Epähomogeenisen sloughin yleinen ratkaisu. Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaisut, ratkaisumenetelmät, esimerkit. Käsiteltävän materiaalin kehityksen valvonta

Ratkaisu etsi laskimella. Ratkaisualgoritmi on sama kuin lineaarisissa järjestelmissä homogeeniset yhtälöt.
Toimimalla vain riveillä löydämme matriisin arvon, perusmollin; julistamme riippuvaisia ​​ja vapaita tuntemattomia ja löydämme yleisen ratkaisun.

Esimerkki 2. Etsi yleinen ratkaisu ja järjestelmän perusratkaisujärjestelmä
Ratkaisu.



,
tästä seuraa, että matriisin sijoitus on 3 ja on yhtä suuri kuin luku tuntematon. Tämä tarkoittaa, että järjestelmässä ei ole vapaita tuntemattomia, ja siksi sillä on ainutlaatuinen ratkaisu - triviaali.

Harjoittele . Tutki ja ratkaise järjestelmä lineaariset yhtälöt.
Esimerkki 4

Harjoittele . Löydä yleiset ja erityiset ratkaisut jokaiseen järjestelmään.
Ratkaisu. Kirjoitamme järjestelmän päämatriisin:

Tehtävä. Etsi perusjoukko ratkaisuja homogeeniselle lineaariyhtälöjärjestelmälle.

Järjestelmä m lineaariset yhtälöt c n tuntematon kutsutaan lineaarinen homogeeninen järjestelmä yhtälöt, jos kaikki vapaat termit ovat yhtä suuria kuin nolla. Tällainen järjestelmä näyttää tältä:

Missä ja ij (minä = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - annetut numerot; x i- tuntematon.

Lineaaristen homogeenisten yhtälöiden järjestelmä on aina johdonmukainen, koska r(A) = r(). Siinä on aina vähintään nolla ( triviaali) ratkaisu (0; 0; ...; 0).

Tarkastellaan, missä olosuhteissa homogeenisilla järjestelmillä on nollasta poikkeavat ratkaisut.

Lause 1. Lineaaristen homogeenisten yhtälöiden järjestelmällä on nollasta poikkeavat ratkaisut silloin ja vain, jos sen päämatriisin järjestys r pienempi kuin numero tuntematon n, eli r < n.

□ 1). Olkoon lineaaristen homogeenisten yhtälöiden ratkaisu nollasta poikkeava. Koska sijoitus ei voi ylittää matriisin kokoa, on selvää, että r ≤ n. Antaa r = n. Sitten yksi kokoisista alaikäisistä n n eroaa nollasta. Siksi vastaavalla lineaariyhtälöjärjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu: , , . Ei siis ole olemassa muita ratkaisuja kuin triviaaleja. Joten jos on ei-triviaali ratkaisu, niin r < n.

2). Antaa r < n. Silloin homogeeninen järjestelmä, joka on johdonmukainen, on epämääräinen. Siten sillä on ääretön määrä ratkaisuja, ts. on myös nollasta poikkeavia ratkaisuja. ■

Harkitse homogeenista järjestelmää n lineaariset yhtälöt c n tuntematon:

(2)

Lause 2. homogeeninen järjestelmä n lineaariset yhtälöt c n tuntemattomilla (2) on nollasta poikkeavat ratkaisut silloin ja vain, jos sen determinantti on nolla: = 0.

□ Jos järjestelmällä (2) on nollasta poikkeava ratkaisu, niin = 0. Kohteessa , järjestelmällä on vain ainutlaatuinen nollaratkaisu. Jos = 0, niin arvo r järjestelmän päämatriisi on pienempi kuin tuntemattomien lukumäärä, ts. r < n. Ja siksi järjestelmässä on ääretön määrä ratkaisuja, ts. on myös nollasta poikkeavia ratkaisuja. ■

Merkitse järjestelmän (1) ratkaisua X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x n = k n merkkijonona .

Lineaaristen homogeenisten yhtälöiden ratkaisuja on seuraavat ominaisuudet:

1. Jos merkkijono on ratkaisu järjestelmään (1), niin merkkijono on myös ratkaisu järjestelmään (1).

2. Jos linjat ja ovat järjestelmän (1) ratkaisuja, sitten mille tahansa arvolle Kanssa 1 ja Kanssa 2 niiden lineaarinen yhdistelmä on myös ratkaisu järjestelmään (1).

Voit tarkistaa näiden ominaisuuksien oikeellisuuden korvaamalla ne suoraan järjestelmän yhtälöihin.

Muotoiltuista ominaisuuksista seuraa, että mikä tahansa lineaarinen ratkaisujen yhdistelmä lineaaristen homogeenisten yhtälöiden järjestelmään on myös ratkaisu tähän järjestelmään.

Lineaarisesti riippumattomien ratkaisujen järjestelmä e 1 , e 2 , …, e r nimeltään perustavanlaatuinen, jos jokainen järjestelmän (1) ratkaisu on näiden ratkaisujen lineaarinen yhdistelmä e 1 , e 2 , …, e r.

Lause 3. Jos sijoitus r kerroin matriisit for järjestelmän muuttujat lineaariset homogeeniset yhtälöt (1) on pienempi kuin muuttujien lukumäärä n, silloin mikä tahansa järjestelmän (1) perusratkaisujärjestelmä koostuu n–r ratkaisuja.

Siksi yhteinen päätös Lineaaristen homogeenisten yhtälöiden (1) muoto on:

Missä e 1 , e 2 , …, e r on mikä tahansa perusratkaisujärjestelmä järjestelmälle (9), Kanssa 1 , Kanssa 2 , …, kanssa p – mielivaltaisia ​​numeroita, R = n–r.

Lause 4. Yleinen järjestelmäratkaisu m lineaariset yhtälöt c n tuntematon on yhtä suuri kuin vastaavan lineaarisen homogeenisen yhtälöjärjestelmän (1) yleisratkaisun ja tämän järjestelmän mielivaltaisen tietyn ratkaisun (1) summa.

Esimerkki. Ratkaise järjestelmä

Ratkaisu. Tälle järjestelmälle m = n= 3. Determinantti

Lauseen 2 mukaan järjestelmällä on vain triviaali ratkaisu: x = y = z = 0.

Esimerkki. 1) Etsi järjestelmän yleiset ja erityiset ratkaisut

2) Etsi perusratkaisujärjestelmä.

Ratkaisu. 1) tälle järjestelmälle m = n= 3. Determinantti

Lauseen 2 mukaan järjestelmässä on nollasta poikkeavat ratkaisut.

Koska järjestelmässä on vain yksi riippumaton yhtälö

x + y – 4z = 0,

sitten siitä ilmaisemme x =4z- y. Mistä saamme äärettömän joukon ratkaisuja: (4 z- y, y, z) on järjestelmän yleinen ratkaisu.

klo z= 1, y= -1, saamme yhden tietyn ratkaisun: (5, -1, 1). Laittaminen z= 3, y= 2, saamme toisen tietyn ratkaisun: (10, 2, 3) jne.

2) Yleisessä ratkaisussa (4 z- y, y, z) muuttujia y Ja z ovat ilmaisia, ja muuttuja X- heistä riippuvainen. Ratkaisujen perusjärjestelmän löytämiseksi annamme arvot vapaille muuttujille: ensin y = 1, z= 0 siis y = 0, z= 1. Saadaan tietyt ratkaisut (-1, 1, 0), (4, 0, 1), jotka muodostavat perusratkaisujärjestelmän.

Kuvituksia:

Riisi. 1 Lineaaristen yhtälöjärjestelmien luokitus

Riisi. 2 Lineaariyhtälöjärjestelmien tutkiminen

Esitykset:

SLAE_matrix-menetelmän ratkaiseminen

Ratkaisu SLAU_Cramerin menetelmä

Ratkaisu SLAE_Gauss-menetelmä

・Ratkaisupaketit matemaattisia ongelmia Mathematica: etsi analyyttisiä ja numeerinen ratkaisu lineaariset yhtälöt

Kontrollikysymykset:

1. Määrittele lineaarinen yhtälö

2. Millainen järjestelmä tekee m lineaariset yhtälöt kanssa n tuntematon?

3. Mitä kutsutaan lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisuksi?

4. Mitä järjestelmiä kutsutaan vastaaviksi?

5. Mitä järjestelmää kutsutaan yhteensopimattomaksi?

6. Mitä järjestelmää kutsutaan niveleksi?

7. Mitä järjestelmää kutsutaan määritellyksi?

8. Mitä järjestelmää kutsutaan määrittelemättömäksi

9. Listaa lineaariyhtälöjärjestelmien alkeismuunnokset

10. Listaa matriisien alkeismuunnokset

11. Esitä sovelluslause alkeellisia muunnoksia lineaariseen yhtälöjärjestelmään

12. Mitä järjestelmiä voidaan ratkaista matriisimenetelmällä?

13. Mitä järjestelmiä voidaan ratkaista Cramerin menetelmällä?

14. Mitä järjestelmiä voidaan ratkaista Gaussin menetelmällä?

15. Listaa 3 mahdollista tapausta, joita syntyy, kun ratkaistaan ​​lineaarisia yhtälöjärjestelmiä Gaussin menetelmällä

16. Kuvaa matriisimenetelmä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi

17. Kuvaile Cramerin menetelmää lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi

18. Kuvaile Gaussin menetelmää lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi

19. Mitä järjestelmiä voidaan käyttää? käänteinen matriisi?

20. Listaa 3 mahdollista tapausta, joita syntyy, kun ratkaistaan ​​lineaarisia yhtälöjärjestelmiä Cramer-menetelmällä

Kirjallisuus:

1. korkeampaa matematiikkaa ekonomisteille: Oppikirja yliopistoille / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Fridman. Ed. N.Sh. Kremer. - M.: UNITI, 2005. - 471 s.

2. Yleinen korkeamman matematiikan kurssi taloustieteilijöille: Oppikirja. /Toim. IN JA. Ermakov. -M.: INFRA-M, 2006. - 655 s.

3. Korkeamman matematiikan tehtäväkokoelma taloustieteilijöille: Opetusohjelma/ Toimittajana V.I. Ermakov. M.: INFRA-M, 2006. - 574 s.

4. V. E. Gmurman, opas ongelmanratkaisuun todennäköisyysteoriassa ja magmaattisissa tilastoissa. -M.: valmistua koulusta, 2005. - 400 s.

5. Gmurman. V.E. Todennäköisyysteoria ja matemaattiset tilastot. - M.: Korkeakoulu, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Korkeampaa matematiikkaa harjoituksissa ja tehtävissä. Osa 1, 2. - M .: Onyx 21st century: Maailma ja koulutus, 2005. - 304 s. Osa 1; – 416 s. Osa 2

7. Taloustieteen matematiikka: Oppikirja: 2 tunnissa / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaitsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. - M.: Talous ja tilastot, 2006.

8. Shipachev V.S. Korkeampi matematiikka: oppikirja opiskelijoille. yliopistot - M .: Higher School, 2007. - 479 s.

Samanlaisia ​​tietoja.

6.3. HOMOGEENISET LINEAARISET YHTÄLÖJÄRJESTELMÄT

Anna nyt järjestelmään (6.1).

Homogeeninen järjestelmä on aina johdonmukainen. Ratkaisu () kutsutaan nolla, tai triviaali.

Homogeenisella järjestelmällä (6.1) on nollasta poikkeava ratkaisu silloin ja vain jos sen järjestys ( ) on pienempi kuin tuntemattomien lukumäärä. Erityisesti homogeenisella järjestelmällä, jossa yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä, on nollasta poikkeava ratkaisu silloin ja vain, jos sen determinantti on nolla.

Koska tällä kertaa kaikki, kaavojen (6.6) sijasta saadaan seuraava:

(6.7)

Kaavat (6.7) sisältävät minkä tahansa homogeenisen järjestelmän (6.1) liuoksen.

1. Homogeenisen lineaariyhtälöjärjestelmän (6.1) ratkaisujen joukko muodostaa lineaariavaruuden.

2. Lineaarinen avaruusRkaikista homogeenisen lineaarisen yhtälöjärjestelmän (6.1) ratkaisuistantuntemattomat ja päämatriisin arvo on yhtä suurir, on ulottuvuusn–r.

