Умножение на числата със запетаи. Как да умножим десетични числа. Деление на по-малко число на по-голямо. Напреднало ниво

Назад напред

внимание! Визуализацията на слайда е само за информационни цели и може да не представя пълния обем на презентацията. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.

Целта на урока:

По забавен начин запознайте учениците с правилото за умножаване на десетична дроб по естествено число, с битова единица и правилото за изразяване на десетична дроб като процент. Развиват способността за прилагане на придобитите знания при решаване на примери и задачи.
Развиване и активиране на логическото мислене на учениците, способността за идентифициране на модели и обобщаването им, укрепване на паметта, способността да си сътрудничат, да оказват помощ, да оценяват своята работа и работата един на друг.
Да култивира интерес към математиката, активност, мобилност, способност за общуване.

Оборудване:интерактивна дъска, плакат с шифрограма, плакати с изказвания на математиците.

По време на часовете

Организиране на времето.
Устното броене е обобщение на предварително изучен материал, подготовка за изучаване на нов материал.
Обяснение на нов материал.
Домашна работа.
Математическо физическо възпитание.
Обобщаване и систематизиране на усвоените знания в игрова форма с помощта на компютър.
Класиране.

2. Момчета, днес нашият урок ще бъде малко необичаен, защото няма да го прекарам сам, а с моя приятел. И моят приятел също е необичаен, сега ще го видите. (На екрана се появява анимационен компютър.) Приятелят ми има име и може да говори. Как се казваш, приятел? Компоша отговаря: "Казвам се Компоша." Готови ли сте да ми помогнете днес? ДА! Добре тогава, нека започнем урока.

Днес получих криптирана шифрограма, момчета, която трябва да решим и дешифрираме заедно. (На дъската е поставен плакат с устна сметка за добавяне и изваждане на десетични дроби, в резултат на което момчетата получават следния код 523914687. )

5	2	3	9	1	4	6	8	7
1	2	3	4	5	6	7	8	9

Komposha помага за дешифрирането на получения код. В резултат на декодирането се получава думата МНОЖЕНИЕ. Умножението е ключовата дума на темата на днешния урок. Темата на урока се показва на монитора: „Умножаване на десетична дроб с естествено число“

Момчета, знаем как се извършва умножението на естествени числа. Днес ще разгледаме умножението. десетични числадо естествено число. Умножението на десетична дроб с естествено число може да се разглежда като сбор от членове, всеки от които е равен на тази десетична дроб, а броят на членовете е равен на това естествено число. Например: 5.21 3 \u003d 5,21 + 5, 21 + 5,21 \u003d 15,63Така че 5,21 3 = 15,63. Представяйки 5,21 като обикновена дроб от естествено число, получаваме

И в този случай получихме същия резултат от 15,63. Сега, като игнорираме запетаята, нека вземем числото 521 вместо числото 5,21 и да умножим по даденото естествено число. Тук трябва да запомним, че в един от факторите запетаята е преместена две места надясно. При умножаване на числата 5, 21 и 3 получаваме произведение равно на 15,63. Сега, в този пример, ще преместим запетаята наляво с две цифри. Така, с колко пъти е увеличен един от множителите, с толкова пъти е намален продуктът. Въз основа на сходните точки на тези методи правим заключение.

За да умножите десетична запетая по естествено число, трябва:
1) пренебрегвайки запетаята, извършете умножение на естествени числа;
2) в полученото произведение отделете със запетая отдясно толкова знака, колкото има в десетичната дроб.

На монитора се показват следните примери, които анализираме заедно с Компоша и момчетата: 5.21 3 = 15.63 и 7.624 15 = 114.34. След като покажа умножение с кръгло число 12,6 50 \u003d 630. След това се обръщам към умножението на десетична дроб по битова единица. Показани са следните примери: 7423 100 \u003d 742.3 и 5.2 1000 \u003d 5200. И така, въвеждам правилото за умножаване на десетична дроб с битова единица:

За да умножите десетична дроб по битови единици 10, 100, 1000 и т.н., е необходимо да преместите запетаята надясно в тази дроб с толкова цифри, колкото нули има в записа на битовата единица.

Завършвам обяснението с изразяване на десетична дроб като процент. Въвеждам правилото:

За да изразите десетичен знак като процент, умножете го по 100 и добавете знака %.

Давам пример на компютър 0,5 100 \u003d 50 или 0,5 \u003d 50%.

4. В края на обяснението давам на момчетата домашна работа, което се показва и на монитора на компютъра: № 1030, № 1034, № 1032.

5. За да могат момчетата да си починат малко, да консолидират темата, правим сесия по математическо физическо възпитание заедно с Компоша. Всички се изправят, показват на класа решените примери и трябва да отговорят дали примерът е верен или не. Ако примерът е решен правилно, те вдигат ръце над главата си и пляскат с длани. Ако примерът не е решен правилно, момчетата протягат ръце отстрани и месят пръстите си.

6. А сега малко почивка, можете да решавате задачите. Отворете учебника си на страница 205, № 1029. в тази задача е необходимо да се изчисли стойността на изразите:

Задачите се появяват на компютъра. Докато се решават, се появява картина с изображение на лодка, която, когато е напълно сглобена, отплава.

№ 1031 Изчислете:

Решавайки тази задача на компютър, ракетата постепенно се развива, решавайки последния пример, ракетата отлита. Учителят дава малко информация на учениците: „Всяка година космически кораби излитат към звездите от казахстанската земя от космодрума Байконур. Близо до Байконур, Казахстан строи новия си космодрум Байтерек.

No 1035. Задача.

Колко ще измине автомобил за 4 часа, ако скоростта на автомобила е 74,8 км/ч.

Тази задача е придружена от звуков дизайн и показване на кратко условие на задачата на монитора. Ако проблемът е разрешен, нали, тогава колата започва да се движи напред към флага на финала.

№ 1033. Запишете десетичните числа като проценти.

0,2 = 20%; 0,5 = 50%; 0,75 = 75%; 0,92 = 92%; 1,24 =1 24%; 3,5 = 350%; 5,61= 561%.

Решавайки всеки пример, когато се появи отговорът, се появява буква, което води до думата Много добре.

Учителят пита Компоша, защо ще се появи тази дума? Компоша отговаря: „Браво, момчета!“ и кажи сбогом на всички.

Учителят обобщава урока и поставя оценки.

Десетично умножениепротича на три етапа.

Десетичните числа се записват в колона и се умножават като обикновени числа.

Преброяваме броя на десетичните знаци за първия и втория десетичен знак. Добавяме броя им.

В получения резултат преброяваме отдясно наляво толкова цифри, колкото са се оказали в горния параграф и поставяме запетая.

Как да умножим десетични числа

Напишете десетичните знаци в колона и ги умножете като цели числа, игнорирайки запетаите. Тоест считаме 3,11 за 311 и 0,01 за 1.

Получено 311 . Сега преброяваме броя на знаците (цифрите) след десетичната запетая за двете дроби. Първият десетичен знак има две цифри, а вторият има две. Общ брой цифри след запетаите:

Преброяваме отдясно наляво 4 знака (цифри) от полученото число. В резултата има по-малко цифри, отколкото трябва да ги разделите със запетая. В такъв случай имате нужда от налявозадайте липсващия брой нули.

Липсва ни една цифра, затова приписваме една нула вляво.

При умножаване на всяка десетична дробна 10; 100; 1000 и т.н. десетичната точка се премества надясно с толкова цифри, колкото има нули след единицата.

70,1 10 = 701

0,023 100 = 2,3

5.6 1000 = 5600

За да умножите десетична запетая по 0,1; 0,01; 0,001 и т.н., е необходимо запетаята да се премести наляво в тази дроб с толкова цифри, колкото нули има пред единицата.

Ние броим нула цели числа!

12 0,1 = 1,2
0,05 0,1 = 0,005
1,256 0,01 = 0,012 56

За да разберете как да умножавате десетични числа, нека разгледаме конкретни примери.

