Какво означава да броим рационално. Рационални числа, определение, примери. Определение и примери за рационални числа

В тази статия ще започнем да изучаваме рационални числа. Тук даваме дефиниции на рационални числа, даваме необходимите обяснения и даваме примери за рационални числа. След това ще се съсредоточим върху това как да определим дали дадено число е рационално или не.

Навигация в страницата.

Определение и примери за рационални числа

В този подраздел даваме няколко дефиниции на рационални числа. Въпреки разликите във формулировката, всички тези дефиниции имат едно и също значение: рационалните числа обединяват цели и дробни числа, точно както целите числа обединяват естествените числа, противоположните им числа и числото нула. С други думи, рационалните числа обобщават целите числа и дробни числа.

Да започнем с дефиниции на рационални числакоето се възприема като най-естествено.

От озвучената дефиниция следва, че рационално число е:

Всякакви естествено числон. Всъщност всяко естествено число може да бъде представено като обикновена дроб, например 3=3/1.
Всяко цяло число, по-специално числото нула. Наистина, всяко цяло число може да бъде записано или като положителна обикновена дроб, или като отрицателна обикновена дроб, или като нула. Например 26=26/1 , .
Всяка обикновена дроб (положителна или отрицателна). Това е пряко посочено от дадената дефиниция на рационалните числа.
Всяко смесено число. Всъщност винаги е възможно да се представи смесено число като неправилна обикновена дроб. Например и .
Всяка крайна десетична или безкрайна периодична дроб. Това е така, защото посочените десетични дроби се преобразуват в обикновени дроби. Например, и 0,(3)=1/3.

Също така е ясно, че всеки безкраен неповтарящ се десетичен знак НЕ е рационално число, тъй като не може да бъде представен като обикновена дроб.

Сега можем лесно да донесем примери за рационални числа. Числата 4, 903, 100,321 са рационални числа, тъй като са естествени числа. Целите числа 58 , −72 , 0 , −833 333 333 също са примери за рационални числа. Обикновените дроби 4/9, 99/3 също са примери за рационални числа. Рационалните числа също са числа.

Горните примери показват, че има както положителни, така и отрицателни рационални числа, а рационалното число нула не е нито положително, нито отрицателно.

Горната дефиниция на рационалните числа може да се формулира в по-кратка форма.

Определение.

Рационални числаизвикайте числа, които могат да бъдат записани като дроб z/n, където z е цяло число, а n е естествено число.

Нека докажем, че тази дефиниция на рационални числа е еквивалентна на предишната дефиниция. Знаем, че можем да разглеждаме чертата на дроб като знак за деление, тогава от свойствата за деление на цели числа и правилата за деление на цели числа следват следните равенства и . Така, което е доказателството.

Нека дадем примери за рационални числа, базирани на това определение. Числата −5 , 0 , 3 и са рационални числа, тъй като могат да бъдат записани като дроби с цял числител и естествен знаменател от вида и съответно.

Дефиницията на рационални числа може да се даде и в следната формулировка.

Определение.

Рационални числаса числа, които могат да бъдат записани като крайна или безкрайна периодична десетична дроб.

Това определение също е еквивалентно на първото определение, тъй като всяка обикновена дроб съответства на крайна или периодична десетична дроб и обратно, и всяко цяло число може да бъде свързано десетичен знакс нули след десетичната запетая.

Например, числата 5 , 0 , −13 , са примери за рационални числа, защото могат да бъдат записани като следните десетични знаци 5.0 , 0.0 , −13.0 , 0.8 и −7, (18) .

Завършваме теорията на този раздел със следните твърдения:

цели и дробни числа (положителни и отрицателни) съставят множеството от рационални числа;
всяко рационално число може да бъде представено като дроб с цял числител и естествен знаменател и всяка такава дроб е рационално число;
всяко рационално число може да бъде представено като крайна или безкрайна периодична десетична дроб и всяка такава дроб представлява някакво рационално число.

Това число рационално ли е?

В предишния параграф открихме, че всяко естествено число, всяко цяло число, всяка обикновена дроб, всяко смесено число, всяка крайна десетична дроб, а също и всяка периодична десетична дроб е рационално число. Това знание ни позволява да "разпознаем" рационални числа от набора от записани числа.

Но какво, ако числото е дадено като some , или като , и т.н., как да отговоря на въпроса рационално ли е даденото число? В много случаи е много трудно да се отговори на него. Нека посочим някои насоки за хода на мислите.

Ако дадено число е указано като числов израз, който съдържа само рационални числа и аритметични знаци (+, −, · и:), тогава стойността на този израз е рационално число. Това следва от това как се дефинират операциите с рационални числа. Например, след като извършим всички операции в израза, получаваме рационално число 18 .

Понякога, след опростяване на изрази и по-сложна форма, става възможно да се определи дали дадено число е рационално.

Да отидем по-нататък. Числото 2 е рационално число, тъй като всяко естествено число е рационално. Какво ще кажете за числото? Рационално ли е? Оказва се, че не - то не е рационално число, то е ирационално число (доказателството за този факт от противно е дадено в учебника по алгебра за 8 клас, посочен по-долу в списъка с литература). Доказано е също, че Корен квадратенот естествено число е рационално число само в тези случаи, когато коренът е число, което е перфектен квадрат на някакво естествено число. Например и са рационални числа, тъй като 81=9 2 и 1024=32 2 , а числата и не са рационални, тъй като числата 7 и 199 не са перфектни квадрати на естествени числа.

Числото рационално ли е или не? В този случай е лесно да се види, че следователно това число е рационално. Числото рационално ли е? Доказано е, че k-ти корен от цяло число е рационално число само ако числото под корена е k-та степен на някакво цяло число. Следователно това не е рационално число, тъй като няма цяло число, чиято пета степен да е 121.

Методът на противоречието ни позволява да докажем, че логаритмите на някои числа по някаква причина не са рационални числа. Например, нека докажем, че - не е рационално число.

Да приемем обратното, тоест да предположим, че това е рационално число и може да бъде записано като обикновена дроб m/n. Тогава и дайте следните равенства: . Последното равенство е невъзможно, тъй като от лявата му страна има Не четен брой 5 n , а от дясната страна има четно число 2 m . Следователно нашето предположение е погрешно, следователно не е рационално число.

В заключение си струва да се подчертае, че когато се изяснява рационалността или ирационалността на числата, трябва да се въздържате от внезапни заключения.

Например, не трябва веднага да се твърди, че произведението на ирационални числа π и e е ирационално число, това е „сякаш очевидно“, но не е доказано. Това повдига въпроса: „Защо продуктът ще бъде рационално число“? И защо не, защото можете да дадете пример за ирационални числа, чийто продукт дава рационално число:.

Също така не е известно дали числата и много други числа са рационални или не. Например, има ирационални числа, чиято ирационална степен е рационално число. За да илюстрираме, нека дадем степен от формата , основата на тази степен и показателят не са рационални числа, а , и 3 е рационално число.

Библиография.

Математика. 6 клас: учебник. за общо образование институции / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-ро изд., Рев. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
Алгебра:учебник за 8 клетки. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (наръчник за кандидати за технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.

Сегашното ниво на развитие на средствата за компютърна автоматизация създаде у мнозина илюзията, че развиването на компютърни умения изобщо не е необходимо. Това се отрази на подготвеността на учениците. При липсата на калкулатор дори простите изчислителни задачи се превръщат в проблем за мнозина.

В същото време изпитните задачи и материалите за изпита съдържат много задачи, чието решаване изисква способността на тестовите субекти да организират рационално изчисления.

В тази статия ще разгледаме някои методи за оптимизиране на изчисленията и тяхното приложение за конкурентни задачи.

Най-често методите за оптимизиране на изчисленията са свързани с прилагането на основните закони за извършване на аритметични операции.

Например:

125 24 = 125 8 3 = 1000 3 = 3000; или

98 16(100 - 2) 16 = 100 16 - 2 16 = 1600 - 32 = 1568 и т.н.

Друга посока - използване на формули за съкратено умножение.

