Частни производни от първи ред на комплексни функции. Производни на сложни функции на няколко променливи. Производна по посока

Много често при решаване на практически задачи (например във висшата геодезия или аналитична фотограметрия) се появяват сложни функции на няколко променливи, т.е. x, y, z една функция f(x,y,z) ) сами по себе си са функции на новите променливи U, V, W ).

Така например се случва при движение от фиксирана координатна система Oxyz към мобилната система О 0 UVW и обратно. В този случай е важно да се знаят всички частични производни по отношение на "фиксираните" - "стари" и "подвижни" - "нови" променливи, тъй като тези частични производни обикновено характеризират позицията на обект в тези координатни системи, и по-специално засягат съответствието на въздушните снимки с реален обект. В такива случаи се прилагат следните формули:

Тоест, като се има предвид сложна функция T три "нови" променливи U, V, W чрез три "стари" променливи x, y, z Тогава:

Коментирайте. Възможни са вариации в броя на променливите. Например: ако

По-специално, ако z = f(xy), y = y(x) , тогава получаваме така наречената формула за "обща производна":

Същата формула за „общата производна“ в случай на:

ще приеме формата:

Възможни са и други варианти на формули (1.27) - (1.32).

Забележка: формулата "обща производна" се използва в курса по физика, раздел "Хидродинамика" при извеждане на основната система от уравнения на движението на течността.

Пример 1.10. дадени:

Съгласно (1.31):

§7 Частични производни на неявно дадена функция на няколко променливи

Както знаете, неявно дефинирана функция на една променлива се дефинира по следния начин: функцията на независимата променлива х се нарича имплицитно, ако е дадено от уравнение, което не е разрешено по отношение на г :

Пример 1.11.

Уравнението

имплицитно дефинира две функции:

И уравнението

не дефинира никаква функция.

Теорема 1.2 (съществуване на неявна функция).

Нека функцията z \u003d f (x, y) и неговите частични производни е" х И е" г определени и непрекъснати в някакъв квартал U M0 точки М 0 (х 0 г 0 ) . Освен това, f(x 0 ,г 0 )=0 И f"(x 0 ,г 0 )≠0 , тогава уравнение (1.33) определя в околността U M0 неявна функция y= y(x) , непрекъсната и диференцируема в някакъв интервал д центриран в точка х 0 , и y(x 0 )=y 0 .

Без доказателства.

От теорема 1.2 следва, че на този интервал д :

тоест има идентичност в

където "общата" производна се намира съгласно (1.31)

Тоест, (1.35) дава формула за неявно намиране на производната дадена функцияедна променлива х .

Неявна функция на две или повече променливи се дефинира по подобен начин.

Например, ако в някаква област V пространство Oxyz уравнението е изпълнено:

след това при определени условия върху функцията Е той имплицитно дефинира функция

В същото време, по аналогия с (1.35), частните му производни се намират, както следва:

Пример 1.12. Ако приемем, че уравнението

имплицитно дефинира функция

намирам z" х , z" г .

следователно, съгласно (1.37), получаваме отговора.

§8 Частични производни от втори и по-високи разряди

Определение 1.9 Частични производни от втори ред на функция z=z(x,y) се определят така:

Те бяха четирима. Освен това при определени условия на функциите z(x,y) важи равенството:

Коментирайте. Частични производни от втори ред също могат да бъдат обозначени както следва:

Определение 1.10 Частни производни от трети ред - осем (2 3).

§ 5. Частни производни на сложни функции. диференциали на сложни функции

1. Частни производни на сложна функция.

Нека е функция на две променливи, чиито аргументи И , сами по себе си са функции на две или Повече ▼променливи. Например, нека
,
.

Тогава ще сложна функция независими променливи И , променливи и ще бъде за него междинни променливи. В този случай, как да намерите частните производни на функция по отношение на И ?

Може, разбира се, да се изрази директно по отношение на и:

и потърсете частични производни на получената функция. Но изразът може да бъде много сложен и намирането на частични производни , след това ще изисква много усилия.

Ако функции
,
,
са диференцируеми, след това намерете и може да се направи без да се прибягва до пряк израз чрез и . В този случай формулите ще бъдат валидни

(5.1)

Наистина, ние даваме аргумента нарастване
, – конст. След това функциите
И ще получи увеличения

и функцията ще бъде увеличена

Където , са безкрайно малки при
,
. Разделете всички членове на последното равенство на . Получаваме:

Тъй като функциите и са диференцируеми по предположение, те са непрекъснати. Следователно, ако
, след това и . И така, преминавайки последното равенство до границата при получаваме:

(тъй като , са безкрайно малки за , ).

Второто равенство в (5.1) се доказва аналогично.

ПРИМЕР. Позволявам
, Където
,
. Тогава е сложна функция от независими променливи и . За да намерим неговите частни производни, използваме формула (5.1). Ние имаме

Замествайки в (5.1), получаваме

,

Формулите (5.1) естествено се обобщават за случай на функция от по-голям брой независими и междинни аргументи. А именно, ако

………………………

и всички разглеждани функции са диференцируеми, то за всяка
има равенство

Възможно е също аргументите на функцията да са функции само на една променлива, т.е.

,
.

Тогава ще бъде сложна функция само на една променлива и може да се постави въпросът за намиране на производната . Ако функциите
,
са диференцируеми, то може да се намери по формулата
(5.2)

ПРИМЕР. Позволявам
, Където
,
. Ето сложна функция на една независима променлива. Използвайки формула (5.2), получаваме

.

И накрая, случаят е възможен, когато ролята на независима променлива се играе от , т.е. ,

Където
.

От формула (5.2) тогава получаваме

(5.3)

(защото
). Производна , стоящ във формулата (5.3) вдясно е частната производна на функцията по отношение на . Изчислява се с фиксирана стойност от . Производна от лявата страна на формула (5.3) се нарича обща производна на функцията . При изчисляването му се взема предвид, че зависи от по два начина: директно и чрез втория аргумент.

ПРИМЕР. Намерете и за функция
, Където
.

Ние имаме
.

За намиране използваме формула (5.3). Вземете

.

И за да завършим този подраздел, отбелязваме, че формулите (5.2) и (5.3) могат лесно да бъдат обобщени за случая на функции с голям брой междинни аргументи.

2. Диференциал на сложна функция.

Припомнете си, че ако

е диференцируема функция на две независими променливи, тогава по дефиниция

, (5.4)

или под друга форма
. (5.5)

Предимството на формула (5.5) е, че тя остава вярна дори когато е сложна функция.

Наистина, нека , където , . Да приемем, че функциите , , са диференцируеми. Тогава комплексната функция също ще бъде диференцируема и нейният пълен диференциал по формула (5.5) ще бъде равен на

.

Прилагане на формула (5.1) за изчисляване на частните производни сложна функция, получаваме

Тъй като общите диференциали на функциите и са в скоби, накрая имаме

И така, видяхме, че както в случая, когато и са независими променливи, така и в случая, когато и са зависими променливи, диференциалът на функцията може да бъде записан във формата (5.5). В тази връзка тази форма на запис на общия диференциал се нарича инвариант . Формата на запис на диференциала, предложена в (5.4), няма да бъде инвариантна; ​​тя може да се използва само когато и са независими променливи. Формата на запис на диференциала също няма да бъде инвариантна -та поръчка. Припомнете си, че по-рано показахме, че диференциалът на реда функции на две променливи могат да бъдат намерени по формулата

. (4.12)

Но ако и не са независими променливи, тогава формулата (4.12) за
престава да е истина.

Очевидно е, че всички аргументи, извършени в този подраздел за функция от две променливи, могат да бъдат повторени в случай на функция с повече аргументи. Следователно, за функция диференциалът може да бъде написан в две форми:

където втората нотация ще бъде инвариантна, т.е. честно дори ако
не са независими променливи, а междинни аргументи.

§ 6. Диференциране на неявни функции

Говорейки за методите за дефиниране на функция на една и няколко променливи, отбелязахме, че аналитичната дефиниция на функция може да бъде изрична или неявна. В първия случай стойността на функцията се намира от известните стойности на аргументите; във втория, стойността на функцията и нейните аргументи са свързани с някакво уравнение. Ние обаче не уточнихме кога уравненията

И

дефинират неявно дефинирани функции и съответно. Удобни достатъчни условия за съществуване на неявна функция променливи (
) се съдържат в следната теорема.

ТЕОРЕМА6.1 . (съществуването на неявна функция) Нека функцията
и неговите частични производни
са определени и непрекъснати в някаква околност на точката. Ако
И
, тогава има такъв квартал точката, в която уравнението

определя непрекъсната функцияи

1) Разгледайте уравнението
. Условията на теоремата са изпълнени например във всяка околност на точката
. Следователно, в някакъв квартал на точката
това уравнение дефинира като имплицитна функция на две променливи и . Явен израз за тази функция е лесно да се получи чрез решаване на уравнението за:

2) Разгледайте уравнението
. Той дефинира две функции на две променливи и . Наистина, условията на теоремата са изпълнени, например, във всяка околност на точката

, в което даденото уравнение дефинира непрекъсната функция, която приема стойността в точката
.

От друга страна, условията на теоремата са изпълнени във всяка околност на точката
. Следователно, в някаква околност на точката, уравнението дефинира непрекъсната функция, която приема стойността в точката
.

Тъй като една функция не може да приема две стойности в една точка, това означава, че тук говорим за две различни функции.
и съответно. Нека намерим техните изрични изрази. За да направим това, решаваме първоначалното уравнение по отношение на . Вземете

3) Разгледайте уравнението
. Очевидно условията на теоремата са изпълнени във всяка околност на точката
. Следователно има такава близост на точката
, в което уравнението дефинира като неявна функция на променливата . Невъзможно е да се получи явен израз за тази функция, тъй като уравнението не може да бъде решено по отношение на .

4) Уравнение
не дефинира никаква неявна функция, тъй като няма такива двойки реални числаи това го удовлетворява.

функция
, дадено от уравнението
, съгласно теорема 6.1, има непрекъснати частни производни по отношение на всички аргументи в околност на точката. Нека да разберем как можете да ги намерите, без да имате изрична спецификация на функцията.

Нека функцията
удовлетворява условията на теорема 6.1. Тогава уравнението
непрекъсната функция
. Помислете за сложна функция
, Където . Функцията е сложна функция на една променлива и ако
, Че

(6.1)

От друга страна, съгласно формула (5.3), за да се изчисли общата производна
(6.2)

От (6.1) и (6.2) получаваме, че ако , то

(6.3)

Коментирайте.Разделете на е възможно, тъй като съгласно теорема 6.1
във всяка точка на квартала.

ПРИМЕР. Намерете производната на неявната функция, дадена от уравнението, и изчислете нейната стойност при
.

,
.

Замествайки частични производни във формула (6.3), получаваме

.

Освен това, замествайки в оригиналното уравнение, намираме две стойности:
И
.

Следователно в околност на точка уравнението дефинира две функции:
И
, Където
,
. Техните производни при ще бъдат равни

И
.

Сега нека уравнението
определя в някаква околност на точката
функция . Да намерим. Спомнете си, че всъщност това е обикновената производна на функция, разглеждана като функция на променлива при постоянна стойност от . Следователно можем да приложим формула (6.3), за да го намерим, като го считаме за функция, - аргумент, - константа. Вземете

. (6.4)

По същия начин, разглеждайки функция, - аргумент, - константа, съгласно формулата (6.3) намираме

. (6.5)

ПРИМЕР. Намерете частните производни на функцията, дадена от уравнението
.

,
,
.

Използвайки формули (6.4) и (6.5), получаваме

,
.

И накрая, разгледайте общия случай, когато уравнението

дефинира функция от променливи в някаква околност на точката. Повтаряйки разсъжденията, извършени за имплицитно дадена функция на две променливи, получаваме

,
, …,
.

§ 7. Производна по посока

1. Производна по посока.

Нека функция на две променливи е дефинирана в някаква област
самолет
, е точката на областта, е вектор във всяка посока. Да минем от точката
до точка по посока на вектора. След това функцията ще бъде увеличена

Разделяме увеличението на функцията
по дължината на изместения сегмент
. Получено съотношение
дава средната скорост на промяна на функцията върху графиката
. Тогава границата на това отношение при
(ако съществува и е крайна) ще бъде скоростта на промяна на функцията в точката
по посока на вектора. Наричат ​​го производна на функция в точка по посока на вектора и обозначават
или
.

В допълнение към стойността на скоростта на промяна на функцията, тя също ви позволява да определите естеството на промяната на функцията в точка в посоката на вектора (възходящо или низходящо):

Тези твърдения се доказват по същия начин като подобни твърдения за функция на една променлива.

Имайте предвид, че частните производни на функцията са специален случай на производната по посока. а именно
е производната на функцията по отношение на посоката на вектора (посока на оста
), е производната на функцията по отношение на посоката на вектора (посока на оста
).

Да приемем, че функцията е диференцируема в точката . Тогава

Където е безкрайно малък при
.

Нека функцията z - f(x, y) е дефинирана в някаква област D на равнината xOy. Нека вземем вътрешна точка (x, y) от областта D и да дадем на x увеличение Ax, така че точката (x + Ax, y) 6 D (фиг. 9). Нека наречем стойността частично увеличение на функцията z по отношение на x. Съставете съотношението. За дадена точка (x, y) това съотношение е функция на Определението. Ако за Ax -* 0 отношението ^ има крайна граница, тогава тази граница се нарича частна производна на функцията z = /(x, y) по отношение на независимата променлива x в точката (x, y) и е означен със символа jfc (или /i(x, jj), или z "x (x, По същия начин, по дефиниция, или, което е същото, Аналогично Ако и е функция на n независими променливи, тогава отбелязвайки че Arz се изчислява със стойността на променливата y непроменена, а Atz с непроменена стойност на променливата x, дефинициите на частни производни могат да бъдат формулирани по следния начин: Частични производни геометричен смисълчастни производни на функция на две променливи Диференцируемост на функция на няколко променливи Необходимите условия диференцируемост на функция Достатъчни условия за диференцируемост на функции на няколко променливи Пълен диф. Частични диференциали Производни на съставната функция на частната производна по отношение на x на функцията z = /(x, y) се нарича обикновена производна на тази функция по отношение на x, изчислена при предположението, че y е константа; частната производна по отношение на y на функция z - /(x, y) е нейната производна по отношение на y, изчислена при предположението, че x е константа. От това следва, че правилата за изчисляване на частни производни съвпадат с правилата, доказани за функция на една променлива. Пример. Намерете частични производни на функция 4 Имаме замествания*. Съществуването на функция y = /(x, y) в дадена точка от частични производни по отношение на всички аргументи не предполага непрекъснатост на функцията в тази точка. Така че функцията не е непрекъсната в точка 0(0,0). Обаче в този момент тази функция има частни производни по отношение на x и по отношение на y. Това следва от факта, че /(x, 0) = 0 и /(0, y) = 0 и следователно геометричният смисъл на частните производни на функция на две променливи. Нека повърхността S в тримерното пространство е дадено от уравнението, където f(x, y) е функция, непрекъсната в някаква област D и имаща частни производни по отношение на x и y там. Нека разберем геометричния смисъл на тези производни в точката Mo(x0, y0) 6 D, на която отговаря точката f(x0)yo) на повърхността z = f(x)y). Когато намираме частичната производна в точка M0, приемаме, че z е само функция на аргумента x, докато аргументът y запазва постоянна стойност y \u003d yo, т.е. функцията fi (x) е геометрично представена от кривата L , по която повърхността S се пресича от равнината y \u003d при около. Поради геометричния смисъл на производната на функция на една променлива, f \ (xo) = tg a, където a е ъгълът, образуван от допирателната към правата L в точката JV0 с оста Ox (фиг. 10) . Но така, че частичната производна ($|) е равна на тангенса на ъгъла a между оста Ox и допирателната в точка N0 към кривата, получена в участъка на повърхността z \u003d / (x, y) от равнината у. По същия начин получаваме, че §6. Диференцируемост на функция на няколко променливи Нека функцията z = /(x, y) е дефинирана в някаква област D на равнината xOy. Нека вземем точка (x, y) € D и дадем на избраните стойности x и y произволни увеличения Ax и Dy, но така че точката. Определение. Функция r = /(x, y) се нарича диференцируема * точка (x, y) € 2E, ако общият прираст на тази функция, съответстващ на приращенията Dx, Dy на аргументите, може да бъде представен като където A и B не зависят от Dx и D y (но като цяло зависят от x и y), докато a(Ax, Dy) и f(Ax, Dy) клонят към нула, както Ax и Dy клонят към нула. . Ако функцията z = /(x, y) е диференцируема в точката (x, y), тогава частта A Dx 4 - VDy от нарастването на функцията, линейна по отношение на Dx и Dy, се нарича пълен диференциал на тази функция в точката (x, y) и се обозначава със символа dz: Tanim way, пример. Нека r = x2 + y2. Във всяка точка (r, y) и за всеки Dx и Dy имаме Тук. следва, че a и /3 клонят към нула, както Ax и Dy клонят към нула. По дефиниция тази функция е диференцируема във всяка точка на равнината xOy. Тук отбелязваме, че в нашите разсъждения не сме изключили официално случая, когато увеличенията Dx, Dy поотделно или дори и двете са равни на нула наведнъж. Формула (1) може да бъде написана по-компактно, ако въведем израза (разстоянието между точките (Използвайки го, можем да напишем Означавайки израза в скоби с e, ще имаме, където c зависи от J, Du и клони към нула, ако J 0 и Dy 0, или накратко, ако p 0. Формула (1), която изразява условието функцията z = f(xt y) да бъде диференцируема в точката (x, y), вече може да бъде записана както в пример 6.1 по-горе Теорема 4. Ако функцията r = f(x, y) е диференцируема в дадена точка, тогава тя е непрекъсната в тази точка.4 Ако функцията r = f(x, y) е диференцируема в точката (x, y), тогава общото нарастване на функцията i в тази точка""e, съответстващо на нарастванията j и dy на аргументите, може да бъде представено във формата Теорема b. Ако функцията z = f(x, y) е диференцируем в дадена точка, mo o o u. ) е диференцируем в точка (x, y). Тогава приращението Dx на тази функция, което съответства на приращенията Dx, Ay на аргументите, може да бъде представено във формата (1). Вземайки в равенство (1) Dx F 0, Dn = 0, получаваме от където Тъй като от дясната страна на последното равенство стойността A не зависи от, Това означава, че в точката (x, y) има частичен производна на функцията r \u003d / (x, y) по отношение на x и чрез подобни разсъждения можем да видим, че (x, има частична производна на функцията zу и от теоремата следва, че Подчертаваме, че Теорема 5 твърди съществуването на частични производни само в точката (x, y), но не казва нищо за тяхната непрекъснатост 6.2 Достатъчни условия за диференцируемостта на функциите на няколко променливи Както е добре известно, необходимо и достатъчно условие за диференцируемостта на функцията y = f(x) на една променлива в точката xo е съществуването на крайна производна / "(x) в точката x0. В случая, когато функцията зависи от няколко променливи, ситуацията е много по-сложна: няма необходими и достатъчни условия за диференцируемост на функцията z = /(x, y) на две независими променливи x, y; има само отделно необходими условия (виж по-горе) и отделно достатъчни. Тези достатъчни условия за диференцируемостта на функциите на няколко променливи се изразяват чрез следната теорема. Теорема c. Ако дадена функция има частични производни /£ и f"v в някои околности на тънката линия (xo, y0) и ако тези производни са непрекъснати в самата точка (xo, y0), тогава функцията z = f(x, y ) е диференцируема в точката (x- Пример Да разгледаме функция Частични производни Геометричният смисъл на частните производни на функция на две променливи Диференцируемост на функция на няколко променливи Необходими условия за диференцируемост на функция Достатъчни условия за диференцируемост на функции на няколко променливи Тотален диференциал Частични диференциали Производни на сложна функция Тя е дефинирана навсякъде Въз основа на дефиницията на частични производни, имаме ™ на тази функция в точката 0(0, 0), която намираме, и увеличението на това се изостря. 0 и Du 0. Поставяме D0. Тогава от формула (1) ще имаме Следователно функциите / (x, y) \u003d не се диференцират в точка 0 (0, 0), въпреки че в тази точка произвеждаме fa и f "r Полученият резултат се обяснява с факта, че производните f"z и f"t са прекъснати в точката на §7. пълен диференциал. Частични диференциали Ако функцията r - f(z> y) е диференцируема, тогава нейният последен диференциал dz е равен Отбелязвайки, че A \u003d B \u003d w, записваме формула (1) в следната форма. Разширяваме концепцията на диференциал на функция към независими променливи, задавайки диференциалите на независими променливи, равни на техните нараствания: След това формулата за общия диференциал на функцията взема примера. Нека i - 1l(x + y2). Тогава по подобен начин, ако u =) е диференцируема функция от n независими променливи, тогава изразът се нарича слаб диференциал на функцията z = f(x, y) по отношение на променливата x; изразът се нарича частичен диференциал на функцията z = /(x, y) на променливата y. От формули (3), (4) и (5) следва, че общият диференциал на функция е сумата от нейните частични диференциали: Обърнете внимание, че общото увеличение Az на функцията z = /(x, y), най-общо казано , не е равно на сумата от частичните увеличения. Ако в точка (x, y) функцията y = /(x, y) е диференцируема и диференциалът dz φ 0 в тази точка, тогава нейният общ прираст се различава от линейната си част само от сумата на последните членове aAx 4 - /? DE, които при Ax 0 и Ay -» O са безкрайно малки повече от висок ред отколкото условията на линейната част. Следователно, когато dz Ф 0, линейната част от нарастването на диференцируемата функция се нарича основна част от нарастването на функцията и се използва приблизителна формула, която ще бъде толкова по-точна, колкото по-малка е абсолютната стойност на нарастванията на аргументите. §8. Производни на комплексна функция 1. Нека функцията е дефинирана в някаква област D на равнината xOy и всяка от променливите x, y от своя страна е функция на аргумента t: Ще приемем, че когато t се промени в интервал (съответните точки (x, y) не излизат извън областта D. Ако заместим стойностите във функцията z = / (x, y), тогава получаваме сложна функция на една променлива t. и за съответните стойности функцията / (x, y) е диференцируема, тогава комплексната функция в точката t има производна и M Нека да дадем на t увеличение Dt. Тогава x и y ще получат някои увеличения Ax и Dy. Като резултат, за (J)2 + (Dy)2 ∩ 0, функцията z също ще получи известно увеличение Dt, което поради диференцируемостта на функцията z = f, y) в точката (x, y) може да се представя като където a) клонят към нула, тъй като Ax и Du клонят към нула. Нека дефинираме a и /3 за Ax = Ay = 0, като зададем a Тогава a( ще бъде непрекъснато за J = Dy = 0. Помислете, че връзката е постоянна за дадената, по условие има граници от съществуването на производни ^ и в точката £ следва, че функциите x = y(t) и y = са непрекъснати в тази точка; следователно, в At 0 и J, и Dy клонят към нула, което от своя страна води до a(Ax, Dy) и P (Ax, Ay) клонят към нула. Така дясната страна на равенството (2) при 0 има граница, равна на Следователно, границата на лявата страна на (2) съществува при At 0, т.е. съществува равно Преминавайки в равенство (2) до границата като At -> 0, получаваме търсената формула В частния случай, когато, следователно, z е комплексна функция на x, получаваме y) върху x, при изчисляването на което в изразът f(x, y) аргументът y се приема като константа константа и от своя страна се счита за функция на x: y = tp(x)t и следователно зависимостта на z от x се взема изцяло под внимание. Пример. Намерете и jg if 2. Помислете сега за диференцирането на сложна функция на няколко променливи. Нека къде на свой ред така Да предположим, че в точката (() има непрекъснати частични производни u, 3? » a в съответната точка (x, y), където функцията f(x, y) е диференцируема. Нека покажем, че при тези условия комплексната функция z = z(() y) в точката t7) има производни и u, и да намерим изрази за тези производни. Имайте предвид, че този случай не се различава съществено от вече проучения. Наистина, когато z се диференцира по отношение на £, втората независима променлива rj се приема за константа, в резултат на което x и y стават функции на една и съща променлива x" = c), y = c) в тази операция, и въпросът за производната Φ се решава точно по същия начин като въпроса за производната при извеждане на формула (3) Използвайки формула (3) и формално замествайки производните g и ^ в нея с производните u и съответно, получаваме Ако сложна функция е “Определя се с формули, така че тогава, при подходящи условия, имаме В частния случай, когато And = където Частични производни Геометрично значение на частни производни на функция на две променливи Диференцируемост на функция на няколко променливи Необходими условия за диференцируемостта на функцията Достатъчни условия за диференцируемостта на функциите на няколко променливи Пълен диференциал Частични диференциали Имаме производни на сложна функция y, d) по x, при изчисляване на k

Пример. Намерете дали, къде.

Решение. Според формула (1) имаме:

Пример. Намерете частичната производна и общата производна, ако .

Решение. .

Въз основа на формула (2) получаваме .

2°. Случаят на няколко независими променливи.

Позволявам z = f(x;y) -функция на две променливи хИ y,всяка от които е функция

независима променлива t: x = x(t), y = y(t).В този случай функцията z=f(x(t);y(t))е

сложна функция на една независима променлива T;променливи x и y са междинни променливи.

Теорема. Ако z == f(х; y) -диференцируеми в точка M(x; y) Dфункция

И x = x(t)И при =y(t) -диференцируеми функции на независимата променлива T,

след това производната на комплексната функция z(t) == f(x(t);y(t))изчислено по формулата

(3)

Специален случай: z = f(x; y),където y = y(x),тези. z= f(x;y(x)) -сложна функция на

независима променлива Х.Този случай се свежда до предишния и ролята на променливата

Tиграе Х.Съгласно формула (3) имаме:

.

Последната формула се нарича формули за общата производна.

Общ случай: z = f(x;y),Където x = x(u;v), y=y(u;v).Тогава z = f(x(u;v);y(u;v)) -комплекс

функция на независими променливи ИИ v.Неговите частични производни могат да бъдат намерени

използвайки формула (3) по следния начин. Поправяне v,замени в него

съответните частни производни

И така, производната на съставната функция (z) по отношение на всяка независима променлива (ИИ v)

е равно на сумата от произведенията на частни производни на тази функция (z) по отношение на нейния междинен продукт

променливи (x и y)към техните производни по отношение на съответната независима променлива (u и v).

Във всички разглеждани случаи формулата

(свойство инвариантност на общия диференциал).

Пример. Намерете и ако z= f(x,y), където x=uv, .

Частичните производни се използват при присвоявания с функции на няколко променливи. Правилата за намиране са абсолютно същите като за функциите на една променлива, с единствената разлика, че една от променливите трябва да се счита за константа (постоянно число) в момента на диференциране.

Формула

Частичните производни за функция на две променливи $ z(x,y) $ се записват в следната форма $ z"_x, z"_y $ и се намират с помощта на формулите:

Частични производни от първи ред

$$ z"_x = \frac(\partial z)(\partial x) $$

$$ z"_y = \frac(\partial z)(\partial y) $$

Частични производни от втори ред

$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$

смесен дериват

$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial x) $$

Частична производна на съставна функция

а) Нека $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, тогава производната на комплексната функция се определя от формулата:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt) $$

б) Нека $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, тогава частните производни на функцията се намират по формулата:

$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

Частични производни на неявно зададена функция

а) Нека $ F(x,y(x)) = 0 $, тогава $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) Нека $ F(x,y,z)=0 $, тогава $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

Примери за решения