Көрсеткіштік және логарифмдік өрнектердің бірдей түрлендірулері. Логарифмдік өрнектер. мысалдар! Логарифмдік өрнектердің бірдей түрлендірулері 8-нұсқа

1-мысал . Есептеу:

Әрбір өрнектің жанында ұсынылған тапсырмалар болуы мүмкін циклдерде сәйкестік бар. Мұндай тапсырмалардың мақсаты – жазбалардың ерекшеліктерін, оның ішінде жаңа амалдар мен функциялардың таңбаларын меңгеру және математикалық сөйлеу дағдыларын дамыту.

Элементар функциялармен байланысты сәйкестендіру түрлендірулерін қолданудың маңызды бөлігі иррационал және трансценденттік теңдеулерді шешуге келеді. Тұлғаларды ассимиляциялауға байланысты циклдер тек көпшілігін қамтиды қарапайым теңдеулер, бірақ қазірдің өзінде мұндай теңдеулерді шешу әдісін меңгеру бойынша жұмысты орындаған жөн: оны белгісізді ауыстыру арқылы азайту алгебралық теңдеу.

Бұл шешім үшін қадамдар тізбегі келесідей:

а) функцияны табыңыз

, ол үшін бұл теңдеуді келесідей көрсетуге болады;

б) алмастыру

және теңдеуді шешу;

в) теңдеулердің әрқайсысын шешу

, мұндағы - теңдеудің түбірлерінің жиыны.

Сипатталған әдісті пайдаланған кезде b) қадамы көбіне үшін белгісін енгізбей жанама түрде орындалады

. Сонымен қатар, студенттер көбінесе жауап табуға әкелетін әртүрлі жолдардың ішінен алгебралық теңдеуге тезірек және оңай әкелетінін таңдайды.

2-мысал . теңдеуді шеш

Бірінші жол:

Екінші жол:

Мұнда а) қадамы бірінші әдісте екіншісіне қарағанда қиынырақ екенін көруге болады. Бірінші әдіс - «бастау қиын», бірақ шешімнің одан әрі барысы әлдеқайда оңай. Екінші жағынан, екінші әдістің артықшылықтары бар, олар алгебралық теңдеуге келтіруді үйретуде жеңілірек, күрделірек.

Үшін мектеп курсыалгебралық есептер типтік болып табылады, оларда алгебралық теңдеуге көшу осы мысалға қарағанда оңайырақ. Мұндай тапсырмалардың негізгі ауыртпалығы зерттелетін элементар функцияның қасиеттерін пайдаланумен байланысты шешім процесінің дербес бөлігі ретінде c) қадамын таңдауға қатысты.

3-мысал . Теңдеуді шеш:

; б)

Бұл теңдеулер теңдеулерге келтіріледі: a)

немесе ; б) немесе. Бұл теңдеулерді шешу тек қарапайым фактілерді білуді талап етеді көрсеткіштік функция: оның монотондылығы, мәндер ауқымы. Алдыңғы мысал сияқты, a) және b) теңдеулерін квадраттық көрсеткіштік теңдеулерді шешуге арналған жаттығулар циклінің бірінші тобына жатқызуға болады.

Осылайша, біз экспоненциалды функцияны қоса алғанда, трансценденттік теңдеулерді шешуге байланысты циклдардағы тапсырмалардың жіктелуіне келеміз:

1) түрдегі теңдеулерге келтірілетін теңдеулер

және қарапайым, жалпы жауабы бар: ;

2) теңдеулерге келтіретін теңдеулер

, мұндағы бүтін сан, немесе , мұндағы;

3) теңдеулерге келтіретін теңдеулер

және санның жазылу формасын нақты талдауды талап етеді .

Ұқсас тапсырмаларды басқа элементарлық функциялар үшін жіктеуге болады.

Оларда алгебра және алгебра курстарында оқытылатын сәйкестіктердің едәуір бөлігі және талдаудың бастаулары дәлелденген немесе кем дегенде түсіндіріледі. Тұлғаларды зерттеудің бұл жағы бар үлкен мәнекі курс үшін де, өйткені олардағы демонстративті ой-пікірлер сәйкестіктерге қатысты барынша айқындықпен және қатаңдықпен жүзеге асырылады. Бұл материалдан тыс дәлелдемелер әдетте аз толық емес, ол әрқашан қолданылатын негіздеу құралдарының құрамынан ерекшеленбейді.

Арифметикалық амалдардың қасиеттері сәйкестендіру дәлелдері салынған тірек ретінде пайдаланылады.

Есептер мен бірдей түрлендірулердің тәрбиелік ықпалы, егер оқушылардан есептер мен бірдей түрлендірулерді негіздеу жүйелі түрде талап етілсе, функционалдық ойлауды дамытуға, оған әртүрлі тәсілдермен қол жеткізілсе, логикалық ойлауды дамытуға бағытталуы мүмкін. Ерік-жігерді, есте сақтауды, тапқырлықты, өзін-өзі бақылауды, шығармашылық бастаманы дамытуда есептеулер мен бірдей түрлендірулердің маңыздылығы айқын.

Күнделікті, өндірістік есептеу тәжірибесіне сұраныстар студенттерде ұтымды есептеулер мен бірдей түрлендірулердің күшті, автоматтандырылған дағдыларын қалыптастыруды талап етеді. Бұл дағдылар кез келген есептеу жұмысы процесінде қалыптасады, бірақ жылдам есептеулер мен түрлендірулер үшін арнайы жаттығулар қажет.

Сонымен, егер сабақ негізгі логарифмдік сәйкестікті пайдаланып логарифмдік теңдеулерді шешуді қарастырса

, онда өрнектердің мәндерін жеңілдету немесе есептеу үшін сабақ жоспарына ауызша жаттығуларды қосу пайдалы: , ,

. Жаттығулардың мақсаты әрқашан оқушыларға жеткізіледі. Жаттығу кезінде студенттерден жеке түрлендірулерді, әрекеттерді негіздеуді немесе бұл жоспарланбаған болса да, бүкіл мәселені шешуді талап ету қажет болуы мүмкін. Мүмкіндігінше әртүрлі жолдарМәселені шешу кезінде үнемі сұрақтар қойған жөн: «Мәселе қалай шешілді?», «Мәселені басқа жолмен кім шешті?»

Сәйкестік және бірдей түрлендіру ұғымдары VI сынып алгебра курсында нақты енгізілген. Бірдей өрнектердің анықтамасын іс жүзінде екі өрнектің сәйкестігін дәлелдеу үшін және бірдей түрлендірулердің мәні өрнекте көрсетілген әрекеттердің анықтамалары мен қасиеттерін өрнекке қолдану немесе оған 0-ге бірдей тең өрнекті қосу немесе оны i-ге тең бір өрнекке көбейту екенін түсіну үшін іс жүзінде қолданыла алмайды. Бірақ, тіпті осы ережелерді меңгергенімен, студенттер көбінесе бұл түрлендірулер бастапқы және нәтижелі өрнектердің бірдей екенін растауға мүмкіндік беретінін түсінбейді, яғни. айнымалы мәндердің кез келген жүйелері (жиындары) үшін бірдей мәндерді алыңыз.

Бірдей түрлендірулердің мұндай тұжырымдары сәйкес әрекеттердің анықтамалары мен қасиеттерінің салдары екенін студенттердің жақсы түсінуін қамтамасыз ету де маңызды.

6-сыныпта өткен жылдары жинақталған ұқсас қайта құрулар аппараты кеңейтілуде. Бұл кеңейту бірдей базасы бар күштер туындысының қасиетін білдіретін сәйкестендіруді енгізуден басталады:

дәрежесі туралы түсінік рационалды көрсеткіш. Иррационал теңдеулерді шешу. Көрсеткіштік функция, оның қасиеттері және графигі. көрсеткіштік өрнектердің бірдей түрлендірулері. Көрсеткіштік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу. Санның логарифмі. Логарифмдердің негізгі қасиеттері. Логарифмдік функция, оның қасиеттері және графигі. Логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу. Көрсеткіштік функцияның туындысы. Сан және натурал логарифм. Дәрежелік функцияның туындысы.

Көрсеткіштік және логарифмдік функцияларды зерттеу бөлімінің негізгі мақсаты студенттерді дәрежелік, логарифмдік және дәрежелік функциялармен таныстыру; оқушыларды көрсеткіштік және логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуге үйрету.

ші дәрежелі түбір және рационал көрсеткішті дәреже ұғымдары квадрат түбір және бүтін дәрежелі дәреже ұғымдарының жалпылауы болып табылады. Мұнда қарастырылатын рационал көрсеткішті түбірлер мен дәрежелердің қасиеттері бұрын зерттелген қасиеттерге ұқсас екеніне студенттер назар аударуы керек. шаршы түбірлержәне бүтін дәрежелі дәрежелер. Дәрежелердің қасиеттерін өңдеуге және бірдей түрлендіру дағдыларын қалыптастыруға жеткілікті уақыт бөлу керек. Иррационал көрсеткішті дәреже ұғымы көрнекі-интуитивтік негізде енгізіледі. Бұл материал көмекші рөл атқарады және экспоненциалды функцияны енгізу кезінде қолданылады.

Көрсеткіштік, логарифмдік және дәрежелі функциялардың қасиеттерін зерттеу функцияларды зерттеудің қабылданған жалпы схемасына сәйкес құрастырылған. Бұл жағдайда параметр мәндеріне байланысты қасиеттердің шолуы беріледі. Көрсеткіштік және логарифмдік теңсіздіктер функциялардың зерттелген қасиеттеріне сүйене отырып шешіледі.

Жаңа материалды оқу кезінде де, жалпылаушы қайталауды өткізу кезінде де жүзеге асырылатын студенттердің білімдерін жүйелеу және жалпылау, алгебра курсында алған дағдылары мен дағдыларын бекіту және дамыту курстың өзіне тән ерекшелігі болып табылады.

11 «б» СЫНЫБЫНДА АЛГЕБРА ПӘНІНЕН АШЫҚ САБАҚ

САБАҚТЫҢ ТАҚЫРЫБЫ

« өрнекті түрлендіру,

ҚҰРАМЫНДА ЛОГАРИФМДАР бар»

Сабақтың мақсаттары:

санның логарифмінің анықтамасын, негізгі логарифмдік сәйкестікті қайталау;

логарифмдердің негізгі қасиеттерін бекіту;

күшейту практикалық бағытҰБТ-ға сапалы дайындық үшін бұл тақырып;

материалдың берік ассимиляциясына ықпал ету;

оқушылардың өзін-өзі бақылау дағдыларын дамытуға ықпал ету.

Сабақтың түрі: интерактивті тестті қолданумен біріктірілген.

Құрал-жабдықтар: проектор, экран, тапсырмалар жазылған плакаттар, жауап парағы.

Сабақ жоспары:

Ұйымдастыру уақыты.

Білімді жаңарту.

Интерактивті тест.

«Логарифмдермен турнир»

Оқулықтағы есептерді шешу.

Қорытындылау. Жауап парағын толтырыңыз.

Бағалау.

Сабақтар кезінде

1. Ұйымдастыру кезеңі.

2. Сабақтың мақсаттарын анықтау.

Сәлем жігіттер! Бүгін бізде әдеттен тыс сабақ, сабақ біз логарифмдермен турнир түрінде ойнайтын ойын.

Сабақты интерактивті тесттен бастайық.

3. Интерактивті тест:

4. Логарифмдермен турнир:

Логарифмнің анықтамасы.

Логарифмдік сәйкестіктер:

Жеңілдету:

Өрнектің мәнін табыңыз:

Логарифмдердің қасиеттері .

Конверсия:

Оқулықпен жұмыс.

Қорытындылау.

Оқушылар жауап парағын өз бетінше толтырады.

Әр жауапқа баға қойыңыз.

Бағалау. Үй жұмысы. 1-қосымша.

Бүгін сен логарифмдерге түстің,

Олар дәл есептелуі керек.

Емтиханда, әрине, сіз оларды кездестіресіз,

Сізге сәттілік тілеу қалады!

I опция

а) 9 ½ =3; б) 7 0 =1.

A)журнал8=6; б)журнал9=-2.

а) 1.7 журнал 1,7 2 ; б) 2 журнал 2 5 .

4. Есептеңіз:

А) lg8+lg125;

б) журнал 2 7 журнал 2 7/16

V)журнал 3 16/журнал 3 4.

II опция

1. Негізі а болатын дәреже ретінде берілген санның а негізіне логарифмін табыңыз:

а) 32 1/5 =2; б) 3 -1 =1/3.

2. Теңдіктің дұрыстығын тексеріңіз:

A)журнал27=-6; б)журнал 0,5 4=-2.

3. Негізгі логарифмдік сәйкестіктерді пайдаланып өрнекті жеңілдетіңіз:

а) 5 1+ журнал 5 3 ; б) 10 1- lg 2

4. Есептеңіз:

А) журнал 12 4+журнал 12 36;

б)lg13-lg130;

В) (lg8+lg18)/(2lg2+lg3).

III опция

1. Негізі а болатын дәреже ретінде берілген санның а негізіне логарифмін табыңыз:

а) 27 2/3 =9; б) 32 3/5 =8.

2. Теңдіктің дұрыстығын тексеріңіз:

A)журнал 2 128=;

б)журнал 0,2 0,008=3.

3. Негізгі логарифмдік сәйкестіктерді пайдаланып өрнекті жеңілдетіңіз:

а) 4 2 журнал 4 3 ;

б) 5 -3 журнал 5 1/2 .

4. Есептеңіз:

А) журнал 6 12+журнал 6 18;

б) журнал 7 14 журнал 7 6+журнал 7 21;

V) (журнал 7 3/ журнал 7 13)∙ журнал 3 169.

IV опция

1. Негізі а болатын дәреже ретінде берілген санның а негізіне логарифмін табыңыз:

а) 81 3/4 =27; б) 125 2/3 =25.

2. Теңдіктің дұрыстығын тексеріңіз:

A)журнал √5 0,2=-2;

б)журнал 0,2 125=-3.

3. Негізгі логарифмдік сәйкестіктерді пайдаланып өрнекті жеңілдетіңіз:

а) (1/2) 4 журнал 1/2 3 ;

б) 6 -2 журнал 6 5 .

4. Есептеңіз:

А) журнал 14 42 журнал 14 3;

б) журнал 2 20 журнал 2 25+ журнал 2 80;

В) журнал 7 48/ журнал 7 4- 0,5 журнал 2 3.

Шешімі болып табылатын тапсырмалар логарифмдік өрнектерді түрлендіру, емтиханда жиі кездеседі.

Ең аз уақытты жұмсау арқылы олармен сәтті күресу үшін негізгі логарифмдік сәйкестіктерге қосымша тағы бірнеше формулаларды білу және дұрыс пайдалану қажет.

Бұл: a log a b = b, мұндағы a, b > 0, a ≠ 1 (Ол тікелей логарифм анықтамасынан шығады).

log a b = log c b / log c a немесе log a b = 1/log b a
мұндағы a, b, c > 0; a, c ≠ 1.

log a m b n = (m/n) log |a| |б|
мұндағы a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.

a log c b = b log c a
мұндағы a, b, c > 0 және a, b, c ≠ 1

Төртінші теңдіктің дұрыстығын көрсету үшін а негізіндегі сол және оң жақтардың логарифмін аламыз. Біз log a (a log c b) = log a (b log c a) немесе log c b = log c a log a b; log c b = log c a (log c b / log c a); b-мен журнал = b-мен журнал.

Логарифмдердің теңдігін дәлелдедік, яғни логарифмдердің астындағы өрнектер де тең. Формула 4 дәлелденді.

1-мысал

81 log 27 5 log 5 4 санын есептеңіз.

Шешім.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Сондықтан,

log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.

Сонда 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

Келесі тапсырманы өзіңіз орындай аласыз.

Есептеңіз (8 log 2 3 + 3 1 / log 2 3) - log 0,2 5.

Анықтама ретінде 0,2 = 1/5 = 5 -1 ; журнал 0,2 5 = -1.

Жауабы: 5.

2-мысал

Есептеу (√11) журнал √3 9 журнал 121 81 .

Шешім.

Өрнектерді ауыстырайық: 9 = 3 2 , √3 = 3 1/2 , log √3 9 = 4,

121 = 11 2 , 81 = 3 4 , журнал 121 81 = 2 журнал 11 3 (Формула 3 қолданылған).

Сонда (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / (11 log 11 3) = 121/.

3-мысал

Есептеу журналы 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2.

Шешім.

Мысалдағы логарифмдерді 2 негізі бар логарифмдерге ауыстырамыз.

log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);

log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);

log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);

log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).

Содан кейін журнал 2 24 / журнал 96 2 – журнал 2 192 / журнал 12 2 = (3 + журнал 2 3) / (1/(5 + журнал 2 3)) – ((6 + журнал 2 3) / (1/(2 + журнал 2 3)) =

= (3 + log 2 3) (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).

Жақшаларды ашып, ұқсас терминдерді қысқартқаннан кейін 3 санын аламыз.

(3 + п) (5 + п) – (6 + п)(2 + п)).

Жауабы: 3.

Сіз келесі әрекеттерді өзіңіз жасай аласыз:

Есептеу (лог 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.

Мұнда 3-базадағы логарифмдерге көшу және үлкен сандардың жай көбейткіштеріне ыдырау қажет.

Жауабы: 1/2

4-мысал

Үш сан берілген A \u003d 1 / (лог 3 0,5), B \u003d 1 / (лог 0,5 3), C \u003d журнал 0,5 12 - журнал 0,5 3. Оларды өсу ретімен орналастырыңыз.

Шешім.

А \u003d 1 / (лог 3 0,5) \u003d log 0,5 3 сандарын түрлейік; C \u003d журнал 0,5 12 - журнал 0,5 3 \u003d журнал 0,5 12/3 \u003d журнал 0,5 4 \u003d -2.

Оларды салыстырайық

log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 және log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

Немесе 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

Жауап. Демек, сандардың орналасу реті: С; A; IN.

5-мысал

Интервалда қанша бүтін сандар бар (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).

Шешім.

1/16 саны 3 санының қандай дәрежелері арасында екенін анықтайық. Біз 1/27 аламыз< 1 / 16 < 1 / 9 .

y \u003d log 3 x функциясы өсіп жатқандықтан, log 3 (1/27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 6 48 = log 6 (36 4/3) = log 6 36 + log 6 (4/3) = 2 + log 6 (4/3). 6 (4/3) және 1/5 журналын салыстырыңыз. Ал ол үшін 4/3 және 6 1/5 сандарын салыстырамыз. Екі санды да 5-ші дәрежеге дейін көтеріңіз. Біз (4/3) 5 = 1024/243 = 4 52/243 аламыз< 6. Следовательно,

журнал 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

Демек, интервал (log 3 1/16 ; log 6 48) аралығын қамтиды [-2; 4] және оған -2 бүтін сандар қойылады; -1; 0; 1; 2; 3; 4.

Жауабы: 7 бүтін сан.

6-мысал

3 lglg 2/ lg 3 - lg20 есептеңіз.

Шешім.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lo g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

Сонда 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 - lg 20 = lg 0,1 = -1.

Жауабы: -1.

7-мысал

Log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 - 2) = A. Log 2 (√3 -1) + log 2 (√6 + 2) табыңыз.

Шешім.

(√3 + 1) және (√3 - 1) сандары; (√6 - 2) және (√6 + 2) конъюгаттық.

Келесі өрнектерді түрлендіруді орындайық

√3 – 1 = (√3 – 1) (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) (√6 - 2)) / (√6 - 2) = 2/(√6 - 2).

Содан кейін журнал 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =

Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =

2 - журнал 2 (√3 + 1) - журнал 2 (√6 - 2) = 2 - А.

Жауабы: 2 - А.

8-мысал.

Өрнектің жуық мәнін оңайлатыңыз және табыңыз (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.

Шешім.

Барлық логарифмдерді 10-ға ортақ негізге келтіреміз.

(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 … log 10 9 = (журнал 2 / журнал 3) (журнал 3 / журнал 4) (журнал 4 / журнал 5) (лог 5 / журнал 6) … (лог 8 / журнал 9) log 9 = log 2 ≈ 0.3010 кестесін немесе қолданбаның мәнін табуға болады (Calde2). атор).

Жауабы: 0,3010.

9-мысал.

log √ a b 3 = 1 болса, log a 2 b 3 √(a 11 b -3) мәнін есептеңіз. (Бұл мысалда a 2 b 3 логарифмнің негізі болып табылады).

Шешім.

Егер log √ a b 3 = 1 болса, онда 3/(0,5 log a b = 1. Ал log a b = 1/6.

Содан кейін log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3)) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b -3) ( a b1) ( a 2 ) ( a 2 ) log ( a b1) ( a 3) ( a 1 ) log ( a 1 b 3) ) log a b = 1/6 екенін ескерсек, (11 - 3 1/6) / (2(2 + 3 1/6)) = 10,5/5 = 2,1 аламыз.

Жауабы: 2.1.

Сіз келесі әрекеттерді өзіңіз жасай аласыз:

Егер log 0,7 27 = a болса, √3 6 √2,1 журналын есептеңіз.

Жауабы: (3 + а) / (3а).

10-мысал

6,5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log125 есептеңіз.

Шешім.

6,5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 3 2/ log 2 13 + 2log 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 log 3 / 1 log3 (3 log3) (1) журнал 3 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3 2 /(2 log 13 3) 2) (2 log 13 3) 2 + 6.

(2 журнал 13 3 = 3 журнал 13 2 (формула 4))

Біз 9 + 6 = 15 аламыз.

Жауабы: 15.

Сұрақтарыңыз бар ма? Логарифмдік өрнектің мәнін қалай табуға болатынын білмейсіз бе?
Тәрбиешінің көмегін алу үшін – тіркеліңіз.
Бірінші сабақ тегін!

сайт, материалды толық немесе ішінара көшіру арқылы дереккөзге сілтеме қажет.

Приднестровье Мемлекеттік университеті

олар. Т.Г. Шевченко

Физика-математика факультеті

Орындық математикалық талдау

және математиканы оқыту әдістемесі

КУРСТЫҚ ЖҰМЫС

«Сәйкестендіру трансформациялары

көрсеткіштік және логарифмдік

өрнектер»

Аяқталған жұмыс:

______ тобының студенті

Физика-математика факультеті

_________________________

Тексерілген жұмыс:

_________________________

Тирасполь, 2003 ж

Кіріспе……………………………………………………………………2

1-тарау

§1. Трансформациялардың нақты түрлерін қолдану дағдыларын қалыптастыру .......................................................................................

§2. Бірдей түрлендірулерді зерттеудегі білім жүйесін ұйымдастыру ерекшеліктері.…………………………………………………….5.

§3. Математика бағдарламасы …………………………………….11

2-тарау

§1. Дәреже ұғымын жалпылау…………………………………..13

§2. Көрсеткіштік функция………………………………………..15

§3. Логарифмдік функция………………………………………….16

3-тарау

Қорытынды…………………………………………………………..24

Пайдаланылған әдебиеттер тізімі………………………………….25
Кіріспе

Бұнда курстық жұмыскөрсеткіштік және логарифмдік функциялардың бірдей түрлендірулері қарастырылады, оларды мектептегі алгебра курсында оқыту әдістемесі және талдаудың басы қарастырылады.

Бұл жұмыстың бірінші тарауында мектеп математика курсында бірдей түрлендірулерді оқыту әдістемесі сипатталған, сонымен қатар көрсеткіштік және логарифмдік функцияларды зерттейтін «Алгебра және талдаудың басы» курсының математикалық бағдарламасы енгізілген.

Екінші тарауда көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың өздері, олардың бірдей түрлендірулерде қолданылатын негізгі қасиеттері тікелей қарастырылады.

Үшінші тарауда көрсеткіштік және логарифмдік функциялардың бірдей түрлендірулері арқылы мысалдар мен есептер шығарылады.

Өрнектер мен формулалардың әртүрлі түрлендірулерін оқу мектеп математикасы курсында оқу уақытының едәуір бөлігін алады. Арифметикалық амалдардың қасиеттеріне негізделген ең қарапайым түрлендірулер қазірдің өзінде орындалған бастауыш мектепжәне IV-V сыныптарда. Бірақ түрлендірулерді орындау дағдылары мен дағдыларын қалыптастырудағы негізгі жүкті мектеп алгебра курсы көтереді. Бұл орындалатын түрлендірулердің саны мен әртүрлілігінің күрт өсуімен де, оларды негіздеу және қолдану жағдайларын нақтылау бойынша іс-әрекеттердің күрделенуімен, сәйкестік, бірдей түрлендіру, эквивалентті түрлендіру, логикалық нәтиже туралы жалпылама ұғымдарды анықтау және зерттеумен байланысты.

Бірдей түрлендірулерді орындау мәдениеті объектілерге (сандар, векторлар, көпмүшелер және т.б.) операциялардың қасиеттері мен оларды орындау алгоритмдері туралы берік білімге негізделген есептеу мәдениеті сияқты дамиды. Ол түрлендірулерді дұрыс негіздеу қабілетінде ғана емес, сонымен қатар бастапқы аналитикалық өрнектен түрлендіру мақсатына барынша сәйкес келетін өрнекке өтудің ең қысқа жолын табу қабілетінде, бірдей түрлендірулер тізбегіндегі аналитикалық өрнектерді анықтау облысындағы өзгерістерді қадағалай білуде, түрлендірулердің жылдам және қатесіз шығуында көрінеді.

Есептеу мен бірдей түрлендірулердің жоғары мәдениетін қамтамасыз ету математиканы оқытудағы маңызды мәселе болып табылады. Дегенмен, бұл мәселе әлі де қанағаттанарлық түрде шешілмейді. Оған дәлел ретінде әр түрлі сынып оқушыларының орындау кезінде жіберген қателері мен қисынсыз есептеулер мен түрлендіру әдістерін жыл сайын көрсететін мемлекеттік білім беру органдарының статистикалық мәліметтері болып табылады. бақылау жұмыстары. Мұны жоғарыдағылардың пікірлері растайды оқу орындарыталапкерлердің математикалық білімдері мен дағдыларының сапасы туралы. Халыққа білім беру органдары мен жоғары оқу орындарының бұл жеткіліксіз деген тұжырымдарымен келіспеуге болмайды жоғары деңгейесептеу мәдениеті және ұқсас түрлендірулер орта мектепстуденттердің біліміндегі формализмнің, теорияны практикадан ажыратудың салдары болып табылады.

Тұлғаны түрлендіру және оқыту әдістері

мектептегі алгебра курсында және талдаудың басы.

§1. Қолдану дағдыларын қалыптастыру

түрлендірулердің ерекше түрлері.

Алгебраның басталу кезеңінде қолданылатын түрлендірулерді жүргізудің әдістері мен ережелерінің жүйесі өте кең ауқымды қолдану аясына ие: ол математиканың бүкіл курсын зерттеуде қолданылады. Дегенмен, нақтылығы төмен болғандықтан, бұл жүйе түрлендірілген өрнектердің құрылымының ерекшеліктерін және жаңадан енгізілген амалдар мен функциялардың қасиеттерін ескеретін қосымша түрлендірулерді қажет етеді. Түрлендірудің сәйкес түрлерін әзірлеу қысқартылған көбейту формулаларын енгізуден басталады. Содан кейін біз дәрежеге көтеру операциясымен байланысты түрлендірулерді қарастырамыз, элементар функциялардың әртүрлі кластары - көрсеткіштік, дәрежелік, логарифмдік, тригонометриялық. Осы түрлендіру түрлерінің әрқайсысы зерттеу кезеңінен өтеді, онда назар олардың өзіне тән белгілерін ассимиляциялауға бағытталған.

Материалды жинақтай отырып, қарастырылатын барлық түрлендірулердің ортақ белгілерін бөліп көрсетуге және осы негізде бірдей және эквивалентті түрлендірулер ұғымдарын енгізуге болады.

Айта кету керек, бірдей түрлендіру ұғымы мектеп алгебра курсында толық жалпылықта емес, тек өрнектерге қолдануда беріледі. Түрлендірулер екі класқа бөлінеді: бірдей түрлендірулер өрнектерді түрлендіру, ал эквивалентті түрлендірулер формулаларды түрлендіру. Формуланың бір бөлігін жеңілдету қажет болған жағдайда, бұл формулада қолданылатын бірдей түрлендіру үшін аргумент ретінде қызмет ететін өрнек ерекшеленеді. Сәйкес предикат өзгеріссіз болып саналады.

Трансформациялардың (синтездің) интегралдық жүйесін ұйымдастыруға келетін болсақ, оның негізгі мақсаты икемді және күшті қалыптастыру; әртүрлі оқу тапсырмаларын шешуде қолдануға жарамды аппарат.

Алгебра курсында және талдаудың басында толық жүйежалпы алғанда қалыптасқан түрлендірулер біртіндеп жетілдірілуде. Оған кейбір жаңа түрлендіру түрлері де қосылады, бірақ олар тек оны байытады, мүмкіндіктерін кеңейтеді, бірақ құрылымын өзгертпейді. Бұл жаңа түрлендірулерді зерттеу әдістемесі алгебра курсында қолданылатын әдістемеден іс жүзінде ерекшеленбейді.

§2. Тапсырмалар жүйесін ұйымдастыру ерекшеліктері

бірдей түрлендірулерді зерттеуде.

Тапсырмалардың кез келген жүйесін ұйымдастырудың негізгі принципі студенттердің мүмкін болатын қиындықтарды жеңу және проблемалық жағдаяттар құру қажеттілігін ескере отырып, оларды қарапайымнан күрделіге қарай ұсыну болып табылады. Көрсетілген негізгі принцип осы оқу материалының ерекшеліктеріне қатысты нақтылауды талап етеді. Сипаттама үшін әртүрлі жүйелерматематика әдістемесіндегі тапсырмалар, жаттығулар циклі ұғымы қолданылады. Жаттығулар циклі оқудың бірнеше аспектілері мен материалды ретке келтіру әдістерінің жаттығулар реттілігіндегі үйлесімімен сипатталады. Бірдей түрлендірулерге қатысты цикл идеясын беруге болады келесідей.

Жаттығулар циклі бір тұлғаны зерттеумен байланысты, оның төңірегінде онымен табиғи байланыста болатын басқа тұлғалар топтастырылады. Цикл құрамына атқарушы тапсырмалармен қатар қарастырылатын сәйкестікті қолдану мүмкіндігін тануды талап ететін тапсырмалар кіреді. Зерттелетін сәйкестік әртүрлі сандық домендерде есептеулерді орындау үшін пайдаланылады. Жеке басының ерекшелігі ескеріледі; атап айтқанда, онымен байланысты сөз айналымдары ұйымдастырылады.

Әр циклдегі тапсырмалар екі топқа бөлінеді. Біріншісіне тұлғамен алғашқы танысу кезінде орындалатын тапсырмалар кіреді. Олар қызмет етеді оқу материалыбір тақырыппен біріктірілген бірнеше сабаққа арналған. Жаттығулардың екінші тобы зерттелетін сәйкестікті әртүрлі қолданбаларға жатқызады. Бұл топ композициялық бірлікті қалыптастырмайды - мұндағы жаттығулар әртүрлі тақырыптарға шашыраңқы.

Циклдің сипатталған құрылымы түрлендірулердің нақты түрлерін қолдану дағдыларының қалыптасу кезеңіне жатады. Соңғы кезеңде – синтез сатысында циклдер модификацияланады. Біріншіден, тапсырмалардың екі тобы да біріктіріліп, «ашылған» циклды құрайды, ал тұжырымы немесе тапсырманы орындау күрделілігі бойынша ең қарапайымдары бірінші топтан шығарылады. Қалған тапсырмалар түрлері қиындай түседі. Екіншіден, әртүрлі сәйкестіктерге қатысты циклдердің бірігуі орын алады, соның арқасында сол немесе басқа сәйкестікті қолдану мүмкіндігін тану әрекеттерінің рөлі артады.

Біз қарапайым функциялар үшін сәйкестіктерге қатысты тапсырма циклдерінің ерекшеліктерін атап өтеміз. Бұл ерекшеліктер, біріншіден, сәйкес сәйкестіктер функционалдық материалды зерттеуге байланысты зерттелсе, екіншіден, бірінші топтың сәйкестіктерінен кеш пайда болады және бірдей түрлендірулерді жүзеге асыру үшін бұрыннан қалыптасқан дағдыларды пайдалана отырып зерттеледі.

Әрбір жаңадан енгізілген элементар функция жеке белгіленетін және аталатын сандар ауқымын күрт кеңейтеді. Сондықтан циклдар тапсырмаларының бірінші тобы осы жаңа сандық аймақтардың бастапқы аймақпен байланысын орнату тапсырмаларын қамтуы керек. рационал сандар. Осындай тапсырмаларға мысалдар келтіреміз.

1-мысал Есептеңіз:

Элементар функциялармен байланысты сәйкестендіру түрлендірулерін қолданудың маңызды бөлігі иррационал және трансценденттік теңдеулерді шешуге келеді. Сәйкестіктерді ассимиляциялауға байланысты циклдар тек қарапайым теңдеулерді қамтиды, бірақ қазірдің өзінде осы жерде мұндай теңдеулерді шешу әдісін меңгеру бойынша жұмыстарды жүргізген жөн: белгісізді алгебралық теңдеуге ауыстыру арқылы оны азайту.

Бұл шешім үшін қадамдар тізбегі келесідей:

а) бұл теңдеуді келесі түрде көрсетуге болатын функцияны табыңыз;

ә) ауыстыруды жасап, теңдеуді шешу;

в) теңдеулердің әрқайсысын шешіңдер, мұндағы теңдеудің түбірлерінің жиыны .

Сипатталған әдісті пайдаланған кезде b) қадамы көбіне үшін белгіні енгізбей, жасырын түрде орындалады. Сонымен қатар, студенттер көбінесе жауап табуға әкелетін әртүрлі жолдардың ішінен алгебралық теңдеуге тезірек және оңай әкелетінін таңдайды.

Мысал 2. Теңдеуді шешіңіз.

Бірінші жол:

Екінші жол:

б)

Алгебра бойынша мектеп курсы үшін алгебралық теңдеуге көшу осы мысалға қарағанда оңайырақ болатын тапсырмалар тән. Мұндай тапсырмалардың негізгі ауыртпалығы зерттелетін элементар функцияның қасиеттерін пайдаланумен байланысты шешім процесінің дербес бөлігі ретінде c) қадамын таңдауға қатысты.

Мысал 3. Теңдеуді шешіңіз:

A) ; б) .

Бұл теңдеулер теңдеулерге келтіріледі: а) немесе ; б) немесе. Бұл теңдеулерді шешу үшін көрсеткіштік функция туралы ең қарапайым фактілерді білу қажет: оның монотондылығы, мәндер ауқымы. Алдыңғы мысал сияқты, a) және b) теңдеулерін квадраттық көрсеткіштік теңдеулерді шешуге арналған жаттығулар циклінің бірінші тобына жатқызуға болады.

1) түрдегі теңдеулерге келтірілетін және қарапайым жауабы бар, формасы бойынша жалпы теңдеулер: ;

2) теңдеулерге келтіретін теңдеулер , мұндағы бүтін сан немесе , мұндағы ;

3) теңдеулерге келтіретін және сан жазылатын пішінді нақты талдауды қажет ететін теңдеулер.

Ұқсас тапсырмаларды басқа элементарлық функциялар үшін жіктеуге болады.

Оларда алгебра және алгебра курстарында оқытылатын сәйкестіктердің едәуір бөлігі және талдаудың бастаулары дәлелденген немесе кем дегенде түсіндіріледі. Сәйкестікті зерттеудің бұл жағы екі курс үшін де үлкен маңызға ие, өйткені олардағы дәлелдемелік пайымдаулар сәйкестіктерге қатысты барынша айқындықпен және қатаңдықпен жүзеге асырылады. Бұл материалдан тыс дәлелдемелер әдетте аз толық емес, ол әрқашан қолданылатын негіздеу құралдарының құрамынан ерекшеленбейді.

Арифметикалық амалдардың қасиеттері сәйкестендіру дәлелдері салынған тірек ретінде пайдаланылады.

Сонымен, егер сабақ негізгі логарифмдік сәйкестікті пайдаланып логарифмдік теңдеулерді шешуді қамтыса, онда өрнектердің мәндерін жеңілдету немесе есептеу үшін сабақ жоспарына ауызша жаттығуларды қосу пайдалы: , , . Жаттығулардың мақсаты әрқашан оқушыларға жеткізіледі. Жаттығу кезінде студенттерден жеке түрлендірулерді, әрекеттерді негіздеуді немесе бұл жоспарланбаған болса да, бүкіл мәселені шешуді талап ету қажет болуы мүмкін. Мәселені шешудің әртүрлі тәсілдері мүмкін болған жағдайда, әрқашан сұрақтарды қойған жөн: «Мәселе қандай жолмен шешілді?», «Мәселені басқа жолмен кім шешті?».

6-сыныпта өткен жылдары жинақталған ұқсас қайта құрулар аппараты кеңейтілуде. Бұл кеңейту бірдей негіздері бар дәрежелер көбейтіндісінің қасиетін білдіретін сәйкестікті енгізуден басталады: , мұндағы , бүтін сандар.

§3. Математика бағдарламасы. Мектептегі «Алгебра және анализдің бастаулары» курсында оқушылар көрсеткіштік және логарифмдік функцияларды және олардың қасиеттерін, логарифмдік және көрсеткіштік өрнектердің бірдей түрлендірулерін және олардың сәйкес теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуге қолданылуын жүйелі түрде меңгереді, негізгі ұғымдармен, тұжырымдармен танысады. 11-сыныпта алгебра сабағы аптасына 3 сағат, жылына барлығы 102 сағат. Бағдарлама бойынша көрсеткіштік, логарифмдік және дәрежелік функцияларды оқуға 36 сағат кетеді. Бағдарлама келесі мәселелерді қарастыруды және зерттеуді қамтиды: Рационалды көрсеткіші бар дәреже ұғымы. Иррационал теңдеулерді шешу. Көрсеткіштік функция, оның қасиеттері және графигі. көрсеткіштік өрнектердің бірдей түрлендірулері. Көрсеткіштік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу. Санның логарифмі. Логарифмдердің негізгі қасиеттері. Логарифмдік функция, оның қасиеттері және графигі. Логарифмдік теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу. Көрсеткіштік функцияның туындысы. Сан және натурал логарифм. Дәрежелік функцияның туындысы. Көрсеткіштік және логарифмдік функцияларды зерттеу бөлімінің негізгі мақсаты студенттерді дәрежелік, логарифмдік және дәрежелік функциялармен таныстыру; оқушыларды экспоненциалды шешуге үйрету және логарифмдік теңдеулержәне теңсіздіктер. ші дәрежелі түбір және рационал көрсеткішті дәреже ұғымдары квадрат түбір және бүтін дәрежелі дәреже ұғымдарының жалпылауы болып табылады. Мұнда қарастырылатын рационал көрсеткішті түбірлер мен дәрежелердің қасиеттері бұрын зерттелген квадрат түбірлер мен бүтін дәрежелі дәрежелердегі қасиеттерге ұқсас екендігіне студенттер назар аударуы керек. Дәрежелердің қасиеттерін өңдеуге және бірдей түрлендіру дағдыларын қалыптастыруға жеткілікті уақыт бөлу керек. Иррационал көрсеткішті дәреже ұғымы көрнекі-интуитивтік негізде енгізіледі. Бұл материал көмекші рөл атқарады және экспоненциалды функцияны енгізу кезінде қолданылады. Көрсеткіштік, логарифмдік және дәрежелі функциялардың қасиеттерін зерттеу функцияларды зерттеудің қабылданған жалпы схемасына сәйкес құрастырылған. Бұл жағдайда параметр мәндеріне байланысты қасиеттердің шолуы беріледі. Көрсеткіштік және логарифмдік теңсіздіктер функциялардың зерттелген қасиеттеріне сүйене отырып шешіледі. Жаңа материалды оқу кезінде де, жалпылаушы қайталауды өткізу кезінде де жүзеге асырылатын студенттердің білімдерін жүйелеу және жалпылау, алгебра курсында алған дағдылары мен дағдыларын бекіту және дамыту курстың өзіне тән ерекшелігі болып табылады.
2-тарау

§1. Дәреже ұғымын жалпылау.

Анықтама: Тазалықтың ші дәрежесінің түбірі - ші дәрежесі тең болатын сан.

Сәйкес бұл анықтамасанның ші дәрежелі түбірі теңдеудің шешімі болып табылады. Бұл теңдеудің түбірлерінің саны және -ге тәуелді. Функцияны қарастырайық. Белгілі болғандай, интервалда бұл функция кез келген үшін артады және интервалдан барлық мәндерді алады. Түбір теоремасы бойынша кез келген теңдеудің теріс емес түбірі бар, оның үстіне тек біреу ғана. Ол санның ші дәрежелі арифметикалық түбірі деп аталады және белгіленеді; сан түбірдің индексі, ал санның өзі радикалды өрнек деп аталады. Белгіні радикал деп те атайды.

Анықтама: Санның ші дәрежесінің арифметикалық түбірі - ші дәрежесі болатын теріс емес сан.

Жұп үшін функция жұп. Бұдан шығатыны , егер , онда теңдеудің түбірден басқа түбірі де болады . Егер , онда бір ғана түбір болады: ; егер болса, онда бұл теңдеудің түбірі жоқ, өйткені кез келген санның жұп дәрежесі теріс емес.

Тақ мәндер үшін функция бүкіл сандар сызығының бойымен өседі; оның мәндер ауқымы барлығының жиынтығы болып табылады нақты сандар. Түбір теоремасын қолдана отырып, теңдеудің кез келген және, атап айтқанда, үшін бір түбірі болатынын табамыз. Кез келген мән үшін бұл түбір арқылы белгіленеді.

Тақ дәрежелі түбірлер үшін теңдік ақиқат. Шынында да, , яғни. сан -ның ші түбірі. Бірақ тақ үшін мұндай түбір бірегей. Демек, .

1-ескертпе: Кез келген нақты үшін

ші дәрежелі арифметикалық түбірлердің белгілі қасиеттерін еске түсіріңіз.

Кез келген табиғи, бүтін және теріс емес бүтін сандар мен теңдіктер үшін ақиқат:

Рационал көрсеткішті дәреже.

Өрнек барлық және үшін анықталған, жағдайды қоспағанда. Мұндай қуаттардың қасиеттерін еске түсіріңіз.

Кез келген сандар үшін және кез келген бүтін сандар мен теңдіктер жарамды:

Сондай-ақ, егер , онда үшін және .. үшін және

Бірыңғай мемлекеттік емтиханға оқитын студенттер үшін Якутск қаласындағы №26 орта мектептің математика мұғалімдері 2007 жылы бірыңғай мемлекеттік емтиханды тапсыру кезінде ассимиляциясы тексерілетін мектеп математика курсының мазмұндық сұрақтарының (кодификаторы) тізімін пайдаланады. таңдау курсыБірегейлікке дайындық үстінде Мемлекеттік емтиханбұрын алған білімдерін қайталауға, жүйелеуге және тереңдетуге негізделген. Сабақтар тегін...