96 104 \u003d (100 - 4) (100 + 4) = 100 2 - 4 2 \u003d 10000 - 16 \u003d 9984; или

115 2 = (100 + 15) 2 = 10000 + 2 15 100 + 225 = 10525.

Следният пример е интересен за изчисления.

Изчисли:

(197 · 203 + 298 · 302 + 13) / (1999 · 2001 + 2993 · 3007 + 50) =
= ((200 – 3) · (200 + 3) + (300 – 2) · (300 + 2) + 13) / ((2000 – 1) · (2000 + 1) + (3000 – 7) · (3000 + 7) + 50) =
= (200 2 – 3 2 + 300 2 – 2 2 + 13) / (2000 2 – 1 2 + 3000 2 – 7 2 – 50) =
= 130000 / 13000000 = 0,01

Това са почти стандартни начини за оптимизиране на изчисленията. Понякога се предлагат и по-екзотични. Като пример, разгледайте метода за умножаване на двуцифрени числа, чиято сума от единици е 10.

54 26 \u003d 50 30 + 4 (26 - 50) \u003d 1500 - 96 \u003d 1404 или

43 87 = 40 90 + 3 (87 - 40) = 3600 + 141 = 3741.

Схемата за умножение може да се разбере от фигурата.

Откъде идва такава схема за умножение?

Нашите числа по условие имат формата: M = 10m + n, K = 10k + (10 – n). Нека създадем работа:

M K = (10m + n)(10k + (10 – n)) =
= 100mk + 100m - 10mn + 10nk + 10n - n 2 =
= m(k + 1) 100 + n(10k + 10 – n) =
= (10m) (10 (k + 1)) + n (K – 10m) и методът е обоснован.

Има много гениални начини да превърнете доста сложни изчисления в умствени задачи. Но не можете да мислите, че всеки трябва да помни тези и куп други гениални начини за опростяване на изчисленията. Важно е само да научите някои от основните. Анализът на другите има смисъл само за развиване на умения за прилагане на основни методи. Именно тяхното творческо приложение дава възможност за бързо и правилно решаване на изчислителни задачи.

Понякога, когато решавате примери за изчисление, е удобно да преминете от преобразуване на израз с числа към преобразуване на полиноми. Помислете за следния пример.

Изчислете по най-рационалния начин:

3 1 / 117 4 1 / 110 -1 110 / 117 5 118 / 119 - 5 / 119

Решение.

Нека a = 1/117 и b = 1/119. Тогава 3 1 / 117 = 3 + a, 4 1 / 119 = 4 + b, 1 116 / 117 = 2 - a, 5 118 / 119 = 6 - b.

Така даденият израз може да бъде записан като (3 + a) (4 + b) - (2 - a) (6 - b) - 5b.

След извършване на прости трансформации на полинома, получаваме 10a или 10/117.

Тук получихме, че стойността на нашия израз не зависи от b. И това означава, че сме изчислили не само стойността на този израз, но и всеки друг, получен от (3 + a) (4 + b) - (2 - a) (6 - b) - 5b чрез заместване на стойностите на a и b. Ако, например, a = 5/329, тогава в отговора получаваме 50 / 329 , каквото и да е b.

Нека разгледаме друг пример, който е почти невъзможно да се реши с калкулатор, а отговорът е доста прост, ако знаете подхода за решаване на примери от този тип.

Изчисли

1 / 6 7 1024 – (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ( 7 8 + 1) (7 4 + 1) (7 2 + 1) (7 + 1)

Решение.

Нека трансформираме условието

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 +1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) (7 8 + 1) ) (7 4 + 1) (7 2 + 1) (7 + 1) (7 - 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) (7 8 + 1) (7 4 + 1) (7 2 + 1) (7 2 – 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) (7 8 + 1) (7 4 + 1) (7 4 – 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) (7 8 + 1) (7 8 – 1) =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 256 +1) (7 128 + 1) (7 64 + 1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) ) · (7 16 – 1) = … =

1/6 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) (7 512 - 1) = 1/6 7 1024 - 1/6 (7 1024 - 1) = 1/6

Помислете за един от примерите, който вече е станал учебник в изпитните материали за курса на основното училище.

Изчислете сумата:

1/2 + 1 / (2 3) + 1 / (3 4) + 1 / (4 5) + ... + 1 / (120 121) =

= (1 – 1/2) + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) + (1/4 – 1/5) + … + (1/120 – 1/121) =

= 1 – 1/121 = 120/121.

Тоест методът на заместване на всяка дроб с разликата от две дроби ни позволи да решим този проблем. Сборът се оказа двойки противоположни числа на всички с изключение на първото и последното.

Но този пример може да се обобщи. Помислете за сумата:

k/(n (n + k)) + k/((n + k) (n + 2k)) + k/((n + 2k) (n + 3k)) + … + k/(( n + ( м – 1)k) (n + mk))

За него са валидни всички същите разсъждения, които бяха проведени в предишния пример. Наистина:

1/н – 1/(n + k) = k/(n (n + k));

1/((n+k) – 1/(n + 2k) = k/((n + k) (n + 2k)) и т.н.

След това конструираме отговора по същата схема: 1/n – 1/(n + mk) = mk/(n (n + mk))

И още за "дългите" суми.

Количество

X \u003d 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/1024

може да се изчисли като сбор от 11 членове на геометрична прогресия със знаменател 1/2 и първи член 1. Но същата сума може да бъде изчислена от ученик в 5 клас, който няма представа от прогресии. За целта е достатъчно да изберем успешно число, което добавяме към сумата X. Това число тук ще бъде 1/1024.

Изчислете

X + 1 / 1024 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + (1/1024 + 1 /1024) =
= 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/512 =
=1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/256 = … = 1 + 1/2 + 1/2 = 2.

Сега е очевидно, че X = 2 – 1/1024 = 1 1023 / 1024 .

Вторият метод е не по-малко обещаващ. С него можете да изчислите сумата:

S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 99 999 999 999.

Тук "щастливото" число е 11. Добавете го към S и го разпределете равномерно между всичките 11 члена. След това всеки от тях ще получи 1. Тогава имаме:

S + 11 = 9 + 1 + 99 + 1 + 999 + 1 + 9999 + 1 + ... + 99 999 999 999 + 1 =
= 10 + 100 + 1000 + 10000 + ... + 100 000 000 000 = 111 111 111 110;

Следователно S = 111 111 111 110 – 11 = 111 111 111 099.

1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 1 111 111 111?

сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.

В далечното минало, когато системата за смятане все още не е била измислена, хората са броили всичко на пръсти. С появата на аритметиката и основите на математиката стана много по-лесно и по-практично да се водят записи на стоки, продукти и битови предмети. Как обаче изглежда модерна системасмятане: на какви видове са разделени съществуващите числа и какво означава "рационална форма на числата"? Нека да го разберем.

Колко вида числа има в математиката?

Самото понятие "число" означава определена единица на всеки обект, която характеризира неговите количествени, сравнителни или порядъчни показатели. За да изчислите правилно броя на определени неща или да извършите определени математически операции с числа (събиране, умножение и т.н.), трябва преди всичко да се запознаете с разновидностите на същите тези числа.

И така, съществуващите числа могат да бъдат разделени на следните категории:

Естествените числа са тези числа, с които броим броя на обектите (най-малкото естествено число е 1, логично е редът от естествени числа да е безкраен, тоест няма най-голямо естествено число). Наборът от естествени числа обикновено се означава с буквата N.
Цели числа. Този комплект включва всички, докато се добавя и отрицателни стойности, включително числото "нула". Обозначението на набора от цели числа се записва под формата на латинската буква Z.
Рационалните числа са тези, които можем мислено да преобразуваме в дроб, чийто числител ще принадлежи към набора от цели числа, а знаменателят ще принадлежи към естествени числа. По-долу ще анализираме по-подробно какво означава „рационално число“ и ще дадем няколко примера.
- набор, който включва всички рационални и Това множество се обозначава с буквата R.
Комплексните числа съдържат част от реалното число и част от променливата. Те се използват при решаването на различни кубични уравнения, които от своя страна могат да имат отрицателен израз във формулите (i 2 = -1).

Какво означава "рационално": анализираме го с примери

Ако тези числа, които можем да представим като обикновена дроб, се считат за рационални, тогава се оказва, че всички положителни и отрицателни цели числа също са включени в множеството от рационални. В крайна сметка всяко цяло число, например 3 или 15, може да бъде представено като дроб, където знаменателят ще бъде едно.

Дроби: -9/3; 7/5, 6/55 са примери за рационални числа.

Какво означава "рационално изразяване"?

Продължавай. Вече обсъдихме какво означава рационалната форма на числата. Нека сега си представим математически израз, който се състои от сбор, разлика, произведение или частно на различни числа и променливи. Ето един пример: дроб, в чийто числител е сумата от две или повече цели числа, а в знаменателя има както цяло число, така и някаква променлива. Именно този израз се нарича рационален. Въз основа на правилото "не можете да делите на нула", можете да познаете, че стойността на тази променлива не може да бъде такава, че стойността на знаменателя да стане нула. Следователно, когато решавате рационален израз, първо трябва да определите диапазона на променливата. Например, ако знаменателят съдържа следния израз: x+5-2, тогава се оказва, че "x" не може да бъде равно на -3. Всъщност в този случай целият израз се превръща в нула, следователно при решаването е необходимо да се изключи цялото число -3 за тази променлива.

Как да решаваме правилно рационални уравнения?

Рационалните изрази могат да съдържат доста голям бройчисла и дори 2 променливи, така че понякога тяхното решение става трудно. За да се улесни решаването на такъв израз, се препоръчва да се извършват определени операции по рационален начин. И така, какво означава „по рационален начин“ и какви правила трябва да се прилагат при вземането на решение?

Първият тип, когато е достатъчно само да се опрости изразът. За да направите това, можете да прибягвате до операцията за намаляване на числителя и знаменателя до нередуцируема стойност. Например, ако числителят съдържа израза 18x, а знаменателят 9x, тогава, намалявайки двата показателя с 9x, получаваме просто цяло число, равно на 2.
Вторият метод е практичен, когато имаме моном в числителя и полином в знаменателя. Нека да разгледаме един пример: в числителя имаме 5x, а в знаменателя - 5x + 20x 2 . В този случай е най-добре да извадим променливата в знаменателя извън скоби, получаваме следната форма на знаменателя: 5x(1+4x). И сега можете да използвате първото правило и да опростите израза, като намалите 5x в числителя и знаменателя. В резултат на това получаваме дроб от формата 1/1+4x.

Какви операции могат да се извършват с рационални числа?

Наборът от рационални числа има редица свои собствени особености. Много от тях са много подобни на характеристиката, която присъства в целите и естествените числа, с оглед на факта, че последните винаги са включени в рационалното множество. Ето няколко свойства на рационални числа, знаейки които, можете лесно да решите всеки рационален израз.

Свойството комутативност ви позволява да сумирате две или повече числа, независимо от техния ред. Просто казано, сборът не се променя от промяна на местата на членовете.
Свойството на разпределимост позволява решаване на проблеми с помощта на закона за разпределение.
И накрая, операциите събиране и изваждане.

Дори учениците знаят какво означава „рационални числа“ и как да решават задачи въз основа на такива изрази, така че възрастен образован човекпросто трябва да запомните поне основите на набора от рационални числа.

Кожинова Анастасия

ОБЩИНСКИ НЕТИПОВ БЮДЖЕТ

ОБЩООБРАЗОВАТЕЛНА ИНСТИТУЦИЯ

"ЛИЦЕЙ №76"

КАКВА Е ТАЙНАТА НА РАЦИОНАЛНОТО БРОЕНЕ?

Изпълнено:

Ученик от 5 "Б" клас

Кожинова Анастасия

Ръководител:

Учител по математика

Шиклина Татяна

Николаевна

Новокузнецк 2013 г

Въведение…………………………………………………………… 3

Основната част……………………………………….......... 5-13

Заключение и заключения……………………………….................................. 13-14

Препратки………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………….

Приложения………………………………………………………. 16-31

аз. Въведение

проблем: намиране на стойностите на числови изрази

Цел на работата:търсене, изучаване на съществуващи методи и техники за рационално броене, тяхното приложение на практика.

Задачи:

1. Провеждане на мини анкета под формата на въпросник сред паралелни класове.

2. Анализирайте по темата на изследването: литературата, налична в училищната библиотека, информация в учебника по математика за 5 клас, в Интернет.

3. Изберете най-много ефективни методии средства за рационално счетоводство.

4. Извършете класификация на съществуващите методи за бързо устно и писмено броене.

5. Създайте бележки, съдържащи техники за рационално броене за използване в паралелни 5 класа.

Обект на изследване: рационална сметка.

Предмет на изследване: начини за рационално броене.

За ефективност изследователска работаИзползвах следните техники: анализ на информация, получена от различни ресурси, синтез, обобщение; проучване на общественото мнение под формата на въпросник. Въпросникът е разработен от мен в съответствие с целта и задачите на изследването, възрастта на респондентите и е представен в основната част на работата.

В хода на изследователската работа бяха разгледани въпроси, свързани с методите и техниките за рационално броене, и бяха дадени препоръки за отстраняване на проблеми с компютърните умения, за формиране на компютърна култура.

II. Главна част

Формиране на компютърна култура на учениците

5-6 клас.

Очевидно е, че методите за рационално броене са необходим елемент от изчислителната култура в живота на всеки човек, преди всичко поради практическото им значение, и учениците се нуждаят от него в почти всеки урок.

Компютърната култура е в основата на изучаването на математика и други учебни дисциплини, тъй като в допълнение към факта, че изчисленията активират паметта, вниманието, помагат за рационалното организиране на дейностите и значително влияят върху човешкото развитие.

IN Ежедневието, На тренировъчни сесииКогато се цени всяка минута, е много важно бързо и рационално да се извършват устни и писмени изчисления, без да се правят грешки и без да се използват допълнителни изчислителни средства.

Ние, учениците, се сблъскваме с този проблем навсякъде: в класната стая, у дома, в магазина и т. Освен това след 9 и 11 клас ще трябва да положим изпити под формата на IGA и Единния държавен изпит, където не е разрешено използването на микрокалкулатор. Следователно проблемът за формирането на изчислителна култура във всеки човек, чийто елемент е овладяването на методите за рационално броене, става изключително важен.

Особено необходимо е да се овладеят методите за рационално броене.

при изучаването на такива предмети като математика, история, технологии, компютърни науки и др., тоест рационалното броене помага да се овладеят свързани предмети, да се ориентира по-добре в изучавания материал в житейски ситуации. И така, какво чакаме? Да отидем в света на тайните на рационалните методи за броене!!!

Какви проблеми имат учениците, когато правят изчисления?

Често връстници на моята възраст имат проблеми при изпълнението на различни задачи, в които е необходимо да се извършват изчисления по бърз и удобен начин. . Защо???

Ето някои предположения:

1. Ученикът не е усвоил добре изучаваната тема

2. Ученикът не повтаря материала

3. Ученикът има слаби математически умения

4. Студентът не иска да учи тази тема

5. Ученикът смята, че няма да му бъде от полза.

Взех всички тези предположения от моя опит и опита на моите съученици и връстници. Уменията за рационално броене обаче играят важна роля в изчислителните упражнения, така че аз проучих, приложих и искам да ви представя някои техники за рационално броене.

Рационални методи за устни и писмени изчисления.

На работа и у дома има постоянна нужда различен видизчисления. Използването на най-простите методи за умствено броене намалява умората, развива вниманието и паметта. Използването на рационални методи за изчисление е необходимо за увеличаване на труда, точността и скоростта на изчисленията. Скоростта и точността на изчисленията могат да бъдат постигнати само с рационалното използване на методите и средствата за механизиране на изчисленията, както и с правилното използване на методите за умствено броене.

аз. Опростени техники за събиране на числа

Има четири метода за добавяне, които ви позволяват да ускорите изчисленията.

Метод на последователно побитово добавяне използва се при умствени изчисления, тъй като опростява и ускорява сумирането на термини. Когато използвате този метод, добавянето започва с най-високите цифри: съответните цифри на втория член се добавят към първия член.

Пример. Нека намерим сумата на числата 5287 и 3564, като използваме метода на последователно побитово събиране.

Решение. Ще изчислим в следния ред:

5 287 + 3 000 = 8 287;

8 287 + 500 = 8 787;

8 787 + 60 = 8 847;

8 847 + 4 = 8 851.

Отговор: 8 851

Друг начин за последователно побитово добавяне се състои в това, че най-високият ранг на втория член се добавя към най-високата цифра на първия член, след това следващата цифра на втория член се добавя към следващата цифра на първия член и т.н.

Нека разгледаме това решение в дадения пример, получаваме:

5 000 + 3 000 = 8 000;

200 + 500 = 700;

Отговор: 8851.

метод с кръгли числа . Число, което има една значима цифра и завършва с една или повече нули, се нарича кръгло число. Този метод се използва, когато могат да бъдат избрани два или повече термина, които могат да бъдат завършени до кръгло число. Разликата между кръглото число и числото, посочено в условието за изчисление, се нарича допълнение. Например 1000 - 978 = 22. В този случай числото 22 е аритметичното събиране на числото 978 към 1000.

За да добавите чрез метода на кръглото число, един или повече членове, близки до кръгли числа, трябва да бъдат закръглени, да се добавят кръгли числа и да се извадят аритметични добавки от получената сума.

Пример. Намерете сбора на числата 1238 и 193, като използвате метода на кръглите числа.

Решение. Закръглете числото 193 до 200 и добавете както следва: 1 238 + 193 \u003d (1 238 + 200) - 7 \u003d 1 431. (асоциативен закон)

Метод за групиране на термини . Този метод се използва, когато термините, когато са групирани заедно, дават кръгли числа, които след това се сумират.

Пример. Намерете сбора на числата 74, 32, 67, 48, 33 и 26.

Решение. Нека сумираме числата, групирани както следва: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

(закон за асоциативно изместване)

или, когато групирането на числа води до равни суми:

Пример: 1+2+3+4+5+…+97+98+99+100= (1+100)+(2+99)+(3+98)+…=101x50=5050

(закон за асоциативно изместване)

II. Техники за опростено изваждане на числа

Методът на последователно побитово изваждане. Този метод последователно изважда всяка цифра, извадена от намалената. Използва се, когато числата не могат да бъдат закръглени.

Пример. Намерете разликата между числата 721 и 398.

Решение. Нека изпълним действия, за да намерим разликата на дадени числа в следната последователност:

представете числото 398 като сбор: 300 + 90 + 8 = 398;

направете побитово изваждане:

721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

метод с кръгли числа . Този метод се използва, когато субтрахенда е близо до кръгло число. За да се изчисли, е необходимо да се извади субтрахенда, взет като кръгло число, от намаленото и да се добави аритметичното добавяне към получената разлика.

Пример. Нека изчислим разликата между числата 235 и 197 по метода на кръглите числа.

Решение. 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

III. Техники за опростено умножение на числа

Умножение по едно, последвано от нули. Когато умножавате число по число, което включва единица, последвана от нули (10; 100; 1000 и т.н.), вдясно му се присвояват толкова нули, колкото има в множителя след единицата.

Пример. Намерете произведението на числата 568 и 100.

Решение. 568 x 100 = 56 800.

метод на побитово умножение . Този метод се използва при умножаване на число по всяко едноцифрено число. Ако трябва да умножите двуцифрено (три-, четирицифрено и т.н.) число с едноцифрено, тогава първо едноцифреният множител се умножава по десетки от друг фактор, след това по неговите единици и получения продуктите се сумират.

Пример. Намерете произведението на числата 39 и 7.

Решение. 39 x 7 = (30 + 9) x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273. (закон за разпределение на умножението по отношение на събирането)

метод с кръгли числа . Този метод се използва само когато един от факторите е близо до кръгло число. Множителят се умножава по кръгло число, а след това по аритметично събиране и накрая от първото произведение се изважда второто.

Пример. Намерете произведението на числата 174 и 69.

174 x 69 \u003d 174 x (70-1) \u003d 174 x 70 - 174 x 1 \u003d 12 180 - 174 \u003d 12 006. (разпределителен закон за умножение по отношение на изваждане)

Начин за разширяване на един от факторите. При този метод един от факторите първо се разлага на части (членове), след това вторият фактор се умножава на свой ред по всяка част от първия фактор и получените продукти се сумират.

Пример. Намерете произведението на числата 13 и 325.

Нека разложим числото 13 на членове: 13 \u003d 10 + 3. Нека умножим всеки от получените термини по 325: 10 x 325 \u003d 3 250; 3 x 325 = 975. Сумиране на получените продукти: 3250 + 975 = 4225

Овладяването на уменията за рационално умствено броене ще направи работата ви по-ефективна. Това е възможно само при добро владеене на всички горепосочени аритметични операции. Използването на рационални методи за броене ускорява изчисленията и осигурява необходимата точност. Но не само трябва да можете да смятате, но трябва да знаете и таблицата за умножение, законите на аритметичните операции, класовете и цифрите.

Има системи за мислено броене, които ви позволяват да броите бързо и рационално устно. Ще разгледаме някои от най-често използваните техники.

Умножение на двуцифрено число по 11.

Ние сме изучавали този метод, но не сме го изучили докрай. тайната на този метод е, че той може да се счита за законите на аритметичните операции.

Примери:

23x11 \u003d 23x (10 + 1) \u003d 23x10 + 23x1 \u003d 253 (разпределителен закон за умножение по отношение на събирането)

23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (закон на разпределение и метод на кръглото число)

Проучихме този метод, но не знаехме друг. Тайната на умножаването на двуцифрени числа по 11.

Наблюдавайки резултатите, получени при умножаване на двуцифрени числа по 11, забелязах, че можете да получите отговора по по-удобен начин. : при умножаване на двуцифрено число по 11, цифрите на това число се раздалечават и сумата от тези цифри се поставя в средата.

а) 23 11=253, тъй като 2+3=5;

б) 45 11=495, защото 4+5=9;

в) 57 11=627, защото 5+7=12, две бяха поставени в средата и едно беше добавено към мястото на стотните;

г) 78 11=858, тъй като 7+8=15, то броят на десетиците ще бъде равен на 5, а броят на стотиците ще се увеличи с единица и ще стане равен на 8.

Намерих потвърждение на този метод в интернет.

2) Произведението на двуцифрени числа, които имат еднакъв брой десетици, и сумата на единиците е 10, т.е. 23 27; 34 36; 52 58 и т.н.

правило: цифрата на десетиците се умножава по следващата цифра в естествения ред, резултатът се записва и произведението на единиците се приписва на него.

а) 23 27 = 621. Как взе 621? Умножаваме числото 2 по 3 („двете“ е последвано от „три“), то ще бъде 6, а след това ще припишем произведението на единици: 3 7 \u003d 21, оказва се 621.

б) 34 36 = 1224, тъй като 3 4 = 12, ние приписваме 24 на числото 12, това е произведението на единици от тези числа: 4 6.

в) 52 58 \u003d 3016, тъй като умножаваме десетките номер 5 по 6, ще бъде 30, приписваме произведението от 2 и 8, т.е. 16.

г) 61 69=4209. Ясно е, че 6 е умножено по 7 и е получено 42. А откъде идва нулата? Умножихме единиците и получихме: 1 9 \u003d 9, но резултатът трябва да е двуцифрен, така че вземаме 09.

3) Разделете трицифрените числа, които имат еднакви цифри, на 37. Резултатът е сумата от тези еднакви цифри на трицифреното число (или число, равно на три пъти цифрата на трицифреното число).

Примери: а) 222:37=6. Това е сумата от 2+2+2=6; б) 333:37=9, защото 3+3+3=9.

в) 777:37=21, т.е. към 7+7+7=21.

г) 888:37=24, тъй като 8+8+8=24.

Отчитаме и факта, че 888:24=37.

