Тангенсі бар қарапайым теңдеулер. Тригонометриялық теңдеулерді шешу жолдары. Қысқарту формулалары

Шешім тұжырымдамасы тригонометриялық теңдеулер.

• Тригонометриялық теңдеуді шешу үшін оны бір немесе бірнеше негізгі тригонометриялық теңдеулерге түрлендіру керек. Тригонометриялық теңдеуді шешу ең соңында төрт негізгі тригонометриялық теңдеуді шешуге келеді.

Тригонометриялық теңдеулер ең оңай тақырып емес. Олар әртүрлі.) Мысалы, мыналар:

sin2x + cos3x = ctg5x

sin(5x+π /4) = ctg(2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Және т.б...

Бірақ бұл (және барлық басқа) тригонометриялық құбыжықтардың екі жалпы және міндетті ерекшелігі бар. Біріншіден - сенбейсіз - теңдеулерде тригонометриялық функциялар бар.) Екіншіден: х бар барлық өрнектер дәл осы функциялардың ішінде.Және тек сонда! Егер x бір жерде пайда болса сыртында,Мысалы, sin2x + 3x = 3,бұл аралас типті теңдеу болады. Мұндай теңдеулер қажет жеке көзқарас. Бұл жерде біз оларды қарастырмаймыз.

Бұл сабақта да зұлымдық теңдеулерді шешпейміз.) Мұнда біз айналысамыз қарапайым тригонометриялық теңдеулер.Неліктен? Иә, өйткені шешім кез келгентригонометриялық теңдеулер екі кезеңнен тұрады. Бірінші кезеңде зұлымдық теңдеу әртүрлі түрлендірулер арқылы қарапайымға дейін төмендейді. Екіншісінде - бұл ең қарапайым теңдеу шешілді. Басқа жол жоқ.

Сонымен, егер сізде екінші кезеңде қиындықтар болса, бірінші кезеңнің мағынасы жоқ.)

Элементар тригонометриялық теңдеулер неге ұқсайды?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Мұнда А кез келген санды білдіреді. Кез келген.

Айтпақшы, функцияның ішінде таза x емес, өрнектің қандай да бір түрі болуы мүмкін, мысалы:

cos(3x+π /3) = 1/2

және т.б. Бұл өмірді қиындатады, бірақ тригонометриялық теңдеуді шешу әдісіне әсер етпейді.

Тригонометриялық теңдеулерді қалай шешуге болады?

Тригонометриялық теңдеулерді екі жолмен шешуге болады. Бірінші әдіс: логиканы және тригонометриялық шеңберді қолдану. Біз бұл жолды осында зерттейміз. Екінші әдіс – жады мен формулаларды қолдану – келесі сабақта қарастырылады.

Бірінші жол түсінікті, сенімді және ұмыту қиын.) Бұл тригонометриялық теңдеулерді, теңсіздіктерді және стандартты емес барлық күрделі мысалдарды шешуге жақсы. Логика есте сақтаудан күшті!

Тригонометриялық шеңбердің көмегімен теңдеулерді шешеміз.

Біз қарапайым логиканы және тригонометриялық шеңберді пайдалану мүмкіндігін қосамыз. Сіз алмайсыз ба!? Дегенмен... Тригонометрияда сізге қиын болады...) Бірақ бәрібір. «Тригонометриялық шеңбер ...... Бұл не?» сабақтарына назар аударыңыз. және «Тригонометриялық шеңбердегі бұрыштарды санау». Онда бәрі қарапайым. Оқулықтардан айырмашылығы...)

Аа, білесің бе!? Тіпті, «Тригонометриялық шеңбермен практикалық жұмысты» да меңгерген!? Құттықтауларды қабыл алыңыз. Бұл тақырып сізге жақын әрі түсінікті болады.) Әсіресе қуантатыны тригонометриялық шеңберге қай теңдеуді шешетініңіз маңызды емес. Синус, косинус, тангенс, котангенс – ол үшін бәрі бірдей. Шешім принципі бірдей.

Сонымен кез келген элементар тригонометриялық теңдеуді аламыз. Кем дегенде бұл:

cosx = 0,5

Маған X табу керек. Адам тілінде сөйлейтін болсаң керек косинусы 0,5 болатын бұрышты (x) табыңыз.

Бұрын біз шеңберді қалай пайдаландық? Біз оған бұрыш сыздық. градуспен немесе радианмен. Және бірден көрген Бұл бұрыштың тригонометриялық функциялары. Енді керісінше жасайық. Шеңберге және бірден 0,5-ке тең косинусты сызыңыз Біз көреміз бұрыш. Жауабын жазу ғана қалды.) Иә, иә!

Шеңбер сызып, косинусты 0,5-ке тең етіп белгілейміз. Әрине, косинус осінде. Бұл сияқты:

Енді осы косинус бізге беретін бұрышты салайық. Тінтуірді суреттің үстіне апарыңыз (немесе планшеттегі суретті түртіңіз) және қараңыздәл осы бұрыш X.

Қай бұрыштың косинусы 0,5-ке тең?

x \u003d π / 3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Біреулер күдіктене күбірлейді, иә... Шеңберді қоршау керек пе дейді, бәрі түсінікті болған соң... Күңілдесе де болады, әрине...) Бірақ бұл қателік. жауап. Дәлірек айтқанда, жеткіліксіз. Шеңбердің білгірлері әлі де 0,5-ке тең косинус беретін көптеген бұрыштар бар екенін түсінеді.

Жылжымалы OA жағын бұрсаңыз толық айналым үшін, А нүктесіне түседі бастапқы позиция. Бірдей косинус 0,5-ке тең. Анау. бұрышы өзгереді 360° немесе 2π радиан, және косинус емес.Жаңа бұрыш 60° + 360° = 420° те теңдеуіміздің шешімі болады, өйткені

Мұндай толық айналымдардың шексіз саны бар... Және бұл барлық жаңа бұрыштар біздің тригонометриялық теңдеуіміздің шешімі болады. Және олардың барлығын қандай да бір жолмен жазу керек. Барлық.Әйтпесе, шешім қарастырылмайды, иә ...)

Математика мұны қарапайым және талғампаз түрде жасай алады. Бір қысқа жауапта жазыңыз шексіз жиыншешімдер. Бұл біздің теңдеуіміз үшін келесідей:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Мен шешемін. Әлі де жаз мағыналыКейбір жұмбақ әріптерді ақымақтықпен салудан жақсырақ, солай ма?)

π /3 бізбен бірдей бұрыш көрдішеңберде және анықталдыкосинустар кестесіне сәйкес.

2π радиандағы бір толық айналым.

n - бұл толық саны, яғни. тұтасреволюциялар. Бұл анық n 0, ±1, ±2, ±3.... және т.б. болуы мүмкін. Қысқаша жазбада көрсетілгендей:

n ∈ Z

n тиесілі ( ∈ ) бүтін сандар жиынына ( З ). Айтпақшы, хаттың орнына n әріптерді қолдануға болады k, m, t және т.б.

Бұл белгі кез келген бүтін санды алуға болатынын білдіреді n . Кем дегенде -3, кем дегенде 0, кем дегенде +55. Саған не керек. Егер сіз бұл санды жауабыңызға қоссаңыз, сіз нақты бұрыш аласыз, бұл біздің қатал теңдеудің шешімі болатыны сөзсіз.)

Немесе, басқаша айтқанда, x \u003d π / 3 шексіз жиынның жалғыз түбірі. Барлық басқа түбірлерді алу үшін π / 3-ке кез келген толық айналым санын қосу жеткілікті. n ) радианмен. Анау. 2πn радиан.

Барлық? Жоқ. Мен ерекше ләззат аламын. Жақсырақ есте сақтау үшін.) Біз теңдеуімізге жауаптардың бір бөлігін ғана алдық. Мен шешімнің бірінші бөлігін келесідей жазамын:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - бір түбір емес, қысқаша жазылған түбірлердің тұтас тізбегі.

Бірақ 0,5-ке тең косинус беретін басқа бұрыштар бар!

Суретімізге оралайық, соған сәйкес жауабын жаздық. Міне ол:

Тінтуірді кескіннің үстіне жылжытыңыз және қараңызбұл басқа бұрыш сонымен бірге 0,5 косинусын береді.Бұл немен тең деп ойлайсыз? Үшбұрыштар бірдей... Иә! Ол бұрышқа тең X , тек теріс бағытта сызылған. Бұл бұрыш -X. Бірақ біз х-ті есептеп қойдық. π /3 немесе 60°. Сондықтан біз қауіпсіз жаза аламыз:

x 2 \u003d - π / 3

Және, әрине, біз толық бұрылыстар арқылы алынған барлық бұрыштарды қосамыз:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Енді осымен бітті.) Тригонометриялық шеңберде біз көрді(кім түсінеді, әрине)) Барлық 0,5-ке тең косинус беретін бұрыштар. Және олар бұл бұрыштарды қысқаша математикалық түрде жазды. Жауап түбірлердің екі шексіз қатары:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Бұл дұрыс жауап.

Үміт, тригонометриялық теңдеулерді шешудің жалпы принципішеңбердің көмегімен түсінуге болады. Берілген теңдеуден косинусты (синус, тангенс, котангенс) шеңберге белгілеп, сәйкес бұрыштарды сызып, жауабын жазамыз.Әрине, біз қандай бұрыштар екенімізді анықтау керек көрдішеңберде. Кейде бұл соншалықты айқын емес. Мен айтқанымдай, мұнда логика қажет.)

Мысалы, басқа тригонометриялық теңдеуді талдап көрейік:

Назар аударыңыз, 0,5 саны теңдеулерде мүмкін болатын жалғыз сан емес!) Маған оны түбір мен бөлшекке қарағанда жазу ыңғайлырақ.

Біз жалпы принцип бойынша жұмыс істейміз. Біз шеңбер сызамыз, (әрине, синус осінде!) 0,5 белгілейміз. Осы синусқа сәйкес барлық бұрыштарды бірден саламыз. Біз мына суретті аламыз:

Алдымен бұрышпен айналысайық. X бірінші тоқсанда. Синустар кестесін еске түсіріп, осы бұрыштың мәнін анықтаймыз. Мәселе қарапайым:

x \u003d π / 6

Біз толық бұрылыстарды еске түсіреміз және таза ар-ұжданмен жауаптардың бірінші сериясын жазамыз:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Жұмыстың жартысы бітті. Енді анықтауымыз керек екінші бұрыш...Бұл косинустарға қарағанда қиынырақ, иә... Бірақ логика бізді құтқарады! Екінші бұрышты қалай анықтауға болады x арқылы? Иә оңай! Суреттегі үшбұрыштар бірдей, ал қызыл бұрыш X бұрышқа тең X . Тек ол π бұрышынан теріс бағытта есептеледі. Сондықтан ол қызыл.) Ал жауап үшін бізге оң жарты осьтен дұрыс өлшенген бұрыш қажет OX, яғни. 0 градус бұрыштан.

Курсорды суретке апарып, барлығын көріңіз. Мен суретті қиындатпау үшін бірінші бұрышты алып тастадым. Бізді қызықтыратын бұрыш (жасыл түспен сызылған) мынаған тең болады:

π - x

x біз оны білеміз π /6 . Сонымен, екінші бұрыш болады:

π - π /6 = 5π /6

Тағы да біз толық революцияларды қосуды еске түсіреміз және жауаптардың екінші сериясын жазамыз:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Осымен болды. Толық жауап екі түбір қатарынан тұрады:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Тангенс пен котангенсі бар теңдеулерді тригонометриялық теңдеулерді шешудің бірдей жалпы принципі арқылы оңай шешуге болады. Әрине, сіз тригонометриялық шеңберге тангенс пен котангенсті қалай салу керектігін білмесеңіз.

Жоғарыдағы мысалдарда мен синус пен косинустың кестелік мәнін қолдандым: 0,5. Анау. оқушы білетін мағыналардың бірі міндетті.Енді мүмкіндіктерімізді кеңейтейік барлық басқа құндылықтар.Шешіңіз, шешіңіз!)

Сонымен, келесі тригонометриялық теңдеуді шешуіміз керек делік:

Қысқа кестелерде косинустың мұндай мәні жоқ. Біз бұл қорқынышты фактіні салқын түрде елемейміз. Шеңбер сызып, косинус осіне 2/3 белгілеп, сәйкес бұрыштарды саламыз. Мына суретті аламыз.

Біз бірінші тоқсандағы бұрышпен бастаушылар үшін түсінеміз. Х-тің нешеге тең екенін білу үшін олар бірден жауапты жазады! Біз білмейміз... Сәтсіздік!? Тыныш! Математика өзін қиыншылықта қалдырмайды! Ол осы жағдай үшін доғалық косинустарды ойлап тапты. Білмеймін? Бекер. Біліңіз. Бұл сіз ойлағаннан әлдеқайда оңай. Бұл сілтемеге сәйкес, «кері тригонометриялық функциялар» туралы бірде-бір қиын заклинание жоқ ... Бұл тақырыпта артық.

Егер сіз білетін болсаңыз, жай ғана өзіңізге айтыңыз: «X - косинусы 2/3 болатын бұрыш». Және бірден, таза арккосинаның анықтамасы бойынша, біз жаза аламыз:

Біз қосымша төңкерістерді еске түсіреміз және тригонометриялық теңдеуіміздің түбірлерінің бірінші қатарын тыныш жазамыз:

x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Түбірлердің екінші қатары екінші бұрыш үшін автоматты түрде дерлік жазылады. Барлығы бірдей, тек x (arccos 2/3) минуспен болады:

x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Және бәрі! Бұл дұрыс жауап. Кестелік мәндерге қарағанда оңайырақ. Ештеңені есте сақтаудың қажеті жоқ.) Айтпақшы, бұл сурет доғаның косинусы арқылы шешімі бар екенін байқайды. cosx = 0,5 теңдеуіне арналған суреттен айтарлықтай айырмашылығы жоқ.

Дәл солай! Жалпы принципсондықтан бұл жиі кездеседі! Мен арнайы екі дерлік бірдей сурет салдым. Шеңбер бізге бұрышты көрсетеді X оның косинусы бойынша. Бұл кестелік косинус па, жоқ па - шеңбер білмейді. Бұл қандай бұрыш, π / 3 немесе доғаның қандай косинусы біз шешеді.

Синуспен бірдей ән. Мысалы:

Біз қайтадан шеңбер сызамыз, синусты 1/3-ке тең етіп белгілейміз, бұрыштарды сызамыз. Мына сурет шығады:

Тағы да сурет теңдеудегідей дерлік sinx = 0,5.Бірінші тоқсанда қайтадан бұрыштан бастаймыз. Егер оның синусы 1/3 болса, х неге тең? Проблема жоқ!

Сонымен, тамырлардың бірінші бумасы дайын:

x 1 = доғасы 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Екінші бұрышты қарастырайық. Кесте мәні 0,5 болатын мысалда ол мынаған тең болды:

π - x

Міне, дәл солай болады! Тек x әр түрлі, 1/3 доғасы. Енді не!? Сіз тамырлардың екінші бумасын қауіпсіз жаза аласыз:

x 2 = π - доғасы 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Бұл толығымен дұрыс жауап. Бұл өте таныс емес сияқты. Бірақ бұл түсінікті, үміттенемін.)

Шеңбер арқылы тригонометриялық теңдеулер осылай шешіледі. Бұл жол анық және түсінікті. Дәл сол тригонометриялық теңдеулерде түбірлерді берілген интервалда, тригонометриялық теңсіздіктерде сақтайды - олар әдетте әрқашан дерлік шеңберде шешіледі. Қысқасы, стандартты тапсырмалардан сәл күрделірек кез келген тапсырмаларда.

Білімді практикада қолдану?

Тригонометриялық теңдеулерді шешу:

Алдымен бұл қарапайым, тікелей осы сабақта.

Енді қиынырақ.

Нұсқау: мұнда шеңбер туралы ойлану керек. Жеке.)

Ал енді сырттай қарапайым емес ... Оларды ерекше жағдайлар деп те атайды.

синкс = 0

синкс = 1

cosx = 0

cosx = -1

Нұсқау: мұнда екі жауап қатары бар, қай жерде бір жауап бар ... және екі жауап қатарының орнына біреуін қалай жазу керек екенін шеңбер бойымен анықтау керек. Иә, шексіз саннан бірде-бір түбір жоғалмауы үшін!)

Ал, өте қарапайым):

синкс = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Нұсқау: бұл жерде арксинус, арккосинус деген не екенін білу керек пе? Доғаның тангенсі, доғаның жанамасы дегеніміз не? Ең қарапайым анықтамалар. Бірақ кестелік мәндерді есте сақтаудың қажеті жоқ!)

Жауаптар, әрине, ретсіз):

x 1= arcsin0,3 + 2πn, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Бәрі ойдағыдай емес пе? Болады. Сабақты қайта оқы. Тек ойланып(осындай көнерген сөз бар...) Және сілтемелерге өтіңіз. Негізгі сілтемелер шеңбер туралы. Онсыз тригонометрияда - көзді байлап жолдан қалай өту керек. Кейде ол жұмыс істейді.)

Егер сізге бұл сайт ұнаса...

Айтпақшы, менде тағы бірнеше қызықты сайттар бар.)

Мысалдар шешуге жаттығып, өз деңгейіңізді білуге ​​болады. Жедел тексеру арқылы тестілеу. Оқу - қызығушылықпен!)

функциялармен және туындылармен танысуға болады.

Ең қарапайым тригонометриялық теңдеулер – теңдеулер

Cos(x)=a, sin(x)=a, tg(x)=a, ctg(x)=a

cos(x) = a теңдеуі

Түсіндіру және негіздеу

1. cosx = a теңдеуінің түбірлері. Қашан | а | > 1 теңдеудің түбірі жоқ, себебі | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 немесе а< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

рұқсат етіңіз а |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. Интервалда y = cos x функциясы 1-ден -1-ге дейін төмендейді. Бірақ кемімелі функция өзінің әрбір мәнін анықтау облысының бір нүктесінде ғана қабылдайды, сондықтан cos x \u003d a теңдеуінің осы интервалда бір ғана түбірі бар, ол доға косинусының анықтамасы бойынша: x 1 \u003d arccos a (және осы түбір үшін cos x \u003d A).

Косинус жұп функция, сондықтан [-n интервалында; 0] теңдеуі cos x = және де бір ғана түбірі бар - x 1-ге қарама-қарсы сан, яғни

x 2 = -arccos a.

Сонымен, [-n интервалында; n] (ұзындығы 2n) теңдеуі | үшін cos x = a а |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

y = cos x функциясы 2n периоды периодты болып табылады, сондықтан барлық басқа түбірлер табылғандардан 2np (n € Z) арқылы ерекшеленеді. cos x = a теңдеуінің түбірлері үшін келесі формуланы аламыз

x = ± arccos a + 2n, n £ Z.

1. cosx = a теңдеуін шешудің жеке жағдайлары.

cos x = a теңдеуінің түбірлері үшін арнайы белгілерді есте сақтау пайдалы

a \u003d 0, a \u003d -1, a \u003d 1, оны нұсқаулық ретінде бірлік шеңберін пайдалану арқылы оңай алуға болады.

Косинус бірлік шеңбердегі сәйкес нүктенің абсциссасына тең болғандықтан, егер бірлік шеңбердегі сәйкес нүкте А немесе В нүктесі болса ғана cos x = 0-ді аламыз.

Сол сияқты cos x = 1, егер бірлік шеңбердің сәйкес нүктесі С нүктесі болса ғана, демек,

x = 2πp, k € Z.

Сондай-ақ cos x \u003d -1, егер бірлік шеңберінің сәйкес нүктесі D нүктесі болса ғана, осылайша x \u003d n + 2n,

sin(x) = a теңдеуі

Түсіндіру және негіздеу

1. sinx = a теңдеуінің түбірлері. Қашан | а | > 1 теңдеудің түбірі жоқ, себебі | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 немесе а< -1 не пересекает график функции y = sinx).

Көпті шешкенде математикалық есептер , әсіресе 10-сыныпқа дейін орын алатын, мақсатқа жетелейтін орындалатын әрекеттердің реті нақты белгіленген. Мұндай тапсырмаларға, мысалы, сызықтық және квадрат теңдеулер, сызықтық және квадрат теңсіздіктер, бөлшек теңдеулер және квадратқа келтіретін теңдеулер. Жоғарыда аталған міндеттердің әрқайсысын сәтті шешу принципі келесідей: шешілетін мәселенің қай түріне жататынын анықтау керек, қажетті нәтижеге әкелетін әрекеттердің қажетті тізбегін есте сақтау керек, яғни. жауап беріп, мына қадамдарды орындаңыз.

Әлбетте, белгілі бір мәселені шешудегі сәттілік немесе сәтсіздік, негізінен, шешілетін теңдеудің түрі қаншалықты дұрыс анықталғанына, оны шешудің барлық кезеңдерінің тізбегі қаншалықты дұрыс шығарылғанына байланысты. Әрине, орындауға дағды болуы керек бірдей түрлендірулержәне есептеу.

Басқа жағдай орын алады тригонометриялық теңдеулер.Теңдеудің тригонометриялық екендігін анықтау қиын емес. Дұрыс жауапқа әкелетін әрекеттер тізбегін анықтау кезінде қиындықтар туындайды.

Авторы сыртқы түрітеңдеулердің түрін анықтау кейде қиынға соғады. Ал теңдеудің түрін білмей, бірнеше ондаған тригонометриялық формулалардың ішінен дұрысын таңдау мүмкін емес.

Тригонометриялық теңдеуді шешу үшін мына әрекеттерді орындау керек:

1. теңдеудегі барлық функцияларды «бір бұрыштарға» келтіру;
2. теңдеуді «бірдей функцияларға» келтіру;
3. теңдеудің сол жағын көбейткіштерге бөлу және т.б.

Қарастырыңыз тригонометриялық теңдеулерді шешудің негізгі әдістері.

I. Ең қарапайым тригонометриялық теңдеулерге келтіру

Шешу схемасы

1-қадам.Тригонометриялық функцияны белгілі құрамдас бөліктері арқылы өрнектеңіз.

2-қадамФункция аргументін формулалар арқылы табыңыз:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x \u003d (-1) n доғасы a + πn, n Є Z.

күңгірт x = a; x \u003d arctg a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x \u003d arcctg a + πn, n Є Z.

3-қадамБелгісіз айнымалыны табыңыз.

Мысал.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Шешім.

1) cos(3x - π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Жауабы: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Айнымалы алмастыру

Шешу схемасы

1-қадам.Тригонометриялық функциялардың біріне қатысты теңдеуді алгебралық түрге келтіріңіз.

2-қадамАлынған функцияны t айнымалысы арқылы белгілеңіз (қажет болса t бойынша шектеулер енгізіңіз).

3-қадамАлынған алгебралық теңдеуді жазып, шешіңіз.

4-қадамКері ауыстыруды жасаңыз.

5-қадамЕң қарапайым тригонометриялық теңдеуді шешіңіз.

Мысал.

2cos 2 (x/2) - 5sin (x/2) - 5 = 0.

Шешім.

1) 2(1 - sin 2 (x/2)) - 5sin (x/2) - 5 = 0;

2sin 2(x/2) + 5sin(x/2) + 3 = 0.

2) Sin (x/2) = t болсын, мұндағы |t| ≤ 1.

3) 2т 2 + 5т + 3 = 0;

t = 1 немесе e = -3/2 |t| шартын қанағаттандырмайды ≤ 1.

4) күнә (x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Жауабы: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Теңдеу ретін қысқарту әдісі

Шешу схемасы

1-қадам.Қуатты азайту формулаларын пайдаланып, бұл теңдеуді сызықтық теңдеумен ауыстырыңыз:

sin 2 x \u003d 1/2 (1 - cos 2x);

cos 2 x = 1/2 (1 + cos 2x);

күңгірт 2 x = (1 - cos 2x) / (1 + cos 2x).

2-қадамАлынған теңдеуді I және II әдістер арқылы шешіңіз.

Мысал.

cos2x + cos2x = 5/4.

Шешім.

1) cos 2x + 1/2 (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Жауабы: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Біртекті теңдеулер

Шешу схемасы

1-қадам.Бұл теңдеуді пішінге келтіріңіз

a) a sin x + b cos x = 0 ( біртекті теңдеубірінші дәрежелі)

немесе көрініске

б) a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (екінші дәрежелі біртекті теңдеу).

2-қадамТеңдеудің екі жағын да бөліңіз

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

және tg x теңдеуін алыңыз:

а) a tg x + b = 0;

б) a tg 2 x + b arctg x + c = 0.

3-қадамБелгілі әдістер арқылы теңдеуді шешіңіз.

Мысал.

5sin 2 x + 3sin x cos x - 4 = 0.

Шешім.

1) 5sin 2 x + 3sin x cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x cos x - 4cos 2 x \u003d 0 / cos 2 x ≠ 0.

2) тг 2 x + 3тг x - 4 = 0.

3) Онда tg x = t болсын

t 2 + 3t - 4 = 0;

t = 1 немесе t = -4, сондықтан

tg x = 1 немесе tg x = -4.

Бірінші теңдеуден x = π/4 + πn, n Є Z; екінші теңдеуден x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Жауабы: x = π/4 + πn, n Є Z; x \u003d -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Тригонометриялық формулалар арқылы теңдеуді түрлендіру әдісі

Шешу схемасы

1-қадам.Барлық түрлерін қолдану тригонометриялық формулалар, бұл теңдеуді I, II, III, IV әдістермен шешілетін теңдеуге келтіріңіз.

2-қадамАлынған теңдеуді белгілі әдістер арқылы шешіңіз.

Мысал.

sinx + sin2x + sin3x = 0.

Шешім.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 немесе 2cos x + 1 = 0;

Бірінші теңдеуден 2x = π/2 + πn, n Є Z; екінші теңдеуден cos x = -1/2.

Бізде x = π/4 + πn/2, n Є Z; екінші теңдеуден x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Нәтижесінде x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Жауап: x \u003d π / 4 + πn / 2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Тригонометриялық теңдеулерді шешу қабілеті мен дағдылары өте жоғары маңызды, олардың дамуы оқушы тарапынан да, мұғалім тарапынан да айтарлықтай күш-жігерді қажет етеді.

Стереометрияның, физиканың т.б көптеген есептері тригонометриялық теңдеулерді шешумен байланысты.Осындай есептерді шығару процесі тригонометрия элементтерін оқу кезінде алынатын көптеген білімдер мен дағдыларды қамтиды.

Тригонометриялық теңдеулер математиканы оқыту процесінде және жалпы тұлғаны дамытуда маңызды орын алады.

Сұрақтарыңыз бар ма? Тригонометриялық теңдеулерді шешуді білмейсіз бе?
Тәрбиешінің көмегін алу үшін – тіркеліңіз.
Бірінші сабақ тегін!

сайт, материалды толық немесе ішінара көшірумен, дереккөзге сілтеме қажет.

Сіздің құпиялылығыңыз біз үшін маңызды. Осы себепті біз сіздің ақпаратыңызды қалай пайдаланатынымызды және сақтайтынымызды сипаттайтын Құпиялылық саясатын әзірледік. Құпиялық саясатымызды оқып шығыңыз және сұрақтарыңыз болса, бізге хабарлаңыз.

Жеке ақпаратты жинау және пайдалану

Жеке ақпарат белгілі бір адамды анықтау немесе байланысу үшін пайдаланылуы мүмкін деректерге жатады.

Бізбен байланысқан кез келген уақытта сізден жеке ақпаратыңызды беру сұралуы мүмкін.

Төменде біз жинай алатын жеке ақпарат түрлерінің кейбір мысалдары және мұндай ақпаратты қалай пайдалана алатынымыз берілген.

Біз қандай жеке ақпаратты жинаймыз:

• Сайтта өтініш жіберген кезде біз әртүрлі ақпаратты, соның ішінде атыңызды, телефон нөміріңізді, электрондық пошта мекенжайыңызды және т.б. жинай аламыз.

Жеке ақпаратыңызды қалай қолданамыз:

• Біз жинайтын жеке ақпарат бізге сізбен байланысуға және бірегей ұсыныстар, акциялар және басқа оқиғалар мен алдағы оқиғалар туралы хабарлауға мүмкіндік береді.
• Уақыт өте келе біз сіздің жеке ақпаратыңызды сізге маңызды хабарламалар мен хабарламалар жіберу үшін пайдалануымыз мүмкін.
• Сондай-ақ біз жеке ақпаратты біз ұсынатын қызметтерді жақсарту және қызметтерімізге қатысты ұсыныстар беру үшін аудиттер жүргізу, деректерді талдау және әртүрлі зерттеулер сияқты ішкі мақсаттарда пайдалана аламыз.
• Егер сіз ұтыс ойынына, конкурсқа немесе соған ұқсас ынталандыруға қатысатын болсаңыз, біз осындай бағдарламаларды басқару үшін сіз берген ақпаратты пайдалана аламыз.

Үшінші тұлғаларға ақпаратты ашу

Біз сізден алынған ақпаратты үшінші тұлғаларға жария етпейміз.

Ерекшеліктер:

• Қажет болған жағдайда - заңға сәйкес, сот тәртібімен, сот ісін жүргізуде және/немесе Ресей Федерациясының аумағындағы мемлекеттік органдардың қоғамдық сұраныстары немесе сұраулары негізінде - жеке ақпаратыңызды ашыңыз. Сондай-ақ, мұндай ашу қауіпсіздік, құқық қорғау немесе басқа да қоғамдық мүдде мақсаттары үшін қажет немесе сәйкес екенін анықтасақ, сіз туралы ақпаратты аша аламыз.
• Қайта ұйымдастыру, біріктіру немесе сату жағдайында біз жинаған жеке ақпаратты тиісті үшінші тарап мұрагеріне бере аламыз.

Жеке ақпаратты қорғау

Біз сіздің жеке ақпаратыңызды жоғалтудан, ұрлаудан және теріс пайдаланудан, сондай-ақ рұқсатсыз кіруден, жария етуден, өзгертуден және жоюдан қорғау үшін сақтық шараларын, соның ішінде әкімшілік, техникалық және физикалық шараларды қабылдаймыз.

Компания деңгейінде құпиялылықты сақтау

Сіздің жеке ақпаратыңыздың қауіпсіз болуын қамтамасыз ету үшін біз қызметкерлерге құпиялылық пен қауіпсіздік тәжірибесін хабарлаймыз және құпиялылық тәжірибелерін қатаң түрде орындаймыз.