Функция на разпределение на дискретни и непрекъснати случайни променливи. Математическо очакване на непрекъсната случайна променлива. Пример за решение. Свойства на функцията за плътност на вероятността на непрекъсната случайна променлива

Случайна величина е променлива, която може да приема определени стойности в зависимост от различни обстоятелства и произволна стойностнаречен непрекъснат , ако може да приеме произволна стойност от някакъв ограничен или неограничен интервал. За непрекъсната случайна променлива е невъзможно да се уточнят всички възможни стойности, поради което се обозначават интервалите на тези стойности, които са свързани с определени вероятности.

Примери за непрекъснати случайни променливи са: диаметър на част, обърната до даден размер, височина на човек, обсег на снаряд и др.

Тъй като за непрекъснати случайни променливи функцията Е(х), За разлика от дискретни случайни променливи, няма скокове никъде, тогава вероятността за всяка отделна стойност на непрекъсната случайна променлива е равна на нула.

Това означава, че за непрекъсната случайна променлива няма смисъл да се говори за разпределение на вероятностите между нейните стойности: всяка от тях има нулева вероятност. Въпреки това, в известен смисъл, сред стойностите на непрекъсната случайна променлива има "повече и по-малко вероятни". Например, малко вероятно е някой да се съмнява, че стойността на случайна променлива - височината на случайно срещнат човек - 170 см - е по-вероятна от 220 см, въпреки че едната и другата стойност могат да се случат на практика.

Функция на разпределение на непрекъсната случайна променлива и плътност на вероятността

Като закон за разпределение, който има смисъл само за непрекъснати случайни променливи, се въвежда концепцията за плътност на разпределение или плътност на вероятността. Нека подходим, като сравним значението на функцията на разпределение за непрекъсната случайна променлива и за дискретна случайна променлива.

И така, функцията на разпределение на случайна променлива (както дискретна, така и непрекъсната) или интегрална функциясе нарича функция, която определя вероятността стойността на случайна променлива хпо-малко или равно на граничната стойност х.

За дискретна случайна променлива в точките на нейните стойности х1 , х 2 , ..., хаз,...концентрирани маси от вероятности стр1 , стр 2 , ..., страз,..., а сумата от всички маси е равна на 1. Нека прехвърлим тази интерпретация към случая на непрекъсната случайна променлива. Представете си, че маса, равна на 1, не е концентрирана в отделни точки, а е непрекъснато "размазана" по оста x волс известна неравномерна плътност. Вероятността за попадение на произволна променлива на който и да е сайт Δ хще се тълкува като масата, която се приписва на този участък, а средната плътност в този участък - като отношение на масата към дължината. Току-що въведохме важно понятие в теорията на вероятностите: плътността на разпределението.

Плътност на вероятността f(х) на непрекъсната случайна променлива е производната на нейната функция на разпределение:

Познавайки функцията на плътността, можем да намерим вероятността стойността на непрекъсната случайна променлива да принадлежи към затворения интервал [ а; b]:

вероятността непрекъсната случайна променлива хще вземе всяка стойност от интервала [ а; b], е равен на определен интеграл от неговата плътност на вероятността в диапазона от апреди b:

В този случай общата формула на функцията Е(х) вероятностното разпределение на непрекъсната случайна променлива, което може да се използва, ако функцията на плътността е известна f(х) :

Графиката на плътността на вероятността на непрекъсната случайна променлива се нарича нейната крива на разпределение (фиг. по-долу).

Площта на фигурата (защрихована на фигурата), ограничена от крива, прави линии, изтеглени от точки аИ bперпендикулярна на абсцисната ос, и оста о, показва графично вероятността стойността на непрекъсната случайна променлива хе в рамките на апреди b.

Свойства на функцията за плътност на вероятността на непрекъсната случайна променлива

1. Вероятността случайна променлива да вземе всяка стойност от интервала (и областта на фигурата, която е ограничена от графиката на функцията f(х) и ос о) е равно на едно:

2. Функцията за плътност на вероятността не може да приема отрицателни стойности:

и извън съществуването на разпределението стойността му е нула

Плътност на разпространение f(х), както и функцията на разпределение Е(х), е една от формите на закона за разпределение, но за разлика от функцията на разпределение, тя не е универсална: плътността на разпределението съществува само за непрекъснати случайни променливи.

