Изчисляване на площта на фигура, ограничена от параметрично дефинирана крива. Как да изчислим площта на фигура и обема на въртящо се тяло, ако линията е зададена параметрично? Област на параметрично дефинирана функция

Нека намерим обема на тялото, генериран от въртенето на циклоидната дъга около нейната основа. Робервал го открива, като разбива полученото яйцевидно тяло (фиг. 5.1) на безкрайно тънки слоеве, вписвайки цилиндри в тези слоеве и сумирайки техните обеми. Доказателството е дълго, досадно и не съвсем строго. Ето защо, за да го изчислим, се обръщаме към висша математика. Нека зададем параметрично уравнението на циклоидата.

В интегралното смятане, когато изучава обеми, той използва следната забележка:

Ако кривата, ограничаваща криволинейния трапец, е дадена с параметрични уравнения и функциите в тези уравнения удовлетворяват условията на теоремата за промяната на променливата в определен интеграл, тогава обемът на тялото на въртене на трапеца около оста Ox ще се изчислява по формулата:

Нека използваме тази формула, за да намерим обема, от който се нуждаем.

По същия начин изчисляваме повърхността на това тяло.

L=((x,y): x=a(t - sin t), y=a(1 - цена), 0 ? t ? 2р)

В интегралното смятане има следната формула за намиране на площта на повърхността на въртящо се тяло около оста x на крива, определена на сегмент параметрично (t 0 ?t ?t 1):

Прилагайки тази формула към нашето циклоидно уравнение, получаваме:

Помислете също за друга повърхност, генерирана от въртенето на циклоидната дъга. За да направим това, ще изградим огледално отражение на циклоидната арка спрямо нейната основа и ще завъртим овалната фигура, образувана от циклоида и нейното отражение около оста KT (фиг. 5.2)

Първо, нека намерим обема на тялото, образувано от въртенето на циклоидната дъга около оста KT. Обемът му се изчислява по формулата (*):

Така изчислихме обема на половината от това тяло на ряпа. Тогава общият обем ще бъде

Преди да преминем към формулите за площта на повърхността на въртене, даваме кратка формулировка на самата повърхност на въртене. Повърхността на въртене или, което е същото, повърхността на въртеливото тяло е пространствена фигура, образувана от въртенето на сегмент ABкрива около оста вол(снимката по-долу).

Нека си представим криволинеен трапец, ограничен отгоре от споменатия сегмент на кривата. Тялото, образувано от въртенето на този трапец около същата ос вол, и има тяло на революцията. И повърхността на въртене или повърхността на ротационно тяло е неговата външна обвивка, без да се броят кръговете, образувани от въртене около оста на линиите х = аИ х = b .

Обърнете внимание, че тялото на въртене и съответно неговата повърхност може да се образува и чрез завъртане на фигурата не около оста вол, и около оста Ой.

Изчисляване на площта на повърхността на въртене, дадена в правоъгълни координати

Нека в правоъгълни координати в равнината от уравнението г = f(х) дадена е крива, чието въртене около координатната ос образува тяло на въртене.

Формулата за изчисляване на площта на въртене е следната:

(1).

Пример 1Намерете повърхността на параболоид, образуван от въртене около ос волдъгата на параболата, съответстваща на промяната хот х= 0 до х = а .

Решение. Изрично изразяваме функцията, която дефинира дъгата на параболата:

Нека намерим производната на тази функция:

Преди да използваме формулата за намиране на площта на повърхността на въртене, нека запишем частта от нейния интегранд, която е коренът, и да заместим производната, която току-що намерихме там:

Отговор: Дължината на дъгата на кривата е

.

Пример 2Намерете площта на повърхността, образувана от въртене около ос воластроиди.

Решение. Достатъчно е да изчислим повърхността, получена от въртенето на един клон на астроида, разположен в първата четвърт, и да го умножим по 2. От уравнението на астроида изрично изразяваме функцията, която ще трябва да заместим във формулата за да намерите повърхността на въртене:

.

Извършваме интеграция от 0 до а:

Изчисляване на площта на въртене, дадена параметрично

Разгледайте случая, когато кривата, образуваща повърхността на въртене, е дадена от параметричните уравнения

Тогава площта на повърхността на въртене се изчислява по формулата

(2).

Пример 3Намерете площта на повърхността на въртене, образувана от въртенето около ос Ойфигура, ограничена от циклоида и права линия г = а. Циклоидата се дава от параметричните уравнения

Решение. Намерете пресечните точки на циклоидата и правата. Приравняване на уравнението на циклоидата и уравнението на правата линия г = а, намирам

От това следва, че границите на интеграция съответстват на

Сега можем да приложим формула (2). Нека намерим производни:

Записваме радикалния израз във формулата, като заместваме намерените производни:

Нека намерим корена на този израз:

.

Заместете намереното във формулата (2):

.

Нека направим замяна:

И накрая намираме

При преобразуването на изразите са използвани тригонометрични формули

Отговор: Площта на повърхността на въртене е .

Изчисляване на площта на повърхността на въртене, дадена в полярни координати

Нека кривата, чието въртене образува повърхността, е дадена в полярни координати.

Както при проблема с намирането на областта, имате нужда от уверени умения за рисуване - това е почти най-важното нещо (тъй като самите интеграли често ще бъдат лесни). Научете се компетентно и бърза техникадиаграмите могат да бъдат направени с помощта на учебни материалии геометрични графични трансформации. Но всъщност многократно съм говорил за важността на рисунките в урока.

Като цяло има много интересни приложения в интегралното смятане, с помощта на определен интеграл можете да изчислите площта на фигурата, обема на въртящото се тяло, дължината на дъгата, повърхността на въртене и много повече. Така че ще бъде забавно, моля, бъдете оптимисти!

Представете си някои плоска фигурана координатната равнина. Представено? ... Чудя се кой какво е представил ... =))) Вече намерихме района му. Но освен това тази фигура може да се върти и то по два начина:

- около абсцисната ос;
- около оста y.

В тази статия ще бъдат разгледани и двата случая. Вторият метод на въртене е особено интересен, той причинява най-големи трудности, но всъщност решението е почти същото като при по-често срещаното въртене около оста x. Като бонус ще се върна към проблемът с намирането на площта на фигура, и да ви кажа как да намерите областта по втория начин - по оста. Дори не е толкова бонус, тъй като материалът се вписва добре в темата.

Нека започнем с най-популярния тип ротация.

плоска фигура около ос

Пример 1

Изчислете обема на тялото, получено при завъртане на фигурата, ограничена с линии, около оста.

Решение: Както при проблема с района, решението започва с чертеж на плоска фигура. Тоест, на равнината е необходимо да се изгради фигура, ограничена от линии, , като не забравяме, че уравнението определя оста. Как да направите чертеж по-рационално и по-бързо можете да намерите на страниците Графики и свойства на елементарни функцииИ Определен интеграл. Как да изчислим площта на фигура. Това е китайско напомняне и аз не спирам до тук.

Чертежът тук е доста прост:

Желаната плоска фигура е оцветена в синьо и именно тази фигура се върти около оста.В резултат на въртене се получава такава леко яйцевидна летяща чиния, която е симетрична спрямо оста. Всъщност тялото има математическо име, но е твърде мързеливо да посочи нещо в справочника, така че продължаваме нататък.

Как да изчислим обема на въртеливото тяло?

Обемът на тялото на въртене може да се изчисли по формулата:

Във формулата трябва да има число преди интеграла. Просто така се случи - всичко, което се върти в живота, е свързано с тази константа.

Как да зададете границите на интеграция "a" и "be", мисля, че е лесно да се познае от завършения чертеж.

Функция... каква е тази функция? Да погледнем чертежа. Плоската фигура е ограничена от параболата отгоре. Това е функцията, която се подразбира във формулата.

IN практически задачиплоска фигура понякога може да бъде разположена под оста. Това не променя нищо - интегрантът във формулата е на квадрат: , следователно интегралът винаги е неотрицателен, което е съвсем логично.

Изчислете обема на тялото на въртене, като използвате тази формула:

Както вече отбелязах, интегралът почти винаги се оказва прост, основното е да внимавате.

Отговор:

В отговора е необходимо да посочите размерността - кубични единици. Тоест в нашето тяло на въртене има приблизително 3,35 "кубчета". Защо точно кубичен единици? Тъй като най-универсалната формулировка. Може да има кубични сантиметри, може да има кубични метри, може да има кубични километри и т.н., ето колко малки зелени човечета въображението ви може да побере в една летяща чиния.

Пример 2

Намерете обема на тялото, образувано от въртене около оста на фигурата, ограничена от линиите , ,

Това е пример за „направи си сам“. Пълно решение и отговор в края на урока.

Нека разгледаме два по-сложни проблема, които също често се срещат в практиката.

Пример 3

Изчислете обема на тялото, получено при завъртане около абсцисната ос на фигурата, ограничена от линиите , , и

Решение: Начертайте плоска фигура в чертежа, ограничена от линии , , , , като не забравяте, че уравнението определя оста:

Желаната фигура е оцветена в синьо. Когато се завърти около оста, се получава една такава сюрреалистична поничка с четири ъгъла.

Обемът на тялото на въртене се изчислява като разлика в обема на тялото.

Първо, нека разгледаме фигурата, която е оградена в червено. При въртенето му около оста се получава пресечен конус. Нека обозначим обема на този пресечен конус като .

Помислете за фигурата, която е оградена в зелено. Ако завъртите тази фигура около оста, ще получите и пресечен конус, само малко по-малък. Нека обозначим неговия обем с .

И очевидно разликата в обемите е точно обемът на нашата „поничка“.

Използваме стандартната формула за намиране на обема на въртящо се тяло:

1) Фигурата, оградена в червено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

2) Фигурата, оградена в зелено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

3) Обемът на желаното тяло на въртене:

Отговор:

Любопитно е, че в този случай решението може да се провери с помощта на училищната формула за изчисляване на обема на пресечен конус.

Самото решение често се прави по-кратко, нещо подобно:

Сега нека си дадем почивка и да поговорим за геометричните илюзии.

Хората често имат илюзии, свързани с томове, които Перелман (друг) забеляза в книгата Интересна геометрия. Погледнете плоската фигура в решената задача - тя изглежда малка по площ, а обемът на тялото на въртене е малко над 50 кубични единици, което изглежда твърде голямо. Между другото, средностатистическият човек през целия си живот пие течност с обем на стая от 18 квадратни метра, което, напротив, изглежда твърде малък обем.

Като цяло образователната система в СССР наистина беше най-добрата. Същата книга на Перелман, публикувана през 1950 г., развива много добре, както каза хумористът, разсъждения и ви учи да търсите оригинални нестандартни решения на проблеми. Наскоро препрочетох някои глави с голям интерес, препоръчвам го, достъпно е дори за хуманитаристи. Не, не е нужно да се усмихвате, че предложих безпроблемно забавление, ерудицията и широките перспективи в общуването са страхотно нещо.

След лирично отклонение е подходящо да решите творческа задача:

Пример 4

Да се ​​изчисли обемът на тяло, образувано от въртене около оста на плоска фигура, ограничена от линиите , , където .

Това е пример за „направи си сам“. Имайте предвид, че всички неща се случват в лентата, с други думи, действително са дадени готови граници на интеграция. Направете правилната графика тригонометрични функции, припомнете си материала от урока за геометрични трансформации на графики: ако аргументът се дели на две: , тогава графиките се разтягат по оста два пъти. Желателно е да намерите поне 3-4 точки според тригонометричните таблициза по-точно завършване на чертежа. Пълно решение и отговор в края на урока. Между другото, задачата може да бъде решена рационално и не много рационално.

Изчисляване на обема на тяло, образувано от въртене
плоска фигура около ос

Вторият параграф ще бъде още по-интересен от първия. Задачата за изчисляване на обема на въртящо се тяло около оста y също е доста чест гост в контролна работа. В преминаване ще бъдат разгледани проблем за намиране на площта на фигуравторият начин - интеграция по оста, това ще ви позволи не само да подобрите уменията си, но и ще ви научи как да намерите най-изгодното решение. Има и практическо значение! Както моята учителка по методика на преподаване на математика си спомня с усмивка, много възпитаници й благодариха с думите: „Вашият предмет ни помогна много, сега сме ефективни мениджъри и управляваме персонала си оптимално.“ Използвайки случая, аз също изказвам своята голяма благодарност към нея, особено след като използвам придобитите знания по предназначение =).

Препоръчвам го за четене от всички, дори и от пълни манекени. Освен това усвоеният материал от втори параграф ще бъде от безценна помощ при изчисляването на двойни интеграли.

Пример 5

Дадена е плоска фигура, ограничена от линии , , .

1) Намерете площта на плоска фигура, ограничена от тези линии.
2) Намерете обема на тялото, получено чрез завъртане на плоска фигура, ограничена от тези линии, около оста.

внимание!Дори ако искате да прочетете само втория параграф, първо Задължителнопрочети първата!

Решение: Задачата се състои от две части. Да започнем с квадрата.

1) Нека изпълним чертежа:

Лесно се вижда, че функцията дефинира горния клон на параболата, а функцията дефинира долния клон на параболата. Пред нас е тривиална парабола, която "лежи на една страна".

Желаната фигура, чиято площ трябва да се намери, е оцветена в синьо.

Как да намерите площта на фигура? Може да се намери по "обичайния" начин, който беше разгледан в урока. Определен интеграл. Как да изчислим площта на фигура. Освен това площта на фигурата се намира като сбор от площите:
- на сегмента ;
- на сегмента.

Ето защо:

Какво не е наред с обичайното решение в този случай? Първо, има два интеграла. Второ, корените под интегралите и корените в интегралите не са подарък, освен това човек може да се обърка при заместването на границите на интегрирането. Всъщност интегралите, разбира се, не са смъртоносни, но на практика всичко е много по-тъжно, просто взех „по-добри“ функции за задачата.

Има по-рационално решение: то се състои в прехода към обратни функциии интеграция по оста.

Как да преминем към обратни функции? Грубо казано, трябва да изразите "x" чрез "y". Първо, нека се справим с параболата:

Това е достатъчно, но нека се уверим, че същата функция може да бъде извлечена от долния клон:

С права линия всичко е по-лесно:

Сега погледнете оста: моля, периодично накланяйте главата си надясно на 90 градуса, докато обяснявате (това не е шега!). Фигурата, от която се нуждаем, лежи върху сегмента, който е обозначен с червена пунктирана линия. Освен това на сегмента правата линия е разположена над параболата, което означава, че площта на фигурата трябва да се намери с помощта на формулата, която вече ви е позната: . Какво се промени във формулата? Само едно писмо и нищо повече.

! Забележка: Границите на интегриране по оста трябва да бъдат зададени строго отдолу нагоре!

Намиране на областта:

Следователно на сегмента:

Забележете как направих интеграцията, това е най-много рационален начин, а в следващия параграф от заданието ще стане ясно защо.

За читателите, които се съмняват в правилността на интеграцията, ще намеря производни:

Получава се оригиналният интегранд, което означава, че интегрирането е извършено правилно.

Отговор:

2) Изчислете обема на тялото, образувано от въртенето на тази фигура около оста.

Ще преначертая чертежа в малко по-различен дизайн:

И така, фигурата, оцветена в синьо, се върти около оста. Резултатът е "витаеща пеперуда", която се върти около оста си.

За да намерим обема на тялото на въртене, ще интегрираме по оста. Първо трябва да преминем към обратните функции. Това вече беше направено и описано подробно в предишния параграф.

Сега отново накланяме главата си надясно и изучаваме фигурата си. Очевидно обемът на тялото на въртене трябва да се намери като разликата между обемите.

Завъртаме фигурата, оградена в червено около оста, което води до пресечен конус. Нека обозначим този обем с .

Завъртаме фигурата, оградена в зелено, около оста и я обозначаваме чрез обема на полученото тяло на въртене.

Обемът на нашата пеперуда е равен на разликата в обемите.

Използваме формулата, за да намерим обема на въртящо се тяло:

Как се различава от формулата от предишния параграф? Само с букви.

И ето предимството на интеграцията, за което говорих преди малко, много по-лесно се намира отколкото предварително изправени интегрантдо 4-та степен.

Отговор:

Въпреки това, болнава пеперуда.

Имайте предвид, че ако една и съща плоска фигура се завърти около оста, тогава ще се получи напълно различно тяло на революция, с различен, естествено, обем.

Пример 6

Дадена е плоска фигура, ограничена от линии и ос.

1) Отидете на обратни функции и намерете областта на плоска фигура, ограничена от тези линии, като интегрирате върху променливата.
2) Изчислете обема на тялото, получено чрез завъртане на плоска фигура, ограничена от тези линии, около оста.

Това е пример за „направи си сам“. Тези, които желаят, могат също да намерят площта на фигурата по "обичайния" начин, като по този начин завършат теста от точка 1). Но ако, повтарям, завъртите плоска фигура около оста, тогава получавате напълно различно тяло на въртене с различен обем, между другото, правилният отговор (също и за тези, които обичат да решават).

Пълното решение на двете предложени точки от задачата в края на урока.

О, и не забравяйте да наклоните главата си надясно, за да разберете ротационните тела и в рамките на интеграцията!

Лекции 8. Приложения на определен интеграл.

Прилагането на интеграла към физически проблеми се основава на свойството адитивност на интеграла върху множество. Следователно с помощта на интеграла могат да се изчислят такива величини, които сами по себе си са адитивни в множеството. Например, площта на фигура е равна на сумата от площите на частите й. Дължината на дъгата, повърхността, обемът на тялото и масата на тялото имат същото свойство. Следователно всички тези величини могат да бъдат изчислени с помощта на определен интеграл.

Има два начина за решаване на проблеми: методът на интегралните суми и методът на диференциалите.

Методът на интегралните суми повтаря конструкцията на определен интеграл: конструира се дял, маркират се точки, в тях се изчислява функция, изчислява се интегрална сума и се извършва преминаването към границата. При този метод основната трудност е да се докаже, че в границата ще се получи точно това, което е необходимо в проблема.

Методът на диференциалите използва неопределен интеграли формулата на Нютон-Лайбниц. Изчислява се диференциалът на стойността, която трябва да се определи, и след това, като се интегрира този диференциал, се получава необходимата стойност с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц. При този метод основната трудност е да се докаже, че се изчислява диференциалът на желаната стойност, а не нещо друго.

Изчисляване на площите на равнинни фигури.

1. Фигурата е ограничена до графиката на функцията, посочена в Декартова системакоординати.

Стигнахме до концепцията за определен интеграл от проблема за площта криволинеен трапец(всъщност, използвайки метода на интегралните суми). Ако функцията приема само не отрицателни стойности, тогава площта под графиката на функцията върху сегмента може да се изчисли с помощта на определен интеграл. забележи това така че тук можете да видите метода на диференциалите.

Но функцията може също да приема отрицателни стойности на определен сегмент, тогава интегралът върху този сегмент ще даде отрицателна площ, което противоречи на определението за площ.

Можете да изчислите площта с помощта на формулатаС=. Това е еквивалентно на промяна на знака на функцията в онези области, в които тя приема отрицателни стойности.

Ако трябва да изчислите площта на фигура, ограничена отгоре от графиката на функцията и отдолу от графиката на функцията, тогава можете да използвате формулатаС= , защото .

Пример. Изчислете площта на фигурата, ограничена от прави линии x=0, x=2 и графики на функции y=x 2 , y=x 3 .

Забележете, че на интервала (0,1) е изпълнено неравенството x 2 > x 3, а за x >1 е изпълнено неравенството x 3 > x 2. Ето защо

2. Фигурата е ограничена до графиката на функцията, посочена в полярна системакоординати.

Нека графиката на функцията е дадена в полярната координатна система и искаме да изчислим площта на криволинейния сектор, ограничен от два лъча и графиката на функцията в полярната координатна система.

Тук можете да използвате метода на интегралните суми, изчислявайки площта на извит сектор като границата на сумата от площите на елементарните сектори, в които графиката на функцията се заменя с дъга от кръг .

Можете също да използвате диференциалния метод: .

Можете да разсъждавате така. Заменяйки елементарния криволинеен сектор, съответстващ на централния ъгъл с кръгов сектор, имаме пропорцията . Оттук . Интегрирайки и използвайки формулата на Нютон-Лайбниц, получаваме .

Пример. Изчислете площта на кръга (проверете формулата). Ние вярваме . Площта на кръга е .

Пример. Изчислете площта, ограничена от кардиоидата .

3 Фигурата е ограничена до графиката на функция, зададена параметрично.

Функцията може да бъде зададена параметрично във формата . Използваме формулата С= , замествайки в него границите на интегриране по отношение на новата променлива. . Обикновено при изчисляване на интеграла се разграничават областите, в които интеграндът има определен знак и се взема предвид съответната област с един или друг знак.

Пример. Изчислете площта, оградена от елипсата.

Използвайки симетрията на елипсата, изчисляваме площта на една четвърт от елипсата, разположена в първия квадрант. в този квадрант. Ето защо .

Изчисляване на обеми на тела.

1. Изчисляване на обемите на тела от площите на успоредни сечения.

Нека се изисква да се изчисли обемът на някакво тяло V от известните площи на сеченията на това тяло чрез равнини, перпендикулярни на правата OX, прекарана през която и да е точка x от сегмента OX.

Прилагаме метода на диференциалите. Като се има предвид елементарният обем над отсечката като обем на прав кръгов цилиндър с основна площ и височина, получаваме . Интегрирайки и прилагайки формулата на Нютон-Лайбниц, получаваме

2. Изчисляване на обемите на телата на въртене.

Нека се изисква да се изчисли ОХ.

Тогава .

по същия начин, обем на въртящо се тяло около осой, ако функцията е дадена във формата , може да се изчисли с помощта на формулата .

Ако функцията е дадена във формата и се изисква да се определи обемът на тялото на въртене около остаой, тогава може да се получи формулата за изчисляване на обема по следния начин.

Преминавайки към диференциала и пренебрегвайки квадратичните членове, имаме . Интегрирайки и прилагайки формулата на Нютон-Лайбниц, имаме .

Пример. Изчислете обема на сферата.

Пример. Да се ​​изчисли обемът на прав кръгов конус, ограничен от повърхнина и равнина.

Нека изчислим обема като обем на въртящо се тяло, образувано от въртене около оста OZ на правоъгълен триъгълник в равнината OXZ, чиито крака лежат на оста OZ и правата z \u003d H, а хипотенузата лежи на правата.

Изразявайки x чрез z, получаваме .

Изчисляване на дължината на дъгата.

За да получим формули за изчисляване на дължината на дъга, нека си припомним формулите за диференциала на дължината на дъга, получени през 1-ви семестър.

Ако дъгата е графика на непрекъснато диференцируема функция, разликата в дължината на дъгата може да се изчисли по формулата

. Ето защо

Ако параметрично е зададена гладка дъга, Че

. Ето защо .

Ако дъгата е в полярни координати, Че

. Ето защо .

Пример. Изчислете дължината на дъгата на графиката на функцията, . .

Когато разбрахме геометричен смисълопределен интеграл, имаме формула, с която можете да намерите площта на криволинеен трапец, ограничен от оста x, прави линии x=a, x=b, както и непрекъсната (неотрицателна или неположителна) функция y = f(x) .Понякога е по-удобно да зададете функцията, която ограничава фигурата, в параметрична форма, т.е. да изразя функционална зависимостчрез параметъра t. В рамките на този материал ще покажем как можете да намерите площта на фигура, ако тя е ограничена от параметрично зададена крива.

След като обясним теорията и изведем формулата, ще анализираме няколко типични примера за намиране на областта на такива фигури.

