Гама-разпределението е математическото очакване. Гама разпределение и разпределение на Ерланг. Създаване на функцията на разпределение на показателите за надеждност въз основа на резултатите от обработката на статистическа информация

ОСНОВНИ ЗАКОНИ НА РАЗПРЕДЕЛЕНИЕТО НА НЕПРЕКЪСНАТИТЕ СЛУЧАЙНИ ВЕЛИЧИНИ

знормалният закон за разпределение и неговото значение в теорията на вероятностите. Логаритмично нормален закон. Гама разпределение. Експоненциален закон и използването му в теорията на надеждността, теорията на масовото обслужване. Равен закон. разпространение. Студентско разпределение. Разпределение на Фишер.

1. Закон за нормалното разпределение (закон на Гаус).

Плътността на вероятността на нормално разпределена случайна променлива се изразява с формулата:

. (8.1)

На фиг. 16 показва кривата на разпределение. Той е симетричен около

Ориз. 16 Фиг. 17

точки (максимална точка). При намаляване ординатата на максималната точка нараства неограничено. В този случай кривата е пропорционално сплескана по абсцисната ос, така че нейната площ под графиката остава равна на единица (фиг. 17).

Нормалният закон за разпределение е широко разпространен в практическите задачи. Ляпунов пръв обяснява причините за широкото разпространение на закона за нормалното разпределение. Той показа, че ако една случайна променлива може да се разглежда като сума Голям броймалки условия, тогава за достатъчно Общи условиязаконът на разпределение на тази случайна променлива е близък до нормалния, независимо какви са законите на разпределение на отделните членове. И тъй като практически случайните променливи в повечето случаи са резултат от голям брой различни причини, нормалният закон се оказва най-често срещаният закон за разпределение (за повече информация вижте глава 9). Нека посочим числовите характеристики на нормално разпределена случайна променлива:

По този начин параметрите и в израз (8.1) на нормалния закон за разпределение са очаквана стойности стандартното отклонение на случайната променлива. Като се има предвид това, формула (8.1) може да бъде пренаписана, както следва:

.

Тази формула показва, че нормалният закон за разпределение е напълно определен от математическото очакване и дисперсията на случайна променлива. По този начин математическото очакване и дисперсията напълно характеризират нормално разпределена случайна променлива. От само себе си се разбира, че в общия случай, когато природата на закона за разпределение е неизвестна, познаването на математическото очакване и дисперсията не е достатъчно, за да се определи този закон на разпределение.

Пример 1. Изчислете вероятността случайна променлива с нормално разпределение да удовлетворява неравенството.

Решение. Използвайки свойство 3 на плътността на вероятността (Глава 4, Раздел 4), получаваме:

.

,

където е функцията на Лаплас (вижте Приложение 2).

Нека направим някои числени изчисления. Ако поставим , при условията на пример 1, тогава

Последният резултат означава, че с вероятност, близка до единица (), случайна променлива, подчинена на нормалния закон за разпределение, не надхвърля интервала . Това твърдение се нарича три сигма правила.

И накрая, ако , , тогава случайна променлива, разпределена според нормалния закон с такива параметри, се нарича стандартизирана нормална променлива. На фиг. 18 показва графика на плътността на вероятността на тази стойност .

2. Логаритмично нормално разпределение.

Казва се, че случайна променлива има логаритмично нормално разпределение (съкратено логнормално разпределение), ако неговият логаритъм е нормално разпределен, т.е

където стойността има нормално разпределение с параметри , .

Плътността на логнормалното разпределение се дава по следната формула:

, .

Математическото очакване и дисперсията се определят по формулите

,

.

Кривата на разпределение е показана на фиг. 19.

Лог-нормалното разпределение се среща при редица технически проблеми. Той дава разпределението на размерите на частиците по време на раздробяване, разпределението на съдържанието на елементи и минерали в магматични скали, разпределението на изобилието на риба в морето и др. Среща се във всички

онези задачи, при които логаритъма на разглежданото количество може да бъде представен като сума от голям брой независими равномерно малки количества:

,

т.е. , където са независими.

Най-простият вид гама разпределение е разпределението с плътност

Където - параметър на отместване, - гама функция, т.е.

(2)

Всяко разпределение може да бъде "разширено" в семейство с изместване на мащаба. Наистина, за случайна променлива с функция на разпределение, разгледайте семейството от случайни променливи , където е параметърът на мащаба, а е параметърът на отместването. Тогава функцията на разпределение е .

Включвайки всяко разпределение с плътност на формата (1) в семейството с отместване на мащаба, получаваме семейството от гама разпределения, приети в параметризацията:

Тук - параметър на формата, - параметър на мащаба, - параметър на отместване, гама функцията се дава с формула (2).

В литературата има и други параметризации. Така че вместо параметър често се използва параметърът . Понякога се разглежда семейство с два параметъра, като се пропуска параметърът за смяна, но се запазва параметърът на мащаба или негов аналог, параметърът . За някои приложни проблеми (например при изследване на надеждността на технически устройства) това е оправдано, тъй като от съображения по същество изглежда естествено да се приеме, че плътността на разпределението на вероятността е положителна за положителни стойностиаргумент и само за тях. Това предположение е свързано с дългосрочна дискусия през 80-те години за "присвоените индикатори за надеждност", на която няма да се спираме.

Отделни случаи на гама-разпределение за определени стойности на параметри имат специални имена. При имаме експоненциално разпределение. Когато е естествено, гама разпределението е разпределението на Ерланг, използвано по-специално в теорията на опашките. Ако случайната променлива има гама разпределение с параметър на формата, така че - цяло число и, тогава има разпределение хи-квадрат със степени на свобода.

Приложения на гама разпределение

Гама-разпределението има широко приложение в различни области на техническите науки (по-специално в теорията на надеждността и тестовете), в метеорологията, медицината и икономиката. По-специално, общият експлоатационен живот на продукта, дължината на веригата от проводящи прахови частици, времето, необходимо на продукта да достигне граничното състояние по време на корозия, времето на работа до k-та повреда и т.н. могат да бъдат подчинени на гама-разпределението. . Продължителността на живота на пациентите с хронични заболявания, времето за постигане на определен ефект при лечението в някои случаи имат гама разпределение. Това разпределение се оказа най-адекватно за описание на търсенето в редица икономико-математически модели за управление на запасите.

Възможността за използване на гама разпределението в редица приложни проблеми понякога може да бъде оправдана от свойството за възпроизводимост: сумата от независими експоненциално разпределени случайни променливи със същия параметър има гама разпределение с параметри на формата и мащаба и смяна. Следователно гама-разпределението често се използва в приложения, където се използва експоненциалното разпределение.

Стотици публикации са посветени на различни въпроси на статистическата теория, свързани с гама-разпределението (виж резюмета). В тази статия, която не претендира за изчерпателност, се разглеждат само някои математико-статистически проблеми, свързани с развитието на държавния стандарт.

Разгледайте гама-разпределението, изчислете неговото математическо очакване, дисперсия, режим. Използвайки функцията GAMMA.DIST() на MS EXCEL, ние начертаваме функцията на разпределението и графиките на плътността на вероятността. Нека генерираме масив от произволни числа и оценим параметрите на разпределението.

Гама разпределение(Английски) Гамаразпространение) зависи от 2 параметъра: r(определя формата на разпределението) и λ (определя мащаба). това разпределение се дава по следната формула:

където Г(r) е гама функцията:

ако r е положително цяло число, то Г(r)=(r-1)!

Горният формуляр за влизане плътност на разпространениеясно показва връзката си с. За r=1 Гама разпределениесе свежда до експоненциално разпределениес параметър λ.

Ако параметърът λ е цяло число, тогава Гама разпределениее сумата rнезависими и равномерно разпределени експоненциален законс параметър λ на случайни величини х. Така че случайната променлива г= х 1 + х 2 +… x rТо има гама разпределениес параметри rи λ.

, от своя страна, е тясно свързано с дискретното . Ако Поасоново разпределениеописва броя на случайните събития, настъпили в определен интервал от време, тогава експоненциално разпределение,в този случай описва продължителността на интервала от време между две последователни събития.

От това следва, че например, ако времето преди първото събитие е описано от експоненциално разпределениес параметър λ, тогава се описва времето до настъпване на второто събитие гама разпределениес r = 2 и същия параметър λ.

Гама разпределение в MS EXCEL

В MS EXCEL е възприета еквивалентна, но различна форма на нотация плътност гама разпределение.

Параметър α ( алфа) е еквивалентен на параметъра r, и параметърът b (бета) - параметър 1/λ. По-долу ще се придържаме към точно такава нотация, тъй като това ще улесни писането на формули.

В MS EXCEL, като се започне от версия 2010, за Разпределение Гамаима функция GAMMA.DIST(), Английско заглавие- GAMMA.DIST(), което ви позволява да изчислявате плътност на вероятността(вижте формулата по-горе) и (вероятност случайна променлива X да има гама разпределение, приема стойност, по-малка или равна на x).

Забележка: Преди MS EXCEL 2010, EXCEL имаше функция GAMMADIST(), която ви позволява да изчислявате интегрална функция на разпределениеИ плътност на вероятността. GAMMADIST() е оставен в MS EXCEL 2010 за съвместимост.

Функционални графики

Примерният файл съдържа графики плътност на разпределение на вероятноститеИ интегрална функция на разпределение.

Гама разпределениеима обозначението Гама (алфа; бета).

Забележка: За удобство при писане на формули в примерния файл за параметри на разпределение алфа и бетасъздаден съответен .

Забележка: Зависимостта от 2 параметъра ви позволява да изграждате разпределения с различни форми, което разширява приложението на това разпределение. Гама разпределение, като Експоненциално разпределениечесто се използва за изчисляване на времето за изчакване между случайни събития. Освен това е възможно да се използва това разпределение за моделиране на валежите и проектиране на пътища.

Както е показано по-горе, ако параметърът алфа= 1, тогава функцията GAMMA.DIST() се връща с параметъра 1/бета. Ако параметърът бета= 1, функцията GAMMA.DIST() връща стандарта гама разпределение.

Забележка: Защото е частен случай гама разпределение, след това формулата =GAMMA.DIST(x,n/2,2,TRUE) за положително цяло число n връща същия резултат като формулата =XI2.DIST(x, n, TRUE)или =1-XI2.DIST.X(x;n) . И формулата =GAMMA.DIST(x,n/2,2,FALSE)връща същия резултат като формулата =XI2.DIST(x, n, FALSE), т.е. плътност на вероятността XI2 разпределения.

IN примерен файл в графичния листе дадено изчисление гама разпределениеравен алфа*бетаИ

Равномерно разпределение. непрекъсната стойност X е равномерно разпределенна интервала ( а, b), ако всички негови възможни стойности са в този интервал и плътността на разпределението на вероятността е постоянна:

За случайна променлива х, равномерно разпределени в интервала ( а, b) (Фиг. 4), вероятността за попадане във всеки интервал ( х 1 , х 2 ) лежащ вътре в интервала ( а, b), е равно на:

(30)


Ориз. 4. Графика на плътността на равномерното разпределение

Примери равномерно разпределени променливиса грешки при закръгляване. Така че, ако всички таблични стойности на определена функция са закръглени до една и съща цифра, тогава избирайки таблична стойност на случаен принцип, считаме, че грешката при закръгляване на избраното число е случайна променлива, равномерно разпределена в интервала

експоненциално разпределение. Непрекъсната случайна променлива хТо има експоненциално разпределение

(31)

Графиката на плътността на разпределение на вероятностите (31) е показана на фиг. 5.

Ориз. 5. Графика на плътността на експоненциалното разпределение

време Tбезотказната работа на компютърна система е случайна променлива, която има експоненциално разпределение с параметъра λ , физически смисълкоето е средният брой повреди за единица време, с изключение на престоя на системата за ремонти.

Нормално (гаусово) разпределение. Случайна стойност хТо има нормално (гаусово) разпределение, ако разпределението на плътността на неговите вероятности се определя от зависимостта:

(32)

Където м = М(х) , .

При нормалното разпределение се нарича стандартен.

Графиката на плътността на нормалното разпределение (32) е показана на фиг. 6.

Ориз. 6. Графика на плътността на нормалното разпределение

Нормалното разпределение е най-често срещаното разпределение в различни случайни природни явления. И така, грешки при изпълнение на команди от автоматизирано устройство, изходни грешки космически корабдо дадена точка в пространството, грешки в параметрите на компютърните системи и др. в повечето случаи имат нормално или близко до нормалното разпределение. Освен това, случайните променливи, образувани от сумирането Голям бройслучайните членове се разпределят почти според нормалния закон.

Гама разпределение. Случайна стойност хТо има гама разпределение, ако разпределението на плътността на неговите вероятности се изразява с формулата:

(33)

Където е гама функцията на Ойлер.

ПРАКТИКАТА ЗА ПРИЛАГАНЕ НА ГАМА РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕОРИЯ ЗА НАДЕЖДНОСТТА НА ТЕХНИЧЕСКИ СИСТЕМИ

Руслан Литвиненко

кандидат на техническите науки, доцент в катедрата по електротехнически комплекси и системи, Казански държавен енергиен университет,

Русия,Република Татарстан,Казан

Александър Джамшиков

магистър студент,

Русия,Република Татарстан,Казан

Алексей Багаев

магистър студентКазански държавен енергиен университет,

Русия,Република Татарстан,Казан

АНОТАЦИЯ

В практиката на работа на технически системи в повечето случаи трябва да се работи с вероятностни (случайни) процеси, когато функция отразява аргумент с определена вероятност. В условията на несигурност на информацията за закона за разпределение на времето за възникване на повреди поради малки обеми статистически данни, което обикновено се случва на ранни стадииРазвитието на технологиите, изследователят трябва да вземе решение за избора на априорен модел на надеждност въз основа на опита от предишна експлоатация на прототипи или аналози. Систематизирането на информацията за практическото използване на основните разпределения при прогнозиране и оценка на надеждността на различни технически системи е спешна научна задача.

Представеният материал се основава на систематизиране на информация, публикувана в литературата, и представлява анализ на резултатите от модела и експериментални изследваниянадеждност на оборудването, както и статистически данни, получени по време на работа.

Представената теоретична информация за използването на гама-разпределението в теорията на надеждността може да се използва като първо приближение и подлежи на задължително уточняване, като се използват различни критерии за проверка на хипотези, тъй като обемът на статистическите данни се увеличава по време на следващите тестове.

Необходимо е да има достатъчно причини, за да се приложи експоненциалният закон за разпределение, както всеки друг. Следователно статията може да бъде полезна за изследователите в ранните етапи на разработване или модернизация на техническа система, като априорна информация за изграждане на модели и критерии, използвани за осигуряване и контрол на надеждността.

РЕЗЮМЕ

На практика работата на техническите системи в повечето случаи трябва да се занимава със стохастични (случайни) процеси, когато функцията отразява аргумента с определена вероятност. В лицето на несигурността относно закона за разпределение на времето за възникване на повреди, дължащи се на малки количества статистически данни, което обикновено се случва в началните етапи на технологичното развитие, изследователят трябва да вземе решение за избора на предварителна надеждност на модела въз основа на предишен експлоатационен опит на прототипи или аналози. Систематизирането на информацията за практическото използване на основните разпределения при прогнозиране и оценка на надеждността на различни технически системи е важна научна задача.

В горния материал е систематизирана информацията, публикувана в литературата и представляваща резултатите от анализа на моделни и експериментални изследвания на надеждността на оборудването, както и статистически данни, получени по време на работа.

Представената теоретична информация за използването на гама-разпределението в теорията на надеждността може да се използва като първо приближение и подлежи на задължително уточняване, като се използват различни критерии за тестване на хипотези, увеличаване на обема на статистическите данни при последващи тестове.

Необходимо е да има достатъчно основания за прилагане на експоненциалния закон за разпределение, както всеки друг. Следователно статията може да бъде полезна за изследователи в ранните етапи на разработване или модернизация на технически системи, като априорна информация за изграждане на модели и критерии, използвани за осигуряване и контрол на надеждността.

Ключови думи:надеждност, разпределение, време на работа, вероятност, плътност, етап, математическо очакване.

ключови думи:надеждност, разпределение, време на работа, вероятност, плътност на разпределение, етап, очаквана стойност.

За да се опишат системните повреди, могат да бъдат предложени модели за решаване различни задачинадеждност и отчита комплекса от фактори, присъщи на естеството на отказите по различни начини.

Случайният характер на възникването на повреди по време на работа на техническите системи и техните елементи позволява да се прилагат вероятностно-статистически методи за тяхното описание. Най-разпространени са моделите на отказ, базирани на разпределението на съответните случайни величини – времето до отказ на невъзстановимите обекти и времето между отказите на възстановимите обекти.

Като основни видове разпределение на експлоатационното време на продуктите до повреда е необходимо да се откроят:

• експоненциален;
• Вейбула-Гнеденко;
• гама;
• лог-нормален;
• нормално.

В резултат на прегледа на литературата в областта на надеждността на техническите системи беше направена оценка на практическото приложение на гама-разпределението при изследване на различни технически обекти. Въз основа на извършения анализ е възможно да се избере подходящо предварително разпределение на съответния критерий или показател за надеждност.

Гама-разпределението има двупараметърна плътност с параметър на формата и параметър на мащаба:

.

Вероятността за безотказна работа се определя по формулата:

,

Където: е гама функцията;

е непълната гама функция.

Математическото очакване (средното време между отказите) и стандартното отклонение за гама разпределението са:

.

Формулата за степента на отказ е следната:

.

Гама-разпределението служи за описание на повреди при износване; повреди поради натрупване на повреди; описания на времето на работа на сложна техническа система с резервни елементи; разпределение на времето за възстановяване; и може да се използва и при разглеждане на дълготрайността (ресурса) на някои технически обекти.

Гама разпределението има редица полезни свойства:

Въз основа на гореизложеното можем да заключим, че гама-разпределението може да се използва във всички области на жизнения цикъл: работа (), нормална работа () и стареене ().

Въз основа на , в проблеми, които се решават от гледна точка на преобразуването на Лаплас, е удобно да се използва гама разпределението за приближаване на реални разпределения.

B дава следната дефиниция: гама-разпределението е характеристика на времето на възникване на повреди в сложни електромеханични системи в случаите, когато възникват мигновени повреди на елементи в началния етап на работа или в процеса на отстраняване на грешки в системата, т.е. това е удобна характеристика на времето на възникване на повреди на оборудването в процеса на неговото стартиране.

За сложни технически системи, състоящи се от елементи, за които вероятността за безотказно функциониране има експоненциално разпределение, вероятността за безотказно функциониране на системата като цяло ще има гама разпределение.

Разпределението на времето на възникване на откази на сложна техническа система с резерв за замяна (приемайки, че потоците от откази на основната система и всички резервни протозои) също може да се опише чрез гама-разпределението. По същия начин, в случай на ненатоварено или смесено резервиране, вероятността за работа на системата следва обобщено гама разпределение.

В заключение трябва да се отбележи, че при решаването на отделни проблеми се използват и специални типове (има няколко десетки), както и дискретни разпределения, които не бяха разгледани в рамките на тази статия. В този случай има различни взаимни преходи и връзки между разпределенията. Въпреки съществуващите критерии за съответствие между избраните теоретични и емпирични разпределения, всички те дават отговор на въпроса: има ли или няма достатъчно основателни причини да се отхвърли хипотезата за избраното разпределение? Авторите отбелязват, че всякакви данни могат да бъдат коригирани към многопараметърен закон, дори и да не съответстват на реалните. физични явления. По този начин, при избора на вида на разпределението и неговите параметри, е необходимо преди всичко да се вземе предвид физическата природа на протичащите процеси и събития.

Библиография:

1. GOST R.27.001-2009. Надеждност в технологиите. неуспешни модели. – М.: Стандартинформ, 2010. – 16 с.
2. Герцбах И.Б., Кордонски Х.Б. Модели на неуспеха / изд. Б.В. Гнеденко. - М.: Съветско радио, 1966. - 166 с.
3. Гнеденко Б.В. Въпроси на математическата теория на надеждността. - М .: Радио и комуникация, 1983. – 376 стр.
4. Кащанов В.Н., Медведев А.И. Теория на надеждността на сложни системи: учебник - М.: FIZMATLIT, 2010. - 609 с.
5. Литвиненко Р.С. Симулационен модел на процеса на функциониране на електрическия комплекс, като се вземе предвид надеждността на неговите елементи // сп. "Надежност". - 2016. - № 1 (56) - С. 46–54.
6. Литвиненко Р.С., Идиятулин Р.Г., Киснеева Л.Н. Оценка на надеждността на хибридно превозно средство на етапа на разработка // Списание "Транспорт: наука, технология, управление". - 2016. - № 2 - С. 34–40.
7. Инженерство: енциклопедия от 40 тома Т. IV-3: Надеждност на машините / V.V. Клюев, В.В. Болотин, Ф.Р. Соснин и др.; под общо изд. В.В. Клюев. – М.: Машиностроение, 2003. – 592 с.
8. Труханов В.М. Надеждност на технически системи като мобилни инсталации на етапа на проектиране и тестване на прототипи: научна публикация - М.: Машиностроение, 2003. - 320 с.
9. Хазов Б.Ф., Дидусев Б.А. Ръководство за изчисляване на надеждността на машините на етап проектиране. – М.: Машиностроение, 1986. – 224 с.
10. Черкесов Г.Н. Надеждност на хардуерни и софтуерни системи: учебник. надбавка. - Санкт Петербург: Питър, 2005. - 479 с.