Өрнекті түрлендіру. Егжей-тегжейлі теория (2019). Алгебралық өрнектерді қалай жеңілдетуге болады x үшін өрнекті жеңілдету

Көбінесе тапсырмаларда жеңілдетілген жауап беру қажет. Жеңілдетілген және жеңілдетілмеген жауаптардың екеуі де дұрыс болғанымен, жауапыңызды жеңілдетпесеңіз, оқытушы сіздің бағаңызды төмендетуі мүмкін. Сонымен қатар, жеңілдетілген математикалық өрнекпен жұмыс істеу әлдеқайда оңай. Сондықтан өрнектерді оңайлатуды үйрену өте маңызды.

Қадамдар

Математикалық амалдардың дұрыс реті

Математикалық амалдарды орындаудың дұрыс ретін есте сақтаңыз.Жеңілдету математикалық өрнекоперациялардың белгілі бір ретін сақтау керек, өйткені кейбір математикалық операциялар басқаларынан басым болады және бірінші орындалу керек (шын мәнінде операциялардың дұрыс ретін сақтамау қате нәтижеге әкеледі). Математикалық амалдардың келесі ретін есте сақтаңыз: жақшадағы өрнек, дәрежеге шығару, көбейту, бөлу, қосу, азайту.
- Амалдардың дұрыс ретін білу қарапайым өрнектердің көпшілігін жеңілдетуге мүмкіндік беретінін ескеріңіз, бірақ көпмүшені (айнымалысы бар өрнек) жеңілдету үшін арнайы трюктерді білу қажет (келесі бөлімді қараңыз).
Жақшадағы өрнекті шешуден бастаңыз.Математикада жақшалар алдымен жабық өрнекті бағалау керек екенін көрсетеді. Сондықтан кез келген математикалық өрнекті жеңілдету кезінде жақшаға алынған өрнекті шешуден бастаңыз (жақшаның ішінде қандай амалдарды орындау керектігі маңызды емес). Бірақ жақшаға алынған өрнекпен жұмыс істегенде амалдардың орындалу ретін сақтау керек екенін есте ұстаған жөн, яғни жақшадағы терминдер алдымен көбейту, бөлу, қосу, азайту және т.б.
- Мысалы, өрнекті жеңілдетейік 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Мұнда жақшадағы өрнектерден бастаймыз: 5 + 2 = 7 және 3 + 4/2 = 3 + 2 = 5.
  - Жақшаның екінші жұбындағы өрнек 5-ке жеңілдетіледі, себебі 4/2 алдымен бөлінуі керек (операциялардың дұрыс ретіне сәйкес). Егер сіз бұл тәртіпті орындамасаңыз, сіз қате жауап аласыз: 3 + 4 = 7 және 7 ÷ 2 = 7/2.
- Жақшаның ішінде басқа жақша жұбы болса, жеңілдетуді ішкі жақшадағы өрнекті шешу арқылы бастаңыз, содан кейін сыртқы жақшадағы өрнекті шешуге көшіңіз.
Күшке көтеріңіз.Жақшадағы өрнектерді шешкеннен кейін дәрежеге көтеруге көшіңіз (дәреженің көрсеткіші мен негізі бар екенін есте сақтаңыз). Сәйкес өрнекті (немесе санды) дәрежеге көтеріп, нәтижені сізге берілген өрнектің орнына қойыңыз.
- Біздің мысалда дәрежедегі жалғыз өрнек (сан) 3 2: 3 2 = 9. Сізге берілген өрнекте 3 2 орнына 9-ды қойыңыз, сонда сіз мынаны аласыз: 2x + 4(7) + 9 - 5 .
Көбейту.Есіңізде болсын, көбейту операциясын келесі белгілермен белгілеуге болады: «x», «∙» немесе «*». Бірақ егер сан мен айнымалы (мысалы, 2x) немесе жақшадағы сан мен сан арасында (мысалы, 4(7)) таңбалар болмаса, бұл да көбейту операциясы.
- Біздің мысалда екі көбейту амалы бар: 2x (екі есе x) және 4(7) (төрт есе жеті). Біз х-тің мәнін білмейміз, сондықтан 2x өрнегін сол күйінде қалдырамыз. 4(7) \u003d 4 x 7 \u003d 28. Енді сізге берілген өрнекті келесідей қайта жазуға болады: 2x + 28 + 9 - 5.
Бөлу.Есіңізде болсын, бөлу операциясын келесі белгілермен белгілеуге болады: «/», «÷» немесе «-» (соңғы таңбаны бөлшекпен көруге болады). Мысалы, 3/4 - үшке төртке бөлінген.
- Біздің мысалда бұдан былай бөлу жоқ, өйткені жақшадағы өрнекті шешу кезінде 4-ті 2-ге (4/2) бөлдіңіз. Сондықтан келесі қадамға өтуге болады. Көптеген өрнектерде бірден барлық математикалық амалдар болмайтынын есте сақтаңыз (тек олардың кейбіреулері).
Бүктеу.Өрнектің шарттарын қосқанда, ең шеткі (сол жақта) мүшеден бастауға болады немесе алдымен оңай қосылатын терминдерді қосуға болады. Мысалы, 49 + 29 + 51 +71 өрнегіне алдымен 49 + 51 = 100, содан кейін 29 + 71 = 100, ең соңында 100 + 100 = 200 қосу оңайырақ. Бұлай қосу әлдеқайда қиын. : 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.
- Біздің 2x + 28 + 9 + 5 мысалында екі қосу амалы бар. Ең шеткі (сол жақ) мүшеден бастайық: 2x + 28; сіз 2x және 28-ді қоса алмайсыз, себебі сіз x мәнін білмейсіз. Сондықтан 28 + 9 = 37 қосыңыз. Енді өрнекті келесідей қайта жазуға болады: 2x + 37 - 5.
Алу.Бұл математикалық операциялардың дұрыс ретіндегі соңғы операция. Бұл кезеңде сіз де қосуға болады теріс сандарнемесе оны мүшелерді қосу кезеңінде орындау - бұл түпкілікті нәтижеге ешқандай әсер етпейді.
- Біздің мысалда 2x + 37 - 5, бір ғана алу амалы бар: 37 - 5 = 32.
Бұл кезеңде барлық математикалық амалдарды орындап, жеңілдетілген өрнекті алу керек.Бірақ егер сізге берілген өрнекте бір немесе бірнеше айнымалы болса, айнымалысы бар мүше сол күйінде қалатынын есте сақтаңыз. Айнымалысы бар өрнекті шешу (жеңілдетудің орнына) сол айнымалының мәнін табуды қамтиды. Кейде айнымалысы бар өрнектерді арнайы әдістер арқылы жеңілдетуге болады (келесі бөлімді қараңыз).
- Біздің мысалда соңғы жауап 2x + 32. Сіз x мәнін білмейінше екі мүшені қоса алмайсыз. Айнымалының мәнін білгеннен кейін бұл биномды оңай жеңілдетуге болады.
Күрделі өрнектерді жеңілдету
1. Ұқсас терминдерді қосу.Ұқсас мүшелерді, яғни айнымалысы бір және көрсеткіші бірдей мүшелерді ғана азайтуға және қосуға болатынын есте сақтаңыз. Мысалы, 7x және 5x қосуға болады, бірақ 7x және 5x 2 қосу мүмкін емес (себебі мұнда дәрежелер әртүрлі).
  - Бұл ереже бірнеше айнымалылары бар мүшелерге де қолданылады. Мысалы, 2xy 2 және -3xy 2 қосуға болады, бірақ 2xy 2 және -3x 2 y немесе 2xy 2 және -3y 2 қосу мүмкін емес.
  - Мысалды қарастырайық: x 2 + 3x + 6 - 8x. Мұнда ұқсас терминдер 3x және 8x, сондықтан оларды біріктіруге болады. Жеңілдетілген өрнек келесідей болады: x 2 - 5x + 6.
2. Санды жеңілдету.Мұндай бөлшекте алым да, бөлгіш те сандарды (айнымалысы жоқ) қамтиды. Сандық бөлшек бірнеше жолмен оңайлатылады. Алдымен бөлгішті алымға бөліңіз. Екіншіден, алым мен бөлгішті көбейтіп, бірдей көбейткіштерді алып тастаңыз (өйткені санды өзіне бөлгенде 1 шығады). Басқаша айтқанда, алым мен бөлгішті бірдей көбейткіш болса, оны тастап, жеңілдетілген бөлшекті алуға болады.
  - Мысалы, 36/60 бөлігін қарастырайық. Калькуляторды пайдаланып, 36-ны 60-қа бөліп, 0,6 алыңыз. Бірақ алым мен бөлгішті көбейткіштерге бөлу арқылы бұл бөлшекті басқа жолмен оңайлатуға болады: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). 6/6 \u003d 1 болғандықтан, жеңілдетілген бөлшек: 1 x 6/10 \u003d 6/10. Бірақ бұл бөлшекті де оңайлатуға болады: 6/10 \u003d (2x3) / (2 * 5) \u003d (2/2) * (3/5) \u003d 3/5.
3. Бөлшекте айнымалы болса, айнымалымен бірдей факторларды азайтуға болады.Алымды да, бөлгішті де көбейтіңіз және оларда айнымалы болса да, бірдей факторларды алып тастаңыз (мұнда бірдей факторлардың айнымалы болуы немесе болмауы мүмкін екенін есте сақтаңыз).
  - Мысалды қарастырайық: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Бұл өрнекті келесі түрде қайта жазуға (көбейтуге) болады: (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). 3x мүшесі алымда да, бөлгіште де болғандықтан, жеңілдетілген өрнекті беру үшін оны азайтуға болады: (x + 1)/(5 - x). Басқа мысалды қарастырайық: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
  - Ешқандай шарттардан бас тартуға болмайтынын ескеріңіз - тек алым мен бөлгіште бар бірдей факторлар ғана жойылады. Мысалы, (x(x + 2))/x өрнегінде айнымалы (көбейткіш) «x» алымда да, бөлгіште де болады, сондықтан «х» азайтылып, жеңілдетілген өрнекті алуға болады: (x + 2) / 1 \u003d x + 2. Алайда (x + 2)/x өрнекте "x" айнымалысын азайту мүмкін емес (өйткені алымдағы "x" фактор емес).
4. Жақшаны ашу.Ол үшін жақшаның сыртындағы мүшені жақшадағы әрбір мүшеге көбейтіңіз. Кейде бұл күрделі өрнекті жеңілдетуге көмектеседі. Бұл мүше мүшелерге де қатысты жай сандар, және айнымалыны қамтитын мүшелерге.
  - Мысалы, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24 және 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
  - Бөлшек өрнектерде алымы мен бөлгішінің екеуі бірдей көбейткіштен тұрса, жақшаларды ашудың қажеті жоқ екенін ескеріңіз. Мысалы, (3(x 2 + 8)) / 3x өрнекте жақшаларды кеңейтудің қажеті жоқ, өйткені мұнда сіз 3 көбейткішін азайтып, жеңілдетілген өрнекті (x 2 + 8) / x алуға болады. Бұл өрнекпен жұмыс істеу оңайырақ; жақшаларды кеңейтсеңіз, келесі күрделі өрнекті аласыз: (3x 3 + 24x)/3x.

Альфа дегенді білдіреді нақты сан. Жоғарыдағы өрнектердегі теңдік белгісі шексіздікке санды немесе шексіздікті қосса, ештеңе өзгермейтінін, нәтиже бірдей шексіздік болатынын көрсетеді. Мысал ретінде шексіз жиынды алсақ натурал сандар, қарастырылған мысалдарды келесі формада беруге болады:

Олардың жағдайын көрнекі түрде дәлелдеу үшін математиктер көптеген әртүрлі әдістерді ойлап тапты. Өз басым бұл әдістердің бәрін бақсылардың домбырамен билейтін билері деп қараймын. Негізінде, олардың барлығы не кейбір бөлмелер бос емес және оларға жаңа қонақтар қоныстанған, немесе қонақтарға орын беру үшін келушілердің кейбірін дәлізге лақтыратын (өте адамдық). Мен мұндай шешімдерге өз көзқарасымды аққұба туралы фантастикалық әңгіме түрінде ұсындым. Менің пікірім неге негізделген? Келушілердің шексіз санын жылжыту шексіз уақытты алады. Біз бірінші қонақ бөлмесін босатқаннан кейін келушілердің бірі әрқашан өз бөлмесінен келесіге дейін уақыттың соңына дейін дәліз бойымен жүреді. Әрине, уақыт факторын ақымақтықпен елемеуге болады, бірақ бұл «заң ақымақтарға жазылмаған» санатынан болады. Мұның бәрі біздің не істеп жатқанымызға байланысты: шындықты математикалық теорияларға бейімдеу немесе керісінше.

«Шексіз қонақ үй» дегеніміз не? Infinity Inn - бұл қанша бөлмеде болса да, әрқашан бос орындар саны бар қонақ үй. «Келушілер үшін» шексіз дәліздегі барлық бөлмелер толтырылған болса, «қонақтарға» арналған бөлмелері бар тағы бір шексіз дәліз бар. Мұндай дәліздердің шексіз саны болады. Сонымен бірге, «шексіз қонақүйде» құдайлардың шексіз санымен жасалған шексіз сансыз ғаламдардағы шексіз сандағы планеталардағы шексіз сандағы ғимараттарда шексіз көп қабаттар бар. Математиктер, керісінше, қарапайым күнделікті мәселелерден алшақтай алмайды: Құдай-Алла-Будда әрқашан жалғыз, қонақ үй біреу, дәліз біреу ғана. Сондықтан математиктер қонақ үй нөмірлерінің сериялық нөмірлерін жонглерлік етуге тырысып, бізді «итерілмегенді итеруге» болады деп сендіреді.

Мен натурал сандардың шексіз жиынының мысалын қолдана отырып, өз ойымның логикасын сізге көрсетемін. Алдымен сіз өте қарапайым сұраққа жауап беруіңіз керек: натурал сандардың қанша жиыны бар - бір немесе көп пе? Бұл сұраққа дұрыс жауап жоқ, өйткені сандарды өзіміз ойлап тапқандықтан, табиғатта сандар жоқ. Иә, табиғат санауды жақсы біледі, бірақ ол үшін ол бізге таныс емес басқа математикалық құралдарды пайдаланады. Табиғат ойлағандай, мен сізге басқа кезде айтамын. Сандарды ойлап тапқандықтан, натурал сандардың қанша жиыны бар екенін өзіміз шешеміз. Нағыз ғалымға лайық екі нұсқаны да қарастырыңыз.

Бірінші нұсқа. «Бізге берілсін» натурал сандардың бір жиыны, олар сөреде тыныш жатыр. Біз бұл жинақты сөреден аламыз. Міне, сөреде басқа натурал сандар қалмады және оларды алатын жер де жоқ. Бұл жинаққа біреуін қоса алмаймыз, өйткені ол бізде бұрыннан бар. Егер сіз шынымен қаласаңыз ше? Проблема жоқ. Алып қойған жиынтықтан бірлік алып, сөреге қайтара аламыз. Осыдан кейін біз сөреден бірлік алып, оны қалдырғанымызға қоса аламыз. Нәтижесінде біз қайтадан натурал сандардың шексіз жиынын аламыз. Сіз біздің барлық манипуляцияларымызды келесідей жаза аласыз:

Мен әрекеттерді жазып алдым алгебралық жүйебелгілеу және жиындар теориясында қабылданған белгілер жүйесінде жиын элементтерін егжей-тегжейлі санау. Жазба натурал сандардың бір ғана жиыны бар екенін көрсетеді. Натурал сандар жиыны одан біреуді алып тастап, сол бірді қосқанда ғана өзгеріссіз қалатыны белгілі болды.

Екінші нұсқа. Бізде сөреде көптеген әртүрлі шексіз натурал сандар жиындары бар. Мен баса айтамын - ТҮРЛІ, олардың іс жүзінде бір-бірінен айырмашылығы жоқ екеніне қарамастан. Біз осы жиынтықтардың бірін аламыз. Содан кейін біз басқа натурал сандар жиынынан біреуін алып, оны бұрыннан алған жиынға қосамыз. Біз тіпті екі натурал сандар жиынын қоса аламыз. Міне, біз мынаны аламыз:

«Бір» және «екі» жазылулары бұл элементтердің әртүрлі жиындарға жататынын көрсетеді. Иә, егер сіз шексіз жиынға біреуін қоссаңыз, нәтиже де шексіз жиын болады, бірақ ол бастапқы жиынмен бірдей болмайды. Бір шексіз жиынға тағы бір шексіз жиын қосылса, нәтиже алғашқы екі жиынның элементтерінен тұратын жаңа шексіз жиын болады.

Натурал сандар жиыны өлшеу үшін сызғыш сияқты санау үшін қолданылады. Енді сызғышқа бір сантиметр қосқаныңызды елестетіңіз. Бұл түпнұсқаға тең емес, басқа сызық болады.

Сіз менің пікірімді қабылдай аласыз немесе қабылдамайсыз - бұл сіздің жеке ісіңіз. Бірақ егер сіз математикалық мәселелерге тап болсаңыз, математиктердің ұрпақтары басқан жалған пайымдаулар жолында екеніңізді қарастырыңыз. Өйткені, математика сабақтары, ең алдымен, бізде ойлаудың тұрақты стереотипін қалыптастырады, содан кейін ғана олар бізге ақыл-ой қабілеттерін қосады (немесе керісінше, олар бізді еркін ойлаудан айырады).

Жексенбі, 4 тамыз, 2019 жыл

Мен мақалаға постскрипт жазып жатырмын және Википедияда мына керемет мәтінді көрдім:

Біз оқимыз: «... бай теориялық негізВавилон математикасы біртұтас сипатқа ие болмады және бір-бірінен айырылған әр түрлі әдістердің жиынтығына дейін қысқарды. ортақ жүйежәне дәлелдемелік база.

Апыр-ай! Біз қаншалықты ақылдымыз және басқалардың кемшіліктерін қаншалықты жақсы көре аламыз. Қазіргі математиканы сол контексте қарау біз үшін әлсіз бе? Жоғарыдағы мәтінді аздап қайталай отырып, мен мынаны алдым:

Қазіргі математиканың бай теориялық негізі біртұтас сипатқа ие емес және ортақ жүйе мен дәлелдеу базасынан айырылған, бір-бірінен бөлек бөлімдер жиынтығына дейін қысқарады.

Сөзімді растау үшін алысқа бармаймын – оның математиканың көптеген басқа салаларының тілі мен шарттылығынан өзгеше тілі мен шарттылығы бар. Математиканың әртүрлі салаларындағы бірдей атаулар әртүрлі мағынаға ие болуы мүмкін. Мен басылымдардың бүкіл циклін қазіргі математиканың ең айқын қателеріне арнағым келеді. Кездескенше.

Сенбі, 3 тамыз, 2019 жыл

Жиынды ішкі жиындарға қалай бөлуге болады? Ол үшін таңдалған жиынның кейбір элементтерінде болатын жаңа өлшем бірлігін енгізу керек. Мысал қарастырайық.

Бізде көп болсын Атөрт адамнан тұрады. Бұл жиын «адамдар» негізінде құрылады. Осы жиынның элементтерін әріп арқылы белгілейік. А, саны бар таңба осы жиынтықтағы әрбір адамның реттік нөмірін көрсетеді. Жаңа өлшем бірлігін «жыныстық белгі» енгізіп, оны әріппен белгілейік б. Жыныстық сипаттамалар барлық адамдарға тән болғандықтан, біз жиынтықтың әрбір элементін көбейтеміз Ажыныс бойынша б. Байқасаңыз, біздің «адамдар» жинағы енді «гендерлік адамдар» жиынтығына айналды. Осыдан кейін жыныстық белгілерді еркектерге бөлуге болады bmжәне әйелдер bwжыныс ерекшеліктері. Енді біз математикалық сүзгіні қолдана аламыз: біз осы жыныстық сипаттамалардың біреуін таңдаймыз, қайсысының еркек немесе әйел екендігі маңызды емес. Егер ол адамда болса, онда оны бірге көбейтеміз, ондай белгі болмаса, нөлге көбейтеміз. Содан кейін біз әдеттегі мектеп математикасын қолданамыз. Не болғанын қараңыз.

Көбейту, азайту және қайта реттеуден кейін біз екі ішкі жиын алдық: аталық жиын bmжәне әйелдердің бір бөлігі bw. Математиктер жиындар теориясын практикада қолданғанда дәл осылай ойлайды. Бірақ олар бізге егжей-тегжейлі ақпарат беруге мүмкіндік бермейді, бірақ бізге дайын нәтиже береді - «көп адамдар ерлер мен әйелдердің шағын жиынтығынан тұрады». Әрине, сізде жоғарыда келтірілген түрлендірулерде математика қаншалықты дұрыс қолданылды деген сұрақ туындауы мүмкін. Шын мәнінде түрлендірулер дұрыс орындалғанына сендіруге батылы бармын, арифметиканың, буль алгебрасының және математиканың басқа бөлімдерінің математикалық негіздемесін білу жеткілікті. Бұл не? Басқа уақытта мен сізге бұл туралы айтамын.

Жоғарғы жиындарға келетін болсақ, осы екі жиынның элементтерінде болатын өлшем бірлігін таңдау арқылы екі жиынды бір супер жиынға біріктіруге болады.

Көріп отырғаныңыздай, өлшем бірліктері мен жалпы математика жиындар теориясын өткен нәрсеге айналдырады. Жиын теориясымен бәрі жақсы емес екендігінің белгісі математиктердің жиындар теориясының өз тілі мен нотасын ойлап табуы. Математиктер бір кездегі бақсылардың істегенін істеді. «Білімін» «дұрыс» қолдануды тек бақсылар ғана біледі. Бұл «білімді» олар бізге үйретеді.

Ақырында, мен сізге математиктердің қалай манипуляция жасайтынын көрсеткім келеді.

Дүйсенбі, 7 қаңтар, 2019 жыл

Біздің эрамызға дейінгі V ғасырда ежелгі грек философы Зенон Элейский өзінің атақты апорияларын тұжырымдаған, олардың ішіндегі ең әйгілісі «Ахиллес және тасбақа» апориясы. Бұл қалай естіледі:

Ахиллес тасбақадан он есе жылдам жүгіріп, одан мың қадам артта қалды делік. Ахиллес осы қашықтықты жүгіріп өткен уақыт ішінде тасбақа бір бағытта жүз қадам жорғалайды. Ахиллес жүз қадам жүгіргенде, тасбақа тағы он қадам жорғалайды, т.б. Процесс шексіз жалғасады, Ахиллес тасбақаны ешқашан қумайды.

Бұл пайымдау барлық кейінгі ұрпақтар үшін логикалық соққы болды. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гилберт... Бұлардың бәрі де Зенонның апорияларын қарастырды. Соққы соншалықты күшті болды » ... пікірталастар қазіргі уақытта жалғасуда, ғылыми қоғамдастық әлі парадокстардың мәні туралы ортақ пікірге келе алмады ... математикалық талдау, жиындар теориясы, жаңа физикалық және философиялық тәсілдер; олардың ешқайсысы мәселенің жалпы қабылданған шешімі бола алмады ..."[Википедия," Зенонның Апориялары "]. Әркім олардың алданып жатқанын түсінеді, бірақ алдаудың не екенін ешкім түсінбейді.

Математика тұрғысынан Зенон өзінің апориясында мәннен мәнге өтуді анық көрсетті. Бұл ауысу тұрақты мәндердің орнына қолдануды білдіреді. Менің түсінуімше, айнымалы өлшем бірліктерін қолданудың математикалық аппараты не әлі жасалмаған, не Зенонның апориясына қолданылмаған. Біздің әдеттегі логикамызды қолдану бізді тұзаққа түсіреді. Біз ойлау инерциясы бойынша өзара уақыттың тұрақты бірліктерін қолданамыз. Физикалық тұрғыдан алғанда, Ахиллес тасбақаны қуып жеткен сәтте уақыт толығымен тоқтап қалған сияқты. Уақыт тоқтап қалса, Ахиллес енді тасбақаны басып озуы мүмкін емес.

Біз үйренген логиканы бұрсақ, бәрі өз орнына келеді. Ахиллес тұрақты жылдамдықпен жүгіреді. Оның жолының әрбір келесі сегменті алдыңғысынан он есе қысқа. Тиісінше, оны еңсеруге кететін уақыт бұрынғыға қарағанда он есе аз. Бұл жағдайда «шексіздік» ұғымын қолданатын болсақ, онда «Ахиллес тасбақаны шексіз тез басып озады» деу дұрыс болар еді.

Бұл логикалық тұзақтан қалай құтылуға болады? Уақыттың тұрақты бірліктерін сақтаңыз және өзара мәндерге ауыспаңыз. Зенон тілінде ол былай көрінеді:

Ахиллеске мың қадам жүгіру керек болса, тасбақа бір бағытта жүз қадам жорғалайды. Келесі уақыт аралығында, біріншіге тең, Ахиллес тағы мың қадам жүгіреді, ал тасбақа жүз қадам жорғалайды. Енді Ахиллес тасбақадан сегіз жүз қадам алда.

Бұл тәсіл ешқандай логикалық парадокссыз шындықты адекватты түрде сипаттайды. Бірақ бұл мәселенің толық шешімі емес. Эйнштейннің жарық жылдамдығының еңсерілмейтіндігі туралы мәлімдемесі Зенонның «Ахиллес және тасбақа» апориясына өте ұқсас. Бізде бұл мәселені әлі зерттеп, қайта ойластырып, шешу керек. Ал шешімді шексіз емес іздеу керек үлкен сандар, бірақ өлшем бірліктерімен.

Зенонның тағы бір қызықты апориясы ұшатын жебе туралы айтады:

Ұшатын жебе қозғалыссыз, өйткені ол уақыттың әр сәтінде тыныштықта болады, ал әр уақытта тыныштықта болғандықтан, ол әрқашан тыныштықта болады.

Бұл апорияда логикалық парадокс өте қарапайым еңсеріледі - уақыттың әр сәтінде ұшатын жебе кеңістіктің әртүрлі нүктелеріне тірелетінін нақтылау жеткілікті, бұл шын мәнінде қозғалыс. Бұл жерде тағы бір айта кететін жайт бар. Жолдағы көліктің бір фотосуретінен оның қозғалу фактісін де, оған дейінгі қашықтықты да анықтау мүмкін емес. Автокөліктің қозғалыс фактісін анықтау үшін бір нүктеден әртүрлі уақыт нүктелерінде түсірілген екі фотосурет қажет, бірақ оларды қашықтықты анықтау үшін пайдалану мүмкін емес. Автокөлікке дейінгі қашықтықты анықтау үшін сізге бір уақытта ғарыштың әртүрлі нүктелерінен түсірілген екі фотосурет қажет, бірақ сіз олардан қозғалыс фактісін анықтай алмайсыз (әрине, сізге әлі де есептеулер үшін қосымша деректер қажет, тригонометрия сізге көмектеседі). Менің атап өткім келетіні, екі уақыт нүктесі мен кеңістіктегі екі нүкте екі түрлі нәрсе, оларды шатастырмау керек, өйткені олар барлауға әртүрлі мүмкіндіктер береді.

Сәрсенбі, 4 шілде, 2018 жыл

Мен сізге айттым, оның көмегімен бақсылар «» шындықты сұрыптауға тырысады. Олар мұны қалай жасайды? Жиынның қалыптасуы шын мәнінде қалай жүреді?

Жиынның анықтамасын егжей-тегжейлі қарастырайық: «біртұтас тұтастық ретінде ойластырылған әртүрлі элементтердің жиынтығы». Енді екі сөз тіркесінің арасындағы айырмашылықты сезініңіз: «тұтастай ойлауға болады» және «тұтас ретінде ойлауға болады». Бірінші тіркес – түпкі нәтиже, көптік. Екінші тіркес – жиынды қалыптастыруға алдын ала дайындық. Бұл кезеңде шындық жеке элементтерге («тұтас») бөлінеді, олардан кейін көптік («бір бүтін») қалыптасады. Бұл ретте «тұтасты» «бір бүтінге» біріктіруге мүмкіндік беретін фактор мұқият бақыланады, әйтпесе бақсылар табысқа жете алмайды. Өйткені, бақсылар бізге қандай жиынды көрсеткісі келетінін алдын ала біледі.

Мен процесті мысалмен көрсетемін. Біз «безеудегі қызыл қатты» таңдаймыз - бұл біздің «тұтас». Сонымен қатар, біз бұл заттардың бантикті де, садақсыз да бар екенін көреміз. Осыдан кейін біз «бүтіннің» бөлігін таңдап, «садақпен» жиынтықты қалыптастырамыз. Бақсылар өздерінің жиынтық теориясын шындыққа байлап, осылайша қоректенеді.

Енді кішкене трюк жасайық. Келіңіздер, «садақпен безеудегі қатты» алайық және қызыл элементтерді таңдай отырып, осы «тұтас» түстерді біріктірейік. Бізде «қызыл» көп болды. Енді күрделі сұрақ: алынған «садақпен» және «қызыл» жиынтықтар бір жиынтық па, әлде екі түрлі жиынтық па? Жауабын тек бақсылар ғана біледі. Дәлірек айтқанда, олардың өздері ештеңе білмейді, бірақ олар айтқандай, солай болады.

Бұл қарапайым мысал жиынтық теориясы шындыққа келгенде мүлдем пайдасыз екенін көрсетеді. Мұның сыры неде? Біз «садақпен қызыл қатты безеу» жиынтығын жасадық. Қалыптастыру төрт түрлі өлшем бірлігі бойынша өтті: түс (қызыл), беріктік (тұтас), кедір-бұдырлық (төбешікте), әшекейлер (садақпен). Математика тілінде нақты объектілерді адекватты сипаттауға тек өлшем бірліктерінің жиынтығы ғана мүмкіндік береді.. Міне, ол қалай көрінеді.

Әр түрлі индекстері бар «а» әрпі әртүрлі өлшем бірліктерін білдіреді. Жақшада өлшем бірліктері бөлектеледі, оған сәйкес «бүтін» алдын ала кезеңде бөлінеді. Жиынтық құрастырылған өлшем бірлігі жақшадан алынады. Соңғы жол соңғы нәтижені – жиынның элементін көрсетеді. Көріп отырғаныңыздай, жиынды құру үшін бірліктерді қолданатын болсақ, онда нәтиже біздің әрекеттеріміздің ретіне байланысты емес. Бұл бақсылардың домбырамен билейтін билері емес, математика. Бақсылар бірдей нәтижеге «айқындықпен» дауласып, «интуитивті түрде» келе алады, өйткені өлшем бірліктері олардың «ғылыми» арсеналына кірмейді.

Өлшем бірліктерінің көмегімен бір топтаманы бұзу немесе бірнеше жиынтықты бір супержинаққа біріктіру өте оңай. Осы процестің алгебрасын толығырақ қарастырайық.

Сенбі, 30 маусым, 2018 жыл

Егер математиктер бір ұғымды басқа ұғымдарға келтіре алмаса, онда олар математикадан ештеңе түсінбейді. Мен жауап беремін: бір жиынның элементтері басқа жиынның элементтерінен қалай ерекшеленеді? Жауап өте қарапайым: сандар мен өлшем бірліктері.

Дәл бүгін біз қабылдамайтын нәрсенің бәрі қандай да бір жиынтыққа жатады (математиктер бізді сендіргендей). Айтпақшы, маңдайыңыздағы айнадан өзіңіз тиесілі жиынтықтардың тізімін көрдіңіз бе? Ал мен мұндай тізімді көрген емеспін. Мен толығырақ айтайын - шын мәнінде бірде-бір затта бұл зат тиесілі жиынтықтардың тізімі бар тег жоқ. Жиынтықтардың барлығы бақсылардың ойлап тапқандары. Олар мұны қалай жасайды? Тарихқа сәл тереңірек үңіліп көрейік және математик-шамандар оларды өз жиындарына тартқанға дейін жиынның элементтері қалай көрінгенін көрейік.

Баяғыда, әлі ешкім математика туралы естімеген, тек ағаштар мен Сатурн сақиналары болған кезде, жиындардың жабайы элементтерінің үлкен табындары физикалық өрістер(әйтеуір, бақсылар математикалық өрістерді әлі ойлап тапқан жоқ). Олар осылай көрінді.

Иә, таң қалмаңыз, математика тұрғысынан жиындардың барлық элементтері ең ұқсас теңіз кірпілері- бір нүктеден инелер сияқты өлшем бірліктері барлық бағытта шығып тұрады. Кез келген өлшем бірлігін геометриялық түрде еркін ұзындықтың кесіндісі, ал санды нүкте ретінде көрсетуге болатынын еске саламын. Геометриялық түрде кез келген шаманы бір нүктеден әр түрлі бағытта шығып тұратын кесінділер шоғыры ретінде көрсетуге болады. Бұл нүкте нөлдік нүкте болып табылады. Мен бұл геометриялық өнер туындысын салмаймын (шабыт жоқ), бірақ сіз оны оңай елестете аласыз.

Қандай өлшем бірліктері жиынның элементін құрайды? Бұл элементті әртүрлі көзқарастардан сипаттайтын кез келген. Бұл ата-бабаларымыз қолданып жүрген және бәрі бұрыннан ұмытып кеткен ежелгі өлшем бірліктері. Бұл біз қазір қолданатын заманауи өлшем бірліктері. Бұл біздің ұрпақтарымыз ойлап табатын және шындықты сипаттау үшін қолданатын бізге белгісіз өлшем бірліктері.

Біз геометрияны анықтадық - жиынтық элементтерінің ұсынылған үлгісі айқын геометриялық бейнелеу. Ал физика ше? Өлшем бірліктері – бұл математика мен физиканың тікелей байланысы. Бақсылар өлшем бірліктерін математикалық теориялардың толыққанды элементі ретінде мойындамаса, бұл олардың мәселесі. Мен нақты математика ғылымын өлшем бірліктерінсіз елестете алмаймын. Сондықтан жиындар теориясы туралы әңгіменің басында мен оны тас дәуірі деп айттым.

Бірақ ең қызықтысына көшейік - жиындар элементтерінің алгебрасына. Алгебралық тұрғыдан алғанда жиынның кез келген элементі әртүрлі шамалардың туындысы (көбейтудің нәтижесі) болып табылады.Ол былай көрінеді.

Мен жиындар теориясында қабылданған конвенцияларды әдейі пайдаланбадым, өйткені біз жиынтық теориясы пайда болғанға дейін табиғи ортада жиынтық элементін қарастырамыз. Жақшадағы әрбір әріп жұбы « әрпімен көрсетілген саннан тұратын бөлек мәнді білдіреді. n«және» әрпімен белгіленген өлшем бірліктері а". Әріптердің жанындағы индекстер сандар мен өлшем бірліктерінің әртүрлі екенін көрсетеді. Жиынның бір элементі шексіз мәндерден тұруы мүмкін (бізде және біздің ұрпақтарымызда жеткілікті қиял болғанша). Әрбір жақша геометриялық түрде бөлек кесіндімен берілген.Теңіз кірпісінің мысалында бір жақша бір ине.

Бақсылар әртүрлі элементтерден жиынтықтарды қалай жасайды? Шын мәнінде, өлшем бірліктері бойынша немесе сандар арқылы. Математикадан ештеңе түсінбей, олар әртүрлі теңіз кірпілерін алып, жиынтық құрайтын бір инені іздеу үшін оларды мұқият тексереді. Егер мұндай ине болса, онда бұл элемент жиынтыққа жатады, ондай ине жоқ болса, бұл элемент осы жиынтықтан емес. Бақсылар бізге психикалық процестер мен біртұтас тұтастық туралы аңыз әңгімелейді.

Сіз болжағандай, бір элемент әртүрлі жиынтықтарға жатады. Әрі қарай, жиындар, ішкі жиындар және басқа шамандық сандырақтардың қалай қалыптасатынын көрсетемін. Көріп отырғаныңыздай, «жиынның екі бірдей элементі болуы мүмкін емес», бірақ жиында бірдей элементтер болса, мұндай жиын «көп жиын» деп аталады. Ақылға қонымды жандар мұндай абсурдтық қисынды ешқашан түсінбейді. Бұл сөйлейтін попугаялар мен үйретілген маймылдардың деңгейі, онда ақыл-ой «толық» деген сөзде жоқ. Математиктер бізге өздерінің сандырақ идеяларын уағыздап, қарапайым жаттықтырушы ретінде әрекет етеді.

Бір кездері көпірді салған инженерлер көпірді сынау кезінде көпірдің астында қайықта болған. Көпір құласа, орта инженер өз туындысының үйінділерінің астында қайтыс болды. Көпір жүкке шыдаса, талантты инженер басқа көпірлерді салды.

Математиктер «ой менікі, мен үйдемін», дәлірек айтсақ, «математика абстрактілі ұғымдарды зерттейді» деген сөздің астарына қалай тығылса да, оларды шындықпен тығыз байланыстыратын бір кіндік бар. Бұл кіндік ақша. Математикалық жиындар теориясын математиктердің өздеріне қолданайық.

Біз математиканы өте жақсы оқыдық, қазір кассада отырамыз, жалақы төлеп жатырмыз. Міне, бізге математик өз ақшасына келеді. Біз оған барлық соманы есептеп, оны үстелге әртүрлі қадаларға саламыз, онда біз бірдей номиналдағы вексельдерді саламыз. Содан кейін біз әрбір үйіндіден бір шотты алып, математикке оның «математикалық жалақы жиынтығын» береміз. Бірдей элементтері жоқ жиынның бірдей элементтері бар жиынға тең болмайтынын дәлелдегенде ғана ол қалған шоттарды алатынын математикаға түсіндіреміз. Міне, қызық осы жерден басталады.

Біріншіден, депутаттардың «басқаларға қолдануға болады, маған емес!» деген логикасы жұмыс істейді. Әрі қарай, бір номиналдағы банкноттарда әртүрлі банкнот нөмірлері бар екендігі туралы кепілдіктер басталады, яғни оларды бірдей элементтер деп санауға болмайды. Ал, біз жалақыны тиынмен санаймыз - монеталарда ешқандай сандар жоқ. Мұнда математик физиканы қатты еске алады: әртүрлі монеталарда кірдің әртүрлі мөлшері бар, әрбір монета үшін атомдардың кристалдық құрылымы мен орналасуы бірегей ...

Ал енді менде ең қызықты сұрақ бар: көп жиынның элементтері жиынның элементтеріне айналатын шекара қайда және керісінше? Ондай сызық жоқ – бәрін бақсылар шешеді, мұнда ғылым тіпті жақын емес.

Мына жерге қара. Біз алаңы бірдей футбол стадиондарын таңдаймыз. Өрістердің ауданы бірдей, бұл бізде мультисет бар дегенді білдіреді. Бірақ бір стадиондардың атын алып қарасақ, көп нәрсе аламыз, себебі атаулары әртүрлі. Көріп отырғаныңыздай, элементтердің бірдей жиыны бір уақытта жиын және көп жиын болып табылады. Қалай дұрыс? Міне, математик-шаман-шуллер жеңінен қаңбақ шығарып, не жиынтық, не мультисет туралы айта бастайды. Қалай болғанда да, ол бізді өзінің дұрыс екеніне сендіреді.

Заманауи бақсылардың жиындар теориясымен қалай әрекет ететінін түсіну үшін оны шындыққа байланыстыру үшін бір сұраққа жауап беру жеткілікті: бір жиынның элементтері басқа жиынның элементтерінен қалай ерекшеленеді? Мен сізге «жалғыз тұтас емес» немесе «бір бүтін ретінде елестету мүмкін емес» болмай көрсетемін.

Саған қажет болады

- көпмүшенің мономиясы туралы түсінік;
- қысқартылған көбейту формулалары;
- бөлшектермен амалдар;
- негізгі тригонометриялық сәйкестіктер.

Нұсқау

Егер өрнекте мономалдар болса, олар үшін коэффициенттердің қосындысын тауып, оларды бір көбейткішке көбейтіңіз. Мысалы, 2 a-4 a + 5 a + a \u003d (2-4 + 5 + 1) ∙ a \u003d 4 ∙ a өрнегі болса.

Егер өрнек болса табиғи бөлшек, алым мен бөлгіштен ортақ көбейткішті таңдап, сол арқылы бөлшекті азайт. Мысалы, бөлшекті (3 a²-6 a b+3 b²) / (6∙a²-6∙b²) азайту керек болса, алымдағы алым мен бөлгіштен ортақ көбейткіштерді алып тастасаңыз, ол 3 болады. бөлгіш 6. (3 ( a²-2 a b+b²))/(6∙(a²-b²)) өрнегін алыңыз. Алым мен бөлгішті 3-ке азайтып, қалған өрнектерге азайтылған көбейту формулаларын қолданыңыз. Алым үшін бұл айырманың квадраты, ал бөлгіш үшін квадраттардың айырмасы. (a-b)²/(2∙ (a+b)∙(a-b)) өрнегін ортақ мәнге келтіру арқылы алыңыз. көбейткіш a-b, (a-b)/(2∙ (a+b)) өрнегін алыңыз, бұл, қашан нақты мәндерайнымалыларды есептеу әлдеқайда оңай.

Егер мономалдар дәрежеге дейін көтерілген бірдей факторларға ие болса, онда оларды қосқанда, дәрежелердің тең екендігіне көз жеткізіңіз, әйтпесе ұқсастарды азайта алмайсыз. Мысалы, егер 2 ∙ м² + 6 м³-м²-4 м³ + 7 өрнегі болса, онда ұқсастарын азайтқанда м² + 2 м³ + 7 аласыз.

Тригонометриялық сәйкестіктерді жеңілдету кезінде оларды түрлендіру үшін формулаларды пайдаланыңыз. Негізгі тригонометриялық сәйкестік sin²(x)+cos²(x)=1, sin(x)/cos(x)=tg(x), 1/ tg(x)= ctg(x), аргументтердің қосындысы мен айырмасының формулалары, қос, үштік және т.б. Мысалы, (sin(2∙x)-cos(x))/ ctg(x). Қос аргумент пен котангенстің формуласын косинустың синусына қатынасы ретінде жазыңыз. (2∙ sin(x) cos(x)- cos(x)) sin(x)/cos(x) алыңыз. Ортақ көбейткішті, cos(x) және жою cos(x) (2∙ sin(x) - 1) sin(x)/cos(x)= (2∙ sin(x) - 1) sin(x) .

Қатысты бейнелер

Дереккөздер:

өрнекті жеңілдету формуласы

Қысқалық, олар айтқандай, таланттың қарындасы. Барлығы өз талантын көрсеткісі келеді, бірақ оның әпкесі күрделі нәрсе. Қандай да бір себептермен, тамаша ойлар киінген күрделі сөйлемдеркөптеген септік жалғаулары бар. Дегенмен, ұсыныстарыңызды жеңілдетіп, барлығына түсінікті және қолжетімді ету сіздің қолыңызда.

Нұсқау

Адресатқа (тыңдаушы болсын, оқырман болсын) жеңіл болу үшін, септік және мүшелік тіркестерді қысқа бағыныңқы сөйлемдермен алмастыруға тырысыңыз, әсіресе бір сөйлемде жоғарыда аталған тіркестер тым көп болса. «Үйге жаңа ғана тышқан жеп, қатты міңгірлеп, үй иесін сипап, дүкеннен әкелген балықты сұрап алайын деп, көзіне қарауға тырысып, үйге келген мысық жұмыс істемейді. Мұндай құрылысты бірнеше бөлікке бөліп, асықпаңыз және бәрін бір сөйлеммен айтуға тырыспаңыз, сіз бақыттысыз.

Егер сіз тамаша мәлімдеме ойласаңыз, бірақ ол тым көп болып шықты бағыныңқы сөйлемдер(әсіресе біреуімен), мәлімдемені бірнеше бөлек сөйлемдерге бөліп немесе кейбір элементті алып тастаған дұрыс. «Біз Марина Васильевнаға Катяның Витаға айтатынын айтады деп шештік ...» - деп шексіз жалғастыруға болады. Уақытында тоқтап, оны кім оқитынын немесе тыңдайтынын есте сақтаңыз.

Дегенмен, тұзақтар сөйлемнің құрылымында ғана емес. Сөздік қорына назар аударыңыз. шетелдік сөздер, ұзақ терминдер, 19 ғасырдың көркем әдебиетінен алынған сөздер - мұның бәрі қабылдауды қиындатады. Мәтінді қай аудиторияға жазып жатқаныңызды өзіңіз анықтап алғаныңыз жөн: техникалық мамандар, әрине, күрделі терминдерді де, нақты сөздерді де түсінеді; бірақ әдебиет мұғаліміне сол сөздерді ұсынсаңыз, ол сізді түсінуі екіталай.

Талант деген керемет нәрсе. Егер сіз дарынды болсаңыз (және қабілетсіз адамдар жоқ), сіздің алдыңызда көптеген жолдар ашылады. Бірақ талант күрделілікте емес, қарапайымдылықта, біртүрлі. Қарапайым болыңыз, сонда сіздің таланттарыңыз анық және барлығына қолжетімді болады.

Қатысты бейнелер

Математикадағы өрнектерді оңайлатуды үйрену есептерді, әртүрлі теңдеулерді дұрыс және жылдам шешу үшін қажет. Өрнекті жеңілдету қадамдар санын азайтуды білдіреді, бұл есептеулерді жеңілдетеді және уақытты үнемдейді.

Нұсқау

арқылы қуаттарды есептеуді үйреніңіз. с-ның дәрежелерін көбейткенде, негізі бірдей сандар шығады және дәрежелері b^m+b^n=b^(m+n) қосылады. Негіздері бірдей дәрежелерді бөлгенде, негізі өзгеріссіз қалатын санның дәрежесі алынады, ал дәрежелері алынып тасталады, ал бөлгіш көрсеткіші b ^ m: b ^ n \u003d b ^ (m-n) алынады. дивидендтер индексінен. Дәрежені дәрежеге көтергенде, негізі өзгеріссіз қалатын санның дәрежесі алынады және дәрежелері көбейтіледі (b^m)^n=b^(mn)Дәрежеге көтерілгенде, әрбір коэффициенті осы қуатқа көтеріледі.(abc)^m=a^m *b^m*c^m

Көпмүшелерді көбейткіштерге бөлу, яғни. оларды бірнеше факторлардың туындысы ретінде көрсетеді - көпмүшеліктер мен мономалдар. Жақшалардан ортақ көбейткішті алыңыз. Негізгі қысқартылған көбейту формулаларын үйреніңіз: квадраттардың айырмасы, қосындының квадраты, айырманың квадраты, текшелердің қосындысы, кубтардың айырмасы, қосындының кубы және айырма. Мысалы, m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2. Дәл осы формулалар өрнектерді оңайлатуда негізгі болып табылады. ax^2+bx+c түріндегі үшмүшеліктегі толық квадратты ерекшелеу әдісін қолданыңыз.

Бөлшектерді мүмкіндігінше жиі азайтыңыз. Мысалы, (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c). Бірақ тек көбейткіштерді азайтуға болатындығын есте сақтаңыз. Егер алгебралық бөлшектің алымы мен бөлімі нөлдік емес бірдей санға көбейтілсе, онда бөлшектің мәні өзгермейді. Рационал өрнектерді екі жолмен түрлендіруге болады: тізбек және әрекет арқылы. Екінші әдіс қолайлы, өйткені. аралық әрекеттердің нәтижелерін тексеру оңайырақ.

Көбінесе өрнектерде тамырларды алу қажет. Жұп түбірлер тек теріс емес өрнектерден немесе сандардан алынады. Кез келген өрнектен тақ дәрежелі түбірлер алынады.

Дереккөздер:

дәрежелері бар өрнектерді жеңілдету

Математикадағы «өрнек» әдетте сандар мен айнымалы мәндері бар арифметикалық және алгебралық амалдар жиынтығы болып табылады. Санды белгілеу пішіміне ұқсастық бойынша мұндай жиын бөлу операциясын қамтитын жағдайда «бөлшек» деп аталады. TO бөлшек өрнектер, жай бөлшек пішіміндегі сандар сияқты, жеңілдету амалдары қолданылады.

Нұсқау

Алым үшін ортақ көбейткішті табудан бастаңыз және - бұл сандық қатынас үшін де, белгісіз айнымалылар үшін де бірдей. Мысалы, алым 45*Х, ал бөлгіш 18*Y болса, онда ең үлкен ортақ көбейткіш 9 болады. Осы қадамды орындағаннан кейін алым 9*5*Х, ал бөлгішті 9*2* деп жазуға болады. Ы.

Егер алымдағы және бөлгіштегі өрнектер негізгі математикалық амалдардың (бөлу, қосу және азайту) тіркесімін қамтыса, онда алдымен олардың әрқайсысы үшін ортақ көбейткішті бөлек алып, содан кейін олардан ең үлкен ортақ бөлгішті бөліп алу керек. сандар. Мысалы, алымдағы 45*X+180 өрнегі үшін 45 көбейткіш жақшаның ішінен шығарылуы керек: 45*X+180 = 45*(X+4). Ал бөлгіштегі 18+54*Y өрнегін 18*(1+3*У)-ға келтіру керек. Содан кейін алдыңғы қадамдағыдай жақшаға алынған көбейткіштердің ең үлкен ортақ бөлгішін табыңыз: 45*X+180 / 18+54*Y = 45*(X+4) / 18*(1+3*Y) = 9* 5* (X+4) / 9*2*(1+3*Y). Бұл мысалда ол да тоғызға тең.

Бөлшектің алымы мен бөліміндегі алдыңғы қадамдарда табылған ортақ көбейткішті азайтыңыз. Бірінші қадамдағы мысал үшін барлық жеңілдету операциясын келесідей жазуға болады: 45*X / 18*Y = 9*5*X / 9*2*Y = 5*X / 2*Y.

Қысқарту арқылы оңайлату міндетті емес ортақ бөлгішсан болуы керек, ол айнымалысы бар өрнек те болуы мүмкін. Мысалы, бөлшектің алымы (4*X + X*Y + 12 + 3*Y), ал бөлгіш (X*Y + 3*Y - 7*X - 21) болса, онда ең үлкен ортақ бөлгіш X + 3 өрнегі болады, оны өрнекті жеңілдету үшін қысқарту керек: (4*X + X*Y + 12 + 3*Y) / (X*Y + 3*Y - 7*X - 21) = (X + 3) * (4 +Y) / (X+3)*(Y-7) = (4+Y) / (Y-7).

Сіздің құпиялылығыңыз біз үшін маңызды. Осы себепті біз сіздің ақпаратыңызды қалай пайдаланатынымызды және сақтайтынымызды сипаттайтын Құпиялылық саясатын әзірледік. Құпиялық саясатымызды оқып шығыңыз және сұрақтарыңыз болса, бізге хабарлаңыз.

Жеке ақпаратты жинау және пайдалану

Жеке ақпарат белгілі бір адамды анықтау немесе байланысу үшін пайдаланылуы мүмкін деректерге жатады.

Бізбен байланысқан кез келген уақытта сізден жеке ақпаратыңызды беру сұралуы мүмкін.

Төменде біз жинай алатын жеке ақпарат түрлерінің кейбір мысалдары және мұндай ақпаратты қалай пайдалана алатынымыз берілген.

Біз қандай жеке ақпаратты жинаймыз:

Сайтта өтініш жіберген кезде біз әртүрлі ақпаратты, соның ішінде атыңызды, телефон нөміріңізді, электрондық пошта мекенжайыңызды және т.б. жинай аламыз.

Жеке ақпаратыңызды қалай қолданамыз:

Біз жинайтын жеке ақпарат бізге сізбен байланысуға және бірегей ұсыныстар, акциялар және басқа оқиғалар мен алдағы оқиғалар туралы хабарлауға мүмкіндік береді.
Уақыт өте келе біз сіздің жеке ақпаратыңызды сізге маңызды ескертулер мен хабарламаларды жіберу үшін пайдалануымыз мүмкін.
Сондай-ақ біз жеке ақпаратты біз ұсынатын қызметтерді жақсарту және қызметтерімізге қатысты ұсыныстар беру үшін аудиттер жүргізу, деректерді талдау және әртүрлі зерттеулер сияқты ішкі мақсаттарда пайдалана аламыз.
Егер сіз ұтыс ойынына, конкурсқа немесе соған ұқсас ынталандыруға қатысатын болсаңыз, біз осындай бағдарламаларды басқару үшін сіз берген ақпаратты пайдалана аламыз.

Үшінші тұлғаларға ақпаратты ашу

Біз сізден алынған ақпаратты үшінші тұлғаларға жария етпейміз.

Ерекшеліктер:

Қажет болған жағдайда - заңға сәйкес, сот тәртібімен, сот ісін жүргізуде және/немесе Ресей Федерациясының аумағындағы мемлекеттік органдардың қоғамдық сұраныстары немесе сұраулары негізінде - жеке ақпаратыңызды ашыңыз. Сондай-ақ, мұндай ашу қауіпсіздік, құқық қорғау немесе басқа да қоғамдық мүдде мақсаттары үшін қажет немесе сәйкес екенін анықтасақ, сіз туралы ақпаратты аша аламыз.
Қайта ұйымдастыру, біріктіру немесе сату жағдайында біз жинаған жеке ақпаратты тиісті үшінші тарап мұрагеріне бере аламыз.

Жеке ақпаратты қорғау

Біз сіздің жеке ақпаратыңызды жоғалтудан, ұрлаудан және теріс пайдаланудан, сондай-ақ рұқсатсыз кіруден, жария етуден, өзгертуден және жоюдан қорғау үшін сақтық шараларын, соның ішінде әкімшілік, техникалық және физикалық шараларды қабылдаймыз.

Компания деңгейінде құпиялылықты сақтау

Сіздің жеке ақпаратыңыздың қауіпсіз болуын қамтамасыз ету үшін біз қызметкерлерге құпиялылық пен қауіпсіздік тәжірибесін хабарлаймыз және құпиялылық тәжірибелерін қатаң түрде орындаймыз.

Кез келген тілдің көмегімен бір ақпаратты әртүрлі сөздермен, сөз тіркестерімен білдіруге болады. Математикалық тіл де ерекшелік емес. Бірақ бір өрнек әртүрлі жолмен эквивалентті түрде жазылуы мүмкін. Ал кейбір жағдайларда жазбалардың бірі қарапайымырақ. Біз бұл сабақта өрнектерді жеңілдету туралы айтатын боламыз.

Адамдар байланысады әртүрлі тілдер. Біз үшін «Орыс тілі – математикалық тіл» жұбы маңызды салыстыру болып табылады. Бірдей ақпаратты әртүрлі тілде хабарлауға болады. Бірақ мұнымен қоса бір тілде басқаша айтылуы мүмкін.

Мысалы: «Петр Васямен дос», «Вася Петямен дос», «Петр мен Вася дос». Басқаша айтты, бірақ бір және бірдей. Осы сөз тіркестерінің кез келгені арқылы біз не қауіп төніп тұрғанын түсінетін едік.

Мына фразаны қарастырайық: «Бала Петя мен бала Вася дос». Біз не қауіп төніп тұрғанын түсінеміз. Дегенмен, біз бұл тіркестің қалай естілетінін ұнатпаймыз. Біз оны жеңілдете алмаймыз ба, сол сияқты, бірақ қарапайымырақ? «Бала мен бала» - сіз бір рет айта аласыз: «Ұлдар Петя мен Вася дос.

«Ұлдар»... Қыз емес екені есімдерінен-ақ көрініп тұрған жоқ па. Біз «ұлдарды» алып тастаймыз: «Петя мен Вася достар». Ал «достар» сөзін «достар» деп ауыстыруға болады: «Петя мен Вася достар». Нәтижесінде бірінші, ұзақ, ұсқынсыз сөз тіркесі айтуға оңай, түсінуге оңай баламалы сөйлеммен ауыстырылды. Біз бұл сөйлемді жеңілдеттік. Жеңілдету – жеңіл айту, бірақ жоғалтпау, мағынасын бұрмаламау дегенді білдіреді.

Математикалық тілде де солай болады. Бір нәрсені басқаша айтуға болады. Өрнекті жеңілдету деген нені білдіреді? Бұл бастапқы өрнек үшін көптеген эквивалентті өрнектер бар екенін білдіреді, яғни бір нәрсені білдіретіндер. Және осы көптіктің ішінен біздің ойымызша, ең қарапайымын немесе әрі қарайғы мақсаттарымызға ең қолайлысын таңдауымыз керек.

Мысалы, сандық өрнекті қарастырыңыз. Ол тең болады.

Ол сондай-ақ алғашқы екеуіне тең болады: .

Біз өрнектерімізді жеңілдетіп, ең қысқа баламалы өрнекті таптық.

Сандық өрнектер үшін әрқашан барлық жұмысты орындап, бір сан ретінде баламалы өрнекті алу керек.

Сөзбе-сөз өрнектің мысалын қарастырайық . Бұл оңайырақ болатыны анық.

Әріптік өрнектерді жеңілдету кезінде мүмкін болатын барлық әрекеттерді орындау керек.

Әрқашан өрнекті жеңілдету қажет пе? Жоқ, кейде баламалы, бірақ ұзағырақ белгі бізге ыңғайлырақ болады.

Мысал: саннан санды алып тастаңыз.

Есептеуге болады, бірақ егер бірінші сан оның баламалы белгісімен берілген болса: , онда есептеулер лездік болар еді: .

Яғни, оңайлатылған өрнек бізге әрі қарай есептеулер үшін әрқашан тиімді бола бермейді.

Дегенмен, біз көбінесе «өрнекті жеңілдету» сияқты көрінетін тапсырмаға тап боламыз.

Өрнекті ықшамдаңыз: .

Шешім

1) Бірінші және екінші жақшадағы әрекеттерді орындаңыз: .

2) Өнімдерді есептеңіз: .

Әлбетте, соңғы өрнек бастапқыға қарағанда қарапайымырақ. Біз оны жеңілдеттік.

Өрнекті жеңілдету үшін оны эквивалентпен (тең) ауыстыру керек.

Эквивалентті өрнекті анықтау үшін сізге қажет:

1) барлық мүмкін әрекеттерді орындау;

2) есептеулерді жеңілдету үшін қосу, алу, көбейту және бөлудің қасиеттерін қолдану.

Қосу және азайту амалдарының қасиеттері:

1. Қосудың ауыстырымдылық қасиеті: қосынды мүшелерді қайта орналастырудан өзгермейді.

2. ассоциативті меншікқосу: екі санның қосындысына үшінші санды қосу үшін бірінші санға екінші және үшінші сандардың қосындысын қосуға болады.

3. Саннан қосындыны азайтудың қасиеті: саннан қосындыны азайту үшін әрбір мүшені жеке-жеке азайтуға болады.

Көбейту мен бөлудің қасиеттері

1. Көбейтудің ауыстырымдылық қасиеті: көбейткіштердің алмастыруынан көбейтінді өзгермейді.

2. Ассоциативті қасиет: санды екі санның көбейтіндісіне көбейту үшін алдымен оны бірінші көбейткішке, содан кейін алынған көбейтіндіні екінші көбейткішке көбейтуге болады.

3. Көбейтудің үлестіргіш қасиеті: санды қосындыға көбейту үшін оны әр мүшеге бөлек көбейту керек.

Психикалық есептеулерді қалай жасайтынымызды көрейік.

Есептеу:

Шешім

1) Қалай екенін елестетіп көріңіз

2) Бірінші көбейткішті биттік мүшелердің қосындысы ретінде көрсетіп, көбейтуді орындаймыз:

3) көбейтуді қалай және орындайтынын елестете аласыз:

4) Бірінші көбейткішті эквивалентті қосындымен ауыстырыңыз:

Бөлу заңы қарама-қарсы бағытта да қолданылуы мүмкін: .

Мына қадамдарды орындаңыз:

1) 2)

Шешім

1) Ыңғайлы болу үшін таралу заңын қолдануға болады, оны тек қарама-қарсы бағытта қолданыңыз - жақшалардан ортақ көбейткішті алыңыз.

2) Жақшаның ішінен ортақ көбейткішті шығарайық

Ас үйде және дәлізде линолеум сатып алу қажет. Ас бөлмесі - кіреберіс -. Линолеумның үш түрі бар: үшін және рубль үшін. Линолеумның үш түрінің әрқайсысы қанша тұрады? (Cурет 1)