Основна формула за изчисление

Да приемем, че имаме криволинеен трапец, границите на който са правите x = a, x = b, оста O x и параметрично дефинираната крива x = φ (t) y = ψ (t) и функциите x = φ (t) и y = ψ (t) са непрекъснати на интервала α ; β, α< β , x = φ (t) будет непрерывно возрастать на нем и φ (α) = a , φ (β) = b .

Определение 1

За да изчислите площта на трапец при такива условия, трябва да използвате формулата S (G) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) d t .

Извлечехме го от формулата за площта на криволинейния трапец S (G) = ∫ a b f (x) d x, използвайки метода на заместване x = φ (t) y = ψ (t):

S (G) = ∫ a b f (x) d x = ∫ α β ψ (t) d (φ (t)) = ∫ α β ψ (t) φ " (t) d t

Определение 2

Като се има предвид монотонното намаляване на функцията x = φ (t) на интервала β; α, β< α , нужная формула принимает вид S (G) = - ∫ β α ψ (t) · φ " (t) d t .

Ако функцията x = φ (t) не принадлежи към основните елементарни, тогава трябва да запомним основните правила за нарастване и намаляване на функция на интервал, за да определим дали тя ще бъде нарастваща или намаляваща.

В този параграф ще анализираме няколко проблема за прилагане на формулата, получена по-горе.

Пример 1

Състояние: намерете площта на фигурата, образувана от линията, дадена от уравнения във формата x = 2 cos t y = 3 sin t .

Решение

Имаме параметрично дефинирана линия. Графично може да се изобрази като елипса с две полуоси 2 и 3 . Вижте илюстрацията:

Нека се опитаме да намерим площта 1 4 на получената фигура, която заема първия квадрант. Площта е в интервала x ∈ a ; b = 0 2. След това умножете получената стойност по 4 и намерете площта на цялата фигура.

Ето хода на нашите изчисления:

x = φ (t) = 2 cos t y = ψ (t) = 3 sin t φ α = a ⇔ 2 cos α = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ β = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

При k равно на 0, получаваме интервала β; α = 0; π 2 . Функцията x = φ (t) = 2 cos t ще намалява монотонно върху нея (за повече подробности вижте статията за основните елементарни функции и техните свойства). Така че можете да приложите формулата за площ и да намерите определен интеграл, използвайки формулата на Нютон-Лайбниц:

- ∫ 0 π 2 3 sin t 2 cos t "d t = 6 ∫ 0 π 2 sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π 2 (1 - cos (2 t) d t = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π 2 \u003d 3 π 2 - sin 2 π 2 2 - 0 - sin 2 0 2 \u003d 3 π 2

Това означава, че площта на фигурата, дадена от оригиналната крива, ще бъде равна на S (G) \u003d 4 3 π 2 \u003d 6 π.

Отговор: S (G) = 6 π

Нека уточним, че при решаването на задачата по-горе беше възможно да се вземе не само една четвърт от елипсата, но и нейната половина - горна или долна. Едната половина ще бъде разположена на интервала x ∈ a ; b = - 2; 2. В този случай ще имаме:

φ (α) = a ⇔ 2 cos α = - 2 ⇔ α = π + π k , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 2 cos β = 2 ⇔ β = 2 π k , k ∈ Z

Така, с k равно на 0, получаваме β; α = 0; π. Функцията x = φ (t) = 2 cos t ще намалява монотонно на този интервал.

След това изчисляваме площта на половината от елипсата:

- ∫ 0 π 3 sin t 2 cos t "d t = 6 ∫ 0 π sin 2 t d t = 3 ∫ 0 π (1 - cos (2 t) d t = = 3 t - sin (2 t) 2 0 π = 3 π - sin 2 π 2 - 0 - sin 2 0 2 = 3 π

Важно е да се отбележи, че можете да вземете само горната или долната част, а не дясната или лявата.

Може да се компилира параметрично уравнениедадена елипса, чийто център ще бъде разположен в началото. Ще изглежда като x = a cos t y = b sin t. Действайки по същия начин, както в примера по-горе, получаваме формула за изчисляване на площта на елипсата S e l и p с \u003d πab.