Нека споменем двата най-важни в практиката типа разпределение на непрекъсната случайна променлива.

Ако функцията за плътност на разпределение f(х) непрекъсната случайна променлива в някакъв краен интервал [ а; b] приема постоянна стойност ° С, а извън интервала приема стойност, равна на нула, тогава това разпределението се нарича равномерно .

Ако графиката на функцията за плътност на разпределението е симетрична спрямо центъра, средните стойности се концентрират близо до центъра, а когато се отдалечават от центъра, се събират повече различни от средните стойности (графиката на функцията прилича на разрез на звънец), тогава това разпределението се нарича нормално .

Пример 1Функцията на разпределение на вероятността на непрекъсната случайна променлива е известна:

Намерете функция f(х) плътността на вероятността на непрекъсната случайна променлива. Начертайте графики и за двете функции. Намерете вероятността непрекъсната случайна променлива да приеме произволна стойност в диапазона от 4 до 8: .

Решение. Получаваме функцията за плътност на вероятността, като намерим производната на функцията за разпределение на вероятностите:

Функционална графика Е(х) - парабола:

Функционална графика f(х) - права:

Нека намерим вероятността непрекъсната случайна променлива да приеме произволна стойност в диапазона от 4 до 8:

Пример 2Функцията на плътност на вероятността на непрекъсната случайна променлива се дава като:

Изчислете коефициента ° С. Намерете функция Е(х) вероятностното разпределение на непрекъсната случайна променлива. Начертайте графики и за двете функции. Намерете вероятността непрекъсната случайна променлива да приеме произволна стойност в диапазона от 0 до 5: .

Решение. Коефициент ° Снамираме, използвайки свойство 1 на функцията за плътност на вероятността:

По този начин функцията на плътност на вероятността на непрекъсната случайна променлива е:

Интегрирайки, намираме функцията Е(х) вероятностни разпределения. Ако х < 0 , то Е(х) = 0 . Ако 0< х < 10 , то

х> 10 тогава Е(х) = 1 .

По този начин пълният запис на функцията за разпределение на вероятностите е:

Функционална графика f(х) :

Функционална графика Е(х) :

Нека намерим вероятността непрекъсната случайна променлива да приеме произволна стойност в диапазона от 0 до 5:

Пример 3Плътност на вероятността на непрекъсната случайна променлива хсе дава от равенство , докато . Намерете коефициент А, вероятността непрекъсната случайна променлива хприема някаква стойност от интервала ]0, 5[, функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива х.

Решение. По условие стигаме до равенството

Следователно откъде. Така,

Сега намираме вероятността една непрекъсната случайна променлива хще вземе всяка стойност от интервала]0, 5[:

Сега получаваме функцията на разпределение на тази случайна променлива:

Пример 4Намерете плътността на вероятността на непрекъсната случайна променлива х, която приема само неотрицателни стойности, и нейната функция на разпределение .

Съдържанието на статията

РАЗПРЕДЕЛИТЕЛНА ФУНКЦИЯе плътността на вероятността на разпределението на частици от макроскопична система по координати, моменти или квантови състояния. Функцията на разпределение е основната характеристика на най-разнообразните (не само физически) системи, които се характеризират със случайно поведение, т.е. случайна промяна в състоянието на системата и съответно на нейните параметри. Дори при стационарни външни условия самото състояние на системата може да бъде такова, че резултатът от измерването на някои от нейните параметри да е случайна променлива. Функцията за разпределение в по-голямата част от случаите съдържа цялата възможна и следователно изчерпателна информация за свойствата на такива системи.

В математическата теория на вероятностите и математическа статистикафункцията на разпределение и плътността на вероятността се различават една от друга, но са недвусмислено свързани. По-долу ще се занимаваме почти изключително с плътността на вероятността, която (според дългата традиция, възприета във физиката) се нарича плътност на разпределение на вероятността или функция на разпределение, поставяйки знак за равенство между тези два термина.

Случайното поведение е до известна степен характерно за всички квантово-механични системи: елементарни частици, атоми на молекула и др. Случайното поведение обаче не е специфична характеристика само на квантово-механичните системи, много са чисто класически системиимат това свойство.

Примери.

Когато хвърляте монета върху твърда хоризонтална повърхност, не е ясно как ще падне: с цифра нагоре или с герб. Известно е, че вероятностите за тези събития при определени условия са равни на 1/2. При хвърляне на зар е невъзможно да се каже със сигурност кое от шестте числа ще бъде на горната страна. Вероятността за изпадане на всяко от числата при определени предположения (кост - хомогенен куб без нащърбени ръбове и върхове пада върху твърда, гладка хоризонтална повърхност) е 1/6.

Хаотичното движение на молекулите е най-силно изразено в газа. Дори при стационарни външни условия точните стойности на макроскопичните параметри се колебаят (променят се произволно) и само средните им стойности са постоянни. Описанието на макроскопичните системи на езика на средните стойности на макропараметрите е същността на термодинамичното описание ().

Нека има идеален моноатомен газ и неговите три (все още неусреднени) макроскопични параметъра: не броят на атомите, движещи се вътре в съда, зает от газа; Пе налягането на газа върху стената на съда и вътрешна енергиягаз. Газът е идеален и моноатомен, така че неговата вътрешна енергия е просто сумата от кинетичните енергии на постъпателното движение на газовите атоми.

Номер нфлуктуира, най-малкото поради процеса на сорбция (залепване към стената на съда при удар с нея) и десорбция (процес на отделяне, когато молекулата се отделя от стената сама или в резултат на удар на друга молекула ), и накрая, процесът на образуване на клъстери - краткотрайни комплекси от няколко молекули. Ако можеше да измериш нмигновено и точно, тогава получената зависимост н(T) ще бъде подобен на показания на фигурата.

Диапазонът на колебанията на фигурата е силно надценен за яснота, но с малка средна стойност (b н c ~ 10 2) броят на частиците в газа ще бъде приблизително същият.

Ако изберем малка област на стената на съда, за да измерим силата, действаща върху тази област в резултат на удари на газови молекули в съда, тогава съотношението на средната стойност на компонента на тази сила, нормална към площта към площта от зоната обикновено се нарича налягане. В различни моменти от време различен брой молекули ще летят до мястото и с различни скорости. В резултат на това, ако беше възможно тази сила да се измери незабавно и точно, щеше да има картина, подобна на тази, показана на фигурата, само трябва да промените обозначението по вертикалната ос:

н(T) Ю П(T) и б н(T) с Ю б П(T)С.

Почти всичко е вярно за вътрешната енергия на газа, само процесите, водещи до случайни промени в това количество, са различни. Например, летейки до стената на съд, газовата молекула се сблъсква не с абстрактна, абсолютно еластична и огледално отразяваща стена, а с една от частиците, които изграждат материала на тази стена. Нека стената е стоманена, тогава това са железни йони, които се колебаят около равновесните позиции - възлите на кристалната решетка. Ако една газова молекула лети до стената в тази фаза на йонните трептения, когато се движи към нея, тогава в резултат на сблъсъка молекулата ще отлети от стената със скорост, по-голяма от тази, която е излетяла нагоре. Заедно с енергията на тази молекула се увеличава и вътрешната енергия на газа. д. Ако една молекула се сблъска с йон, движещ се в същата посока като нея, тогава тази молекула ще излети със скорост, по-малка от тази, с която е отлетяла. И накрая, една молекула може да попадне в интерстициално пространство (празно пространство между съседни възли на кристалната решетка) и да се заклещи там, така че дори силно нагряване да не може да я отстрани оттам. В последните два случая вътрешната енергия на газа днамаляване. следователно д(T) - Също произволна функциявреме и е средната стойност на тази функция.

Брауново движение.

Определяне на позицията на Браунова частица в даден момент от времето T 1, може точно да се предвиди само неговата позиция в следващ момент във времето T 2 не надвишава ( T 2 –T 1)· ° С, Където ° Се скоростта на светлината във вакуум.

