Случайната променлива x е дадена от функцията на разпределение на вероятностите. Примери за решаване на задачи по темата „Случайни променливи. Закон за разпределение на дискретна случайна величина

Както е известно, случайна величина Наречен променлива, който може да приема една или друга стойност в зависимост от случая. Случайните променливи се означават с главни букви на латинската азбука (X, Y, Z), а техните стойности - със съответните малки букви (x, y, z). Случайните величини се делят на прекъснати (дискретни) и непрекъснати.

Дискретна случайна променлива Наречен произволна стойност, който приема само краен или безкраен (изброим) набор от стойности с определени ненулеви вероятности.

Законът за разпределение на дискретна случайна променлива е функция, която свързва стойностите на случайна променлива със съответните им вероятности. Законът за разпределение може да бъде определен по един от следните начини.

1 . Законът за разпределение може да бъде даден от таблицата:

където λ>0, k = 0, 1, 2, … .

V)като се използва функция на разпределение F(x) , което определя за всяка стойност x вероятността случайната променлива X да приеме стойност, по-малка от x, т.е. F(x) = P(X< x).

Свойства на функцията F(x)

3 . Законът за разпределение може да бъде зададен графично – разпределителен полигон (многоъгълник) (виж задача 3).

Имайте предвид, че за да се решат някои проблеми, не е необходимо да се знае законът за разпределение. В някои случаи е достатъчно да знаете едно или повече числа, които отразяват най-важните характеристики на закона за разпределение. Това може да бъде число, което има значението на "средна стойност" на случайна променлива или число, което показва средния размер на отклонението на случайна променлива от нейната средна стойност. Числата от този вид се наричат ​​числени характеристики на случайна променлива.

Основен числови характеристикидискретна случайна променлива :

• Математическо очакване (средна стойност) на дискретна случайна променлива M(X)=Σ x i p i.
  За биномиално разпределение M(X)=np, за разпределение на Поасон M(X)=λ
• дисперсия дискретна случайна променлива D(X)=M2или D(X) = M(X 2) − 2. Разликата X–M(X) се нарича отклонение на случайна променлива от нейното математическо очакване.
  За биномиално разпределение D(X)=npq, за разпределение на Поасон D(X)=λ
• Стандартно отклонение (стандартно отклонение) σ(X)=√D(X).

Примери за решаване на задачи по темата "Законът за разпределение на дискретна случайна променлива"

Задача 1.

Издадени са 1000 лотарийни билета: 5 от тях ще спечелят 500 рубли, 10 ще спечелят 100 рубли, 20 ще спечелят 50 рубли и 50 ще спечелят 10 рубли. Определете закона за разпределение на вероятностите на случайната променлива X - печалба от билет.

Решение. Според условието на задачата са възможни следните стойности на случайната променлива X: 0, 10, 50, 100 и 500.

Броят на билетите без печалба е 1000 - (5+10+20+50) = 915, тогава P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

По същия начин намираме всички други вероятности: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X =500) = 5/1000=0,005. Представяме получения закон под формата на таблица:

Да намерим очаквана стойностстойности X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2 +3 +4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Задача 3.

Устройството се състои от три независимо работещи елемента. Вероятността за повреда на всеки елемент в един експеримент е 0,1. Начертайте закон за разпределение на броя на неуспешните елементи в един експеримент, изградете полигон на разпределение. Намерете функцията на разпределение F(x) и я начертайте. Намерете математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на дискретна случайна променлива.

Решение. 1. Дискретната случайна променлива X=(брой неуспешни елементи в един експеримент) има следните възможни стойности: x 1 =0 (нито един от елементите на устройството не е повреден), x 2 =1 (един елемент е неуспешен), x 3 =2 ( два елемента са неуспешни) и x 4 \u003d 3 (три елемента са неуспешни).

Повредите на елементите са независими една от друга, вероятностите за повреда на всеки елемент са равни една на друга, следователно е приложимо Формула на Бернули . Като се има предвид, че по условие n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, ние определяме вероятностите на стойностите:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 = 0,1 3 \u003d 0,001;
Проверка: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

По този начин желаното биномен законразпределението X има формата:

На абсцисната ос начертаваме възможните стойности x i, а на ординатната ос - съответните вероятности p i . Нека построим точки M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001). Свързвайки тези точки с отсечки, получаваме желания многоъгълник на разпределение.

3. Намерете функцията на разпределение F(x) = P(X

Графика на функцията F(x)

4. За биномното разпределение X:
- математическо очакване М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- дисперсия D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- стандартно отклонение σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

Определение 13.1.Извиква се случайната променлива X отделен, ако приема краен или изброим брой стойности.

Определение 13.2. Законът за разпределение на случайна променлива Xе множеството от двойки числа ( , ), където са възможните стойности на случайната променлива и са вероятностите, с които случайната променлива приема тези стойности, т.е. =P( х= ) и =1.

Най-простата форма за определяне на дискретна случайна променлива е таблица, която изброява възможните стойности на случайна променлива и съответните им вероятности. Такава таблица се нарича близко разпространениедискретна случайна променлива.

