Фигурата показва първоизводната на функцията

Показване на връзката на знака на производната с характера на монотонността на функцията.

Моля, бъдете изключително внимателни в следното. Вижте, графикът на КАКВО ви се дава! Функция или нейна производна

Дадена е графика на производната, тогава се интересуваме само от функционални знаци и нули. Никакви "хълмове" и "хралупи" не ни интересуват по принцип!

Задача 1.

Фигурата показва графика на функция, дефинирана на интервал. Определете броя на целочислените точки, където производната на функцията е отрицателна.

Решение:

На фигурата зоните с намаляваща функция са маркирани с цвят:

4 цели числа попадат в тези области на намаляваща функция.

Задача 2.

Фигурата показва графика на функция, дефинирана на интервал. Намерете броя на точките, в които допирателната към графиката на функцията е успоредна или съвпада с правата.

Решение:

Тъй като допирателната към графиката на функцията е успоредна (или съвпада) с права линия (или, което е същото, ), имаща наклон, равно на нула, то тангентата има наклон .

Това от своя страна означава, че допирателната е успоредна на оста, тъй като наклонът е тангентата на ъгъла на наклон на допирателната към оста.

Следователно намираме екстремни точки на графиката (максимални и минимални точки), - именно в тях функциите, допирателни към графиката, ще бъдат успоредни на оста.

Има 4 такива точки.

Задача 3.

Фигурата показва графика на производната на функция, дефинирана на интервала. Намерете броя на точките, в които допирателната към графиката на функцията е успоредна или съвпада с правата.

Решение:

Тъй като допирателната към графиката на функцията е успоредна (или съвпада) с права линия, която има наклон, то допирателната има наклон.

Това от своя страна означава, че в точките на контакт.

Затова разглеждаме колко точки на графиката имат ордината, равна на .

Както можете да видите, има четири такива точки.

Задача 4.

Фигурата показва графика на функция, дефинирана на интервал. Намерете броя на точките, където производната на функцията е 0.

Решение:

Производната е нула в точките на екстремума. Имаме 4 от тях:

Задача 5.

Фигурата показва функционална графика и единадесет точки по оста x:. В колко от тези точки производната на функцията е отрицателна?

Решение:

На интервали на намаляваща функция нейната производна приема отрицателни стойности. И функцията намалява в точки. Има 4 такива точки.

Задача 6.

Фигурата показва графика на функция, дефинирана на интервал. Намерете сумата от точките на екстремум на функцията.

Решение:

екстремни точкиса максималните точки (-3, -1, 1) и минималните точки (-2, 0, 3).

Сумата от крайните точки: -3-1+1-2+0+3=-2.

Задача 7.

Фигурата показва графика на производната на функция, дефинирана на интервала. Намерете интервалите на нарастваща функция. В отговора си посочете сумата от целите точки, включени в тези интервали.

Решение:

Фигурата подчертава интервалите, на които производната на функцията е неотрицателна.

На малкия интервал на нарастване няма цели точки, на интервала на нарастване има четири цели числа: , , и .

Тяхната сума:

Задача 8.

Фигурата показва графика на производната на функция, дефинирана на интервала. Намерете интервалите на нарастваща функция. В отговора си запишете дължината на най-големия от тях.

Решение:

На фигурата са подчертани всички интервали, на които производната е положителна, което означава, че самата функция нараства на тези интервали.

Дължината на най-големия от тях е 6.

Задача 9.

Фигурата показва графика на производната на функция, дефинирана на интервала. В коя точка от сегмента приема най-голяма стойност.

Решение:

Разглеждаме как се държи графиката на сегмента, а именно, който ни интересува само производен знак .

Знакът на производната върху е минус, тъй като графиката на този сегмент е под оста.

Отговор:

Задача #: 323383. Прототип №:
Фигурата показва графика на някаква функция \(y=f(x)\). Функция \(F(x)=-\frac(4)(9)x^3-\frac(34)(3)x^2-\frac(280)(3)x-\frac(18)(5 )\) е една от първоизводните на функцията \(f(x)\). Намерете площта на защрихованата фигура.

Отговор:

Задача #: 323385. Прототип №:
Фигурата показва графика на някаква функция \(y=f(x)\). Функцията \(F(x)=-\frac(1)(6)x^3-\frac(17)(4)x^2-35x-\frac(5)(11)\) е една от първоизводни на функцията \(f(x)\). Намерете площта на защрихованата фигура.

Отговор:

Задача #: 323387. Прототип №:
Фигурата показва графика на някаква функция \(y=f(x)\). Функцията \(F(x)=-\frac(1)(5)x^3-\frac(9)(2)x^2-30x-\frac(11)(8)\) е една от първоизводни на функцията \(f(x)\). Намерете площта на защрихованата фигура.

Отговор:

Задача #: 323389. Прототип №:
Фигурата показва графика на някаква функция \(y=f(x)\). Функция \(F(x)=-\frac(11)(30)x^3-\frac(33)(4)x^2-\frac(297)(5)x-\frac(1)(2 )\) е една от първоизводните на функцията \(f(x)\). Намерете площта на защрихованата фигура.

Отговор:

Задача #: 323391. Прототип №:
Фигурата показва графика на някаква функция \(y=f(x)\). Функцията \(F(x)=-\frac(7)(27)x^3-\frac(35)(6)x^2-42x-\frac(7)(4)\) е една от първоизводни на функцията \(f(x)\). Намерете площта на защрихованата фигура.

Отговор:

Задача #: 323393. Прототип №:
Фигурата показва графика на някаква функция \(y=f(x)\). Функция \(F(x)=-\frac(1)(4)x^3-\frac(21)(4)x^2-\frac(135)(4)x-\frac(13)(2 )\) е една от първоизводните на функцията \(f(x)\). Намерете площта на защрихованата фигура.

Отговор:

Задача #: 323395. Прототип №:
Фигурата показва графика на някаква функция \(y=f(x)\). Функцията \(F(x)=-x^3-21x^2-144x-\frac(11)(4)\) е една от първоизводните на функцията \(f(x)\). Намерете площта на защрихованата фигура.

Отговор:

Задача #: 323397. Прототип №:
Фигурата показва графика на някаква функция \(y=f(x)\). Функцията \(F(x)=-\frac(5)(8)x^3-\frac(105)(8)x^2-90x-\frac(1)(2)\) е една от първоизводни на функцията \(f(x)\). Намерете площта на защрихованата фигура.

Отговор:

Задача #: 323399. Прототип №:
Фигурата показва графика на някаква функция \(y=f(x)\). Функция \(F(x)=-\frac(1)(10)x^3-\frac(21)(10)x^2-\frac(72)(5)x-\frac(4)(3 )\) е една от първоизводните на функцията \(f(x)\). Намерете площта на защрихованата фигура.

Отговор:

Отидете на страница: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47, 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 8 7 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 1 27, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 1 76 1 77 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195, 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 2 25 226 2 27 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 2 74 275 276 2 77 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293, 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 3 23 324 325 326 3 27 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 3 72 373 374 375 376 3 77 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391, 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412

Здравейте приятели! В тази статия ще разгледаме задачи за примитивните. Тези задачи са включени в изпита по математика. Въпреки факта, че самите раздели - диференциация и интеграция са доста обемни в курса по алгебра и изискват отговорен подход към разбирането, самите задачи, които са включени в отворената банка от задачи по математика и ще бъдат на изпита, са изключително прости и се решават в една или две стъпки.

Важно е да се разбере същността на първоизводната и по-специално геометричния смисъл на интеграла. Разгледайте накратко теоретичните основи.

Геометричният смисъл на интеграла

Накратко за интеграла можем да кажем следното: интегралът е площта.

Определение: Нека графиката на положителната функция f, дадена на интервала, е дадена на координатната равнина. подзаговор (или криволинеен трапец) е фигура, ограничена от графиката на функцията f, правите x \u003d a и x \u003d b и оста x.

Определение: Нека е дадена положителна функция f, дефинирана на краен интервал. Интегралът на функция f върху сегмент е площта на нейния подграф.

Както вече споменахме, F (x) = f (x).Какво можем да заключим?

Той е прост. Трябва да определим колко точки има на тази графика, в които F′(x) = 0. Знаем, че в тези точки, където допирателната към графиката на функцията е успоредна на оста x. Нека покажем тези точки на интервала [–2;4]:

Това са точките на екстремум на дадената функция F(x). Те са десет.

Отговор: 10

323078. Фигурата показва графика на някаква функция y = f (x) (два лъча с обща начална точка). Като използвате фигурата, изчислете F(8) – F(2), където F(x) е една от първоизводните на f(x).

Нека пренапишем теоремата на Нютон-Лайбниц:Нека f е дадена функция, F нейната произволна първоизводна. Тогава

И това, както вече споменахме, е областта на подграфа на функцията.

По този начин задачата се свежда до намиране на площта на трапеца (интервал от 2 до 8):

Не е трудно да го изчислите по клетки. Получаваме 7. Знакът е положителен, тъй като фигурата е разположена над оста x (или в положителната полуравнина на оста y).

Дори в този случай може да се каже следното: разликата в стойностите на антипроизводните в точките е площта на фигурата.

Отговор: 7

323079. Фигурата показва графика на някаква функция y = f (x). Функцията F (x) \u003d x 3 +30x 2 +302x–1,875 е една от първоизводните на функцията y \u003d f (x). Намерете площта на защрихованата фигура.

Както вече беше споменато за геометричен смисълинтеграл, това е площта на фигурата, ограничена от графиката на функцията f (x), правите линии x \u003d a и x \u003d b и оста ox.

Теорема (Нютон–Лайбниц):

Така проблемът се свежда до пресмятане определен интегрална тази функция в интервала от -11 до -9, или с други думи, трябва да намерим разликата между стойностите на антипроизводните, изчислени в посочените точки:

Отговор: 6

323080. Фигурата показва графика на някаква функция y = f (x).

Функцията F (x) = –x 3 –27x 2 –240x– 8 е една от първоизводните на функцията f (x). Намерете площта на защрихованата фигура.

Теорема (Нютон–Лайбниц):

Задачата се свежда до изчисляване на определения интеграл на тази функция в интервала от –10 до –8:

Отговор: 4

Друго решение на този проблем, от сайта.

Производните и правилата за диференциация все още са в сила. Познаването им е необходимо не само за решаване на подобни задачи.

Можете също така да разгледате помощната информация на сайта и.

Вижте кратко видео, това е откъс от филма "The Blind Side". Можем да кажем, че това е филм за проучвания, за милост, за значението на уж „случайните“ срещи в живота ни ... Но тези думи няма да са достатъчни, препоръчвам да гледате самия филм, силно го препоръчвам.

Пожелавам ти успех!

С уважение, Александър Крутицких

P.S: Ще бъда благодарен, ако разкажете за сайта в социалните мрежи.

Тип работа: 7
Тема: Първопроизводна на функция

Състояние

Фигурата показва графика на функцията y=f(x) (която е начупена линия, съставена от три прави сегмента). Като използвате фигурата, изчислете F(9)-F(5), където F(x) е една от първоизводните на f(x).

Решение

Според формулата на Нютон-Лайбниц разликата F(9)-F(5), където F(x) е една от първоизводните на функцията f(x), е равна на площта на криволинейния трапец, ограничен по графиката на функцията y=f(x), прави y=0 , x=9 и x=5. Според графиката определяме, че посоченият криволинеен трапец е трапец с основи равни на 4 и 3 и височина 3.

Площта му е равна на \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Отговор

Тип работа: 7
Тема: Първопроизводна на функция

Състояние

Фигурата показва графика на функцията y=F(x) — една от първообразните на някаква функция f(x), дефинирана на интервала (-5; 5). Като използвате фигурата, определете броя на решенията на уравнението f(x)=0 на интервала [-3; 4].

Решение

Според дефиницията на антипроизводната, равенството е в сила: F "(x) = f (x). Следователно уравнението f (x) = 0 може да бъде записано като F "(x) = 0. Тъй като фигурата показва графиката на функцията y=F(x), трябва да намерим тези интервални точки [-3; 4], в която производната на функцията F(x) е равна на нула. От фигурата се вижда, че това ще бъдат абсцисите на крайните точки (максимум или минимум) на графиката F(x). Те са точно 7 на посочения интервал (четири минимални точки и три максимални точки).

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за матура-2017г. Ниво на профил". Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип работа: 7
Тема: Първопроизводна на функция

Състояние

Фигурата показва графика на функцията y=f(x) (която е начупена линия, съставена от три прави сегмента). Като използвате фигурата, изчислете F(5)-F(0), където F(x) е една от първоизводните на f(x).

Решение

Според формулата на Нютон-Лайбниц разликата F(5)-F(0), където F(x) е една от първоизводните на функцията f(x), е равна на площта на криволинейния трапец, ограничен по графиката на функцията y=f(x), прави y=0 , x=5 и x=0. Според графиката определяме, че посоченият криволинеен трапец е трапец с основи равни на 5 и 3 и височина 3.

Площта му е равна на \frac(5+3)(2)\cdot 3=12.

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за матура-2017г. ниво на профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип работа: 7
Тема: Първопроизводна на функция

Състояние

На фигурата е показана графика на функцията y=F(x) — една от първообразните на някаква функция f(x), дефинирана на интервала (-5; 4). Като използвате фигурата, определете броя на решенията на уравнението f (x) = 0 на сегмента (-3; 3].

Решение

Според дефиницията на антипроизводната, равенството е в сила: F "(x) = f (x). Следователно уравнението f (x) = 0 може да бъде записано като F "(x) = 0. Тъй като фигурата показва графиката на функцията y=F(x), трябва да намерим тези интервални точки [-3; 3], в която производната на функцията F(x) е равна на нула.

От фигурата се вижда, че това ще бъдат абсцисите на крайните точки (максимум или минимум) на графиката F(x). Те са точно 5 на посочения интервал (две минимални точки и три максимални точки).

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за матура-2017г. ниво на профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип работа: 7
Тема: Първопроизводна на функция

Състояние

Фигурата показва графика на някаква функция y=f(x). Функцията F(x)=-x^3+4.5x^2-7 е една от първоизводните на функцията f(x).

Намерете площта на защрихованата фигура.

Решение

Защрихованата фигура е криволинеен трапец, ограничен отгоре от графиката на функцията y=f(x), правите линии y=0, x=1 и x=3. Според формулата на Нютон-Лайбниц неговата площ S е равна на разликата F(3)-F(1), където F(x) е първоизводната на функцията f(x), посочена в условието. Ето защо S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

Отговор

Източник: „Математика. Подготовка за матура-2017г. ниво на профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.

Тип работа: 7
Тема: Първопроизводна на функция

Състояние

Фигурата показва графика на някаква функция y=f(x). Функцията F(x)=x^3+6x^2+13x-5 е една от първоизводните на функцията f(x). Намерете площта на защрихованата фигура.