Концепцията за максимум-минимум точки на функция е пример. Как да намерим максимални и минимални точки на функция. Необходимо условие за екстремума на функцията

Функцията и изучаването на нейните характеристики заема една от ключовите глави в съвременната математика. Основният компонент на всяка функция са графики, изобразяващи не само нейните свойства, но и параметрите на производната на тази функция. Нека да разгледаме тази трудна тема. Кой е най-добрият начин да намерим максималните и минималните точки на функция?

Функция: определение

Всяка променлива, която зависи по някакъв начин от стойностите на друго количество, може да се нарече функция. Например функцията f(x 2) е квадратна и определя стойностите за целия набор x. Да кажем, че x = 9, тогава стойността на нашата функция ще бъде равна на 9 2 = 81.

Функциите се предлагат в различни видове: логически, векторни, логаритмични, тригонометрични, числови и други. Такива изключителни умове като Лакроа, Лагранж, Лайбниц и Бернули бяха ангажирани в тяхното изследване. Техните писания служат като опора в съвременните начини за изучаване на функциите. Преди да намерите минималните точки, е много важно да разберете самото значение на функцията и нейната производна.

Производна и нейната роля

Всички функции зависят от своите променливи, което означава, че могат да променят стойността си по всяко време. На графиката това ще бъде изобразено като крива, която или се спуска или издига по оста y (това е целият набор от числа "y" по вертикалата на графиката). И така дефинирането на точка на максимум и минимум на функцията просто е свързано с тези "колебания". Нека обясним каква е тази връзка.

Производната на всяка функция се начертава на графика, за да се проучат нейните основни характеристики и да се изчисли колко бързо се променя функцията (т.е. променя стойността си в зависимост от променливата "x"). В момента, в който функцията нараства, графиката на нейната производна също ще нараства, но във всяка секунда функцията може да започне да намалява и тогава графиката на производната ще намалява. Тези точки, в които производната преминава от минус към плюс, се наричат ​​минимални точки. За да знаете как да намерите минимални точки, трябва да разберете по-добре

Как да изчислим производната?

Дефиницията и функциите предполагат няколко концепции от Като цяло може да се изрази самата дефиниция на производната по следния начин: това е стойността, която показва скоростта на промяна на функцията.

Математическият начин за определянето му за много ученици изглежда сложен, но всъщност всичко е много по-просто. Необходимо е само да следвате стандартния план за намиране на производната на всяка функция. По-долу е описано как можете да намерите минималната точка на функция, без да прилагате правилата за диференциране и без да запаметявате таблицата с производни.

1. Можете да изчислите производната на функция с помощта на графика. За да направите това, трябва да изобразите самата функция, след това да вземете една точка върху нея (точка А на фигурата), да начертаете права вертикално надолу към абсцисната ос (точка x 0) и да начертаете допирателна към графиката на функция в точка А. Абсцисната ос и тангентата образуват ъгъл a. За да изчислите стойността на това колко бързо нараства функцията, трябва да изчислите тангенса на този ъгъл a.
2. Оказва се, че тангенсът на ъгъла между допирателната и посоката на оста x е производната на функцията в малка област с точка A. Този метод се счита за геометричен начин за определяне на производната.

Методи за изследване на функция

IN училищна програмаВ математиката е възможно да се намери минималната точка на функция по два начина. Вече анализирахме първия метод с помощта на графиката, но как да определим числената стойност на производната? За да направите това, ще трябва да научите няколко формули, които описват свойствата на производната и помагат за трансформацията променлививъведете "x" в числа. Следният метод е универсален, така че може да се прилага към почти всички видове функции (както геометрични, така и логаритмични).

1. Необходимо е функцията да се приравни към производната функция и след това да се опрости изразът, като се използват правилата за диференциране.
2. В някои случаи, когато е дадена функция, в която променливата "x" е делител, е необходимо да се определи обхватът на приемливите стойности, като се изключи точката "0" от нея (по простата причина, че в математиката вие никога не може да се дели на нула).
3. След това първоначалната форма на функцията трябва да се преобразува в просто уравнение, приравнявайки целия израз на нула. Например, ако функцията изглеждаше така: f (x) \u003d 2x 3 + 38x, тогава според правилата за диференциране нейната производна е равна на f "(x) \u003d 3x 2 + 1. След това трансформираме това израз в уравнение със следната форма: 3x 2 +1 \u003d 0 .
4. След като решите уравнението и намерите точките "x", трябва да ги изобразите върху оста x и да определите дали производната в тези области между маркираните точки е положителна или отрицателна. След обозначението ще стане ясно в кой момент функцията започва да намалява, тоест променя знака от минус на обратния. По този начин можете да намерите както минималните, така и максималните точки.

Правила за диференциране

Най-основният компонент в изучаването на функция и нейната производна е познаването на правилата за диференциране. Само с тяхна помощ е възможно да се трансформират тромави изрази и големи сложни функции. Нека се запознаем с тях, има много от тях, но всички те са много прости поради редовните свойства както на степенните, така и на логаритмичните функции.

1. Производната на всяка константа е нула (f(x) = 0). Тоест производната f (x) \u003d x 5 + x - 160 ще приеме следната форма: f "(x) \u003d 5x 4 +1.
2. Производната на сумата от два члена: (f+w)" = f"w + fw".
3. Производна на логаритмична функция: (log a d)" = d/ln a*d. Тази формула се прилага за всички видове логаритми.
4. Производна на степен: (x n)"= n*x n-1. Например (9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. Производна на синусоидалната функция: (sin a)" = cos a. Ако sin на ъгъл a е 0,5, тогава нейната производна е √3/2.

екстремни точки

Вече обсъдихме как да намерим минималните точки, но съществува понятието максимални точки на функция. Ако минимумът означава тези точки, в които функцията преминава от минус към плюс, тогава максималните точки са тези точки на оста x, в които производната на функцията се променя от плюс към обратното - минус.

Можете да го намерите, като използвате описания по-горе метод, само че трябва да се има предвид, че те обозначават тези области, където функцията започва да намалява, т.е. производната ще бъде по-малка от нула.

В математиката е обичайно да се обобщават и двете понятия, като се заменят с фразата „точки на екстремуми“. Когато задачата изисква да се определят тези точки, това означава, че е необходимо да се изчисли производната на тази функция и да се намерят минималната и максималната точка.

От тази статия читателят ще научи какво е екстремум на функционална стойност, както и за характеристиките на използването му на практика. Изучаването на такава концепция е изключително важно за разбирането на основите висша математика. Тази тема е фундаментална за по-задълбочено изучаване на курса.

Във връзка с

Какво е крайност?

IN училищен курсса дадени множество дефиниции на понятието "екстремум". Тази статия има за цел да даде най-задълбочено и ясно разбиране на термина за тези, които не са запознати с въпроса. И така, терминът се разбира до каква степен функционалният интервал придобива минимална или максимална стойност на определен набор.

Екстремумът е както минималната стойност на функцията, така и максималната едновременно. Има минимална точка и максимална точка, тоест екстремните стойности на аргумента на графиката. Основните науки, в които се използва тази концепция:

• статистика;
• управление на машината;
• иконометрия.

Крайните точки играят важна роля при определяне на последователността дадена функция. Координатната система на графиката най-добре показва промяната в крайната позиция в зависимост от промяната във функционалността.

Екстремуми на производната функция

Има и такова нещо като "производно". Необходимо е да се определи екстремната точка. Важно е да не се бъркат минималните или максималните точки с най-големите и най-малките стойности. Това са различни концепции, въпреки че може да изглеждат подобни.

Стойността на функцията е основният фактор при определяне как да се намери максималната точка. Производната не се формира от стойностите, а изключително от нейното крайно положение в един или друг ред.

Самата производна се определя въз основа на данните от екстремните точки, а не най-голямата или най-малката стойност. В руските училища границата между тези две понятия не е ясно очертана, което се отразява на разбирането на тази тема като цяло.

Нека сега разгледаме такова нещо като "остър екстремум". Към днешна дата има остра минимална стойност и остра максимална стойност. Дефиницията е дадена в съответствие с руската класификация на критичните точки на функция. Концепцията за точка на екстремум е основата за намиране на критични точки на диаграма.

За дефиниране на такова понятие се използва теоремата на Ферма. Той е най-важен при изучаването на екстремни точки и дава ясна представа за тяхното съществуване под една или друга форма. За да се осигури екстремност, е важно да се създадат определени условия за намаляване или увеличаване на графиката.

За да отговорите точно на въпроса "как да намерите максималната точка", трябва да следвате следните разпоредби:

1. Намиране на точната област на дефиниция на диаграмата.
2. Търсене на производна на функция и точка на екстремум.
3. Решете стандартни неравенства за домейна на аргумента.
4. Да може да докаже в кои функции дадена точка на графика е дефинирана и непрекъсната.

внимание!Търсенето на критична точка на функция е възможно само ако има производна от поне втори ред, което се осигурява от висок дял на наличието на екстремна точка.

Необходимо условие за екстремума на функцията

За да съществува екстремум, е важно да има както минимални, така и максимални точки. Ако това правило се спазва само частично, тогава условието за съществуване на екстремум е нарушено.

Всяка функция във всяка позиция трябва да бъде диференцирана, за да се идентифицират нейните нови значения. Важно е да се разбере, че случаят, когато една точка изчезва, не е основният принцип за намиране на диференцируема точка.

Рязък екстремум, както и минимум на функция, е изключително важен аспект на решението математически проблемизползвайки екстремни стойности. За да разберете по-добре този компонент, е важно да се обърнете към табличните стойности за дефиниране на функционала.

Функционален екстремум

За да намерите горната стойност, трябва да се придържате към следните правила:

• определят необходимото условие за екстремалното съотношение;
• вземете предвид достатъчното условие на екстремните точки на графиката;
• извършете изчисляването на остър екстремум.

Има и понятия като слаб минимум и силен минимум. Това трябва да се има предвид при определяне на екстремума и точното му изчисляване. В същото време острата функционалност е търсенето и създаването на всички необходими условия за работа с функционалната графика.

Да разгледаме функцията y = f(x), която се разглежда на интервала (a, b).

Ако е възможно да се определи такава b-околност на точката x1, принадлежаща на интервала (a, b), че за всички x (x1, b) да е изпълнено неравенството f(x1) > f(x), тогава y1 = f1(x1) се извиква максимална функция y = f(x) вижте фиг.

Максимумът на функцията y = f(x) се означава с max f(x). Ако е възможно да се определи 6-околност на точката x2, принадлежаща на интервала (a, b), така че за всички x да принадлежи на O(x2, 6), x не е равно на x2, неравенството f(x2)< f(x) , тогава y2= f(x2) се нарича минимум на функцията y-f(x) (виж Фиг.).

Пример за намиране на максимума вижте следното видео

Минимум характеристики

Минимумът на функцията y = f(x) се означава с min f(x). С други думи, максимума или минимума на дадена функция y = f(x) Нареченнеговата стойност, която е по-голяма (по-малка) от всички други стойности, взети в точки, достатъчно близки до дадената и различни от нея.

Забележка 1. Функция максимум, определено от неравенството се нарича строг максимум; нестриктният максимум се определя от неравенството f(x1) > = f(x2)

Забележка 2. имат локален характер (това са най-големите и най-малките стойности на функцията в достатъчно малък квартал на съответната точка); отделните минимуми на дадена функция могат да бъдат по-големи от максимумите на същата функция

В резултат на това се извиква максимумът (минимумът) на функцията локален максимум(локален минимум) за разлика от абсолютния максимум (минимум) - най-голямата (най-малката) стойност в областта на функцията.

Максимумът и минимумът на функцията се наричат ​​екстремум. . Крайности в намирането за чертане на функции

латински екстремум означава "екстремно" значение. Стойността на аргумента x, при която се достига екстремума, се нарича точка на екстремум. Необходимото условие за екстремум се изразява със следната теорема.

Теорема. В точката на екстремума на диференцируемата функция и нейната производна е равна на нула.

Теоремата е проста геометричен смисъл: допирателната към графиката на диференцируемата функция в съответната точка е успоредна на оста x

Функционални стойности и максимални и минимални точки

Най-висока стойностфункции

Най-малката стойност на функцията

Както каза кумът: „Нищо лично“. Само деривати!

Задача 12 в статистиката се счита за доста трудна и всичко това, защото момчетата не са чели тази статия (шега). В повечето случаи вината е невниманието.

12 задача е от два вида:

1. Намерете високата/ниската точка (помолен да намерите стойностите на "x").
2. Намерете най-голямата/най-малката стойност на характеристика (помолен да намерите стойности на "y").

Намерете висока/ниска точка

1. Приравнете го към нула.
2. Намерени или намерени "x" и ще бъдат минималните или максималните точки.
3. Определете знаците с помощта на интервалния метод и изберете коя точка е необходима в задачата.

Задачи към изпита:

Намерете максималната точка на функцията

• Взимаме производната:

Намерете минималната точка на функцията

• Трансформирайте и вземете производната:

• Страхотен! Първо функцията намалява, след това нараства - това е минималната точка!

Намерете най-голямата/най-малката стойност на функция

1. Вземете производната на предложената функция.
   
2. Приравнете го към нула.
   
3. Намереното „x“ ще бъде минималната или максималната точка.
   
4. Определете знаците с помощта на интервалния метод и изберете коя точка е необходима в задачата.
5. В такива задачи винаги се задава празнина: x-овете в параграф 3 трябва да бъдат включени в тази празнина.
6. Заместете в оригиналното уравнение получената максимална или минимална точка, получаваме най-голямата или най-малката стойност на функцията.

Задачи към изпита:

Намерете най-голямата стойност на функцията на интервала [−4; −1]

Отговор: -6

Намерете най-голямата стойност на функцията върху отсечката

• Най-високата стойност на функцията е "11" в максималната точка (на този сегмент) "0".

Отговор: 11

Изводи:

1. 70% от грешките са, че момчетата не помнят какво отговарят най-голямата/най-малката стойност на функцията, която трябва да напишете "y", и на напишете максималната / минималната точка "x".
2. Производната има ли решение при намиране на стойностите на функцията?Не се притеснявай, слагай го крайни точкипразнина!
3. Отговорът винаги може да бъде записан като число или десетичен знак.Не? След това сменете примера.
4. В повечето задачи ще се получи една точка и мързелът ни да проверим максимума или минимума ще бъде оправдан. Имаме една точка - можете спокойно да пишете в отговор.
5. И тук с търсене на стойност на функция, не трябва да правите това!Уверете се, че това е желаната точка, в противен случай екстремните стойности на празнината може да са по-големи или по-малки.

1°. Определяне на екстремума на функция.

Понятието максимум, минимум, екстремум на функция на две променливи е подобно на съответните понятия на функция на една независима променлива.

Нека функцията z=е(х; y)определени в някаква област Д,точка Н(x 0;y0) д.

Точка (x 0;y0)наречена точка максимумфункции z= е(х;y),ако съществува такава -околност на точка (x 0;y 0),че за всяка точка (x; y),различен от (x 0;y0)това съседство удовлетворява неравенството е(х;y )< е(x 0;y0).Фигура 12: N 1 -максимална точка, a N 2 -минимална функционална точка z=е(х;y ).

Точката минимумфункции: за всички точки (x 0;y 0),различни от (x 0;y 0),от d-околността на точката (x 0;y0)важи следното неравенство: е(x 0;y 0) >е(x 0;y0).

По подобен начин се определя екстремумът на функция на три или повече променливи.

Извиква се стойността на функцията в точката на максимум (минимум). максимум (минимум)функции.

Максимумът и минимумът на функция се извикват екстремуми.

Обърнете внимание, че по силата на дефиницията екстремната точка на функцията се намира вътре в областта на функцията; максимумът и минимумът са местен(локален) знак: стойността на функция в точка (x 0;y0)се сравнява с неговите стойности в точки, достатъчно близки до (x 0;y0).В района дЕдна функция може да има няколко екстремума или нито един.

2°. Необходимите условияекстремум.

Разгледайте условията за съществуване на екстремум на функция.

Геометрично равен е"y (x 0;y0)= 0 и е"y (x 0;y 0) = 0 означава, че в екстремната точка на функцията z = е(х; y)допирателна равнина към повърхността, изобразяваща функцията е(х; y),успоредна на равнината О, хутъй като уравнението на допирателната равнина е z=z0.

Коментирайте.Една функция може да има екстремум в точки, където поне една от частните производни не съществува. Например функцията има максимум в точката ОТНОСНО(0;0), но няма частични производни в този момент.

Точката, в която частичните производни от първи ред на функция z = е(х;y )са равни на нула, т.е. е"х = 0, f" y= 0, наречено неподвижна точкафункции z.

Наричат ​​се стационарни точки и точки, в които не съществува поне една частна производна критични точки.

В критични точки функцията може или не може да има екстремум. Равенството на нула на частните производни е необходимо, но не достатъчно условие за съществуването на екстремум. Помислете например за функцията z = ху.За него точката 0(0; 0) е критична (те изчезват в нея). Въпреки това екстремалната функция в него z = xyняма, защото в достатъчно малка околност на точката O(0;0) има точки, за които z > 0 (т. I и III четвърти) и z< 0 (т. II и IV четвърти).

По този начин, за да намерите екстремумите на функцията в дадена област, всеки критична точкафункции, които трябва да бъдат допълнително проучени.

Стационарните точки се намират чрез решаване на системата от уравнения

(необходими условия за екстремум).

Система (1) е еквивалентна на едно уравнение df(x, y)=0.Като цяло, в крайната точка P(a, b)функции f(x, y)или df(x, y)=0, или df(a, b) не съществува.

3°. Достатъчни условия за екстремум. Позволявам P(a; b)- стационарна точка на функцията f(x, y),т.е. . df(а, b) = 0. Тогава:

и ако d2f (a, b)< 0 в , тогава f(а, б) Има максимумфункции f (x, y);

б) ако d2f (а, b) > 0в , тогава f(а, б)Има минимумфункции f (x,y);

в) ако d2f (a, b)променя знака, тогава f (а, б) не е екстремум на функцията f (x, y).

Горните условия са еквивалентни на следните: нека И . Да композираме дискриминанта ∆=AC-B2.

1) ако Δ > 0, тогава функцията има екстремум в точката P (a; b)а именно максималното ако А<0 (или СЪС<0 ), и минимумът if A>0(или С>0);

2) ако Δ< 0, то экстремума в точке P(a; b)Не;

3) ако Δ = 0, тогава въпросът за наличието на екстремум на функцията в точка P(a; b)остава отворен (изисква допълнително проучване).

4°. Случаят на функция на много променливи. За функция от три и Повече ▼променливи, необходимите условия за съществуването на екстремум са подобни на условията (1), а достатъчните условия са подобни на условията a), b), c) 3°.

Пример. Изследване на функция за екстремум z=x³+3xy²-15x-12y.

Решение. Нека намерим частните производни и съставим системата от уравнения (1):

Решавайки системата, получаваме четири стационарни точки:

Нека намерим производни от 2-ри ред

и направи дискриминанта ∆=AC - B²за всяка неподвижна точка.

1) За точка: , ∆=AC-B²=36-144<0 . Така че няма екстремум в точката.

2) За точка P2: A=12, B=6, C=12; Δ=144-36>0, A>0. В точка P2 функцията има минимум. Този минимум е равен на стойността на функцията при x=2, y=1: ​​​​zmin=8+6-30-12=-28.

3) За точка: A=-6, B=-12, C=-6; Δ = 36-144<0 . Няма крайност.

4) За точка P 4: A=-12, B=-6, C=-12; Δ=144-36>0. В точка P4 функцията има максимум равен на Zmax=-8-6+30+12=28.

5°. Условен екстремум. В най-простия случай условен екстремумфункции f(x,y) е максимумът или минимумът на тази функция, достигнат при условие, че нейните аргументи са свързани с уравнението φ(x,y)=0 (уравнение на връзката). Да се ​​намери условният екстремум на функция f(x, y) при наличие на рел φ(x, y) = 0, съставляват т.нар Функция на Лагранж

F(х ,y )=е(х ,y )+λφ (х ,y),

където λ е неопределен постоянен фактор и потърсете обичайния екстремум на тази спомагателна функция. Необходимите условия за екстремум се свеждат до система от три уравнения

с три неизвестни x, y, λ, от което най-общо казано могат да се определят тези неизвестни.

Въпросът за съществуването и природата на условния екстремум се решава въз основа на изследване на знака на втория диференциал на функцията на Лагранж

за изпитаната система от ценности x, y, λполучено от (2), при условие че dxИ дусвързани с уравнението

.

А именно функцията f(x,y) има условен максимум, ако d²F< 0 и условен минимум ако d²F>0. По-специално, ако дискриминантът Δ за функцията F(x, y)в стационарна точка е положителен, тогава в тази точка има условен максимум на функцията f(x, y), Ако А< 0 (или СЪС< 0) и условен минимум, ако А > О(или С>0).

По същия начин, условният екстремум на функция от три или повече променливи се намира в присъствието на едно или повече уравнения на връзка (числото на които обаче трябва да бъде по-малко от числопроменливи). Тук е необходимо да се въведат толкова неопределени фактори във функцията на Лагранж, колкото са уравненията на връзката.

Пример. Намерете екстремума на функция z=6-4х-3гпри условие, че променливите хИ приудовлетворяват уравнението x²+y²=1.

Решение. Геометрично проблемът се свежда до намиране на най-големия и най-малките стойностиапликации zсамолет z=6 - 4x - Zuза точките на пресичане с цилиндъра x2+y2=1.

Съставете функцията на Лагранж F(x,y)=6 -4x -3y+λ(x2+y2 -1).

Ние имаме . Необходимите условия дават системата от уравнения

решаване на което намираме:

.

,

d²F=2λ (dx²+dy²).

Ако и тогава d²F >0, и следователно в тази точка функцията има условен минимум. Ако и тогава d²Е<0, и следователно в тази точка функцията има условен максимум.

По този начин,

6°. Най-големите и най-малките стойности на функцията.

Нека функцията z=е(х; y)дефинирана и непрекъсната в ограничена затворена област . След това достига до някои точки неговият най-велик Ми най-малко Tстойности (т.нар. глобална крайност).Тези стойности се достигат от функцията в точки, разположени вътре в региона , или в точки, разположени на границата на района.