Разпределителните серии могат да бъдат представени графично. В този случай абсцисата се нанася по ординатата, а вероятността - по ординатата. Точките с координати ( , ) се свързват с отсечки и се наричат ​​начупена линия разпределителен полигон,което е една от формите за определяне на закона за разпределение на дискретна случайна променлива.

Пример 13.3.Конструирайте многоъгълник на разпределение на случайна променлива X със серия на разпределение

Определение 13.4.Казваме, че дискретна случайна променлива X има биномно разпределениес параметри ( n,p), ако може да приема неотрицателни цели числа к {1,2,…,н) с вероятности Р( X=x)= .

Серията на разпределение има формата:

Сума от вероятности = =1.

Определение 13.5.Казва се, че дискретната форма на случайната променлива хТо има Поасоново разпределениес параметъра (>0), ако приема цели числа к(0,1,2,…) с вероятности Р( X=k)= .

Разпределителната серия има формата

Тъй като разширението в редицата на Маклорен има следната форма, тогава сумата от вероятностите = = =1.

Означаваме с хброй опити, които трябва да бъдат завършени преди първото възникване на събитието Ав независими опити, ако вероятността за поява на А във всяко от тях е равна на стр (0<стр <1), а вероятность непоявления . Возможными значениями хса естествени числа.

Определение 13.6.Казват, че случайната променлива хТо има геометрично разпределениес параметър стр (0<стр <1), если она принимает натуральные значения к N с вероятности Р(Х=k)= , където . Диапазон на разпространение:

Сумата от вероятностите = = =1.

Пример 13.7.Монетата се хвърля 2 пъти. Съставете серия от разпределение на случайна променлива X на броя на срещанията на "герба".

P 2 (0)= = ; P 2 (1)===0,5; P 2 (2) = = .

Серията на разпространение ще приеме формата:

Пример 13.8.Оръжието се стреля до първото попадение в целта. Вероятността за попадение с един изстрел е 0,6. ще уцели на 3-тия удар.

Тъй като стр=0,6, р=0,4, к=3, тогава P( А)= =0,4 2 *0,6=0,096.

14 Числени характеристики на дискретни случайни величини

Законът за разпределение напълно характеризира случайната променлива, но често е неизвестен, така че трябва да се ограничите до по-малко информация. Понякога дори е по-изгодно да се използват числа (параметри), които описват сумарно случайната променлива. Те се наричат числови характеристикислучайна величина. Те включват: математическо очакване, дисперсия и др.

Определение 14.1. математическо очакванеДискретна случайна променлива се нарича сумата от продуктите на всички възможни стойности и техните вероятности. Означава математическото очакване на случайна променлива хчрез М х=M( х)=E х.

Ако случайната променлива хприема краен брой стойности, тогава M х= .

Ако случайната променлива хприема изброим брой стойности, тогава M х= ,

и математическото очакване съществува, ако редицата се сближава абсолютно.

Забележка 14.2.Математическото очакване е определено число, приблизително равно на определена стойност на случайна променлива.

Пример 14.3.Намерете математическото очакване на случайна променлива х, знаейки серията му за разпространение

М х=3*0,1+5*0,6+2*0,3=3,9.

Пример 14.4.Намерете математическото очакване на броя на случванията на дадено събитие Ав един опит, ако вероятността от събитие Ае равно на стр.

Случайна стойност х- номер на възникване на събитието Ав един тест. Може да приема стойности =1 ( Аслучи) с вероятност стри =0 с вероятност , т.е. серия за разпространение

Следователно MS=C*1=C.

Забележка 14.6.Произведението на постоянна стойност C от дискретна случайна променлива хДефинирана като дискретна случайна променлива C х, чиито възможни стойности са равни на произведенията на константата С и възможните стойности х, вероятностите на тези стойности С хса равни на вероятностите на съответните възможни стойности х.

Имот 14.7.Постоянният фактор може да бъде изваден от знака за очакване:

Г-ЦА х)=C∙M х.

Ако случайната променлива хима разпределителен номер

Серии на разпределение на случайни променливи

Г-ЦА х)= = = С∙М( х).

Определение 14.8.Извикват се случайни променливи , ,… независима, ако за , аз=1,2,…,н

Р( , ,…, )= Р( ) Р( )… Р( ) (1)

Ако като =, аз=1,2,…,н, тогава получаваме от (1)

R(< , < ,…, < }= Р{ < }Р{ < }… Р{ < }, откуда получается другая формула:

( , ,…, ) = () ()... () (2)

за съвместната функция на разпределение на случайни променливи , ,…, , което може да се приеме и като дефиниция на независимостта на случайна променлива.

Имот 14.9.Математическо очакване на произведението от 2 независимаслучайни променливи е равно на произведението на техните математически очаквания:

М( XY)=М х∙М При.

Имот 14.10.Математическото очакване на сумата от 2 случайни променливи е равно на сумата от техните математически очаквания:

М( X+Y)=М х+М При.

Забележка 14.11.Свойства 14.9 и 14.10 могат да бъдат обобщени за случая на няколко случайни променливи.

Пример 14.12.Намерете математическото очакване на сумата от броя точки, които могат да паднат при хвърляне на 2 зара.

Позволявам хброя на точките, хвърлени на първия зар, Приброя точки, хвърлени на втория зар. Те имат същата серия за разпространение:

Тогава М х=М При= (1+2+3+4+5+6)= = . М( X+Y)=2* =7.

Теорема 14.13.Математическо очакване на броя на случванията на събитието А V ннезависими опити е равно на произведението от броя опити и вероятността за възникване на събитие във всеки опит: M х=np.

Позволявам х– брой появявания на събитието А V ннезависими тестове. – брой повторения на събитието А V аз- този тест, аз=1,2,…,н.Тогава = + +…+ . Според свойствата на математическото очакване М х= . От пример 14.4M X i=p,i=1,2,…,н,следователно М х= =np.

Определение 14.14.дисперсияслучайна променлива се нарича числото D х=M( х-М х) 2 .

Определение 14.15.Стандартно отклонениеслучайна величина хизвикан номер =.

Забележка 14.16.Дисперсията е мярка за разпространението на стойностите на случайна променлива около нейното математическо очакване. Тя винаги е неотрицателна. За да изчислите дисперсията, е по-удобно да използвате друга формула:

д х=M( х-М х) 2 = M( х 2 - 2X∙М х+ (М х) 2) = M( х 2) - 2M( X∙М х) + M(M х) 2 = =M( х 2)-М X∙М X+(М х) 2 = М( х 2) - (М х) 2 .

От тук Д х=M( х 2) - (М х) 2 .

Пример 14.17.Намерете дисперсията на случайна променлива х, дадени от редица разпределения

М х=2*0,1+3*0,6+5*0,3=3,5; М( х 2)= 4*0,1+9*0,6+25*0,3=13,3;

д х=13.3-(3,5) 2 =1,05.

Свойства на дисперсия

Имот 14.18.Дисперсията на постоянна стойност е 0:

DC = M(C-MC) 2 = M(C-C) 2 =0.

Имот 14.19.Константният фактор може да бъде изваден от знака на дисперсията чрез повдигането му на квадрат

D(C х) =C 2 D х.

D(CX)=M(C-CM х) 2 \u003d M (C (X- M х) 2) = C 2 M( х-М х) 2 = C 2 D х.

Имот 14.20.Дисперсията на сумата от 2 независимаслучайни променливи е равна на сбора от дисперсиите на тези променливи

Д( X+Y)=D х+D Y.

Д( X + Y)=M(( X+Y) 2) – (M( X+Y)) 2 = M( x2+ 2XY+Y2) - (М х+ М Y) 2 = =M( х) 2 +2M хМ Y+M( Y 2)-(M( х) 2 +2M хМ Y+M( Y) 2)= M( х 2)-(М х) 2 +M( Y 2)-(М Y) 2 = D х+D Y.

Следствие 14.21.Дисперсията на сумата от няколко независимаслучайни променливи е равна на сумата от техните дисперсии.

Теорема 14.22.Вариация на броя повторения на дадено събитие А V ннезависими тестове, във всеки от които вероятността p) 2 =). Следователно D +2,

Случайна величина е променлива, която може да приема определени стойности в зависимост от различни обстоятелства и случайната променлива се нарича непрекъсната , ако може да приеме произволна стойност от някакъв ограничен или неограничен интервал. За непрекъсната случайна променлива е невъзможно да се уточнят всички възможни стойности, поради което се обозначават интервалите на тези стойности, които са свързани с определени вероятности.

Примери за непрекъснати случайни променливи са: диаметър на част, обърната до даден размер, височина на човек, обсег на снаряд и др.

Тъй като за непрекъснати случайни променливи функцията Е(х), За разлика от дискретни случайни променливи, няма скокове никъде, тогава вероятността за всяка отделна стойност на непрекъсната случайна променлива е равна на нула.

Това означава, че за непрекъсната случайна променлива няма смисъл да се говори за разпределение на вероятностите между нейните стойности: всяка от тях има нулева вероятност. Въпреки това, в известен смисъл, сред стойностите на непрекъсната случайна променлива има "повече и по-малко вероятни". Например, малко вероятно е някой да се съмнява, че стойността на случайна променлива - височината на случайно срещнат човек - 170 см - е по-вероятна от 220 см, въпреки че едната и другата стойност могат да се случат на практика.

Функция на разпределение на непрекъсната случайна променлива и плътност на вероятността

Като закон за разпределение, който има смисъл само за непрекъснати случайни променливи, се въвежда концепцията за плътност на разпределение или плътност на вероятността. Нека подходим, като сравним значението на функцията на разпределение за непрекъсната случайна променлива и за дискретна случайна променлива.

И така, функцията на разпределение на случайна променлива (както дискретна, така и непрекъсната) или интегрална функциясе нарича функция, която определя вероятността стойността на случайна променлива хпо-малко или равно на граничната стойност х.

За дискретна случайна променлива в точките на нейните стойности х1 , х 2 , ..., хаз,...концентрирани маси от вероятности стр1 , стр 2 , ..., страз,..., а сумата от всички маси е равна на 1. Нека прехвърлим тази интерпретация към случая на непрекъсната случайна променлива. Представете си, че маса, равна на 1, не е концентрирана в отделни точки, а е непрекъснато "размазана" по оста x волс известна неравномерна плътност. Вероятността за попадение на произволна променлива на който и да е сайт Δ хще се тълкува като масата, която се приписва на този участък, а средната плътност в този участък - като отношение на масата към дължината. Току-що въведохме важно понятие в теорията на вероятностите: плътността на разпределението.

Плътност на вероятността f(х) на непрекъсната случайна променлива е производната на нейната функция на разпределение:

.

Познавайки функцията на плътността, можем да намерим вероятността стойността на непрекъсната случайна променлива да принадлежи към затворения интервал [ а; b]:

вероятността непрекъсната случайна променлива хще вземе всяка стойност от интервала [ а; b], е равен на определен интеграл от неговата плътност на вероятността в диапазона от апреди b:

.

В този случай общата формула на функцията Е(х) вероятностното разпределение на непрекъсната случайна променлива, което може да се използва, ако функцията на плътността е известна f(х) :

.

Графиката на плътността на вероятността на непрекъсната случайна променлива се нарича нейната крива на разпределение (фиг. по-долу).

Площта на фигурата (защрихована на фигурата), ограничена от крива, прави линии, изтеглени от точки аИ bперпендикулярна на абсцисната ос, и оста о, показва графично вероятността стойността на непрекъсната случайна променлива хе в рамките на апреди b.

Свойства на функцията за плътност на вероятността на непрекъсната случайна променлива

1. Вероятността случайна променлива да вземе всяка стойност от интервала (и областта на фигурата, която е ограничена от графиката на функцията f(х) и ос о) е равно на едно:

2. Функцията за плътност на вероятността не може да приема отрицателни стойности:

и извън съществуването на разпределението стойността му е нула

Плътност на разпространение f(х), както и функцията на разпределение Е(х), е една от формите на закона за разпределение, но за разлика от функцията на разпределение, тя не е универсална: плътността на разпределението съществува само за непрекъснати случайни променливи.

Нека споменем двата най-важни в практиката типа разпределение на непрекъсната случайна променлива.

Ако функцията за плътност на разпределение f(х) непрекъсната случайна променлива в някакъв краен интервал [ а; b] приема постоянна стойност ° С, а извън интервала приема стойност, равна на нула, тогава това разпределението се нарича равномерно .

Ако графиката на функцията за плътност на разпределението е симетрична спрямо центъра, средните стойности се концентрират близо до центъра, а когато се отдалечават от центъра, се събират повече различни от средните стойности (графиката на функцията прилича на разрез на звънец), тогава това разпределението се нарича нормално .

Пример 1Функцията на разпределение на вероятността на непрекъсната случайна променлива е известна:

Намерете функция f(х) плътността на вероятността на непрекъсната случайна променлива. Начертайте графики и за двете функции. Намерете вероятността непрекъсната случайна променлива да приеме произволна стойност в диапазона от 4 до 8: .

Решение. Получаваме функцията за плътност на вероятността, като намерим производната на функцията за разпределение на вероятностите:

Функционална графика Е(х) - парабола:

Функционална графика f(х) - права:

Нека намерим вероятността непрекъсната случайна променлива да приеме произволна стойност в диапазона от 4 до 8:

Пример 2Функцията на плътност на вероятността на непрекъсната случайна променлива се дава като:

Изчислете коефициента ° С. Намерете функция Е(х) вероятностното разпределение на непрекъсната случайна променлива. Начертайте графики и за двете функции. Намерете вероятността непрекъсната случайна променлива да приеме произволна стойност в диапазона от 0 до 5: .

Решение. Коефициент ° Снамираме, използвайки свойство 1 на функцията за плътност на вероятността:

По този начин функцията на плътност на вероятността на непрекъсната случайна променлива е:

Интегрирайки, намираме функцията Е(х) вероятностни разпределения. Ако х < 0 , то Е(х) = 0 . Ако 0< х < 10 , то

.

х> 10 тогава Е(х) = 1 .

По този начин пълният запис на функцията за разпределение на вероятностите е:

Функционална графика f(х) :

Функционална графика Е(х) :

Нека намерим вероятността непрекъсната случайна променлива да приеме произволна стойност в диапазона от 0 до 5:

Пример 3Плътност на вероятността на непрекъсната случайна променлива хсе дава от равенство , докато . Намерете коефициент А, вероятността непрекъсната случайна променлива хприема някаква стойност от интервала ]0, 5[, функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива х.

Решение. По условие стигаме до равенството

Следователно откъде. Така,

.

Сега намираме вероятността една непрекъсната случайна променлива хще вземе всяка стойност от интервала]0, 5[:

Сега получаваме функцията на разпределение на тази случайна променлива:

Пример 4Намерете плътността на вероятността на непрекъсната случайна променлива х, която приема само неотрицателни стойности, и нейната функция на разпределение .

СЛУЧАЙНИ СТОЙНОСТИ

Пример 2.1.Случайна стойност хдаден от функцията на разпределение

Намерете вероятността, че в резултат на теста хще приема стойности между (2,5; 3,6).

Решение: хв интервала (2.5; 3.6) може да се определи по два начина:

Пример 2.2.При какви стойности на параметрите АИ INфункция Е(х) = A + Be - xможе да бъде функция на разпределение за неотрицателни стойности на случайна променлива х.

Решение:Тъй като всички възможни стойности на случайната променлива хпринадлежат на интервала , тогава за да може функцията да бъде функция на разпределение за х, имотът трябва да съдържа:

.

Отговор: .

Пример 2.3.Случайната променлива X е дадена от функцията на разпределение

Намерете вероятността, че в резултат на четири независими опита стойността хточно 3 пъти ще приеме стойност, принадлежаща на интервала (0,25; 0,75).

Решение:Вероятност за достигане на стойност хв интервала (0,25; 0,75) намираме по формулата:

Пример 2.4.Вероятността топката да удари коша при едно хвърляне е 0,3. Начертайте закона за разпределение на броя на ударите в три хвърляния.

Решение:Случайна стойност х- броят на ударите в коша с три хвърляния - може да приема стойности: 0, 1, 2, 3. Вероятностите, че х

х:

Пример 2.5.Двама стрелци правят един изстрел в целта. Вероятността да го уцелите от първия стрелец е 0,5, втория - 0,4. Запишете закона за разпределение на броя на попаденията в целта.

Решение:Намерете закона за разпределение на дискретна случайна променлива х- броят на попаденията в целта. Нека събитието е попадение в целта от първия стрелец, и - попадение от втория стрелец, и - съответно техните пропуски.

Нека съставим закона за разпределение на вероятностите на SV х:

Пример 2.6.Тестват се 3 елемента, работещи независимо един от друг. Продължителностите на време (в часове) на безотказна работа на елементите имат функции на плътност на разпределение: за първия: Е 1 (T) =1-д- 0,1 T, за второто: Е 2 (T) = 1-д- 0,2 T, за третото: Е 3 (T) =1-д- 0,3 T. Намерете вероятността, че в интервала от 0 до 5 часа: само един елемент ще се повреди; само два елемента ще се повредят; и трите елемента се провалят.

Решение:Нека използваме дефиницията на генериращата функция на вероятностите:

Вероятността, че в независими опити, в първия от които вероятността за настъпване на събитие Ае равно на , във второто и т.н., събитието Асе появява точно веднъж, е равен на коефициента при в разлагането на генериращата функция по степени на . Да намерим вероятностите за повреда и неповреда съответно на първия, втория и третия елемент в интервала от 0 до 5 часа:

Нека създадем генерираща функция:

Коефициентът при е равен на вероятността събитието Аще се появи точно три пъти, тоест вероятността от повреда и на трите елемента; коефициентът при е равен на вероятността точно два елемента да се повредят; коефициентът при е равен на вероятността само един елемент да се повреди.

Пример 2.7.Като се има предвид плътност на вероятността f(х) случайна величина х:

Намерете функцията на разпределение F(x).

Решение:Използваме формулата:

.

Така функцията на разпределение има формата:

Пример 2.8.Устройството се състои от три независимо работещи елемента. Вероятността за повреда на всеки елемент в един експеримент е 0,1. Съставете закона за разпределение на броя на неуспешните елементи в един експеримент.

Решение:Случайна стойност х- броят на елементите, които са се провалили в един експеримент - може да приеме стойностите: 0, 1, 2, 3. Вероятности, че хприема тези стойности, намираме по формулата на Бернули:

По този начин получаваме следния закон за разпределение на вероятността на случайна променлива х:

Пример 2.9.Има 4 стандартни части в партида от 6 части. 3 елемента бяха избрани на случаен принцип. Съставете закона за разпределение на броя на стандартните части между избраните.

Решение:Случайна стойност х- броя на стандартните части сред избраните - може да приема стойности: 1, 2, 3 и има хипергеометрично разпределение. Вероятностите, че х

Където -- броя на частите в партидата;

-- броя на стандартните части в партидата;

– брой избрани части;

-- броя на стандартните части сред избраните.

.

.

.

Пример 2.10.Случайната променлива има плътност на разпределение

където и не са известни, но , a и . Намерете и.

Решение:В този случай случайната променлива хима триъгълно разпределение (разпределение на Симпсън) на интервала [ а, б]. Числени характеристики х:

следователно . Решавайки тази система, получаваме две двойки стойности: . Тъй като, според условието на проблема, накрая имаме: .

Отговор: .

Пример 2.11.Средно при 10% от договорите застрахователната компания изплаща застрахователните суми във връзка с настъпването на застрахователно събитие. Изчислете математическото очакване и дисперсията на броя на такива договори сред четири произволно избрани.

Решение:Математическото очакване и дисперсията могат да бъдат намерени с помощта на формулите:

.

Възможни стойности на SV (брой договори (от четири) с настъпване на застрахователно събитие): 0, 1, 2, 3, 4.

Използваме формулата на Бернули, за да изчислим вероятностите за различен брой договори (от четири), за които са изплатени застрахователните суми:

.

Серията за разпределение на CV (броят на договорите с настъпване на застрахователно събитие) има формата:

Отговор: , .

Пример 2.12.От петте рози две са бели. Напишете закон за разпределение на случайна променлива, изразяваща броя на белите рози сред две, взети едновременно.

Решение:В проба от две рози може или да няма бяла роза, или да има една или две бели рози. Следователно, случайната променлива хможе да приема стойности: 0, 1, 2. Вероятностите, че хприема тези стойности, намираме по формулата:

Където -- брой рози;

-- брой бели рози;

– броят на едновременно взетите рози;

-- броя на белите рози сред взетите.

.

.

.

Тогава законът за разпределение на случайна променлива ще бъде както следва:

Пример 2.13.От 15-те сглобени единици 6 се нуждаят от допълнително смазване. Начертайте закона за разпределение на броя на единиците, нуждаещи се от допълнително смазване, между пет произволно избрани от общия брой.

Решение:Случайна стойност х- брой звена, които се нуждаят от допълнително смазване сред петте избрани - може да приема стойности: 0, 1, 2, 3, 4, 5 и има хипергеометрично разпределение. Вероятностите, че хприема тези стойности, намираме по формулата:

Където -- броя на сглобените единици;

-- брой единици, изискващи допълнително смазване;

– броя на избраните агрегати;

-- броя на единиците, които се нуждаят от допълнително смазване сред избраните.

.

.

.

.

.

.

Тогава законът за разпределение на случайна променлива ще бъде както следва:

Пример 2.14.От постъпилите за ремонт 10 часовника 7 имат нужда от генерално почистване на механизма. Часовниците не са сортирани по вид ремонт. Майсторът, който иска да намери часовник, който се нуждае от почистване, ги преглежда един по един и след като намери такъв часовник, спира по-нататъшното гледане. Намерете математическото очакване и дисперсията на броя гледани часове.

Решение:Случайна стойност х- броя на единиците, които се нуждаят от допълнително смазване сред петте избрани - може да приеме следните стойности: 1, 2, 3, 4. Вероятностите, че хприема тези стойности, намираме по формулата:

.

.

.

.

Тогава законът за разпределение на случайна променлива ще бъде както следва:

Сега нека изчислим числените характеристики на количеството:

Отговор: , .

Пример 2.15.Абонатът е забравил последната цифра от телефонния номер, от който се нуждае, но помни, че е нечетен. Намерете математическото очакване и дисперсията на броя набирания, които е направил, преди да уцели желаното число, ако набере последната цифра произволно и не набере набраната цифра в бъдеще.

Решение:Случайната променлива може да приема стойности: . Тъй като абонатът не набира набраната цифра в бъдеще, вероятностите за тези стойности са равни.

Нека съставим серия на разпределение на случайна променлива:

Нека изчислим математическото очакване и дисперсията на броя опити за набиране:

Отговор: , .

Пример 2.16.Вероятността от повреда по време на тестовете за надеждност за всяко устройство от серията е равна на стр. Определете математическото очакване на броя устройства, които са се повредили, ако са тествани нуреди.

Решение:Дискретната случайна променлива X е броят на повредените устройства ннезависими тестове, при всеки от които вероятността за провал е равна на п,разпределени по биномния закон. Математическото очакване на биномното разпределение е равно на произведението от броя опити и вероятността събитие да се случи в едно изпитване:

Пример 2.17.Дискретна случайна променлива хприема 3 възможни стойности: с вероятност ; с вероятност и с вероятност . Намерете и знаейки, че M( х) = 8.

Решение:Използваме дефинициите на математическото очакване и закона за разпределение на дискретна случайна променлива:

Намираме: .

Пример 2.18.Отделът за технически контрол проверява продуктите за стандартност. Вероятността артикулът да е стандартен е 0,9. Всяка партида съдържа 5 елемента. Намерете математическото очакване на случайна променлива х- броя на партидите, всяка от които съдържа точно 4 стандартни продукта, ако 50 партиди подлежат на проверка.

Решение:В този случай всички проведени експерименти са независими и вероятностите всяка партида да съдържа точно 4 стандартни продукта са еднакви, следователно математическото очакване може да се определи по формулата:

,

къде е броят на партиите;

Вероятността една партида да съдържа точно 4 стандартни елемента.

Намираме вероятността с помощта на формулата на Бернули:

Отговор: .

Пример 2.19.Намерете дисперсията на случайна променлива х– брой появявания на събитието Ав две независими изпитвания, ако вероятностите за настъпване на събитие в тези изпитвания са еднакви и е известно, че М(х) = 0,9.

Решение:Проблемът може да се реши по два начина.

1) Възможни стойности на CB х: 0, 1, 2. Използвайки формулата на Бернули, ние определяме вероятностите за тези събития:

, , .

След това законът за разпределение хизглежда като:

От дефиницията на математическото очакване определяме вероятността:

Нека намерим дисперсията на SW х:

.

2) Можете да използвате формулата:

.

Отговор: .

Пример 2.20.Математическо очакване и стандартно отклонение на нормално разпределена случайна променлива хса съответно 20 и 5. Намерете вероятността в резултат на теста хще приеме стойността, съдържаща се в интервала (15; 25).

Решение:Вероятност за попадение на нормална случайна променлива хна участъка от до се изразява чрез функцията на Лаплас:

Пример 2.21.Дадена функция:

При каква стойност на параметъра ° Стази функция е плътността на разпределение на някаква непрекъсната случайна променлива х? Намерете математическото очакване и дисперсията на случайна променлива х.

Решение:За да бъде функцията плътност на разпределение на някаква случайна променлива, тя трябва да е неотрицателна и трябва да отговаря на свойството:

.

Следователно:

Изчислете математическото очакване по формулата:

.

Изчислете дисперсията по формулата:

Т е стр. Необходимо е да се намери математическото очакване и дисперсията на тази случайна променлива.

Решение:Законът за разпределение на дискретна случайна променлива X - броят на случаите на събитие в независими опити, при всяко от които вероятността за възникване на събитие е , се нарича бином. Математическото очакване на биномното разпределение е равно на произведението от броя опити и вероятността за настъпване на събитие А в едно изпитване:

.

Пример 2.25.Произвеждат се три независими изстрела по целта. Вероятността за уцелване на всеки удар е 0,25. Определете стандартното отклонение на броя на попаденията с три изстрела.

Решение:Тъй като се извършват три независими опита и вероятността за възникване на събитието A (попадение) във всяко изпитание е една и съща, ще приемем, че дискретната случайна променлива X - броят на попаденията в целта - е разпределена според бинома закон.

Дисперсията на биномното разпределение е равна на произведението на броя опити и вероятностите за настъпване и ненастъпване на събитие в едно изпитване:

Пример 2.26.Средният брой клиенти, посещаващи застрахователната компания за 10 минути, е трима. Намерете вероятността поне един клиент да пристигне през следващите 5 минути.

Среден брой клиенти, пристигащи за 5 минути: . .

Пример 2.29.Времето за изчакване на приложение в опашката на процесора се подчинява на експоненциален закон на разпределение със средна стойност 20 секунди. Намерете вероятността следващата (произволна) заявка да изчака процесора повече от 35 секунди.

Решение:В този пример очакването , а степента на отказ е .

Тогава желаната вероятност е:

Пример 2.30.Група от 15 студенти провежда среща в зала с 20 реда по 10 места. Всеки ученик заема произволно място в залата. Каква е вероятността не повече от трима души да са на седмо място в редицата?

Решение:

Пример 2.31.

Тогава според класическата дефиниция на вероятността:

Където -- броя на частите в партидата;

-- броя на нестандартните части в партидата;

– брой избрани части;

-- броя на нестандартните части сред избраните.

Тогава законът за разпределение на случайната променлива ще бъде както следва.

Плътност на разпространение вероятности хизвикайте функцията f(x)е първата производна на функцията на разпределение F(x):

Концепцията за плътността на вероятностното разпределение на случайна променлива хза дискретно количество не е приложимо.

Плътност на вероятността f(x)се нарича диференциална функция на разпределение:

Имот 1.Плътността на разпределение е неотрицателна стойност:

Имот 2.Неправилен интеграл на плътността на разпределение в диапазона от до е равен на единица:

Пример 1.25.Дадена е функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива Х:

f(x).

Решение:Плътността на разпределение е равна на първата производна на функцията на разпределение:

1. Дадена е функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива Х:

Намерете плътността на разпределение.

2. Дадена е функцията на разпределение на непрекъсната случайна променлива Х:

Намерете плътността на разпределение f(x).

1.3. Числени характеристики на непрекъсната случайност

количества

Очаквана стойностнепрекъсната случайна променлива х, чиито възможни стойности принадлежат на цялата ос о, се определя от равенството:

Приема се, че интегралът се сближава абсолютно.

а,б), Че:

f(x)е плътността на разпределение на случайната променлива.

дисперсия непрекъсната случайна променлива х, чиито възможни стойности принадлежат на цялата ос, се определя от равенството:

Специален случай. Ако стойностите на случайната променлива принадлежат на интервала ( а,б), Че:

Вероятността, че хще приема стойности, принадлежащи на интервала ( а,б), се определя от равенството:

.