Има случаи на дискретен и непрекъснат спектър от състояния и, съответно, променлива х. Спектърът от стойности на дадена променлива се разбира като целия набор от нейните възможни стойности.

В случай на дискретен спектър от състояния, за да се определи разпределението на вероятностите, е необходимо първо да се посочи пълният набор от възможни стойности на случайната променлива

х 1, х 2, х 3,…хк,… (1)

и второ, техните вероятности:

У 1, У 2, У 3,…Ук,… (2)

Сумата от вероятностите на всички възможни събития трябва да бъде равна на единица (условие за нормализиране)

Описанието на разпределението на вероятностите чрез отношения (1) - (3) е невъзможно в случай на непрекъснат спектър от състояния и, съответно, непрекъснат спектър от възможни стойности на променливата х. Позволявам хприема всички възможни реални стойности в интервала

хОТНОСНО [ а, b] (4)

Където аИ bне непременно ограничени. Например за модула на вектора на скоростта на газовата молекула VО лежащ в целия диапазон от възможни стойности, т.е. хОТНОСНО [ х,х+ D х] ОТНОСНО [ а, b] (5)

Тогава вероятността D У(х, Д х) хитове хв интервала (5) е равно на

Тук не общият брой измервания хи Д н(х, Д х) е броят на резултатите, които попадат в интервала (5).

Вероятност D Уестествено зависи от два аргумента: х– позиции на интервала вътре в [ а, b] и Д хе неговата дължина (предполага се, макар че изобщо не е необходимо, че D х> 0). Например вероятността да се получи точната стойност х, с други думи, вероятността за попадение хв интервал с нулева дължина е вероятността за невъзможно събитие и следователно е равна на нула: D У(х, 0) = 0

От друга страна, вероятността да получите стойността хнякъде (няма значение къде) в рамките на целия интервал [ а, b] е вероятността за определено събитие (винаги се случва нещо) и следователно е равна на единица (приема се, че b > а):Д У(а, b – а) = 1.

Нека D хмалцина. Критерият за достатъчна малкост зависи от специфичните свойства на системата, описана от вероятностното разпределение D У(х, Д х). Ако Д хмалък, тогава функцията D У(х, Д х) може да се разшири в редица по степени на D х:

Ако начертаем графика на зависимост D У(х, Д х) от втория аргумент D х, тогава замяната на точната зависимост с приблизителния израз (7) означава замяна (в малка област) на точната крива с част от парабола (7).

В (7) първият член е точно равен на нула, третият и следващите членове, ако D е достатъчно малък, хможе да се пропусне. Въвеждане на нотацията

дава важен резултатд У(х, Д х) » r( х) Д х (8)

Съотношение (8), което е по-точно, колкото по-малък е D хозначава, че за кратък интервал вероятността да попаднете в този интервал е пропорционална на неговата дължина.

Все още можете да преминете от малко, но последно D хдо формално безкрайно малък dx, с едновременното заместване на Д У(х, Д х) На dW(х). Тогава приблизителното равенство (8) се превръща в точно dW(х) = r( х)· dx(9)

Коефициент на пропорционалност r( х) има просто значение. Както може да се види от (8) и (9), r( х) е числено равно на вероятността за попадение хв интервал с единична дължина. Следователно, едно от имената на функцията r( х) е плътността на разпределението на вероятностите за променливата х.

Функция r( х) съдържа цялата информация за това как вероятността dW(х) хитове хв интервала с дадена дължина dxзависи от местоположението на този интервал, т.е. показва как е разпределена вероятността х. Следователно функцията r( х) обикновено се нарича функция на разпределение за променливата хи по този начин функцията на разпределение за тази физическа система, за да се опише спектърът от състояния, от които е въведена променливата х. Термините "плътност на вероятността" и "функция на разпределение" се използват взаимозаменяемо в статистическата физика.

Можем да разгледаме обобщение на определението за вероятност (6) и функция на разпределение (9) за случай, например, на три променливи. Обобщение към случая произволно Голям бройпроменливи се прави по абсолютно същия начин.

Нека състоянието на физическа система, произволно променяща се във времето, се определя от стойностите на три променливи х, гИ zс непрекъснат спектър:

хОТНОСНО [ а, b]

гОТНОСНО [ ° С, д]

zОТНОСНО [ д, f] (10)

Където а, b,…, f, както и преди, не са непременно крайни. Променливи х, гИ zмогат да бъдат например координатите на центъра на масата на газовата молекула, компонентите на нейния вектор на скоростта хЮ V x, гЮ V гИ zЮ Vzили импулс и т.н. Под събитие се разбира едновременното появяване на трите променливи в интервали с дължина D х, Д ги Д zсъответно, т.е.:

хОТНОСНО [ х, х+ D х]

гОТНОСНО [ г, г+ D г]

zОТНОСНО [ z, z+ D z] (11)

Вероятността за събитие (11) може да се определи подобно на (6)

с тази разлика, че сега Д н– брой измервания х, гИ z, чиито резултати едновременно удовлетворяват съотношения (11). Използването на разширение на серия, подобно на (7), дава

dW(х, г, z) = r( х, г, z)· dx dy dz(13)

където r( х, г, z) е функцията на разпределение за три променливи наведнъж х, гИ z.

В математическата теория на вероятностите терминът "функция на разпределение" се използва за обозначаване на величина, различна от r( х), а именно: нека x е някаква стойност на случайна променлива х. Функцията Ф(x), която дава вероятността, че хприема стойност не по-голяма от x и се нарича функция на разпределение. Функциите r и Ф имат различни значения, но са свързани. Използването на теоремата за добавяне на вероятности дава (тук Ае левият край на диапазона от възможни стойности х (см.ТЕОРИЯ НА ВЕРОЯТНОСТИТЕ: , (14) откъде

Използването на приблизителната връзка (8) дава D У(х, Д х) » r( х) Д х.

Сравнението с точния израз (15) показва, че използването на (8) е еквивалентно на замяна на интеграла в (16) с произведението на интегранта r( х) с дължината на интеграционния интервал D х:

Съотношението (17) ще бъде точно, ако r = конст, следователно грешката при замяна на (16) с (17) ще бъде малка, когато интегрантсе променя леко по дължината на интеграционния интервал D х.

Можете да въведете D x ефе дължината на интервала, на който функцията на разпределение r( х) се променя значително, т.е. по стойност от порядъка на самата функция или количеството Dr ефред по модул r. Използвайки формулата на Лагранж, можем да напишем:

от което следва, че Д x ефза всяка функция r

Функцията на разпределение може да се счита за "почти постоянна" за определен интервал на промяна на аргумента, ако нейното нарастване |Dr| на този интервал абсолютната стойност е много по-малка от самата функция в точките на този интервал. Изискване |Д-р| еф| ~ r (функция на разпределение r і 0) дава

д х x eff (20)

дължината на интервала на интегриране трябва да бъде малка в сравнение с този, на който интегралната функция се променя значително. Илюстрацията е фиг. 1.

Интеграл от лявата страна (17) равна на площпод кривата. Продуктът от дясната страна на (17) е областта на защрихованата на фиг. 1 колона. Критерият за малкостта на разликата между съответните площи е изпълнението на неравенство (20). Това може да се провери чрез заместване в интеграла (17) на първите членове на разширението на функцията r( х) в серия по степени

Изискването корекцията (вторият член от дясната страна на (21) да бъде сравнен с първия да е малка, дава неравенство (20) с D x ефот (19).

Примери за редица функции на разпределение, които играят важна роля в статистическата физика.

Разпределение на Максуел за проекцията на вектора на скоростта на молекула върху дадена посока (например, това е посоката на оста ОХ).

Тук ме масата на газова молекула, T- температурата му ке константата на Болцман.

Разпределение на Максуел за модула на вектора на скоростта:

Разпределение на Максуел за енергията на транслационното движение на молекулите e = mV 2/2

Разпределение на Болцман, по-точно така наречената барометрична формула, която определя разпределението на концентрацията на молекулите или въздушното налягане във височина чот някакво „нулево ниво“ при предположението, че температурата на въздуха не зависи от височината (модел на изотермична атмосфера). Всъщност температурата в ниските слоеве на атмосферата спада значително с увеличаване на надморската височина.

Резултатът от всеки случаен експеримент може да бъде характеризиран качествено и количествено. Качественарезултат от случаен експеримент - случаен събитие. Всякакви количествена характеристика, който в резултат на случаен експеримент може да приеме една от определен набор от стойности, - произволна стойност.Случайна стойност е едно от централните понятия на теорията на вероятностите.

Нека е произволно вероятностно пространство. Случайна величинае реална числова функция x \u003d x (w), w W , така че за всяко реално х .

Събитие обикновено се записва като x< х. По-нататък случайните променливи ще бъдат обозначени с малки гръцки букви x, h, z, …

Случайна променлива е броят точки, паднали при хвърляне на зарове, или височината на ученик, произволно избран от групата за обучение. В първия случай имаме работа с отделен случайна величина(взема стойности от дискретен набор от числа М=(1, 2, 3, 4, 5, 6) ; във втория случай, с непрекъснато случайна величина(взима стойности от непрекъснат набор от числа - от интервала на числовата линия аз=).

Всяка случайна променлива се определя изцяло от нейната разпределителна функция.

Ако x е случайна променлива, тогава функцията Е(х) = F x(х) = П(х< х) е наречен разпределителна функцияслучайна променлива x. Тук П(х<х) - вероятността случайната променлива x да приеме стойност, по-малка от х.

Важно е да се разбере, че функцията на разпределение е "паспорт" на случайна променлива: тя съдържа цялата информация за случайната променлива и следователно изследването на случайна променлива се състои в изследване на нейната разпределителни функции,често се нарича просто разпространение.

Функцията на разпределение на всяка случайна променлива има следните свойства:

Ако x е дискретна случайна променлива, приемаща стойностите х 1 <х 2 < … <x i < … с вероятностями стр 1 <стр 2 < … <пи < …, то таблица вида

х 1	х 2	…	x i	…
стр 1	стр 2	…	пи	…

Наречен разпределение на дискретна случайна променлива.

Функцията на разпределение на случайна променлива с такова разпределение има формата

Дискретна случайна променлива има функция на стъпаловидно разпределение. Например, за произволен брой точки, паднали при едно хвърляне на зар, графиката на разпределението, функцията на разпределение и функцията на разпределение изглеждат така:

1	2	3	4	5	6
1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Ако функцията на разпределение F x(х) е непрекъсната, тогава се извиква случайната променлива x непрекъсната случайна променлива.

Ако функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива диференцируеми, тогава дава по-визуално представяне на случайната променлива плътност на вероятността на случайна променлива p x(х), което е свързано с разпределителната функция F x(х) формули

И .

От това по-специално следва, че за всяка случайна променлива .

При решаването на практически проблеми често е необходимо да се намери стойността х, при което функцията на разпределение F x(х) случайната променлива x приема дадена стойност стр, т.е. трябва да решите уравнението F x(х) = стр. Решения на такова уравнение (съответните стойности х) в теорията на вероятностите се наричат квантили.

Квантил x p ( стр-квантил, квантил на ниво стр) случайна променлива с функция на разпределение F x(х), се нарича решение xpуравнения F x(х) = стр, стр(0, 1). За някои струравнението F x(х) = стрможе да има няколко решения, за някои - нито едно. Това означава, че за съответната случайна променлива някои квантили не са еднозначно дефинирани, а някои квантили не съществуват.

Всяка случайна променлива се определя изцяло от нейната разпределителна функция.

Функцията на разпределение на всяка случайна променлива има следните свойства:

х 1	х 2	…	x i	…
стр 1	стр 2	…	пи	…

Наречен разпределение на дискретна случайна променлива.

Функцията на разпределение на случайна променлива с такова разпределение има формата

1	2	3	4	5	6
1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

И .

От това по-специално следва, че за всяка случайна променлива .

Функцията на разпределение е най-общата форма за задаване на закона за разпределение. Използва се за указване както на дискретни, така и на непрекъснати случайни променливи. Обикновено се нарича . разпределителна функцияопределя вероятността една случайна променлива да приема стойности, по-малки от фиксирано реално число, т.е. . Функцията на разпределение напълно характеризира случайна променлива от вероятностна гледна точка. Нарича се още интегрална функция на разпределение.

Геометричната интерпретация на функцията на разпределение е много проста. Ако случайна променлива се разглежда като произволна точка на оста (фиг. 6), която в резултат на теста може да заеме една или друга позиция на тази ос, тогава функцията на разпределение е вероятността случайната точка, в резултат на теста, ще падне вляво от точката.

За дискретна случайна променлива , която може да приема стойностите ,, … ,, функцията на разпределение има формата

където неравенството под знака за сумата означава, че сумирането се простира до всички онези стойности, които са по-малки по величина. От тази формула следва, че функцията на разпределение на дискретна случайна променлива е прекъсната и нараства скокообразно при преминаване през точките,, …,, като скокът е равен на вероятността на съответната стойност (фиг. 7). Сумата от всички скокове във функцията на разпределение е равна на единица.

Непрекъсната случайна променлива има непрекъсната функция на разпределение, графиката на тази функция има формата на гладка крива (фиг. 8).

Ориз. 7. Фиг. 8.

Разгледайте общите свойства на функциите на разпределение.

Имот 1. Функцията на разпределение е неотрицателна функция, затворена между нула и едно:

Валидността на това свойство следва от факта, че функцията на разпределение се определя като вероятността от случайно събитие, състоящо се в това.

Имот 2. Вероятността случайна променлива да попадне в интервал е равна на разликата между стойностите на функцията на разпределение в краищата на този интервал, т.е.

От това следва, че вероятността за всяка отделна стойност на непрекъсната случайна променлива е нула.

Имот 3. Функцията на разпределение на случайна променлива е ненамаляваща функция, т.е .

Имот 4. При минус безкрайност функцията на разпределение е нула, а при плюс безкрайност функцията на разпределение е равна на единица, т.е.

Пример 1Функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива се дава от израза

Намерете коефициента и постройте графика. Определете вероятността случайна променлива в резултат на експеримента да приеме стойност в интервала.

Решение. Тъй като функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива е непрекъсната, получаваме: . Оттук. Графиката на функцията е показана на фиг. 9.

Въз основа на второто свойство на функцията на разпределение имаме:

4. Плътност на разпределение на вероятностите и нейните свойства.

Функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива е нейната вероятностна характеристика. Но той има недостатък, който се състои в това, че е трудно да се прецени естеството на разпределението на случайна величина в малък квартал на една или друга точка от числовата ос. По-визуално представяне на естеството на разпределението на непрекъсната случайна променлива се дава от функция, наречена плътност на разпределение на вероятността или диференциална функция на разпределение на случайна променлива.

Плътност на разпространениее равно на производната на функцията на разпределение, т.е.

Значението на плътността на разпределението е, че тя показва колко често случайна променлива се появява в определена околност на точка, когато експериментите се повтарят. Кривата, представяща плътността на разпределение на случайна променлива, се нарича крива на разпределение.

Разгледайте свойствата на плътността на разпределението.

Имот 1. Плътността на разпределение е неотрицателна, т.е.

Имот 2. Функцията на разпределение на случайна променлива е равна на интеграла от плътността в интервала от до, т.е.

Имот 3. Вероятността непрекъсната случайна променлива да удари сегмент е равна на интеграла от плътността на разпределение, взет върху този сегмент, т.е.

Имот 4. Интегралът в безкрайни граници на плътността на разпределението е равен на единица:

Пример 2Случайната променлива се подчинява на закона за разпределение с плътност

Определете коефициент ; построяване на графика на плътността на разпределението; намерете вероятността за попадение на случайна променлива в сегмента от до; определи функцията на разпределение и начертайте нейната графика.

Решение. Площта, ограничена от кривата на разпределение, е числено равна на

Като вземем предвид свойство 4 на плътността на разпределението, намираме: . Следователно плътността на разпределение може да се изрази, както следва:

Графиката на плътността на разпределението е показана на фиг. 10. По свойство 3 имаме

За да определим функцията на разпределение, използваме свойство 2:

По този начин имаме

Графиката на функцията на разпределението е показана на фиг. единадесет.