Интеграция - MT1205: Смятане за икономисти - Бизнес информатика. Интегриране на най-простите (елементарни) дроби Най-простата дроб от 2-ри тип има формата

Дадено е извеждането на формули за изчисляване на интеграли от най-простите, елементарни дроби от четири вида. По-сложните интеграли от дроби от четвъртия тип се изчисляват с помощта на формулата за редукция. Разглежда се пример за интегриране на дроб от четвърти тип.

Вижте също: Таблица на неопределените интеграли
Методи за изчисляване на неопределени интеграли

Както е известно, всяка рационална функция на някаква променлива x може да се разложи на полином и прости, елементарни дроби. Има четири вида прости дроби:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Тук a, A, B, b, c - реални числа. Уравнение x 2+bx+c=0няма реални корени.

Интегриране на дроби от първите два вида

Интегрирането на първите две дроби се извършва по следните формули от таблицата на интегралите:
,
, n ≠ - 1 .

1. Интегриране на дроб от първи тип

Дроб от първия тип чрез заместване t = x - a се редуцира до табличен интеграл:
.

2. Интегриране на дроб от втори тип

Част от втория тип се редуцира до табличен интеграл чрез същото заместване t \u003d x - a:

.

3. Интегриране на дроб от трети тип

Помислете за интеграла на дроб от трети тип:
.
Ще го изчислим на две стъпки.

3.1. Стъпка 1. Изберете производната на знаменателя в числителя

Избираме производната на знаменателя в числителя на дробта. Означаваме: u = x 2+bx+c. Диференцирайте: u′ = 2 x + b. Тогава
;
.
Но
.
Пропуснахме знака модул, защото .

Тогава:
,
Където
.

3.2. Стъпка 2. Изчислете интеграла с A = 0, B=1

Сега изчисляваме оставащия интеграл:
.

Привеждаме знаменателя на фракцията към сумата от квадратите:
,
Където .
Вярваме, че уравнението x 2+bx+c=0няма корени. Ето защо .

Да направим замяна
,
.
.

Така,
.

Така намерихме интеграл на дроб от трети тип:

,
Където .

4. Интегриране на дроб от четвърти тип

И накрая, разгледайте интеграла на дроб от четвърти тип:
.
Изчисляваме го в три стъпки.

4.1) Избираме производната на знаменателя в числителя:
.

4.2) Изчислете интеграла
.

4.3) Изчисляване на интеграли
,
използвайки формулата за отливка:
.

4.1. Стъпка 1. Извличане на производната на знаменателя в числителя

Избираме производната на знаменателя в числителя, както направихме в . Означаваме u = x 2+bx+c. Диференцирайте: u′ = 2 x + b. Тогава
.

.
Но
.

Накрая имаме:
.

4.2. Стъпка 2. Изчисляване на интеграла с n = 1

Изчисляваме интеграла
.
Изчисляването му е посочено в.

4.3. Стъпка 3. Извеждане на формулата за редукция

Сега разгледайте интеграла
.

Привеждаме квадратния трином към сумата от квадрати:
.
Тук .
Ние правим замяна.
.
.

Извършваме трансформации и интегриране по части.




.

Умножете по 2 (n - 1):
.
Връщаме се към x и I n.
,
;
;
.

И така, за I n получихме формулата за намаляване:
.
Прилагайки последователно тази формула, редуцираме интеграла I n до I 1 .

Пример

Изчислете интеграл

1. Избираме производната на знаменателя в числителя.
;
;


.
Тук
.

2. Изчисляваме интеграла на най-простата дроб.

.

3. Прилагаме формулата за намаляване:

за интеграла.
В нашия случай b = 1 , c = 1 , 4 c - b 2 = 3. Записваме тази формула за n = 2 и n = 3 :
;
.
Оттук

.

Накрая имаме:

.
Намираме коефициента при .
.

Материалът, представен в тази тема, се основава на информацията, представена в темата "Рационални дроби. Разлагане на рационални дроби на елементарни (прости) дроби". Горещо ви съветвам поне да прегледате тази тема, преди да продължите с четенето на този материал. Освен това ще ни трябва таблица с неопределени интеграли.

Нека ви напомня за няколко термина. Те бяха обсъдени в съответната тема, затова тук ще се огранича с кратка формулировка.

Отношението на два полинома $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ се нарича рационална функция или рационална дроб. Рационалната дроб се нарича правилноако $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется грешно.

Елементарните (най-простите) рационални дроби се наричат ​​рационални дроби четири вида:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Забележка (желателно за по-добро разбиране на текста): покажи\скрий

Защо условието $p^2-4q е необходимо?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратно уравнение$x^2+px+q=0$. Дискриминантът на това уравнение е $D=p^2-4q$. Всъщност условието $p^2-4q< 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Например за израза $x^2+5x+10$ получаваме: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Тъй като $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Между другото, за тази проверка не е необходимо коефициентът пред $x^2$ да е равен на 1. Например за $5x^2+7x-3=0$ получаваме: $D=7^2- 4\cdot 5 \cdot (-3)=109$. Тъй като $D > 0$, изразът $5x^2+7x-3$ може да бъде факторизиран.

Могат да се намерят примери за рационални дроби (правилни и неправилни), както и примери за разлагане на рационална дроб на елементарни. Тук се интересуваме само от въпросите за тяхната интеграция. Да започнем с интегрирането на елементарни дроби. И така, всеки от четирите типа на горните елементарни дроби е лесен за интегриране с помощта на формулите по-долу. Нека ви напомня, че при интегриране на дроби от тип (2) и (4) се приема $n=2,3,4,\ldots$. Формули (3) и (4) изискват условието $p^2-4q< 0$.

\begin(equation) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equation) \begin(equation) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(уравнение) \begin(уравнение) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(уравнение)

За $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ се прави замяна $t=x+\frac(p)(2)$, след което полученият интеграл е разделен на две. Първото ще бъде изчислено чрез вмъкване под знака за разлика, а второто ще изглежда като $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Този интеграл се взема с помощта на рекурентната връзка

\begin(equation) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n, \; n\in N \край (уравнение)

Изчисляването на такъв интеграл е анализирано в пример № 7 (виж третата част).

Схема за изчисляване на интеграли от рационални функции (рационални дроби):

1. Ако интегралната функция е елементарна, тогава се прилагат формули (1)-(4).
2. Ако интеграндът не е елементарен, тогава го представете като сума от елементарни дроби и след това интегрирайте, като използвате формули (1)-(4).

Горният алгоритъм за интегриране на рационални дроби има неоспоримо предимство - той е универсален. Тези. Използвайки този алгоритъм, човек може да интегрира всякаквирационална дроб. Ето защо почти всички замени на променливи в неопределения интеграл (замествания на Ойлер, Чебишев, универсална тригонометрична замяна) се извършват по такъв начин, че след тази замяна да получим рационална дроб под интервала. И приложете алгоритъма към него. Ще анализираме директното приложение на този алгоритъм, използвайки примери, след като направим малка бележка.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

По принцип този интеграл се получава лесно без механично прилагане на формулата. Ако извадим константата $7$ от интегралния знак и вземем предвид, че $dx=d(x+9)$, тогава получаваме:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

За подробна информация препоръчвам да разгледате темата. Обяснява подробно как се решават такива интеграли. Между другото, формулата се доказва чрез същите трансформации, които бяха приложени в този параграф при решаване "ръчно".

2) Отново има два начина: да приложите готова формула или да се справите без нея. Ако прилагате формулата, трябва да имате предвид, че коефициентът пред $x$ (числото 4) ще трябва да бъде премахнат. За да направим това, просто изваждаме четирите от тях в скоби:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$

Сега е време да приложите формулата:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\left(x+\frac(19)(4) \right)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Можете да направите, без да използвате формулата. И дори без да изваждаме константата $4$ извън скобите. Ако вземем предвид, че $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, тогава получаваме:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Подробни обяснения за намирането на такива интеграли са дадени в темата "Интегриране чрез заместване (въведение под знака на диференциала)" .

3) Трябва да интегрираме дробта $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Тази дроб има структурата $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, където $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. За да се уверите обаче, че това наистина е елементарна дроб от трети тип, трябва да проверите условието $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Нека решим същия пример, но без да използваме готовата формула. Нека се опитаме да изолираме производната на знаменателя в числителя. Какво означава това? Знаем, че $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Това е изразът $2x+10$, който трябва да изолираме в числителя. Засега числителят съдържа само $4x+7$ , но това не е за дълго. Приложете следната трансформация към числителя:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

Сега търсеният израз $2x+10$ се появи в числителя. И нашият интеграл може да бъде пренаписан както следва:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Нека разделим интегранта на две. Е, и съответно самият интеграл също е "разделен":

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \right)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Нека първо поговорим за първия интеграл, т.е. около $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Тъй като $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, диференциалът на знаменателя се намира в числителя на интегранта. Накратко, вместо на израза $( 2x+10)dx$ записваме $d(x^2+10x+34)$.

Сега нека кажем няколко думи за втория интеграл. Нека отделим пълния квадрат в знаменателя: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Освен това вземаме предвид $dx=d(x+5)$. Сега сумата от интегралите, получени от нас по-рано, може да бъде пренаписана в малко по-различна форма:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Ако направим промяната $u=x^2+10x+34$ в първия интеграл, тогава той ще приеме формата $\int\frac(du)(u)$ и се взема чрез просто прилагане на втората формула от . Що се отнася до втория интеграл, за него е възможна замяната $u=x+5$, след което той приема формата $\int\frac(du)(u^2+9)$. Това е най-чистата вода, единадесетата формула от таблицата на неопределените интеграли. И така, връщайки се към сумата на интегралите, ще имаме:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Получихме същия отговор, както при прилагането на формулата, което всъщност не е изненадващо. Като цяло, формулата се доказва със същите методи, които използвахме, за да намерим този интеграл. Вярвам, че един внимателен читател може да има един въпрос тук, затова ще го формулирам:

Въпрос 1

Ако приложим втората формула от таблицата на неопределените интеграли към интеграла $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, тогава получаваме следното:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Защо модулът липсваше в решението?

Отговор на въпрос №1

Въпросът е напълно легитимен. Модулът отсъства само защото изразът $x^2+10x+34$ за всеки $x\in R$ е по-голям от нула. Това е доста лесно да се покаже по няколко начина. Например, тъй като $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ и $(x+5)^2 ≥ 0$, тогава $(x+5)^2+9 > 0$ . Възможно е да се прецени по различен начин, без да се включва избор на пълен квадрат. Тъй като $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ за всеки $x\in R$ (ако тази логическа верига е изненадваща, съветвам ви да погледнете графичния метод за решаване на квадратни неравенства). Във всеки случай, тъй като $x^2+10x+34 > 0$, тогава $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, т.е. можете да използвате нормални скоби вместо модул.

Всички точки от пример № 1 са решени, остава само да запишете отговора.

Отговор:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.

Пример #2

Намерете интеграла $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

На пръв поглед интеграндът $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ е много подобен на елементарна дроб от трети тип, т.е. до $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Изглежда, че единствената разлика е коефициентът $3$ пред $x^2$, но премахването на коефициента (извън скоби) няма да отнеме много време. Тази прилика обаче е очевидна. За дробта $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ условието $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Нашият коефициент пред $x^2$ не е равен на единица, така че проверете условието $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, така че изразът $3x^2-5x-2$ може да бъде факторизиран. А това означава, че дробта $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ не е елементарна дроб от трети тип и се прилага към интеграла $\int\frac(7x+12)( Формулата 3x^2- 5x-2)dx$ не е разрешена.

Е, ако дадената рационална дроб не е елементарна, тогава тя трябва да бъде представена като сбор от елементарни дроби и след това да се интегрира. Накратко, пътеката се възползва от . Как да разложим рационална дроб на елементарни е написано подробно. Нека започнем с разлагане на знаменателя на множители:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \ \end(aligned)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\наляво(x+\frac(1)(3)\надясно)(x-2). $$

Представяме подвътрешната фракция в следната форма:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Сега нека разгънем дробта $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ в елементарни:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+ \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\вдясно). $$

За намиране на коефициентите $A$ и $B$ има два стандартни начина: методът на неопределените коефициенти и методът на заместването на частични стойности. Нека приложим метода за заместване на частична стойност, като заместим $x=2$ и след това $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\right); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Тъй като коефициентите са намерени, остава само да запишем готовото разширение:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

По принцип можете да оставите този запис, но аз харесвам по-точна версия:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Връщайки се към първоначалния интеграл, ние заместваме полученото разширение в него. След това разделяме интеграла на две и прилагаме формулата към всяка. Предпочитам веднага да извадя константите извън интегралния знак:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Отговор: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Пример #3

Намерете интеграла $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Трябва да интегрираме дробта $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Числителят е полином от втора степен, а знаменателят е полином от трета степен. Тъй като степента на полинома в числителя е по-малка от степента на полинома в знаменателя, т.е. $2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Просто трябва да разделим дадения интеграл на три и да приложим формулата към всеки. Предпочитам веднага да извадя константите извън интегралния знак:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Отговор: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Продължение на анализа на примери по тази тема се намира във втората част.

Дробта се нарича правилноако най-голямата степен на числителя е по-малка от най-голямата степен на знаменателя. Интегралът на правилна рационална дроб има формата:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Формулата за интегриране на рационални дроби зависи от корените на многочлена в знаменателя. Ако полиномът $ ax^2+bx+c $ има:

1. само сложни корени, тогава е необходимо да изберете пълен квадрат от него: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^2 \pm a^2) $$
2. Различни реални корени $ x_1 $ и $ x_2 $, тогава трябва да разширите интеграла и да намерите неопределените коефициенти $ A $ и $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. Един множествен корен $ x_1 $, след което разширяваме интеграла и намираме неопределените коефициенти $ A $ и $ B $ за тази формула: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Ако дробта е грешно, тоест най-високата степен в числителя е по-голяма или равна на най-високата степен на знаменателя, тогава първо трябва да се намали до правилноум, като разделите полинома от числителя на полинома от знаменателя. В този случай формулата за интегриране на рационална дроб е:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Примери за решения

Както ще видим по-долу, не всяка елементарна функция има интеграл, изразен в елементарни функции. Ето защо е много важно да се отделят такива класове функции, чиито интеграли се изразяват чрез елементарни функции. Най-простият от тези класове е класът на рационалните функции.

Всяка рационална функция може да бъде представена като рационална дроб, тоест като отношение на два полинома:

Без да ограничаваме общността на аргумента, ще приемем, че полиномите нямат общи корени.

Ако числителят е под степента на знаменателя, тогава дробта се нарича правилна, в противен случай дробта се нарича неправилна.

Ако дробта е неправилна, тогава като разделите числителя на знаменателя (според правилото за разделяне на полиноми), можете да представите тази дроб като сума от полином и някаква редовна дроб:

тук е полином и е правилна дроб.

Пример t. Нека е дадена неправилна рационална дроб

Разделяйки числителя на знаменателя (според правилото за разделяне на полиноми), получаваме

Тъй като интегрирането на полиноми не е трудно, основната трудност при интегрирането на рационални дроби е интегрирането на правилни рационални дроби.

Определение. Правилни рационални дроби на формата

се наричат ​​най-простите дроби от типове I, II, III и IV.

Интегрирането на най-простите дроби от типове I, II и III не е много трудно, така че ще ги интегрираме без никакви допълнителни обяснения:

По-сложните изчисления изискват интегрирането на най-простите дроби от тип IV. Нека ни е даден интеграл от този тип:

Нека направим трансформации:

Първият интеграл се взема чрез заместване

Вторият интеграл - означаваме го с и го записваме във формата

по предположение, корените на знаменателя са сложни и следователно, След това продължаваме по следния начин:

Нека трансформираме интеграла:

Интегрирайки по части, имаме

Замествайки този израз в равенство (1), получаваме

Дясната страна съдържа интеграл от същия тип като показателя на знаменателя интегрантедин по-долу; по този начин, ние изразихме по отношение на . Продължавайки по същия път, стигаме до добре познатия интеграл.

Преди да продължите с интегрирането на прости дроби, за да намерите неопределения интеграл на дробно рационална функция, се препоръчва да опресните паметта на раздела „Разлагане на дроб на най-прости“.

Пример 1

Да намерим неопределен интеграл∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x .

Решение

Избираме цялата част, като разделяме колоната на полинома на полинома, като вземем предвид факта, че степента на числителя на интегранта е равна на степента на знаменателя:

Така че 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x . Получихме правилна рационална дроб - 2 x + 3 x 3 + x, която сега разгръщаме в прости дроби - 2 x + 3 x 3 + x \u003d 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1. следователно

∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = ∫ 2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 log x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x

Получихме интеграл от най-простата дроб от трети вид. Можете да го вземете, като го поставите под знака на диференциала.

Тъй като d x 2 + 1 = 2 x d x , тогава 3 x d x = 3 2 d x 2 + 1 . Ето защо
∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 3 x x 2 + 1 d x + ∫ 2 x 2 + 1 = 3 2 ∫ d x 2 + 1 x 2 + 1 + 2 ∫ d x x 2 + 1 = 3 2 ln x 2 + 1 + 2 a r c t g x + C 1

следователно
∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = 2 x + 3 ln x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 ln x - 3 2 ln x 2 + 1 - 2 a r c tan x + C , където C \u003d - C 1

Нека опишем методите за интегриране на най-простите дроби от всеки от четирите типа.

Интегриране на най-простите дроби от първи тип A x - a

Използваме метода на директна интеграция, за да разрешим този проблем:

∫ A x - a d x = A ∫ d x x - a = A ln x - a + C

Пример 2

Намерете комплект антипроизводни функции y = 3 2 x - 1 .

Решение

Използвайки правилото за интегриране, свойствата на първоизводната и таблицата с първоизводните, намираме неопределения интеграл ∫ 3 d x 2 x - 1: ∫ f k x + b d x = 1 k F k x + b + C

∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 ∫ d x 2 x - 1 2 = 3 2 ∫ d x x - 1 2 = 3 2 ln x - 1 2 + C

Отговор: ∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 2 ln x - 1 2 + C

Интегриране на прости дроби от втори вид A x - a n

Тук също прилагаме метода на директното интегриране: ∫ A x - a n d x = A ∫ x - a - n d x = A - n + 1 x - a - n + 1 + C = A 1 - n x - a n - 1 + C

Пример 3

Необходимо е да се намери неопределеният интеграл ∫ d x 2 x - 3 7 .

Решение

∫ d x 2 x - 3 7 = ∫ d x 2 x - 3 2 7 = 1 2 7 ∫ x - 3 2 - 7 d x = = 1 2 7 1 - 7 + 1 x - 3 2 - 7 + 1 + C = 1 2 7 - 6 x - 3 2 6 + C = = 1 2 - 6 2 6 x - 3 2 6 + C = - 1 12 1 2 x - 3 6 + C

Отговор:∫ d x 2 x - 3 7 = - 1 12 1 2 x - 3 6 + C

Интегриране на прости дроби от трети тип M x + N x 2 + p x + q , D = p 2 - 4 q< 0

Като първа стъпка представяме неопределения интеграл ∫ M x + N x 2 + p x + q като сума:

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q

За да вземем първия интеграл, използваме метода на подреждане под диференциалния знак:

∫ M x x 2 + p x + q d x = d x 2 + p x + q = 2 x + p d x = 2 x d x + p d x ⇒ 2 x d x = d x 2 + p x + q - p d x ⇒ M x d x = M 2 d x 2 + p x + q - p M 2 d x = = ∫ M 2 d x 2 + p x + q - p M 2 d x x 2 + p x + q = = M 2 ∫ d x 2 + p x + q x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 log x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

Ето защо,
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

Получихме интеграла ∫ d x x 2 + p x + q . Нека трансформираме знаменателя му:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = 2 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

следователно

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 2 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

Формулата за интегриране на най-простите дроби от третия тип приема формата:
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C

Пример 4

Необходимо е да се намери неопределеният интеграл ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x .

Решение

Нека приложим формулата:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = M = 2, N = 1, p = 2, q = 10 = = 1 3 2 2 ln x 2 + 2 x + 10 + 2 1 - 2 2 4 10 - 2 2 a r c t g 2 x + 2 2 4 10 - 2 2 + C = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Второто решение изглежда така:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = d (x 2 + 2 x + 10 = (2 x + 2) d x = = 1 3 ∫ 2 x + 2 - 1 x 2 + 2 x + 10 d x = 1 3 ∫ d (x 2 + 2 x + 10) x 2 + 2 x + 10 = 1 3 ∫ d x x 2 + 2 x + 10 = \u003d r a n d e n t a n d a n t = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 3 ∫ d (x) x + 1 2 + 9 = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Отговор: ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Интегриране на най-простите дроби от четвъртия тип M x + N (x 2 + p x + q) n , D = p 2 - 4 q< 0

Първо, извършваме сумиране под знака на диференциала:

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = d (x 2 + p x + q) = (2 x + p) d x = = M 2 ∫ d (x 2 + p x + q) (x 2 + p x + q ) n + N - p M 2 ∫ d x (x 2 + p x + q) n = = M 2 (- n + 1) 1 (x 2 + p x + q) n - 1 + N - p M 2 ∫ d x ( x 2 + p x + q) n

След това намираме интеграл от формата J n = ∫ d x (x 2 + p x + q) n, използвайки рекурентни формули. Информация за повтарящи се формули можете да намерите в темата "Интегриране с помощта на повтарящи се формули".

За да разрешим нашия проблем, повтаряща се формула от формата J n = 2 x + p (n - 1) (4 q - p 2) (x 2 + p x + q) n - 1 + 2 n - 3 n - 1 2 4 q - p 2 · J n - 1 .

Пример 5

Необходимо е да се намери неопределеният интеграл ∫ d x x 5 x 2 - 1 .

Решение

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x

Ще използваме метода на заместване за този тип интегранд. Нека въведем нова променлива x 2 - 1 = z 2 x = (z 2 + 1) 1 2 d x = z (z 2 + 1) - 1 2 d x

Получаваме:

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x = = ∫ (z 2 + 1) - 5 2 z - 1 z (z 2 + 1) - 1 2 d z = ∫ d z (z 2 + 1) 3

Стигнахме до намирането на интеграла на дроб от четвърти вид. В нашия случай имаме коефициентите M=0, p=0, q=1, N=1и n=3. Прилагаме рекурсивната формула:

J 3 \u003d ∫ d z (z 2 + 1) 3 \u003d 2 z + 0 (3 - 1) (4 1 - 0) z 2 + 1 3 - 1 + 2 3 - 3 3 - 1 2 4 1 - 0 ∫ d z (z 2 + 1) 2 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 4 2 z (2 - 1) (4 1 - 0) (z 2 + 1) 2 - 1 + 2 2 - 3 2 - 11 2 4 1 - 0 ∫ d z z 2 + 1 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 8 z z 2 + 1 + 3 8 a r c t g (z) +C

След обратното заместване z = x 2 - 1 получаваме резултата:
∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

Отговор:∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter