Квантори. Квантори Значение на логическата формула на предиката

Във връзка с въвеждането на квантификатори трябва да се има предвид следното:

1. Формулата на предикатната логика не може да съдържа една и съща обектна променлива, която би била обвързана в една част от формулата и свободна в друга.

2. Една и съща променлива не може да бъде в областта на двойствени един към друг квантори.

Нарушаването на тези условия се нарича сблъсък на променливи.

Как се определя стойността на истината на твърдение с квантор?

Да се ​​докаже твърдение с общ квантор необходимо е да се уверите, че при заместване на всяка от стойностите хв предикат P(x)последното се превръща в вярно твърдение. Ако множеството X е крайно, тогава това може да стане чрез изброяване на всички случаи; ако множеството X е безкрайно, тогава е необходимо да се извърши разсъждение в обща форма.

изявление (x) P(x) false, ако такава стойност може да бъде зададена Ах, при което P(x)се превръща в лъжа R(a).Ето защо, за опровергаване на твърдение с общ квантификатор достатъчно е да дадем пример.

изявление (x) P(x) true, ако такава стойност може да бъде указана Ах, при което P(x)се превръща в вярно твърдение P(a). Следователно, за да проверете истинността на твърдение с квантор съществуване , достатъчно е да се даде пример и така да се докаже.

За да уверете се, че твърдението е невярно с квантор съществуване (x) P(x),необходимо е да се провери фалшивостта на всеки P(x), P(x), …, P(x). Ако наборът хРазбира се, това може да стане с груба сила. Ако наборът хбезкрайно, е необходимо да се извършват разсъждения в обща форма.

Примери.

1. Намерете истинската стойност "сред числата 1, 2, 3, 4 има просто число.

Решение:Пропозицията съдържа екзистенциален квантор и следователно може да бъде представена като дизюнкция на пропозиции: " 1 - просто число" или " 2 - просто число" или " 3 - просто число" или " 4 - Просто число". За да се докаже истинността на дизюнкция, истинността на поне едно твърдение е достатъчна, например, „ 3 е просто число, което е вярно. Следователно оригиналното твърдение също е вярно.

2. Нека докажем, че всеки квадрат е правоъгълник.

Решение:Изявлението съдържа общ квантификатор. Следователно тя може да бъде представена като връзка: "квадрат - правоъгълник" и "квадрат - правоъгълник" и "квадрат - правоъгълник" и т.н. Тъй като всички тези твърдения са верни, връзката на тези твърдения е вярна, следователно, оригиналното изречение също е вярно.

3. "Всеки триъгълник е равнобедрен." Това е невярно твърдение. За да проверите това, достатъчно е да начертаете триъгълник, който не е равнобедрен.

Да се ​​конструира отрицанието на твърдение с кванторинеобходимо:

1) заменете общия квантор с екзистенциалния квантор, а екзистенциалния квантор с общия квантор;

2) заменете предиката с неговото отрицание.

Пример. Нека формулираме отрицанието за следните твърдения:

а) всички елементи на множеството Здори; б) някои глаголи отговарят на въпроса „какво да правя?“.

Решение:а) Нека заменим общия квантор с екзистенциалния квантор и твърдението с неговото отрицание: някои елементи от множеството Зстранно.

б) Нека заменим екзистенциалния квантор с универсалния квантор, а израза му с неговото отрицание: всички глаголи не отговарят на въпроса „какво да правя?“.

Предикат (лат. praedicatum- заявено, споменато, казано) - всяко математическо твърдение, в което има поне една променлива. Предикатът е основният обект на изследване на логиката от първи ред.

Предикатът е израз с булеви променливи, който има смисъл за всички валидни стойности на тези променливи.

Изрази: x > 5, x > y са предикати.

Предикат ( н- местно, или н-ary) е функция с набор от стойности (0,1) (или "false" и "true"), дефинирани в набора. По този начин всеки набор от елементи на множеството Мсе характеризира или като „вярно“, или като „лъжливо“.

Предикатът може да бъде свързан с математическа връзка: ако н-ka принадлежи към отношението, тогава предикатът ще върне върху него 1. По-специално, едноместният предикат дефинира отношението на принадлежност към някакво множество.

Предикатът е един от елементите на логиката от първи и по-висок ред. Започвайки с логика от втори ред, формулите могат да бъдат количествено определени чрез предикати.

Предикатът се нарича идентично вярнои напиши:

ако за произволен набор от аргументи приема стойност 1.

Предикатът се нарича идентично невярнои напиши:

ако за произволен набор от аргументи се оценява на 0.

Предикатът се нарича изпълнимоако приема стойност 1 на поне един набор от аргументи.

Тъй като предикатите приемат само две стойности, всички операции на булевата алгебра са приложими към тях, например: отрицание, импликация, конюнкция, дизюнкция и др.

Кванторът е общо име за логически операции, които ограничават областта на истинност на предикат. Най-често се споменава:

Универсален квантор(обозначение:, да се чете: „за всеки ...“, „за всеки ...“ или „всеки ...“, „всеки ...“, „за всеки ...“).

Квантор на съществуване(обозначение:, прочетете: „има ...“ или „има ...“).

Примери

Обозначете П(х) предикат " хделимо на 5. Използвайки общия квантификатор, можем формално да напишем следните твърдения (разбира се, неверни):

всяко естествено число е кратно на 5;

всяко естествено число е кратно на 5;

всички естествени числа са кратни на 5;

по следния начин:

.

Следните (вече верни) твърдения използват екзистенциалния квантор:

има естествени числа, кратни на 5;

има естествено число, което е кратно на 5;

поне едно естествено число е кратно на 5.

Формалната им нотация е:

.Въведение в концепцията

Нека предикатът P(x) е даден върху множеството X от прости числа: "Простото число x е нечетно." Заменете думата "всеки" преди този предикат. Получаваме грешно твърдение „всяко просто число x е нечетно“ (това твърдение е грешно, тъй като 2 е четно просто число).

Замествайки думата „съществува“ преди този предикат P(x), получаваме вярно твърдение „Има просто число x, което е нечетно“ (например x=3).

По този начин е възможно да се превърне предикат в твърдение, като се поставят пред предиката думите: „всичко“, „съществува“ и т.н., които се наричат ​​квантори в логиката.

Квантори в математическата логика

Твърдението означава, че диапазонът на променливата хвключени в областта на предикатната истина П(х).

(„За всички стойности на (x) твърдението е вярно“).

Твърдението означава, че областта на истината на предиката П(х) не е празно.

(„Има (x), за което твърдението е вярно“).

Въпрос 31 Графика и нейните елементи. Основни понятия. Инцидент, множественост, цикъл, съседство. Типове графики. Маршрутът в графиката и неговата дължина. Класификация на маршрута. Матрици на съседство на насочени и неориентирани графи.

В математическата теория на графите и компютърните науки графът е колекция от непразно множество от върхове и набор от двойки върхове.

Обектите са представени като върхове или възли на графиката, а връзките са представени като дъги или ръбове. За различните области на приложение типовете графи могат да се различават по посока, ограничения за броя на връзките и допълнителни данни за върхове или ръбове.

Път (или верига) в граф е крайна последователност от върхове, в която всеки връх (с изключение на последния) е свързан със следващия в последователността от върхове чрез ребро.

Насочен път в диграф е крайна последователност от върхове v i , за които всички двойки ( v i,v i+ 1) са (ориентирани) ръбове.

Цикълът е път, в който първият и последният връх съвпадат. В този случай дължината на пътя (или цикъла) е броят на неговите компоненти ребра. Обърнете внимание, че ако върховете uИ vса краищата на някакъв ръб, тогава според тази дефиниция последователността ( u,v,u) е цикъл. За да се избегнат подобни "изродени" случаи, се въвеждат следните понятия.

Път (или цикъл) се нарича прост, ако ръбовете не се повтарят в него; елементарен, ако е прост и върховете в него не се повтарят. Лесно е да се види, че:

Всеки път, свързващ два върха, съдържа елементарен път, свързващ същите два върха.

Всеки прост неелементарнипътят съдържа елементарно цикъл.

Всякакви простоцикъл, минаващ през някакъв връх (или ребро), съдържа елементарен(под-)цикъл, минаващ през същия връх (или ръб).

Цикълът е елементарен цикъл.

Граф или неориентиран граф Же подредена двойка Ж: = (V,д

V

дтова е набор от двойки (в случай на неориентиран граф - неподредени) върхове, наречени ребра.

V(и оттам д, в противен случай би било мултимножество) обикновено се считат за крайни множества. Много добри резултати, получени за крайни графики, са грешни (или се различават по някакъв начин) за безкрайни графики. Това е така, защото редица съображения стават неверни в случай на безкрайни множества.

Върховете и ръбовете на графа се наричат ​​още елементи на графа, броят на върховете в графа | V| - ред, брой ръбове | д| - размер на графиката.

Върхове uИ vсе наричат ​​крайни върхове (или просто краища) на ръба д = {u,v). Едно ребро, от своя страна, свързва тези върхове. Два крайни върха на едно и също ребро се наричат ​​съседни.

Две ребра се наричат ​​съседни, ако имат общ краен връх.

Две ребра се наричат ​​кратни, ако множествата на крайните им върхове са еднакви.

Едно ребро се нарича цикъл, ако крайните му точки съвпадат, т.е. д = {v,v}.

степен deg Vвърхове Vизвикайте броя на инцидентните му ръбове (в този случай циклите се броят два пъти).

Един връх се нарича изолиран, ако не е краят на нито едно ребро; висящ (или лист), ако е краят на точно един ръб.

Насочена графа (съкратен диграф) Же подредена двойка Ж: = (V,А), за които са изпълнени следните условия:

Vе непразно множество от върхове или възли,

Атова е набор от (подредени) двойки различни върхове, наречени дъги или насочени ръбове.

Дъгае подредена двойка върхове (v, w), къде е върха vсе нарича начало w- краят на дъгата. Можем да кажем, че дъгата води от върха vдо горе w.

Смесено броене

Смесено броене Же график, в който някои ръбове могат да бъдат насочени, а други могат да бъдат неориентирани. Написано като подредена тройка Ж: = (V,д,А), Където V, дИ Аопределени по същия начин, както по-горе.

Насочените и неориентираните графи са специални случаи на смесени графи.

Изоморфни графики (?)

Графика Жсе нарича изоморфна на графиката зако има биекция fот множеството върхове на графа Жкъм множеството от върхове на графа з, което има следното свойство: ако в графиката Жима ръб отгоре Адо горе б, след това в графиката з f(А) до горе f(б) и обратно - ако в колоната зима ръб отгоре Адо горе б, след това в графиката Жтрябва да бъде ръб от връх f − 1 (А) до горе f − 1 (б). В случай на насочен граф, тази биекция също трябва да запази ориентацията на ръба. В случай на претеглен график, биекцията също трябва да запази тежестта на ръба.

Графична матрица на съседство Жс краен брой върхове н(номерирани от 1 до н) е квадратна матрица Аразмер н, в която стойността на елемента aijравен на броя на ръбовете азти връх на графиката в й-ти връх.

Понякога, особено в случай на неориентиран график, цикъл (ребро от азтия връх към себе си) се брои като два ръба, т.е. стойността на диагоналния елемент a iiв този случай е равно на два пъти броя на кръговете наоколо аз-ти връх.

Матрицата на съседство на проста графика (без цикли и множество ребра) е двоична матрица и съдържа нули на главния диагонал.

Въпрос 32 Функция. Методи на задачите. Класификация на функциите. Основни елементарни функции и техните графики. Състав на функциите. елементарни функции.

Функция - математическо понятие, което отразява връзката между елементите на множествата. Можем да кажем, че функцията е "закон", според който всеки елемент от едно множество (нар област на дефиниция ) е свързан с някакъв елемент от друг набор (наречен диапазон ).

Математическата концепция за функция изразява интуитивна идея за това как едно количество напълно определя стойността на друго количество. Значи стойността на променливата хеднозначно определя стойността на израза х 2 , а стойността на месеца еднозначно определя стойността на следващия месец, също така всяко лице може да бъде съпоставено с друго лице - неговия баща. По същия начин, някакъв предварително замислен алгоритъм, при различни входни данни, произвежда определени изходни данни.

Начини за задаване на функция

Аналитичен метод

Функцията на математическия обект е двоична релация, която отговаря на определени условия. Функция може да бъде дефинирана директно като набор от подредени двойки, например: има функция . Този метод обаче е напълно неподходящ за функции върху безкрайни множества (които са обичайните реални функции: степенни, линейни, експоненциални, логаритмични и т.н.).

За да зададете функцията, използвайте израза: . при което, хе променлива, която преминава през обхвата на дефиницията на функцията и г- диапазон от стойности. Този запис показва наличието на функционална връзка между елементите на множествата. хИ гможе да обхваща всеки набор от обекти от всякакво естество. Това могат да бъдат числа, вектори, матрици, ябълки, цветове на дъгата. Нека обясним с пример:

Нека има набор ябълка, самолет, круша, столи много човек, локомотив, квадрат. Дефинираме функцията f по следния начин: (ябълка, човек), (самолет, локомотив), (круша, квадрат), (стол, човек). Ако въведем променлива x, преминаваща през множеството, и променлива y, преминаваща през множеството, посочената функция може да бъде специфицирана аналитично като: .

Числовите функции могат да бъдат дефинирани по същия начин. Например: където x преминава през множеството от реални числа, дефинира някаква функция f. Важно е да се разбере, че самият израз не е функция. Функцията като обект е набор (от подредени двойки). И този израз като обект е равенството на две променливи. Той дефинира функция, но не е функция.

Въпреки това, в много клонове на математиката е възможно да се обозначи с f(x) както самата функция, така и аналитичния израз, който я дефинира. Тази синтактична конвенция е изключително удобна и оправдана.

Графичен начин

Числовите функции също могат да бъдат зададени с помощта на графика. Нека е реална функция от n променливи.

Помислете за някакво (n + 1)-мерно линейно пространство над полето от реални числа (тъй като функцията е реална). Избираме всяка база () в това пространство. Всяка точка от функцията е свързана с вектор: . Така ще имаме набор от линейни пространствени вектори, съответстващи на точките на дадена функция според определеното правило. Точките на съответното афинно пространство ще образуват определена повърхност.

Ако вземем евклидовото пространство на свободните геометрични вектори (насочени сегменти) като линейно пространство и броят на аргументите на функцията f не надвишава 2, посоченият набор от точки може да се визуализира под формата на чертеж (графика) . Освен това, ако първоначалната основа се вземе ортонормирана, получаваме "училищното" определение на графиката на функцията.

За функции с 3 или повече аргумента такова представяне не е приложимо поради липсата на геометрична интуиция на човек за многомерни пространства.

За такива функции обаче можете да измислите визуално полу-геометрично представяне (например всяка стойност на четвъртата координата на точка може да бъде свързана с някакъв цвят на графиката)

пропорционални стойности.Ако променливите гИ x са право пропорционални

г = k x,

Където к- постоянна стойност ( фактор на пропорционалност).

График пряка пропорционалност- права линия, минаваща през началото и образуваща с оста хъгъл, чиято допирателна е к:tan= к(фиг. 8). Следователно коефициентът на пропорционалност също се нарича фактор на наклона. Фигура 8 показва три графики за к = 1/3, к= 1 и к = 3 .

Линейна функция.Ако променливите гИ хсвързани с уравнението от 1-ва степен:

Axe + By = ° С ,

където поне едно от числата Аили бне е равно на нула, тогава графиката на тази функционална зависимост е права. Ако ° С= 0, тогава преминава през началото, в противен случай не. Графики на линейни функции за различни комбинации А,б,° Сса показани на фиг.9.

Обратна пропорция.Ако променливите гИ x са обратно пропорционални, то функционалната зависимост между тях се изразява с уравнението:

г = к / х ,

Където к- постоянна стойност.

Обратно пропорционален график - хипербола(фиг. 10). Тази крива има два клона. Хиперболи се получават, когато кръгъл конус се пресича от равнина (за конични сечения вижте раздела "Конус" в глава "Стереометрия"). Както е показано на фиг. 10, произведението на координатите на точките на хиперболата е постоянна стойност, в нашия пример равна на 1. В общия случай тази стойност е равна на к, което следва от уравнението на хиперболата: xy=k.

Основните характеристики и свойства на хипербола:

х 0, диапазон: г 0 ;

Функцията е монотонна (намаляваща) при х< 0i при x > 0, но не

монотонно като цяло поради точка на прекъсване х = 0);

Неограничена функция, прекъсната в точка х= 0, нечетен, непериодичен;

- Функцията няма нули.

Квадратична функция.Това е функцията: г = брадва 2 + bx + ° С, Където a, b, c- постоянен, а b=° С= 0 и г = брадва 2. Графика на тази функция квадратна парабола - ой, което се нарича параболна ос.Точка О върха на параболата.

Квадратична функция.Това е функцията: г = брадва 2 + bx + ° С, Където a, b, c- постоянен, а 0. В най-простия случай имаме: b=° С= 0 и г = брадва 2. Графика на тази функция квадратна парабола -крива, минаваща през началото (фиг. 11). Всяка парабола има ос на симетрия ой, което се нарича параболна ос.Точка Осе нарича пресечната точка на парабола с нейната ос върха на параболата.

Функционална графика г = брадва 2 + bx + ° Ссъщо е квадратна парабола от същия тип като г = брадва 2 , но неговият връх не е в началото, а в точката с координати:

Формата и местоположението на квадратна парабола в координатната система зависи изцяло от два параметъра: коеф. апри х 2 и дискриминант D:D = b 2 – 4ак. Тези свойства следват от анализа на корените на квадратното уравнение (вижте съответния раздел в главата Алгебра). Всички възможни различни случаи за квадратна парабола са показани на фиг.12.

Основни характеристики и свойства на квадратна парабола:

Обхват на функцията:  < х+ (т.е. х Р), и областта

стойности: … (Моля, отговорете сами на този въпрос!);

Функцията като цяло не е монотонна, а отдясно или отляво на върха

държи се като монотонен;

Функцията е неограничена, навсякъде непрекъсната, дори и за b = ° С = 0,

и непериодични;

- при д< 0 не имеет нулей.

Експоненциална функция.функция г = a x, Където ае положително постоянно число, наречено експоненциална функция.Аргумент хприема всякакви валидни стойности; като функционални стойности се разглеждат само положителни числа, тъй като в противен случай имаме многозначна функция. Да, функцията г = 81хима при х= 1/4 четири различни стойности: г = 3, г = 3, г = 3 азИ г = 3 аз(Сметката Моля!). Но ние считаме само стойността на функцията г= 3. Графики на експоненциалната функция за а= 2 и а= 1/2 са показани на фиг.17. Те минават през точката (0, 1). При а= 1 имаме графика на права, успоредна на оста х, т.е. функцията се превръща в постоянна стойност равна на 1. Когато а> 1, експоненциалната функция нараства, а при 0< а < 1 – убывает. Основные характеристики и свойства показательной функции:

Обхват на функцията:  < х+ (т.е. х Р);

диапазон: г> 0 ;

Функцията е монотонна: тя нараства с а> 1 и намалява при 0< а < 1;

- Функцията няма нули.

Логаритмична функция.функция г= дневник a x, Където а- нарича се постоянно положително число, неравно на 1 логаритмичен. Тази функция е обратна на експоненциалната функция; неговата графика (фиг. 18) може да се получи чрез завъртане на графиката на експоненциалната функция около ъглополовящата на 1-ия координатен ъгъл.

Основните характеристики и свойства на логаритмичната функция:

Обхват на функцията: х> 0 и диапазона от стойности:  < г+

(т.е. y R);

Това е монотонна функция: тя нараства като а> 1 и намалява при 0< а < 1;

Функцията е неограничена, навсякъде непрекъсната, непериодична;

Функцията има една нула: х = 1.

тригонометрични функции.Когато конструираме тригонометрични функции, използваме радианмярка на ъгли.Тогава функцията г= грях хпредставена с графика (фиг. 19). Тази крива се нарича синусоида.

Функционална графика г= cos хпоказано на фиг.20; това също е синусоида в резултат на преместване на графиката г= грях хпо оста хналяво с 2

От тези графики характеристиките и свойствата на тези функции са очевидни:

Домейн:  < х+ диапазон от стойности: 1 г +1;

Тези функции са периодични: периодът им е 2;

Ограничени функции (| г| , навсякъде непрекъснато, не монотонно, но

имащи т.нар интервали на монотонност, вътре в който те

се държат като монотонни функции (вижте графиките на фиг. 19 и фиг. 20);

Функциите имат безкраен брой нули (за повече подробности вижте раздела

"Тригонометрични уравнения").

Функционални графики г= тен хИ г= кошара хпоказани съответно на фиг.21 и фиг.22

От графиките се вижда, че тези функции са: периодични (периодът им ,

неограничени, обикновено не монотонни, но имат интервали на монотонност

(какво?), прекъснато (какви точки на прекъсване имат тези функции?). Регион

дефиниции и обхват на тези функции:

Функции г= Arcsin х(фиг.23) и г= Аркос х(фиг. 24) многозначителен, неограничен; тяхната област на дефиниране и съответно диапазон от стойности: 1 х+1 и  < г+ . Тъй като тези функции са многозначни,

разглеждани в елементарната математика, основните им стойности се считат за обратни тригонометрични функции: г= arcsin хИ г= arccos х; техните графики са подчертани на Фиг.23 и Фиг.24 с удебелени линии.

Функции г= arcsin хИ г= arccos химат следните характеристики и свойства:

И двете функции имат една и съща област на дефиниране: -1 х +1 ;

техните диапазони:  /2 г/2 за г= arcsin хи 0 гЗа г= arccos х;

(г= arcsin хе нарастваща функция; г= arccos х-намаляващ);

Всяка функция има една нула ( х= 0 за функцията г= arcsin хИ

х= 1 за функцията г= arccos х).

Функции г= Арктан х(фиг.25) и г= Arccot х(фиг. 26) - многозначни, неограничени функции; тяхната област на дефиниране:  х+ . Основните им значения г= арктан хИ г= аркот хсе разглеждат като обратни тригонометрични функции; техните графики са подчертани на Фиг.25 и Фиг.26 с удебелени разклонения.

Функции г= арктан хИ г= аркот химат следните характеристики и свойства:

И двете функции имат еднакъв обхват:  х + ;

техните диапазони:  /2<г < /2 для г= арктан хи 0< г < для г= arccos х;

Функциите са ограничени, непериодични, непрекъснати и монотонни

(г= арктан хе нарастваща функция; г= аркот х-намаляващ);

Само функция г= арктан хима една нула ( х= 0);

функция г= аркот хняма нули.

Функционален състав

Ако са дадени две преобразувания и , където , тогава "през ​​преобразуването" от до дадено от формулата , , което се нарича композиция от функции и и се обозначава с , има смисъл.

Фиг.1.30.Чрез дисплей от до

При изучаване на пропозиционални форми (предикати) беше посочен един от начините за получаване на твърдения: заместване на някаква променлива стойност в P(x) от някакъв набор A. Например,

P(x): "x е просто число". Замествайки x = 7, получаваме твърдението

"7 е просто число." Ще се запознаем с още две логически операции: окачване на квантора на общността и на квантора на съществуването, които ни позволяват да получаваме твърдения от пропозиционални форми.

Нека заменим думата „всяко“ преди пропозиционалната форма P(x): „всяко x е просто число“. Имам невярно твърдение. Нека заменим думата „някои“ пред P(x): „някои числа x са прости“. Имам вярно твърдение.

В математиката думите „всеки“, „някои“ и техните синоними се наричат ​​квантори, които се наричат ​​съответно общ квантор (") и квантор на съществуване ($). Общият квантор се заменя в словесни формулировки с думите: всеки , всички, всеки, всеки и т.н. Кванторът на съществуването в словесната формулировка се заменя с думите: има, поне един, ще има и др.

Нека P(x) е пропозиционална форма на M. Record

("xOM) P(x)

означава: за всеки елемент x (от множеството M) има място P(x), което вече е твърдение. За да се докаже, че твърдението ("x)P(x) е вярно, човек трябва да премине през всички елементи a, b, c и т.н. от M и да се увери, че P(a), P(b), P(c ),... са верни и ако е невъзможно да се изброят елементите на M, те трябва да докажат чрез разсъждение, че за всяко a в M твърдението P(a) е вярно. един елемент aOM, за който P(a ) е невярно.

ПРИМЕР. Като се има предвид изказване

B(x):” е просто число”.

B(1): 2 2 + 1 = 5 е просто число;

B(2): = 17 - просто число;

B(3): = 257 - просто число;

B(4): = 65537 е просто число.

Възможно ли е да се каже, че ("x) B (x)? Това трябва да се докаже. Леонхард Ойлер доказа, че B (5) е невярно, т.е. + 1 = 2 32 + 1 се дели на 641 и следователно (" x)B(x) е невярно.

ПРИМЕР. Помислете за израза ("x) C(x), където on н C(x) е дадено: "x 3 + 5x се дели на 6".

Очевидно C(1), C(2), C(3), C(4) са верни. Но ако тестваме дори милион стойности на x, винаги има опасност за милионната първа стойност на x твърдението C(x) да се окаже невярно.

Можете да го докажете, например:

x 3 + 5x \u003d x 3 - x + 6x \u003d x (x 2 - 1) + 6x \u003d (x - 1) x (x + 1) + 6x

Изразът (x - 1)x(x + 1) се дели на 3, тъй като от три последователни естествени числа поне едно се дели на 3; този израз също се дели на 2, тъй като от три последователни числа едно или две числа са четни. Вторият член 6x се дели на 6, следователно цялата сума се дели на 6, т.е. ("x)C(x) е вярно.

Нека C(x) е някаква пропозиционална форма. Записване

означава: има елемент x от множеството M, за който е валидно C(x). ($x)C(x) вече е израз. Ако в множеството M е възможно да се намери елемент a, за който C(a) е вярно, тогава твърдението ($x)C(x) е вярно. Но ако няма нито един елемент a в M ​​за който C(a) да е вярно, тогава твърдението ($x)C(x) е невярно.

ПРИМЕР. На снимачната площадка ндадено C(x):” ”. C(1) е невярно, C(2) е невярно, C(5) е вярно. Следователно ($x)C(x) е вярно предложение.

ПРИМЕР. На снимачната площадка н K(x) е дадено: "x 2 + 2x + 3 се дели на 7". K(1) = 6, 6 не се дели на 7; K(2) = 11, 11 не се дели на 7 и т.н.

Хипотеза: ($x)K(x) е невярно.

Нека го докажем. Всяко естествено число, съгласно теоремата за деление с остатък, може да бъде представено като n = 7q + r, където r< 7.

n 2 + 2n + 3 = (7q + r) 2 + 2(7q + r) + 3 = 7(7q 2 + 2qr + 2q) + r 2 + 2r + 3.

И така, числото n 2 + 2n + 3 се дели на 7 тогава и само ако r 2 + 2r + 3 се дели на 7. Остатъкът е r О ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ). Ще се уверим чрез изброяване, че r 2 + 2r + 3 не се дели на 7. Така че ($x)K(x) е невярно.

Как да конструираме отрицанието на твърдение с квантор?

За да се конструира отрицанието на твърдение с квантор, е необходимо общият квантор (") да се замени с екзистенциалния квантор ($) и, обратно, екзистенциалният квантор с общият квантор, а изречението след квантора с неговото отрицание, т.е.

[("x)P(x) Û ($x) P(x);

[($x)P(x) Û ("x) P(x).

Да предположим например, че има две твърдения:

A: „всяко просто число е нечетно“;

Въпрос: "всяко просто число е четно."

B ще бъде ли отрицанието на твърдение A? Не, защото нито едно от твърденията не е вярно. В такъв случай

О: „не всяко просто число е нечетно, т.е. има четно просто число” е вярно твърдение.

В бъдеще считаме, че отрицанието на изречението е конструирано, ако не само неговото отрицание е написано, но и полученото изречение се трансформира във форма, в която знаците за отрицание са пред по-прости изрази. Например, ще разгледаме отрицанието на изречение от формата A u B не (A u B), а еквивалентно на него: A Ú B.

Нека A(x, y) е пропозиционална форма с две променливи.

Тогава ("x)A(x, y), ($x)A(x, y), ("x)A(x, y), ($x)A(x, y) също са пропозиционални форми, но с една променлива. В този случай се казва, че кванторът свързва една променлива. За да получите предложение от пропозиционалната форма A(x, y), е необходимо да свържете двете променливи. Например ("x)($y)A(x,y) е изявление.

За предложната форма Р(х,у): “ x< y”, заданной на З, разгледайте всички случаи на получаване на изявление чрез добавяне (висящи) квантори:

1) ("x)("y)P(x,y) Û l - “ За всяко x и за всяко y x< y”;

2) ("y)("x)(x< y) Û л - “Для всякого у и для всякого х х < y”;

3) ($x)($y) (x< y) Û и - “Существует х и существует у такие, что x < y”;

4) ($y)($x) (x< y) Û и - “Существует х и существует у такие, что x < y”;

5) ("x)($y) (x< y) Û и - “Для всякого х существует у такое, что x < y”;

6) ($y)("x) (x< y) Û л - “Существует у такое, что для всякого х х < y”;

7) ("y)($x) (x< y) Û и - “Для всякого у существует х такое, что x < y”;

8) ($x)("y) (x< y) Û л - “Существует x такое, что для всякого y х < y”.

` Обърнете внимание на твърдения (1) и (2), (3) и (4). Структурите на тези твърдения се различават само по реда на кванторите със същото име, но значението и стойностите на истината на твърденията не се променят.

Твърдения (5) и (6), (7) и (8) се различават по реда на противоположните квантори, което води до промяна в смисъла и, вероятно, истинната стойност на твърдението. Изявление (7) потвърждава присъствието в Знай-малкото число, което е невярно. (8) твърди липсата на това, което е истина.

Теоретични въпроси:

1. Концепцията за предикат от една или няколко променливи.

2. Примери за едноместни и двуместни предикати. 3. Област на предикатна истина.

4. Квантори на общост и съществуване. Свободни и обвързани променливи. Операции върху предикати. Каква е областта на истината; ; ; ? Дайте геометрични интерпретации.

5. Трансформация на предикатни логически формули. Дефиниция на тъждествено верен и тъждествено неверен предикат, връзка с областта на истината. Основни еквивалентности.

Упражнения

5.1. Посочете няколко стойности на променливи, за които следните предикати са истина или невярно:

1. х 2 , х н N; 9. = - x, x О R;

2.x< 1 , x Î N ; 10. > 0 ,

3. x > 6® x ³ 3 , xОZ; 11. sin x = - , xО R;

4. x + 3x +6 = 0 , x О R; 12. cos x = , x ОR;

5. = 0, xОR; 13. x ³ y , x,y Î R;

6. | x - 5 |< 2, 14. x + y < 3, x,yÎ N;

7. | 2x+3 | ³ 2x + 3, x О R; 15. x (y - 1) = 0, x,yОR;

8. = x, x О R; 16. x + y =4, x, y ОR.

5.2. Намерете област на истинност на предикатите от упражнение 5.1. Начертайте случаи 13 - 16 върху координатната равнина.

5.3.

1.=0; 7. | 3x - 2 | > 8;

2. = ; 8. | 5x - 3 |< 7;

3.->; 9.2 - | x | = 1,7;

4. ; 10. | 3x - 1 | = 3x - 1;

5. < 0 ; 11. | 3x - 1 | = 1 - 3x;

6. > 0; 12. | 2x+4 | ³ 2x + 4.

5.4. Намерете областта на истината на предикатите:

1. ( < x + 1,5) Ù (2x - 8 >3 - 0,5x);

2. ( - 4 < - 1) Ù ( x + 2 (2x- 1) < 3(x +1);

3.( - +2x<3x-3) Ù ( - 3(1-x)+2x< );

4.( - + x< 2x - 4)Ù( + 3 (x - 1)< );

5.((x+3) (x - 1)< 0) Ù (x + 4x + 6 >x(x - 5);

6.((x - 6x + 9)(2x - 10)< 0) Ù (6 + x (7 - x) < x +2x(5-x);

7.(1 + £ ) Ú (- 1< 5x - 5)

8.( - > 2) Ú (- 3x - 1 > 2) ;

9.( + 6x > + 4) Ú ( - > - );