Можете да дефинирате кръг, чийто център е разположен в началото, като използвате уравнението x = R cos t y = R sin t, където t е параметър, а R е радиусът на дадения кръг. Ако веднага използваме формулата за площта на елипса, тогава ще получим формула, с която можем да изчислим площта на кръг с радиус R: S кръг a = πR 2.

Нека разгледаме още един проблем.

Пример 2

Състояние: намерете каква ще бъде площта на фигурата, която е ограничена от параметрично зададена крива x = 3 cos 3 t y = 2 sin 3 t .

Решение

Нека веднага уточним, че тази крива има формата на удължен астроид. Обикновено астроида се изразява с помощта на уравнение от вида x = a · cos 3 t y = a · sin 3 t .

Сега ще анализираме подробно как да изградим такава крива. Да градим по отделни точки. Това е най-разпространеният метод и е приложим за повечето задачи. | Повече ▼ сложни примериизискват диференциално смятане за разкриване на параметрично зададена функция.

Имаме x \u003d φ (t) \u003d 3 cos 3 t, y = ψ (t) \u003d 2 sin 3 t.

Тези функции са дефинирани за всички реални стойности на t. За sin и cos се знае, че са периодични и периодът им е 2 pi. Изчисляване на стойностите на функциите x = φ (t) = 3 cos 3 t , y = ψ (t) = 2 sin 3 t за някои t = t 0 ∈ 0 ; 2 π 8 , π 4 , 3 π 8 , π 2 , . . . , 15 π 8 , получаваме точки x 0 ; y 0 = (φ (t 0) ; ψ (t 0)) .

Нека направим таблица с общите стойности:

След това маркирайте желаните точки на равнината и ги свържете с една линия.

Сега трябва да намерим площта на тази част от фигурата, която е в първата координатна четвърт. За нея x ∈ a ; b = 0 3:

φ (α) = a ⇔ 3 cos 3 t = 0 ⇔ α = π 2 + πk , k ∈ Z , φ (β) = b ⇔ 3 cos 3 t = 3 ⇔ β = 2 πk , k ∈ Z

Ако k е 0, тогава получаваме интервала β; α = 0; π 2 , а функцията x = φ (t) = 3 cos 3 t монотонно ще намалява върху него. Сега вземаме формулата за площ и изчисляваме:

- ∫ 0 π 2 2 sin 3 t 3 cos 3 t "d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t cos 2 t d t = = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t (1 - sin 2 t) d t = 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t

Имаме определени интеграли, което може да се изчисли с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц. Примитивите за тази формула могат да бъдат намерени с помощта на рекурсивната формула J n (x) = - cos x sin n - 1 (x) n + n - 1 n J n - 2 (x) , където J n (x) = ∫ грях n x d x .

∫ sin 4 t d t = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 ∫ sin 2 t d t = = - cos t sin 3 t 4 + 3 4 - cos t sin t 2 + 1 2 ∫ sin 0 t d t = = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t + C ⇒ ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = - cos t sin 3 t 4 - 3 cos t sin t 8 + 3 8 t 0 π 2 = 3 π 16 ∫ sin 6 t d t = - cos t sin 5 t 6 + 5 6 ∫ sin 4 t d t ⇒ ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = - cos t sin 5 t 6 0 π 2 + 5 6 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t = 5 6 3 π 16 = 15 π 96

Изчислихме площта на една четвърт от фигурата. То е равно на 18 ∫ 0 π 2 sin 4 t d t - ∫ 0 π 2 sin 6 t d t = 18 3 π 16 - 15 π 96 = 9 π 16.

Ако умножим тази стойност по 4, получаваме площта на цялата фигура - 9 π 4.

По абсолютно същия начин можем да докажем, че площта на астроида, дадена от уравненията x \u003d a cos 3 t y \u003d a sin 3 t, може да бъде намерена по формулата , която е ограничена от линията x = a · cos 3 t y = b · sin 3 t , се изчислява по формулата S = 3 πab 8 .

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter