Lämpöyhtälön erityistapaukset. Lämmönjohtavuusongelmia erilaisissa koordinaattijärjestelmissä. Suorakulmainen koordinaattijärjestelmä Lämpöyhtälö suorakaiteen muotoisessa koordinaatistossa

Sivu 4

. (2.24)

Yhtälöä (2.24) kutsutaan differentiaalilämpöyhtälöksi (tai differentiaali-Fourier-yhtälöksi) kolmiulotteiselle ei-stationaariselle lämpötilakentälle sisäisten lämmönlähteiden puuttuessa. Se on tärkein tutkimuksessa kappaleiden lämmittämisestä ja jäähdytyksestä lämmönsiirtoprosessissa lämmönjohtavuudella ja määrittää suhteen temporaalisten ja spatiaalisten lämpötilamuutosten välillä missä tahansa kentän kohdassa. Otolaryngologia laserin lasersovellus.

Terminen diffuusio on aineen fysikaalinen parametri ja sen yksikkö on m2/s. Ei-stationaarisissa lämpöprosesseissa a kuvaa lämpötilan muutoksen nopeutta.

Yhtälöstä (2.24) seuraa, että lämpötilan muutos ajan kuluessa missä tahansa kehon pisteessä on verrannollinen a:n arvoon. Siksi samoissa olosuhteissa rungon lämpötila, jolla on suurempi lämpödiffuusio, nousee nopeammin.

Lämmönjohtavuuden differentiaaliyhtälö kehon sisällä olevan lämmönlähteen kanssa on muotoa:

, (2.25)

missä qV on lähteen ominaisteho, eli aineen tilavuusyksikköä kohti aikayksikköä kohti vapautuvan lämmön määrä.

Tämä yhtälö on kirjoitettu sisään Suorakulmaiset koordinaatit. Muissa koordinaateissa Laplace-operaattorilla on eri muoto, joten myös yhtälön muoto muuttuu. Esimerkiksi sisään sylinterimäiset koordinaatit differentiaaliyhtälö lämmönjohtamiselle sisäisen lämmönlähteen kanssa on:

, (2.26)

missä r on sädevektori sylinterimäisessä koordinaattijärjestelmässä;

napakulma.

2.5 Rajaehdot

Tuloksena oleva differentiaali-Fourier-yhtälö kuvaa lämmönsiirron ilmiöitä lämmönjohtavuuden kautta yleisnäkymä. Jotta sitä voidaan soveltaa tiettyyn tapaukseen, on tiedettävä lämpötilan jakautuminen kehossa tai alkuolosuhteet. Lisäksi on tiedettävä seuraavat asiat:

rungon geometrinen muoto ja mitat,

ympäristön ja kehon fyysiset parametrit,

· rajaolosuhteet, jotka kuvaavat lämpötilojen jakautumista kehon pinnalla tai tutkittavan kehon vuorovaikutusta ympäristön kanssa.

Kaikki nämä erityispiirteet yhdessä differentiaaliyhtälön kanssa antavat Täysi kuvaus ominaista lämmönjohtamisprosessia ja niitä kutsutaan ainutlaatuisuusehdoksi tai reunaehtoiksi.

Yleensä lämpötilajakauman alkuehdot annetaan ajalle t = 0.

Rajaehdot voidaan määrittää kolmella tavalla.

Ensimmäisen tyypin rajaehdon antaa kehon pinnan lämpötilajakauma millä tahansa ajanhetkellä.

Toisen lajin rajaehdon antaa pintalämpövuon tiheys kehon pinnan kussakin pisteessä minkä tahansa ajanhetken ajan.

Kolmannen lajin rajaehdon antaa kehoa ympäröivän väliaineen lämpötila sekä kehon pinnan ja ympäristön välisen lämmönsiirron laki.

Ratkaisu differentiaaliyhtälö lämmönjohtavuus tietyissä ainutlaatuisuusolosuhteissa antaa sinun määrittää lämpötilakentän koko kehon tilavuudessa milloin tahansa ajanhetkellä tai löytää toiminnon .

2.6 Lämmönjohtaminen pallomaisen seinän läpi

Ottaen huomioon kohdissa 2.1 - 2.5 kuvattu terminologia, tämän tehtävänä tutkielma voidaan muotoilla näin. Jatkuva lämpövirta ohjataan pallon seinämän läpi ja lämmönlähde on säteen R1 sisäpallo. Lähdeteho P on vakio. Rajapallojen välinen väliaine on isotrooppinen, joten sen lämmönjohtavuus c on yhden muuttujan funktio - etäisyys pallojen keskipisteestä (säde) r. Tehtävän mukaan . Tästä johtuen väliaineen lämpötila on myös tässä tapauksessa yhden muuttujan - säteen r funktio: T = T(r), ja isotermiset pinnat ovat samankeskisiä palloja. Siten haluttu lämpötilakenttä on stationäärinen ja yksiulotteinen, ja reunaehdot ovat ensimmäisen tyyppisiä ehtoja: T(R1) = T1, T(R2) = T2.

Lämpötilakentän yksiulotteisuudesta seuraa, että lämpövuon tiheys j sekä lämmönjohtavuus ja lämpötila ovat tässä tapauksessa yhden muuttujan - säteen r -funktioita. Tuntemattomat funktiot j(r) ja T(r) voidaan määrittää kahdella tavalla: joko ratkaisemalla Fourier-differentiaaliyhtälö (2.25) tai käyttämällä Fourierin lakia (2.11). Tässä työssä valitaan toinen menetelmä. Fourierin laki tutkitulle yksiulotteiselle pallosymmetriselle lämpötilakentälle on muotoa:1 4

1. Differentiaalilämpöyhtälö ilman sisäisiä lämmönlähteitä ( = 0) :

2. Differentiaalilämpöyhtälö ilman sisäisiä lämmönlähteitä lieriömäisinä koordinaatteina.

Sylinterimäisissä koordinaateissa, missä r on sädevektori, on napakulma, yhtälö näyttää

Lämmönjohtamisprosessien ainutlaatuisuus. Lämmönjohtavuuden differentiaaliyhtälö ei kuvaa yhtä, vaan kokonaista lämmönjohtavuusilmiöiden luokkaa. Tietyn prosessin analyyttisen kuvauksen saamiseksi on tarpeen osoittaa sen erityispiirteet, jotka yhdessä differentiaaliyhtälön kanssa antavat täydellisen matemaattisen kuvauksen tietystä lämmönjohtamisprosessista ja joita kutsutaan ainutlaatuisuusehdoksi tai reunaehdoksi.

Ainutlaatuisuusehdot sisältävät:

Geometriset olosuhteet, jotka kuvaavat sen kappaleen muotoa ja mittoja, jossa prosessi tapahtuu;

Väliaineen ja kehon fysikaalisia ominaisuuksia kuvaavat fyysiset olosuhteet;

Ajalliset tai alkuolosuhteet, jotka kuvaavat lämpötilan jakautumista kehossa alkuhetkellä;

Rajaehdot, jotka kuvaavat tarkasteltavan kehon ja ympäristön vuorovaikutuksen olosuhteita.

Rajaehdot voidaan määrittää useilla tavoilla.

Ensimmäisen tyypin rajaehdot määrittelevät lämpötilajakauman kehon pinnalla kullekin ajanhetkelle:

Toisen tyypin rajaehdot asettavat lämpövuon arvot jokaiselle kehon pinnan pisteelle ja mille tahansa ajanhetkelle:

Kolmannen lajin rajaehdot saadaan lämpötilasta ympäristöön ja kehon ja ympäristön välisen lämmönsiirron laki, jota käytetään lämmönsiirron lakina (Newton-Richmann-yhtälö):

Tämän lain mukaan lämpövuon tiheys pinnalla

runko on verrannollinen seinän pinnan ja ympäristön lämpötilaeroon. Tämän yhtälön suhteellisuustekijää kutsutaan lämmönsiirtokertoimeksi ja sitä merkitään a, [W / (m 2 × K)]. Se luonnehtii lämmönvaihdon voimakkuutta kehon pinnan ja ympäristön välillä.

Toisaalta sama lämpövuon tiheys voidaan löytää yhtälöstä:

jossa indeksi "c" osoittaa, että lämpötilagradientti lasketaan kehon pinnalta. Saamme analyyttisen lausekkeen kolmannen tyypin reunaehtoille:

Neljännen tyypin rajaehdot huomioivat tapauksen, jossa kaksi tai useampi kappale on läheisessä kosketuksessa toistensa kanssa. Tässä tapauksessa yhden kappaleen pinnan läpi kulkenut lämpövirta kulkee myös toisen kappaleen pinnan läpi (kosketuspisteessä ei ole lämpöhäviöitä).

Luento 2. Osa 2. Lämmönjohtavuus stationaaritilassa

Lämmön leviäminen lämmön johdosta litteissä ja sylinterimäisissä seinissä paikallaan olevissa tilassa (ensimmäisen luokan rajaolosuhteet)

Homogeeninen yksikerroksinen tasainen seinä. Tarkastellaan lämmön etenemistä lämmönjohtavuuden kautta homogeenisessa yksikerroksisessa litteässä seinässä, jonka paksuus on 8 ja jonka leveys ja pituus on rajoittamaton.

Akseli X suuntaa se kohtisuoraan seinään nähden (kuva 7.4). Seinän molemmilla pinnoilla kuten akselin suunnassa y, sekä akselin suunnassa G tasaisen lämmönsyötön ja -poiston ansiosta lämpötilat jakautuvat tasaisesti.

Koska seinällä näiden akselien suunnassa on äärettömän suuret mitat, vastaavat lämpötilagradientit W / yu \u003d (k / (k= = 0, joten seinän päätypintojen lämmönjohtavuusprosessiin ei ole vaikutusta. Näissä yksinkertaistavissa olosuhteissa kiinteä lämpötilakenttä on vain koordinaatin funktio X, nuo. tarkastellaan yksiulotteista ongelmaa. Tässä tapauksessa lämmönjohtavuuden differentiaaliyhtälö saa muodon (at d^dh = 0)

Ensimmäisen tyypin rajaehdot annetaan:

Riisi. 7.4

Etsitään lämpötilakentän yhtälö ja määritetään pinta-alan seinäosan läpi kulkeva lämpövirta Ф A(kuvassa 1L seinää ei ole merkitty, koska se sijaitsee tasossa, joka on kohtisuorassa kuvan tasoon nähden). Ensimmäinen integraatio antaa

nuo. lämpötilagradientti on vakio koko seinän paksuuden ajan.

Toisen integroinnin jälkeen saamme halutun lämpötilakentän yhtälön

Missä A Ja b - integrointivakiot.

Siten lämpötilan muutos seinämän paksuutta pitkin seuraa lineaarinen laki, ja isotermiset pinnat ovat tasoja, jotka ovat yhdensuuntaisia seinäpintojen kanssa.

Määrittääksemme mielivaltaiset integroinnin vakiot käytämme reunaehtoja:

Koska? > ? CT2 , sitten gradientin projektio akselille X yhtä negatiivinen kuin

tämä oli odotettavissa valitulle akselin suunnalle, joka osui yhteen pintalämpövuon tiheysvektorin suunnan kanssa.

Korvaamalla vakioiden arvot kohdassa (7.24), saadaan lopullinen lauseke lämpötilan nollalle

Linja a-b kuvassa 7.4, ns lämpötilakäyrä, näyttää lämpötilan muutoksen seinämän paksuuden funktiona.

Lämpötilagradientin tuntemalla on mahdollista Fourier-yhtälön (7.10) avulla löytää pinta-alan 4 elementin läpi akseliin nähden kohtisuorassa kulkevan lämmön määrä 8 () T.

ja pinta-alalle A

Kaava (7.28) lämpövuolle ja pintalämpövuon tiheydelle saa muodon

Tarkastellaan lämmön etenemistä lämmön johtuessa monikerroksisessa litteässä seinässä, joka koostuu useista (esimerkiksi kolmesta) lähekkäisestä kerroksesta (katso kuva 7.5).

Riisi. 7.5

On selvää, että paikallaan olevan lämpötilakentän tapauksessa lämpövirta, joka kulkee saman alueen pintojen läpi A, on sama kaikille kerroksille. Siksi yhtälöä (7.29) voidaan käyttää jokaiselle kerrokselle.

Ensimmäiselle kerrokselle

toiselle ja kolmannelle kerrokselle

Missä X 2, A 3 - kerrosten lämmönjohtavuus; 8 1? 8 2 , 8 3 - kerrospaksuus.

Onko kolmikerroksisen seinän ulkorajoilla lämpötilat tiedossa? St1 ja? ST4. Lämpötilat asetetaan kerrosten rajapintoja pitkin? ST2 Ja? STZ, joita pidetään tuntemattomina. Yhtälöt (7.31) - (7.33) ratkaistaan lämpötilaerojen suhteen:

ja lisää sitten termi kerrallaan ja eliminoi siten tuntemattomat välilämpötilat:

Yleistämällä (7.36) z-kerroksen seinälle saadaan

Välilämpötilojen määrittämiseksi? ST2, ? STz kerrosten erotustasoilla käytämme kaavoja (7.34):

Lopuksi yleistämällä johtaminen u-kerroksen seinämään, saadaan kaava lämpötilalle i:nnen ja (r + 1) kerroksen rajalla:

Joskus he käyttävät käsitettä ekvivalenttinen lämmönjohtavuus R ekv. Tasaisen monikerroksisen seinän läpi kulkevan lämpövuon pintatiheydelle,

missä on monikerroksisen seinän kaikkien kerrosten kokonaispaksuus. Vertaamalla lausekkeita (7.37) ja (7.40) päättelemme, että

Kuvassa 7.5 katkoviivan muodossa esittää kaavion lämpötilan muutoksista monikerroksisen seinän paksuuden poikki. Kerroksen sisällä, kuten edellä osoitettiin, lämpötilan muutos noudattaa lineaarista lakia. Kulmakertoimen tangentti cp, lämpötilasuora vaakasuoraan

nuo. yhtä suuri kuin lämpötilagradientin itseisarvo ^1 "ac1 Siten suorien viivojen kaltevuuden mukaan ab, bc ja kanssa

Siten,

nuo. monikerroksisen tasaisen seinän yksittäisten kerrosten lämpötilagradientit ovat kääntäen verrannollisia näiden kerrosten lämmönjohtavuuteen.

Tämä tarkoittaa, että suurten lämpötilagradienttien saamiseksi (joita tarvitaan esimerkiksi höyryputkien eristämiseen jne.) tarvitaan materiaaleja, joilla on alhaiset lämmönjohtavuusarvot.

Homogeeninen yksikerroksinen sylinterimäinen seinä. Etsitään lämmönjohtavuuden stationaariselle järjestelmälle lämpötilakenttä ja pintalämpövuon tiheys homogeeniselle yksikerroksiselle lieriömäiselle seinälle (kuva 7.6). Ongelman ratkaisemiseksi käytämme lämmönjohtavuuden differentiaaliyhtälöä lieriömäisissä koordinaateissa.

Akseli 2 suunnataan pitkin putken akselia. Oletetaan, että putken pituus on äärettömän suuri halkaisijaan verrattuna. Tässä tapauksessa voidaan jättää huomioimatta putken päiden vaikutus lämpötilan jakautumiseen akselilla 2. Oletetaan, että tasaisen lämmönsyötön ja -poiston ansiosta sisäpinnan lämpötila on kaikkialla yhtä suuri kuin ST1, ja ulkopinnalla -? ST2 (ensimmäisen tyypin rajaehdot). Näillä yksinkertaistuksilla (k/ = 0, ja kun otetaan huomioon lämpötilakentän symmetria minkä tahansa halkaisijan (d) suhteen, missä G- sylinterimäisen seinän virran säde.

Riisi. 7.6

Lämmönjohtavuuden differentiaaliyhtälö (7.19) ehdolla dt/d m = 0 saa muodon

Otetaan käyttöön uusi muuttuja

mikä on lämpötilagradientti (grad?).

Muuttujan korvaaminen Ja kohdassa (7.43) saadaan ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö erotettavilla muuttujilla

tai

Integroimalla saamme

Sylinterimäisessä seinässä lämpötilagradientti on muuttuja, joka kasvaa säteen pienentyessä G. Siksi lämpötilagradientti sisäpinnalla on suurempi kuin ulkopinnalla.

Korvaava arvo Ja(7.44) - (7.45), saamme Ja

Missä an b- integrointivakiot.

Siksi lämpötilan jakautumiskäyrä seinämän paksuuden yli on logaritminen käyrä (käyrä a-b kuvassa 7.6).

Määritellään vakiot A Ja b, sisällytetään lämpötilakentän yhtälöön ensimmäisen tyypin reunaehtojen perusteella. Merkitsemme pinnan sisäsäteen r x, ulkona - g 2. Merkitsemme vastaavat halkaisijat (1 l Ja (1 2 . Sitten meillä on yhtälöjärjestelmä

Ratkaisemalla tämän yhtälöjärjestelmän saamme

Lämpötilan nollayhtälö saa muodon Lämpötilagradientti määritetään kaavalla (7.45):

Koska? ST1 > ? CT2 , ja r, r 2 , sitten projektio grad? sädevektorilla on negatiivinen arvo.

Jälkimmäinen osoittaa, että tässä tapauksessa lämpövirtaus suunnataan keskustasta kehälle.

Määrittää lämpövuon, joka kulkee sylinterimäisen pinnan osan läpi, jonka pituus on b, käytä yhtälöä

Kohdasta (7.46) seuraa, että lieriömäisen pinnan läpi kulkeva lämpövirta riippuu ulko- ja sisäsäteiden suhteesta r 2 / g x(tai halkaisijat c1 2 / (1 {), ei seinämän paksuus.

Lieriömäisen pinnan pintalämpövuon tiheys saadaan laskemalla lämpövuo Ф sisäpinnan pinta-alaan A vp tai ulkopinnalle Ja mm. Laskelmissa käytetään joskus lineaarista lämpövuon tiheyttä:

Kohdasta (7.47)-(7.49) se seuraa

Monikerroksinen sylinterimäinen seinä. Tarkastellaan lämmön etenemistä lämmönjohtavuudella kolmikerroksisessa sylinterimäisessä seinässä (putkessa), jonka pituus on A (kuva 7.7), jonka sisähalkaisija c1 x ja ulkohalkaisija (1 l. Yksittäisten kerrosten välihalkaisijat - c1 2 ja X2, X3.

Riisi. 7.7.

Onko lämpötilat tiedossa? st) sisäinen ja lämpötila? CT4 ulkopinta. Onko lämpövirta Ф ja lämpötila määritettävä? ST2 Ja? STz kerroksen rajoilla. Muodostetaan jokaiselle kerrokselle muotoa (7.46) oleva yhtälö:

Ratkaisemalla (7.51)-(7.53) lämpötilaerojen suhteen ja lisäämällä termi kerrallaan saadaan

Kohdasta (7.54) meillä on laskentalauseke lämpövuon määrittämiseksi kolmikerroksiselle seinälle:

Yleistetään kaava (7.55) u-kerroksen putken seinämään:
Missä i- kerroksen sarjanumero.

Kohdasta (7.51)-(7.53) löydämme lausekkeen lämpötilan määrittämiseksi välikerrosten rajoilla:

Lämpötila? Taide. +) rajalla?-th ja (G+ 1)-kerros voidaan määrittää vastaavalla kaavalla

Kirjallisuus sisältää ratkaisuja differentiaalilämpöyhtälöön ontolle kuulalle ensimmäisen tyypin reunaehdoissa sekä ratkaisuja kaikille tarkasteltaville kappaleille kolmannen tyypin reunaolosuhteissa. Emme ota näitä asioita huomioon. Myös kiinteän ja muuttuvan poikkileikkauksen omaavien tankojen (ripojen) sekä ei-stationaarisen lämmönjohtavuuden ongelmat jäivät kurssimme ulkopuolelle.

z
x
LUENTO 4
Lämmönjohtavuusongelmia erilaisissa koordinaattijärjestelmissä.
Suorakulmainen koordinaattijärjestelmä
T
T
T
q
i
j
k
T T x, y, z, t
y
x
x
y
T
T T T
c
qV
t x x y y z z
c
T T
qV
t x x
(1)
(2)
(3)
Käytännössä on usein sellaisia ehtoja, jotka johtavat tarpeeseen kirjoittaa yhtälö
lämmönjohtavuus eri muodossa, kätevämpi edustamaan ratkaisua ja sen fysikaalista
tulkintoja.
Yhtälön tyypin riippuvuus
käytetystä järjestelmästä
koordinaatit voidaan jättää pois,
käyttämällä operaattorimerkintää
1T
q
T V
a t
2
x
2
2
y
2
2
z2
a c
T
c
div gradT qV
t
tai
c
T
T qV
t
(4)
Lämmön vapautumista ja energian varastointia ilmaisevat termit ovat muuttumattomia suhteessa
koordinaattijärjestelmät (eli muuttumattomina); vaan termit, jotka ilmaisevat tuloksena olevaa johtavaa
lämpövuo riippuvat geometriasta ja siten koordinaattijärjestelmästä.

Sylinterimäinen koordinaattijärjestelmä
z
c
DR
r
dz
r, z
z
x
T
divq q
t
qT
x r cos
y
r, z
(5)
y r synti
(6)
1 1 2
2
r 2 2 2
r r r
z
d
y
DR
d
dy
dx
z
qr
(7)
1 T 1 T 1 2T 2 T qV
r 2 2 2
a t r r r
z
x
1 T 1 T
r
qV
a t r r
T
1T
T
; q
; qz
r
r
z
a
(9)
T Ts
c
(8)

r ,
Pallomainen koordinaattijärjestelmä
z
DR
r ,
r
d
x
1T
divq q
a t
qT
y
1 2
1
1
2
2r
2
synti
2
r synti 2
r r r r synti
T
1T
1T
; q
; q
r
r
r syntiä
(10)
1 T 1 2 T
1
T
1
2T qV
2r
2
synti 2
2
a t r r r r synti
r syntiä
(11)
d
qr
1 T 1 2 T qV
2r
a t r r
x r sin cos
y r synti synti
z
(12)
z r cos
y
x

Lämmönjohtavuusyhtälöt kanonisen muodon kappaleille
Yhtälöiden kirjoittaminen eri koordinaattijärjestelmiin on erityisen kätevää,
kun sinun on löydettävä lämpötilajakauma kanonisen kappaleen kappaleista
muotoja - sylinterissä tai pallossa. Näissä tapauksissa yhtälöt ovat pohjimmiltaan
yksinkertaistetaan määritettäessä erityisolosuhteita, kun lämpötilakenttä
riippuu vain yhdestä koordinaatista.
suuntaissärmiö
lautanen
sylinteri
pallo
c
T T T T
qV
t x x y y z z
1 T 2T qV
2
a t x
qe
1 T 1 T qV
r
a t r r
1 T 1 2 T qV
r
2
a t r r
T Ts
z
y
x

1 T 1 n T qV
r
n
a t r r
Kolme viimeistä
yhtälöt yhdessä:
n 0
n 2
n 1 sylinteri
kone
T T0
T* T0
t
t*
(13)
pallo
r
r*
1 1n
qV
n
Fo
Pöydällä
Fourier-luku
klo*
Fo 2
r*
qV1:
klo*
klo
1: 2
2
r*
r*
(14)
qV r*2
qV
T* T0
q
T* T0 V r*2
1n
1
n
Fo

Kiinteät lämmönjohtavuusongelmat eri koordinaattijärjestelmissä
Sylinterimäinen seinä: paikallaan pysyvä lämmönjohtamisprosessi
sylinterimäinen seinä (putki), jonka sisäsäde r1;
d1 2r1
r1
1 T 1 T 1 2T 2 T qV
r
a t r r r r 2 2 z 2
r2
Te1
2
1
T1
d1
T2
Te 2
dT
u
DR
du 1
u 0
Dr-r
T C1 log r C2
q
d2
(17)
dT
C
1 (18)
DR
r
d 2T
1dT
0
2 dr
DR
(15)
ln u ln r ln C1
(16)
Ominaislämpövirta ei ole
vakiopaksuus ja pienenee
kohti ulkopintaa
Kiinteissä olosuhteissa läpi kulkeva kokonaislämpövirta
sylinterimäisen putken osa, jonka pituus on l ja yhtä suuri
Q q F q 2 rl
Ominaislämpövirta
pienenee säteen mukaan
!!!
(19)
Pinta-ala
kasvaa säteen mukana
Lämpötila putken paksuuden poikki vaihtelee epälineaarisesti jopa vakiona
lämmönjohtokyky
Integrointivakiot löytyvät reunaehdoista.

r r1: T T1; r r2: T T2
T1 C1 log r1 C2,
Lineaarinen järjestelmä
yhtälöt
T2 C1 log r2 C2,
T log r2 r T2 log r r1
T1
;
log r2 r1
q
K
Lineaarinen lämpövuo
qp
(20)
dT
C
1
DR
r
dT
T
l 2 r
2 l,
DR
log r2 r1
ti
K
2
T, T T1 T2
ln r2 r1
(21)
(22)

(seinien lämpötiloja ei tiedetä)
T C1 log r C2
Voimme tehdä saman:
r r1:
Tehdään toisin:
(23)
T
T
1eT Te1; r r2:
2e Te2 T
r
r
Konvektiivinen lämpövirta pituusyksikköä kohti
putkien tulee olla yhtä suuria kuin lineaarinen lämpövirta
lämmönjohtavuudesta johtuen:
qp 1e Te1 T1 2 r1
2
T1 T2
qp
log r2 r1
qp Kc Te1 Te2
1
Kc
, W/(M K)
1
1r
1
2
2 1e r1 2 r1 2 2e r2
qp 2e T2 Te2 2 r2
Lämmönsiirtokerroin for
sylinterimäinen seinä
Rc
1
1
1r
1
2
Kc 2 1er1 2 r1 2 2er2
tasainen seinä
R
1 l 1
1 2
1 l 1
K
1
2
1
W/(M2 K)
Yhtälöjärjestelmästä (23) voimme löytää
ja seinän lämpötila ja korvaa se (20)
Täysi lämpö
putken vastus
(24)
(25)
(26)
Ulottuvuus
eroaa
mitta K varten
tasainen seinä!
T log r2 r T2 log r r1
T1
;
log r2 r1
Voi
Pöydällä

Dimensiottomissa muuttujissa
r1
d2
d
r2
2
1d
0
d
(27)
d
Bi
d
(28)
r1 r2:
Te1
2
1
d1
d2
Harjoittele
talossa:
1:
T Te 2
r
; r*r2
Te1 Te2
r2
d
Bi 1
d
(29)
2er2 1e
Bi
2e
C1 log C2
Te 2
C1
Bi C1 ln C2
C1 Bi C2 1
(30)
A) Siirry varovasti ulottumattomiin muuttujiin
B) Etsi integrointivakiot järjestelmästä (30)
B) rakentaa varten erilaisia arvoja parametrit

10.

periaatteet
johdonmukainen
Ja
rinnakkain
lämpöresistanssien liitännät piirissä,
pätee suorakaiteen muotoiseen tasaiseen seinään
koordinaattijärjestelmä, voidaan soveltaa myös ongelmaan
lämmönjohtavuus ontossa sylinterissä.
Sähköinen analogia
2
K
1
K
T0
r3
r2
r1
T1
T2
Ts
RT
log r2 r1
2l
Neste virtaa putkessa, R 1 1
0
F 2 r1l
peitetty eristeellä
materiaalia
dT
T
l 2 r
2l,
DR
log r2 r1
T
K
,
log r2 r1 2 l
Muodossa
Ohmin laki
Lämpövastus
ontto sylinteri
konvektiivinen lämpö
nesteen vastustuskyky
Meillä on nesteen konvektiivisen vastuksen sarjakytkentä kahdella
johtavat lämpövastukset. Jos nesteen lämpötila on annettu ja lämpötila
ulkopinta:
T0 Ts
T
K
A)
R
koko
r
r
1
1
1
2
3
2 1r1l 2l 1r1 2l 2r2
(31)
Resistanssi
eristäytyminen
Jos sisä- ja ulkopintojen lämpötilat on annettu
B)
T
K
Rfull
T1 Ts
r
r
1
1
2
3
2 l 1 r1 2 l 2 r2
(32)

11.

Esimerkki
1 185
Alumiiniputkessa, jolla on lämmönjohtavuus
W/(m K), vesihöyry virtaa
◦
lämpötilassa 110 C. Putken sisähalkaisija on 10 cm, ulkohalkaisija on 12
Te
katso Putki sijaitsee huoneessa, jossa on lämpötila
30◦С; kerroin
e
konvektiivinen lämmönsiirto putkesta
ilmaan
yhtä suuri kuin 15 W/(m2K). 1) Pakollinen
selvitä lämpövirta putken pituusyksikköä kohti, jos putki ei ole lämpöeristetty.
2) Putken lämpöhäviön vähentämiseksi se peitettiin lämpöeristekerroksella
(2 0,2 W / (m K)) 5 cm paksu.. Etsi lämpövirta pituusyksikköä kohti alkaen
lämpöeristetty putki. Oletetaan, että konvektiivinen lämpö
höyrynkesto on mitätön.
Ratkaisu. Putkelle ilman lämpöeristystä tärkeimmät ovat
itse putken johtava lämpövastus ja konvektiivinen lämpö
huoneen ilmanvastus. Koska konvektiivinen lämpö
Höyrynkestävyys voidaan jättää huomiotta, sisäpinnan lämpötila
putkien lämpötila on yhtä suuri kuin höyryn lämpötila. Lämpövirta putken pituusyksikköä kohti seuraa
suhteet T T
110 30
80
q
0
e
log r2 r1
1
2 1
2 r2 e
65
1
2 185 2 0 ,06 15
1,57 10
4
0 ,177
452 W/m.
Lämpöeristetylle putkelle sinun on lisättävä lämpövastus
lämmöneristys, ja lämpövuon suhde saa muodon
q
T0 Te
80
138
r3 r2 1,57 10 4 0,096 0,482
log r2 r1
1
2 1
2 r3 e
2 2
W/m

12.

Monikerroksinen sylinterimäinen seinä
qc
Tn T1 1
n
d
1
kirjaudu sisään 1
2 i
di
, d i 2r1
qc
minä 1
Konsepti pysyy voimassa.
vastaava kerroin
lämmönjohtokyky
ekv
log d n 1 d1
n
minä 1
T1
T2
1
(33)
T3
2
(34)
1 d i 1
ln
minä di
r1 d1 2
... ...
Tn 1
n 1
Tn
n
Tn 1
r2 d2 2
Lämpötila Ti 1
Ti 1 Ti
2 ekvivalenttia T1 Tn 1
log d n 1 d1
i:nnen ja i+1-kerroksen välisellä rajalla
qc 1 d 2 1 d3
1d
ln... ln i 1
2 1 pv 1 2 d 2
i
di
(35)
Lämmönsiirtokerroin:
Kc
1
1
1d1
n
minä 1
1 di 1
1
ln
2 i di 2 d 2
(36)

13.

r1
Putken säteittäinen lämpövirta on kääntäen verrannollinen logaritmiin
ulkosäde (säteittäisen johtumisen vastus kasvaa);
r2
Lämmön poistuminen ulkopinnasta on suoraan verrannollinen tähän
säde (jäähdytyspinnan pinta-ala kasvaa)
qc K c Te1 Te 2
Kc
1
,
1
1r2
1
ln
2 1r1 2 r1 2 2 r2
Siksi on olemassa tietty säde, at
missä lämpöhäviö on suurin.
Jos käytät kiinteää (pientä) sisäsädettä, lisää
putken seinämän paksuus (eli lisää ulkosädettä r2), sitten toimenpide
logaritmi lämpövastuksen kaavassa on enemmän
vahvempi kuin suuremmalla sisäsäteellä

14.

Lämmöneristyksen kriittinen halkaisija
qc Kc Te1 Te2
Kc
1
,
1
1r2
1
ln
2 1r1 2 r1 2 2 r2
dqc
0
dr2
Äärimmäinen kunto:
antaa
r2*1
2
Kriittinen säde
Nolla sisäisen resistanssin erikoistapaus, 1 1 0
y
q
2 Te1 Te 2
1
r
,x2,
ln x x
r1
2r1
(38)
0 Ulkoinen vastus on myös nolla
r1 r2
Seinän paksuus on 0
1:x2r2
Tietylle sisäsäteelle kriittisen arvo
ulkosäde kasvaa, jos se kasvaa
putken lämmönjohtavuus tai jos kerroin pienenee
lämmönsiirto ulkopinnalla
(37)
Bi 1

15.

eristys
Kriittisen ulkosäteen olemassaolo johtaa siihen, että klo
joitain todellisia olosuhteita, vastoin tavallisia ajatuksia,
eristetyn putken lämpöhäviötä voidaan todella vähentää
vähentämällä eristeen paksuutta
d1
d2
Kokonaislämpövastus kaksikerroksiselle putkelle, jonka poikkileikkaus
kuvassa näkyvä, määritetään kaavalla
d3
Rc
1 2
putki
Kunto
ääripää:
d2 d3*
d3 d2
(39)
- eristyksen paksuus
Eristeen lämmönjohtavuuden lämpövastus (I) kasvaa kasvaessa
eristävän pinnoitteen paksuus; lämmönsiirtoeristeen lämpövastus
(II) - putoaa (koska lämmönsiirtopinta kasvaa)
dRC
1
1
0
dd3 2 2 d3 2 d 32
Rc
d2 d3*
1
1
1d2
1d3
1
ln
ln
K c 1 d 1 2 1 d 1 2 2 d 2 2 d3
II
(minä)
d3*
22
8 32
0
d3 * 2 2
2
ei riipu
d2
(40)
(eli ei riipu itse putkilinjan halkaisijasta)
SISÄÄN Kriittinen piste täysi lämpö
vastus on minimaalinen.
eristeen paksuuden lisääminen vähentää lämmönsiirtoa
valitun pinnoitteen levitys johtaa aluksi kasvuun
lämmönsiirto, ja vasta kun kriittinen halkaisija saavutetaan, lämpövuo tulee
vähentää; silloin se saavuttaa arvon, joka oli ilman eristystä, ja vasta sitten
johtaa haluttuun vaikutukseen.

16.

Ongelma ontolla pallolla
(palloseinä)
d 2T
DR
2
2dT
0
r dr
(41)
Käsittelemme spatiaalisesti yksiulotteista stationaarista
Lämmönjohtavuusongelma pallomaisessa seinässä annetulla
sisä- ja ulkopinnan säteet. Yksiulotteisuus
ongelma tarkoittaa lämpötilan jakautumista seinässä
riippuu vain säteestä
Vaihtamalla
muuttujia
r1
dT
u
DR
du
2u
Yhteinen päätös
DR
r
C
C
dT C1
ln u 2 ln r ln C1; u 21; Tr1C2;
2
r
Dr-r
r
r2
Ensimmäisen tyyppiset rajaehdot
r r1: T T1
C1
C2
r1
T 1 r 1 r2 T2 1 r1 1 r
T r 1
1 r1 1 r2
r r2: T T2
(42)
Lämpövuon tiheys
Kokonaislämpövirta
K
T1
T2
C1
C2
r2
(43)
(44)
dT
r2
T1 T2
q
2C1
DR
1 r1 1 r2
r
(45)
dT
4
T1 T2
4 r 2 4 C1
DR
1 r1 1 r2
(46)

17.

Kolmannen tyypin rajaehdot
T r
Yhteinen päätös
ei muutu
C1
C2
r
T
r r1: -
1TTe1
r
T
r r2: -
2 Te2 T
r
(47)
2r2 C1 2r22C2 2r22Te2
C1
1r1
1r12
2 r22
2r2
r1
r2
1r1 C1 1r12C2 1r12Te1
1r12 Te 2 Te1
dT C1
2
Dr-r
C2
(48)
Kokonaislämpövirta Q ei ole
riippuu virran säteestä
1r1 T 1r12 t
2 r2 e 2 2 r22 e1
1r1 1r12
2 r2 2 r22
(49)
Väliaineen ihanteellisen lämmönsiirron rajalla tietyissä lämpötiloissa ja
pallomainen seinä (eli äärettömillä lämmönsiirtokertoimilla) ongelman ratkaisu
kolmannen tyyppiset reunaehdot siirtyvät ongelman ratkaisuun reunaehtojen kanssa
ensimmäisen tyyppiset olosuhteet.
4
K
T T
1 1 1 2
r1 r2
=
lämpövirta,
4 r1 2 1 Te1 T
tulossa
sisäseinä
=
lämpövirta,
4 r 2 2 2 T Te 2
lähteminen
ulkoseinä

18.

Lämpötilan jakautuminen pallomaisessa seinässä
kolmannen lajin reunaehtoja varten
Kotona:
pelaa kaikki
ratkaisu
1 1
1 1
T1 T2
r r
r1 r
2
T r
1 1
r1 r2
Seinien lämpötilat:
T1
r12 1Te1 s Te 2
2Te1
r2 2
r12 1
s 1 2 r12 1
r
2 2
r12 1
r12 1
s Te 2 2 Te1
r2 2
2
r1 12
s 1 2 r1 1
r
2 2
r12 1te 2
T2
Pallon seinämän johtavuus:
s
1 1
r1 r2
r1r2
r 2 r1

19.

Yksinkertaisimpien ongelmien ratkaisut dimensiottomassa muodossa
Kootaan kanonisen muodon kappaleiden stationaaristen ongelmien ratkaisuja
ensimmäisen tyyppiset rajaehdot yhdessä
T p T1 T1 T2
r
r2
Etusivu: Pelaa!
Tc
1 1
1 1
T1 T2
r r
r1 r
2
Ts
1 1
r1 r2
T1 log r 2 r T 2 log r r1
l n r 2 r1
T T2
T1 T2
r
r2
0,8
p1
ln
ln
1 1
1
1
1 1
c
s
0 1
0,6
r2
1
r1
2
0,2
0,0
0,0
Tasaisessa seinässä laadullinen jakautuminen
lämpötila (lineaarinen) ei riipu siitä
paksuus. Mutta sylinterimäisenä ja pallomaisena -
vaihtelee epälineaarisesti säteen mukaan;
merkki
jakauma (käyrän kaarevuus) riippuu
ulko- ja sisäsäteiden suhde.
1
3
0,4
0,2
0,4
0,6
0,8
Lämpötilan jakautuminen asunnossa
(1), sylinterimäinen (2) ja pallo (3)
seinään. kiinteät viivat
;
10
katkoviivat - . 5

20.

Kolmannen tyyppisten rajaehtojen tapauksessa ratkaisut yksinkertaisimpiin ongelmiin
riippuvat lämmönsiirtoa kuvaavista parametreista.
Samoilla lämmönsiirtokertoimilla.
T Te 2
Te1 Te2
r
r2
1 2
0,8
lautaselle
1
p 1 1 2
1 1
2 Bi
2
1
2 Bi
sylinterille:
0,6
3
0,4
3
1
2
0,2
1 2 log 2 loki
ln
1 1
2
1 Biln
1 Biln
c
palloa varten:
s
1
1 1 1 2
1
1 bi 1
1 1 Bi
2
Bi
r1
1
1 1 Bi
0,0
0,2
0,4
0,6
1
0,8
2
Lämpötilan jakautuminen
koordinaattia pitkin tasossa (1),
sylinterimäinen (2) ja pallomainen
(3) seinät olosuhteissa
konvektiivinen lämmönsiirto.
Kiinteät viivat - Bi 2 ;
katkoviiva - Bi 1 0

21.

Esimerkkejä: Dewar-pullo
Metallipartikkeli, joka on päällystetty oksidikalvolla
Kotitehtävät:
1. Muotoile kaksikerroksisen lämpötilan jakautumisen ongelma
pallomainen kuori sen konvektiivisen jäähdytyksen aikana materiaalia käyttämällä
luentoja. Kerrosten välisen lämpökontaktin oletetaan olevan ihanteellinen. Johtaa
ongelman ulottumattomaan muotoon. Rakenna tarkka analyyttinen ratkaisu
tämä tehtävä.
2.*Laske pallon sisä- ja ulkopinnan lämpötila
kuoret ongelmassa 1 sekä koskettimen lämpötila; määrittää täysi
pallon pinnasta poistuvan lämpövirran olettaen, että lämpötilat
ympäristö kuoren sisällä - 175 C, ympäristön lämpötila - 25 C;
lämmönsiirtokertoimet ovat samat ja yhtä suuret - 28,8 kcal / (m2 tunnin astetta);
sisä- ja ulkokuoren säteet - 3 cm ja 5 cm, paksuus
sisäkuori - 25 mm. Sisäkuori on valmistettu
materiaali, jonka lämmönjohtavuus on 1,45 kcal/(m tunti astetta); ulompi
materiaalia, jonka lämmönjohtavuuskerroin on 0,137 kcal/(m h deg). Miten
lämpövirta muuttuu ulkopinnan paksuuden muuttuessa
kuoret vaihtelevat 25 mm - 300 mm?

22.

d 2T
Te 2
2
T1
Te1
T2
1
xmax
qV
0;
2
dx
G.u. ensimmäinen tyyppi: r r1:
qV vakio
T T1;
(1)
r r2:
T T2 (2)
G.u. kolmas laji:
r r1:
-
T
1 T Te1;
r
r r2:
-
T
2 Te2 T
r
Ensimmäinen "tapa" ratkaisuun:
Ongelma ratkaistaan elementaarisella integroinnilla:
qV x 2
T x
C1x C2
2
dT
q
V x C1;
dx
(4)
Korvaaminen yhteinen päätös g.c.:ssä löydämme integraation vakiot.
Maksimi on jonkin matkan päässä pinnoista.
Maksimiasento löytyy ehdosta (extremum condition)
dT
q x
V C1 0
dx
(5)
dT
0
dx
(3)

23.

Tehtävät sisäisten lämmönlähteiden kanssa
LÄMPÖÄ JOHTAVA LÄMPÖSEINÄ TILAVUUSLÄMPÖVAPAUKSELLA
Te 2
2
T1
Te1
1
2
1
Tehdään vähän toisin. (Toinen tapa
ratkaisut)
qV x 2
T x
C1x C2
yleistä
ratkaisu
2
(4)
Asetamme koordinaattien origon pisteeseen, jossa
lämpötila on maksimi
T2
1; 2
- etäisyys maksimista levyn reunoihin
0
C10
Kirjoitamme oikeanpuoleisen rajaehdon uudelleen seuraavasti:
x2:
dT
dx
2
2 T Te 2
2
2
q
V
2
2 C2
Te 2 qV 2
2
(6)
Koska x=0 tasoa voidaan pitää lämpöeristettynä, kaikki lämpö vapautuu sisään
oikealla oleva levy aikayksikköä kohden on ohjattava ympäristöön
lämmönsiirron kautta oikeasta seinästä. Muuten ehtoa rikotaan
stationaarisuus
qV 2 - levyn tilavuudessa vapautuvan lämmön määrä, jonka paksuus \u003d 1 / aikayksikkö
Vasemmalla - lämmönsiirtovuon lauseke levypinnan pinta-alayksikköä kohti

24.

Samanlainen perustelu levyn vasemmalle kerrokselle paksuudella
1 2
johtaa ilmaisuun
2
q
V
2
1 C2
Te1 qV 2
2
(7)
Yhtälöiden (6), (7) avulla löydämme aseman
enimmäismäärä
2
2 1 2 Te1 Te 2 qV 2 1 2
2qV 1 2 1 2
(8)
Määrittämällä vakio C2, (mikä tahansa yhtälöistä sopii), löydämme yleisen ratkaisun.
Se ottaa yksinkertaisimman muodon jos
1 2 ;Te1 Te2 Te
1 2 2
Sitten
qV qV 2
C2
Te
2
8
Ja
2
q
qV
2
T x
x V Te
2 2
2
(9)
(10)
qV 2 qV
Mitä pienempi, sitä korkeampi on levyn lämmönjohtavuus
Tmax T x 0
Te
8
2
q
Seinän lämpötila Ts T1 T2 V Te nousee lämmönsiirron huonontuessa
2

25.

Ensimmäisen tyyppiset rajaehdot
T1
2
1
T2
0
qv 22
C2 T2
2
dT
dx
2 T1 T2
2 1
2
qV 2
(11)
qV 2 2
C2 T1
2
2
qV 2 T1 T2
2
T x T2
x
1
2
2 2
qV
Erittäin suurille arvoille
x2:
qV x 2
T x
C1x C , C1 0 (4)
2
2
Kolmannen lajin rajaehdot muunnetaan reunaehdoksi
ensimmäisen tyyppiset olosuhteet. Siksi meillä on sama ratkaisu
käytä edellistä ratkaisua
2 T Te 2
2
(12)
T x T2 T2e
2
(13)
Näin ollen symmetrisestä ongelmasta kolmannen tyyppisten reunaehtojen (10) kanssa löydämme
2
qV
2
T x
x Ts
2 2
Tmax T x 0
q
V Ts
8
2
Lämpötila
seinät
(14)
Sama yhtäläisyys seuraa edellisestä ratkaisusta edellyttäen, että seinän lämpötilat ovat samat

26.

Tarkastellaan ääretöntä kiinteää sylinteriä, joka on tasaisesti lämmitetty (tai
jäähdytetty) sivupinnalta. Lämmönlähde sijaitsee sylinterin tilavuudessa
jatkuva intensiteetti. On löydettävä lämpötilajakauma
vakiintunut tila.
d 2T 1 dT q
DR
u dT dr
2
r dr
q r
du
r
u V 0
DR
V
tai
0
(1)
d ru qV r
0
DR
qV r 2
fi
C1
2
q r C
dT
V 1
DR
2
r
Yhteinen päätös
Ensimmäinen
kiinteä
(3)
qV r 2
T
C1 log r C2
4
Kunto keskustassa
kiinteä sylinteri
dTdr0; r0
(2)
(4)
C10

27.

Sylinteri tilavuuslämmönpoistolla
dT
T Te
r R
DR
qV 2
qV R
2
qV R qV R 2
T
R
r
Te
C2
Te
4
2
2
4
q
qR
qR
Tmax V R 2 V Te
Ts V Te
4
2
2
Ulkoinen kunto:
lämpövuon tiheys sylinterin pinnalla:
kokonaislämpövirta sylinterin pinnasta:
q Ts Te
QqF
(5)
(6)
(7)
qV R
2
qV R
2 Rl qV R 2l
2
Tilavuuslämpövapautuksella varustetun sylinterin jäähdytyksen ongelma on, in
kiinnostava erityisesti katodien lämpötilajakauman löytämiseksi,
käytetään plasmapolttimissa ionivirtojen synnyttämiseen. Käytännössä
sovellus, tämä ongelma voidaan muotoilla uudelleen seuraavasti: löydä teho
lähde, joka riittää sputteroimaan katodin, mikäli tämä vaatii
saavuttaa katodimateriaalin sulamispisteen
Yleistä ratkaisua (4) käyttämällä saadaan selville lämpötilajakauma paksuuteen
onton sylinterin seinät tai suojakerroksella päällystetyn sylinterin paksuuden mukaan
(pohdimme lisää). Ensimmäisessä tapauksessa sinun on asetettava ehdot sisäpinnalle
sylinteri. Toisessa tapauksessa liitännässä vaaditaan lisäehto
kaksi materiaalia, joilla on erilaiset ominaisuudet, ts. neljännen lajin rajaehto.

28.

Pallo, jossa on tilavuuslämpöhäviö
qV r 2 C1
Kotona: näytä
T
C2(2)
(1)
mikä on yleinen ratkaisu
6
r1
dr2
(1) on muodossa (2)
dT
Ehdot:
dTdr0; r 0 ja dr T Te; r R
q
q
anna C1 0 ja
C2 Te V R V R 2
3
6
2
qV
qV 2 r (3)
T Te
R
R1
3
6
R
q
q
Tmax Te V R V R 2 (4)
Maksimilämpötila
3
6
q
q
Pintalämpötila
Ts Te V R V R 2 (5)
3
6
R2dT
1
Kokonaislämpövirta pinnan läpi
K
R 3qV
4 tohtori R 3
pallo
qV R
qV 2 qV R
T
Te
Tmax
R
Te
sylinteri
s
2
4
2
Vertailla
d 2T
2 dT qV
0
r dr
Tasainen kerros Tmax
qV qV 2
Te
2
8
q
T s V Te
2
kanssa (4), (5)

29.

Esimerkki 1. Etsi suurin virta, joka voidaan kuljettaa läpi
alumiinilanka (λ = 204 W / (m K)), jonka halkaisija on 1 mm, jotta se
lämpötila ei ylittänyt 200 C. Lanka on ripustettu ilmaan
Lämpötila 25 C. Konvektiivisen lämmönsiirtokerroin langalta
ilma on 10 W/(m2 K). Sähkövastus Re/l yksikköä kohti
langan pituus on 0,037 ohm/m.
Ratkaisu. Käytetään kaavaa (66), josta seuraa
qV
Re I 2
R2l
Tmax
qV R R
I 2 Re
Te
1
Te
2
2
2Rl
R
1 2
Korvaamme annetut fysikaalisten määrien arvot:
200 25
minä
2
2 1 0 3
Täältä löydämme nykyisen vahvuuden:
1 0 3 2 1 0
0,0 3 7 1
2 204
2 10
I 12,2 A

30.

Johto eristeellä
Ongelman tiukka matemaattinen muotoilu:
d 2T1
DR
2
d 2T2
Ensimmäinen ehto on symmetriaehto;
toinen sanoo, että lämpö
kosketus johtimen ja eristeen välillä
täydellinen, ja kolmas vastaa
konvektiiviset lämmönvaihtojohdot
eristäytyminen ympäristöstä.
DR
2
1dT2
0
r dr
r0: dT dr0
r R: 1
r R
(1)
R r R
(2)
(3)
dT1
dT
2 2; T1 T2
DR
DR
r R: 2
Ongelman yleinen ratkaisu:
1 dT1 qV
0
r dr
1
dT2
T2 Te
DR
qV r 2
T1
C1 l n r C 2
4 1
T2 C3 l n r C 4
(4)
(5)
Kotona: näytä
oikeudenmukaisuutta

31.

Johto eristeellä
qV r 2
T1
C1 l n r C 2
4 1
Ongelman yleinen ratkaisu:
T2 C3 l n r C 4
Ehdosta (3) meillä on:
C10
qR
C
1 V 2 3
R
2 1
Ehdot (4) antavat:
qV R 2
C3
2 2
qV R 2
qV R 2
C2
l nR C 4
4 1
2 2
Ehto (5) tarkoittaa:
qV R 2
C3 2 qV R 2
2
R C 4 Te
R
R22
2 2
Löydämme:
qV R 2
qR
C 4 Te
l n R V
2 2
2
qV R 2 2 1 qV R 2 R
C 2 Te
ln
1
4 1 R 2 2
R

32.

Siksi lämpötilan jakautuminen eristeellä varustetussa johdossa
kuvataan kaavoilla
qV R 2 2 1 qV R 2 R qV r 2
T1 Te
ln
1
4 1 R 2 2
R41
Ja
qV R 2 2 qV R 2 R
T 2 Te
ln
2 2 R
2 2
r
Esitämme lopullisen ratkaisun muodossa:
T Te
minä minä
T Te
qV R 2
T Te
1
r
R
1
Bi K
2
1 1 2
loki 1
4
K2
4
2
K K 1
ln
2Bi
2
Määritä pinnan lämpövirta
kapellimestari
q T2 R Te
Q R2l T2 R2 Te
K Bi 1
K Bi 1
Mene kotiin
ulottumattomia muuttujia
0 1
Bi
1 1
K
K
R2 2 l T* Te
1
2
R
2
K
Bi
- eristys ei poista lämpöä virtaa johtavasta johtimesta
- johtimen mahdollinen jäähtyminen lämpöhäviön vuoksi
ympäristöön
R

33.

Esimerkki 2. Laske pitkä alumiinilanka, jonka halkaisija on 1 cm
virtaava sähköä virranvoimakkuus 1000 A. Lanka on peitetty kerroksella
kumieriste 3 mm paksu (λ2=0,15 W/(m K)). Lämpötila
eristeen ulkopinta 30 C. Selvitä sisälämpötila
eristyspinta. Johdon ohminen vastus yksikköä kohti
pituus 3,7 10-4 Ohm/m.
Ratkaisu. Tämän ongelman ratkaisemiseksi käytämme toista kaavaa Т2:lle
katsottu liitännäisongelmaksi. Koska lämpötila on asetettu
2
eristeen ulkopinta, ts.
Re I 2
Re I 2
R
T2 r R Te
ln
qV
2
l
2
R
Rl
2
2
1000
0 . 005 0 . 003
273 30 3 . 7 10 4
ln
477 . 6
2 3 . 14 0 . 15
0 . 005
Käyttämällä alumiinilangan lämmönjohtavuuden arvoa
1 232 W / (m K) ja kaava T, voimme laskea lämpötilan keskustassa
1
johdot. Käsiteltyjen ehtojen mukaan meillä on
2
Re I 2
Re I 2
R Re I
T1 r R Te
ln
T2 r R
l 2 2 R l 4 1
l 4 1
3 . 7 10 4 1000
477 . 6
477 . 7
4 3 . 14 232
2

34.

Kotitehtävä.
1. Virta, jonka teho on I \u003d 200A, johdetaan ruostumattoman teräslangan läpi
jonka halkaisija on 2 mm ja pituus 1 m. Johdon sähkövastus on
0,125 ohmia, lämmönjohtavuus 17W/(m K). Lämpötila
langan pinta 150 C. On tarpeen laskea lämpötila akselilla
lanka.
2. Oletetaan samassa ongelmassa, että lanka on peitetty eristekerroksella
(eristeen lämmönjohtavuuskerroin 0,15 W/(m K)), ja kerroin
lämmönsiirto eristepinnalla on 60 W/(m2K). Tarvittaessa
muuta virran voimakkuutta (lisää tai vähennä) niin, että lämpötila nousee
langan pinta pysyi 150 C:ssa.

35.

Tehokkaat (vastaavat) termofysikaaliset ominaisuudet
Todella käytetty koneenrakennuksessa ja materiaaleissa ympärillämme
ovat monikomponenttisia ja monivaiheisia. Tämä koskee terästä
metalliseokset, metallien väliset komposiitit, sintratut materiaalit,
kuitukomposiitit, polymeeripohjaiset komposiitit, seokset,
ratkaisuja jne.
Jos alkukomponenteille (joista komposiitit syntetisoidaan
eri teknologiat) tai käytettyjen materiaalien ominaisuudet
enemmän tai vähemmän selkeä, sitten äskettäin kehitetyille materiaaleille
ominaisuuksien määrittely on suuri ongelma.
Tavalliset kokeelliset menetelmät eivät välttämättä toimi tai niistä tulee
kallista tai työvoimavaltaista
Laskemista varten on tiedettävä komponenttien ominaisuudet, rakenne ja keskinäinen
vaikutus fyysisiä ilmiöitä Toisiaan.
Ei tietoja fyysiset ominaisuudet ah, mikään tieteellinen ei ole mahdollista
tai tekninen laskelma
Dulnev G.N., Zarinchak Yu.P. Seosten ja komposiitin lämmönjohtavuus
materiaaleja

36.

Mallit ominaisuuksien laskemiseen:
korpuskulaarinen (molekyyli), jatkumo ja yhdistetty
Korpuskulaarisissa malleissa ominaisuuksia tutkitaan luonnontietämyksen perusteella,
hiukkasten vuorovaikutuksen rakenne ja luonne. Fysikaalisten ominaisuuksien laskeminen
Tässä tapauksessa se on mahdollista vain käyttämällä muita kiinteistöjä koskevia tietoja.
Heterogeenisten rakenteiden luokitus:
Dulnev, s. 10-52 (avoin)
Komposiitit: s. 106-130

37.

Tehollisten kertoimien laskemiseen on monia tapoja
heterogeenisten ja huokoisten materiaalien lämmönjohtavuus
Yksinkertaisimmassa arviossa lämmönjohtamisprosessista erillisessä
mikroverkkotunnus (jota pidetään edustavana volyyminä)
fyysiset yhtälöt ovat voimassa
JT ,k k grad Tk , div JT ,k 0
Rajaehdot alueiden rajapinnoilla, joilla on ihanteellinen
lämpökontakti on muodossa:
T
T
k k k 1 k 1; Tk Tk 1
n
n
Määrittää materiaalin tehokkaan lämmönjohtavuuden (joka koostuu
eri vaiheissa), on tarpeen määrittää fyysisten kenttien jakaumat aikana
kaikki mikrodomainit ja siirry sitten lähes homogeeniseen ympäristöön
jotka suhteet
JT*T
1
J k dV;
V
1
Tk d
T
V
V
Tämän tyypin määrittäminen
Tehokas kerroin: f k , k ;
riippuvuuksia ja on
päätehtävä
- faasifraktiot
erilaisia teorioita.
JT
T

38.

Kaksivaiheinen järjestelmä
1
J
J1dV1 J 2dV2 1 1 T1 2 2 T2
V
V2
V1
1 V1 V , 2 V2 V
(1)
1 1 1 2 2 2 ;
k
T1 T1
2T2
Tk T
T
2
1 1 2 2 1
Seuraa kohteesta
Edellinen
, k 1,2
- tilavuuden keskimääräinen gradientti
Kahden yhtälön järjestelmä (1) sisältää kolme tuntematonta. E-sulkemiseen
edellytetään lisäinformaatio esimerkiksi rakennetiedot
heterogeeninen järjestelmä, erityisesti suunnitellun kokeen tiedot.
Tällaisten järjestelmien sulkemisen ongelman ratkaisu johti kaikkien ilmestymiseen
erilaisia menetelmiä siirtokertoimien määrittämiseen (ei vain
lämmönjohtavuuskerroin), joka tunnetaan kirjallisuudessa

39.

1. Yksinkertaisimman rakenteen tapauksessa, joka on järjestelmä
rajoittamaton määrä levyjä yhdensuuntaisesti virtauksen J kanssa
1 2 1
Ja
1 1 2 2
2. Jos kerrokset ovat kohtisuorassa virtaukseen nähden
1 T1 2 T2;
1 2 2 1
1 2
1 2
1
Epähomogeenisten väliaineiden rakennetyypit ovat hyvin erilaisia. Eli siinä tapauksessa
kaksivaiheinen väliaine, johon faasit (mikroalueet, jotka sisältävät eri faaseja)
voidaan jakaa avaruuteen sekä satunnaisesti että järjestyksessä,
on mahdollista erottaa rakenteita, jotka sisältävät yhden faasin eristetyssä muodossa
isomeeriset (1) tai anisotrooppisesti orientoidut (2) sulkeumat
jatkuvat muu vaihe, rakeiset järjestelmät jatkuvalla rungolla (3) ja
huokoset (4), kuitujärjestelmät (5) ja huokoset (6), tilastollisesti
samankokoiset epähomogeeniset (mikro-epähomogeeniset) järjestelmät
komponentit (7), kerrostetut järjestelmät yhdensuuntaiset (8) ja kohtisuorat
(9) virtauskerrokset. Voidaan kuvitella järjestelmiä koostuvan yksilöistä
alijärjestelmät, joissa on erilaisia kuvatun tyyppisiä rakenteita. Lisäksi
kukin rakenteissa olevista vaiheista voi olla sekä monikomponenttinen että
ja yksikomponenttinen. Joka tapauksessa jokaisen vaiheen ominaisuudet on laskettava
tai niiden kokeellinen määritelmä.

40.

Kondorskyn yhtälö
3 1 1 3 2 1 2
3 1 1 3 2 1
Odelevsky (menetelmä
1
tehokas ympäristö)
4
16
2
2 1
1 V1 V , 2 V2 V
13
2 1
1 2
integraalinen menetelmä
Kahdenväliset arviot (arviot
Hashin-Shtrikhman)
Shermergaard:
1 2
1
2
1
1
2 1
1
1
1 3
1 3
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2 1
1 1 2
Indeksi 1 viittaa matriisiin ja "2" viittaa inkluusioihin
Yksinkertaistetuista mediamalleista huolimatta jotkut tunnetuista kaavoista
mahdollistavat melko luotettavien arvioiden tekemisen, vaikka kaavojen lukumäärä on
Median erilaiset erikoistapaukset lisääntyvät nopeasti vaiheiden lisääntyessä.

41.

Kotona:
On komposiitti. Matriisi on volframiin perustuva seos (pidämme sitä
lämmönjohtavuus on yhtä suuri kuin volframin lämmönjohtavuus).
Hiukkaset (sulkeumat) titaanikarbidi.
Laske riippuvuudet yllä olevien kaavojen avulla
komposiitin teholliset lämmönjohtavuuskertoimet fraktiolla
inkluusiot (ξ = 0 - 0,75). Piirrä yhdellä kaaviolla.
Mitä johtopäätöstä voidaan vetää?

42.

Rakeisten ja huokoisten materiaalien ominaisuudet
Huokoisten materiaalien tehokkaasta lämmönjohtavuudesta muiden asioiden ollessa sama
olosuhteisiin vaikuttaa kiinteän faasin lämmönjohtavuus. Samaan aikaan, varten
joillekin huokoisille materiaaleille (perustuu A12O3-, BeO-, MgO- jne.) -kerroin
lämmönjohtavuus laskee lämpötilan noustessa, kun taas
muut, jotka on valmistettu SiO2:n, ZrO2:n, - lisää. Ratkaiseva
huokoisuus vaikuttaa tehokkaaseen lämmönjohtavuuteen, koska
itse huokoset ovat tehokkaita kaasun alhaisen johtavuuden vuoksi
este lämmön leviämiselle. On kuitenkin muitakin
lämmönsiirtomekanismit (konvektio, säteily).
Yksinkertaisimmat mallit perustuvat huokoisen tai
dispergoitu materiaali tasaisten vuorottelevien kerrosten muodossa, joka koostuu ja
kiinteä runko (ydin) ja ilma.
1
1
2
2
1
1 1 2
- huokosten osuus; huokoisuus
- ilman tai muun aineen täytteen lämmönjohtavuus
huokoinen tila

43.

Keskellä olevassa kuvassa esitetyt mallit liittyvät nimiin
Maxwell-Eucken (Maxwell-Aiken). Tulos näyttää
1
2
2 1 2 2 1 2
2 1 2 2 1 2
2 2 1 2 2 1 1
2 2 1 2 2 1 1
1 1
2
0
1 2
2 2
kiinteä runko on jatkuva
jatkuva on huokoista
tilaa
tehokas mediumin teoriamalli