III. Заключение

За да разкрия основната тайна в темата на моята работа, трябваше да работя усилено - да търся, анализирам информация, да разпитвам съученици, да повтарям ранните известни методи и да намеря много непознати методи за рационално броене и накрая да разбера каква е неговата тайна И разбрах, че най-важното е да знам и да мога да прилагам познатите, да намирам нови рационални методи за броене, таблицата за умножение, състава на числото (класове и цифри), законите на аритметичните операции. Освен това,

потърсете нови начини да направите това:

- Опростени техники за събиране на числа: (метод на последователно побитово събиране; метод на кръгло число; метод на разлагане на един от множителите на членове);

-Техники за опростено изваждане на числа(метод на последователно побитово изваждане; метод на кръгли числа);

-Техники за опростено умножение на числа(умножение с единица, последвано от нули; метод на побитово умножение; метод на кръгло число; метод на разширяване на един от множителите ;

- Тайните на бързото мислено броене(умножение на двуцифрено число по 11: при умножаване на двуцифрено число по 11, цифрите на това число се раздалечават и сумата от тези цифри се поставя в средата; произведението на двуцифрени числа, които имат същия брой десетици, а сборът на единиците е 10 Деление на трицифрени числа, състоящи се от еднакви цифри, на числото 37. Сигурно има още много такива начини, така че ще продължа да работя по тази тема през следващата година.

IV. Библиография

Савин А. П. Математически миниатюри / А. П. Савин. - М .: Детска литература, 1991

2. Зубарева I.I., Математика, 5 клас: учебник за ученици от образователни институции / I.I. Зубарева, A.G. Мордкович. – М.: Мнемозина, 2011

4. http:/ / www. xreferat.ru

5. http:/ / www. biografia.ru

6. http:/ / www. Математика-повторение. en

V. Приложения

Мини проучване (анкета под формата на въпросник)

За да установя знанията на учениците за рационално броене, проведох проучване под формата на въпросник по следните въпроси:

* Знаете ли какви са рационалните методи за броене?

* Ако да, къде и ако не, защо не?

* Колко начина за рационално броене знаете?

* Имате ли трудности при умственото броене?

* Как учиш математика? а) на "5"; б) на "4"; в) на "3"

* Какво най-много харесвате в математиката?

а) примери; б) задачи; в) дроби

* Как мислите, къде може да бъде полезно броенето на ум, освен за математиката? * Помните ли законите на аритметичните действия, ако да, кои?

След като проведох анкета, разбрах, че моите съученици не познават достатъчно законите на аритметичните операции, повечето от тях имат проблеми с рационалното броене, много ученици смятат бавно и с грешки и всеки иска да се научи как да брои бързо, правилно и в удобен начин. Ето защо темата на моята изследователска работа е изключително важна за всички студенти и не само.

1. Интересни устни и писмени методи за изчисления, които изучавахме в уроците по математика, използвайки примерите от учебника "математика, 5 клас":

Ето някои от тях:

за бързо умножаване на число по 5, достатъчно е да се отбележи, че 5=10:2.

Например 43x5=(43x10):2=430:2=215;

48x5=(48:2)x10=24x10=240.

За да умножите число по 50 , можете да го умножите по 100 и да разделите на 2.

Например: 122x50=(122x100):2=12200:2=6100

За да умножите число по 25 , можете да го умножите по 100 и да разделите на 4,

Например 32x25=(32x100):4=3200:4=800

За да умножите число по 125 , можете да го умножите по 1000 и да разделите на 8,

Например: 192x125=(192x1000):8=192000:8=24000

За да направите кръгло число, завършващо с две нули, разделени на 25 , можете да го разделите на 100 и да умножите по 4.

Например: 2400:25=(2400:100) x 4=24 x 4=96

Да разделя кръгло число на 50 , може да се раздели на 100 и да се умножи по 2

Например: 4500:50=(4500:100) x 2 =45 x 2 =90

Но не само трябва да можете да смятате, но също така трябва да знаете таблицата за умножение, законите на аритметичните операции, състава на числото (класове и цифри) и да имате умения да ги използвате

Закони на аритметичните операции.

а + b = b + а

Комутативен закон на събиране

(а + b) + ° С = а + (b + ° С)

Асоциативен закон на събиране

а · b = b · а

Комутативен закон за умножение

(а · b) · ° С = а · (b · ° С)

Асоциативен закон на умножението

(а = b) · ° С = а · ° С = b · ° С

Разпределителен закон на умножението (по отношение на събирането)

Таблица за умножение.

Какво е умножение?

Това е умно допълнение.

В края на краищата е по-умно да умножите пъти,

Отколкото да събера всичко за един час.

Таблица за умножение

Всички имаме нужда от него в живота.

И не без основание наз

МНОЖЕТЕ ГО!

Чинове и класове

За да е удобно за четене и запомняне на числа с големи стойности, те трябва да бъдат разделени на така наречените „класове“: като се започне отдясно, числото се разделя с интервал на три цифри „първи клас“, след това три избрани са повече цифри, “втори клас” и т.н. В зависимост от стойността на числото, последен класможе да завършва с три, две или една цифра.

Например числото 35461298 се записва по следния начин:

Този брой е разделен на класове:

482 - първи клас (клас единици)

630 - втори клас (клас хилядни)

35 - трета класа (клас милиони)

освобождаване от отговорност

Всяка от цифрите, съставляващи класа, се нарича своя категория, чието обратно броене също върви вдясно.

Например числото 35 630 482 може да се разложи на класове и цифри:

482 - първи клас

2 - първа цифра (единична цифра)

8 - втора цифра (цифра десетки)

4 - трета цифра (цифра стотици)

630 - втори клас

0 - първа цифра (цифра хиляди)

3 - втора цифра (цифра от десетки хиляди)

6 - трета цифра (сто хиляди цифри)

35 - трети клас

5 - първа цифра (цифра на единици милиони)

3 - втора цифра (цифра от десетки милиони)

Числото 35 630 482 гласи:

Тридесет и пет милиона шестстотин тридесет хиляди четиристотин осемдесет и две.

Проблеми с рационалното броене и как да ги коригираме

Рационални методи за запаметяване.

В резултат на анкетата и наблюденията от уроците забелязах, че някои ученици не решават добре различни задачии упражнения, тъй като не са запознати с рационалните методи на изчисление.

1. Един от методите е изучаваният материал да се приведе в система, удобна за запомняне и съхранение в паметта.

2. За да може запомненият материал да бъде съхранен от паметта в определена система, трябва да се извърши известна работа върху неговото съдържание.

3. След това можете да започнете да овладявате всяка отделна част от текста, да го препрочитате и да се опитвате незабавно да възпроизведете (повторете на себе си или на глас) прочетеното.

4. От голямо значение за запаметяването е повторението на материала. Това също е казано народна поговорка: "Повторението е майка на ученето." Но също така трябва да се повтаря разумно и правилно.

Работата на повторението трябва да бъде съживена чрез черпене на илюстрации или примери, които не са съществували преди или вече са били забравени.

Въз основа на гореизложеното можем накратко да формулираме следните препоръки за успешното усвояване на учебния материал:

1. Поставете задача, бързо и здраво запомнете учебен материалза дълго време.

2. Фокусирайте се върху това, което трябва да научите.

3. Разбирайте добре учебния материал.

4. Направете план на заучения текст, като подчертаете основните мисли в него, разбийте текста на части.

5. Ако материалът е голям, последователно асимилирайте една част след друга и след това изложете всичко като цяло.

6. След като прочетете материала, е необходимо да го възпроизведете (разкажете какво е прочетено).

7. Повтаряйте материала, докато не бъде забравен.

8. Разпределете повторението в по-дълго време.

9. Когато запаметявате, използвайте различни видове памет (предимно семантична) и някои индивидуални характеристикипамет (визуална, слухова или двигателна).

10. Трудният материал трябва да се повтаря преди лягане, а след това сутрин, "за свежа памет".

11. Опитайте се да приложите придобитите знания на практика. Това По най-добрия начинзапазването им в паметта (не без основание казват: „Истинската майка на учението не е повторението, а прилагането“).

12. Необходимо е да придобиете повече знания, да научите нещо ново.

Сега се научихте как бързо и правилно да запомните изучения материал.

Интересна техника за умножение на някои числа по 9 в комбинация със събиране на последователни естествени числа от 2 до 10

12345x9+6=111111

123456x9+7=1111111

1234567x9+8=11111111

12345678x9+9=111111111

123456789x9+10=1111111111

Интересна игра "Познай числото"

Играли ли сте играта Познай числото? Това е много проста игра. Да кажем, че се сещам за естествено число по-малко от 100, запиша го на хартия (за да няма начин за измама), а вие се опитайте да го познаете, като задавате въпроси, на които може да се отговори само с "да" или "не" . След това ти отгатваш числото, а аз се опитвам да го отгатна. Кой може да познае за по-малко числотой спечели въпросите.

Колко въпроса са ви необходими, за да познаете номера ми? Не знам? Ангажирам се да позная номера ви, като задам само седем въпроса. как? Но например как. Нека познаете числото. Питам: "По-малко от 64 ли е?" - "Да". – „По-малко от 32?“ - "Да". - "По-малко от 16?" - "Да". – „По-малко от 8?“ - "Не". - "По-малко от 12?" - "Не". - "По-малко от 14?" - "Да". - "По-малко от 13?" - "Не". - "Числото 13 е замислено."

Ясно е? Разделям набора от възможни числа наполовина, след това останалата половина отново наполовина и така нататък, докато остатъкът стане едно число.

Ако ви е харесала играта или, напротив, искате повече, тогава отидете в библиотеката и вземете книгата „A. П. Савин (Математически миниатюри). В тази книга ще намерите много интересни и вълнуващи неща. Снимка на книгата:

Благодаря на всички за вниманието

И успех ти пожелавам!!!

Изтегли:

Преглед:

За да използвате визуализацията на презентации, създайте акаунт в Google (акаунт) и влезте: https://accounts.google.com

Надписи на слайдове:

Каква е тайната на рационалното броене?

Цел на работата: търсене на информация, изучаване на съществуващи методи и техники за рационално броене, тяхното приложение на практика.

Задачи: 1. Провеждане на мини анкета под формата на въпросник сред паралелни класове. 2. Анализирайте по темата на изследването: литературата, налична в училищната библиотека, информация в учебника по математика за 5 клас, както и в Интернет. 3. Изберете най-ефективните методи и средства за рационално броене. 4. Извършете класификация на съществуващите методи за бързо устно и писмено броене. 5. Създайте бележки, съдържащи техники за рационално броене за използване в паралелни 5 класа.

Както вече казах, темата за рационалното броене е актуална не само за учениците, но и за всеки човек, за да се уверя в това, проведох анкета сред ученици от 5 клас. Въпросите и отговорите на анкетата ви се представят в приложението.

Какво е рационална сметка? Рационалната сметка е удобна сметка (думата рационален означава удобен, правилен)

Защо учениците изпитват трудности?

Ето някои предположения: Ученикът: 1. не е усвоил добре изучаваната тема; 2. не повтаря материала; 3. има слаби умения за броене; 4 . смята, че няма да му трябва.

Рационални методи за устни и писмени изчисления. В работата и живота постоянно възниква необходимостта от различни видове изчисления. Използването на най-простите методи за умствено броене намалява умората, развива вниманието и паметта.

Има четири метода за добавяне, които ви позволяват да ускорите изчисленията. I. Техники за опростено събиране на числа

Методът на последователно побитово събиране се използва при умствени изчисления, тъй като опростява и ускорява сумирането на термини. Когато използвате този метод, добавянето започва с най-високите цифри: съответните цифри на втория член се добавят към първия член. Пример. Намерете сбора на числата 5287 и 3564, като използвате този метод. Решение. Ще изчислим в следната последователност: 5,287 + 3,000 = 8,287; 8287 + 500 = 8787; 8787 + 60 = 8847; 8847 + 4 = 8851 . Отговор: 8 851.

Друг начин за последователно побитово събиране е, че най-голямата цифра на втория член се добавя към най-високата цифра на първия член, след това следващата цифра на втория член се добавя към следващата цифра на първия член и т.н. Нека разгледаме това решение в дадения пример, получаваме: 5 000 + 3 000 = 8 000; 200 + 500 = 700; 80 + 60 = 140; 7 + 4 = 11 Отговор: 8851.

метод с кръгли числа. Число, което завършва с една или повече нули, се нарича кръгло число. Този метод се използва, когато могат да бъдат избрани два или повече термина, които могат да бъдат завършени до кръгло число. Разликата между кръглото число и числото, посочено в условието за изчисление, се нарича допълнение. Например 1000 - 978 = 22. В този случай числото 22 е аритметичното допълнение на числото 978 до 1000. За да добавите чрез метода на кръглото число, един или повече членове, близки до кръгли числа, трябва да бъдат закръглени, да се добавят кръгли числа и да се извадят аритметични добавки от получената сума. Пример. Намерете сбора на числата 1238 и 193, като използвате метода на кръглите числа. Решение. Закръглете числото 193 до 200 и добавете както следва: 1238 + 193 = (1238 + 200) - 7 = 1431.

Метод за групиране на термини. Този метод се използва, когато термините, когато са групирани заедно, дават кръгли числа, които след това се сумират. Пример. Намерете сбора на числата 74, 32, 67, 48, 33 и 26. Решение. Нека сумираме числата, групирани както следва: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

Метод на добавяне, базиран на групирането на термини. Пример: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…….+97+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)= 101x50=5050.

II. Техники за опростено изваждане на числа

Методът на последователно побитово изваждане. Този метод последователно изважда всяка цифра, извадена от намалената. Използва се, когато числата не могат да бъдат закръглени. Пример. Намерете разликата между числата 721 и 398. Нека изпълним действия за намиране на разликата на дадени числа в следната последователност: да представим числото 398 като сбор: 300 + 90 + 8 = 398; извършете побитово изваждане: 721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

метод с кръгли числа. Този метод се използва, когато субтрахенда е близо до кръгло число. За да се изчисли, е необходимо да се извади субтрахенда, взет като кръгло число, от намаленото и да се добави аритметичното добавяне към получената разлика. Пример. Нека изчислим разликата между числата 235 и 197 по метода на кръглите числа. Решение. 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

III. Техники за опростено умножение на числа

Умножение по едно, последвано от нули. Когато умножавате число по число, което включва единица, последвана от нули (10; 100; 1000 и т.н.), вдясно му се присвояват толкова нули, колкото има в множителя след единицата. Пример. Намерете произведението на числата 568 и 100. Решение. 568 x 100 = 56 800.

Методът на последователно побитово умножение. Този метод се използва при умножаване на число по всяко едноцифрено число. Ако трябва да умножите двуцифрено (три-, четирицифрено и т.н.) число по едно, тогава първо един от множителите се умножава по десетки от другия множител, след това по неговите единици и получените продукти са обобщени. Пример. Нека намерим произведението на числата 39 и 7. Решение. 39 x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273.

метод с кръгли числа. Този метод се използва само когато един от факторите е близо до кръгло число. Множителят се умножава по кръгло число, а след това по аритметично събиране и накрая от първото произведение се изважда второто. Пример. Нека намерим произведението на числата 174 и 69. Решение. 174 x 69 = (174 x 70) - (174 x 1) = 12 180 - 174 = 12 006.

Начин за разширяване на един от факторите. При този метод един от факторите първо се разлага на части (членове), след това вторият фактор се умножава на свой ред по всяка част от първия фактор и получените продукти се сумират. Пример. Нека намерим произведението на числата 13 и 325. Решение. Нека разложим числото на членове: 13 \u003d 10 + 3. Нека умножим всеки от получените термини по 325: 10 x 325 \u003d 3 250; 3 x 325 = 975 Сумираме получените продукти: 3,250 + 975 = 4,225.

Тайните на бързото мислено броене. Има системи за мислено броене, които ви позволяват да броите бързо и рационално устно. Ще разгледаме някои от най-често използваните техники.

Умножение на двуцифрено число по 11.

Примери: 23x11= 23x(10+1) = 23x10+23x1=253 (закон за разпределение на умножението по отношение на събирането) 23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (закон за разпределение и метод на кръглото число) Ние изучавахме този метод, но не знаехме още една тайна за умножаване на двуцифрени числа по 11.

Наблюдавайки резултатите, получени при умножаване на двуцифрено число по 11, забелязах, че можете да получите отговора по по-удобен начин: когато умножите двуцифрено число по 11, цифрите на това число се раздалечават и сумата от тези цифрите се поставят в средата. Примери. а) 23 11=253, тъй като 2+3=5; б) 45 11=495, защото 4+5=9; в) 57 11=627, защото 5+7=12, две бяха поставени в средата и едно беше добавено към мястото на стотните; Намерих потвърждение на този метод в интернет.

2) Произведението на двуцифрени числа, които имат еднакъв брой десетици, а сумата на единиците е 10, т.е. 23 27; 34 36; 52 58 и т.н. Правило: цифрата на десетиците се умножава по следващата цифра от естествения ред, резултатът се записва и произведението на единиците се приписва на него. Примери. а) 23 27 = 621. Как взе 621? Умножаваме числото 2 по 3 („двете” е последвано от „три”), то ще бъде 6, а след това ще присвоим произведението на единици: 3 7 = 21, получава се 621. б) 34 36 = 1224, тъй като 3 4 = 12, ние приписваме 24 на числото 12, това е произведението на единици от тези числа: 4 6.

3) Деление на трицифрени числа, състоящи се от еднакви цифри, на числото 37. Резултатът е равен на сумата от тези еднакви цифри на трицифреното число (или число, равно на три пъти цифрата на трицифреното число ). Примери. а) 222:37=6. Това е сборът от 2+2+2=6. б) 333:37=9, защото 3+3+3=9. в) 777:37=21, защото 7+7+7=21. г) 888:37=24, тъй като 8+8+8=24. Отчитаме и факта, че 888:24=37.

Заключение За да разкрия основната тайна в темата на моята работа, трябваше да работя упорито - да търся, анализирам информация, да разпитвам съученици, да повтарям ранните известни методи и да намеря много непознати методи за рационално броене и накрая да разбера какво е нейното тайна? И разбрах, че основното е да знам и да мога да прилагам познатите, да намирам нови рационални методи за броене, да познавам таблицата за умножение, състава на числото (класове и цифри), законите на аритметичните операции. Освен това, потърсете нови начини да направите това:

Техники за опростено събиране на числа: (метод на последователно побитово събиране; метод на кръгло число; метод на разлагане на един от множителите на членове); - Техники за опростено изваждане на числа (метод на последователно побитово изваждане; метод на кръгло число); - Техники за опростено умножение на числа (умножение с единица, последвано от нули; метод на последователно побитово умножение; метод на кръгло число; метод за разширяване на един от множителите; - Тайни на бързо броене наум (умножение на двуцифрено число с 11: при умножаване на двуцифрено число по 11, цифрите на това число се раздалечават и в средата се поставя сумата от тези цифри; произведението на двуцифрени числа, които имат еднакъв брой десетици, и сумата на единици е 10; Разделянето на трицифрени числа, състоящи се от едни и същи цифри, на числото 37. Вероятно все още има много такива начини, така че ще продължа да работя по тази тема през следващата година.

В заключение бих искал да завърша изказването си със следните думи:

Благодаря на всички за вниманието, желая успех!!!

IN този урокразглеждат се събиране и изваждане на рационални числа. Темата е класифицирана като комплексна. Тук е необходимо да се използва целият арсенал от предварително придобити знания.

Правилата за събиране и изваждане на цели числа са валидни и за рационални числа. Спомнете си, че рационалните числа са числа, които могат да бъдат представени като дроб, където а -е числителят на дроб bе знаменателят на дробта. при което, bне трябва да е нула.

В този урок все повече ще говорим за дроби и смесени числа като една обща фраза - рационални числа.

Навигация в урока:

Пример 1Намерете стойността на израз:

Ограждаме всяко рационално число в скоби заедно със знаците му. Имаме предвид, че плюсът, който е даден в израза, е знакът на операцията и не се отнася за дроби. Тази дроб има свой знак плюс, който е невидим поради факта, че не е записан. Но ще го запишем за яснота:

Това е събиране на рационални числа с различни знаци. За да добавите рационални числа с различни знаци, трябва да извадите по-малък модул от по-голям модул и да поставите знака на рационалното число, чийто модул е по-голям пред отговора. И за да разберете кой модул е по-голям и кой е по-малък, трябва да можете да сравните модулите на тези дроби, преди да ги изчислите:

Модулът на рационално число е по-голям от модула на рационално число. Следователно извадихме от . Имам отговор. След това, намалявайки тази дроб с 2, получаваме крайния отговор.

Някои примитивни действия, като поставяне на числа в скоби и поставяне на модули, могат да бъдат пропуснати. Този пример може да бъде написан по-кратко:

Пример 2Намерете стойността на израз:

Ограждаме всяко рационално число в скоби заедно със знаците му. Имаме предвид, че минусът между рационалните числа и е знакът на операцията и не важи за дробите. Тази дроб има свой знак плюс, който е невидим поради факта, че не е записан. Но ще го запишем за яснота:

Нека заменим изваждането със събиране. Спомнете си, че за това трябва да добавите към умаленото числото, противоположно на субтрахенда:

Получихме събирането на отрицателни рационални числа. За да добавите отрицателни рационални числа, трябва да съберете техните модули и да поставите минус пред отговора:

Забележка.Не е необходимо всяко рационално число да се поставя в скоби. Това се прави за удобство, за да се види ясно какви знаци имат рационалните числа.

Пример 3Намерете стойността на израз:

В този израз дробите различни знаменатели. За да направим нещата по-лесни за себе си, намаляваме тези дроби до общ знаменател. Няма да навлизаме в подробности как да направите това. Ако изпитвате трудности, не забравяйте да повторите урока.

След привеждане на дробите към общ знаменател изразът ще приеме следната форма:

Това е събиране на рационални числа с различни знаци. Изваждаме по-малкия модул от по-големия модул и пред получения отговор поставяме знака на рационалното число, чийто модул е по-голям:

Нека запишем решението на този пример по-кратко:

Пример 4Намерете стойността на израз

Изчисляваме този израз по следния начин: събираме рационалните числа и , след което изваждаме рационалното число от получения резултат.

Първо действие:

Второ действие:

Пример 5. Намерете стойността на израз:

Нека представим цялото число −1 като дроб и преведем смесеното число в неправилна дроб:

Ограждаме всяко рационално число в скоби заедно със знаците му:

Получихме събиране на рационални числа с различни знаци. Изваждаме по-малкия модул от по-големия модул и пред получения отговор поставяме знака на рационалното число, чийто модул е по-голям:

Имам отговор.

Има и второ решение. Състои се в сглобяване на цели части поотделно.

И така, обратно към оригиналния израз:

Оградете всяко число в скоби. За този смесен номер временно:

Нека изчислим целите части:

(−1) + (+2) = 1

В основния израз, вместо (−1) + (+2), записваме получената единица:

Полученият израз. За да направите това, напишете единицата и дробта заедно:

Нека напишем решението по този начин по-кратко:

Пример 6Намерете стойността на израз

Преобразувайте смесеното число в неправилна дроб. Пренаписваме останалото без промяна:

Ограждаме всяко рационално число в скоби заедно със знаците му:

Нека заменим изваждането със събиране:

Нека запишем решението на този пример по-кратко:

Пример 7Намерете стойностен израз

Нека представим цялото число −5 като дроб и преведем смесеното число в неправилна дроб:

Нека приведем тези дроби към общ знаменател. След като ги приведем към общ знаменател, те ще приемат следната форма:

Ограждаме всяко рационално число в скоби заедно със знаците му:

Нека заменим изваждането със събиране:

Получихме събирането на отрицателни рационални числа. Събираме модулите на тези числа и поставяме минус пред получения отговор:

Така стойността на израза е .

Нека решим този пример по втория начин. Да се върнем към оригиналния израз:

Нека запишем смесеното число в разгъната форма. Пренаписваме останалото без промени:

Ограждаме всяко рационално число в скоби заедно със знаците му:

Нека изчислим целите части:

В основния израз, вместо да напишете полученото число −7

Изразът е разширена форма на запис на смесено число. Нека напишем заедно числото −7 и дробта, образувайки крайния отговор:

Нека накратко напишем това решение:

Пример 8Намерете стойността на израз

Ограждаме всяко рационално число в скоби заедно със знаците му:

Нека заменим изваждането със събиране:

По този начин стойността на израза е

Този пример може да се реши по втория начин. Състои се в добавяне на целите и дробните части поотделно. Да се върнем към оригиналния израз:

Ограждаме всяко рационално число в скоби заедно със знаците му:

Нека заменим изваждането със събиране:

Получихме събирането на отрицателни рационални числа. Събираме модулите на тези числа и поставяме минус пред получения отговор. Но този път добавяме отделно целите части (−1 и −2) и дробните и

Нека накратко напишем това решение:

Пример 9Намерете изразни изрази

Преобразувайте смесени числа в неправилни дроби:

Ограждаме рационалното число в скоби заедно със знака му. Рационалното число не е необходимо да бъде ограждано в скоби, тъй като то вече е в скоби:

По този начин стойността на израза е

Сега нека се опитаме да решим същия пример по втория начин, а именно чрез събиране на целите и дробните части поотделно.

Този път, за да получим кратко решение, нека се опитаме да пропуснем някои действия, като писане на смесено число в разширена форма и замяна на изваждане със събиране:

Имайте предвид, че дробните части са сведени до общ знаменател.

Пример 10Намерете стойността на израз

Нека заменим изваждането със събиране:

Полученият израз не го прави отрицателни числакоито са основната причина за грешките. И тъй като няма отрицателни числа, можем да премахнем плюса пред субтрахенда, както и да премахнем скобите:

Резултатът е прост израз, който е лесен за изчисляване. Нека го изчислим по всеки удобен за нас начин:

Пример 11.Намерете стойността на израз

Това е събиране на рационални числа с различни знаци. Нека извадим по-малкия модул от по-големия модул и поставим знака на рационалното число, чийто модул е по-голям, пред получените отговори:

Пример 12.Намерете стойността на израз

Изразът се състои от няколко рационални числа. Според, на първо място, трябва да извършите действията в скоби.

Първо изчисляваме израза , след това израза Събираме получените резултати.

Първо действие:

Второ действие:

Трето действие:

Отговор:стойност на израза равно на

Пример 13Намерете стойността на израз

Преобразувайте смесени числа в неправилни дроби:

Нека дадем тези дроби в общ знаменател. След като ги приведем към общ знаменател, те ще приемат следната форма:

Нека заменим изваждането със събиране:

Получихме събиране на рационални числа с различни знаци. Нека извадим по-малкия модул от по-големия модул и поставим знака на рационалното число, чийто модул е по-голям, пред получените отговори:

По този начин стойността на израза равно на

Помислете за събирането и изваждането на десетични дроби, които също са рационални числа и могат да бъдат както положителни, така и отрицателни.

Пример 14Намерете стойността на израза −3,2 + 4,3

Ограждаме всяко рационално число в скоби заедно със знаците му. Имаме предвид, че плюсът, който е даден в израза, е знакът на операцията и не се отнася за десетичната дроб 4.3. Този десетичен знак има свой знак плюс, който е невидим поради факта, че не се записва. Но ще го запишем за яснота:

(−3,2) + (+4,3)

(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1

Модулът на 4,3 е по-голям от модула на −3,2, така че извадихме 3,2 от 4,3. Получих отговор 1.1. Отговорът е да, тъй като отговорът трябва да бъде предшестван от знака на рационалното число, чийто модул е по-голям. И модулът от 4,3 е по-голям от модула от −3,2

Така стойността на израза −3,2 + (+4,3) е 1,1

−3,2 + (+4,3) = 1,1

Пример 15Намерете стойността на израза 3,5 + (−8,3)

Това е събиране на рационални числа с различни знаци. Както в предишния пример, изваждаме по-малкия от по-големия модул и поставяме знака на рационалното число, чийто модул е по-голям, пред отговора:

3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8

Така стойността на израза 3,5 + (−8,3) е равна на −4,8

Този пример може да бъде написан по-кратко:

3,5 + (−8,3) = −4,8

Пример 16Намерете стойността на израза −7,2 + (−3,11)

Това е събирането на отрицателни рационални числа. За да добавите отрицателни рационални числа, трябва да съберете техните модули и да поставите минус пред отговора.

Можете да пропуснете записа с модули, за да избегнете претрупването на израза:

−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31

Така стойността на израза −7,2 + (−3,11) е равна на −10,31

Този пример може да бъде написан по-кратко:

−7,2 + (−3,11) = −10,31

Пример 17.Намерете стойността на израза −0,48 + (−2,7)

Това е събирането на отрицателни рационални числа. Добавяме техните модули и поставяме минус пред получения отговор. Можете да пропуснете записа с модули, за да избегнете претрупването на израза:

−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18

Пример 18.Намерете стойността на израза −4,9 − 5,9

Ограждаме всяко рационално число в скоби заедно със знаците му. Имаме предвид, че минусът, който се намира между рационалните числа −4,9 и 5,9, е знакът на операцията и не се отнася за числото 5,9. Това рационално число има свой знак плюс, който е невидим поради факта, че не е записан. Но ще го запишем за яснота:

(−4,9) − (+5,9)

Нека заменим изваждането със събиране:

(−4,9) + (−5,9)

Получихме събирането на отрицателни рационални числа. Добавяме техните модули и поставяме минус пред получения отговор:

(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8

Така стойността на израза −4,9 − 5,9 е равна на −10,8

−4,9 − 5,9 = −10,8

Пример 19.Намерете стойността на израза 7 − 9.3

Оградете в скоби всяко число заедно със знаците му

(+7) − (+9,3)

Нека заменим изваждането със събиране

(+7) + (−9,3)

(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3

Така стойността на израза 7 − 9,3 е −2,3

Нека запишем решението на този пример по-кратко:

7 − 9,3 = −2,3

Пример 20.Намерете стойността на израза −0,25 − (−1,2)

Нека заменим изваждането със събиране:

−0,25 + (+1,2)

Получихме събиране на рационални числа с различни знаци. Изваждаме по-малкия модул от по-големия и пред отговора поставяме знака на числото, чийто модул е по-голям:

−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95

Нека запишем решението на този пример по-кратко:

−0,25 − (−1,2) = 0,95

Пример 21.Намерете стойността на израза -3,5 + (4,1 - 7,1)

Изпълнете действията в скобите, след което добавете получения отговор с числото −3,5

Първо действие:

4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0

Второ действие:

−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5

Отговор:стойността на израза −3,5 + (4,1 − 7,1) е −6,5.

Пример 22.Намерете стойността на израза (3,5 - 2,9) - (3,7 - 9,1)

Нека направим скобите. След това от числото, което е резултат от изпълнението на първите скоби, извадете числото, което е резултат от изпълнението на вторите скоби:

Първо действие:

3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6

Второ действие:

3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4

Трето действие

0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

Отговор:стойността на израза (3,5 - 2,9) - (3,7 - 9,1) е 6.

Пример 23.Намерете стойността на израз −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15

Оградете в скоби всяко рационално число заедно със знаците му

(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)

Нека заменим изваждането със събиране, където е възможно:

(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)

Изразът се състои от няколко термина. Според асоциативния закон за добавяне, ако изразът се състои от няколко члена, тогава сумата няма да зависи от реда на действията. Това означава, че условията могат да се добавят в произволен ред.

Няма да преоткриваме колелото, а добавяме всички термини отляво надясно в реда, в който се появяват:

Първо действие:

(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35

Второ действие:

13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15

Трето действие:

7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1

Отговор:стойността на израза −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 е равна на 1.

Пример 24.Намерете стойността на израз

Нека преобразуваме десетичната дроб -1,8 в смесено число. Ще пренапишем останалото без промяна: