обобщава в случай на криволинейни интеграли?

Нека има сегмент на равнината ABнякаква крива Л, и функцията на две променливи f(х, г) определени в точките на кривата Л. Нека изпълним следния алгоритъм с този сегмент от кривата.

1. Разделена крива ABвърху частта с точки (фигурите по-долу).
2. Във всяка част свободно изберете точка М.
3. Намерете стойността на функцията в избраните точки.
4. Умножете стойностите на функцията по
   • дължината на частите в случай криволинеен интеграл от първи род ;
   • проекции на части върху координатната ос в корпуса криволинеен интеграл от втори род .
5. Намерете сбора на всички продукти.
6. Намерете границата на намерената интегрална сума при условие, че дължината на най-дългата част от кривата клони към нула.

Ако тази граница съществува, тогава това граница на интегралната сума и се нарича криволинеен интеграл на функцията f(х, г) по кривата AB .

първи вид

Криволинейн интегрален случай
втори вид

Нека въведем следната нотация.

Маз ( ζ аз ; η и)- точка с избрани координати на всеки участък.

fаз ( ζ аз ; η и)- стойност на функцията f(х, г) в избраната точка.

Δ саз- дължина на част от сегмент от кривата (при криволинеен интеграл от първи род).

Δ хаз- проекция на част от сегмента на кривата върху оста вол(в случай на криволинеен интеграл от втори род).

д= maxΔ сазе дължината на най-дългата част от сегмента на кривата.

Криволинейни интеграли от първи род

Въз основа на горното за границата на интегралните суми, криволинейният интеграл от първи род се записва по следния начин:

.

Криволинейният интеграл от първи род има всички свойства, които определен интеграл. Има обаче една важна разлика. За определен интеграл, когато границите на интегриране се сменят, знакът се променя на противоположния:

При криволинейния интеграл от първи род няма значение коя от точките на кривата AB (Аили б) вземете предвид началото на сегмента и кой край, т.е

.

Криволинейни интеграли от втори род

Въз основа на казаното за границата на интегралните суми, криволинейният интеграл от втори род се записва по следния начин:

.

При криволинейния интеграл от втори род, когато началото и краят на сегмент от кривата се обърнат, знакът на интеграла се променя:

.

При съставянето на интегралната сума на криволинейния интеграл от втори вид, стойностите на функцията fаз ( ζ аз ; η и)може също да се умножи по проекцията на частите от сегмента на кривата върху оста Ой. Тогава получаваме интеграла

.

На практика обикновено се използва обединението на криволинейни интеграли от втори род, т.е. две функции f = П(х, г) И f = Q(х, г) и интеграли

,

и сумата от тези интеграли

Наречен общ криволинеен интеграл от втори род .

Изчисляване на криволинейни интеграли от първи род

Изчисляването на криволинейни интеграли от първи род се свежда до изчисляване на определени интеграли. Нека разгледаме два случая.

Нека на равнината е дадена крива г = г(х) и крива сегмент ABсъответства на промяна на променливата хот апреди b. След това в точките на кривата интегралната функция f(х, г) = f(х, г(х)) ("y" трябва да се изрази чрез "x") и диференциала на дъгата и криволинейният интеграл може да се изчисли по формулата

.

Ако интегралът е по-лесен за интегриране г, тогава от уравнението на кривата е необходимо да се изрази х = х(г) ("x" до "y"), където и интегралът се изчислява по формулата

.

Пример 1

Където AB- отсечка между точките А(1; −1) и б(2; 1) .

Решение. Съставете уравнение на права линия AB, използвайки формулата (уравнението на права линия, минаваща през две дадени точки А(х1 ; г 1 ) И б(х2 ; г 2 ) ):

От уравнението на права линия изразяваме гпрез х :

Тогава и сега можем да изчислим интеграла, тъй като ни остава само "x":

Нека е дадена крива в пространството

След това в точките на кривата функцията трябва да бъде изразена чрез параметъра T() и диференциала на дъгата , така че криволинейният интеграл може да се изчисли по формулата

По същия начин, ако на равнината е дадена крива

,

тогава криволинейният интеграл се изчислява по формулата

.

Пример 2Изчислете криволинейния интеграл

Където Л- част от линията на кръга

разположени в първи октант.

Решение. Тази крива е една четвърт от окръжната линия, разположена в равнината z= 3 . Съответства на стойностите на параметрите. защото

след това диференциала на дъгата

Нека изразим интегранта чрез параметъра T :

Сега, когато имаме всичко изразено чрез параметър T, можем да намалим изчислението на този криволинеен интеграл до определен интеграл:

Изчисляване на криволинейни интеграли от втори род

Точно както в случая на криволинейни интеграли от първи вид, изчисляването на интеграли от втори род се свежда до изчисляване на определени интеграли.

Кривата е дадена в декартови правоъгълни координати

Нека крива на равнина е дадена от уравнението на функцията "y", изразена чрез "x": г = г(х) и дъгата на кривата ABсъответства промяна хот апреди b. След това заместваме израза "y" до "x" в интегранта и определяме диференциала на този израз "y" по отношение на "x": . Сега, когато всичко е изразено чрез "x", криволинейният интеграл от втория вид се изчислява като определен интеграл:

По същия начин, криволинейният интеграл от втори вид се изчислява, когато кривата е дадена от уравнението на функцията "x", изразена чрез "y": х = х(г) , . В този случай формулата за изчисляване на интеграла е следната:

Пример 3Изчислете криволинейния интеграл

, Ако

а) Л- прав сегмент ОА, Където ОТНОСНО(0; 0) , А(1; −1) ;

б) Л- дъга на парабола г = х² от ОТНОСНО(0; 0) към А(1; −1) .

а) Изчислете криволинейния интеграл върху отсечка с права линия (синьо на фигурата). Нека напишем уравнението на права линия и изразим "Y" през "X":

.

Получаваме dy = dx. Решаваме този криволинеен интеграл:

б) ако Л- дъга на парабола г = х², получаваме dy = 2xdx. Изчисляваме интеграла:

В току-що решения пример получихме същия резултат в два случая. И това не е съвпадение, а резултат от закономерност, тъй като този интеграл удовлетворява условията на следната теорема.

Теорема. Ако функции П(х,г) , Q(х,г) и техните частни производни , - непрекъснати в региона дфункции и в точките на тази област частните производни са равни, тогава криволинейният интеграл не зависи от пътя на интегриране по правата Лнамиращи се в обл д .

Кривата е дадена в параметрична форма

Нека е дадена крива в пространството

.

и в интегрални функциизаместител

изрази на тези функции чрез параметър T. Получаваме формулата за изчисляване на криволинейния интеграл:

Пример 4Изчислете криволинейния интеграл

,

Ако Л- част от елипса

отговарящ на условието г ≥ 0 .

Решение. Тази крива е частта от елипсата, която е в равнината z= 2. Съответства на стойността на параметъра.

можем да представим криволинейния интеграл като определен интеграл и да го изчислим:

Даден е криволинеен интеграл и Л- затворена линия, тогава такъв интеграл се нарича интеграл върху затворен контур и е по-лесно да се изчисли с него Формулата на Грийн .

Още примери за изчисляване на криволинейни интеграли

Пример 5Изчислете криволинейния интеграл

Където Л- линеен сегмент между точките на неговото пресичане с координатните оси.

Решение. Нека определим точките на пресичане на правата с координатните оси. Заместване на правата линия в уравнението г= 0, получаваме,. Заместване х= 0, получаваме,. По този начин, точката на пресичане с оста вол - А(2; 0) , с ос Ой - б(0; −3) .

От уравнението на права линия изразяваме г :

.

, .

Сега можем да представим криволинейния интеграл като определен интеграл и да започнем да го изчисляваме:

В интегранта избираме фактора, изваждаме го от знака за интеграл. В получения интегрант използваме подвеждане под знака на диференциалаи накрая получаваме.

Лекция 5 Криволинейни интеграли от 1-ви и 2-ри род, техните свойства ..

Проблемът за масата на кривата. Криволинеен интеграл от 1-ви род.

Проблемът за масата на кривата.Нека във всяка точка на кривата на късово-гладък материал L: (AB) е дадена нейната плътност. Определете масата на кривата.

Продължаваме по същия начин, както при определяне на масата на плоска област ( двоен интеграл) и пространствено тяло (троен интеграл).

1. Организирайте разделянето на дъговата област L на елементи - елементарни дъги, така че тези елементи да нямат общи вътрешни точки и ( условие А )

3. Да построим интегралната сума , където е дължината на дъгата (обикновено се въвеждат едни и същи обозначения за дъгата и нейната дължина). Това е приблизителна стойност за масата на кривата. Опростяването е, че приехме, че плътността на дъгата е постоянна за всеки елемент и взехме краен брой елементи.

Преминаване до границата при условие (условие Б ), получаваме криволинеен интеграл от първи вид като граница на интегралните суми:

.

Теоремата за съществуване.

Нека функцията е непрекъсната върху кусочно гладка дъга L. Тогава криволинейният интеграл от първи род съществува като граница на интегралните суми.

Коментирайте.Тази граница не зависи от

Свойства на криволинейния интеграл от първи род.

1. Линейност
а) свойство на суперпозиция

б) свойство на хомогенност .

Доказателство. Нека запишем интегралните суми за интегралите от лявата страна на равенствата. Тъй като броят на членовете в интегралната сума е краен, нека преминем към интегралните суми за десните части на равенствата. След това преминаваме към границата, съгласно теоремата за преминаване към границата в равенството, получаваме желания резултат.

2. Адитивност.
Ако , Че = +

3. .Ето дължината на дъгата .

4. Ако неравенството е изпълнено на дъгата, тогава

Доказателство. Нека запишем неравенството за интегралните суми и преминем към границата.

Имайте предвид, че по-специално е възможно

5. Теорема за оценка.

Ако има такива константи, че , тогава

Доказателство. Интегриране на неравенството (свойство 4), получаваме . По свойство 1 константите могат да бъдат извадени изпод интегралите. Използвайки свойство 3, получаваме желания резултат.

6. Средна теорема(стойността на интеграла).

Има смисъл , Какво

Доказателство. Тъй като функцията е непрекъсната върху затворено ограничено множество, тогава нейната ниска граница съществува и горния ръб . Неравенството е изпълнено. Разделяйки двете страни на L, получаваме . Но броят затворени между долната и горната граница на функцията. Тъй като функцията е непрекъсната върху затворено ограничено множество L, функцията трябва да приеме тази стойност в даден момент. следователно .

Изчисляване на криволинеен интеграл от първи род.

Ние параметризираме дъгата L: AB x = x(t), y = y(t), z =z (t). Нека t 0 съответства на точка A, а t 1 съответства на точка B. Тогава криволинейният интеграл от първи род се свежда до определен интеграл ( - известната от 1-ви семестър формула за изчисляване на диференциала на дължината на дъгата):

Пример.Изчислете масата на едно завъртане на хомогенна (плътност равна на k) спирала: .

Криволинеен интеграл от 2-ри род.

Проблемът за работата на силата.

1. Организирайте разделянето на областта-дъга AB на елементи - елементарни дъги, така че тези елементи да нямат общи вътрешни точки и ( условие А )

2. Маркираме върху елементите на дяла „маркирани точки“ M i и изчисляваме стойностите на функцията в тях

3. Построяване на интегралната сума , където е векторът, насочен по протежение на хордата, която обхваща -дъгата .

4. Преминаване до границата при условие (условие Б ), получаваме криволинеен интеграл от втори род като граница на интегралните суми (и работата на силата):

. Често се споменава

Теоремата за съществуване.

Нека вектор-функцията е непрекъсната върху късично гладка дъга L. Тогава криволинейният интеграл от втори род съществува като граница на интегралните суми.

.

Коментирайте.Тази граница не зависи от

Метод за избор на дял, стига да е изпълнено условие А

Избиране на "маркирани точки" върху елементите на дяла,

Метод за прецизиране на дяла, стига условие B да е изпълнено

Свойства на криволинейния интеграл от 2-ри род.

1. Линейност
а) свойство на суперпозиция

б) свойство на хомогенност .

Доказателство. Нека запишем интегралните суми за интегралите от лявата страна на равенствата. Тъй като броят на членовете в интегралната сума е краен, използвайки свойството на скаларното произведение, преминаваме към интегралните суми за десните части на равенствата. След това преминаваме към границата, съгласно теоремата за преминаване към границата в равенството, получаваме желания резултат.

2. Адитивност.
Ако , Че = + .

Доказателство. Нека изберем дял на домейна L, така че нито един от елементите на дяла (първоначално и когато дялът е усъвършенстван) да не съдържа елементите L 1 и елементите L 2 едновременно. Това може да се направи чрез теоремата за съществуване (забележка към теоремата). Освен това доказателството се извършва от гледна точка на интегрални суми, както в раздел 1.

3. Ориентируемост.

= -

Доказателство. Дъговият интеграл –L, т.е. в отрицателната посока на заобикаляне на дъгата има ограничение на интегралните суми, в термините на които вместо това има (). Изваждайки "минуса" от скаларното произведение и от сумата на краен брой членове, преминавайки към границата, получаваме търсения резултат.

16.3.2.1. Определение на криволинеен интеграл от първи род.Нека в пространството на променливите x,y,z дадена е кусочно-гладка крива, върху която е дефинирана функцията f (х ,г ,z Нека разделим кривата с точки на части, изберем произволна точка на всяка от дъгите, намерим дължината на дъгата и съставим интегралната сума. Ако съществува граница на последователността от интегрални суми за , която не зависи от метода за разделяне на кривата на дъги или от избора на точки, тогава функцията f (х ,г ,z ) се нарича крива интегрируема, а стойността на тази граница се нарича криволинеен интеграл от първи вид или криволинеен интеграл по дължината на дъгата на функцията f (х ,г ,z ) по кривата и се означава с (или).

Теоремата за съществуване.Ако функцията f (х ,г ,z ) е непрекъсната върху късово гладка крива, то е интегрируема по отношение на тази крива.

Случаят на затворена крива.В този случай произволна точка от кривата може да се приеме за начална и крайна точка. Отсега нататък ще се нарича затворена крива контури се обозначава с СЪС . Фактът, че кривата, по която се изчислява интегралът, е затворена, обикновено се означава с кръг върху знака за интеграл: .

16.3.2.2. Свойства на криволинейния интеграл от първи род.За този интеграл всичките шест свойства са валидни за определено двойно, троен интеграл, от линейностпреди теореми за средна стойност. Формулирайте ги и ги докажете сам по себе си. Въпреки това, седмото, лично свойство е вярно и за този интеграл:

Независимост на криволинейния интеграл от първи род от посоката на кривата:.

Доказателство.Интегралните суми за интегралите от дясната и лявата страна на това равенство, за всяко разделение на кривата и избора на точки, са еднакви (винаги дължината на дъгата), следователно техните граници са равни при .

16.3.2.3. Изчисляване на криволинеен интеграл от първи род. Примери.Нека кривата е дадена от параметрични уравнения , където са непрекъснато диференцируеми функции, и нека точките, които определят разделянето на кривата, съответстват на стойностите на параметъра , т.е. . След това (вижте раздел 13.3. Изчисляване на дължини на криви) . По теоремата за средната стойност съществува такава точка, че . Нека изберем точките, произтичащи от тази стойност на параметъра: . Тогава интегралната сума за криволинейния интеграл ще бъде равна на интегралната сума за определения интеграл. Тъй като , След това, преминавайки към границата при в равенство , Ние получаваме

Така изчисляването на криволинейния интеграл от първи род се свежда до изчисляването на определен интеграл по параметър. Ако кривата е зададена параметрично, тогава този преход не създава затруднения; ако се даде качество словесно описаниекрива, тогава основната трудност може да бъде въвеждането на параметър върху кривата. Още веднъж подчертаваме, че интегрирането винаги се извършва в посока на увеличаване на параметъра.

Примери. 1. Изчислете къде е едно завъртане на спиралата

Тук преходът към определен интеграл не създава проблеми: намираме , и .

2. Изчислете същия интеграл върху отсечката, свързваща точките и .

Тук няма пряка параметрична дефиниция на кривата и т.н AB параметърът трябва да бъде въведен. Параметричните уравнения на права линия имат формата където е насочващ вектор, е точка на права линия. Като точка приемаме точка , като насочващ вектор вземаме вектор : . Лесно се вижда, че точката съответства на стойността, следователно точката съответства на стойността.

3. Намерете къде е частта от сечението на цилиндъра с равнината z =х +1, лежащ в първия октант.

Решение:Параметричните уравнения на окръжност - водач на цилиндъра имат вида х =2cosj, г =2sinj, и тъй като z=x +1 тогава z = 2cosj+1. Така,

Ето защо

16.3.2.3.1. Изчисляване на криволинеен интеграл от първи род. Плосък калъф.Ако кривата лежи на някаква координатна равнина, например равнината Оху , и се дава от функцията , тогава, като се има предвид х като параметър получаваме следната формула за изчисляване на интеграла: . По същия начин, ако кривата е дадена от уравнението , тогава .

Пример.Изчислете , където е една четвърт от окръжността, разположена в четвъртия квадрант.

Решение. 1. Като се има предвид х като параметър получаваме следователно

2. Ако вземем променлива като параметър при , след това и .

3. Естествено, можем да вземем обичайните параметрични уравнения на окръжността: .

Ако кривата е дадена в полярни координати , тогава и .

1-ви вид.

1.1.1. Дефиниция на криволинеен интеграл от 1-ви род

Нека в самолета Оксидадена крива (L).Нека за всяка точка от кривата (L)дефинирана е непрекъсната функция f(x;y).Нека счупим дъгата ABлинии (L)точки A \u003d P 0, P 1, P n \u003d BНа нпроизволни дъги P i -1 P iс дължини ( i = 1, 2, n) (фиг.27)

Избираме на всяка дъга P i -1 P iпроизволна точка M i (x i; y i),изчислете стойността на функцията f(x;y)в точката М и. Нека направим интегрална сума

Нека, къде.

λ→0 (n→∞), независимо от това как е разделена кривата ( Л) на елементарни части, нито от избора на точки М и криволинеен интеграл от 1-ви родот функция f(x;y)(криволинеен интеграл по дължината на дъгата) и означават:

Коментирайте. По подобен начин въвеждаме дефиницията на криволинейния интеграл на функцията f(x;y;z)по пространствена крива (L).

физически смисълкриволинеен интеграл от 1-ви род:

Ако (L)-равнинна крива с линейна равнина, тогава масата на кривата се намира по формулата:

1.1.2. Основните свойства на криволинейния интеграл от 1-ви род:

3. Ако пътят на интеграцияе разделен на части, така че , и имат една обща точка, тогава .

4. Криволинейният интеграл от 1-ви вид не зависи от посоката на интегриране:

5. , където е дължината на кривата.

1.1.3. Изчисляване на криволинеен интеграл от 1-ви род.

Изчисляването на криволинейния интеграл се свежда до изчисляване на определен интеграл.

1. Нека кривата (L)дадено от уравнението. Тогава

Тоест диференциалът на дъгата се изчислява по формулата.

Пример

Изчислете масата на отсечка от точка A(1;1)към основния въпрос B(2;4),ако .

Решение

Уравнение на права линия, минаваща през две точки: .

Тогава уравнението на правата линия ( AB): , .

Нека намерим производната.

Тогава . = .

2. Нека кривата (L)зададени параметрично: .

Тогава , т.е. диференциалът на дъгата се изчислява по формулата .

За пространствения случай на задаване на кривата: .Тогава

Тоест диференциалът на дъгата се изчислява по формулата.

Пример

Намерете дължината на дъгата на кривата , .

Решение

Намираме дължината на дъгата по формулата: .

За да направим това, намираме диференциала на дъгата.

