Площта на криволинейния трапец е Изчисляване на площите на равнинни фигури с помощта на интеграла. Примери за изчисляване на площта на фигура, ограничена от линии y=f(x) или x=g(y)

В този урок ще научим как да изчисляваме области на плоски фигури, които се наричат криволинейни трапеци .

Примери за такива фигури са на фигурата по-долу.

От една страна, намирането на площта на плоска фигура с помощта на определен интеграл е изключително просто. Говорим за площта на фигурата, която е ограничена отгоре от определена крива, отдолу - от абсцисната ос ( вол), а отляво и отдясно има няколко прави линии. Простотията е такава определеният интеграл на функцията, на която е дадена кривата, и има площта на такава фигура(криволинеен трапец).

За да изчислим площта на фигура, имаме нужда от:

Определен интеграл на функцията, определяща кривата , която ограничава криволинейния трапец отгоре. И тук идва първият важен нюанс: криволинейният трапец може да бъде ограничен от крива не само отгоре, но и отдолу . Как да действаме в този случай? Просто, но важно да запомните: интегралът в този случай се взема със знак минус .
Граници на интеграцията аИ b, което намираме от уравненията на линиите, които ограничават фигурата отляво и отдясно: х = а , х = b, Където аИ b- числа.

Отделно, още няколко нюанса.

Кривата, която ограничава криволинейния трапец отгоре (или отдолу), трябва да бъде графика на непрекъсната и неотрицателна функция г = f(х) .

X стойностите трябва да принадлежат към сегмента [а, b] . Тоест, не се вземат предвид такива, например, линии като разрез на гъба, в които кракът идеално се вписва в този сегмент, а шапката е много по-широка.

Страничните сегменти могат да се изродят в точки . Ако сте видели такава фигура на чертежа, това не трябва да ви обърква, тъй като тази точка винаги има своя собствена стойност на оста x. Така че всичко е наред с границите на интеграция.

Сега можете да преминете към формули и изчисления. Така че областта скриволинеен трапец може да се изчисли по формулата

Ако f(х) ≤ 0 (графиката на функцията е разположена под оста вол), Че площ на извит трапецможе да се изчисли по формулата

Има и случаи, когато и горната, и долната граница на фигурата са съответно функции г = f(х) И г = φ (х) , тогава площта на такава фигура се изчислява по формулата

. (3)

Решаваме проблеми заедно

Нека започнем със случаите, когато площта на фигура може да се изчисли по формула (1).

Пример 1вол) и директно х = 1 , х = 3 .

Решение. защото г = 1/х> 0 на сегмента , тогава площта на криволинейния трапец се намира по формулата (1):

Пример 2Намерете площта на фигурата, ограничена от графиката на функцията, права линия х= 1 и оста x ( вол ).

Решение. Резултатът от прилагането на формула (1):

Ако тогава с= 1/2; ако тогава с= 1/3 и т.н.

Пример 3Намерете площта на фигурата, ограничена от графиката на функцията, оста x ( вол) и директно х = 4 .

Решение. Фигурата, отговаряща на условието на задачата, е криволинеен трапец, в който лявата отсечка се е изродила в точка. Границите на интегриране са 0 и 4. Тъй като съгласно формула (1), намираме площта на криволинейния трапец:

Пример 4Намерете площта на фигурата ограничени с линии, , и се намира в 1-ви кв.

Решение. За да използваме формула (1), представяме площта на фигурата, дадена от условията на примера, като сбор от площите на триъгълник OABи криволинеен трапец ABC. При изчисляване на площта на триъгълник OABграниците на интегриране са абсцисите на точките ОИ А, а за фигурата ABC- абсцисите на точките АИ ° С (Ае пресечната точка на линията ОАи параболи, и ° С- точка на пресичане на параболата с оста вол). Решавайки съвместно (като система) уравненията на права линия и парабола, получаваме (абсцисата на точката А) и (абсцисата на друга пресечна точка на правата и параболата, която не е необходима за решението). По същия начин получаваме , (абсцисите на точките ° СИ д). Сега имаме всичко, за да намерим площта на фигурата. Намираме:

Пример 5Намерете площта на криволинейния трапец ACDB, ако уравнението на кривата CDи абсцисата АИ бсъответно 1 и 2.

Решение. Изразяваме това уравнение на кривата чрез Y: Площта на криволинейния трапец се намира по формулата (1):

Нека да преминем към случаите, когато площта на фигура може да се изчисли по формула (2).

Пример 6Намерете площта на фигурата, ограничена от параболата и оста x ( вол ).

Решение. Тази фигура се намира под оста x. Следователно, за да изчислим неговата площ, използваме формула (2). Границите на интегриране са абсцисите и точките на пресичане на параболата с оста вол. следователно

Пример 7Намерете площта между оста x ( вол) и две съседни синусоиди.

Решение. Площта на тази фигура може да се намери по формулата (2):

Нека намерим всеки термин поотделно:

Накрая намираме областта:

Пример 8Намерете площта на фигурата, затворена между параболата и кривата.

Решение. Нека изразим уравненията на линиите по отношение на Y:

Площта по формулата (2) ще се получи като

Където аИ b- абсцисите на точките АИ б. Намираме ги, като решаваме заедно уравненията:

Накрая намираме областта:

И накрая, има случаи, когато площта на фигура може да се изчисли по формула (3).

Пример 9Намерете площта на фигурата, затворена между параболите И .

Приложение на интеграла за решаване на приложни задачи

Изчисляване на площ

Определеният интеграл на непрекъсната неотрицателна функция f(x) е числено равен наплощта на криволинейния трапец, ограничен от кривата y \u003d f (x), оста O x и правите линии x \u003d a и x \u003d b. Съответно формулата за площ се записва, както следва:

Разгледайте някои примери за изчисляване на площите на равнинни фигури.

Задача номер 1. Изчислете площта, ограничена от линиите y \u003d x 2 +1, y = 0, x \u003d 0, x \u003d 2.

Решение.Нека изградим фигура, чиято площ ще трябва да изчислим.

y \u003d x 2 + 1 е парабола, чиито клони са насочени нагоре, а параболата е изместена нагоре с една единица спрямо оста O y (Фигура 1).

Фигура 1. Графика на функцията y = x 2 + 1

Задача номер 2. Изчислете площта, ограничена от линиите y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 в диапазона от 0 до 1.

Решение.Графиката на тази функция е параболата на клона, която е насочена нагоре, а параболата е изместена надолу с една единица спрямо оста O y (Фигура 2).

Фигура 2. Графика на функцията y \u003d x 2 - 1

Задача номер 3. Направете чертеж и изчислете площта на фигурата, ограничена от линии

y = 8 + 2x - x 2 и y = 2x - 4.

Решение.Първата от тези две линии е парабола с клони, сочещи надолу, тъй като коефициентът при x 2 е отрицателен, а втората линия е права линия, пресичаща двете координатни оси.

За да построим парабола, нека намерим координатите на нейния връх: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – абциса на върха; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 е неговата ордината, N(1;9) е неговият връх.

Сега намираме точките на пресичане на параболата и правата, като решаваме системата от уравнения:

Приравняване на десните страни на уравнение, чиито леви страни са равни.

Получаваме 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 или x 2 - 12 \u003d 0, откъдето .

И така, точките са точките на пресичане на параболата и правата линия (Фигура 1).

Фигура 3 Графики на функциите y = 8 + 2x – x 2 и y = 2x – 4

Нека построим права линия y = 2x - 4. Тя минава през точките (0;-4), (2; 0) на координатните оси.

За да изградите парабола, можете също да имате нейните пресечни точки с оста 0x, тоест корените на уравнението 8 + 2x - x 2 = 0 или x 2 - 2x - 8 = 0. По теоремата на Vieta това е лесно се намират неговите корени: x 1 = 2, x 2 = 4.

Фигура 3 показва фигура (параболичен сегмент M 1 N M 2), ограничена от тези линии.

Втората част от проблема е да се намери площта на тази фигура. Площта му може да се намери с помощта на определен интегралспоред формулата .

По отношение на това условие получаваме интеграла:

2 Изчисляване на обема на въртеливо тяло

Обемът на тялото, получен от въртенето на кривата y \u003d f (x) около оста O x, се изчислява по формулата:

При завъртане около оста O y формулата изглежда така:

Задача номер 4. Определете обема на тялото, получено от въртенето на криволинеен трапец, ограничен от прави линии x \u003d 0 x \u003d 3 и крива y \u003d около оста O x.

Решение.Нека изградим чертеж (Фигура 4).

Фигура 4. Графика на функцията y =

Желаният обем е равен на

Задача номер 5. Да се изчисли обемът на тялото, получено от въртенето на криволинейния трапец, ограничен от крива y = x 2 и прави y = 0 и y = 4 около оста O y .

Решение.Ние имаме:

Въпроси за преглед

Задачата е училищна, но въпреки факта, почти 100% ще се срещне във вашия курс висша математика. Ето защо съвсем сериозноще разгледаме ВСИЧКИ примери и първото нещо, което трябва да направите, е да се запознаете с тях Приложение Функционални графики да освежите техниката за конструиране на елементарни графики. …Яжте? Страхотен! Типично изложение на задача е както следва:

Пример 10
.

И първи крайъгълен камък решениясе състои само в изграждане на чертеж. Като се има предвид това, препоръчвам следния ред: първопо-добре е да изградите всичко прав(ако има) и само Тогава – параболи, хипербола, графики на други функции.

В нашата задача: правопределя оста правуспоредна на оста и параболае симетричен спрямо оста , за него намираме няколко референтни точки:

Желателно е желаната фигура да се излюпи:

Втора фазае да композирайте правилноИ изчислете правилноопределен интеграл. На сегмента е разположена графиката на функцията над ос, така че необходимата площ е:

Отговор:

След като задачата е изпълнена, е полезно да погледнете плана
и вижте дали отговорът е реалистичен.

И ние "на око" броим броя на защрихованите клетки - добре, около 9 ще бъдат въведени, изглежда вярно. Съвсем ясно е, че ако имаме, да речем, 20 квадратни единици, тогава, очевидно, някъде е допусната грешка - 20 клетки очевидно не се вписват в построената фигура, най-много дузина. Ако отговорът се окаже отрицателен, значи задачата също е решена неправилно.

Пример 11
Изчислете площта на фигура, ограничена от линии и ос

Бързо загряваме (задължително!) И разглеждаме „огледалната“ ситуация - когато се намира криволинейният трапец под ос:

Пример 12
Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии и координатни оси.

Решение: намерете няколко референтни точки за конструиране на експонента:

и изпълнете чертежа, като получите фигура с площ от около две клетки:

Ако се намира криволинейният трапец не по-високаос , то неговата площ може да се намери по формулата: .
В такъв случай:

Отговор: - добре, много, много подобно на истината.

На практика най-често фигурата се намира както в горната, така и в долната полуравнина и затова преминаваме от най-простите училищни задачи към по-смислени примери:

Пример 13
Намерете площта на плоска фигура, ограничена от линии, .

Решение: първо трябва да завършите чертежа, докато ние се интересуваме особено от пресечните точки на параболата и линията, тъй като ще има интеграционни граници. Можете да ги намерите по два начина. Първият начин е аналитичен. Нека съставим и решим уравнението:

По този начин:

Достойнствоаналитичният метод се състои в негов точност, А недостатък- В продължителност(и в този пример все още имаме късмет). Следователно в много задачи е по-изгодно да се конструират линии точка по точка, докато границите на интеграция се откриват сякаш „сами по себе си“.

С права линия всичко е ясно, но за изграждане на парабола е удобно да се намери нейният връх, за това вземаме производната и я приравняваме към нула:
- това е точката, където ще бъде разположен върхът. И поради симетрията на параболата ще намерим останалите референтни точки според принципа „ляво-дясно“:

Да направим чертеж:

А сега работната формула:ако на интервала някои непрекъснатофункция по-голямо или равно непрекъснатофункции, тогава площта на фигурата, ограничена от графиките на тези функции и сегментите на линията, може да се намери по формулата:

Тук вече не е необходимо да мислите къде се намира фигурата - над оста или под оста, но, грубо казано, има значение коя от двете графики е ГОРЕ.

В нашия пример е очевидно, че на сегмента параболата е разположена над правата линия и следователно е необходимо да се извади от

Завършването на решението може да изглежда така:

На отсечката: , съгласно съответната формула:

Отговор:

Трябва да се отбележи, че простите формули, разгледани в началото на параграфа, са специални случаи на формулата . Тъй като оста е дадена от уравнението, тогава една от функциите ще бъде нула и в зависимост от това дали криволинейният трапец лежи отгоре или отдолу, получаваме формулата или

А сега няколко типични задачи за самостоятелно решение

Пример 14
Намерете площта на фигурите, ограничени от линии:

Решение с рисунки и кратки коментари в края на книгата

В хода на решаването на разглеждания проблем понякога се случва забавна случка. Чертежът е направен правилно, интегралът е решен правилно, но поради невнимание ... намери областта на грешната фигура, така покорният ти слуга се обърка няколко пъти. Ето един случай от реалния живот:

Пример 15
Изчислете площта на фигура, ограничена от линии

Решение: нека направим проста рисунка,

чийто номер е в това желаната зона е засенчена в зелено (внимателно погледнете състоянието - колко е ограничена фигурата!). Но на практика, поради невнимание, често се случва „бъг“, че трябва да намерите областта на фигурата, която е засенчена в сиво! Особено коварство е, че линията може да бъде изтеглена под оста и тогава изобщо няма да видим желаната фигура.

Този пример е полезен и с това, че в него площта на фигурата се изчислява с помощта на два определени интеграла. Наистина ли:

1) върху сегмента над оста има графика с права линия;
2) върху сегмента над оста има графика на хипербола.

Съвсем ясно е, че областите могат (и трябва) да бъдат добавени:

Отговор:

И информативен пример за самостоятелно решение:

Пример 16
Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии , , и координатни оси.

И така, систематизираме важните моменти от тази задача:

На първата стъпкаВНИМАТЕЛНО проучете условието - КАКВИ функции са ни дадени? Грешки се случват дори тук, по-специално, дъга да сеДопирателната често се бърка с аркутангенса. Между другото, това важи и за други задачи, където се появява аркутангенса.

По-нататъкрисунката трябва да бъде направена ПРАВИЛНО. По-добре първо да се изгради прав(ако има), след това графики на други функции (ако има J). Последните в много случаи са по-изгодни за изграждане точка по точка- намерете няколко опорни точки и внимателно ги свържете с линия.

Но тук могат да ви чакат следните трудности. Първо, не винаги е ясно от чертежа интеграционни граници- това се случва, когато са дробни. На mathprofi.ru на адрес съответната статияРазгледах пример с парабола и права линия, където една от пресечните им точки не е ясна от чертежа. В такива случаи трябва да използвате аналитичния метод, съставяме уравнението:

и намерете корените му:
– долна граница на интеграция, – горен лимит.

След като чертежът е изграден, анализирайте получената фигура - отново разгледайте предложените функции и проверете отново дали ТОВА е фигура. След това анализираме формата и местоположението му, случва се зоната да е доста сложна и тогава трябва да се раздели на две или дори три части.

Съставяме определен интегралили няколко интеграла по формулата , анализирахме всички основни вариации по-горе.

Решаваме определен интеграл(с). В същото време може да се окаже доста сложно и тогава прилагаме поетапен алгоритъм: 1) намерете антипроизводното и го проверете чрез диференциране, 2) Използваме формулата на Нютон-Лайбниц.

Резултатът е полезен за проверкас помощта на софтуер / онлайн услуги или просто „оценете“ според чертежа по клетки. Но и двете не винаги са осъществими, затова сме изключително внимателни към всеки етап от решението!

Пълна и актуална версия на този курс в pdf формат,
както и курсове по други теми могат да бъдат намерени.

Можете също - просто, достъпно, забавно и безплатно!

С най-добри пожелания Александър Емелин

Пример1 . Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 и x = 2

Нека изградим фигура (вижте фиг.) Изграждаме права линия x + 2y - 4 \u003d 0 по две точки A (4; 0) и B (0; 2). Изразявайки y по отношение на x, получаваме y = -0,5x + 2. Съгласно формулата (1), където f (x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2, намираме

S \u003d \u003d [-0,25 \u003d 11,25 кв. единици

Пример 2 Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 и y \u003d 0.

Решение. Нека изградим фигура.

Нека построим права линия x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Да построим права линия x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Намерете пресечната точка на правите, като решите системата от уравнения:

x = 2, y = 3; М(2; 3).

За да изчислим желаната площ, разделяме триъгълника AMC на два триъгълника AMN и NMC, тъй като когато x се променя от A на N, площта е ограничена от права линия, а когато x се променя от N на C, това е права линия

За триъгълник AMN имаме: ; y \u003d 0,5x + 2, т.е. f (x) = 0,5x + 2, a = - 4, b \u003d 2.

За триъгълника NMC имаме: y = - x + 5, т.е. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Изчислявайки площта на всеки от триъгълниците и добавяйки резултатите, намираме:

кв. единици

9 + 4, 5 = 13,5 кв. единици Проверка: = 0.5AC = 0.5 кв. единици

Пример 3 Изчислете площта на фигура, ограничена от линии: y = x 2 , y=0, x=2, x=3.

В този случай е необходимо да се изчисли площта на криволинейния трапец, ограничен от парабола y = x 2 , прави x \u003d 2 и x \u003d 3 и оста Ox (вижте фиг.) Съгласно формула (1) намираме площта на криволинейния трапец

= = 6kv. единици

Пример 4 Изчислете площта на фигура, ограничена от линии: y \u003d - x 2 + 4 и y = 0

Нека изградим фигура. Желаната област е затворена между параболата y \u003d - x 2 + 4 и ос Oh.

Намерете точките на пресичане на параболата с оста x. Ако приемем y \u003d 0, намираме x \u003d Тъй като тази фигура е симетрична спрямо оста Oy, ние изчисляваме площта на фигурата, разположена вдясно от оста Oy, и удвояваме резултата: \u003d + 4x] кв. единици 2 = 2 кв. единици

Пример 5 Изчислете площта на фигура, ограничена от линии: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Тук се изисква да се изчисли площта на криволинейния трапец, ограничен от горния клон на параболата y 2 \u003d x, оста Ox и прави линии x \u003d 1x \u003d 4 (виж фиг.)

Съгласно формула (1), където f(x) = a = 1 и b = 4, имаме = (= кв. единици

Пример 6 . Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Желаната област е ограничена от полувълнова синусоида и оста Ox (виж фиг.).

Имаме - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 квадратни метра. единици

Пример 7 Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии: y \u003d - 6x, y \u003d 0 и x \u003d 4.

Фигурата е разположена под оста Ox (виж фиг.).

Следователно неговата площ се намира по формулата (3)

= =

Пример 8 Изчислете площта на фигурата, ограничена от линиите: y \u003d и x \u003d 2. Ще изградим кривата y \u003d по точки (вижте фиг.). По този начин площта на фигурата се намира по формулата (4)

Пример 9 .

х 2 + y 2 = r 2 .

Тук трябва да изчислите площта, ограничена от кръга x 2 + y 2 = r 2 , т.е. площта на кръг с радиус r с център в началото. Нека намерим четвъртата част от тази област, като вземем границите на интеграция от 0

дор; ние имаме: 1 = = [

следователно 1 =

Пример 10 Изчислете площта на фигурата, ограничена от линии: y \u003d x 2 и y = 2x

Тази цифра е ограничена от параболата y \u003d x 2 и права линия y \u003d 2x (вижте фиг.) За определяне на пресечните точки дадени линиирешаване на системата от уравнения: x 2 – 2x = 0 x = 0 и x = 2

Използвайки формула (5), за да намерим площта, получаваме

= }