Косинус синус теңдеулерін шешу. Тригонометриялық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері. «Ең қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу» тақырыбына сабақ және презентация

Тригонометрияның негізгі формулаларын – синус пен косинус квадраттарының қосындысын, синус пен косинус арқылы жанаманың өрнектелуін және т.б. білуді талап етеді. Оларды ұмытып кеткен немесе білмейтіндер үшін «» мақаласын оқуды ұсынамыз.
Сонымен, біз негізгі тригонометриялық формулаларды білеміз, оларды тәжірибеде қолданудың уақыты келді. Шешім тригонометриялық теңдеулер дұрыс тәсілмен, бұл, мысалы, Рубик текшесін шешу сияқты өте қызықты әрекет.

Атаудың өзіне қарап, тригонометриялық теңдеу белгісіз тригонометриялық функцияның белгісі астында болатын теңдеу екені анық.
Қарапайым тригонометриялық теңдеулер деп аталатындар бар. Олар келесідей: sinх = a, cos x = a, tg x = a. қарастырайық, мұндай тригонометриялық теңдеулерді қалай шешуге болады, түсінікті болу үшін біз бұрыннан таныс тригонометриялық шеңберді қолданамыз.

sinx = a

cos x = a

күңгірт x = a

төсек x = a

Кез келген тригонометриялық теңдеу екі кезеңде шешіледі: теңдеуді ең қарапайым түрге келтіреміз, содан кейін оны ең қарапайым тригонометриялық теңдеу ретінде шешеміз.
Тригонометриялық теңдеулерді шешудің 7 негізгі әдісі бар.

1. Айнымалы алмастыру және алмастыру әдісі

2cos 2 (x + /6) - 3sin( /3 - x) +1 = 0 теңдеуін шешіңіз.

Төмендету формулаларын қолданып, мынаны аламыз:

2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

Қарапайымдылық үшін cos(x + /6)-ны у-ға ауыстырып, кәдімгі квадрат теңдеуді алайық:

2ж 2 – 3ж + 1 + 0

y 1 = 1, y 2 = 1/2 болатын түбірлері

Енді артқа қарай жүрейік

Табылған у мәндерін ауыстырамыз және екі жауап аламыз:

2. Тригонометриялық теңдеулерді көбейткіштерге бөлу арқылы шешу

sin x + cos x = 1 теңдеуін қалай шешуге болады?

Оң жақта 0 қалуы үшін барлығын солға жылжытайық:

sin x + cos x - 1 = 0

Теңдеуді жеңілдету үшін жоғарыдағы сәйкестендірулерді қолданамыз:

sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

Бөлшектеуді орындайық:

2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

2sin(x/2) * = 0

Біз екі теңдеу аламыз

3. Біртекті теңдеуге келтіру

Теңдеу синус пен косинусқа қатысты біртекті болады, егер оның синус пен косинусқа қатысты барлық мүшелері бірдей бұрыш дәрежесінде болса. Біртекті теңдеуді шешу үшін келесі әрекеттерді орындаңыз:

а) оның барлық мүшелерін сол жаққа ауыстыру;

б) барлық ортақ факторларды жақшадан шығару;

в) барлық көбейткіштер мен жақшаларды 0-ге теңестіру;

г) жақшаға алынған біртекті теңдеуаз дәрежеде ол, өз кезегінде, жоғары дәрежеде синусқа немесе косинусқа бөлінеді;

д) тг үшін алынған теңдеуді шеш.

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2 теңдеуін шешіңіз.

қолданайық формула күнә 2 x + cos 2 x = 1 және оң жақтағы ашық екеуінен құтылыңыз:

3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2 cos 2 x

sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

cosx арқылы бөліңіз:

тг 2 x + 4 тг x + 3 = 0

tg x-ті у-мен ауыстырып, квадрат теңдеуді аламыз:

y 2 + 4y +3 = 0, оның түбірлері у 1 =1, у 2 = 3

Осы жерден бастапқы теңдеудің екі шешімін табамыз:

x 2 \u003d arctg 3 + k

4. Жарты бұрышқа көшу арқылы теңдеулерді шешу

3sin x - 5cos x = 7 теңдеуін шешіңіз

x/2-ге көшейік:

6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

Барлығын солға жылжыту:

2sin 2 (x/2) - 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

cos(x/2)-ге бөлу:

тг 2 (х/2) – 3тг(х/2) + 6 = 0

5. Көмекші бұрышпен таныстыру

Қарастыру үшін мына түрдегі теңдеуді алайық: a sin x + b cos x \u003d c,

мұндағы a, b, c - кейбір ерікті коэффициенттер, ал х - белгісіз.

Теңдеудің екі жағын келесіге бөл:



Енді теңдеудің коэффициенттері, тригонометриялық формулалар бойынша, sin және cos қасиеттеріне ие, атап айтқанда: олардың модулі 1-ден көп емес және квадраттардың қосындысы = 1. Оларды сәйкесінше cos және sin деп белгілейік, мұндағы -көмекші бұрыш деп аталады. Сонда теңдеу келесідей болады:

cos * sin x + sin * cos x \u003d C

немесе sin(x + ) = C

Бұл қарапайым тригонометриялық теңдеудің шешімі

x \u003d (-1) k * arcsin C - + k, мұндағы



Айта кету керек, cos және sin белгілеулері бір-бірін алмастырады.

sin 3x - cos 3x = 1 теңдеуін шешіңіз

Бұл теңдеудегі коэффициенттер:

a \u003d, b \u003d -1, сондықтан екі бөлікті де \u003d 2-ге бөлеміз

Ең қарапайым тригонометриялық теңдеулер әдетте формулалар арқылы шешіледі. Естеріңізге сала кетейін, келесі тригонометриялық теңдеулер ең қарапайым деп аталады:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x - табу керек бұрыш,
a - кез келген сан.

Міне, осы қарапайым теңдеулердің шешімдерін бірден жазуға болатын формулалар.

Синус үшін:

Косинус үшін:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Тангенс үшін:

x = arctg a + π n, n ∈ Z

Котангенс үшін:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

Шындығында, бұл қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешудің теориялық бөлігі. Және, тұтас!) Ештеңе емес. Дегенмен, бұл тақырыптағы қателердің саны жай ғана өзгереді. Әсіресе, үлгінің үлгіден аздап ауытқуымен. Неліктен?

Иә, бұл хаттарды көп адамдар жазатындықтан, олардың мағынасын мүлде түсінбей!Қорқынышпен ол бірдеңе қалай болғанына қарамастан жазады ...) Мұнымен күресу керек. Адамдар үшін тригонометрия немесе тригонометрия үшін адамдар!?)

Оны анықтап алайық?

Бір бұрыш тең ​​болады arccos a, екінші: -arccos a.

Және бұл әрқашан жұмыс істейтін болады.Кез келген үшін А.

Маған сенбесеңіз, тышқанды суреттің үстіне апарыңыз немесе планшеттегі суретті түртіңіз.) Мен нөмірді өзгерттім. А кейбір теріске. Қалай болғанда да, бізде бір бұрыш бар arccos a, екінші: -arccos a.

Сондықтан жауапты әрқашан екі түбір қатары ретінде жазуға болады:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Біз осы екі серияны біріктіреміз:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Және барлық заттар. Ең қарапайым тригонометриялық теңдеуді косинуспен шешудің жалпы формуласын алдық.

Егер сіз бұл супер-ғылыми даналық емес екенін түсінсеңіз, бірақ екі жауап сериясының қысқартылған жазбасы ғана,сіз және «С» тапсырмалары иықта болады. Теңсіздіктермен, берілген аралықтан түбірлерді таңдаумен ... Онда плюс/минуспен жауап оралмайды. Жауапты іскерлікпен қабылдап, оны екі бөлек жауапқа бөлсеңіз, бәрі шешіледі.) Негізі бұл үшін біз түсінеміз. Не, қалай және қайда.

Ең қарапайым тригонометриялық теңдеуде

sinx = a

сонымен қатар екі тамыр қатарын алады. Әрқашан. Және бұл екі серияны да жазуға болады бір жол. Тек осы жол ақылды болады:

x = (-1) n доғасы a + π n, n ∈ Z

Бірақ мәні сол күйінде қалады. Математиктер түбірлер қатарының екі жазбасының орнына біреуін жасау үшін жай ғана формула құрастырды. Болды!

Математиктерді тексерейік? Бұл жеткіліксіз...)

Өткен сабақта синусы бар тригонометриялық теңдеудің шешімі (ешқандай формуласыз) егжей-тегжейлі талданды:

Жауап екі түбір қатары болып шықты:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Сол теңдеуді формула арқылы шешсек, жауап аламыз:

x = (-1) n доғасы 0,5 + π n, n ∈ Z

Негізі бұл жартылай дайын жауап.) Студент мұны білуі керек доғасы 0,5 = π /6.Толық жауап келесідей болады:

x = (-1) n π /6+ πn, n ∈ Z

Осы жерде қызықты сұрақ туындайды. арқылы жауап беру x 1; x 2 (бұл дұрыс жауап!) және жалғыздық арқылы X (және бұл дұрыс жауап!) - бірдей нәрсе ме, жоқ па? Енді анықтап көрейік.)

Жауапта дегенмен ауыстырыңыз x 1 құндылықтар n =0; 1; 2; т.б., біз қарастырамыз, біз түбірлер қатарын аламыз:

x 1 \u003d π / 6; 13π/6; 25π/6 тағыда басқа.

Жауап ретінде бірдей ауыстырумен x 2 , Біз алып жатырмыз:

x 2 \u003d 5π / 6; 17π/6; 29π/6 тағыда басқа.

Ал енді мәндерді ауыстырамыз n (0; 1; 2; 3; 4...) жалғыздың жалпы формуласына X . Яғни, біз минус бірді саламыз нөлдік дәреже, содан кейін біріншіге, екіншіге және т.б. Және, әрине, екінші мүшеге 0-ді қоямыз; 1; 2 3; 4 т.б. Ал біз ойлаймыз. Біз серияны аламыз:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 тағыда басқа.

Міне, сіз көре аласыз.) Жалпы формула бізге береді дәл бірдей нәтижелербұл екі жауап бөлек. Барлығы бірден, ретімен. Математиктер алдамаған.)

Тангенс және котангенс бар тригонометриялық теңдеулерді шешу формулаларын да тексеруге болады. Бірақ олай емес.) Олар сондай қарапайым.

Мен осы ауыстыру мен тексерудің бәрін әдейі боядым. Мұнда бір қарапайым нәрсені түсіну маңызды: қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешуге арналған формулалар бар, жауаптардың қысқаша мазмұны ғана.Бұл қысқалық үшін мен косинус ерітіндісіне плюс/минус және синус ерітіндісіне (-1) n енгізуім керек болды.

Бұл кірістірулер қарапайым теңдеудің жауабын жазу қажет болатын тапсырмаларға ешқандай кедергі жасамайды. Бірақ егер сізге теңсіздікті шешу керек болса немесе жауаппен бірдеңе жасау керек болса: аралықта түбірлерді таңдаңыз, ODZ бар-жоғын тексеріңіз және т.б., бұл кірістірулер адамды оңай мазалайды.

Енді не істеу керек? Иә, не жауапты екі қатарға түсіріңіз, не теңдеуді/теңсіздікті тригонометриялық шеңберде шешіңіз. Содан кейін бұл кірістірулер жойылып, өмір оңайырақ болады.)

Қорытындылай аласыз.

Ең қарапайым тригонометриялық теңдеулерді шешу үшін дайын жауап формулалары бар. Төрт дана. Олар теңдеудің шешімін бірден жазу үшін жақсы. Мысалы, теңдеулерді шешу керек:

sinx = 0,3

Оңай: x = (-1) n доғасы 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Проблема жоқ: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Оңай: x = arctg 1,2 + πn, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Біреуі қалды: x= arcctg3,7 + πn, n ∈ Z

cos x = 1,8

Егер сіз біліммен жарқырасаңыз, бірден жауап жазыңыз:

x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

онда сіз қазірдің өзінде жарқырайсыз, бұл ... бұл ... шалшықтан.) Дұрыс жауап: шешімдер жоқ. Неге түсінбейсіз бе? Арккосин деген не екенін оқыңыз. Сонымен қатар, егер бастапқы теңдеудің оң жағында синустың, косинустың, тангенстің, котангенстің кестелік мәндері болса, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 және т.б. - арка арқылы жауап аяқталмаған болады. Аркаларды радианға айналдыру керек.

Ал егер сіз теңсіздікке тап болсаңыз, лайк

онда жауап:

x πn, n ∈ Z

сирек нонсенс бар, иә ...) Мұнда тригонометриялық шеңбер туралы шешім қабылдау керек. Тиісті тақырыпта не істейміз.

Осы жолдарды ерлікпен оқығандар үшін. Мен сіздің титаникалық күш-жігеріңізді бағалай алмаймын. Сізге бонус.)

Бонус:

Мазасыз ұрыс жағдайында формулаларды жазғанда, тіпті шыңдалған немқұрайлылар қай жерде жиі шатастырады pn, Және қайда 2πn. Міне, сізге қарапайым трюк. жылы барлықформулалар pn. Доғалық косинусы бар жалғыз формуланы қоспағанда. Сол жерде тұр 2πn. Екіпиен. Негізгі сөз - екі.Бірдей формулада екібасында белгі қойыңыз. Плюс және минус. Мұнда және мұнда - екі.

Сондықтан жазсаңыз екідоға косинусының алдына белгі қойыңыз, соңында не болатынын есте сақтау оңайырақ екіпиен. Және керісінше болады. Ер белгісін өткізіп жіберіңіз ± , соңына жету, дұрыс жазу екі pien, иә, және оны ұстаңыз. Бір нәрсенің алдында екіқол қою! Адам басына қайтады, бірақ қатесін түзейді! Бұл сияқты.)

Егер сізге бұл сайт ұнаса...

Айтпақшы, менде тағы бірнеше қызықты сайттар бар.)

Мысалдар шешуге жаттығып, өз деңгейіңізді білуге ​​болады. Жедел тексеру арқылы тестілеу. Оқу - қызығушылықпен!)

функциялармен және туындылармен танысуға болады.

Ең қарапайым тригонометриялық теңдеулер – теңдеулер

Cos(x)=a, sin(x)=a, tg(x)=a, ctg(x)=a

cos(x) = a теңдеуі

Түсіндіру және негіздеу

1. cosx = a теңдеуінің түбірлері. Қашан | а | > 1 теңдеудің түбірі жоқ, себебі | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 немесе а< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

болсын | а |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. Интервалда y = cos x функциясы 1-ден -1-ге дейін төмендейді. Бірақ кемімелі функция өзінің әрбір мәнін анықтау облысының бір нүктесінде ғана қабылдайды, сондықтан cos x \u003d a теңдеуінің осы интервалда бір ғана түбірі бар, ол доға косинусының анықтамасы бойынша: x 1 \u003d arccos a (және осы түбір үшін cos x \u003d A).

Косинус жұп функция, сондықтан [-n интервалында; 0] теңдеуі cos x = және де бір ғана түбірі бар - x 1-ге қарама-қарсы сан, яғни

x 2 = -arccos a.

Сонымен, [-n интервалында; n] (ұзындығы 2n) теңдеуі | үшін cos x = a а |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

y = cos x функциясы 2n периоды периодты болып табылады, сондықтан барлық басқа түбірлер табылғандардан 2np (n € Z) арқылы ерекшеленеді. cos x = a теңдеуінің түбірлері үшін келесі формуланы аламыз

x = ± arccos a + 2n, n £ Z.

1. cosx = a теңдеуін шешудің жеке жағдайлары.

cos x = a теңдеуінің түбірлері үшін арнайы белгілерді есте сақтау пайдалы

a \u003d 0, a \u003d -1, a \u003d 1, оны нұсқаулық ретінде бірлік шеңберін пайдалану арқылы оңай алуға болады.

Косинус бірлік шеңбердегі сәйкес нүктенің абсциссасына тең болғандықтан, бірлік шеңбердегі сәйкес нүкте А немесе В нүктесі болған жағдайда ғана cos x = 0 мәнін аламыз.

Сол сияқты cos x = 1, егер бірлік шеңбердің сәйкес нүктесі С нүктесі болса ғана, демек,

x = 2πp, k € Z.

Сондай-ақ cos x \u003d -1, егер бірлік шеңберінің сәйкес нүктесі D нүктесі болса ғана, осылайша x \u003d n + 2n,

sin(x) = a теңдеуі

Түсіндіру және негіздеу

1. sinx = a теңдеуінің түбірлері. Қашан | а | > 1 теңдеудің түбірі жоқ, себебі | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 немесе а< -1 не пересекает график функции y = sinx).

«А алу» бейне курсы табысты өтуге қажетті барлық тақырыптарды қамтиды емтихан тапсыруматематикадан 60-65 балл. 1-13 барлық тапсырмаларды орындаңыз профильдік емтиханматематикадан. Сондай-ақ математикадағы негізгі USE тапсыруға жарамды. Емтиханды 90-100 баллмен тапсырамын десеңіз 1 бөлімді 30 минутта қатесіз шешуіңіз керек!

10-11 сыныптар үшін, сондай-ақ мұғалімдер үшін емтиханға дайындық курсы. Математикадан емтиханның 1-бөлігін (алғашқы 12 есеп) және 13-есепті (тригонометрия) шешу үшін қажет нәрсенің бәрі. Бұл Бірыңғай мемлекеттік емтихандағы 70 ұпайдан асады және оларсыз жүз баллдық студент те, гуманист те істей алмайды.

Барлық қажетті теория. Жылдам жолдаремтиханның шешімдері, тұзақтары мен құпиялары. FIPI Банкінің тапсырмалары бойынша 1 бөлімнің барлық тиісті тапсырмалары талданды. Курс USE-2018 талаптарына толығымен сәйкес келеді.

Курс әрқайсысы 2,5 сағаттан тұратын 5 үлкен тақырыпты қамтиды. Әрбір тақырып нөлден бастап, қарапайым және түсінікті түрде беріледі.

Жүздеген емтихан тапсырмалары. Мәтіндік есептер және ықтималдықтар теориясы. Қарапайым және есте сақтау оңай есептерді шешу алгоритмдері. Геометрия. Теория, анықтамалық материал, USE тапсырмаларының барлық түрлерін талдау. Стереометрия. Шешуге арналған қулық, пайдалы парақтар, кеңістіктік қиялды дамыту. Тригонометрия нөлден – 13-тапсырмаға. Тығыздау орнына түсіну. Күрделі ұғымдарды көрнекі түрде түсіндіру. Алгебра. Түбірлер, дәрежелер және логарифмдер, функция және туынды. Емтиханның 2-бөлімінің күрделі есептерін шығару негізі.

Тригонометриялық теңдеулер .

Ең қарапайым тригонометриялық теңдеулер .

Тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістері.

Тригонометриялық теңдеулер. астында белгісізді қамтитын теңдеу тригонометриялық функцияның таңбасы деп аталады тригонометриялық.

Ең қарапайым тригонометриялық теңдеулер.

Тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістері. Тригонометриялық теңдеуді шешу екі кезеңнен тұрады: теңдеуді түрлендіруқарапайым алу үшінтүрі (жоғарыдан қараңыз) және шешімең қарапайым алынған тригонометриялық теңдеу.Жеті бар тригонометриялық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері.

1. Алгебралық әдіс. Бұл әдіс бізге алгебрадан жақсы таныс

(айнымалы алмастыру және ауыстыру әдісі).

2. Факторизация. Бұл әдісті мысалдармен қарастырайық.

МЫСАЛ 1. Теңдеуді шешіңіз:күнә x+ cos x = 1 .

Шешуі.Теңдеудің барлық мүшелерін солға жылжытыңыз:

Күнә x+ cos x – 1 = 0 ,

Өрнекті түрлендірейік және көбейткіштерге бөлейік

Теңдеудің сол жағы:

Мысал 2. Теңдеуді шешіңіз: cos 2 x+ күнә x cos x = 1.

ШЕШІМ cos 2 x+ күнә x cos x– күнә 2 x– cos 2 x = 0 ,

Күнә x cos x– күнә 2 x = 0 ,

Күнә x(кос x– күнә x ) = 0 ,

Мысал 3. Теңдеуді шешіңіз: cos 2 x– cos 8 x+ cos 6 x = 1.

ШЕШІМ cos 2 x+ cos 6 x= 1 + cos8 x,

2 cos 4 x cos 2 x= 2 cos² 4 x ,

Cos 4 x · (кос 2 x– cos 4 x) = 0 ,

Cos 4 x 2 күнә 3 xкүнә x = 0 ,

1). cos 4 x= 0 , 2). күнә 3 x= 0 , 3). күнә x = 0 ,

4. Жартылай бұрышқа көшу. Бұл әдісті мысалмен қарастырайық:

МЫСАЛ Теңдеуді шеш: 3күнә x– 5кос x = 7.

Шешуі: 6 күнә ( x/ 2) cos ( x/ 2) – 5 cos² ( x/ 2) + 5 sin² ( x/ 2) =

7 күнә² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,

2 күнә² ( x/ 2) – 6 күнә ( x/ 2) cos ( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,

сары²( x/ 2) – 3 күңгірт ( x/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Көмекші бұрышты енгізу. Пішіннің теңдеуін қарастырыңыз:

акүнә x + б cos x = в ,

Қайда а, б, в– коэффициенттер;x- белгісіз.

Енді теңдеудің коэффициенттері синус пен косинус қасиеттеріне ие, атап айтқанда: әрқайсысының модулі (абсолютті мән).