M. A. Ekimova, G. P. Kukin. Leikkausongelmat.docx - leikkausongelmat Apuvärit shakkitaulukuviossa

Kaikki niiden kaaviot voidaan jakaa ehdollisesti seuraaviin tyyppeihin ja alalajeihin: tiettyyn määrään yhteneviä ja samankaltaisia ​​lukuja (tällaisia ​​​​lukuja kutsutaan "jakamiseksi"); tietty määrä rivejä mahdollisimman suureksi osien lukumääräksi, ei välttämättä yhtä suuri. Muutos - yksi hahmo on leikattava, jotta sen osat voidaan lisätä toiseen annettu kuva

Tehtävä 1. Neliö sisältää 16 solua. Jaa neliö kahteen yhtä suureen osaan niin, että leikkausviiva kulkee solujen reunoja pitkin. (Tapoja leikata neliö kahteen osaan pidetään erilaisina, jos yhdellä leikkausmenetelmällä saadut neliön osat eivät ole yhtä suuria kuin toisella menetelmällä saadut osat.) Kuinka monta ratkaisua ongelmalla on?

Kun rakennat katkoviivaa, voit noudattaa tätä sääntöä, jotta et menetä ratkaisua. Jos polylinjan seuraava linkki voidaan piirtää kahdella tavalla, sinun on ensin valmistettava toinen samanlainen piirros ja suoritettava tämä vaihe yhdelle piirrokselle ensimmäisellä tavalla ja toisella toisella tavalla (kuva 3 näyttää kaksi kuvion 2 (a) jatkot). Samoin on toimittava, kun ei ole kahta, vaan kolme menetelmää (Kuva 4 esittää kolme jatkoa kuviosta 2 (b)). Määritetty menettely auttaa löytämään kaikki ratkaisut.

Tehtävä 2 Leikkaa suorakulmio, jossa on 4 × 9 solua solujen reunoja pitkin kahteen yhtä suureen osaan, jotta ne voidaan taittaa neliöiksi.

Ratkaisu. Katsotaan kuinka monta solua neliö sisältää. 4 9=36 tarkoittaa, että neliön sivu on 6 solua, koska 36=6 6. Suorakulmion leikkaus on esitetty kuvassa. 95(b). Tätä leikkausmenetelmää kutsutaan porrastukseksi. Neliön tekeminen saaduista osista on esitetty kuvassa. 95(c).

Tehtävä 3. Voidaanko 5×5 solun neliö leikata kahteen yhtä suureen osaan siten, että leikkausviiva kulkee solujen sivuja pitkin? Perustele vastaus.

Ratkaisu. Se on mahdotonta, koska neliö koostuu 25 solusta. Se on leikattava kahteen yhtä suureen osaan. Siksi jokaisessa osassa tulee olla 12,5 solua, mikä tarkoittaa, että leikkausviiva ei kulje solujen sivuja pitkin.

Pentomino 12 hahmoa, joista jokainen koostuu viidestä identtisestä ruudusta, ja neliöt ovat "vierekkäin" vain sivuilla. "PENTA" - "FIVE" (kreikasta)

Pentomino Peli, jossa lisätään erilaisia ​​hahmoja annetusta sarjasta. Sen keksi yhdysvaltalainen matemaatikko S. Golomb 1900-luvun 50-luvulla.

Nro 1. Asenna lattia 2 * 1 laatoilla 5 * 6 huoneeseen (massiiviparketti). Oletetaan, että meillä on rajattomasti 2*1 suorakaiteen muotoisia laattoja, ja haluamme rakentaa niillä suorakaiteen muotoisen lattian, eikä kahden laatan pitäisi mennä päällekkäin.

Tässä tapauksessa yhden luvuista p tai q on oltava parillinen. Jos esimerkiksi p=2 r, niin lattia voidaan asentaa kuvan osoittamalla tavalla. Mutta tällaisissa parketeissa on taittoviivoja, jotka ylittävät koko "huoneen" seinästä seinään, mutta eivät ylitä laattoja. Mutta käytännössä käytetään parketteja ilman tällaisia ​​linjoja - kiinteitä parketteja.

Luonnollisesti herää kysymys, mille p:lle ja q:lle suorakulmio p*q sallii jatkuvan osion 2*1-laatoiksi?

Nro 3. Piirrä ruudulliselle paperiarkille, jonka koko on 10 * 10 solua, ääriviivaleikkaukset, joilla saat niin monta kokonaista lukua kuin kuvassa näkyy. Kuvassa näkyvät hahmot voidaan kääntää.

Vastaus: Tässä tapauksessa 24 kokonaista hahmoa mahtuu. Muita menetelmiä, joilla saadaan enemmän kokonaislukuja, ei ole vielä löydetty.

8×8 lauta leikattiin neljään osaan ja taitettiin 5×13 suorakulmioksi. Mistä ylimääräinen neliö tuli? 8 8 13 5 64 ruutua 65 ruutua

8×8 lauta leikattiin neljään osaan ja taitettiin 5×13 suorakulmioksi. Mistä ylimääräinen neliö tuli? 8 8

8×8 lauta leikattiin neljään osaan ja taitettiin 5×13 suorakulmioksi. Mistä ylimääräinen neliö tuli? 2 1 3 4

8×8 lauta leikattiin neljään osaan ja taitettiin 5×13 suorakulmioksi. Mistä ylimääräinen neliö tuli? 1 2 3 4

Vastaus: Vasemman hahmon diagonaaliviiva ei ole suora; tarkka kuva näyttää suunnikkaan alueen 1, kuten voi odottaa.

Fibonaccin sekvenssi j 1 = 1, j 2 = 1, j 3 = 2, j 4 = 3, j 5 = 5, j 6 = 8, j 7 = 13, j 8 = 21, j 9 = 34, j 10 = 55, j11 = 89, . . . on seuraava kiinteistö: Fibonacci-luvun neliö eroaa 1:llä sitä edeltävien ja sitä seuraavien Fibonacci-lukujen tulosta; tarkemmin sanottuna jn 2 + (– 1)n = jn – 1 jn + 1.

Esimerkiksi kun n = 6, kaava muuttuu yhtälöksi 82 ​​+ 1 = 5 13 ja n = 7 - yhtälöksi 132 - 1 = 8 21. Suosittelen, että piirrät kuvan kaltaisia ​​kuvia ongelmaan lause useille muille n:n arvoille.

Oppitunti: Geometriset ongelmat (leikkaukseen)

Oppitunnin tarkoitus:

kiinnostuksen kehittyminen aihetta kohtaan

kehitystä luovuus opiskelijat

huomion, muistin, itsenäisen ja kollektiivisen työskentelyn taitojen kehittäminen

henkisen oma-aloitteisuuden, kekseliäisyyden ja "kekseliäisyyden" kehittäminen

Oppitunnin edistyminen:

Nykyään geometriset ongelmat (leikkaukseen) yhdistetään yhteen näennäisesti yksinkertaiseen geometriseen kuvioon.

Hän on ollut ystäväni pitkään

Jokainen kulma on oikea.

Kaikki neljä puolta

Samanpituinen.

Olen iloinen voidessani esitellä sen sinulle.

Mikä hänen nimensä on?

Aukion tärkein ansio oli sen käyttö kätevänä alueyksikkönä. Itse asiassa on erittäin kätevää peittää tasaiset alueet neliöillä, mutta esimerkiksi et voi tehdä tätä ympyröillä, joissa ei ole reikiä ja peitteitä. Usein matemaatikot sanovat sanojen "löytää alueen" sijaan "neliöinti".

Joten ympyrän alueen löytämisen ongelmaa kutsutaan ympyrän neliöimisen ongelmaksi. Neliö-pää näyttelijä Pythagoraan lauseessa.

Tehtävä numero 1

Tehtävä numero 2

Neliö 20 yhtä suuret kolmiot

Leikkaa neliönmuotoisesta paperista 20 yhtäläistä kolmiota ja taita ne 5 yhtä suureksi neliöksi.

Tehtävä numero 3

Ristiltä - neliö

Viidestä ruudusta koostuva risti on leikattava sellaisiin osiin, joista voidaan tehdä yksi neliö.

Tehtävä numero 4

Neliö sisältää 16 solua. Jaa neliö kahteen yhtä suureen osaan niin, että leikkausviiva kulkee solujen reunoja pitkin.

On olemassa useita tapoja.

Tehtävä numero 5

Leikkaa 7x7 neliö viiteen osaan ja järjestä ne uudelleen kolmeksi ruuduksi: 2x2, 3x3 ja 6x6.

Tehtävä numero 6

Leikkaa neliö 4 samanmuotoiseen ja -kokoiseen osaan siten, että jokaisessa osassa on täsmälleen yksi varjostettu neliö.

Tehtävä numero 7

Kuinka monta ruutua kuvassa on?

Neliön jakaminen saman alueen pienempiin neliöihin on hyvin yksinkertaista: piirrä vain ruudukko tasaisin välein olevista viivoista, jotka ovat samansuuntaisia ​​neliön sivujen kanssa. Vastaanotettujen ruutujen määrä on neliö, kyllä, kyllä! Siksi kahden identtisen luvun tuloa kutsutaan neliöksi. Onko mahdollista leikata neliö useiksi neliöiksi, joiden joukossa ei ole identtisiä?

Tämä ongelma jäi ratkaisematta pitkään. Monet jopa merkittävät matemaatikot uskoivat, että tällainen leikkaus oli mahdotonta. Mutta vuonna 1939 aukio jaettiin 55 eri aukioon. Vuonna 1940 löydettiin kaksi tapaa jakaa neliö 28 eri neliöön, sitten 26 ruutuun, ja vuonna 1948 saatiin osio 24 eri neliöön. Vuonna 1978 löydettiin 21 eri neliön väliseinä ja osoitettiin, että osio pienempi numero eri neliöitä ei enää löydy.

Ja lopetamme tämän päivän oppitunnin viihdyttävällä pelillä, joka liittyy myös neliöön, "Tangram"

Kuvassa on 7 osaan jaettu neliö, josta voit lisätä erilaisia ​​muotoja opettajan toimittamasta albumista.

10. Neliönmuotoinen ruudullinen paperiarkki jaetaan pienempiin neliöihin solujen reunoja pitkin kulkevilla segmenteillä. Osoita, että näiden osien pituuksien summa on jaollinen 4:llä. (Solun sivun pituus on 1).

Ratkaisu: Olkoon Q neliön muotoinen paperiarkki, L(Q) sen sisällä olevien solujen sivujen pituuksien summa. Tällöin L(Q) on jaollinen 4:llä, koska kaikki tarkasteltavat sivut on jaettu neljään sivuun, jotka saadaan toisistaan ​​pyörimällä 90 0 ja 180 0 suhteessa neliön keskustaan.

Jos neliö Q jaetaan neliöiksi Q 1 , …, Q n , niin jakosegmenttien pituuksien summa on yhtä suuri kuin

L (Q) - L (Q 1) - ... - L (Q n). On selvää, että tämä luku on jaollinen 4:llä, koska luvut L(Q), L(Q 1), ..., L(Q n) ovat jaollisia 4:llä.

4. Invariantit

11. Annettiin shakkilauta. Kaikki vaaka- tai pystysuorat solut voidaan maalata eri värillä kerralla. Voiko tämä johtaa tauluun, jossa on täsmälleen yksi musta solu?

Ratkaisu: Vaaka- tai pystysuoran viivan uudelleenmaalaaminen, joka sisältää k mustaa ja 8 k valkosolua, tuottaa 8 k mustaa ja k valkoista solua. Siksi mustien solujen lukumäärä muuttuu (8-k)-k=8-2k, ts. päällä tasaluku. Koska mustien solujen lukumäärän pariteetti säilyy, emme voi saada yhtä mustaa solua alkuperäisestä 32 mustasta solusta.

12. Annettiin shakkilauta. Kaikki 2 x 2 neliön sisällä olevat solut saa maalata eri värillä kerralla. Voiko taululle jäädä tasan yksi musta solu?

Ratkaisu: Kun värjätään uudelleen 2 x 2 neliö, joka sisältää k mustaa ja 4 k valkosolua, tuloksena on 4 k mustaa ja k valkoista solua. Siksi mustien solujen lukumäärä muuttuu (4-k)-k=4-2k, ts. parillinen luku. Koska mustien solujen lukumäärän pariteetti säilyy, emme voi saada yhtä mustaa solua alkuperäisestä 32 mustasta solusta.

13. Todista, että kuperaa monikulmiota ei voida leikata äärelliseen määrään ei-kuperia nelikulmioita.

Ratkaisu: Oletetaan, että kupera monikulmio M leikataan ei-kuperiksi nelikulmioiksi M 1 ,…, M n . Jokaiselle monikulmiolle N annetaan luku f(N), joka on yhtä suuri kuin sen sisäkulmien summan, joka on pienempi kuin 180, ja sen kulmien summan, joka täydentää sen kulmia 360, välillä, suurempi kuin 180. Vertaa lukuja A=f(M) ja B=f(M1)+…+ f(Mn). Tarkastellaan tätä kaikkia pisteitä, jotka ovat nelikulmioiden M 1 ..., M n kärjet. Ne voidaan jakaa neljään tyyppiin.

1. Monikulmion M kärjet. Nämä pisteet vaikuttavat yhtä paljon A:lle ja B:lle.

2. Pisteet monikulmion M tai M sivuilla 1. Jokaisen tällaisen pisteen osuus B:stä

180 enemmän kuin A:ssa.

3. Monikulmion sisäpisteet, joissa nelikulmion kulmat kohtaavat,

alle 180. Jokaisen tällaisen pisteen osuus B:stä on 360 enemmän kuin A:ssa.

4. Monikulmion M sisäpisteet, joissa nelikulmion kulmat suppenevat, ja yksi niistä on suurempi kuin 180. Tällaiset pisteet antavat nollaosuuden A:lle ja B:lle.

Tuloksena saamme A<В. С другой стороны, А>0 ja B = 0. Epäyhtälö A > 0 on ilmeinen, ja yhtälön B=0 todistamiseksi riittää tarkastaa, että jos N on ei-kupera nelikulmio, niin f(N)=0. Olkoon kulmat N a>b>c>d. Millä tahansa ei-kuperalla nelikulmiolla on täsmälleen yksi kulma suurempi kuin 180, joten f(N)=b+c+d-(360-a)=a+b+c+d-360=0.

Saavutetaan ristiriita, joten kuperaa monikulmiota ei voida leikata äärelliseen määrään ei-kuperia nelikulmioita.

14. Shakkilaudan jokaisen solun keskellä on pelimerkki. Sirut järjestettiin uudelleen siten, että niiden väliset parivälit eivät pienentyneet. Todista, että todellisuudessa parittaiset etäisyydet eivät ole muuttuneet.

Ratkaisu: Jos ainakin yksi sirujen välisistä etäisyyksistä kasvaisi, niin myös sirujen välisten pareittain olevien etäisyyksien summa kasvaisi, mutta kaikkien alibittien välisten pareittaisten etäisyyksien summa ei muutu millään permutaatiolla.

15. Neliömäinen kenttä on jaettu 100 identtiseen neliöosaan, joista 9 on rikkakasvien peitossa. Tiedetään, että rikkaruohot leviävät vuodessa niille ja vain niille lohkoille, joissa vähintään kaksi vierekkäistä (eli joilla on yhteinen sivu) palstaa on jo kasvanut rikkaruohoilla. Osoita, että pelto ei koskaan kasva kokonaan rikkaruohojen peittämiseksi.

Ratkaisu: On helppo tarkistaa, ettei koko ruohoalueen (tai useamman alueen) rajan pituus kasva. Alkuhetkellä se ei ylitä 4*9=36, joten viimeisellä hetkellä se ei voi olla yhtä suuri kuin 40.

Näin ollen pelto ei koskaan kasva kokonaan rikkaruohojen peittämiseksi.

16. On annettu kupera 2m kulmio А 1 …А 2 m. Sen sisällä otetaan piste P, joka ei ole millään lävistäjällä. Osoita, että piste Р kuuluu parilliseen määrään kolmioita, joiden kärjet ovat pisteissä А 1 ,…, А 2 m .

Ratkaisu: Diagonaalit jakavat monikulmion useisiin osiin. Soitamme naapuri niistä, joilla on yhteinen puoli. On selvää, että mistä tahansa monikulmion sisäpisteestä pääsee mihin tahansa pisteeseen, kuljeten joka kerta vain naapuriosasta viereiseen. Monikulmion ulkopuolella olevaa osaa tasosta voidaan myös pitää yhtenä näistä osista. Tämän osan pisteiden osalta tarkasteltavien kolmioiden lukumäärä on nolla, joten riittää todistaa, että siirryttäessä naapuriosasta naapuriosaan, kolmioiden lukumäärän pariteetti säilyy.

Olkoon kahden vierekkäisen osan yhteinen puoli diagonaalilla (tai sivulla) PQ. Sitten kaikkiin tarkasteltuihin kolmioihin, paitsi kolmioihin, joiden sivu on PQ, molemmat osat joko kuuluvat tai eivät kuulu. Siksi, kun siirrytään osasta toiseen, kolmioiden lukumäärä muuttuu k 1 -k 2:lla, missä k 1 on PQ:n toisella puolella olevien monikulmioiden määrä. Koska k 1 +k 2 =2m-2, niin luku k 1 -k 2 on parillinen.

4. Apuvärjäys shakkilautakuviossa

17. Jokaisessa 5 x 5 -laudan ruudussa on kovakuoriainen. Jossain vaiheessa kaikki kovakuoriaiset ryömivät vierekkäisiin (vaaka- tai pystysuoraan) soluihin. Jättääkö tämä välttämättä tyhjän solun?

Ratkaisu: Koska 5 x 5 shakkilaudan solujen kokonaismäärä on pariton, mustia ja valkoisia soluja ei voi olla yhtä monta. Olkoon mustia soluja enemmän varmuuden vuoksi. Silloin valkosoluilla istuu vähemmän kovakuoriaisia ​​kuin mustia soluja. Siksi ainakin yksi mustista soluista jää tyhjäksi, koska vain valkosoluilla istuvat kovakuoriaiset ryömivät mustien solujen päälle.

19. Osoita, että 10 x 10 neliön levyä ei voida leikata T-muotoisiksi neljästä ruudusta koostuviksi kuvioiksi.

Ratkaisu: Oletetaan, että 10 x 10 neliön taulu on jaettu tällaisiin kuvioihin. Jokainen kuva sisältää joko 1 tai 3 mustaa solua, ts. Aina pariton numero. Itse lukujen tulee olla 100/4 = 25 kappaletta. Siksi ne sisältävät parittoman määrän mustia soluja, ja mustia soluja on yhteensä 100/2 = 50. On saatu aikaan ristiriita.

5. Väritysongelmia

Ratkaisu: Tarkastellaan säännöllistä kolmiota, jonka sivu on 1.

transkriptio

1 M. A. Ekimova, G. P. Kukin MTsNMO Moskova, 2002

2 UDC BBK E45 E45 Ekimova M. A., Kukin G. P. Leikkausongelmat. M.: MTsNMO, s.: ill. Sarja: "Matematiikan opettamisen salaisuudet". Tämä kirja on ensimmäinen matematiikan opettamisen salaisuudet -sarjan kirja, joka on suunniteltu esittelemään ja tiivistämään matematiikan opetuksen alalla kertynyttä kokemusta. Tämä kokoelma on yksi "Logiikan kehittäminen luokilla 5-7" -kurssin osista. Kaikkiin kirjassa esitettyihin ongelmiin annetaan ratkaisuja tai ohjeita. Kirjaa suositellaan matematiikan opintojen ulkopuoliseen työhön. BBK ISBN c Kukin G. P., Ekimova M. A., c MTsNMO, 2002.

3 Johdanto Tällä hetkellä perinteistä näkemystä koululaisten opiskelemien aineiden koostumuksesta uudistetaan ja jalostetaan. SISÄÄN koulun opetussuunnitelma esitellään erilaisia ​​uusia kohteita. Yksi näistä aiheista on logiikka. Logiikan opiskelu auttaa ymmärtämään päättelyn kauneutta ja eleganssia, kykyä järkeillä, luovaa kehitystä persoonallisuus, ihmisen esteettinen koulutus. Jokaisen kulttuurisen ihmisen pitäisi olla tuttu loogisia tehtäviä, pulmia, pelejä, jotka tunnetaan useiden vuosisatojen tai jopa vuosituhansien ajan monissa maailman maissa. Kekseliäisyyden, kekseliäisyyden ja ajattelun itsenäisyyden kehittäminen on välttämätöntä jokaiselle henkilölle, jos hän haluaa menestyä ja saavuttaa harmonian elämässä. Kokemuksemme osoittavat, että muodollisen logiikan tai matemaattisen logiikan fragmenttien systemaattinen opiskelu tulisi siirtää ylemmille luokille. lukio. Samalla on tarpeen kehittää loogista ajattelua mahdollisimman varhaisessa vaiheessa. Itse asiassa kouluaineita opiskellessa perustelut ja todisteet ilmestyvät vasta 7. luokalla (kun systemaattisen geometrian kurssi alkaa). Monille opiskelijoille äkillinen siirtyminen (ei päättelystä tuli paljon päättelyä) on sietämättömän vaikeaa. Luokkien 5-7 logiikkaa kehitettäessä on täysin mahdollista opettaa koululaisia ​​päättelemään, todistamaan ja löytämään malleja. Esimerkiksi päätettäessä matemaattisia pulmia ei tarvitse vain arvata (poimia) useita vastauksia, vaan myös todistaa se täydellinen lista mahdollisia vastauksia. Se on aika hyvä 5-luokkalaiselle. Mutta logiikan opetusprosessissa lukion 5-7 luokilla opettajat kohtaavat tiettyjä vaikeuksia: oppikirjojen puute, didaktiset materiaalit, apuvälineet, visuaaliset materiaalit. Kaikki tämä tulee opettajan itsensä koota, kirjoittaa ja piirtää. Yksi tämän kokoelman tavoitteista on helpottaa opettajan valmistautumista ja johtamista. Annamme joitain suosituksia oppituntien suorittamiseksi ennen kokoelman kanssa työskentelemistä.

4 4 Johdanto Logiikan opettaminen koululaisille on suotavaa aloittaa viidenneltä luokalta ja ehkä jopa aikaisemmin. Logiikkaa tulisi opettaa rennossa, melkein improvisoivassa tyylissä. Tämä näennäinen keveys vaatii opettajalta todella paljon vakavaa valmistautumista. Ei ole hyväksyttävää esimerkiksi oikolukea mielenkiintoista ja viihdyttävää ongelmaa paksusta käsinkirjoitetusta vihkosta, kuten opettajat joskus tekevät. Suosittelemme, että pidät tunnit epätyypillisessä muodossa. Opetuksessa on käytettävä mahdollisimman paljon visuaalista materiaalia: erilaisia ​​kortteja, kuvia, kuvasarjoja, kuvituksia tehtävien ratkaisemiseen, kaavioita. Älä käsittele nuoremmat opiskelijat yksi aihe pitkästä aikaa. Kun analysoit aihetta, sinun tulee yrittää korostaa tärkeimmät loogiset virstanpylväät ja saavuttaa näiden seikkojen ymmärtäminen (eikä muistaa). Käsiteltyyn materiaaliin on palattava jatkuvasti. Tämä voidaan tehdä itsenäinen työ, joukkuekilpailut (tuntien aikana), kokeet vuosineljänneksen lopussa, suulliset ja kirjalliset olympialaiset, matboys (koulutuntien ulkopuolella). Luokassa on myös tarpeen käyttää viihdyttäviä ja koomista tehtäviä, joskus on hyödyllistä muuttaa toiminnan suuntaa. Tämä kokoelma on yksi osista "Logiikan kehittäminen luokilla 5-7" "Leikkauksen ongelmat". Tämä osa testattiin Omskin lyseum-koulun 74 luokilla 5-7 logiikan tunneilla. Monet tiedemiehet ovat pitäneet ongelmien leikkaamisesta muinaisista ajoista lähtien. Muinaiset kreikkalaiset ja kiinalaiset löysivät ratkaisuja moniin yksinkertaisiin leikkausongelmiin, mutta ensimmäisen systemaattisen tutkielman tästä aiheesta kirjoitti Bagdadissa asunut 1000-luvun kuuluisa persialainen tähtitieteilijä Abul-Vef. Geometrit ovat vakavasti mukana ratkaisemassa muotojen leikkaamiseen liittyviä ongelmia pienin numero osia ja myöhemmin yhden tai toisen uuden hahmon kokoaminen niistä vasta 1900-luvun alussa. Yksi tämän kiehtovan geometrian haaran perustajista oli kuuluisa palapelin laatija Henry

5 Johdanto 5 E. Dudeni. Australian patenttiviraston asiantuntija Harry Lindgren rikkoi erityisen suuren määrän jo olemassa olevia ennätyksiä leikkaavia hahmoja. Hän on johtava figuurileikkuri. Nykyään pulmapelien ystävät rakastavat leikkausongelmien ratkaisemista ensisijaisesti siksi, että tällaisten ongelmien ratkaisemiseen ei ole olemassa universaalia menetelmää, ja jokainen, joka ottaa heidän ratkaisunsa, voi täysin osoittaa kekseliäisyytensä, intuitiokykynsä ja kykynsä luova ajattelu. Koska täällä ei vaadita syvää geometrian tuntemusta, amatöörit voivat joskus jopa ylittää ammattimatemaatikot. Samaan aikaan leikkaustehtävät eivät ole kevytmielisiä tai hyödyttömiä, ne eivät ole niin kaukana vakavista. matemaattisia ongelmia. Leikkausongelmista syntyi Boyai-Gervin-lause, jonka mukaan mitkä tahansa kaksi samankokoista monikulmiota ovat samankokoisia (käänteinen on ilmeinen), ja sitten Hilbertin kolmas ongelma: onko samanlainen väite totta monitahoisille? Viipalointitehtävät auttavat muodostumaan mahdollisimman aikaisin geometrisia esityksiä opiskelijoille erilaisilla materiaaleilla. Tällaisia ​​ongelmia ratkaistaessa luonnossa on kauneuden, lain ja järjestyksen tunne. Kokoelma "Leikkausongelmat" on jaettu kahteen osaan. Ensimmäisen osan tehtäviä ratkaistaessa opiskelijat eivät tarvitse tietoa planimetrian perusteista, mutta he tarvitsevat kekseliäisyyttä, geometrista mielikuvitusta ja melko yksinkertaista geometristä tietoa, joka on kaikkien tiedossa. Toinen osa on valinnaisia ​​tehtäviä. Näihin sisältyi tehtäviä, joiden ratkaiseminen edellyttää geometristen perustietojen tuntemista kuvioista, niiden ominaisuuksista ja ominaisuuksista sekä joidenkin lauseiden tuntemista. Jokainen osio on jaettu kappaleisiin, joissa yritimme yhdistää tehtäviä yhdestä aiheesta, ja ne puolestaan ​​on jaettu oppitunteihin, jotka sisältävät jokaisen homogeenisen tehtävän vaikeusasteen mukaan. Ensimmäinen osa sisältää kahdeksan kappaletta. 1. Tehtävät ruudulliselle paperille. Tämä osio sisältää ongelmia, joissa kuvioiden (pääasiassa neliöiden ja suorakulmioiden) leikkaus tapahtuu solujen sivuja pitkin. Kappale sisältää 4 oppituntia, suosittelemme niitä 5. luokan opiskelijoille.

6 6 Johdanto 2. Pentomino. Tämä kappale sisältää pentominohahmoihin liittyviä tehtäviä, joten näillä tunneilla on suositeltavaa jakaa lapsille sarjat näistä hahmoista. Täällä on kaksi oppituntia, suosittelemme niitä 5-6 luokkalaisten opiskeluun. 3. Vaikeat leikkaustehtävät. Tässä on koottu tehtäviä monimutkaisemman muotoisten muotojen leikkaamiseen, esimerkiksi kaarien reunuksilla, ja monimutkaisempia leikkaustehtäviä. Tässä kappaleessa on kaksi oppituntia, suosittelemme, että ne opetetaan 7. luokalla. 4. Lentokoneen halkaisu. Tässä on koottu ongelmia, joissa sinun on löydettävä suorakulmioiden kiinteät väliseinät suorakaiteen muotoisiksi laatoiksi, ongelmia parkettien kokoamiseen, ongelmia tiheimmän muotojen pakkaamiseen suorakulmioon tai neliöön. Suosittelemme, että opit tämän kappaleen luokilla 6-7. 5. Tangram. Tässä on koottu tehtäviä, jotka liittyvät muinaiseen kiinalaiseen palapeliin "Tangram". Tätä oppituntia varten on toivottavaa, että tämä palapeli on valmistettu ainakin pahvista. Tätä osiota suositellaan opiskelemaan 5. luokalla. 6. Ongelmia avaruudessa leikkaamisessa. Täällä opiskelijoille tutustutaan kuution, kolmiopyramidin kehitykseen, piirretään rinnakkauksia ja esitetään tasossa olevien kuvien ja kolmiulotteisten kappaleiden eroja, mikä tarkoittaa eroja tehtävien ratkaisussa. Kappale sisältää yhden oppitunnin, jota suosittelemme 6. luokan opiskelijoille. 7. Väritystehtävät. Se osoittaa, kuinka muodon värittäminen auttaa ratkaisemaan ongelman. Ei ole vaikeaa todistaa, että jonkin hahmon osiin leikkaamisen ongelman ratkaisu on mahdollista, riittää, että tarjotaan jokin leikkaustapa. Mutta sen todistaminen, että leikkaaminen on mahdotonta, on vaikeampaa. Figuurin värjääminen auttaa meitä tässä. Tässä kappaleessa on kolme opetusta. Niitä suositellaan 7. luokan opiskelijoille. 8. Tehtävät värityksellä kunnossa. Tässä on kerätty tehtäviä, joissa sinun on väritettävä hahmo tietyllä tavalla, vastaa kysymykseen: kuinka monta väriä tarvitaan tällaiseen värjäämiseen (pienin tai suurin määrä) jne. Kappaleessa on seitsemän oppituntia. Suosittelemme niitä 7. luokan opiskelijoille. Toinen osa sisältää tehtäviä, jotka voidaan ratkaista lisäluokat. Se sisältää kolme kohtaa.

7 Johdanto 7 9. Kuvioiden muunnos. Se sisältää tehtäviä, joissa yksi hahmo leikataan osiin, joista muodostetaan toinen kuvio. Tässä kappaleessa on kolme oppituntia, joista ensimmäinen käsittelee eri kuvioiden "muuntamista" (tähän on koottu melko helppoja tehtäviä), ja toinen oppitunti käsittelee neliön muunnoksen geometriaa. 10. Erilaisia ​​leikkaustehtäviä. Tämä sisältää erilaisia ​​tehtäviä leikkaus, jotka ratkaistaan ​​eri menetelmillä. Tässä osiossa on kolme oppituntia. 11. Figuurien alue. Tässä osiossa on kaksi oppituntia. Ensimmäisellä oppitunnilla tarkastellaan ongelmia, joiden ratkaisussa on tarpeen leikata hahmot osiin ja sitten todistaa, että hahmot koostuvat tasaisesti, toisella oppitunnilla ongelmia, joiden ratkaisussa on käytettävä kuvioiden alueiden ominaisuudet.

8 Osa 1 1. Tehtävät ruudulliselle paperille Oppitunti 1.1 Aihe: Tehtävät leikkaamiseen ruudulliselle paperille. Tarkoitus: Kehittää kombinatorisia taitoja (pohtia erilaisia ​​tapoja muodostaa leikattu kuvioviiva, sääntöjä, jotka sallivat ratkaisujen menettämisen tätä viivaa rakennettaessa), kehittää ideoita symmetriasta. Ratkaisemme oppitunnilla tehtäviä, tehtävä 1.5 talolle Neliö sisältää 16 solua. Jaa neliö kahteen yhtä suureen osaan niin, että leikkausviiva kulkee solujen reunoja pitkin. (Tapoja leikata neliö kahteen osaan pidetään erilaisina, jos yhdellä leikkausmenetelmällä saadut neliön osat eivät ole yhtä suuria kuin toisella menetelmällä saadut osat.) Kuinka monta ratkaisua ongelmalla on? Ohje. Useiden ratkaisujen löytäminen tähän ongelmaan ei ole niin vaikeaa. Kuvassa 1, osa niistä on esitetty ja ratkaisut b) ja c) ovat samat, koska niissä saadut luvut voidaan yhdistää superpositiolla (jos käännät neliötä c) 90 astetta). Riisi. 1 Mutta kaikkien ratkaisujen löytäminen ja yhdenkään ratkaisun menettämättä jättäminen on jo vaikeampaa. Huomaa, että katkoviiva, joka jakaa neliön kahteen yhtä suureen osaan, on symmetrinen neliön keskipisteen suhteen.Tämä havainto mahdollistaa askeleen

9 Oppitunti askeleelta piirtämään polyline kahdesta päästä. Esimerkiksi jos moniviivan alku on pisteessä A, niin sen loppu on pisteessä B (kuva 2). Varmista, että tässä tehtävässä polylinen alku ja loppu voidaan piirtää kahdella tavalla, kuten kuvassa 1. 2. Kun rakennat katkoviivaa, voit noudattaa tätä sääntöä, jotta et menetä ratkaisua. Jos polylinjan seuraava linkki voidaan piirtää kahdella tavalla, sinun on ensin valmistettava toinen samanlainen piirros ja suoritettava tämä vaihe yhdelle piirrokselle ensimmäisellä tavalla ja toisella toisella tavalla (kuva 3 näyttää kaksi kuvion 2 (a) jatkot). Samoin on toimittava, kun ei ole kahta, vaan kolme menetelmää (Kuva 4 esittää kolme jatkoa kuviosta 2 (b)). Määritetty menettely auttaa löytämään kaikki ratkaisut. Riisi. 2 Fig. 3 Riisisuorakulmio 3 4 sisältää 12 solua. Etsi viisi tapaa leikata suorakulmio kahteen yhtä suureen osaan siten, että leikkausviiva kulkee solujen reunoja pitkin (leikkausmenetelmiä pidetään erilaisina, jos yhdellä leikkausmenetelmällä saadut osat eivät ole yhtä suuria kuin toisella menetelmällä saadut osat) Suorakulmio 3 5 sisältää 15 solua ja keskussolu on poistettu. Etsi viisi tapaa leikata jäljellä oleva hahmo

10 10 1. Ruudullisen paperin tehtävät jaetaan kahteen yhtä suureen osaan siten, että leikkausviiva kulkee solujen reunoja pitkin Neliö 6 6 jaetaan 36 identtiseen ruutuun. Etsi viisi tapaa leikata neliö kahteen yhtä suureen osaan siten, että leikkausviiva kulkee neliöiden sivuja pitkin Tehtävässä 1.4 on yli 200 ratkaisua. Etsi vähintään 15 niistä. Oppitunti 1.2 Aihe: Leikkaamisen tehtäviä ruudulliselle paperille. Tarkoitus: Jatka symmetria-ideoiden kehittämistä, valmistautumista aiheeseen "Pentamino" (eri figuureja, jotka voidaan rakentaa viidestä solusta). Tehtävät Voidaanko 5 5 solun neliö leikata kahteen yhtä suureen osaan siten, että leikkausviiva kulkee solujen sivuja pitkin? Perustele vastauksesi Jaa neliö 4 4 neljään yhtä suureen osaan niin, että leikkausviiva kulkee solujen reunoja pitkin. Kuinka monta erilaista leikkaustapaa löydät? 1.8. Jaa kuvio (kuva 5) kolmeen yhtä suureen osaan niin, että leikkausviiva kulkee neliöiden reunoja pitkin. Riisi. 5 Kuva. Kuva 6 Jaa kuvio (kuva 6) neljään yhtä suureen osaan siten, että leikkausviiva kulkee neliöiden reunoja pitkin Jaa kuvio (kuva 7) neljään yhtä suureen osaan niin, että leikkauslinjat kulkevat ruudun sivuja pitkin. neliöitä. Etsi mahdollisimman monta ratkaisua.

11 Oppitunti Jaa 5 5 solun neliö, jossa on leikattu keskussolu neljään yhtä suureen osaan. Oppitunti 1.3 Aihe: Leikkaamisen tehtäviä ruudulliselle paperille. Tarkoitus: Jatkaa ideoiden kehittämistä symmetriasta (aksiaalinen, keskus). Tehtävät Leikkaa kuvassa näkyvät muodot. 8, kahteen yhtä suureen osaan ruudukkoviivoja pitkin, ja jokaisessa osassa tulee olla ympyrä. Riisi. 8 Kuva Kuvassa näkyvät luvut. 9, on tarpeen leikata ruudukkoviivoja pitkin neljään yhtä suureen osaan niin, että jokaisessa osassa on ympyrä. Kuinka tehdä se? Leikkaa kuvassa näkyvä kuvio. 10, ruudukkoviivoja pitkin neljään yhtä suureen osaan ja taita ne neliöiksi siten, että ympyrät ja tähdet ovat symmetrisesti neliön kaikkien symmetria-akselien ympärillä. Riisi. 10

12 12 1. Tehtävät ruudulliselle paperille Leikkaa tämä neliö (kuva 11) solujen sivuilta siten, että kaikki osat ovat samankokoisia ja -muotoisia ja jokaisessa on yksi ympyrä ja tähti. 12 neljään identtiseen osaan siten, että jokaisessa on kolme täytettyä kennoa. Oppitunti 1.4 11 Kuva. 12 Aihe: Leikkaamisen ongelmat ruudulliselle paperille. Tavoite: Opi leikkaamaan suorakulmio kahteen yhtä suureen osaan, joista voit lisätä neliön tai toisen suorakulmion. Opi määrittämään, mistä suorakulmioista voit tehdä neliön leikkaamalla ne. Tehtävät Lisätehtävät 1.23, 1.24 (näitä tehtäviä voidaan harkita oppitunnin alussa lämmittelyyn) Leikkaa suorakulmio 4 9 solujen reunoilta kahteen yhtä suureen osaan, jotta ne voidaan taittaa neliöiksi. suorakulmio 4 8 solua leikataan kahteen osaan solujen sivuja pitkin niin, että ne voivat muodostaa neliön? 10 7 solun suorakulmiosta leikattiin 1 6 solun suorakulmio, kuten kuvassa 1 on esitetty. 13. Leikkaa saatu hahmo kahteen osaan, jotta ne voidaan taittaa neliöiksi.Täytetyt hahmot leikattiin 8 9 solun suorakulmiosta kuvan 1 mukaisesti. 14. Leikkaa tuloksena oleva kuvio kahteen yhtä suureen osaan, jotta voit lisätä niistä suorakulmion 6 10.

13 Oppitunti Kuva. 13 Riisi Ruutupaperille piirretään 5 5 solun neliö. Näytä kuinka se leikataan solujen sivuilta 7 eri suorakulmioksi Leikkaa neliö viideksi suorakulmioksi solujen sivuilta siten, että kaikki kymmenen suorakulmioiden sivujen pituutta ilmaisevat numerot ovat erilaisia ​​kokonaislukuja Jaa kuvassa 1 esitetyt luvut. . 15, kahteen yhtä suureen osaan. (Voit leikata paitsi solulinjoja pitkin, myös niiden lävistäjät pitkin.) Kuva. 15

14 14 2. Pentomino Leikkaa irti kuvassa näkyvät hahmot. 16, neljään yhtä suureen osaan. 2. Pentomino Fig. 16 Oppitunti 2.1 Aihe: Pentomino. Tarkoitus: Opiskelijoiden kombinatoristen taitojen kehittäminen. Tehtävät Domino-, tromino-, tetramino-figuurit (tällaisten hahmojen peli on nimeltään Tetris), pentominot koostuvat kahdesta, kolmesta, neljästä, viidestä ruudusta siten, että jokaisella ruudulla on yhteinen sivu vähintään yhden ruudun kanssa. Kahdesta identtisestä ruudusta voidaan tehdä vain yksi dominohahmo (katso kuva 17). Trominopalat saadaan yhdestä dominopalasta lisäämällä siihen eri tavoilla toinen neliö. Saat kaksi trominofiguuria (kuva 18). Riisi. 17 Riisi Tee kaikenlaisia ​​tetraminohahmoja (kreikan sanasta "tetra" neljä). Kuinka monta he saivat? (Muista, jotka on saatu pyörittämällä tai symmetrisellä näytöllä, ei pidetä uutena).

15 Oppitunti Tee kaikki mahdolliset pentominon hahmot (kreikan sanasta "penta" viisi). Kuinka monta he saivat? 2.3. Laadi kuvassa näkyvät luvut. 19, pentominohahmoista. Kuinka monta ratkaisua ongelmalla on kullekin kuviolle? Kuva Taita 3 5 suorakulmio pentominoista. Kuinka monta erilaista ratkaisua saat? 2.5. Laadi kuvassa näkyvät luvut. 20, pentominohahmoista. Riisi. 20

16 16 2. Pentomino Oppitunti 2.2 Aihe: Pentomino. Tarkoitus: Ideoiden kehittäminen symmetriasta. Tehtävät Tehtävässä 2.2 keksimme kaikki mahdolliset pentominopalat. Katso niitä kuvasta. 21. Kuva. 21 Kuvassa 1 on seuraava ominaisuus. Jos se leikataan paperista ja taivutetaan suoraa linjaa pitkin a (kuva 22), kuvion toinen osa osuu toisen kanssa. Kuvion sanotaan olevan symmetrinen suoran a symmetria-akselin suhteen. Kuvassa 12 on myös symmetria-akseli, joista jopa kaksi on suoria b ja c, kun taas kuvassa 2 ei ole symmetria-akseleita. Kuva Kuinka monta symmetria-akselia kussakin pentominohahmossa on? 2.7. Taita kaikista 12 pentominofiguurista suorakulmio. Epäsymmetriset kappaleet saa kääntää ympäri. Taita 6 10:n suorakulmio kahdestatoista pentominofiguurista niin, että jokainen elementti koskettaa tämän suorakulmion toista sivua.

Oppitunti 17 Leikkaa kuvan 1 mukainen suorakulmio. 23 (a), sisäviivoja pitkin kahteen sellaiseen osaan, joista voidaan taittaa hahmo, jossa on kolme yhden kennon kokoista neliömäistä reikää (kuva 23 (b)). Kuva. Taita pentominokuvioista neliö 8 8, jonka keskelle on leikattu neliö 2 2. Etsi useita ratkaisuja Kaksitoista pentominoa asetetaan suorakulmioon Palauta kuvioiden rajat (kuva 24), jos jokainen tähti osuu täsmälleen yksi pentomino. Riisi. 24 Kuva. Kaksitoista pentominopalaa on pinottu laatikkoon 12 10, kuten kuvassa 10 esitetään. 25. Yritä asettaa toinen sarja pentominoja jäljellä olevalle vapaalle kentälle.

18 18 3. Vaikeat leikkaustehtävät 3. Vaikeat leikkausongelmat Oppitunti 3.1 Aihe: Tehtäviä monimutkaisempien kuvioiden leikkaamiseen, joiden rajat ovat kaaria. Tarkoitus: Opi leikkaamaan monimutkaisempia muotoja, joiden reunukset ovat kaaria, ja muodostamaan neliö tuloksena olevista osista. Tehtävät Kuvassa. 26 esittää 4 kuviota. Jaa ne yhdellä leikkauksella kahteen osaan ja tee niistä neliö. Ruudullinen paperi helpottaa ongelman ratkaisemista. Riisi Leikkaa neliö 6 6 osiin, lisää kuvan 6 luvut. 27. Kuva. 27

19 Oppitunti 28 esittää osaa linnoituksen muurista. Yhdellä kivestä on niin outo muoto, että jos vedät sen seinästä ja laitat toisin, seinästä tulee tasainen. Piirrä tämä kivi Mihin käytetään enemmän maalia: neliön vai tämän epätavallisen renkaan maalaamiseen (kuva 29)? Riisi. 28 Riisi Leikkaa kuvassa näkyvä maljakko. 30, kolmeen osaan, joista voidaan taittaa rombi. Riisi. 30 Kuva. 31 Kuva. 32 Oppitunti 3.2 Aihe: Monimutkaisemmat leikkausongelmat. Tavoite: Harjoittelee monimutkaisempien leikkausongelmien ratkaisemista. Ratkaisemme tehtäviä oppitunnilla, tehtävä 3.12 kotiin Leikkaa kuvio (kuva 31) kahdella suoralla leikkauksella sellaisiin osiin, joista voit lisätä neliön 32 kuvio neljään yhtä suureen osaan, joista olisi mahdollista lisätä neliö Leikkaa E-kirjain, joka näkyy kuvassa. 33, viiteen osaan ja taita ne neliöiksi. Älä käännä osia ylösalaisin

20 20 4. Koneen jakaminen on sallittua. Onko mahdollista tulla toimeen neljällä osalla, jos annat osien kääntää ylösalaisin? 3.9. Viidestä ruudusta koostuva risti on leikattava sellaisiin osiin, joista olisi mahdollista tehdä yksi samankokoinen risti (eli pinta-alaltaan yhtä suuri) neliö. Annetaan kaksi shakkilautaa: tavallinen 64 solua ja toinen 36 solua. Jokainen niistä on leikattava kahteen osaan niin, että kaikista neljästä saadusta osasta tehdään uusi solujen shakkilauta.. Puusepillä on 7 7 solun shakkilaudan pala, joka on valmistettu arvokkaasta mahonkista. Hän haluaa tuhlaamatta materiaalia ja pyyhkäisemättä Kuva. 33 leikkauksia vain solujen reunoja pitkin, leikkaa lauta 6 osaan niin, että niistä muodostuu kolme uutta ruutua, kaikki erikokoisia. Kuinka tehdä se? Onko mahdollista ratkaista tehtävä 3.11, jos osien lukumäärän on oltava 5 ja leikkausten kokonaispituus on 17? 4. Tason jakaminen Oppitunti 4.1 Aihe: Suorakulmioiden kiinteät väliseinät. Tarkoitus: Opi rakentamaan kiinteät väliseinät suorakulmioista suorakaiteen muotoisilla laatoilla. Vastaa kysymykseen, millä ehdoilla suorakulmio sallii tällaisen tason jaon. Tehtävät (a) ratkaistaan ​​oppitunnilla. Tehtävät 4.5 (b), 4.6, 4.7 voidaan jättää kotiin. Oletetaan, että meillä on rajoittamaton tarjonta 2 1 suorakaiteen muotoisia laattoja ja haluamme rakentaa niiden kanssa suorakaiteen muotoisen lattian, eikä kahta laatta saa olla päällekkäin Aseta 2 1 laatta lattialle 5 6 huoneessa. On selvää, että jos lattia on suorakaiteen muotoinen huone p q on laatoitettu 2 1, silloin p q on parillinen (koska pinta-ala on jaollinen 2:lla). Ja päinvastoin: jos p q on tasainen, lattia voidaan asentaa laatoilla 2 1.

21 Oppitunti Tässä tapauksessa yhden luvuista p tai q on oltava parillinen. Jos esimerkiksi p = 2r, lattia voidaan asentaa kuvan 1 mukaisesti. 34. Mutta tällaisissa parketeissa on murtoviivoja, jotka ylittävät koko "huoneen" seinästä seinään, mutta eivät ylitä laattoja. Mutta käytännössä käytetään parketteja ilman tällaisia ​​linjoja - kiinteitä parketteja. Kuva Aseta laatat 2 1 huoneen massiiviparketti Yritä löytää jatkuva laatoitus 2 1 a) suorakulmio 4 6; b) neliö Laatat 2 1 massiiviparketti a) huoneet 5 8; b) huoneet 6 8. Luonnollisesti herää kysymys, mille p ja q suorakulmio p q sallii jatkuvan osion laatoille 2 1? Tiedämme jo tarvittavat ehdot: 1) p q on jaollinen luvuilla 2, 2) (p, q) (6, 6) ja (p, q) (4, 6). Vielä yksi ehto voidaan varmistaa: 3) p 5, q 5. Osoittautuu, että nämä kolme ehtoa osoittautuvat myös riittäviksi. Muun kokoiset laatat Asenna laatat 3 2 ilman rakoja a) suorakulmio 11 18; b) suorakulmio Asettele ilman aukkoja mahdollisuuksien mukaan neliö laatoineen Onko mahdollista ruudullisen paperin neliö, jonka koko on 5 5 solua, leikata siitä 1 solu niin, että loput voidaan leikata 1 3:n levyiksi soluja? Oppitunti 4.2 Aihe: Parketit.

22 22 4. Tason jakaminen Tarkoitus: Opi peittämään taso erilaisilla figuureilla (lisäksi parketit voivat olla jakoviivoja tai kiinteitä) tai todistaa, että tämä on mahdotonta. Tehtävät Yksi tärkeimmistä tärkeitä asioita tason jakamisen teoria: "Minkä muotoinen laatan tulee olla, jotta sen kopiot voivat peittää tason ilman rakoja ja kaksoispinnoitteita?" Muutama ilmeinen muoto tulee heti mieleen. Voidaan todistaa, että on olemassa vain kolme säännöllistä monikulmiota, jotka voivat peittää tason. Tämä tasasivuinen kolmio, neliö ja kuusikulmio (katso kuva 35). On olemassa ääretön määrä epäsäännöllisiä monikulmioita, jotka voivat peittää tason. Kuva Jaa mielivaltainen tylppä kolmio neljään yhtä suureen ja samankaltaiseen kolmioon. Tehtävässä 4.8 jaetaan kolmio neljään yhtä suureen ja samankaltaiseen kolmioon. Jokainen neljästä tuloksena olevasta kolmiosta voidaan puolestaan ​​jakaa neljään yhtä suureen ja samankaltaiseen kolmioon jne. Jos siirrymme käänteinen suunta, eli taittaa neljä samanlaista tylppäkulmaista kolmiota niin, että saadaan yksi samanlainen kolmio, mutta pinta-alaltaan neljä kertaa suurempi jne., niin tällaiset kolmiot voidaan laatoittaa tasolla. Taso voidaan peittää muilla kuvioilla, esim. puolisuunnikkaat, suunnikkaat Peitä taso samoilla kuvioilla kuin kuvassa. 36.

23 Oppitunti Laatoi taso samoilla "kiinnikkeillä", jotka on esitetty kuvassa. 37. Kuva. 36 Riisi On neljä ruutua, joiden sivu on 1, kahdeksan, jonka sivu on 2, ja kaksitoista, joiden sivu on 3. Voitko tehdä niistä yhden suuren neliön? Onko mahdollista taittaa minkä tahansa kokoinen neliö kuvassa 2 esitetyistä puulaatoista? 38 erilaista, käyttämällä molempia laattoja? Oppitunti 4.3 Aihe: Tiheimmän pakkauksen ongelmat. Riisi. 38 Tarkoitus: Muodostaa käsite optimaalisesta ratkaisusta. Tehtävät Kuinka monta 15-kokoista nauhaa voidaan leikata eniten ruudullisesta paperineliöstä 8 8 solua? Mestarilla on peltineliö. dm. Mestari haluaa leikata siitä mahdollisimman monta 3 5 neliömetrin suorakaiteen muotoista aihiota. dm. Auta häntä, onko mahdollista leikata solun suorakulmio 5 7 -kokoisiksi suorakulmioiksi ilman jäännöksiä? Jos mahdollista, miten? Jos ei, miksi ei? Merkitse ruudulliselle paperiarkille leikkaukset solujen koolla, jonka avulla saat kuvan 1 mukaisen määrän kokonaisia ​​lukuja. 39. Kuvassa 39 esitetyt hahmot. 39 (b, d), voidaan kääntää.

24 24 5. Tangram Rice Tangram Oppitunti 5.1 Aihe: Tangram. Tarkoitus: Esitellä opiskelijat kiinalaiseen palapeliin "Tangram". Harjoittele geometriatutkimusta, suunnittelua. Kehitä kombinatorisia taitoja. Ongelmia Leikkausongelmista puhuttaessa ei voi olla mainitsematta muinaista kiinalaista palapeliä "Tangram", joka syntyi Kiinassa 4 tuhatta vuotta sitten. Kiinassa sitä kutsutaan nimellä "chi tao tu", eli seitsemänosainen henkinen palapeli. Ohjeita. Tämän oppitunnin suorittamiseksi on toivottavaa, että sinulla on monisteita: palapeli (jonka oppilaat voivat itse tehdä), piirroksia hahmoista, jotka on taitettava. Kuva Tee itse palapeli: siirrä seitsemään osaan jaettu neliö (kuva 40) paksulle paperille ja leikkaa se. Tee palapelin kaikista seitsemästä osasta kuvan 1 mukaiset hahmot. 41.

25 Oppitunti Kuva. 41 Kuva. 42 Ohjeita. Lapsille voidaan antaa piirustuksia hahmoista a), b) täysikokoisina. Ja niin opiskelija voi ratkaista tehtävän asettamalla osia palapelistä hahmon piirustukseen ja siten valitsemalla oikeat osat, mikä yksinkertaistaa tehtävää. Ja kuviopiirroksia

26 26 6. Leikkaustehtävät avaruudessa c), d) voidaan antaa pienemmässä mittakaavassa; näin ollen näitä tehtäviä on vaikeampi ratkaista. Kuvassa Figuuria omaan kokoamiseen annetaan lisää 42. Yritä keksiä oma figuurisi käyttämällä tangramin kaikkia seitsemää osaa Tangramissa sen seitsemän osan joukossa on jo erikokoisia kolmioita. Mutta sen osista voit silti lisätä erilaisia ​​kolmioita. Taita kolmio käyttämällä tangrammin neljää osaa: a) yksi iso kolmio, kaksi pientä kolmiota ja neliö; b) yksi iso kolmio, kaksi pientä kolmiota ja suuntaviiva; c) yksi iso kolmio, yksi keskimmäinen kolmio ja kaksi pientä kolmiota Onko mahdollista tehdä kolmio käyttämällä vain kahta tangrammin osaa? Kolme osaa? Viisi osaa? Kuusi osaa? Tangrammin kaikki seitsemän osaa? 5.6. On selvää, että tangrammin kaikista seitsemästä osasta tehdään neliö. Onko mahdollista vai mahdotonta tehdä neliö kahdesta osasta? kolmesta? neljästä? 5.7. Mistä erilaisia ​​osia tangram voitko tehdä suorakulmion? Mitä muita kuperia polygoneja voidaan tehdä? 6. Leikkauksen tehtäviä avaruudessa Oppitunti 6.1 Aihe: Avaruudessa leikkaamisen tehtäviä. Tarkoitus: Kehittää avaruudellista mielikuvitusta. Opi rakentamaan kolmiomaisen pyramidin pyyhkäisy, kuutio, määrittämään, mitkä pyyhkäisyet ovat virheellisiä. Harjoittele tehtävien ratkaisemista kappaleiden leikkaamiseen avaruudessa (tällaisten tehtävien ratkaisu eroaa muotojen tasossa leikkaustehtävien ratkaisemisesta). Tehtävät Pinocchiolla oli paperia, toiselta puolelta polyeteenillä liimattu. Hän teki kuvassa näkyvän kappaleen. 43 liimaamaan siitä maitopusseja (kolmiopyramideja). Ja kettu Alice voi tehdä toisen tyhjän. Mitä?

27 Oppitunti Rice Cat Basilio sai myös tämän paperin, mutta hän haluaa liimata kuutioita (kefiiripusseja). Hän teki kuvassa näkyvät aihiot. 44. Ja kettu Alice sanoo, että jotkut voidaan heittää pois heti, koska ne eivät ole hyviä. Onko hän oikeassa? Kuva Cheopsin pyramidin pohjassa on neliö ja sen sivupinnat ovat yhtä suuret tasakylkiset kolmiot. Pinocchio kiipesi ylös ja mittasi yläreunan kulman (AMD, kuvassa 45). Se osoittautui 100. Ja kettu Alice sanoo, että hän ylikuumeni auringossa, koska se ei voi olla. Onko hän oikeassa? 6.4 Kuinka monta litteitä leikkauksia tarvitaan, jotta kuutio jaetaan 64 pieneen kuutioon? Jokaisen leikkauksen jälkeen kuution osia saa siirtää haluamallaan tavalla. Puukuutio maalattiin ulkopuolelta valkoisella maalilla, sitten sen jokainen reuna Kuva 1. 45 jaettiin 5 yhtä suureen osaan, minkä jälkeen se sahattiin niin, että saatiin pieniä kuutioita, joissa reuna on 5 kertaa pienempi kuin alkuperäisen kuution. Kuinka monta pientä kuutiota on? Kuinka monella kuutiolla on maalattu kolme sivua? Kaksi reunaa? Yksi reuna? Kuinka monta maalaamatonta kuutiota on jäljellä? 6.6. Vesimeloni leikattiin 4 osaan ja syötiin. Siitä tuli 5 kuorta. Voisiko tämä olla?

28 28 7. Väritystehtävät 6.7. Kuinka monta paloa pannukakku voidaan leikata enintään kolmella suoralla leikkauksella? Kuinka monta palaa saadaan kolmella leipäpalalla? 7. Väritystehtävät Oppitunti 7.1 Aihe: Väritys auttaa ratkaisemaan ongelmia. Tarkoitus: Oppivat osoittamaan, että joihinkin leikkausongelmiin ei ole ratkaisuja käyttämällä hyvin valittua väritystä (esimerkiksi värjäys shakkilautakuvioon), mikä parantaa opiskelijoiden loogista kulttuuria. Ongelmia Ei ole vaikeaa todistaa, että jonkin hahmon osiin leikkaamisen ongelman ratkaisu on mahdollinen: riittää, että tarjotaan jokin leikkausmenetelmä. Kaikkien ratkaisujen, eli kaikkien leikkaustapojen, löytäminen on jo vaikeampaa. Ja sen todistaminen, että leikkaaminen on mahdotonta, on myös melko vaikeaa. Joissakin tapauksissa hahmon väritys auttaa meitä tässä.Otimme neliön ruudullista paperia, jonka koko oli 8 8, ja leikkasimme siitä kaksi solua (alempi vasen ja ylempi oikea). Onko mahdollista peittää tuloksena oleva hahmo kokonaan "domino"-suorakulmioilla 1 2? 7.2. Shakkilaudalla on ”kameli”-hahmo, joka jokaisella liikkeellä siirtää kolmea solua pystysuunnassa ja yhtä vaakasuunnassa tai kolmea vaakasuunnassa ja yhtä pystysuunnassa. Voiko "kameli" päästä usean liikkeen jälkeen soluun, joka on sen alkuperäisen sivun vieressä? 7.3. Jokaisessa 5 5 neliön solussa on kovakuoriainen. Komennosta kukin kovakuoriainen ryömi yhteen vierekkäisistä soluista sivulla. Voiko sitten käydä ilmi, että jokaisessa solussa istuu jälleen yksi kovakuoriainen? Entä jos alkuperäisen neliön mitat ovat 6 6? 7.4 Onko mahdollista leikata neliö 4x4-ruudullisesta paperista yhdeksi jalustaksi, yhdeksi neliöksi, yhdeksi sarakkeeksi ja yhdeksi siksakiksi (kuva 46)?

M. A. Ekimova, G. P. Kukin MTsNMO Moskova, 2002 UDC 514.11 LBC 22.151.0 E45 E45 Ekimova M. A., Kukin G. P. Leikkausongelmat. M.: MTsNMO, 2002. 120 s.: ill. Sarja: "Matematiikan opettamisen salaisuudet". Tämä

V.A. Smirnov, I.M. Smirnova, I.V. Jaštšenko MITÄ OLLA VISUAALISESTA GEOMETRIASTA 5 6 LUOKASSA GIA:n ja KÄYTÖN tulokset matematiikassa osoittavat, että geometrian pääongelma

Tehtäviä hiloissa V. V. Vavilov, O. N. German, A. V. Ustinov l ovat kokonaislukuja, silloin ja vasta sitten generoi saman hilan,

IV Jakovlev Matematiikkamateriaalit MathUs.ru Leikkaukset Geometrisiä lukuja kutsutaan yhtäläisiksi, jos ne voidaan asettaa päällekkäin niin, että ne ovat täysin yhteneväisiä. 1. Leikkaa jokainen muoto

V.A. Smirnov, I.M. Smirnova GEOMETRY Käsikirja GIA:han valmistautumiseen Tehtävät oikeiden lauseiden valitsemiseksi 2015 1 JOHDANTO Tämä käsikirja on suunniteltu valmistautumaan GIA:n geometristen ongelmien ratkaisemiseen matematiikan alalla.

Testi 448 Pystykulmat 1. Jos kulmat eivät ole pystysuorat, ne eivät ole yhtä suuret. 2. Samat kulmat ovat pystykulmia vain, jos ne ovat keskellä symmetrisiä. 3. Jos kulmat ovat yhtä suuret ja niiden liitos on

I. V. Yakovlev Matematiikan materiaalit MathUs.ru Esimerkkejä ja konstruktioita 1. (All-Russian, 2018, ШЭ, 5.2) Tyttö korvasi jokaisen nimensä kirjaimen sen numerolla venäjän aakkosissa. Tuloksena on numero 2011533.

LUETTO 24 TASOKUVIOT 1. Eulerin kaava tasograafille Määritelmä 44: Tasograafi on kuva graafista tasossa ilman itseleikkauksia. Huomautus Kaavio ei ole sama kuin litteä

Keskiasteen (täydellinen) yleissivistävä koulutus M.I. Bashmakov Matematiikka luokka 11 Tehtäväkokoelma 3. painos UDC 372.851(075.3) LBC 22.1ya721 B336 Bashmakov M.I. Luokka 11. Tehtäväkokoelma: toissijainen (täydellinen)

V.A. Smirnov 1. Figuurien tunnistus 1. Mitä monitahoista kutsutaan kuutioksi? 2. Kuinka monta kärkeä, reunaa, pintaa kuutiolla on? 3. Piirrä kuutio ruudulliselle paperille. 4. Mitä monitahoista kutsutaan suuntaissärmiöksi?

V.A. Smirnov, I.V. Jaštšenko KUVUJA AVARUUSSA Opas valmistautumiseen Unified State Examination 2013 -kokeeseen JOHDANTO Tämä opas on suunniteltu valmistautumaan geometristen ratkaisuihin KÄYTÄ tehtäviä matematiikka. Sen tavoitteet ovat:

1 oppii käyttämään geometristä kieltä ja geometrista symboliikkaa kuvaamaan maailman esineitä; suorittaa yksinkertaisia ​​perusteluja ja perusteluja ongelmien ratkaisuprosessissa

MATEMATIIKKA 5.1-5.3 luokat (teknologinen profiili) Tehtäväpankki moduuli "Geometria" "Kolmiot ja nelikulmiot. Suorat linjat ja ympyrät. Symmetria. Polyhedra” Vaaditaan teoreettisia perustietoja

Kolmannen Minskin kaupungin avoimen nuorten matemaatikoiden turnauksen 2016 tehtävät (junioriliiga, luokat 5-7) 10.-12.3.2016 Ennakkohakemukset, joissa kerrotaan oppilaitos, johtaja, puhelinnumero

Kunnan budjettiesikoulu oppilaitos « päiväkoti 30" Barnaulin keskuspiiristä KOULUTUKSEN KOULUTUS- JA SUOSITUSMATERIAALI

1 Äärisääntö Igor Zhuk (Alpha, 1(4), 1999) Aloitetaan seuraavista kolmesta ongelmasta: Tehtävä1. Äärettömälle ruudulliselle paperiarkille kirjoitetaan luonnollinen luku jokaiseen soluun. Se tiedetään

Tieto on parasta omaisuutta. Kaikki pyrkivät siihen, se ei tule itsestään. Abu-r-Raykhan al-buruni "Monikulmion alueen käsite" Geometria luokka 8 1 POLYNOMIEN OMINAISUUDET Suljettu polyline,

Selittävä huomautus 1. Yleiset luonteenpiirteet kurssi Tämä ohjelma on suunniteltu liittovaltion vaatimusten mukaisesti koulutusstandardi pää Yleissivistävä koulutus ja tarkoitettu

Mestarikurssi "Geometria ja stereometria matematiikan yhtenäisessä valtionkokeessa, osa 1. Lokakuu 2017. geometriset kuviot ja niiden ominaisuudet, pinta-alojen laskeminen litteitä hahmoja, volyymit

Kunnan budjettikoulu "Toissijainen peruskoulu 2» Liite 3.20. Työohjelma kurssilla "Visuaalinen geometria" luokat 5-6 Kehittäjät: Ovchinnikova N.V.,

Aihe 1. Pariteetti 1. Pöydällä on 13 vaihdetta, jotka on kytketty suljettuun ketjuun. Voivatko kaikki vaihteet kääntyä samaan aikaan? 2. Voiko suora, joka ei sisällä pisteitä, muodostaa suljetun polylinen luvulla 13

Tehtävien kolmannen osan tehtävien analyysi 1 2 e-koulu Znanika Tehtävien kolmannen osan tehtävien analyysi Arvosana 4 6 7 8 9 10 A B A C D Tehtävä 6 Tunnelin sisällä on tarkastuspisteitä 10 metrin välein.

IX Koko Venäjän vuoro "Nuori matemaatikko". VDC "Eaglet". VI Matemaattisten pelien turnaus. Matemaattinen peli "Duel". Juniori liiga. Ratkaisut. 08.09.2013 1. Sama määrä opiskelijoita opiskelee kahdessa ryhmässä

Mielenkiintoisia ongelmia kuutioiden kanssa Tehtävä 1. Numeroi 8 kuution kärkeä järjestysluvuilla (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) siten, että lukujen summa sen jokaisella kuudella pinnalla on sama ( Kuva 1a).

Matematiikan tehtäväpankki Arvosana 6 "Monikulmiot ja polyhedrat" 1. Polyhedri on suljettu pinta, joka koostuu: monikulmioiden suunnikasista ja monikulmion monikulmioiden kolmioista

VENÄJÄN FEDERAATIO KORKEAKOULUTUKSEN VALTIONVALTIO NOVOSIBIRSKIN YLIOPISTO Kirjeenvaihtokoulu MATEMAATTISEN OSASTO RINNAKKAISSUUNNITTELU Arvosana 0, tehtävä 3. Novosibirsk

Työohjelma aihe"Merkkien ja numeroiden maailma" luokka 5 1. Suunnitellut tulokset oppiaineen "Merkkien ja numeroiden maailma" hallitsemisesta geometrisen kielen hallitsemisesta, sen käyttämisestä kuvaamiseen

Visuaalisen geometrian oppitunti 7. luokalla. Aihe: "Saksien geometria. Ongelmia muotojen leikkaamisessa ja taittamisessa"

NIITÄ. SMIRNOV, V.A. SMIRNOV-GEOMETRIA RAKASTUPAPERILLE Opastus oppilaitoksille Moskova 2009 ESIPUHE Ehdotettu käsikirja sisältää viisikymmentäkuusi tehtävää rakentamiseen ja

TYÖKIRJA 2 MUUTOKSET 1 Muunnoksen käsite Esimerkki 1. Samakeskisten ympyröiden muunnos toisiinsa. Ympyrä c 1 muunnetaan sen samankeskiseksi ympyräksi c 2 kuvan mukaisesti

Syksyn fysiikan ja matematiikan intensiivinen "100 tuntia" POLYOMINE Pelit ja pulmat ruudullisilla figuureilla Khozin Mihail Anatoljevitš Dzeržinsk, 29. lokakuuta 2. marraskuuta 2016 MIKÄ POLYMONO ON? Kaikki tietävät dominon

7 muotoa piirretään piste pisteeltä alla olevien kuvien mukaisesti. C A G B F Näytä kuinka näiden elementtien avulla tehdään alla olevien kuvien hahmot D E A) (pistettä 0 pistettä) B) (pistettä 0 pistettä) C) (3 pistettä

KÄYTTÖ 2010. Matematiikka. Ongelma B9. Työkirja Smirnov V.A. (toimittajina A. L. Semenov ja I. V. Yashchenko) M .: MTsNMO Publishing House; 2010, 48 sivua "USE 2010. Mathematics" -sarjan matematiikan työkirja

1) IDm2014_006 kilpailukierroksen vastaukset 2) Tiimin johtaja Poyarkova Olga Sergeevna 3) Tekninen toteuttaja (koordinaattori) nro 4) Kilpailukierroksen vastausten verkkosivun URL-osoite (jos on) ei 5) Taulukko

10.1 (teknologiaprofiili), 10.2 ( profiilin taso) 2018-2019 lukuvuosi Likimääräinen tehtäväpankki matematiikan kokeeseen valmistautumiseen, osio "Geometria" (oppikirja Atanasyan L.S., profiilitaso)

I. M. Smirnova, V. A. Smirnov Säännöllinen, puolisäännöllinen ja tähden muotoinen polyhedra Moscow MTsNMO Publishing House 010

VENÄJÄN FEDERATION OPETUS- JA TIETEMINISTERIÖ NOVOSIBIRSKIN OSAVALTION YLIOPISTO ERIKOISKOULUTUS- JA TIETEKESKUS Matematiikka Arvosana 0 RINNAKKAISSUUNNITTELU Novosibirsk I. Suunnittelu

2016 2017 lukuvuosi Arvosana 5 51 Järjestä sulut ja toimintamerkit merkintään 2 2 2 2 2 niin, että se osoittautuu 24 52 Anya makaa tiistaisin, keskiviikkoisin ja torstaisin ja kertoo totuuden kaikkina muina viikonpäivinä

Aihe 16. Polyhedra 1. Prisma ja sen elementit: Prisma on monitahoinen, jonka kaksi sivua ovat samankokoisia monikulmioita, jotka sijaitsevat yhdensuuntaisissa tasoissa ja loput pinnat ovat suunnikkaita.

Geometriasta geometriaan. PDA, geometria, kolmas oppitunti (Maksimov D.V.) 28. kesäkuuta 2017 Visuaalinen geometria 3x3x3 kuutio koostuu 13 valkoisesta ja 14 tummasta kuutiosta. Missä kuvassa se on? Nähtävissä alapuolella

Luokka 7 7.1. Voiko käy ilmi, että 1000 olympialaisten osallistujaa ratkaisee tämän ongelman oikein, ja heidän joukossaan on 43 enemmän poikia kuin tyttöjä? 7.2. Lada ja Lera tekivät arvauksen luonnollinen luku. Jos

Zmeinogorskin piirihallinnon komitea Altain alue koulutus- ja nuorisoasioita varten Kunnan budjettikoulu "Zmeinogorskin lukio edistyneellä

Pääsykoe Moskovan valtionyliopiston tietojenkäsittelytieteen tiedekunnan iltamatematiikkakouluun M. V. Lomonosovin mukaan (29. syyskuuta 2018) Luokat 8-9 1. Joukkueet "Matemaatikot", "Fyysikot" ja "Ohjelmoijat" pelasivat jalkapalloa

Abakanin kaupungin budjettikoulutuslaitos "Yleiskoulu 11" -OHJELMA koulun ulkopuolista toimintaa muki "Nuori matemaatikko" luokille 1-4 Opintojakson ulkopuolinen ohjelma

Teema I. Pariteettitehtävä 1. Neliötaulukko 25 25 on väritetty 25 värillä siten, että jokainen rivi ja jokainen sarake sisältää kaikki värit. Todista, että jos värien järjestely on symmetrinen suhteessa

1. Sarjat. Operaatiot joukoille 1. Pitääkö paikkansa, että kaikilla joukoilla A, B pätee yhtälö A \ (A \ B) A B? 2. Onko totta, että minkä tahansa joukon A, B yhtälö (A \ B) (B \ A)

Osiokoodi Vaatimukset (taidot) tarkistetaan tehtävien mukaan lopullinen työ Avoin tehtäväpankki aiheesta "Matematiikka" neljännen luokan opiskelijoille Tehtävät 4. TILASUHTEET. GEOMETRINEN

Monitahojen kuva Kuvan kuvaksi otetaan kuvio, joka on samanlainen kuin sen projektio tietylle tasolle. Valitaan kuva, joka antaa oikean kuvan hahmon muodosta

Tehtäviä luokalle 5 Dmitri Gushchinin alkeismatematiikan verkkosivusto www.mathnet.spb.ru laatikossa 5. Kuka voittaa, jos hän pelaa parhaansa? 2. Viivat piirretään neliöön 5 5 jakaen sen

Krasnogvardeiskyn piirihallinnon opetusosasto Kunnallinen oppilaitos "Kalinovskaja lukio" Hyväksyn: MBOU "Kalinovskaya lukion" johtaja Belousova

kahdestoista Koko Venäjän olympialaiset geometriassa. I. F. Sharygina 14. geometrian suullinen olympiadi Moskova, 17. huhtikuuta 2016 Tehtävien ratkaisut 8 9 luokka 1. (A. Blinkov) Kuusikulmiossa ovat yhtä suuret

Tehtävät G -11.5.16. S-puoli = P pää. * H-kaava prisman sivupinnan löytämiseksi Г -11.5.17. S-puoli = 1 P pää. * h kaava pyramidin sivupinnan 2 löytämiseksi 6. Muut tehtävät Г-10.6.1.

VIII joukkue-henkilökohtainen turnaus "Mathematical all-around" 27.11.2015, Moskova Geometria (ratkaisut) Juniorisarja 1. Ympyrä ja sen sointu annetaan. Tangentit piirretään sointeen päihin ympyrään