Намерете производните , , , Тогава дължината на дъгата: .

3. Нека кривата (L)е дадена в полярната координатна система: . Тогава

Тоест диференциалът на дъгата се изчислява по формулата.

Пример

Изчислете масата на дъгата на правата , 0≤ ≤ , ако .

Решение

Намираме масата на дъгата по формулата:

За да направим това, намираме диференциала на дъгата.

Нека намерим производната.

1.2. Криволинеен интеграл от 2-ри род

1.2.1. Дефиниция на криволинеен интеграл от 2-ри род

Нека в самолета Оксидадена крива (L). Нека (L)дадена непрекъсната функция f(x;y).Нека счупим дъгата ABлинии (L)точки A \u003d P 0, P 1, P n \u003d Bв посока от точката Акъм основния въпрос INНа нпроизволни дъги P i -1 P iс дължини ( i = 1, 2, n) (фиг. 28).

Избираме на всяка дъга P i -1 P iпроизволна точка M i (x i ; y i), изчислете стойността на функцията f(x;y)в точката М и. Нека направим интегрална сума, където - дължина на проекцията на дъгата P i -1 P iна ос вол. Ако посоката на движение по проекцията съвпада с положителната посока на оста вол, тогава се разглежда проекцията на дъгите положителен, в противен случай - отрицателен.

Нека, къде.

Ако има ограничение на интегралната сума при λ→0 (n→∞), което не зависи от това как е разделена кривата (L)на елементарни части, нито от избора на точки М ивъв всяка елементарна част, тогава тази граница се нарича криволинеен интеграл от 2-ри родот функция f(x;y)(криволинеен интеграл върху координатната х) и обозначават:

Коментирайте.Криволинейният интеграл по y координатата се въвежда по подобен начин:

Коментирайте.Ако (L)е затворена крива, тогава интегралът върху нея се означава

Коментирайте.Ако е на ( Л) три функции са дадени наведнъж и има интеграли от тези функции , , ,

тогава се извиква изразът: ++ общ криволинеен интеграл от 2-ри роди напиши:

1.2.2. Основните свойства на криволинейния интеграл от 2-ри род:

3. При промяна на посоката на интегриране криволинейният интеграл от 2-ри род сменя знака си.

4. Ако интеграционният път е разделен на части, така че , и имат една обща точка, тогава

5. Ако кривата ( Л) лежи в равнината:

Перпендикулярна ос о, тогава =0 ;

Перпендикулярна ос Ой, Че ;

Перпендикулярна ос Оз, след това =0.

6. Криволинейният интеграл от 2-ри род върху затворена крива не зависи от избора на начална точка (зависи само от посоката на кривата).

1.2.3. Физическото значение на криволинейния интеграл от 2-ри род.

Работа Асили при преместване на материална точка с единица маса от точка Мточно нзаедно ( MN) е равно на:

1.2.4. Изчисляване на криволинеен интеграл от 2-ри род.

Изчисляването на криволинейния интеграл от 2-ри род се свежда до изчисляването на определен интеграл.

1. Нека кривата ( Л) се дава от уравнението .

Пример

Изчислете къде ( Л) - прекъсната линия OAB: O(0;0), A(0;2), B(2;4).

Решение

Тъй като (фиг. 29), тогава

1) Уравнение (OA): , ,

2) Уравнение на права линия (AB): .

2. Нека кривата (L)задайте параметрично: .

Коментирайте.В пространствения случай:

Пример

Изчисли

Където ( AB)-сегмент от A(0;0;1)преди B(2;-2;3).

Решение

Нека намерим уравнението на правата линия ( AB):

Нека преминем към параметричното представяне на уравнението на права линия (AB). Тогава .

точка A(0;0;1)параметър за съвпадение Tравно: следователно t=0.

точка B(2;-2;3)параметър за съвпадение T, равно на: следователно, t=1.

При преместване от АДа се IN, параметър Tсе променя от 0 на 1.

1.3. Формулата на Грийн. L ) вкл. M(x; y; z)с брадви Ох, Ой, Оз