Геометричният смисъл на обратната производна. Физическото значение на производната. VI. Лабораторна работа

Предмет. Производна. Геометрични и механичен смисълпроизводна

Ако тази граница съществува, тогава се казва, че функцията е диференцируема в точка. Означава се производната на функция (формула 2).

1. Геометричният смисъл на производната. Разгледайте графиката на функцията. От фиг. 1 се вижда, че за всеки две точки A и B от графиката на функцията може да се напише формула 3). В него - ъгълът на наклона на секущата AB.

По този начин съотношението на разликата е равно на наклона на секанса. Ако фиксираме точка A и преместим точка B към нея, тогава тя намалява неограничено и се доближава до 0, а секансът AB се доближава до допирателната AC. Следователно границата на диференциалното отношение е равна на наклона на допирателната в точка А. Оттук следва изводът.

Производната на функция в точка е наклонът на допирателната към графиката на тази функция в тази точка. Това е геометричното значение на производната.

1. Уравнение на тангенс . Нека изведем уравнението на допирателната към графиката на функцията в точката. В общия случай уравнението на права с наклон има вида: . За да намерим b, използваме факта, че допирателната минава през точка A: . Това предполага: . Замествайки този израз с b, получаваме уравнението на допирателната (формула 4).

За да разберете геометричната стойност на производната, разгледайте графиката на функцията y = f(x). Вземете произволна точка M с координати (x, y) и точка N близо до нея (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y). Нека начертаем ординатите $\overline(M_(1) M)$ и $\overline(N_(1) N)$ и да начертаем права, успоредна на оста OX от точката M.

Съотношението $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ е тангенса на ъгъла $\alpha $1, образуван от секущата MN с положителната посока на оста OX. Тъй като $\Delta $x клони към нула, точката N ще се приближи до M и допирателната MT към кривата в точка M ще стане гранична позиция на секущата MN. По този начин производната f`(x) е равна на тангентата на ъгъла $\alpha $, образуван от тангентата към кривата в точка M (x, y) с положителна посока спрямо оста OX - наклонът на тангентата (фиг. 1).

Фигура 1. Графика на функция

При изчисляване на стойностите с помощта на формули (1) е важно да не правите грешка в знаците, т.к. увеличението може да бъде отрицателно.

Точката N, лежаща върху кривата, може да се приближи до M от всяка страна. Така че, ако на фигура 1 тангентата е дадена в обратна посока, ъгълът $\alpha $ ще се промени с $\pi $, което значително ще повлияе на тангенса на ъгъла и съответно на наклона.

Заключение

От това следва, че съществуването на производната е свързано със съществуването на допирателна към кривата y = f(x), а наклонът -- tg $\alpha $ = f`(x) е краен. Следователно допирателната не трябва да е успоредна на оста OY, в противен случай $\alpha $ = $\pi $/2 и допирателната на ъгъла ще бъде безкрайна.

В някои точки непрекъснатата крива може да няма допирателна или да има допирателна, успоредна на оста OY (фиг. 2). Тогава функцията не може да има производна в тези стойности. Може да има произволен брой такива точки на функционалната крива.

Фигура 2. Изключителни точки на кривата

Разгледайте Фигура 2. Нека $\Delta $x клони към нула от отрицателни или положителни стойности:

\[\Delta x\to -0\begin(array)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(array)\]

Ако в този случай отношения (1) имат краен коридор, той се означава като:

В първия случай производната отляво, във втория производната отдясно.

Наличието на граница говори за еквивалентност и равенство на левите и десните производни:

Ако лявата и дясната производни не са равни, тогава в тази точка има допирателни, които не са успоредни на OY (точка M1, фиг. 2). В точките M2, M3 отношенията (1) клонят към безкрайност.

За N точки вляво от M2, $\Delta $x $

Вдясно от $M_2$, $\Delta $x $>$ 0, но изразът също е f(x + $\Delta $x) -- f(x) $

За точка $M_3$ отляво $\Delta $x $$ 0 и f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, т.е. изразите (1) са положителни както отляво, така и отдясно и клонят към +$\infty $ и когато $\Delta $x се доближава до -0 и +0.

Случаят на отсъствие на производна в определени точки на правата (x = c) е показан на фигура 3.

Фигура 3. Липса на производни

Пример 1

Фигура 4 показва графиката на функцията и допирателната към графиката в точката с абсцисата $x_0$. Намерете стойността на производната на функцията по абсцисата.

Решение. Производната в точка е равна на отношението на нарастването на функцията към нарастването на аргумента. Нека изберем две точки с цели координати по тангентата. Нека например това са точки F (-3,2) и C (-2,4).

Математическите задачи намират своето приложение в много науки. Те включват не само физика, химия, инженерство и икономика, но и медицина, екология и други дисциплини. Една важна концепция, която трябва да овладеете, за да намерите решения на важни дилеми, е производната на функция. физически смисълизобщо не е толкова трудно да се обясни, колкото може да изглежда на непосветения в същността на въпроса. Достатъчно е просто да намерите подходящи примери за това в реалния живот и обикновените ежедневни ситуации. Всъщност всеки шофьор се справя с подобна задача всеки ден, когато погледне скоростомера, определяйки скоростта на колата си в определен момент от определено време. В крайна сметка именно в този параметър се крие същността на физическото значение на производното.

Как да намерите скорост

Всеки петокласник може лесно да определи скоростта на човек на пътя, като знае изминатото разстояние и времето за пътуване. За да направите това, първата от дадените стойности се разделя на втората. Но не всеки млад математик знае, че в момента намира съотношението на нарастванията на функция и аргумент. Наистина, ако си представим движението под формата на графика, полагайки пътя по оста y и времето по абсцисата, то ще бъде точно това.

Въпреки това, скоростта на пешеходец или всеки друг обект, който определяме на голяма част от пътя, считайки движението за равномерно, може да се промени. Във физиката има много форми на движение. Може да се извършва не само с постоянно ускорение, но и да се забавя и увеличава по произволен начин. Трябва да се отбележи, че в този случай линията, описваща движението, вече няма да бъде права линия. Графично може да приема най-сложните конфигурации. Но за всяка точка на графиката винаги можем да начертаем допирателна, представена от линейна функция.

За да се уточни параметърът на промяна на преместването в зависимост от времето, е необходимо да се намалят измерените сегменти. Когато станат безкрайно малки, изчислената скорост ще бъде мигновена. Този опит ни помага да дефинираме производната. Неговият физически смисъл също следва логически от подобно разсъждение.

По отношение на геометрията

Известно е, че колкото по-голяма е скоростта на тялото, толкова по-стръмна е графиката на зависимостта на преместването от времето, а оттам и ъгълът на наклон на допирателната към графиката в определена точка. Индикатор за такива промени може да бъде тангенса на ъгъла между оста x и допирателната. Той е този, който определя стойността на производната и се изчислява чрез съотношението на дължините на противоположния към съседния крак в правоъгълен триъгълник, образуван от перпендикуляр, спуснат от определена точка към оста x.

Това е геометричният смисъл на първата производна. Физическият се разкрива в това, че стойността на противоположния крак в нашия случай е изминатото разстояние, а съседният е времето. Съотношението им е скорост. И отново стигаме до извода, че моментната скорост, определена, когато и двете междини клонят към безкрайно малки, е същността, сочеща нейния физически смисъл. Втората производна в този пример ще бъде ускорението на тялото, което от своя страна показва степента на промяна в скоростта.

Примери за намиране на производни във физиката

Производната е индикатор за скоростта на изменение на всяка функция, дори когато не говорим за движение в буквалния смисъл на думата. За да демонстрираме това ясно, нека вземем няколко конкретни примера. Да предположим, че силата на тока, в зависимост от времето, се променя съгласно следния закон: аз= 0,4t2.Необходимо е да се намери стойността на скоростта, с която този параметър се променя в края на 8-та секунда от процеса. Обърнете внимание, че самата желана стойност, както може да се съди от уравнението, непрекъснато нараства.

За решението е необходимо да се намери първата производна, чийто физически смисъл беше разгледан по-рано. Тук dI/ дт = 0,8 T. След това го намираме на T=8 , получаваме, че скоростта, с която се извършва промяната в силата на тока, е равна на 6,4 А/ ° С. Тук се счита, че силата на тока се измерва в ампери, а времето, съответно, в секунди.

Всичко е променливо

Видими Светът, състоящ се от материя, непрекъснато претърпява промени, намирайки се в движение на различни процеси, протичащи в него. За тяхното описание могат да се използват различни параметри. Ако те са обединени от зависимост, тогава те са математически записани като функция, която ясно показва техните промени. А където има движение (под каквато и форма да е изразено), има и производно, чийто физически смисъл разглеждаме в момента.

В тази връзка следният пример. Да предположим, че температурата на тялото се променя според закона T=0,2 T 2 . Трябва да намерите скоростта на нагряване в края на 10-та секунда. Проблемът се решава по начин, подобен на описания в предишния случай. Тоест намираме производната и заместваме в нея стойността за T= 10 , получаваме T= 0,4 T= 4. Това означава, че крайният отговор е 4 градуса в секунда, тоест процесът на нагряване и промяната на температурата, измерена в градуси, се извършва точно с тази скорост.

Решение на практически задачи

Разбира се, в реалния живот всичко е много по-сложно, отколкото в теоретичните проблеми. На практика стойността на количествата обикновено се определя по време на експеримента. В този случай се използват инструменти, които дават показания по време на измервания с определена грешка. Следователно при изчисленията трябва да се работи с приблизителни стойности на параметрите и да се прибягва до закръгляване на неудобни числа, както и други опростявания. След като вземем предвид това, отново ще преминем към задачи за физическия смисъл на производната, тъй като те са само вид математически модел на най-сложните процеси, протичащи в природата.

Изригване

Представете си, че изригва вулкан. Колко опасен може да бъде той? За да се отговори на този въпрос, трябва да се вземат предвид много фактори. Ще се опитаме да вземем предвид един от тях.

От устата на "огненото чудовище" камъните се хвърлят вертикално нагоре, като имат начална скорост от момента на излизане навън.Необходимо е да се изчисли колко високо могат да достигнат максималната височина.

За да намерим желаната стойност, съставяме уравнение за зависимостта на височината H, измерена в метри, от други величини. Те включват начална скорост и време. Стойността на ускорението се счита за известна и приблизително равна на 10 m/s 2 .

Частична производна

Нека сега разгледаме физическия смисъл на производната на функция от малко по-различен ъгъл, тъй като самото уравнение може да съдържа не една, а няколко променливи. Например, в предишната задача зависимостта на височината на камъните, изхвърлени от отвора на вулкана, се определя не само от промяната във времевите характеристики, но и от стойността на началната скорост. Последната се счита за постоянна, фиксирана стойност. Но в други задачи с напълно различни условия всичко може да е различно. Ако количествата, на които сложна функция, няколко, изчисленията се правят по формулите по-долу.

Физическото значение на честото производно трябва да се определи както в обичайния случай. Това е скоростта, с която функцията се променя в определена точка, когато параметърът на променливата се увеличава. Изчислява се по такъв начин, че всички останали компоненти се приемат като константи, само един се счита за променлива. След това всичко се случва по обичайните правила.

Разбирайки физическия смисъл на производната, не е трудно да се дадат примери за решаване на сложни и сложни проблеми, отговорът на които може да се намери с такова знание. Ако имаме функция, която описва разхода на гориво в зависимост от скоростта на автомобила, можем да изчислим при какви параметри на последния разходът на бензин ще бъде най-малък.

В медицината можете да предвидите как човешкото тяло ще реагира на лекарство, предписано от лекар. Приемът на лекарството влияе върху различни физиологични параметри. Те включват промени в кръвното налягане, сърдечната честота, телесната температура и др. Всички те зависят от дозата на приеманото лекарство. Тези изчисления помагат да се предвиди хода на лечението, както при благоприятни прояви, така и при нежелани инциденти, които могат фатално да повлияят на промените в тялото на пациента.

Несъмнено е важно да се разбере физическото значение на производната в техническите въпроси, по-специално в електротехниката, електрониката, дизайна и строителството.

Спирачни пътища

Нека разгледаме следващия проблем. Движейки се с постоянна скорост, автомобилът, наближавайки моста, трябваше да намали 10 секунди преди входа, тъй като водачът забеляза пътен знак, забраняващ движението със скорост над 36 км/ч. Водачът наруши ли правилата, ако спирачният път може да се опише с формулата S = 26t - t 2 ?

След като изчислим първата производна, намираме формулата за скоростта, получаваме v = 28 - 2t. След това заместваме стойността t=10 в посочения израз.

Тъй като тази стойност е изразена в секунди, скоростта се оказва 8 m / s, което означава 28,8 km / h. Това дава възможност да се разбере, че водачът е започнал да намалява навреме и не е нарушил правилата за движение, а оттам и ограничението, посочено на знака за скорост.

Това доказва важността на физическото значение на производната. Един пример за решаване на този проблем показва най-широко широчината на използване на тази концепция различни областиживот. Включително и в ежедневни ситуации.

Производна в икономиката

Преди 19-ти век икономистите се занимаваха предимно със средни стойности, независимо дали става въпрос за производителността на труда или цената на продукцията. Но от някакъв момент нататък ограничаващите стойности станаха по-необходими за правене на ефективни прогнози в тази област. Те включват пределна полезност, доход или цена. Разбирането на това даде тласък за създаването на напълно нов инструмент в икономическите изследвания, който съществува и се развива повече от сто години.

За да се направят такива изчисления, където преобладават такива понятия като минимум и максимум, просто е необходимо да се разбере геометричното и физическото значение на производната. Сред създателите теоретична основаТези дисциплини могат да бъдат наречени такива видни английски и австрийски икономисти като W. S. Jevons, K. Menger и др. Разбира се, граничните стойности в икономическите изчисления не винаги са удобни за използване. И например тримесечните отчети не се вписват непременно в съществуващата схема, но все пак прилагането на такава теория в много случаи е полезно и ефективно.

Цели на урока:

Студентите трябва да знаят:

• какво се нарича наклон на права линия;
• ъгълът между правата и оста x;
• какъв е геометричният смисъл на производната;
• уравнението на допирателната към графиката на функцията;
• метод за построяване на допирателна към парабола;
• да могат да прилагат теоретичните знания на практика.

Цели на урока:

Образователни: да се създадат условия учениците да овладеят системата от знания, умения и способности с понятията за механичното и геометричното значение на производната.

Образователни: формиране на научен мироглед у учениците.

Развиващи: развиване на познавателния интерес, творчеството, волята, паметта, речта, вниманието, въображението, възприятието на учениците.

Методи за организиране на образователни и познавателни дейности:

• визуален;
• практичен;
• върху умствената дейност: индуктивна;
• според усвояването на материала: частично проучвателни, репродуктивни;
• по степен на самостоятелност: лабораторни упражнения;
• стимулиращ: насърчаване;
• контрол: устно фронтално изследване.

План на урока

1. Устни упражнения (намерете производната)
2. Съобщение на ученика по темата „Причините за появата математически анализ”.
3. Учене на нов материал
4. Phys. минута.
5. Разрешаване на проблем.
6. Лабораторна работа.
7. Обобщаване на урока.
8. Коментиране на домашни.

Оборудване: мултимедиен проектор (презентация), карти (лабораторна работа).

„Човек постига нещо само там, където вярва в себе си“

Л. Фойербах

Организацията на класа през целия урок, готовността на учениците за урока, ред и дисциплина.

Поставяне на учебни цели на учениците, както за целия урок, така и за отделните му етапи.

Определете значението на изучавания материал както в тази тема, така и в целия курс.

Устно броене

1. Намерете производни:

", ()", (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "

2. Логически тест.

а) Въведете пропуснатия израз.

Общата посока на развитие на науката в крайна сметка се определя от изискванията на практиката на човешката дейност. Съществуването на древни държави със сложна йерархична система на управление би било невъзможно без достатъчно развитие на аритметиката и алгебрата, тъй като събирането на данъците, организацията на доставките на армията, изграждането на дворци и пирамиди, създаването на напоителни системи изискват сложни изчисления. През Ренесанса връзките между различните части на средновековния свят се разширяват, развиват се търговията и занаятите. Започва бързо нарастване на техническото ниво на производство, промишлено се използват нови източници на енергия, които не са свързани с мускулните усилия на хора или животни. През XI-XII век се появяват пълнители и станове, а в средата на XV - печатарска преса. Във връзка с необходимостта от бързо развитие на общественото производство през този период се променя същността на естествените науки, които от древността са описателни. Целта на естествената наука става задълбочено изследване на природните процеси, а не на обектите. Описателната естествена наука на древността съответства на математиката, която оперира с постоянни стойности. Беше необходимо да се създаде математически апарат, който да описва не резултата от процеса, а естеството на неговия поток и присъщите му модели. В резултат на това до края на 12 век Нютон в Англия и Лайбниц в Германия завършват първия етап от създаването на математическия анализ. Какво е "математически анализ"? Как могат да се характеризират и предвидят характеристиките на всеки процес? Използване на тези функции? За да проникнете по-дълбоко в същността на това или онова явление?

Нека тръгнем по пътя на Нютон и Лайбниц и да видим как можем да анализираме процеса, разглеждайки го като функция на времето.

Нека въведем някои понятия, които ще ни помогнат допълнително.

Графиката на линейната функция y=kx+ b е права линия, числото k се нарича наклона на правата линия. k=tg, където е ъгълът на права линия, т.е. ъгълът между тази права линия и положителната посока на оста Ox.

Снимка 1

Помислете за графиката на функцията y \u003d f (x). Начертайте секанс през произволни две точки, например секанс AM. (фиг.2)

Наклонът на секущата k=tg. В правоъгълен триъгълник AMC<МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

Фигура 2

Фигура 3

Самият термин "скорост" характеризира зависимостта на промяната на една величина от промяната на друга, като последната не е задължително да е време.

И така, тангенсът на наклона на секущата tg = .

Ние се интересуваме от зависимостта на промяната на стойностите за по-кратък период от време. Нека склоним нарастването на аргумента към нула. Тогава дясната страна на формулата е производната на функцията в точка А (обяснете защо). Ако x -> 0, тогава точка M се движи по графиката до точка A, което означава, че права AM се доближава до някаква права AB, която е допирателна към графиката на функцията y \u003d f (x) в точка A. (фиг.3)

Ъгълът на наклона на секанса клони към ъгъла на наклона на допирателната.

Геометричният смисъл на производната е, че стойността на производната в точка е равна на наклона на допирателната към графиката на функцията в точката.

Механичното значение на производната.

Тангенсът на наклона на допирателната е стойност, която показва моментната скорост на промяна на функцията в дадена точка, т.е. нова характеристика на процеса, който се изследва. Лайбниц нарече това количество производна, а Нютон каза, че мигновеното скорост.

№ 91 (1) страница 91 - покажете на дъската.

Наклонът на допирателната към кривата f (x) \u003d x 3 в точката x 0 - 1 е стойността на производната на тази функция при x \u003d 1. f '(1) \u003d 3x 2; f'(1) = 3.

№ 91 (3.5) - под диктовка.

No 92 (1) - на табло по желание.

№ 92 (3) - самостоятелно с устна проверка.

№ 92 (5) - на дъската.

Отговори: 45 0, 135 0, 1,5 e 2.

Цел: развитие на понятието „механично значение на производната“.

Приложения на производната в механиката.

Законът е даден праволинейно движениеточки x = x(t), t.

1. Средната скорост на движение за посочения период от време;
2. Скорост и ускорение в момент t 04
3. точки за спиране; дали точката продължава да се движи в същата посока след момента на спиране или започва да се движи в обратна посока;
4. Най-високата скорост на движение за определен период от време.

Работата се изпълнява по 12 варианта, като задачите са диференцирани по ниво на сложност (първият вариант е най-ниското ниво на сложност).

Преди започване на работа разговор по следните въпроси:

1. Какво е физическото значение на производната на изместване? (Скорост).
2. Можете ли да намерите производната на скоростта? Тази величина използва ли се във физиката? Как се нарича? (Ускорение).
3. Моментната скорост е нула. Какво може да се каже за движението на тялото в този момент? (Това е точката на спиране).
4. Какъв е физическият смисъл на следните твърдения: производната на движението е равна на нула в точка t 0; променя ли производната знак при преминаване през точката t 0? (Тялото спира; посоката на движение се променя на противоположната).

Примерна работа за студенти.

x (t) \u003d t 3 -2 t 2 +1, t 0 \u003d 2.

Фигура 4

В обратна посока.

Нека начертаем схематична графика на скоростта. Най-високата скорост се достига в точката

t=10, v (10) =3 10 2 -4 10 =300-40=260

Фигура 5

1) Какво е геометричното значение на производната?
2) Какво е механичното значение на производната?
3) Направете заключение за работата си.

Страница 90. № 91 (2,4,6), № 92 (2,4,6,), стр. 92 № 112.

Използвани книги

• Учебник по алгебра и началото на анализа.
  Автори: Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин.
  Под редакцията на А. Б. Жижченко.
• Алгебра 11 клас. Планове на уроци по учебника на Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров. Част 1.
• Интернет ресурси: http://orags.narod.ru/manuals/html/gre/12.jpg

Производната на функцията f (x) в точката x0 е границата (ако съществува) на съотношението на нарастването на функцията в точката x0 към нарастването на аргумента Δx, ако нарастването на аргумента клони към нула и се означава с f '(x0). Действието за намиране на производната на функция се нарича диференциране.
Производната на функция има следното физическо значение: производната на функция в дадена точка е скоростта на промяна на функцията в дадена точка.

Геометричният смисъл на производната. Производната в точката x0 е равна на наклона на допирателната към графиката на функцията y=f(x) в тази точка.

Физическото значение на производната.Ако точка се движи по оста x и нейната координата се промени според закона x(t), тогава моментната скорост на точката:

Понятието диференциал, неговите свойства. Правила за диференциране. Примери.

Определение.Диференциалът на функция в дадена точка x е основната, линейна част от приращението на функцията. Диференциалът на функцията y = f(x) е равен на произведението на нейната производна и приращението на независимата променлива x ( аргумент).

Написано е така:

или

Или


Диференциални свойства
Диференциалът има свойства, подобни на тези на производната:





ДА СЕ основни правила за диференциациявключват:
1) изобразяване постоянен факторза знака на производната
2) производна на сбора, производна на разликата
3) производна на произведението на функциите
4) производна на частно от две функции (производна на дроб)

Примери.
Нека докажем формулата: По дефиницията на производната имаме:

От знака за преминаване към границата може да се извади произволен фактор (това е известно от свойствата на границата), следователно

Например:Намерете производната на функция
Решение:Използваме правилото за изваждане на множителя от знака на производната :

Доста често първо трябва да опростите формата на диференцируема функция, за да използвате таблицата с производни и правилата за намиране на производни. Следните примери ясно потвърждават това.

Формули за диференциране. Приложение на диференциала при приближени изчисления. Примери.

Използването на диференциала в приблизителните изчисления позволява използването на диференциала за приблизителни изчисления на стойностите на функцията.
Примери.
Използвайки диференциала, изчислете приблизително
За да изчислим тази стойност, прилагаме формулата от теорията
Нека въведем функцията a зададена стойностпредставят във формата
след това Изчислете

Замествайки всичко във формулата, най-накрая получаваме
Отговор:

16. Правилото на L'Hopital за разкриване на несигурности от формата 0/0 Или ∞/∞. Примери.
Границата на отношението на две безкрайно малки или две безкрайно големи величини е равна на границата на отношението на техните производни.

1)

17. Нарастваща и намаляваща функция. екстремум на функцията. Алгоритъм за изследване на функция за монотонност и екстремум. Примери.

функция се увеличавана интервал, ако за всеки две точки от този интервал, свързани с отношението , неравенството е вярно. Тоест по-голямата стойност на аргумента съответства на по-голяма стойност на функцията и нейната графика върви „отдолу нагоре“. Демо функцията нараства през интервала

По същия начин функцията намалявана интервал, ако за всеки две точки от дадения интервал, така че , неравенството е вярно. Тоест, по-голямата стойност на аргумента съответства на по-малка стойност на функцията, а нейната графика върви „отгоре надолу“. Нашите намаляват на интервали, намаляват на интервали .

КрайностиТочката се нарича максимална точка на функцията y=f(x), ако неравенството е вярно за всички x от нейната околност. Извиква се стойността на функцията в максималната точка максимална функцияи обозначават .
Точката се нарича минимална точка на функцията y=f(x), ако неравенството е вярно за всички x от нейната околност. Извиква се стойността на функцията в минималната точка функционален минимуми обозначават .
Околността на точка се разбира като интервал , където е достатъчно малко положително число.
Минималните и максималните точки се наричат ​​точки на екстремум, а стойностите на функцията, съответстващи на точките на екстремум, се наричат екстремуми на функцията.

За изследване на функция за монотонностизползвайте следната диаграма:
- Намерете обхвата на функцията;
- Намерете производната на функцията и областта на производната;
- Намерете нулите на производната, т.е. стойността на аргумента, при която производната е равна на нула;
- На числовия лъч отбележете общата част на областта на функцията и областта на нейната производна, а върху нея - нулите на производната;
- Определяне на знаците на производната на всеки от получените интервали;
- По знаците на производната определете на кои интервали функцията нараства и на кои намалява;
- Запишете съответните пропуски, разделени с точка и запетая.

Алгоритъм на изследване непрекъсната функция y = f(x) за монотонност и екстремуми:
1) Намерете производната f ′(x).
2) Намерете стационарни (f ′(x) = 0) и критични (f ′(x) не съществува) точки на функцията y = f(x).
3) Маркирайте неподвижни и критични точкивърху числовата ос и определете знаците на производната върху получените интервали.
4) Направете изводи за монотонността на функцията и нейните екстремни точки.

18. Изпъкналост на функция. Инфлексни точки. Алгоритъм за изследване на функция за изпъкналост (Concavity) Примери.

изпъкнал надолувърху интервала X, ако неговата графика е разположена не по-ниско от допирателната към него във всяка точка от интервала X.

Диференцируемата функция се нарича изпъкнал нагорена интервала X, ако неговата графика е разположена не по-високо от допирателната към него във всяка точка от интервала X.

Точковата формула се нарича инфлексна точка на графикатафункция y \u003d f (x), ако в дадена точка има допирателна към графиката на функцията (тя може да бъде успоредна на оста Oy) и има такова съседство на формулата на точката, в рамките на която графиката на функцията има различни посоки на изпъкналост вляво и вдясно от точка М.

Намиране на интервали за изпъкналост:

Ако функцията y=f(x) има крайна втора производна на интервала X и ако неравенството (), тогава графиката на функцията има изпъкналост, насочена надолу (нагоре) върху X.
Тази теорема ви позволява да намерите интервали на вдлъбнатост и изпъкналост на функция, трябва само да решите неравенствата и съответно в областта на дефиниция на оригиналната функция.

Пример: Открийте интервалите, на които графиката на функцията. Открийте интервалите, на които графиката на функцията има изпъкналост насочена нагоре и изпъкналост насочена надолу. има изпъкналост насочена нагоре и изпъкналост насочена надолу.
Решение:Домейнът на тази функция е цялото множество реални числа.
Нека намерим втората производна.

Областта на дефиниране на втората производна съвпада с областта на дефиниция на оригиналната функция, следователно, за да се намерят интервалите на вдлъбнатост и изпъкналост, е достатъчно да се реши и съответно. Следователно функцията е изпъкнала надолу по интервалната формула и нагоре изпъкнала по интервалната формула.

19) Асимптоти на функция. Примери.

Директно обаждане вертикална асимптотаграфика на функцията, ако поне една от граничните стойности или е равна на или .

Коментирайте.Правата не може да бъде вертикална асимптота, ако функцията е непрекъсната при . Следователно вертикалните асимптоти трябва да се търсят в точките на прекъсване на функцията.

Директно обаждане хоризонтална асимптотаграфика на функцията, ако поне една от граничните стойности или е равна на .

Коментирайте.Функционалната графика може да има само дясна хоризонтална асимптота или само лява.

Директно обаждане наклонена асимптотаграфика на функцията if

ПРИМЕР:

Упражнение.Намерете асимптоти на графиката на функция

Решение.Обхват на функцията:

а) вертикални асимптоти: права линия е вертикална асимптота, тъй като

б) хоризонтални асимптоти: намираме границата на функцията в безкрайност:

няма хоризонтални асимптоти.

в) наклонени асимптоти:

Така наклонената асимптота е: .

Отговор.Вертикалната асимптота е права линия.

Наклонената асимптота е права линия.

20) Общата схема на изследване на функцията и начертаване. Пример.

а.
Намерете ODZ и точките на прекъсване на функцията.

b. Намерете пресечните точки на графиката на функцията с координатните оси.

2. Проведете изследване на функцията, като използвате първата производна, т.е. намерете точките на екстремума на функцията и интервалите на нарастване и намаляване.

3. Изследвайте функцията, като използвате производната от втори ред, т.е. намерете точките на инфлексия на графиката на функцията и интервалите на нейната изпъкналост и вдлъбнатост.

4. Намерете асимптотите на графиката на функцията: а) вертикална, б) наклонена.

5. Въз основа на изследването изградете графика на функцията.

Обърнете внимание, че преди да начертаете, е полезно да установите дали дадена функция е четна или нечетна.

Спомнете си, че функция се извиква дори ако стойността на функцията не се променя, когато знакът на аргумента се промени: f(-x) = f(x)и функция се нарича странна, ако f(-x) = -f(x).

В този случай е достатъчно да се проучи функцията и да се начертае нейната графика положителни стойностиаргумент, принадлежащ към ОДЗ. С отрицателни стойности на аргумента, графиката се попълва въз основа на това, че за равномерна функция е симетрична спрямо оста Ой, и за нечетни по отношение на произхода.

Примери.Изследвайте функциите и изграждайте техните графики.

Обхват на функцията D(y)= (–∞; +∞).Няма точки за прекъсване.

Пресичане на осите вол: х = 0,y= 0.

Функцията е нечетна, следователно може да се изследва само на интервала )