Правило за десетично умножение

1) Умножаваме, без да обръщаме внимание на запетаята.

2) В резултат на това отделяме толкова цифри след запетаята, колкото има след запетаите в двата фактора заедно.

Намерете произведението на десетичните дроби:

За да умножим десетични дроби, умножаваме, без да обръщаме внимание на запетаите. Тоест не умножаваме 6,8 и 3,4, а 68 и 34. В резултат на това отделяме толкова цифри след десетичната запетая, колкото има след запетаите в двата множителя заедно. В първия множител има една цифра след десетичната запетая, във втория също има една. Общо разделяме две цифри след десетичната запетая и така получаваме крайния отговор: 6,8∙3,4=23,12.

Умножаване на десетични знаци без запетая. Тоест всъщност, вместо да умножаваме 36,85 по 1,14, ние умножаваме 3685 по 14. Получаваме 51590. Сега в този резултат трябва да разделим със запетая толкова цифри, колкото има в двата фактора заедно. Първото число има две цифри след десетичната запетая, второто има една. Общо отделяме три цифри със запетая. Тъй като в края на записа след десетичната запетая има нула, ние не я пишем в отговор: 36,85∙1,4=51,59.

За да умножим тези десетични знаци, ние умножаваме числата, без да обръщаме внимание на запетаите. Тоест, умножаваме естествените числа 2315 и 7. Получаваме 16205. В това число трябва да се отделят четири цифри след десетичната запетая - толкова, колкото са в двата множителя заедно (по две във всеки). Краен отговор: 23,15∙0,07=1,6205.

Умножаването на десетична дроб с естествено число се извършва по същия начин. Умножаваме числата, без да обръщаме внимание на запетаята, тоест умножаваме 75 по 16. В получения резултат след запетаята трябва да има толкова знака, колкото са в двата множителя заедно – един. Така 75∙1,6=120,0=120.

Започваме умножението на десетични дроби с умножаване на естествени числа, тъй като не обръщаме внимание на запетаите. След това отделяме толкова цифри след запетаята, колкото има в двата фактора заедно. Първото число има два знака след десетичната запетая, а второто има два знака след десетичната запетая. Общо в резултат трябва да има четири цифри след десетичната запетая: 4,72∙5,04=23,7888.

И още няколко примера за умножение на десетични дроби:

www.for6cl.uznateshe.ru

Умножение на десетични дроби, правила, примери, решения.

Обръщаме се към изучаването на следващото действие с десетични дроби, сега ще разгледаме изчерпателно умножение на десетични знаци. Нека първо да обсъдим основни принципиумножение на десетични знаци. След това нека преминем към умножаване на десетична дроб с десетична дроб, покажете как се извършва умножаването на десетични дроби по колона, разгледайте решенията на примерите. След това ще анализираме умножението на десетични дроби с естествени числа, по-специално с 10, 100 и т.н. В заключение, нека поговорим за умножаването на десетични дроби с обикновени дроби и смесени числа.

Нека кажем веднага, че в тази статия ще говорим само за умножаване на положителни десетични дроби (вижте положителни и отрицателни числа). Останалите случаи са разгледани в статиите умножение рационални числаИ умножение на реални числа.

Навигация в страницата.

Общи принципи за умножение на десетични знаци

Нека обсъдим общите принципи, които трябва да се следват при извършване на умножение с десетични дроби.

Тъй като крайните десетични дроби и безкрайните периодични дроби са десетичната форма на обикновените дроби, умножаването на такива десетични знаци е по същество умножение на обикновени дроби. С други думи, умножение на крайните десетични знаци, умножение на крайни и периодични десетични дроби, и умножаване на периодични десетични знацисе свежда до умножаване на обикновени дроби след преобразуване на десетични дроби в обикновени.

Помислете за примери за прилагане на гласовия принцип на умножаване на десетични дроби.

Извършете умножение на десетични знаци 1,5 и 0,75.

Нека заменим умножените десетични дроби със съответните обикновени дроби. Тъй като 1,5=15/10 и 0,75=75/100, тогава. Можете да намалите фракцията и след това да изберете цялата част от неправилната дроб и е по-удобно да напишете получената обикновена дроб 1 125/1 000 като десетична дроб 1,125.

Трябва да се отбележи, че е удобно да се умножат крайните десетични дроби в колона, ще говорим за този метод за умножаване на десетични дроби в следващия параграф.

Помислете за пример за умножение на периодични десетични дроби.

Изчислете произведението на периодичните десетични знаци 0,(3) и 2,(36) .

Нека преобразуваме периодичните десетични дроби в обикновени дроби:

Тогава. Можете да преобразувате получената обикновена дроб в десетична дроб:

Ако сред умножените десетични дроби има безкрайни непериодични дроби, тогава всички умножени дроби, включително крайните и периодичните, трябва да бъдат закръглени до определена цифра (вж. закръгляване на числата), и след това извършете умножението на крайните десетични дроби, получени след закръгляване.

Умножете десетичните знаци 5,382... и 0,2.

Първо, закръгляме безкрайна непериодична десетична дроб, закръгляването може да се направи до стотни, имаме 5,382 ... ≈5,38. Последната десетична дроб 0,2 не е необходимо да се закръгля до стотни. Така 5,382… 0,2≈5,38 0,2. Остава да се изчисли произведението на крайните десетични дроби: 5,38 0,2 \u003d 538 / 100 2 / 10 \u003d 1,076/1,000 \u003d 1,076.

Умножение на десетични дроби по колона

Умножението на крайните десетични дроби може да се извърши по колона, подобно на умножението по колона от естествени числа.

Да формулираме правило за умножение на десетични дроби. За да умножите десетични дроби по колона, трябва:

пренебрегвайки запетаите, извършвайте умножение по всички правила за умножение по колона от естествени числа;
в полученото число отделете толкова цифри отдясно с десетична запетая, колкото десетични знаци има в двата множителя заедно и ако няма достатъчно цифри в продукта, тогава трябва да добавите необходимия брой нули отляво.

Разгледайте примери за умножаване на десетични дроби по колона.

Умножете десетичните знаци 63,37 и 0,12.

Нека извършим умножението на десетични дроби по колона. Първо умножаваме числата, като игнорираме запетаите:

Остава да поставите запетая в получения продукт. Тя трябва да раздели 4 цифри отдясно, тъй като във множителите има четири знака след десетичната запетая (два в дробта 3,37 и две в дробта 0,12). Там има достатъчно числа, така че не е нужно да добавяте нули отляво. Да завършим записа:

В резултат на това имаме 3,37 0,12 = 7,6044.

Изчислете произведението на десетичните знаци 3,2601 и 0,0254.

След като извършим умножението по колона, без да вземаме предвид запетаите, получаваме следната картина:

Сега в продукта трябва да отделите 8 цифри отдясно със запетая, тъй като общият брой десетични знаци на умножените дроби е осем. Но има само 7 цифри в продукта, следователно трябва да зададете толкова нули отляво, така че 8 цифри да могат да бъдат разделени със запетая. В нашия случай трябва да зададем две нули:

Това завършва умножението на десетичните дроби по колона.

Умножаване на десетични знаци по 0,1, 0,01 и т.н.

Доста често трябва да умножите десетичните знаци по 0,1, 0,01 и т.н. Ето защо е препоръчително да се формулира правило за умножаване на десетична дроб с тези числа, което следва от принципите на умножение на десетични дроби, разгледани по-горе.

Така, умножаване на даден десетичен знак по 0,1, 0,01, 0,001 и т.н.дава дроб, която се получава от оригиналната, ако в нейния запис запетаята се премести наляво съответно с 1, 2, 3 и т.н. цифри и ако няма достатъчно цифри за преместване на запетаята, тогава вие трябва да добавите необходимия брой нули отляво.

Например, за да умножите десетичната дроб 54,34 по 0,1, трябва да преместите десетичната запетая наляво с 1 цифра в дробта 54,34 и ще получите дробта 5,434, т.е. 54,34 0,1 \u003d 5,434. Да вземем друг пример. Умножете десетичната дроб 9,3 по 0,0001. За целта трябва да преместим запетаята с 4 цифри наляво в умножената десетична дроб 9.3, но записът на дробта 9.3 не съдържа такъв брой знаци. Следователно трябва да зададем толкова нули в записа на фракцията 9.3 отляво, за да можем лесно да прехвърлим запетаята на 4 цифри, имаме 9.3 0.0001 \u003d 0.00093.

Обърнете внимание, че обявеното правило за умножаване на десетична дроб по 0,1, 0,01, ... е валидно и за безкрайни десетични дроби. Например 0,(18) 0,01=0,00(18) или 93,938… 0,1=9,3938… .

Умножение на десетична запетая по естествено число

В основата си умножаване на десетични числа с естествени числане се различава от умножаването на десетичен знак по десетичен знак.

Най-удобно е да умножите крайна десетична дроб с естествено число по колона, докато трябва да следвате правилата за умножение по колона от десетични дроби, разгледани в един от предишните параграфи.

Изчислете произведението 15 2.27 .

Нека извършим умножението на естествено число с десетична дроб в колона:

При умножаване на периодична десетична дроб с естествено число, периодичната дроб трябва да се замени с обикновена дроб.

Умножете десетичната дроб 0,(42) по естественото число 22.

Първо, нека преобразуваме периодичната десетична дроб в обикновена дроб:

Сега нека направим умножението: . Този десетичен резултат е 9,(3) .

И когато умножавате безкрайна непериодична десетична дроб с естествено число, първо трябва да закръглите.

Направете умножението 4 2.145...

Закръглявайки до стотни първоначалната безкрайна десетична дроб, ще стигнем до умножението на естествено число и последна десетична дроб. Имаме 4 2,145…≈4 2,15=8,60.

Умножение на десетична запетая по 10, 100, ...

Доста често трябва да умножите десетични дроби по 10, 100, ... Ето защо е препоръчително да се спрем подробно на тези случаи.

Нека глас правило за умножение на десетична запетая по 10, 100, 1000 и т.н.Когато умножавате десетична дроб по 10, 100, ... в нейния запис, трябва да преместите запетаята надясно съответно с 1, 2, 3, ... цифри и да изхвърлите допълнителните нули отляво; ако в записа на умножената дроб няма достатъчно цифри за прехвърляне на запетаята, тогава трябва да добавите необходимия брой нули вдясно.

Умножете десетичната запетая 0,0783 по 100.

Нека прехвърлим дробта 0,0783 две цифри вдясно в записа и получаваме 007,83. Пускайки две нули отляво, получаваме десетичната дроб 7,38. Така 0,0783 100=7,83.

Умножете десетичната дроб 0,02 по 10 000.

За да умножим 0,02 по 10 000, трябва да преместим запетаята с 4 цифри надясно. Очевидно в записа на дробта 0,02 няма достатъчно цифри за прехвърляне на запетаята на 4 цифри, така че ще добавим няколко нули вдясно, за да може да се пренесе запетаята. В нашия пример е достатъчно да добавите три нули, имаме 0,02000. След като преместим запетаята, получаваме записа 00200.0. Като изпуснем нулите отляво, имаме числото 200,0, което е равно на естественото число 200, то е резултат от умножаването на десетичната дроб 0,02 по 10 000.

Посоченото правило е валидно и за умножаване на безкрайни десетични дроби по 10, 100, ... Когато умножавате периодични десетични дроби, трябва да внимавате с периода на дробта, която е резултат от умножението.

Умножете периодичния десетичен знак 5,32(672) по 1000.

Преди умножение записваме периодичната десетична дроб като 5.32672672672 ..., това ще ни позволи да избегнем грешки. Сега нека преместим запетаята надясно с 3 цифри, имаме 5 326,726726 ... . Така след умножение се получава периодична десетична дроб 5 326, (726) .

5.32(672) 1000=5326,(726) .

Когато умножавате безкрайни непериодични дроби по 10, 100, ..., първо трябва да закръглите безкрайната дроб до определена цифра и след това да извършите умножението.

Умножение на десетична дроб с обикновена дроб или смесено число

За да умножите крайна десетична дроб или безкрайна периодична десетична дроб с обикновена дроб или смесено число, трябва да представите десетичната дроб като обикновена дроб и след това да извършите умножението.

Умножете десетичната дроб 0,4 по смесеното число.

Тъй като 0,4=4/10=2/5 и тогава. Полученото число може да бъде записано като периодична десетична дроб 1,5(3) .

Когато умножавате безкрайна непериодична десетична дроб с обикновена дроб или смесено число, обикновената дроб или смесеното число трябва да се замени с десетична дроб, след което да се закръглят умножените дроби и да се завърши изчислението.

Тъй като 2/3 \u003d 0,6666 ..., тогава. След като закръглим умножените дроби до хилядни, стигаме до произведението на две последни десетични дроби 3,568 и 0,667. Нека направим умножението в колона:

Полученият резултат трябва да се закръгли до хилядни, тъй като умножените дроби са взети с точност до хилядни, имаме 2,379856≈2,380.

www.cleverstudents.ru

29. Умножение на десетични дроби. правила

Намерете площта на правоъгълник с равни страни
1,4 dm и 0,3 dm. Преобразувайте дециметри в сантиметри:

1,4 dm = 14 cm; 0,3 dm = 3 cm.

Сега нека изчислим площта в сантиметри.

S \u003d 14 3 \u003d 42 cm 2.

Преобразувайте квадратни сантиметри в квадрат
дециметри:

d m 2 \u003d 0,42 d m 2.

Следователно, S \u003d 1,4 dm 0,3 dm \u003d 0,42 dm 2.

Умножаването на два знака след десетичната запетая се извършва по следния начин:
1) числата се умножават, без да се вземат предвид запетаите.
2) запетая в продукта се поставя така, че да се отделя отдясно
толкова знака, колкото са разделени в двата фактора
взети заедно. Например:

1,1 0,2 = 0,22 ; 1,1 1,1 = 1,21 ; 2,2 0,1 = 0,22 .

Примери за умножение на десетични дроби в колона:

Вместо да умножавате произволно число по 0,1; 0,01; 0,001
можете да разделите това число на 10; 100 ; или съответно 1000.
Например:

22 0,1 = 2,2 ; 22: 10 = 2,2 .

Когато умножаваме десетична дроб с естествено число, трябва:

1) умножете числата, като игнорирате запетаята;

2) в получения продукт поставете запетая, така че вдясно
от него имаше толкова цифри, колкото в десетична дроб.

Да намерим продукта 3.12 10 . Съгласно горното правило
първо умножете 312 по 10. Получаваме: 312 10 \u003d 3120.
И сега разделяме двете цифри отдясно със запетая и получаваме:

3,12 10 = 31,20 = 31,2 .

И така, когато умножихме 3,12 по 10, преместихме запетаята с едно
номер вдясно. Ако умножим 3,12 по 100, получаваме 312, т.е
запетаята беше преместена с две цифри вдясно.

3,12 100 = 312,00 = 312 .

Когато умножавате десетична дроб по 10, 100, 1000 и т.н., трябва да
в тази дроб преместете запетаята надясно толкова знака, колкото са нулите
е в множителя. Например:

0,065 1000 = 0065, = 65 ;

2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900, = 2900 .

Задачи по темата "Умножение на десетични дроби"

school-assistant.ru

Събиране, изваждане, умножение и деление на десетични дроби

Добавянето и изваждането на десетични числа е подобно на събирането и изваждането на естествени числа, но с определени условия.

правило. се състои от цифрите на целите и дробните части като естествени числа.

Когато е написано събиране и изваждане на десетични знацизапетаята, разделяща цялата част от дробната част, трябва да е в членовете, а сумата или умаленото, субтрахента и разликата в една колона (запетая под запетая от условието до края на изчислението).

Събиране и изваждане на десетични знацикъм реда:

243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651

843,217 - 700,628 = (800 - 700) + 40 + 3 + (0,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589

Събиране и изваждане на десетични знацив колона:

Добавянето на десетични дроби изисква горен допълнителен ред за запис на числа, когато сборът на цифрата минава през десет. Изваждането на десетични знаци изисква горният допълнителен ред да маркира цифрата, в която 1 се заема.

Ако няма достатъчно цифри от дробната част отдясно на термина или намалено, тогава могат да се добавят толкова нули вдясно в дробната част (увеличете битовата дълбочина на дробната част), колкото има цифри в друг термин или намалена.

Десетично умножениесе извършва по същия начин, както умножението на естествени числа, по същите правила, но в произведението се поставя запетая според сбора на цифрите на множителите в дробната част, като се брои отдясно наляво (сумата от цифрите на факторите е броят на цифрите след десетичната запетая за факторите, взети заедно).

При умножение на десетични знацив колона първата значима цифра вдясно се подписва под първата значима цифра вдясно, както при естествените числа:

Записване умножение на десетични знацив колона:

Записване десетично делениев колона:

Подчертаните знаци са знаци за обвиване със запетая, тъй като делителят трябва да е цяло число.

правило. При деление на дробиделителя на десетичната дроб се увеличава с толкова цифри, колкото цифри има в нейната дробна част. За да не се променя частта, дивидентът се увеличава със същия брой цифри (в дивидента и делителя запетаята се прехвърля на същия брой знаци). Запетая се поставя в частното на етапа на деление, когато се разделя цялата част от дробта.

За десетичните дроби, както и за естествените числа, се запазва правилото: Не можете да разделите десетична запетая на нула!

В този урок ще разгледаме всяка от тези операции една по една.

Съдържание на урока

Добавяне на десетични знаци

Както знаем, десетичната дроб се състои от цяло число и дробна част. При добавяне на десетични знаци целите и дробните части се добавят отделно.

Например, нека добавим десетичните знаци 3.2 и 5.3. По-удобно е да добавяте десетични дроби в колона.

Първо, записваме тези две дроби в колона, като целите части трябва да са под целите части, а дробните под дробните. В училище това изискване се нарича "запетая под запетая" .

Нека напишем дробите в колона, така че запетаята да е под запетаята:

Събираме дробните части: 2 + 3 = 5. Записваме петицата в дробната част на нашия отговор:

Сега събираме целите части: 3 + 5 = 8. Записваме осмицата в цялата част на нашия отговор:

Сега отделяме със запетая цялата част от дробната част. За да направим това, ние отново следваме правилото "запетая под запетая" :

Получих отговор 8.5. Така че изразът 3,2 + 5,3 е равен на 8,5

3,2 + 5,3 = 8,5

Всъщност не всичко е толкова просто, колкото изглежда на пръв поглед. Тук също има подводни камъни, за които сега ще говорим.

Места в десетични знаци

Десетичните числа, както и обикновените числа, имат свои собствени цифри. Това са десети места, стотни места, хилядни места. В този случай цифрите започват след десетичната запетая.

Първата цифра след десетичната запетая отговаря за десетите, втората цифра след десетичната запетая за стотните, третата цифра след десетичната запетая за хилядните.

Цифрите в десетичните дроби съхраняват някои полезна информация. По-специално, те съобщават колко десети, стотни и хилядни има в десетичната запетая.

Например, помислете за десетичната запетая 0,345

Позицията, в която се намира тройката, се нарича десето място

Позицията, в която се намира четворката, се нарича стотни място

Позицията, където се намира петицата, се нарича хилядни

Нека да разгледаме тази фигура. Виждаме, че в категорията на десетите има тройка. Това предполага, че има три десети в десетичната дроб 0,345.

Ако съберем дробите и тогава ще получим оригиналната десетична дроб 0,345

Първо получихме отговора, но го преобразувахме в десетична и получихме 0,345.

Добавянето на десетични числа следва същите правила като добавянето на обикновени числа. Добавянето на десетични дроби става чрез цифри: десети се добавят към десети, стотни към стотни, хилядни към хилядни.

Следователно, когато добавяте десетични дроби, е необходимо да следвате правилото "запетая под запетая". Запетая под запетая предоставя същия ред, в който десети се добавят към десети, стотни към стотни, хилядни към хилядни.

Пример 1Намерете стойността на израза 1,5 + 3,4

Първо събираме дробните части 5 + 4 = 9. Записваме деветката в дробната част на нашия отговор:

Сега събираме целите части 1 + 3 = 4. Записваме четирите в цялата част на нашия отговор:

Сега отделяме със запетая цялата част от дробната част. За да направите това, отново спазваме правилото "запетая под запетая":

Получих отговор 4.9. Значи стойността на израза 1,5 + 3,4 е 4,9

Пример 2Намерете стойността на израза: 3,51 + 1,22

Записваме този израз в колона, като спазваме правилото "запетая под запетая"

Първо, добавете дробната част, а именно стотните 1+2=3. Записваме тройката в стотната част на нашия отговор:

Сега добавете десети от 5+2=7. Записваме седемте в десетата част на нашия отговор:

Сега съберете целите части 3+1=4. Записваме четирите в цялата част на нашия отговор:

Разделяме със запетая цялата част от дробната част, като спазваме правилото „запетая под запетаята“:

Получих отговор 4.73. Значи стойността на израза 3,51 + 1,22 е 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Както при обикновените числа, при събиране на десетични дроби, . В този случай една цифра се записва в отговора, а останалите се прехвърлят към следващата цифра.

Пример 3Намерете стойността на израза 2,65 + 3,27

Записваме този израз в колона:

Добавете стотни от 5+7=12. Числото 12 няма да се побере в стотната част от нашия отговор. Следователно в стотната част записваме числото 2 и прехвърляме единицата към следващия бит:

Сега добавяме десетите от 6+2=8 плюс единицата, която получихме от предишната операция, получаваме 9. Пишем числото 9 в десетата от нашия отговор:

Сега съберете целите части 2+3=5. Записваме числото 5 в цялата част на нашия отговор:

Получих отговор 5,92. Значи стойността на израза 2,65 + 3,27 е 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

Пример 4Намерете стойността на израза 9,5 + 2,8

Запишете този израз в колона

Добавяме дробните части 5 + 8 = 13. Числото 13 няма да се побере в дробната част на нашия отговор, така че първо записваме числото 3 и прехвърляме единицата към следващата цифра или по-скоро я прехвърляме към цяло число част:

Сега добавяме целите части 9+2=11 плюс единицата, която получихме от предишната операция, получаваме 12. Записваме числото 12 в цялата част на нашия отговор:

Разделете със запетая цялата част от дробната част:

Получих отговор 12.3. Значи стойността на израза 9,5 + 2,8 е 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

Когато събирате десетични дроби, броят на цифрите след десетичната запетая и в двете дроби трябва да е еднакъв. Ако няма достатъчно цифри, тогава тези места в дробната част се запълват с нули.

Пример 5. Намерете стойността на израза: 12,725 + 1,7

Преди да напишем този израз в колона, нека направим броя на цифрите след десетичната запетая в двете дроби еднакви. Десетичната дроб 12,725 има три цифри след десетичната запетая, докато дробта 1,7 има само една. Така че в дробта 1,7 в края трябва да добавите две нули. След това получаваме дробта 1700. Сега можете да напишете този израз в колона и да започнете да изчислявате:

Добавете хилядни от 5+0=5. Записваме числото 5 в хилядната част от нашия отговор:

Добавете стотни от 2+0=2. Записваме числото 2 в стотната част на нашия отговор:

Добавете десети от 7+7=14. Числото 14 няма да се побере в една десета от нашия отговор. Затова първо записваме числото 4 и прехвърляме единицата към следващия бит:

Сега добавяме целите части 12+1=13 плюс единицата, която получихме от предишната операция, получаваме 14. Записваме числото 14 в цялата част на нашия отговор:

Разделете със запетая цялата част от дробната част:

Получих отговора 14 425. Значи стойността на израза 12,725+1,700 е 14,425

12,725+ 1,700 = 14,425

Изваждане на десетични знаци

Когато изваждате десетични дроби, трябва да следвате същите правила, както при добавяне: „запетая под запетая“ и „равен брой цифри след десетичната запетая“.

Пример 1Намерете стойността на израза 2,5 − 2,2

Записваме този израз в колона, като спазваме правилото "запетая под запетая":

Изчисляваме дробната част 5−2=3. Записваме числото 3 в десетата част на нашия отговор:

Изчислете цялата част 2−2=0. Пишем нула в цялата част на нашия отговор:

Разделете със запетая цялата част от дробната част:

Получихме отговора 0,3. Значи стойността на израза 2,5 − 2,2 е равна на 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

Пример 2Намерете стойността на израза 7,353 - 3,1

Този израз има различен брой цифри след десетичната запетая. В дробта 7.353 има три цифри след десетичната запетая, а в дробта 3.1 има само една. Това означава, че в дробта 3.1 трябва да се добавят две нули в края, за да бъде броят на цифрите в двете дроби еднакъв. Тогава получаваме 3100.

Сега можете да напишете този израз в колона и да го изчислите:

Получих отговор 4253. Значи стойността на израза 7,353 − 3,1 е 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Както при обикновените числа, понякога ще трябва да вземете едно от съседния бит, ако изваждането стане невъзможно.

Пример 3Намерете стойността на израза 3,46 − 2,39

Извадете стотни от 6−9. От числото 6 не изваждайте числото 9. Следователно трябва да вземете единица от съседната цифра. След като вземем единица от съседната цифра, числото 6 се превръща в числото 16. Сега можем да изчислим стотните от 16−9=7. Записваме седемте в стотната част на нашия отговор:

Сега извадете десети. Тъй като взехме една единица в категорията десети, цифрата, която се намираше там, намаля с една единица. С други думи, десетото място вече не е числото 4, а числото 3. Нека изчислим десетите от 3−3=0. Пишем нула в десетата част на нашия отговор:

Сега извадете целите части 3−2=1. Записваме единицата в цялата част на нашия отговор:

Разделете със запетая цялата част от дробната част:

Получих отговор 1.07. Значи стойността на израза 3,46−2,39 е равна на 1,07

3,46−2,39=1,07

Пример 4. Намерете стойността на израза 3−1.2

Този пример изважда десетична запетая от цяло число. Нека запишем този израз в колона, така че цялата част от десетичната дроб 1,23 да е под числото 3

Сега нека направим броя на цифрите след десетичната запетая еднакъв. За да направите това, след числото 3 поставете запетая и добавете една нула:

Сега извадете десети: 0−2. Не изваждайте от нула числото 2. Следователно трябва да вземете единица от съседната цифра. Като вземете единица от съседната цифра, 0 се превръща в числото 10. Сега можете да изчислите десетите от 10−2=8. Записваме осемте в десетата част на нашия отговор:

Сега извадете целите части. Преди това числото 3 се намираше в цялото число, но ние взехме назаем една единица от него. В резултат се превърна в числото 2. Следователно изваждаме 1 от 2. 2−1=1. Записваме единицата в цялата част на нашия отговор:

Разделете със запетая цялата част от дробната част:

Получих отговор 1.8. Значи стойността на израза 3−1,2 е 1,8

Десетично умножение

Умножаването на десетични числа е лесно и дори забавно. За да умножите десетични числа, трябва да ги умножите като обикновени числа, като игнорирате запетаите.

След като получите отговора, е необходимо да отделите със запетая цялата част от дробната част. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая в двете дроби, след това да преброите същия брой цифри вдясно в отговора и да поставите запетая.

Пример 1Намерете стойността на израза 2,5 × 1,5

Ние умножаваме тези десетични дроби като обикновени числа, игнорирайки запетаите. За да игнорирате запетаите, можете временно да си представите, че те отсъстват напълно:

Получихме 375. В това число е необходимо да се отдели със запетая цялата част от дробната част. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая в части от 2,5 и 1,5. В първата дроб има една цифра след десетичната запетая, във втората дроб също има една. Общо две числа.

Връщаме се към числото 375 и започваме да се движим отдясно наляво. Трябва да преброим две цифри отдясно и да поставим запетая:

Получих отговор 3,75. Значи стойността на израза 2,5 × 1,5 е 3,75

2,5 х 1,5 = 3,75

Пример 2Намерете стойността на израза 12,85 × 2,7

Нека умножим тези десетични знаци, като игнорираме запетаите:

Получихме 34695. В това число трябва да отделите със запетая цялата част от дробната част. За да направите това, трябва да изчислите броя на цифрите след десетичната запетая в части от 12,85 и 2,7. В дробта 12.85 има две цифри след десетичната запетая, в дробта 2.7 има една цифра - общо три цифри.

Връщаме се към числото 34695 и започваме да се движим от дясно на ляво. Трябва да преброим три цифри отдясно и да поставим запетая:

Получих отговора 34 695. Значи стойността на израза 12,85 × 2,7 е 34,695

12,85 × 2,7 = 34,695

Умножение на десетична запетая с обикновено число

Понякога има ситуации, когато трябва да умножите десетична дроб с обикновено число.

За да умножите десетично и обикновено число, трябва да ги умножите, независимо от запетаята в десетичната запетая. След като получите отговора, е необходимо да отделите със запетая цялата част от дробната част. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая в десетичната дроб, след това в отговора да преброите същия брой цифри вдясно и да поставите запетая.

Например умножете 2,54 по 2

Умножаваме десетичната дроб 2,54 по обичайното число 2, като игнорираме запетаята:

Получихме числото 508. В това число трябва да отделите със запетая цялата част от дробната част. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая във фракцията 2,54. Дробта 2,54 има две цифри след десетичната запетая.

Връщаме се към числото 508 и започваме да се движим от дясно на ляво. Трябва да преброим две цифри отдясно и да поставим запетая:

Получих отговор 5.08. Значи стойността на израза 2,54 × 2 е 5,08

2,54 х 2 = 5,08

Умножаване на десетични знаци по 10, 100, 1000

Умножаването на десетични знаци по 10, 100 или 1000 се извършва по същия начин като умножаването на десетични знаци по обикновени числа. Необходимо е да извършите умножението, като игнорирате запетаята в десетичната дроб, след което в отговора отделете цялата част от дробната част, като броите същия брой цифри отдясно, колкото е имало цифри след десетичната запетая в десетичната запетая фракция.

Например умножете 2,88 по 10

Нека умножим десетичната дроб 2,88 по 10, като игнорираме запетаята в десетичната дроб:

Получихме 2880. В това число трябва да отделите цялата част от дробната част със запетая. За да направите това, трябва да преброите броя на цифрите след десетичната запетая във фракцията 2,88. Виждаме, че в дробта 2,88 има две цифри след десетичната запетая.

Връщаме се към числото 2880 и започваме да се движим отдясно наляво. Трябва да преброим две цифри отдясно и да поставим запетая:

Получих отговор 28.80. Изхвърляме последната нула - получаваме 28,8. Значи стойността на израза 2,88 × 10 е 28,8

2,88 х 10 = 28,8

Има втори начин за умножаване на десетични дроби по 10, 100, 1000. Този метод е много по-прост и удобен. Състои се в това, че запетаята в десетичната дроб се премества надясно с толкова цифри, колкото нули има в множителя.

Например, нека решим предишния пример 2,88×10 по този начин. Без да даваме изчисления, веднага разглеждаме фактора 10. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има една нула. Сега в дробта 2,88 преместваме десетичната запетая надясно с една цифра, получаваме 28,8.

2,88 х 10 = 28,8

Нека се опитаме да умножим 2,88 по 100. Веднага гледаме коефициента 100. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има две нули. Сега в дробта 2,88 преместваме десетичната запетая надясно с две цифри, получаваме 288

2,88 х 100 = 288

Нека се опитаме да умножим 2,88 по 1000. Веднага гледаме коефициента 1000. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има три нули. Сега в дробта 2,88 преместваме десетичната запетая надясно с три цифри. Третата цифра я няма, затова добавяме още една нула. В резултат на това получаваме 2880.

2,88 x 1000 = 2880

Умножаване на десетични знаци по 0,1 0,01 и 0,001

Умножаването на десетични числа по 0,1, 0,01 и 0,001 работи по същия начин като умножаването на десетичен знак по десетичен знак. Необходимо е да се умножават дроби като обикновени числа и да се постави запетая в отговора, като се преброят толкова цифри отдясно, колкото цифри има след десетичната запетая в двете дроби.

Например, умножете 3,25 по 0,1

Ние умножаваме тези дроби като обикновени числа, игнорирайки запетаите:

Получихме 325. В това число трябва да отделите цялата част от дробната част със запетая. За да направите това, трябва да изчислите броя на цифрите след десетичната запетая в части от 3,25 и 0,1. В дробта 3.25 има две цифри след десетичната запетая, в дробта 0.1 има една цифра. Общо три числа.

Връщаме се към числото 325 и започваме да се движим отдясно наляво. Трябва да преброим три цифри отдясно и да поставим запетая. След като преброим три цифри, установяваме, че числата са свършили. В този случай трябва да добавите една нула и да поставите запетая:

Получихме отговора 0,325. Значи стойността на израза 3,25 × 0,1 е 0,325

3,25 х 0,1 = 0,325

Има втори начин за умножаване на десетични числа по 0,1, 0,01 и 0,001. Този метод е много по-лесен и удобен. Състои се в това, че запетаята в десетичната дроб се премества наляво с толкова цифри, колкото нули има в множителя.

Например, нека решим предишния пример 3,25 × 0,1 по този начин. Без да даваме никакви изчисления, веднага разглеждаме фактора 0,1. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има една нула. Сега в дробта 3,25 преместваме десетичната запетая наляво с една цифра. Премествайки запетаята с една цифра наляво, виждаме, че няма повече цифри преди тройката. В този случай добавете една нула и поставете запетая. В резултат на това получаваме 0,325

3,25 х 0,1 = 0,325

Нека опитаме да умножим 3,25 по 0,01. Веднага погледнете множителя от 0,01. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има две нули. Сега в дробта 3.25 преместваме запетаята наляво с две цифри, получаваме 0.0325

3,25 х 0,01 = 0,0325

Нека опитаме да умножим 3,25 по 0,001. Незабавно погледнете множителя от 0,001. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има три нули. Сега в дробта 3.25 преместваме десетичната запетая наляво с три цифри, получаваме 0.00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Не бъркайте умножението на десетичните знаци по 0,1, 0,001 и 0,001 с умножението по 10, 100, 1000. Често срещана грешка, която повечето хора правят.

При умножение по 10, 100, 1000 запетаята се премества надясно с толкова цифри, колкото има нули в множителя.

А при умножение по 0,1, 0,01 и 0,001 запетаята се премества наляво с толкова цифри, колкото нули има в множителя.

Ако в началото е трудно да запомните, можете да използвате първия метод, при който умножението се извършва както при обикновените числа. В отговора ще трябва да отделите цялата част от дробната част, като преброите толкова цифри отдясно, колкото цифри има след десетичната запетая в двете дроби.

Деление на по-малко число на по-голямо. Напреднало ниво.

В един от предишните уроци казахме, че при разделяне на по-малко число на по-голямо се получава дроб, в чийто числител е делимото, а в знаменателя е делителя.

Например, за да разделите една ябълка на две, трябва да напишете 1 (една ябълка) в числителя и да напишете 2 (двама приятели) в знаменателя. Резултатът е дроб. Така всеки приятел ще получи ябълка. С други думи, половин ябълка. Дроб е отговорът на проблем как да разделя една ябълка между две

Оказва се, че можете да разрешите този проблем допълнително, ако разделите 1 на 2. В края на краищата дробна черта във всяка дроб означава деление, което означава, че това деление е разрешено и в дроб. Но как? Свикнали сме, че дивидентът винаги е по-голям от делителя. А тук, напротив, дивидентът е по-малък от делителя.

Всичко ще стане ясно, ако си спомним, че дроб означава смачкване, разделяне, разделяне. Това означава, че модулът може да бъде разделен на колкото желаете части, а не само на две части.

При разделянето на по-малко число на по-голямо се получава десетична дроб, в която цялата част ще бъде 0 (нула). Дробната част може да бъде всичко.

И така, нека разделим 1 на 2. Нека решим този пример с ъгъл:

Не може човек да се раздели на две просто така. Ако зададете въпрос "колко две има в едно" , тогава отговорът ще бъде 0. Следователно, на частно пишем 0 и поставяме запетая:

Сега, както обикновено, умножаваме частното по делителя, за да извадим остатъка:

Дойде моментът, в който единицата може да бъде разделена на две части. За да направите това, добавете още една нула вдясно от получената:

Получихме 10. Делим 10 на 2, получаваме 5. Записваме петицата в дробната част на нашия отговор:

Сега изваждаме последния остатък, за да завършим изчислението. Умножаваме 5 по 2, получаваме 10

Получихме отговора 0,5. Значи частта е 0,5

Половин ябълка може да се напише и с помощта на десетичната дроб 0,5. Ако добавим тези две половини (0,5 и 0,5), отново получаваме оригиналната една цяла ябълка:

Тази точка може да бъде разбрана и ако си представим как 1 см е разделен на две части. Ако разделите 1 сантиметър на 2 части, ще получите 0,5 cm

Пример 2Намерете стойността на израза 4:5

Колко петици има в четири? Въобще не. Пишем частно 0 и поставяме запетая:

Умножаваме 0 по 5, получаваме 0. Пишем нула под четворката. Незабавно извадете тази нула от дивидента:

Сега нека започнем да разделяме (разделяме) четирите на 5 части. За да направите това, вдясно от 4 добавяме нула и разделяме 40 на 5, получаваме 8. Пишем осемте на частно.

Завършваме примера, като умножаваме 8 по 5 и получаваме 40:

Получихме отговора 0,8. Значи стойността на израза 4:5 е 0,8

Пример 3Намерете стойността на израз 5: 125

Колко числа 125 има в пет? Въобще не. Пишем 0 на лично и поставяме запетая:

Умножаваме 0 по 5, получаваме 0. Пишем 0 под петицата. Незабавно извадете от петте 0

Сега нека започнем да разделяме (разделяме) петте на 125 части. За да направите това, вдясно от тези пет пишем нула:

Разделете 50 на 125. Колко числа 125 има в 50? Въобще не. Така че в частното отново записваме 0

Умножаваме 0 по 125, получаваме 0. Записваме тази нула под 50. Веднага изваждаме 0 от 50

Сега разделяме числото 50 на 125 части. За да направите това, вдясно от 50 пишем още една нула:

Разделете 500 на 125. Колко са числата 125 в числото 500. В числото 500 има четири числа 125. Записваме четирите насаме:

Завършваме примера, като умножаваме 4 по 125 и получаваме 500

Получихме отговора 0,04. Значи стойността на израза 5:125 е 0,04

Деление на числа без остатък

Така че, нека поставим запетая в частното след единицата, като по този начин показваме, че разделянето на целите части е приключило и преминаваме към дробната част:

Добавете нула към остатъка 4

Сега разделяме 40 на 5, получаваме 8. Записваме осемте насаме:

40−40=0. Получено 0 в остатъка. Така разделението е напълно завършено. Разделянето на 9 на 5 води до десетичен знак от 1,8:

9: 5 = 1,8

Пример 2. Разделете 84 на 5 без остатък

Първо разделяме 84 на 5 както обикновено с остатък:

Получени на лично 16 и още 4 в остатъка. Сега разделяме този остатък на 5. Поставяме запетая в частния и добавяме 0 към остатъка 4

Сега разделяме 40 на 5, получаваме 8. Записваме осмицата в частното след десетичната запетая:

и завършете примера, като проверите дали все още има остатък:

Деление на десетична запетая на обикновено число

Десетичната дроб, както знаем, се състои от цяло число и дробна част. Когато разделяте десетична дроб на редовно число, първо трябва:

разделете цялата част от десетичната дроб на това число;
след разделянето на цялата част, трябва незабавно да поставите запетая в частната част и да продължите изчислението, както при обикновеното деление.

Например, нека разделим 4,8 на 2

Нека напишем този пример като ъгъл:

Сега нека разделим цялата част на 2. Четири делено на две е две. Пишем двойката насаме и веднага поставяме запетая:

Сега умножаваме частното по делителя и виждаме дали има остатък от делението:

4−4=0. Остатъкът е нула. Все още не пишем нула, тъй като решението не е завършено. След това продължаваме да изчисляваме, както при обикновеното деление. Намалете 8 и го разделете на 2

8: 2 = 4. Записваме четирите в частното и веднага го умножаваме по делителя:

Получих отговор 2.4. Стойност на израза 4,8: 2 е равно на 2,4

Пример 2Намерете стойността на израза 8,43:3

Разделяме 8 на 3, получаваме 2. Веднага поставете запетая след двете:

Сега умножаваме частното по делителя 2 × 3 = 6. Записваме шестицата под осмицата и намираме остатъка:

Делим 24 на 3, получаваме 8. Записваме осмицата на частно. Веднага го умножаваме по делителя, за да намерим остатъка от делението:

24−24=0. Остатъкът е нула. Нулата все още не е записана. Вземете последните три от дивидента и разделете на 3, получаваме 1. Незабавно умножете 1 по 3, за да завършите този пример:

Получих отговор 2.81. Значи стойността на израза 8,43:3 е равна на 2,81

Деление на десетична запетая на десетична запетая

За да разделите десетична дроб на десетична дроб, в дивидента и в делителя, преместете запетаята надясно със същия брой цифри, колкото има след десетичната точка в делителя, и след това разделете на редовно число.

Например, разделете 5,95 на 1,7

Нека запишем този израз като ъгъл

Сега, в делителя и в делителя, преместваме запетаята надясно със същия брой цифри, колкото има след десетичната запетая в делителя. Делителят има една цифра след десетичната запетая. Така че трябва да преместим запетаята надясно с една цифра в делителя и в делителя. Прехвърляне:

След преместване на десетичната запетая надясно с една цифра, десетичната дроб 5,95 се превърна в дроб 59,5. И десетичната дроб 1,7, след преместване на десетичната запетая надясно с една цифра, се превърна в обичайното число 17. И ние вече знаем как да разделим десетичната дроб на обичайното число. По-нататъшното изчисление не е трудно:

Запетаята е преместена надясно, за да се улесни разделянето. Това е позволено поради факта, че при умножаване или деление на делителя и делителя на едно и също число, частното не се променя. Какво означава?

Това е една от интересните характеристики на разделението. Нарича се частна собственост. Помислете за израз 9: 3 = 3. Ако в този израз делимото и делителя се умножат или разделят на едно и също число, тогава частното 3 няма да се промени.

Нека умножим дивидент и делител по 2 и да видим какво ще се случи:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3

Както се вижда от примера, коефициентът не се е променил.

Същото се случва, когато поставим запетая в делителя и в делителя. В предишния пример, където разделихме 5,91 на 1,7, преместихме запетаята с една цифра надясно в делителя и делителя. След преместване на запетаята дробта 5,91 беше преобразувана във фракцията 59,1, а фракцията 1,7 беше преобразувана в обичайното число 17.

Всъщност вътре в този процес се извърши умножение по 10. Ето как изглеждаше:

5,91 × 10 = 59,1

Следователно броят на цифрите след десетичната запетая в делителя зависи от това по какво ще бъдат умножени дивидентът и делителят. С други думи, броят на цифрите след десетичната запетая в делителя ще определи колко цифри в делителя и в делителя запетаята ще бъде преместена надясно.

Десетично деление на 10, 100, 1000

Деленето на десетична запетая на 10, 100 или 1000 се извършва по същия начин като . Например, нека разделим 2,1 на 10. Нека решим този пример с ъгъл:

Но има и втори начин. По-лек е. Същността на този метод е, че запетаята в делителя се премества наляво с толкова цифри, колкото нули има в делителя.

Нека решим предишния пример по този начин. 2.1: 10. Гледаме разделителя. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има една нула. Така че в делимото 2.1 трябва да преместите запетаята наляво с една цифра. Преместваме запетаята наляво с една цифра и виждаме, че вече няма останали цифри. В този случай добавяме още една нула преди числото. В резултат на това получаваме 0,21

Нека се опитаме да разделим 2,1 на 100. В числото 100 има две нули. Така че в делимото 2.1 трябва да преместите запетаята наляво с две цифри:

2,1: 100 = 0,021

Нека се опитаме да разделим 2,1 на 1000. В числото 1000 има три нули. Така че в делимото 2.1 трябва да преместите запетаята наляво с три цифри:

2,1: 1000 = 0,0021

Десетично деление на 0,1, 0,01 и 0,001

Разделянето на десетична запетая на 0,1, 0,01 и 0,001 се извършва по същия начин като . В делителя и в делителя трябва да преместите запетаята надясно с толкова цифри, колкото има след десетичната запетая в делителя.

Например, нека разделим 6,3 на 0,1. Първо преместваме запетаите в делителя и в делителя надясно с толкова цифри, колкото има след десетичната запетая в делителя. Делителят има една цифра след десетичната запетая. Така че преместваме запетаите в делителя и в делителя надясно с една цифра.

След преместване на десетичната запетая с една цифра надясно, десетичната дроб 6,3 се превръща в обичайното число 63, а десетичната дроб 0,1, след преместване на десетичната запетая с една цифра надясно, се превръща в единица. А разделянето на 63 на 1 е много просто:

Значи стойността на израза 6,3:0,1 е равна на 63

Но има и втори начин. По-лек е. Същността на този метод е, че запетаята в дивидента се прехвърля надясно с толкова цифри, колкото нули има в делителя.

Нека решим предишния пример по този начин. 6,3:0,1. Нека да разгледаме разделителя. Интересуваме се колко нули има в него. Виждаме, че има една нула. Така че в делимото 6.3 трябва да преместите запетаята надясно с една цифра. Преместваме запетаята надясно с една цифра и получаваме 63

Нека се опитаме да разделим 6,3 на 0,01. Делителят 0,01 има две нули. Така че в делимото 6.3 трябва да преместите запетаята надясно с две цифри. Но в дивидента има само една цифра след десетичната запетая. В този случай трябва да се добави още една нула в края. В резултат на това получаваме 630

Нека опитаме да разделим 6,3 на 0,001. Делителят на 0,001 има три нули. Така че в делимото 6.3 трябва да преместите запетаята надясно с три цифри:

6,3: 0,001 = 6300

Задачи за самостоятелно решаване

Хареса ли ви урока?
Присъединете се към нашата нова група Vkontakte и започнете да получавате известия за нови уроци

В хода на средната и гимназияУчениците преминаха през темата „Дроби“. Това понятие обаче е много по-широко от даденото в учебния процес. Днес концепцията за дроб се среща доста често и не всеки може да изчисли всеки израз, например умножаване на дроби.

Какво е дроб?

Исторически се случи така, че дробните числа се появиха поради необходимостта от измерване. Както показва практиката, често има примери за определяне на дължината на сегмент, обема на правоъгълен правоъгълник.

Първоначално учениците се запознават с такова понятие като дял. Например, ако разделите диня на 8 части, тогава всяка ще получи една осма от диня. Тази част от осем се нарича дял.

Дял, равен на ½ от всяка стойност, се нарича половина; ⅓ - трети; ¼ - една четвърт. Записи като 5/8, 4/5, 2/4 се наричат обикновени дроби. Обикновената дроб се дели на числител и знаменател. Между тях има дробна линия или дробна линия. Частичната лента може да бъде начертана като хоризонтална или наклонена линия. В този случай той означава знак за деление.

Знаменателят представлява на колко равни части е разделена стойността, обектът; а числителят е колко равни части са взети. Числителят е написан над дробната черта, а знаменателят под нея.

Най-удобно е да показвате обикновени дроби координатен лъч. Ако един сегмент е разделен на 4 равни части, всяка част е обозначена с латинска буква, тогава в резултат можете да получите отлична визуална помощ. И така, точка А показва дял, равен на 1/4 от целия единичен сегмент, а точка Б маркира 2/8 от този сегмент.

Разновидности на дроби

Дробите са обикновени, десетични и смесени числа. Освен това дробите могат да бъдат разделени на правилни и неправилни. Тази класификация е по-подходяща за обикновени дроби.

Правилна дроб е число, чийто числител е по-малък от знаменателя. Съответно, неправилна дроб е число, чийто числител е по-голям от знаменателя. Вторият вид обикновено се записва като смесено число. Такъв израз се състои от цяло число и дробна част. Например 1½. 1 - цяла част, ½ - дробна. Ако обаче трябва да извършите някои манипулации с израза (разделяне или умножаване на дроби, намаляване или преобразуване), смесеното число се преобразува в неправилна дроб.

правилно дробен изразвинаги е по-малко от едно, а грешното винаги е по-голямо или равно на 1.

Що се отнася до този израз, те разбират запис, в който е представено всяко число, чийто знаменател на дробния израз може да бъде изразен чрез единица с няколко нули. Ако дробта е правилна, тогава цялата част в десетичен записще бъде равно на нула.

За да напишете десетична запетая, първо трябва да напишете цялата част, да я отделите със запетая от дробната и след това да напишете дробния израз. Трябва да се помни, че след запетаята числителят трябва да съдържа толкова цифри, колкото нули има в знаменателя.

Пример. Представете дробта 7 21 / 1000 в десетична система.

Алгоритъм за преобразуване на неправилна дроб в смесено число и обратно

Неправилно е да се записва неправилна дроб в отговора на задачата, затова трябва да се преобразува в смесено число:

разделете числителя на съществуващия знаменател;
в конкретен пример непълно частно е цяло число;
а остатъкът е числителят на дробната част, като знаменателят остава непроменен.

Пример. Преобразувайте неправилна дроб в смесено число: 47 / 5 .

Решение. 47: 5. Непълното частно е 9, остатъкът = 2. Следователно, 47/5 = 9 2/5.

Понякога трябва да представите смесено число като неправилна дроб. След това трябва да използвате следния алгоритъм:

цялата част се умножава по знаменателя на дробния израз;
полученият продукт се добавя към числителя;
резултатът се записва в числителя, знаменателят остава непроменен.

Пример. Изразете числото в смесена форма като неправилна дроб: 9 8 / 10 .

Решение. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 е числителят.

Отговор: 98 / 10.

Умножение на обикновени дроби

Можете да извършвате различни алгебрични операции с обикновени дроби. За да умножите две числа, трябва да умножите числителя с числителя и знаменателя със знаменателя. Освен това умножението на дроби с различни знаменатели не се различава от произведението на дробни числа с еднакви знаменатели.

Случва се, след като намерите резултата, да трябва да намалите фракцията. Наложително е да се опрости полученият израз възможно най-много. Разбира се, не може да се каже, че неправилна дроб в отговора е грешка, но също така е трудно да се нарече правилен отговор.

Пример. Намерете произведението на две обикновени дроби: ½ и 20/18.

Както се вижда от примера, след намиране на продукта се получава редуцируема дробна нотация. И числителят, и знаменателят в този случай се делят на 4, а резултатът е отговорът 5/9.

Умножаване на десетични дроби

Произведението на десетичните дроби е доста различно от произведението на обикновените дроби по своя принцип. И така, умножаването на дроби е както следва:

две десетични дроби трябва да бъдат записани една под друга, така че най-десните цифри да са една под друга;
трябва да умножите написаните числа, въпреки запетаите, тоест като естествени числа;
пребройте броя на цифрите след запетаята във всяко от числата;
в резултата, получен след умножението, трябва да преброите толкова цифрови знаци отдясно, колкото се съдържат в сумата в двата фактора след десетичната запетая, и да поставите разделителен знак;
ако има по-малко цифри в продукта, тогава трябва да се изпишат толкова много нули пред тях, за да покрият това число, поставете запетая и присвоете цяла част, равна на нула.

Пример. Изчислете произведението на два знака след десетичната запетая: 2,25 и 3,6.

Решение.

Умножение на смесени дроби

За да изчислите произведението на две смесени дроби, трябва да използвате правилото за умножение на дроби:

преобразувайте смесени числа в неправилни дроби;
намерете произведението на числителите;
намерете произведението на знаменателите;
запишете резултата;
опростете израза колкото е възможно повече.

Пример. Намерете произведението на 4½ и 6 2/5.

Умножение на число с дроб (дроби с число)

В допълнение към намирането на произведението на две дроби, смесени числа, има задачи, в които трябва да умножите по дроб.

И така, за да намерите произведението на десетична дроб и естествено число, трябва:

напишете числото под дробта, така че най-десните цифри да са една над друга;
намерете работата, въпреки запетаята;
в получения резултат отделете цялата част от дробната част със запетая, като броите надясно броя знаци, който е след десетичната запетая в дробта.

За да умножите обикновена дроб по число, трябва да намерите произведението на числителя и естествения фактор. Ако отговорът е редуцируема дроб, тя трябва да се преобразува.

Пример. Изчислете произведението на 5/8 и 12.

Решение. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Отговор: 7 1 / 2.

Както можете да видите от предишния пример, беше необходимо да се намали полученият резултат и да се преобразува неправилният дробен израз в смесено число.

Освен това умножението на дроби се прилага и за намиране на произведението на число в смесена форма и естествен фактор. За да умножите тези две числа, трябва да умножите цялата част от смесения фактор по числото, да умножите числителя по същата стойност и да оставите знаменателя непроменен. Ако е необходимо, трябва да опростите резултата възможно най-много.

Пример. Намерете произведението на 9 5/6 и 9.

Решение. 9 5 / 6 x 9 \u003d 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 \u003d 81 + 7 3 / 6 \u003d 88 1 / 2.

Отговор: 88 1 / 2.

Умножение с коефициенти 10, 100, 1000 или 0,1; 0,01; 0,001

Следното правило следва от предходния параграф. За да умножите десетична дроб по 10, 100, 1000, 10000 и т.н., трябва да преместите запетаята надясно с толкова цифри, колкото нули има в множителя след единица.

Пример 1. Намерете произведението на 0,065 и 1000.

Решение. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.

Отговор: 65.

Пример 2. Намерете произведението на 3,9 и 1000.

Решение. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.

Отговор: 3900.

Ако трябва да умножите естествено число и 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т.н., трябва да преместите запетаята наляво в получения продукт с толкова цифри, колкото нули има преди единица. Ако е необходимо, пред естествено число се записват достатъчен брой нули.

Пример 1. Намерете произведението на 56 и 0,01.

Решение. 56 х 0,01 = 0056 = 0,56.

Отговор: 0,56.

Пример 2. Намерете произведението на 4 и 0,001.

Решение. 4 х 0,001 = 0004 = 0,004.

Отговор: 0,004.

Така че намирането на продукта от различни дроби не трябва да създава трудности, освен може би изчисляването на резултата; В този случай просто не можете да правите без калкулатор.

За да разберете как да умножавате десетични числа, нека разгледаме конкретни примери.

Правило за десетично умножение

1) Умножаваме, без да обръщаме внимание на запетаята.

Примери.

Намерете произведението на десетичните дроби:

За да умножим десетични дроби, умножаваме, без да обръщаме внимание на запетаите. Тоест не умножаваме 6,8 и 3,4, а 68 и 34. В резултат на това отделяме толкова цифри след десетичната запетая, колкото има след запетаите в двата множителя заедно. В първия фактор след десетичната запетая има една цифра, във втория също има една. Общо разделяме две цифри след десетичната запетая и така получаваме крайния отговор: 6,8∙3,4=23,12.