Повдигане на комплексно число на степен примери. Повдигане на комплексни числа на степен. Извличане на корени от комплексни числа. Квадратно уравнение с комплексни корени

Да започнем с любимия ни квадрат.

Пример 9

Повдигане на комплексно число на квадрат

Тук можете да отидете по два начина, първият начин е да пренапишете степента като произведение на фактори и да умножите числата според правилото за умножение за полиноми.

Вторият начин е да използвате добре познатата училищна формула за съкратено умножение:

За комплексно число е лесно да изведете своя собствена формула за съкратено умножение:

Подобна формула може да се изведе за квадрата на разликата, както и за куба на сбора и куба на разликата. Но тези формули са по-подходящи за сложни проблеми с анализа. Какво става, ако едно комплексно число трябва да бъде повдигнато, да речем, на 5-та, 10-та или 100-та степен? Ясно е, че в алгебрична формаправенето на такъв трик е почти невъзможно, наистина, помислете как ще решите пример като?

И тук на помощ идва тригонометричната форма на комплексно число и т.нар Формулата на де Моавър: Ако едно комплексно число е представено в тригонометрична форма, тогава когато е повдигнато на естествена степен, формулата е валидна:

Просто за позор.

Пример 10

Дадено е комплексно число, намерете.

Какво трябва да се направи? Първо трябва да представите това число в тригонометрична форма. Проницателните читатели ще забележат, че вече сме направили това в Пример 8:

След това, според формулата на De Moivre:

Дай Боже, няма нужда да разчитате на калкулатор, но в повечето случаи ъгълът трябва да бъде опростен. Как да се опрости? Образно казано, трябва да се отървете от излишните завои. Един оборот е радиан или 360 градуса. Разберете колко оборота имаме в спора. За удобство правим фракцията правилна:, след което става ясно видимо, че можете да намалите един оборот:. Надявам се всички да разберат, че това е същият ъгъл.

Така че крайният отговор би бил:

Отделна версия на задачата за степенуване е степенуването на чисто въображаеми числа.

Пример 12

Повишаване на комплексни числа до степени

Тук също всичко е просто, основното е да запомните известното равенство.

Ако въображаемата единица се повдигне на четна степен, тогава техниката на решение е следната:

Ако въображаемата единица се повдигне до нечетна степен, тогава ние „закрепваме“ едно „и“, получавайки четна мощност:

Ако има минус (или какъвто и да е реален коефициент), то първо трябва да се раздели:

Извличане на корени от комплексни числа. Квадратно уравнение с комплексни корени

Помислете за пример:

Не можете да извлечете корена? Ако говорим за реални числа, тогава наистина е невъзможно. В комплексните числа можете да извлечете корена - можете! По-точно, двекорен:

Дали намерените корени наистина са решението на уравнението? Да проверим:

Което трябваше да се провери.

Често се използва съкратена нотация, като и двата корена се изписват на един ред под „един гребен“:.

Тези корени се наричат ​​още спрегнати сложни корени .

Как да извлечем квадратни корениот отрицателни числа, мисля, че всеки разбира: ,,, и т.н. Във всички случаи се оказва двеспрегнати комплексни корени.

Да започнем с любимия ни квадрат.

Пример 9

Повдигане на комплексно число на квадрат

Тук можете да отидете по два начина, първият начин е да пренапишете степента като произведение на фактори и да умножите числата според правилото за умножение за полиноми.

Вторият начин е да използвате добре познатата училищна формула за съкратено умножение:

За комплексно число е лесно да изведете своя собствена формула за съкратено умножение:

Подобна формула може да се изведе за квадрата на разликата, както и за куба на сбора и куба на разликата. Но тези формули са по-подходящи за сложни проблеми с анализа. Какво става, ако едно комплексно число трябва да бъде повдигнато, да речем, на 5-та, 10-та или 100-та степен? Ясно е, че в алгебрична форма е почти невъзможно да се направи такъв трик, наистина, помислете как ще решите пример като?

И тук на помощ идва тригонометричната форма на комплексно число и т.нар Формулата на де Моавър: Ако едно комплексно число е представено в тригонометрична форма, тогава когато е повдигнато на естествена степен, формулата е валидна:

Просто за позор.

Пример 10

Дадено е комплексно число, намерете.

Какво трябва да се направи? Първо трябва да представите това число в тригонометрична форма. Проницателните читатели ще забележат, че вече сме направили това в Пример 8:

След това, според формулата на De Moivre:

Дай Боже, няма нужда да разчитате на калкулатор, но в повечето случаи ъгълът трябва да бъде опростен. Как да се опрости? Образно казано, трябва да се отървете от излишните завои. Един оборот е радиан или 360 градуса. Разберете колко оборота имаме в спора. За удобство правим фракцията правилна:, след което става ясно видимо, че можете да намалите един оборот:. Надявам се всички да разберат, че това е същият ъгъл.

Така че крайният отговор би бил:

Отделна версия на задачата за степенуване е степенуването на чисто въображаеми числа.

Пример 12

Повишаване на комплексни числа до степени

Тук също всичко е просто, основното е да запомните известното равенство.

Ако въображаемата единица се повдигне на четна степен, тогава техниката на решение е следната:

Ако въображаемата единица се повдигне до нечетна степен, тогава ние „закрепваме“ едно „и“, получавайки четна мощност:

Ако има минус (или какъвто и да е реален коефициент), то първо трябва да се раздели:

Извличане на корени от комплексни числа. Квадратно уравнение с комплексни корени

Помислете за пример:

Не можете да извлечете корена? Ако говорим за реални числа, тогава наистина е невъзможно. В комплексните числа можете да извлечете корена - можете! По-точно, двекорен:

Дали намерените корени наистина са решението на уравнението? Да проверим:

Което трябваше да се провери.

Често се използва съкратена нотация, като и двата корена се изписват на един ред под „един гребен“:.

Тези корени се наричат ​​още спрегнати комплексни корени.

Как се извличат квадратни корени от отрицателни числа, мисля, че всеки разбира: ,,, и т.н. Във всички случаи се оказва двеспрегнати комплексни корени.

Пример 13

Решаване на квадратно уравнение

Нека изчислим дискриминанта:

Дискриминантът е отрицателен и уравнението няма решение в реални числа. Но коренът може да се вземе в комплексни числа!

Според добре познатите училищни формули получаваме два корена: - спрегнати комплексни корени

Така че уравнението има два спрегнати комплексни корена:,

Сега можете да решите всяко квадратно уравнение!

И като цяло, всяко уравнение с полином от "n-та" степен има точно корени, някои от които може да са сложни.

Прост пример за решение „направи си сам“:

Пример 14

Намерете корените на уравнението и разложете на множители квадратния бином.

Факторизацията отново се извършва по стандартната училищна формула.