Пример 1.26.Непрекъсната случайна променлива х

Намерете математическото очакване, дисперсията и вероятността за попадение на случайна променлива хв интервала (0; 0,7).

Решение:Случайната променлива се разпределя в интервала (0,1). Нека дефинираме плътността на разпределение на непрекъсната случайна променлива х:

а) Математическо очакване :

б) Дисперсия

V)

Задачи за самостоятелна работа:

1. Случайна променлива хдадено от функцията на разпределение:

M(x);

б) дисперсия D(x);

хв интервала (2,3).

2. Случайна променлива х

Намерете: а) математическо очакване M(x);

б) дисперсия D(x);

в) определяне на вероятността за попадение на случайна променлива хв интервала (1; 1,5).

3. Случайна стойност хсе дава от интегралната функция на разпределение:

Намерете: а) математическо очакване M(x);

б) дисперсия D(x);

в) определяне на вероятността за попадение на случайна променлива хв интервала.

1.4. Закони за разпределение на непрекъсната случайна величина

1.4.1. Равномерно разпределение

Непрекъсната случайна променлива хима равномерно разпределение на интервала [ а,б], ако на този сегмент плътността на вероятностното разпределение на случайна променлива е постоянна, а извън него е равна на нула, т.е.

Ориз. 4.

; ; .

Пример 1.27.Автобус по някакъв маршрут се движи равномерно с интервал от 5 минути. Намерете вероятността една равномерно разпределена случайна променлива х– времето за изчакване на автобуса ще бъде по-малко от 3 минути.

Решение:Случайна стойност х- равномерно разпределени в интервала.

Плътност на вероятността: .

За да не бъде времето за изчакване повече от 3 минути, пътникът трябва да пристигне на спирката в рамките на 2 до 5 минути след тръгването на предишния автобус, т.е. произволна стойност хтрябва да попада в интервала (2;5). Че. желана вероятност:

Задачи за самостоятелна работа:

1. а) намерете математическото очакване на случайна променлива хразпределени равномерно в интервала (2; 8);

б) намерете дисперсията и стандартното отклонение на случайна променлива Х,разпределени равномерно в интервала (2;8).

2. Минутната стрелка на електрически часовник скача в края на всяка минута. Намерете вероятността в даден момент часовникът да покаже времето, което се различава от истинското време с не повече от 20 секунди.

1.4.2. Експоненциалното (експоненциално) разпределение

Непрекъсната случайна променлива хе експоненциално разпределен, ако неговата плътност на вероятността има формата:

където е параметърът на експоненциалното разпределение.

По този начин

Ориз. 5.

Числени характеристики:

Пример 1.28.Случайна стойност х- времето на работа на електрическата крушка - има експоненциално разпределение. Определете вероятността лампата да издържи поне 600 часа, ако средният живот на лампата е 400 часа.

Решение:Според условието на задачата, математическото очакване на случайна променлива хсе равнява на 400 часа, така че:

;

Желаната вероятност , където

Накрая:

Задачи за самостоятелна работа:

1. Напишете функцията на плътност и разпределение на експоненциалния закон, ако параметърът .

2. Случайна променлива х

Намерете математическото очакване и дисперсията на дадено количество х.

3. Случайна стойност хдадено от функцията на разпределение на вероятностите:

Намерете математическото очакване и стандартното отклонение на случайна променлива.

1.4.3. Нормална дистрибуция

нормалносе нарича вероятностно разпределение на непрекъсната случайна променлива х, чиято плътност има формата:

Където А– математическо очакване, – стандартно отклонение х.

Вероятността, че хще приеме стойност, принадлежаща на интервала:

, Където

е функцията на Лаплас.

Разпределение, което има ; , т.е. с плътност на вероятността наречен стандартен.

Ориз. 6.

Вероятността абсолютната стойност на отклонението да е по-малка от положително число:

.

По-специално, когато а= 0 равенството е вярно:

Пример 1.29.Случайна стойност хразпределени нормално. Стандартно отклонение . Намерете вероятността отклонението на случайна променлива от нейното математическо очакване по абсолютна стойност да бъде по-малко от 0,3.

Решение: .

Задачи за самостоятелна работа:

1. Напишете плътността на вероятността за нормалното разпределение на случайна променлива х, знаейки това M(x)= 3, D(x)= 16.

2. Математическо очакване и стандартно отклонение на нормално разпределена случайна променлива хса съответно 20 и 5. Намерете вероятността в резултат на теста хще приеме стойността, съдържаща се в интервала (15;20).

3. Случайните грешки при измерване са предмет на нормалния закон със стандартно отклонение mm и математическо очакване а= 0. Намерете вероятността грешката на поне едно от 3 независими измервания да не надвишава 4 mm по абсолютна стойност.

4. Някои вещества се претеглят без систематични грешки. Случайните грешки при претеглянето се подчиняват на нормалния закон със стандартно отклонение r. Намерете вероятността претеглянето да се извърши с грешка, която не надвишава 10 g по абсолютна стойност.