Көпмүшелерді стандартты түрге келтіруді үйренеміз. Көпмүшелерді көбейту

Біз стандартты және стандартты емес көпмүшелердің орын алатынын айттық. Сол жерде біз кез келген екенін атап өттік көпмүшеден стандартты түрге. Бұл мақалада біз алдымен бұл сөз тіркесінің қандай мағына беретінін анықтаймыз. Әрі қарай, кез келген көпмүшені стандартты пішінге түрлендіруге мүмкіндік беретін қадамдарды тізімдейміз. Соңында, типтік мысалдардың шешімдерін қарастырыңыз. Көпмүшелерді стандартты пішінге келтіру кезінде туындайтын барлық нюанстарды шешу үшін біз шешімдерді егжей-тегжейлі сипаттайтын боламыз.

Бетті шарлау.

Көпмүшені стандартты түрге келтіру нені білдіреді?

Алдымен сіз көпмүшені стандартты пішінге келтіру арқылы нені білдіретінін нақты түсінуіңіз керек. Осымен айналысайық.

Көпмүшеліктер, кез келген басқа өрнектер сияқты, бірдей түрлендіруге ұшырауы мүмкін. Осындай түрлендірулердің нәтижесінде бастапқы өрнекке бірдей тең өрнектер алынады. Сонымен, стандартты емес түрдегі көпмүшелермен белгілі бір түрлендірулерді орындау оларға бірдей тең, бірақ стандартты түрде жазылған көпмүшелерге өтуге мүмкіндік береді. Мұндай көшу көпмүшені стандартты түрге келтіру деп аталады.

Сонымен, көпмүшені стандартты түрге келтіріңіз- бұл бастапқы көпмүшені бірдей түрлендірулер жүргізу арқылы түпнұсқадан алынған, оған бірдей тең стандартты түрдегі көпмүшемен ауыстыруды білдіреді.

Көпмүшені стандартты түрге қалай келтіруге болады?

Көпмүшені стандартты түрге келтіруге қандай түрлендірулер көмектесетінін ойластырайық. Біз стандартты түрдегі көпмүшені анықтаудан бастаймыз.

Анықтау бойынша стандартты түрдегі көпмүшенің әрбір мүшесі стандартты түрдегі мономиялық болып табылады, ал стандартты түрдегі көпмүше ондай терминдерді қамтымайды. Өз кезегінде стандартты емес формада жазылған көпмүшелер стандартты емес формадағы мономүштерден тұруы мүмкін және оған ұқсас мүшелер болуы мүмкін. Бұл логикалық түрде келесі ережеге әкеледі. көпмүшені стандартты түрге қалай түрлендіру керек:

алдымен бастапқы көпмүшені құрайтын мономдарды стандартты пішінге келтіру керек,
содан кейін ұқсас мүшелерді азайтуды орындаңыз.

Нәтижесінде стандартты пішінді көпмүше алынады, өйткені оның барлық мүшелері стандартты түрде жазылады және онда мұндай мүшелер болмайды.

Мысалдар, шешімдер

Көпмүшелерді стандартты пішінге келтіру мысалдарын қарастырыңыз. Шешу кезінде біз алдыңғы абзацтағы ережеде көрсетілген қадамдарды орындаймыз.

Бұл жерде кейде көпмүшенің барлық мүшелері бірден стандартты түрде жазылатынын, бұл жағдайда ұқсас мүшелерді әкелу жеткілікті болатынын ескереміз. Кейде көпмүшенің мүшелерін стандартты түрге келтіргеннен кейін бір-біріне ұқсас мүшелер болмайды, сондықтан бұл жағдайда мұндай мүшелерді азайту сатысы өткізілмейді. Жалпы, екеуін де істеу керек.

Мысал.

Көпмүшелерді стандартты түрде өрнектеңіз: 5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 , 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5Және .

Шешім.

5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 көпмүшесінің барлық мүшелері стандартты түрде жазылған, оның ондай мүшелері жоқ, сондықтан бұл көпмүше стандартты түрде берілген.

Келесі көпмүшеге көшейік 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5. Оның нысаны стандартты емес, стандартты емес түрдегі 2·a 3 ·0,6 және −b·a·b 4 ·b 5 терминдері дәлелдейді. Оны стандартты түрде көрсетейік.

Бастапқы көпмүшені стандартты түрге келтірудің бірінші кезеңінде оның барлық мүшелерін стандарт түрінде көрсетуіміз керек. Сондықтан 2 a 3 0.6 мономін стандартты түрге келтіреміз, бізде 2 a 3 0.6=1.2 a 3 , одан кейін мономиялық −b a b 4 b 5 , бізде бар. −b a b 4 b 5 = −a b 1+4+5 = −a b 10. Осылайша, . Алынған көпмүшеде барлық мүшелер стандартты түрде жазылады, оның үстіне ондай терминдер жоқ екені анық. Демек, бұл бастапқы көпмүшені стандартты түрге келтіруді аяқтайды.

Берілген көпмүшелердің соңғысын стандартты түрде көрсету қалады . Оның барлық мүшелерін стандартты пішінге келтіргеннен кейін ол былай жазылады . Онда ұқсас мүшелер бар, сондықтан сізге ұқсас мүшелерді беру керек:

Сонымен, бастапқы көпмүше −x y+1 стандартты пішінді алды.

Жауап:

5 x 2 y+2 y 3 −x y+1 – стандартты пішінде, 0,8+2 a 3 0,6−b a b 4 b 5 =0,8+1,2 a 3 −a b 10, .

Көбінесе көпмүшені стандартты түрге келтіру есептің сұрағына жауап берудің аралық сатысы ғана болып табылады. Мысалы, көпмүшенің дәрежесін табу оның стандартты түрде алдын ала ұсынылуын қамтиды.

Мысал.

Көпмүшені келтіріңіз стандартты түрге, оның дәрежесін көрсетіңіз және терминдерді айнымалының кему дәрежесінде орналастырыңыз.

Шешім.

Алдымен көпмүшенің барлық мүшелерін стандартты түрге келтіреміз: .

Енді біз ұқсас мүшелерді береміз:

Сонымен біз бастапқы көпмүшені стандартты түрге келтірдік, бұл оған кіретін мономүшелердің ең үлкен дәрежесіне тең болатын көпмүшенің дәрежесін анықтауға мүмкіндік береді. 5 екені анық.

Көпмүшенің мүшелерін айнымалылардың кему дәрежесінде реттеу қалды. Ол үшін тек талапты ескере отырып, стандартты түрдегі алынған көпмүшедегі мүшелерді қайта орналастыру қажет. z 5 термині ең жоғары дәрежеге ие, −0,5·z 2 және 11 мүшелерінің дәрежелері сәйкесінше 3 , 2 және 0 ге тең. Демек, айнымалының кему дәрежесінде орналасқан мүшелері бар көпмүше пішінге ие болады .

Жауап:

Көпмүшенің дәрежесі 5-ке тең, ал оның мүшелері айнымалының кему дәрежесінде орналасқаннан кейін ол келесі түрге ие болады. .

Әдебиеттер тізімі.

Алгебра:оқулық 7 ұяшық үшін. жалпы білім беру мекемелер / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; ред. С.А.Теляковский. - 17-ші басылым. - М. : Білім, 2008. - 240 б. : науқас. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Мордкович А.Г.Алгебра. 7 сынып. 14.00 1-бөлім. Оқу орындарының студенттеріне арналған оқулық / А.Г.Мордкович. - 17-ші басылым, толықтыру. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 б.: сырқат. ISBN 978-5-346-02432-3.
Алгебражәне бастаңыз математикалық талдау. 10-сынып: оқулық. жалпы білім беруге арналған мекемелер: негізгі және профильді. деңгейлері / [Ю. М.Колягин, М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова, М.И.Шабунин]; ред. Жижченко А.Б. - 3-ші басылым. - М.: Ағарту, 2010.- 368 б. : науқас. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Гусев В.А., Мордкович А.Г.Математика (техникалық оқу орындарына түсушілерге арналған оқу құралы): Прок. жәрдемақы.- М.; Жоғарырақ мектеп, 1984.-351 б., сырқат.

Көпмүше туралы түсінік

Көпмүшенің анықтамасы: Көпмүше бірмүшелердің қосындысы. Көпмүшелік мысал:

мұнда біз екі мономның қосындысын көреміз, ал бұл көпмүше, яғни. мономдардың қосындысы.

Көпмүшені құрайтын мүшелер көпмүшенің мүшелері деп аталады.

Бірмүшелердің айырымы көпмүше бола ма? Иә, солай, өйткені айырмашылық қосындыға оңай азайтылады, мысалы: 5a - 2b = 5a + (-2b).

Мономимдер де көпмүше деп саналады. Бірақ бірмүшеде қосынды болмайды, онда ол неге көпмүше болып саналады? Және оған нөлді қосып, оның қосындысын нөлдік мономиалмен алуға болады. Сонымен мономальды жеке оқиғакөпмүше, ол бір мүшеден тұрады.

Нөл саны нөлдік көпмүше болып табылады.

Көпмүшенің стандартты түрі

Стандартты көпмүше дегеніміз не? Көпмүше бірмүшелердің қосындысы болып табылады және егер көпмүшені құрайтын барлық осы мономалдар стандартты түрде жазылса, сонымен қатар олардың арасында ұқсастары болмауы керек, онда көпмүше стандартты түрде жазылады.

Стандартты түрдегі көпмүшенің мысалы:

мұнда көпмүше 2 мономнен тұрады, олардың әрқайсысының стандартты формасы бар, мономүшелердің арасында ұқсастары жоқ.

Енді стандартты формасы жоқ көпмүшенің мысалы:

мұнда екі моном бар: 2a және 4a ұқсас. Біз оларды қосуымыз керек, содан кейін көпмүше стандартты пішінді алады:

Тағы бір мысал:

Бұл көпмүше стандартты түрге келтірілді ме? Жоқ, оның екінші мүшесі стандартты түрде жазылмаған. Оны стандартты түрде жазып, стандартты түрдегі көпмүшені аламыз:

Көпмүшенің дәрежесі

Көпмүшенің дәрежесі қандай?

Полиномдық дәреженің анықтамасы:

Көпмүше дәрежесі – стандартты түрдегі берілген көпмүшені құрайтын мономүшелердің ең үлкен дәрежесі.

Мысал. 5h көпмүшесінің дәрежесі қандай? 5h көпмүшесінің дәрежесі біреуге тең, себебі бұл көпмүше тек бір мономнан тұрады және оның дәрежесі бірге тең.

Тағы бір мысал. 5a 2 h 3 s 4 +1 көпмүшесінің дәрежесі қандай? 5a 2 h 3 s 4 + 1 көпмүшесінің дәрежесі тоғыз, себебі бұл көпмүше екі мономді қамтиды, бірінші мономиялық 5a 2 h 3 s 4 ең жоғары дәрежеге ие, ал оның дәрежесі 9-ға тең.

Тағы бір мысал. 5 көпмүшесінің дәрежесі қандай? 5 көпмүшесінің дәрежесі нөлге тең. Сонымен, тек саннан тұратын көпмүшенің дәрежесі, яғни. әріпсіз, нөлге тең.

Соңғы мысал. Нөлдік көпмүшенің дәрежесі қандай, яғни. нөл? Нөлдік көпмүшенің дәрежесі анықталмаған.

Көпмүше – мономүшелердің қосындысы. Егер көпмүшенің барлық мүшелері стандартты түрде жазылса (51-тармақты қараңыз) және ұқсас мүшелерді азайту орындалса, онда стандартты түрдегі көпмүше алынады.

Кез келген бүтін өрнекті стандартты түрдегі көпмүшелікке айналдыруға болады – бүтін өрнектерді түрлендірудің (жеңілдетудің) мақсаты осы.

Бүкіл өрнекті көпмүшенің стандартты түріне келтіру керек болатын мысалдарды қарастырыңыз.

Шешім. Алдымен көпмүшенің мүшелерін стандартты түрге келтіреміз. Біз аламыз Ұқсас мүшелерді қысқартқаннан кейін стандартты түрдегі көпмүшені аламыз

Шешім. Егер жақшалардың алдында қосу белгісі болса, онда жақшаға алынған барлық терминдердің белгілерін сақтай отырып, жақшаларды алып тастауға болады. Жақшаларды ашу үшін осы ережені қолданып, біз аламыз:

Шешім. Егер жақшалардың алдында ziak «минус» болса, онда жақшаға алынған барлық терминдердің белгілерін өзгерту арқылы жақшаларды алып тастауға болады. Бұл жақшадан қашу ережесін пайдаланып, біз мынаны аламыз:

Шешім. Бірмүше мен көпмүшенің көбейтіндісі таралу заңы бойынша осы бірмүше мен көпмүшенің әрбір мүшесінің көбейтінділерінің қосындысына тең. Біз алып жатырмыз

Шешім. Бізде бар

Ұқсас терминдерді беру қалады (олардың асты сызылған). Біз алып жатырмыз:

53. Қысқартылған көбейту формулалары.

Кейбір жағдайларда бүкіл өрнекті көпмүшенің стандартты түріне келтіру сәйкестіктер арқылы жүзеге асырылады:

Бұл сәйкестіктер қысқартылған көбейту формулалары деп аталады,

Берілген өрнекті стандартты түрдегі миоглаларға түрлендіру қажет болатын мысалдарды қарастырайық.

1-мысал.

Шешім. (1) формуланы қолданып, мынаны аламыз:

2-мысал.

Шешім.

3-мысал.

Шешім. (3) формуланы қолданып, мынаны аламыз:

4-мысал

Шешім. (4) формуланы қолданып, мынаны аламыз:

54. Көпмүшелерді көбейткіштерге бөлу.

Кейде көпмүшені бірнеше көбейткіштердің көбейтіндісіне түрлендіруге болады - көпмүшелердің немесе ішкі мүшелердің. Мұндай сәйкестендіру трансформациясыкөпмүшені көбейткіштерге бөлу деп аталады. Бұл жағдайда көпмүше осы көбейткіштердің әрқайсысына бөлінетін деп аталады.

Көпмүшелерді көбейткіштерге бөлудің кейбір жолдарын қарастырыңыз,

1) Жақшадан ортақ көбейткішті шығару. Бұл түрлендіру дистрибутивтік заңның тікелей салдары болып табылады (түсінікті болу үшін бұл заңды «оңнан солға» қайта жазу қажет):

Мысал 1. Көпмүшені көбейткіштерге бөлу

Шешім. .

Әдетте, жақшаның ішінен ортақ көбейткішті шығарғанда, көпмүшенің барлық мүшелеріне кіретін әрбір айнымалы осы көпмүшедегі ең кіші көрсеткішімен алынады. Егер көпмүшенің барлық коэффициенттері бүтін сандар болса, онда ортақ көбейткіштің коэффициенті ретінде ең үлкен модуль алынады. ортақ бөлгішкөпмүшенің барлық коэффициенттері.

2) Қысқартылған көбейту формулаларын қолдану. 53-тармақтың (1) - (7) формулалары «оңнан солға қарай оқылса, көп жағдайда көпмүшелерді көбейту үшін пайдалы болып шығады.

2-мысал. Көбейткіштерге бөлу .

Шешім. Бізде бар . (1) формуласын қолданып (шаршылардың айырымы) аламыз. Өтініш беру

енді (4) және (5) формулалары (кубтардың қосындысы, кубтардың айырмасы), біз мынаны аламыз:

3-мысал.

Шешім. Алдымен жақшадан ортақ көбейткішті шығарайық. Ол үшін 4, 16, 16 коэффициенттерінің ең үлкен ортақ бөлгішін және осы көпмүшені құрайтын мономалдар құрамына а және b айнымалылары кіретін ең кіші дәрежелерді табамыз. Біз алып жатырмыз:

3) Топтастыру әдісі. Ол қосудың ауыстырымдылық және ассоциативті заңдары көпмүшенің мүшелерін топтастыруға мүмкіндік беретініне негізделген. әртүрлі жолдар. Кейде мұндай топтастыру мүмкін болады, әр топтағы ортақ көбейткіштерді жақшаға қойғаннан кейін бір және сол көпмүше жақшада қалады, ал ол өз кезегінде ортақ көбейткіш ретінде жақшаға алынуы мүмкін. Көпмүшені көбейткіштерге бөлу мысалдарын қарастырыңыз.

4-мысал.

Шешім. Оны былай топтастырайық:

Бірінші топта екінші топтағы ортақ көбейткішті – 5 ортақ көбейткішті аламыз. Енді көпмүшені ортақ көбейткіш ретінде жақшадан шығарамыз: Осылайша, аламыз:

5-мысал

Шешім. .

6-мысал

Шешім. Мұнда ешқандай топтастыру барлық топтарда бірдей көпмүшенің пайда болуына әкелмейді. Мұндай жағдайларда кейде көпмүшенің кез келген мүшесін қосынды түрінде көрсету пайдалы болып шығады, содан кейін топтау әдісін қайталап көріңіз. Біздің мысалда біз алатын қосынды ретінде көрсету ұсынылады

7-мысал

Шешім. Мономиалды қосамыз және азайтамыз, аламыз

55. Бір айнымалы көпмүшелер.

Көпмүше, мұндағы a, b айнымалы сандар, бірінші дәрежелі көпмүше деп аталады; a, b, c айнымалы сандар болатын көпмүшені екінші дәрежелі көпмүше немесе шаршы үшмүше деп атайды; көпмүше, мұндағы a, b, c, d сандар, айнымалы үшінші дәрежелі көпмүше деп аталады.

Жалпы, егер o айнымалы болса, онда көпмүше

lshomogeneal дәрежесі деп аталады (x қатысты); , көпмүшенің m-мүшелері, коэффициенттері, көпмүшенің жетекші мүшесі, ал жетекші мүшесінің коэффициенті, көпмүшенің бос мүшесі. Әдетте, көпмүше айнымалының кему дәрежесінде жазылады, яғни айнымалының дәрежелері бірте-бірте төмендейді, атап айтқанда, жоғары мүше бірінші орында, ал бос мүше соңғы орында. Көпмүше дәрежесі – жетекші мүшенің дәрежесі.

Мысалы, бесінші дәрежелі көпмүше, онда жетекші мүшесі 1 көпмүшенің бос мүшесі болып табылады.

Көпмүшенің түбірі деп көпмүше жойылатын мәнді айтады. Мысалы, 2 саны көпмүшенің түбірі, өйткені