Кванторлар. Кванторлар Предикат логикалық формуласының мағынасы

Кванторларды енгізуге байланысты мыналарды ескеру қажет:

1. Предикатты логикалық формула формуланың бір бөлігінде байланыстырылатын және басқа бөлігінде бос болатын бірдей нысандық айнымалыны қамтуы мүмкін емес.

2. Бір айнымалы бір-біріне қосарланған кванторлар аймағында бола алмайды.

Бұл шарттарды бұзу деп аталады айнымалылардың соқтығысуы.

Кванторы бар тұжырымның ақиқат мәні қалай анықталады?

Жалпы кванторы бар сөйлемді дәлелдеу мәндердің әрқайсысын ауыстырған кезде көз жеткізу қажет Xпредикатқа айналдырады P(x)соңғысы шынайы мәлімдемеге айналады. Егер Х жиыны ақырлы болса, онда мұны барлық жағдайларды санау арқылы жасауға болады; егер Х жиыны шексіз болса, онда пайымдауды жалпы түрде жүргізу керек.

мәлімдеме (x) P(x)егер мұндай мәнді көрсетуге болатын болса, false АX, онда P(x)жалғандыққа айналады R(a).Сондықтан, жалпы кванфикаторы бар мәлімдемені теріске шығару мысал келтірсек те жеткілікті.

мәлімдеме (x) P(x)шын мәнді көрсетуге болатын болса АX, онда P(x)шынайы мәлімдемеге айналады P(a). Сондықтан, үшін квантор арқылы тұжырымның ақиқаттығын тексеру болуы , мысал келтіріп, осылайша дәлелдесек те жеткілікті.

Үшін мәлімдеменің жалған екеніне көз жеткізіңіз квантормен болуы (x) P(x),әрқайсысының жалғандығын тексеру қажет P(x), P(x), …, P(x). Егер жиынтық XӘрине, мұны дөрекі күшпен жасауға болады. Егер жиынтық Xшексіз, жалпы түрде пайымдауды жүзеге асыру қажет.

Мысалдар.

1. Сандардың арасынан «ақиқат» мәнін табыңыз 1, 2, 3, 4 жай сан бар.

Шешімі:Ұсыныс экзистенциалды кванфикаторды қамтиды және сондықтан ұсыныстардың дизъюнкциясы ретінде ұсынылуы мүмкін: « 1 - жай сан» немесе « 2 - жай сан» немесе « 3 - жай сан» немесе « 4 - Жай сан». Дизъюнкцияның ақиқаттығын дәлелдеу үшін кем дегенде бір мәлімдеменің ақиқаттығы жеткілікті, мысалы, « 3 жай сан, бұл дұрыс. Демек, бастапқы тұжырым да ақиқат.

2. Кез келген шаршы тіктөртбұрыш екенін дәлелдеп көрейік.

Шешімі:Мәлімдемеде жалпы квантор бар. Сондықтан оны конъюнктура түрінде беруге болады: «шаршы – тіктөртбұрыш» және «шаршы – тіктөртбұрыш» және «шаршы – тіктөртбұрыш» т.б. Бұл тұжырымдардың барлығы ақиқат болғандықтан, бұл сөйлемдердің жалғауы ақиқат, демек, бастапқы сөйлем де ақиқат.

3. «Кез келген үшбұрыш тең ​​қабырғалы болады». Бұл жалған мәлімдеме. Мұны тексеру үшін тең қабырғалы емес үшбұрышты салу жеткілікті.

Кванторлары бар сөйлемді терістеуді құрастыруқажетті:

1) жалпы кванторды экзистенциалды квантормен, ал экзистенциалды кванторды жалпы квантормен алмастыру;

2) предикатты оның болымсыздығымен ауыстырыңыз.

Мысал. Келесі мәлімдемелер үшін теріске шығаруды тұжырымдаймыз:

а) жиынның барлық элементтері Зжұп; ә) кейбір етістіктер «не істеу керек?» деген сұраққа жауап береді.

Шешімі:а) Жалпы сандық шаманы экзистенциалды шамамен, ал сөйлемді терістеумен ауыстырайық: жиынның кейбір элементтері Зтақ.

ә) Экзистенциалды шаманы әмбебап шамамен, ал өрнекті терістеумен ауыстырайық: «не істеу керек?» деген сұраққа барлық етістіктер жауап бермейді.

Предикат (лат. праедикатум- айтылған, айтылған, айтылған) - кем дегенде бір айнымалысы бар кез келген математикалық тұжырым. Предикат бірінші ретті логиканың негізгі зерттеу объектісі болып табылады.

Предикат - бұл айнымалылардың кез келген жарамды мәндері үшін мағынасы бар логикалық айнымалылары бар өрнек.

Өрнектер: x > 5, x > y - предикаттар.

Предикат ( n- жергілікті немесе n-ary) - жиында анықталған мәндер жиыны (0,1) (немесе «жалған» және «шын») бар функция. Осылайша, жиын элементтерінің әрбір жиынтығы М«шын» немесе «жалған» деп сипатталады.

Предикатты математикалық қатынаспен байланыстыруға болады: егер n-ka қатынасқа жатады, сонда предикат оған 1 қайтарады.Атап айтқанда, бір орындық предикат кейбір жиынтыққа жататындық қатынасын анықтайды.

Предикат – бірінші және жоғары қатардағы логика элементтерінің бірі. Екінші ретті логикадан бастап, формулаларды предикаттар арқылы сандық түрде анықтауға болады.

Предикат деп аталады бірдей ақиқатжәне жазыңыз:

егер аргументтердің кез келген жиынында ол 1 мәнін қабылдайды.

Предикат деп аталады бірдей жалғанжәне жазыңыз:

егер аргументтердің кез келген жиынында ол 0-ге бағаланады.

Предикат деп аталады орындалатынегер ол кем дегенде бір аргументтер жиынында 1 мәнін қабылдаса.

Предикаттар тек екі мәнді қабылдайтындықтан, логикалық алгебраның барлық амалдары оларға қолданылады, мысалы: терістеу, импликация, конъюнкция, дизъюнкция және т.б.

Квантор — предикаттың ақиқат аймағын шектейтін логикалық операциялардың жалпы атауы. Ең жиі айтылған:

Әмбебап квантор(белгіленуі:, оқыңыз: «барлығы үшін ...», «барлығы үшін ...» немесе «әрбір ...», «кез келген ...», «кез келген үшін ...»).

Болмыс кванторы(белгілеу:, оқыңыз: «бар ...» немесе «бар ...»).

Мысалдар

Белгілеу П(x) предикат x 5-ке бөлінеді. Жалпы кванторды пайдалана отырып, біз ресми түрде келесі мәлімдемелерді жаза аламыз (әрине, жалған):

кез келген натурал сан 5-ке еселік;

әрбір натурал сан 5-ке еселік;

барлық натурал сандар 5-ке еселік;

келесідей:

.

Келесі (қазірдің өзінде ақиқат) мәлімдемелер экзистенциалды кванфикаторды пайдаланады:

5-ке еселік болатын натурал сандар бар;

5-ке еселік болатын натурал сан бар;

кем дегенде бір натурал сан 5-ке еселік болады.

Олардың ресми белгісі:

.Тұжырымдамамен таныстыру

Жай сандар Х жиынында P(x) предикаты берілсін: «Х жай саны тақ». Осы предикаттың алдына «кез келген» сөзін қойыңыз. Біз «кез келген жай х саны тақ» деген жалған мәлімдеме аламыз (бұл мәлімдеме жалған, өйткені 2 жұп жай сан).

Осы P(x) предикатының алдына «бар» сөзін қойып, «Тақ болатын х жай саны бар» деген ақиқат тұжырымды аламыз (мысалы, x=3).

Сонымен, логикада кванторлар деп аталатын: «барлығы», «бар» т.б сөздерді предикаттың алдына қою арқылы предикатты сөйлемге айналдыруға болады.

Математикалық логикадағы кванторлар

Мәлімдеме айнымалының ауқымын білдіреді xпредикат ақиқат аймағына кіреді П(x).

(«(x) барлық мәндері үшін мәлімдеме ақиқат»).

Айтылым предикаттың ақиқат аймағын білдіреді П(x) бос емес.

(«Өтініш ақиқат болатын (x) бар»).

31-сұрақ График және оның элементтері. Негізгі ұғымдар. Оқиға, көптік, цикл, іргелес. График түрлері. Графиктегі маршрут және оның ұзындығы. Маршруттардың классификациясы. Бағытталған және бағытталмаған графиктердің іргелес матрицалары.

Математикалық графиктер теориясында және информатикада график – бұл төбелердің бос емес жиыны мен төбелер жұбының жиыны.

Нысандар графтың шыңдары немесе түйіндері, ал қосылымдар доғалар немесе жиектер ретінде көрсетіледі. Қолданудың әртүрлі аймақтары үшін графиктердің түрлері бағыты бойынша, қосылымдар санына шектеулермен және шыңдар немесе жиектер туралы қосымша деректермен ерекшеленуі мүмкін.

Графиктегі жол (немесе тізбек) - әрбір төбе (соңғысынан басқасы) келесі төбелер тізбегіндегі төбелер тізбегінде жиегі арқылы қосылған шыңдардың ақырлы тізбегі.

Диграфта бағытталған жол – шыңдардың ақырлы тізбегі v i , ол үшін барлық жұптар ( v i,v i+ 1) (бағдарланған) жиектер.

Цикл – бірінші және соңғы шыңдары сәйкес келетін жол. Бұл жағдайда жолдың (немесе циклдің) ұзындығы оның құрамдас бөліктерінің саны болып табылады қабырғалар. Назар аударыңыз, егер шыңдар uЖәне vкейбір жиектің ұштары болса, онда осы анықтамаға сәйкес реттілік ( u,v,u) цикл болып табылады. Мұндай «азғындаған» жағдайларды болдырмау үшін келесі түсініктер енгізілген.

Жол (немесе цикл) қарапайым деп аталады, егер онда жиектер қайталанбаса; қарапайым болса және ондағы шыңдар қайталанбаса қарапайым. Мұны көру оңай:

Екі төбені қосатын кез келген жол бірдей екі төбені қосатын элементар жолды қамтиды.

Кез келген қарапайым бастауыш емесжол элементарды қамтиды цикл.

Кез келген қарапайымкейбір төбесінен (немесе шетінен) өтетін цикл қамтиды бастауышБір шыңнан (немесе шетінен) өтетін (қосалқы) цикл.

Цикл – элементар цикл.

График немесе бағытталмаған график Греттелген жұп болып табылады Г: = (В,Е

В

Ебұл жиектер деп аталатын жұптар (бағытсыз график жағдайында – ретсіз) шыңдар жиынтығы.

В(және демек Е, әйтпесе ол көп жиын болар еді) әдетте ақырлы жиындар болып саналады. Соңғы графиктер үшін алынған көптеген жақсы нәтижелер қате (немесе қандай да бір жолмен ерекшеленеді). шексіз графиктер. Себебі, шексіз жиындар жағдайында бірқатар пайымдаулар жалған болады.

Графиктің төбелері мен шеттерін графтың элементтері деп те атайды, графиктегі төбелер саны | В| - реті, жиектер саны | Е| - график өлшемі.

Шыңдар uЖәне vжиектің соңғы төбелері (немесе жай ұштары) деп аталады e = {u,v). Жиек, өз кезегінде, бұл шыңдарды байланыстырады. Бір жиектің екі шеткі төбесі көршілері деп аталады.

Екі жиек, егер олардың жалпы терминалдық шыңы болса, олар іргелес деп аталады.

Екі шет, егер олардың соңғы төбелерінің жиындары бірдей болса, олар еселік деп аталады.

Шет, егер оның соңғы нүктелері сәйкес келсе, оны цикл деп атайды, яғни. e = {v,v}.

дәрежесі градус Вшыңдар Воған түскен шеттердің санын шақырыңыз (бұл жағдайда ілмектер екі рет есептеледі).

Кез келген жиектің соңы болмаса, төбе оқшауланған деп аталады; ілулі (немесе жапырақ), егер ол дәл бір жиектің соңы болса.

Бағытталған график (қысқартылған диграф) Греттелген жұп болып табылады Г: = (В,А), ол үшін келесі шарттар орындалады:

Вшыңдардың немесе түйіндердің бос емес жиыны,

Абұл доғалар немесе бағытталған жиектер деп аталатын ерекше шыңдардың (реттелген) жұптарының жиынтығы.

Аркреттелген төбелер жұбы болып табылады (v, w), төбесі қайда vбастамасы деп аталады w- доғаның соңы. Біз доғаның жоғарыдан алып келетінін айта аламыз vжоғарғы жағына w.

Аралас санау

Аралас санау Гкейбір жиектері бағытталған, ал кейбіреулері бағытталмаған болуы мүмкін график. Тапсырылған үштік ретінде жазылған Г: = (В,Е,А), Қайда В, ЕЖәне Ажоғарыдағыдай анықталады.

Бағытталған және бағытталмаған графиктер аралас графиктердің ерекше жағдайлары болып табылады.

Изоморфтық графиктер(?)

График Гграфикке изоморфты деп аталады Хегер екіжүзділік болса fграфтың төбелерінің жиынынан Гграфик шыңдарының жиынына Х, оның келесі қасиеті бар: графикте болса Гжоғарыдан бір шеті бар Ажоғарғы жағына Б, содан кейін графикте Х f(А) жоғарыға f(Б) және керісінше - бағанда болса Хжоғарыдан бір шеті бар Ажоғарғы жағына Б, содан кейін графикте Гтөбесінен жиегі болуы керек f − 1 (А) жоғарыға f − 1 (Б). Бағытталған график жағдайында бұл биекция жиектің бағдарын да сақтауы керек. Салмақталған график жағдайында бижекция жиектің салмағын да сақтауы керек.

Графикалық көршілестік матрицасы Гтөбелерінің шектеулі санымен n(1-ден бастап нөмірленген n) шаршы матрица болып табылады Аөлшемі n, онда элементтің мәні aijжиектер санына тең менграфиктің ші төбесі j- ші шың.

Кейде, әсіресе бағытталмаған график жағдайында, цикл (шегі мен th төбесінің өзіне) екі жиек ретінде есептеледі, яғни диагональ элементінің мәні a iiбұл жағдайда айналадағы ілмектердің екі еселенген санына тең мен- ші шың.

Қарапайым графиктің іргелес матрицасы (циклсіз және бірнеше жиектерсіз) екілік матрица болып табылады және негізгі диагоналда нөлдерден тұрады.

32-сұрақ Функция. Тапсырма әдістері. Функциялардың классификациясы. Негізгі элементар функциялар және олардың графиктері. Функциялардың құрамы. элементар функциялар.

Функция – жиындар элементтері арасындағы байланысты көрсететін математикалық ұғым. Функцияны бір жиынның әрбір элементі (деп аталатын) «заң» деп айта аламыз анықтау аймағы ) басқа жиынның кейбір элементімен байланысты (деп аталады диапазон ).

Функцияның математикалық тұжырымдамасы бір шама екінші шаманың мәнін қалай толық анықтайтыны туралы интуитивті идеяны білдіреді. Сонымен айнымалының мәні xөрнектің мәнін бірегей түрде анықтайды x 2 , ал айдың мәні өзінен кейінгі айдың мәнін бірегей түрде анықтайды, сонымен қатар кез келген адамды басқа адаммен - оның әкесімен салыстыруға болады. Сол сияқты, әртүрлі кіріс деректерін ескере отырып, кейбір алдын ала ойластырылған алгоритм белгілі бір шығыс деректерін шығарады.

Функцияны орнату тәсілдері

Аналитикалық әдіс

Математикалық объектінің қызметі белгілі бір шарттарды қанағаттандыратын екілік қатынас болып табылады. Функцияны реттелген жұптар жиыны ретінде тікелей анықтауға болады, мысалы: функция бар. Дегенмен, бұл әдіс шексіз жиындардағы функциялар үшін мүлдем жарамсыз (бұл әдеттегі нақты функциялар: қуат, сызықтық, экспоненциалды, логарифмдік және т.б.).

Функцияны орнату үшін өрнекті пайдаланыңыз: . Бола тұра, xфункция анықтамасының ауқымы арқылы өтетін айнымалы және ж- мәндер ауқымы. Бұл жазба жиындардың элементтері арасында функционалдық қатынастың бар екендігін көрсетеді. XЖәне жкез келген сипаттағы объектілердің кез келген жиынтығына қатысты болуы мүмкін. Бұл сандар, векторлар, матрицалар, алмалар, кемпірқосақ түстері болуы мүмкін. Мысалмен түсіндірейік:

Жиын болсын алма, ұшақ, алмұрт, орындықжәне көптеген адам, локомотив, шаршы. f функциясын келесідей анықтаймыз: (алма, адам), (ұшақ, локомотив), (алмұрт, шаршы), (орындық, адам). Егер жиын арқылы өтетін x айнымалысын және жиын арқылы өтетін y айнымалысын енгізсек, көрсетілген функция аналитикалық түрде келесі түрде көрсетілуі мүмкін: .

Сандық функцияларды дәл осылай анықтауға болады. Мысалы: мұнда x нақты сандар жиыны арқылы өтеді, кейбір f функциясын анықтайды. Өрнектің өзі функция емес екенін түсіну маңызды. Функция объект ретінде жиын (реттелген жұптар) болып табылады. Ал бұл өрнек объект ретінде екі айнымалының теңдігі болып табылады. Ол функцияны анықтайды, бірақ функция емес.

Дегенмен, математиканың көптеген салаларында функцияның өзін де, оны анықтайтын аналитикалық өрнекті де f(x) арқылы белгілеуге болады. Бұл синтаксистік шарт өте ыңғайлы және негізделген.

Графикалық әдіс

Сандық функцияларды график арқылы да көрсетуге болады. n айнымалының нақты функциясы болсын.

Нақты сандар өрісі үстіндегі кейбір (n + 1) өлшемді сызықтық кеңістікті қарастырайық (функция нақты болғандықтан). Бұл кеңістікте кез келген негізді () таңдаймыз. Функцияның әрбір нүктесі вектормен байланысты: . Осылайша, біз берілген ереже бойынша берілген функцияның нүктелеріне сәйкес сызықтық кеңістік векторларының жиынына ие боламыз. Сәйкес аффиндік кеңістіктің нүктелері белгілі бір бетті құрайды.

Егер сызықтық кеңістік ретінде бос геометриялық векторлардың (бағытталған кесінділердің) евклидтік кеңістігін алсақ, ал f функциясының аргументтерінің саны 2-ден аспаса, берілген нүктелер жиынын сызба (график) түрінде бейнелеуге болады. . Оның үстіне бастапқы базис ортонормальды қабылданса, функция графигінің «мектептік» анықтамасын аламыз.

3 немесе одан да көп аргументтердің функциялары үшін адамның көпөлшемді кеңістіктердің геометриялық интуициясының болмауына байланысты мұндай ұсыну қолданылмайды.

Дегенмен, мұндай функциялар үшін сіз визуалды жартылай геометриялық кескінді таба аласыз (мысалы, нүктенің төртінші координатының әрбір мәні графиктегі кейбір түспен байланысты болуы мүмкін)

пропорционал мәндер.Айнымалылар болса жЖәне x тура пропорционал

ж = k x,

Қайда к- тұрақты мән ( пропорционалдық факторы).

Кесте тура пропорционалдық- басынан өтетін және осімен түзетін түзу Xтангенсі болатын бұрыш к:тан= к(Cурет 8). Сондықтан пропорционалдық коэффициенті де аталады көлбеу коэффициенті. 8-суретте үш график көрсетілген к = 1/3, к= 1 және к = 3 .

Сызықтық функция.Айнымалылар болса жЖәне x 1-ші дәрежелі теңдеумен байланысты:

Балта + By = C ,

онда сандардың кем дегенде біреуі Анемесе Бнөлге тең емес, онда бұл функционалдық тәуелділіктің графигі болады түзу сызық. Егер C= 0 болса, онда координат басынан өтеді, әйтпесе өтпейді. Әртүрлі комбинацияларға арналған сызықтық функция графиктері А,Б,C 9-суретте көрсетілген.

Кері пропорция.Айнымалылар болса жЖәне x кері пропорционал, онда олардың арасындағы функционалдық тәуелділік мына теңдеумен өрнектеледі:

ж = к / x ,

Қайда к- тұрақты мән.

Кері пропорционал графигі - гипербола(Cурет 10). Бұл қисықтың екі тармағы бар. Гиперболалар дөңгелек конусты жазықтықпен қиып өткенде алынады (конустық қималар үшін «Стереометрия» тарауындағы «Конус» бөлімін қараңыз). 10-суретте көрсетілгендей, гипербола нүктелерінің координаталарының көбейтіндісі тұрақты шама, біздің мысалда 1-ге тең. Жалпы жағдайда бұл шама тең к, ол гипербола теңдеуінен шығады: xy=k.

Гиперболаның негізгі сипаттамалары мен қасиеттері:

x 0, ауқым: ж 0 ;

Функция монотонды (азаюда). x< 0i сағ x > 0, бірақ жоқ

үзіліс нүктесіне байланысты жалпы монотонды x = 0);

Шексіз функция, нүктеде үзіліс x= 0, тақ, мерзімді емес;

- Функцияда нөлдер жоқ.

Квадраттық функция.Бұл функция: ж = балта 2 + bx + в, Қайда a, b, c- тұрақты, а б=в= 0 және ж = балта 2. Бұл функцияның графигі шаршы парабола - Ой, деп аталады парабола осі.Нүкте О параболаның жоғарғы жағы.

Квадраттық функция.Бұл функция: ж = балта 2 + bx + в, Қайда a, b, c- тұрақты, а 0. Ең қарапайым жағдайда бізде: б=в= 0 және ж = балта 2. Бұл функцияның графигі шаршы парабола -басынан өтетін қисық (Cурет 11). Әрбір параболаның симметрия осі болады Ой, деп аталады парабола осі.Нүкте Опараболаның өз осімен қиылысуы деп аталады параболаның жоғарғы жағы.

Функция графигі ж = балта 2 + bx + всияқты квадрат парабола болып табылады ж = балта 2 , бірақ оның төбесі координаттары бар нүктеде емес, координаттары бар нүктеде жатыр:

Квадрат параболаның пішіні мен координаталар жүйесіндегі орналасуы толығымен екі параметрге байланысты: коэффициент асағ x 2 және дискриминант D:D = b 2 – 4ак. Бұл қасиеттер квадрат теңдеудің түбірлерін талдаудан туындайды (Алгебра тарауындағы сәйкес бөлімді қараңыз). Шаршы параболаның барлық мүмкін болатын әртүрлі жағдайлары 12-суретте көрсетілген.

Квадрат параболаның негізгі сипаттамалары мен қасиеттері:

Функция көлемі:  < x+ (яғни. x Р) және аудан

құндылықтар: … (Бұл сұраққа өзіңіз жауап беріңіз!);

Тұтастай функция монотонды емес, шыңның оң немесе сол жағында

өзін монотонды сияқты ұстайды;

Функция шектелмеген, барлық жерде үздіксіз, тіпті үшін б = в = 0,

және мерзімді емес;

- сағ D< 0 не имеет нулей.

Көрсеткіштік функция.Функция ж = а х, Қайда адеп аталатын оң тұрақты сан көрсеткіштік функция.Аргумент xқабылдайды кез келген жарамды мәндер; функция мәндері ретінде қарастырылады тек оң сандар, өйткені әйтпесе бізде көп мәнді функция бар. Иә, функция ж = 81xбар x= 1/4 төрт түрлі мән: ж = 3, ж = 3, ж = 3 менЖәне ж = 3 мен(тексеруіңізді өтінемін!). Бірақ біз тек функцияның мәні ретінде қарастырамыз ж= 3. Көрсеткіштік функцияның графиктері а= 2 және а= 1/2 17-суретте көрсетілген. Олар (0, 1) нүктесі арқылы өтеді. Сағат а= 1 бізде оське параллель түзу графигі бар X, яғни. функция 1-ге тең тұрақты мәнге айналады. Қашан а> 1, көрсеткіштік функция артады, ал 0 кезінде< а < 1 – убывает. Основные характеристики и свойства показательной функции:

Функция көлемі:  < x+ (яғни. x Р);

диапазон: ж> 0 ;

Функция монотонды: ол артады а> 1 және 0 кезінде төмендейді< а < 1;

- Функцияда нөлдер жоқ.

Логарифмдік функция.Функция ж= журнал а х, Қайда а- 1-ге тең емес тұрақты оң санды атайды логарифмдік. Бұл функция көрсеткіштік функцияға кері функция; оның графигін (18-сурет) көрсеткіштік функцияның графигін 1-ші координаталық бұрыштың биссектрисасының айналасында айналдыру арқылы алуға болады.

Логарифмдік функцияның негізгі сипаттамалары мен қасиеттері:

Функция көлемі: x> 0 және мәндер ауқымы:  < ж+

(яғни ж Р);

Бұл монотонды функция: ол артады а> 1 және 0 кезінде төмендейді< а < 1;

Функция шектелмеген, барлық жерде үздіксіз, периодты емес;

Функцияның бір нөлі бар: x = 1.

тригонометриялық функциялар.Тригонометриялық функцияларды құру кезінде біз пайдаланамыз радианбұрыштардың өлшемі.Одан кейін функция ж= күнә xграфикпен берілген (19-сурет). Бұл қисық деп аталады синусоид.

Функция графигі ж= cos x 20-суретте көрсетілген; бұл сонымен қатар графикті жылжыту нәтижесінде пайда болатын синус толқыны ж= күнә xось бойымен Xсолға 2 арқылы

Бұл графиктерден бұл функциялардың сипаттамалары мен қасиеттері анық көрінеді:

Домен:  < x+ мәндер диапазоны: 1 ж +1;

Бұл функциялар периодты: олардың периоды 2;

Шектеулі функциялар (| ж| , барлық жерде үздіксіз, монотонды емес, бірақ

деп аталатын монотондылық интервалдары, оның ішінде олар

монотонды функциялар сияқты әрекет етеді (19-суреттегі графиктерді және 20-суретті қараңыз);

Функцияларда нөлдердің шексіз саны бар (толығырақ ақпарат алу үшін бөлімді қараңыз

«Тригонометриялық теңдеулер»).

Функционалдық графиктер ж= сарғыш xЖәне ж= төсек xтиісінше 21-суретте және 22-суретте көрсетілген

Графиктерден бұл функциялардың: мерзімдік (олардың периоды ,

шектелмеген, әдетте монотонды емес, бірақ монотондылық интервалдары бар

(не?), үзіліссіз (бұл функциялардың қандай үзілу нүктелері бар?). Аймақ

осы функциялардың анықтамалары мен ауқымы:

Функциялар ж= Арксин x(Cурет 23) және ж= Arccos x(24-сурет) көп мәнді, шектеусіз; олардың анықтау облысы және мәндер диапазоны сәйкесінше: 1 x+1 және  < ж+ . Бұл функциялар көп мәнді болғандықтан,

қарапайым математикада қарастырылады, олардың негізгі мәндері кері тригонометриялық функциялар ретінде қарастырылады: ж= арксин xЖәне ж= arccos x; олардың графиктері 23-суретте және 24-суретте жуан сызықтармен ерекшеленген.

Функциялар ж= арксин xЖәне ж= arccos xкелесі сипаттамалар мен қасиеттерге ие:

Екі функцияның да анықтау облысы бірдей: -1 x +1 ;

олардың диапазондары:  /2 ж/2 үшін ж= арксин xжәне 0 жҮшін ж= arccos x;

(ж= арксин xөсу функциясы болып табылады; ж= arccos x-төмендеу);

Әрбір функцияның бір нөлі бар ( xфункция үшін = 0 ж= арксин xЖәне

xфункциясы үшін = 1 ж= arccos x).

Функциялар ж= Арктан x(Cурет 25) және ж= Арккот x(26-сурет) – көп мәнді, шексіз функциялар; олардың анықтау облысы:  x+ . Олардың негізгі мағыналары ж= арктан xЖәне ж= arccot xкері тригонометриялық функциялар ретінде қарастырылады; олардың графиктері 25-суретте және 26-суретте жуан тармақтармен ерекшеленген.

Функциялар ж= арктан xЖәне ж= arccot xкелесі сипаттамалар мен қасиеттерге ие:

Екі функцияның ауқымы бірдей:  x + ;

олардың диапазондары:  /2<ж < /2 для ж= арктан xжәне 0< ж < для ж= arccos x;

Функциялар шектелген, периодты емес, үздіксіз және монотонды

(ж= арктан xөсу функциясы болып табылады; ж= arccot x-төмендеу);

Тек функция ж= арктан xжалғыз нөлі бар ( x= 0);

функциясы ж= arccot xнөлдері жоқ.

Функция құрамы

Егер екі салыстыру және берілсе, мұндағы , онда функциялардың құрамы деп аталатын және -мен белгіленетін , формуласы бойынша берілген "бейнелеу арқылы" мағынасы болады.

1.30-сурет Дисплейден бастап дейін

Ұсыныс формаларын (предикаттарды) зерделеу кезінде мәлімдемелерді алу тәсілдерінің бірі көрсетілді: кейбір А жиынынан P(x) кейбір айнымалы мәнді ауыстыру. Мысалы,

P(x): "x - жай сан". x = 7 орнына қойсақ, операторды аламыз

«7 - жай сан». Біз тағы екі логикалық операциямен танысамыз: жалпылық пен болмыстың кванторын ілу, бұл бізге ұсыныс формаларынан мәлімдемелер алуға мүмкіндік береді.

P(x) ұсыныс формасының алдынан “кез келген” сөзін ауыстырайық: “кез келген х – жай сан”. Жалған мәлімдеме алды. P(x) алдында «кейбір» сөзін ауыстырайық: «кейбір х сандары жай». Шынайы мәлімдеме алды.

Математикада «кез келген», «кейбір» сөздері мен олардың синонимдері кванторлар деп аталады, олар сәйкесінше жалпы мөлшерлеуші ​​(") және бар болу кванторы ($) деп аталады.Жалпы мөлшерлеуіш сөздік тұжырымдарда: кез келген сөздермен ауыстырылады. , барлығы, әрқайсысы, әркім, т.б. Сөздік тұрғыда бар болу шамасының орнына мына сөздер қойылады: бар, ең болмаса біреуі, кейбірі болады, т.б.

M. Record бойынша P(x) ұсыныс формасы болсын

("xOM) P(x)

білдіреді: кез келген x элементі үшін (M жиынынан) P(x) орын алады, ол қазірдің өзінде мәлімдеме болып табылады. ("x)P(x) тұжырымының ақиқат екенін дәлелдеу үшін M-дан барлық a, b, c, т. ) ,... ақиқат, ал егер M элементтерін санау мүмкін болмаса, олар M-дегі кез келген а үшін Р(а) тұжырымы ақиқат екенін дәлелдеу арқылы дәлелдеу керек. бір элемент aOM ол үшін P(a) ) жалған.

МЫСАЛ. Айтылым берілген

B(x):” жай сан”.

B(1): 2 2 + 1 = 5 - жай сан;

B(2): = 17 - жай сан;

B(3): = 257 - жай сан;

B(4): = 65537 жай сан.

("x) B(x) деп айтуға бола ма? Мұны дәлелдеу керек. Леонгард Эйлер В (5) жалған екенін, яғни + 1 = 2 32 + 1 641-ге бөлінетінін, демек, (" x)B(x) қате.

МЫСАЛ. ("x) C(x), мұндағы мәлімдемені қарастырыңыз Н C(x) берілген: "x 3 + 5x 6-ға бөлінеді".

С(1), С(2), С(3), С(4) дұрыс екені анық. Бірақ егер біз x-тің миллиондаған мәнін тексеретін болсақ, x-тің миллионыншы бірінші мәні үшін C(x) мәлімдемесі жалған болып шығу қаупі әрқашан бар.

Сіз оны дәлелдей аласыз, мысалы:

x 3 + 5x \u003d x 3 - x + 6x \u003d x (x 2 - 1) + 6x \u003d (x - 1) x (x + 1) + 6x

(x - 1)x(x + 1) өрнегі 3-ке бөлінеді, өйткені қатарынан үш натурал санның кем дегенде біреуі 3-ке бөлінеді; бұл өрнек те 2-ге бөлінеді, өйткені қатарынан үш санның ішінен бір немесе екі сан жұп болады. 6x екінші мүшесі 6-ға бөлінеді, сондықтан бүкіл қосынды 6-ға бөлінеді, яғни. ("x)C(x) дұрыс.

C(x) қандай да бір ұсыныс формасы болсын. Жазылу

білдіреді: M жиынында C(x) орындалатын x элементі бар. ($x)C(x) қазірдің өзінде мәлімдеме болып табылады. Егер М жиынында C(a) ақиқат болатын а элементін табу мүмкін болса, онда ($x)C(x) тұжырымы ақиқат болады. Бірақ егер M-де C(a) ақиқат болатын бірде-бір а элементі болмаса, онда ($x)C(x) мәлімдемесі жалған болады.

МЫСАЛ. Жиынтықта Нберілген C(x):” ”. С(1) жалған, С(2) жалған, С(5) ақиқат. Демек ($x)C(x) – ақиқат ұсыныс.

МЫСАЛ. Жиынтықта Н K(x) берілген: "x 2 + 2x + 3 7-ге бөлінеді". K(1) = 6, 6 7-ге бөлінбейді; K(2) = 11, 11 7-ге бөлінбейді және т.б.

Гипотеза: ($x)K(x) жалған.

Дәлелдейік. Кез келген натурал санды қалдықпен бөлу теоремасы бойынша n = 7q + r түрінде көрсетуге болады, мұндағы r< 7.

n 2 + 2n + 3 = (7q + r) 2 + 2(7q + r) + 3 = 7(7q 2 + 2qr + 2q) + r 2 + 2r + 3.

Сонымен, n 2 + 2n + 3 саны 7-ге бөлінеді, егер r 2 + 2r + 3 7-ге бөлінетін болса ғана. Қалдық r О ( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ). Санау арқылы r 2 + 2r + 3 7-ге бөлінбейтініне көз жеткіземіз. Демек, ($x)K(x) жалған.

Кванторлы сөйлемнің терістеуін қалай құрастырамыз?

Кванторлы сөйлемді терістеуді құру үшін жалпы сандық мүшені (") экзистенциалды шамамен ($) және керісінше, экзистенциалды шамадан кейінгі сөйлемді жалпы сандық шамамен, ал квантордан кейінгі сөйлемді оның терістелуі, яғни.

[("x)P(x) Û ($x) P(x);

[($x)P(x) Û ("x) P(x).

Мысалы, екі мәлімдеме бар делік:

Ж: «әрбір жай сан тақ»;

С: «әрбір жай сан жұп».

B A мәлімдемесін терістеу бола ма? Жоқ, өйткені мәлімдемелердің ешқайсысы дұрыс емес. Бұл жағдайда

Ж: «әрбір жай сан тақ емес, яғни. жұп жай сан бар» деген дұрыс тұжырым.

Келешекте, егер оның терістелуі жай жазылмай, одан шыққан сөйлем де қарапайым тіркестердің алдында терістеу белгілері болатын формаға ауысса, сөйлемнің болымсыздығы жасалған деп есептейміз. Мысалы, A u B емес (A u B), бірақ оған баламалы сөйлемнің терістеуін қарастырамыз: A Ú B.

A(x, y) екі айнымалысы бар ұсыныс түрі болсын.

Сонда ("x)A(x, y), ($x)A(x, y), ("x)A(x, y), ($x)A(x, y) да ұсыныс формалары, бірақ бір айнымалы. Бұл жағдайда квантор бір айнымалыны байланыстырады делінеді. A(x, y) ұсыныс түрінен ұсыныс алу үшін екі айнымалыны да байланыстыру қажет. Мысалы, ("x)($y)A(x,y) - мәлімдеме.

Р(х,у) ұсыныс формасы үшін: “ x< y”, заданной на З, кванторларды қосу (ілу) арқылы мәлімдеме алудың барлық жағдайларын қарастырыңыз:

1) ("x)("y)P(x,y) Û l - “ Әрбір x үшін және әрбір у x үшін< y”;

2) ("y)("x)(x< y) Û л - “Для всякого у и для всякого х х < y”;

3) ($x)($y) (x< y) Û и - “Существует х и существует у такие, что x < y”;

4) ($y)($x) (x< y) Û и - “Существует х и существует у такие, что x < y”;

5) ("x)($y) (x< y) Û и - “Для всякого х существует у такое, что x < y”;

6) ($y)("x) (x< y) Û л - “Существует у такое, что для всякого х х < y”;

7) ("y)($x) (x< y) Û и - “Для всякого у существует х такое, что x < y”;

8) ($x)("y) (x< y) Û л - “Существует x такое, что для всякого y х < y”.

` (1) және (2), (3) және (4) мәлімдемелеріне назар аударыңыз. Бұл мәлімдемелердің құрылымдары тек аттас кванторлардың ретімен ерекшеленеді, бірақ мәлімдемелердің мағынасы мен ақиқат мәндері өзгермейді.

(5) және (6), (7) және (8) сөйлемдер қарама-қарсы кванторлардың орналасу ретімен ерекшеленеді, бұл пікірдің мағынасының және, мүмкін, ақиқат мәнінің өзгеруіне әкеледі. Мәлімдеме (7) бар екенін растайды Зең кіші сан, ол жалған. (8) ақиқаттың жоқтығын дәлелдейді.

Теориялық сұрақтар:

1. Бір немесе бірнеше айнымалылардан жасалған предикат ұғымы.

2. Бір орынды және екі орынды предикаттарға мысалдар. 3. Предикат ақиқатының облысы.

4. Жалпылық пен болмыстың кванторлары. Еркін және шектелген айнымалылар. Предикаттарға амалдар. Ақиқат аймағы дегеніміз не; ; ; ? Геометриялық түсініктемелер беріңіз.

5. Предикатты логикалық формулаларды түрлендіру. Бірдей ақиқат пен бірдей жалған предикатты анықтау, ақиқат саласымен байланыс. Негізгі эквиваленттер.

Жаттығулар

5.1. Келесі предикаттар ақиқат немесе жалған болатын айнымалылардың бірнеше мәндерін көрсетіңіз:

1. х 2 , х н N; 9. = - x, x О R;

2. x< 1 , x Î N ; 10. > 0 ,

3. x > 6® x ³ 3 , xОZ; 11. sin x = - , xО R;

4. x + 3x +6 = 0 , x О R; 12. cos x = , x OR;

5. = 0, xОР; 13. x ³ y , x,y Î R;

6. | x - 5 |< 2, 14. x + y < 3, x,yÎ N;

7. | 2x+3 | ³ 2x + 3, x О R; 15. x (y - 1) = 0, x,yОР;

8. = x, x О R; 16. x + y =4, x, y ОР.

5.2. 5.1-жаттығудағы предикаттардың ақиқат облысын табыңыз. Координаталық жазықтықта 13 - 16 жағдайларды сал.

5.3.

1.=0; 7. | 3x - 2 | > 8;

2. = ; 8. | 5x - 3 |< 7;

3.->; 9.2 - | x | = 1,7;

4. ; 10. | 3x - 1 | = 3x - 1;

5. < 0 ; 11. | 3x - 1 | = 1 - 3x;

6. > 0; 12. | 2x+4 | ³ 2x + 4.

5.4. Предикаттардың ақиқат облысын табыңыз:

1. ( < x + 1,5) Ù (2x - 8 >3 - 0,5х);

2. ( - 4 < - 1) Ù ( x + 2 (2x- 1) < 3(x +1);

3.( - +2x<3x-3) Ù ( - 3(1-x)+2x< );

4.( - + x< 2x - 4)Ù( + 3 (x - 1)< );

5.((x+3) (x - 1)< 0) Ù (x + 4x + 6 >x(x - 5);

6.((x - 6x + 9)(2x - 10)< 0) Ù (6 + x (7 - x) < x +2x(5-x);

7.(1 + £ ) Ú (- 1< 5x - 5)

8.( - > 2) Ú (- 3x - 1 > 2) ;

9.( + 6x > + 4) Ú ( - > - );