Mikä tahansa joukko (n–r) homogeenisen järjestelmän (6.1) lineaarisesti riippumattomat ratkaisut muodostavat perustan avaruudessaRkaikki päätökset. Sitä kutsutaan perustavanlaatuinen homogeenisen yhtälöjärjestelmän (6.1) ratkaisujen joukko. Kohokohta "normaali" homogeenisen järjestelmän (6.1) perusratkaisujen joukko:

(6.8)

Perusteen määritelmän mukaan mikä tahansa ratkaisu X homogeeninen järjestelmä (6.1) voidaan esittää muodossa

(6.9)

Missä ovat mielivaltaisia ​​vakioita.

Koska kaava (6.9) sisältää minkä tahansa homogeenisen järjestelmän (6.1) liuoksen, se antaa yhteinen päätös tämä järjestelmä.

Esimerkki.

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden (SLAE) ratkaiseminen on epäilemättä kurssin tärkein aihe lineaarialgebra. Valtava määrä ongelmia kaikilta matematiikan aloilta rajoittuu lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen. Nämä tekijät selittävät syyn tämän artikkelin luomiseen. Artikkelin materiaali on valittu ja jäsennelty niin, että sen avulla voit

• valita optimaalinen menetelmä lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi,
• opiskella valitun menetelmän teoriaa,
• ratkaise lineaariyhtälöjärjestelmäsi harkittuaan yksityiskohtaisesti tyypillisten esimerkkien ja ongelmien ratkaisuja.

Lyhyt kuvaus artikkelin materiaalista.

Ensin annamme kaikki tarvittavat määritelmät, käsitteet ja otamme käyttöön joitain merkintöjä.

Seuraavaksi tarkastellaan menetelmiä lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaisemiseksi, joissa yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä ja joilla on ainutlaatuinen ratkaisu. Ensinnäkin keskitytään Cramer-menetelmään, toiseksi näytämme matriisimenetelmän tällaisten yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi, ja kolmanneksi analysoimme Gaussin menetelmää (tuntemattomien muuttujien peräkkäisen eliminoinnin menetelmä). Teorian vahvistamiseksi ratkaisemme varmasti useita SLAE-ratkaisuja eri tavoilla.

Sen jälkeen siirrytään lineaaristen algebrallisten yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen yleisnäkymä, jossa yhtälöiden lukumäärä ei ole sama kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä tai järjestelmän päämatriisi on rappeutunut. Muotoilemme Kronecker-Capelli-lauseen, jonka avulla voimme määrittää SLAE:n yhteensopivuuden. Analysoidaan järjestelmien ratkaisua (niiden yhteensopivuuden tapauksessa) matriisin kantamollin käsitteellä. Tarkastellaan myös Gaussin menetelmää ja kuvataan yksityiskohtaisesti esimerkkien ratkaisut.

Muista keskittyä lineaaristen algebrallisten yhtälöiden homogeenisten ja epähomogeenisten järjestelmien yleisen ratkaisun rakenteeseen. Esitetään perusratkaisujärjestelmän käsite ja osoitetaan, kuinka SLAE:n yleinen ratkaisu kirjoitetaan käyttämällä perusratkaisujärjestelmän vektoreita. Paremman ymmärtämisen vuoksi katsotaanpa muutama esimerkki.

Lopuksi tarkastelemme yhtälöjärjestelmiä, jotka pelkistyvät lineaarisiin, sekä erilaisia ​​tehtäviä, jonka ratkaisu aiheuttaa SLAE:ita.

Sivulla navigointi.

Määritelmät, käsitteet, nimitykset.

Tarkastellaan p lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmiä, joissa on n tuntematonta muuttujaa (p voi olla yhtä suuri kuin n ) muotoa

Tuntemattomat muuttujat, - kertoimet (jotkut todelliset tai kompleksiluvut), - vapaajäsenet (myös reaali- tai kompleksiluvut).

Tätä SLAE-muotoa kutsutaan koordinoida.

SISÄÄN matriisimuoto tällä yhtälöjärjestelmällä on muoto,
Missä - järjestelmän päämatriisi, - tuntemattomien muuttujien matriisisarake, - vapaiden jäsenten matriisisarake.

Jos lisäämme matriisiin A sarakkeena (n + 1) vapaiden termien matriisisarakkeen, niin saadaan ns. laajennettu matriisi lineaariset yhtälöt. Yleensä laajennettu matriisi merkitään kirjaimella T, ja vapaiden jäsenten sarake on erotettu pystyviivalla muista sarakkeista, eli

Ratkaisemalla lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän kutsutaan joukoksi tuntemattomien muuttujien arvoja, joka muuttaa kaikki järjestelmän yhtälöt identiteeteiksi. Myös matriisiyhtälö tuntemattomien muuttujien annetuille arvoille muuttuu identiteetiksi.

Jos yhtälöjärjestelmällä on vähintään yksi ratkaisu, sitä kutsutaan liitos.

Jos yhtälöjärjestelmällä ei ole ratkaisuja, sitä kutsutaan yhteensopimaton.

Jos SLAE:llä on ainutlaatuinen ratkaisu, sitä kutsutaan varma; jos ratkaisuja on useampi kuin yksi, niin - epävarma.

Jos järjestelmän kaikkien yhtälöiden vapaat ehdot ovat nolla , niin järjestelmä kutsutaan homogeeninen, muuten - heterogeeninen.

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden alkeisjärjestelmien ratkaisu.

Jos järjestelmäyhtälöiden määrä on yhtä suuri kuin tuntemattomien muuttujien määrä ja sen päämatriisin determinantti ei ole nolla, kutsumme tällaisia ​​SLAE:itä perus. Tällaisilla yhtälöjärjestelmillä on ainutlaatuinen ratkaisu, ja homogeenisen järjestelmän tapauksessa kaikki tuntemattomat muuttujat ovat nollia.

Aloimme tutkia tällaisia ​​SLAE:ita vuonna lukio. Niitä ratkottaessa otimme yhden yhtälön, ilmaisimme yhden tuntemattoman muuttujan muilla ja korvasimme sen jäljellä olevilla yhtälöillä, otimme sitten seuraavan yhtälön, ilmaisimme seuraavan tuntemattoman muuttujan ja substituoimme sen muilla yhtälöillä ja niin edelleen. Tai he käyttivät summausmenetelmää, eli he lisäsivät kaksi tai useampia yhtälöitä joidenkin tuntemattomien muuttujien poistamiseksi. Emme käsittele näitä menetelmiä yksityiskohtaisesti, koska ne ovat olennaisesti Gaussin menetelmän muunnelmia.

Tärkeimmät menetelmät lineaaristen yhtälöiden alkeisjärjestelmien ratkaisemiseksi ovat Cramer-menetelmä, matriisimenetelmä ja Gaussin menetelmä. Selvitetään ne.

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen Cramerin menetelmällä.

Meidän on ratkaistava lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä

jossa yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä ja järjestelmän päämatriisin determinantti on eri kuin nolla, eli .

Antaa olla determinantti päämatriisin järjestelmän, ja ovat determinantteja matriisien, jotka saadaan A:sta korvaamalla 1., 2., …, n:s sarake vastaavasti vapaiden jäsenten sarakkeeseen:

Tällaisella merkinnällä tuntemattomat muuttujat lasketaan Cramerin menetelmän kaavoilla as . Näin Cramer-menetelmällä löydetään lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaisu.

Esimerkki.

Cramer menetelmä .

Ratkaisu.

Järjestelmän päämatriisilla on muoto . Laske sen determinantti (katso tarvittaessa artikkeli):

Koska järjestelmän päämatriisin determinantti ei ole nolla, järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka voidaan löytää Cramerin menetelmällä.

Laadi ja laske tarvittavat determinantit (determinantti saadaan korvaamalla matriisin A ensimmäinen sarake vapaiden jäsenten sarakkeella, determinantti - korvaamalla toinen sarake vapaiden jäsenten sarakkeella, - korvaamalla matriisin A kolmas sarake vapaiden jäsenten sarakkeella ):

Tuntemattomien muuttujien etsiminen kaavoilla :

Vastaus:

Cramerin menetelmän suurin haitta (jos sitä voidaan kutsua haitaksi) on determinanttien laskemisen monimutkaisuus, kun järjestelmäyhtälöitä on enemmän kuin kolme.

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaiseminen matriisimenetelmällä (käyttäen käänteismatriisia).

Olkoon lineaarinen algebrallinen yhtälöjärjestelmä matriisimuodossa , jossa matriisin A mitat ovat n x n ja sen determinantti on nollasta poikkeava.

Koska , niin matriisi A on käänteinen, eli on olemassa käänteimatriisi . Jos kerromme yhtälön molemmat osat vasemmalla, saadaan kaava tuntemattomien muuttujien sarakematriisin löytämiseksi. Joten saimme lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän ratkaisun matriisimenetelmällä.

Esimerkki.

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä matriisimenetelmä.

Ratkaisu.

Kirjoitetaan yhtälöjärjestelmä uudelleen matriisimuotoon:

Koska

silloin SLAE voidaan ratkaista matriisimenetelmällä. Käänteismatriisia käyttämällä ratkaisu tähän järjestelmään voidaan löytää seuraavasti .

Rakennetaan käänteismatriisi käyttämällä matriisin A elementtien algebrallisten komplementtien matriisia (katso tarvittaessa artikkeli):

Jää vielä laskea - tuntemattomien muuttujien matriisi kertomalla käänteinen matriisi ilmaisten jäsenten matriisisarakkeessa (katso tarvittaessa artikkeli):

Vastaus:

tai toisessa merkinnässä x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Suurin ongelma ratkaisujen löytämisessä lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmiin matriisimenetelmällä on käänteismatriisin löytämisen monimutkaisuus, erityisesti neliömatriisien kohdalla, joiden kertaluku on korkeampi kuin kolmas.

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen Gaussin menetelmällä.

Oletetaan, että meidän on löydettävä ratkaisu n lineaarisen yhtälön järjestelmälle, jossa on n tuntematonta muuttujaa
jonka päämatriisin determinantti on eri kuin nolla.

Gaussin menetelmän ydin koostuu tuntemattomien muuttujien peräkkäisestä poissulkemisesta: ensin x 1 jätetään pois kaikista järjestelmän yhtälöistä alkaen toisesta, sitten x 2 jätetään pois kaikista yhtälöistä alkaen kolmannesta ja niin edelleen, kunnes vain tuntematon muuttuja x n jää viimeiseen yhtälöön. Tällaista prosessia järjestelmän yhtälöiden muuntamiseksi tuntemattomien muuttujien peräkkäiseksi eliminoimiseksi kutsutaan ns. suora Gaussin menetelmä. Kun Gaussin menetelmän eteenpäinajo on suoritettu loppuun, x n löydetään viimeisestä yhtälöstä, x n-1 lasketaan toiseksi viimeisestä yhtälöstä tätä arvoa käyttäen ja niin edelleen, x 1 löydetään ensimmäisestä yhtälöstä. Tuntemattomien muuttujien laskentaprosessi siirryttäessä järjestelmän viimeisestä yhtälöstä ensimmäiseen on ns. käänteinen Gaussin menetelmä.

Kuvataanpa lyhyesti algoritmi tuntemattomien muuttujien eliminoimiseksi.

Oletetaan, että , koska voimme aina saavuttaa tämän järjestämällä järjestelmän yhtälöitä uudelleen. Jätetään tuntematon muuttuja x 1 pois kaikista järjestelmän yhtälöistä toisesta alkaen. Tätä varten lisää ensimmäinen yhtälö kerrottuna järjestelmän toiseen yhtälöön, lisää ensimmäinen kerrottuna kolmanteen yhtälöön ja niin edelleen, lisää ensimmäinen kerrottuna n:nteen yhtälöön. Yhtälöjärjestelmä tällaisten muunnosten jälkeen saa muodon

missä .

Pääsisimme samaan tulokseen, jos ilmaisimme x 1:n muilla tuntemattomilla muuttujilla järjestelmän ensimmäisessä yhtälössä ja korvaamme tuloksena olevan lausekkeen kaikilla muilla yhtälöillä. Siten muuttuja x 1 jätetään pois kaikista yhtälöistä toisesta alkaen.

Seuraavaksi toimimme samalla tavalla, mutta vain osan kanssa tuloksena olevasta järjestelmästä, joka on merkitty kuvaan

Tee tämä lisäämällä toinen kerrottuna järjestelmän kolmanteen yhtälöön, lisäämällä toinen kerrottuna neljänteen yhtälöön ja niin edelleen, lisäämällä toinen kerrottuna n:nteen yhtälöön. Yhtälöjärjestelmä tällaisten muunnosten jälkeen saa muodon

missä . Siten muuttuja x 2 jätetään pois kaikista yhtälöistä kolmannesta alkaen.

Seuraavaksi edetään tuntemattoman x 3:n eliminointiin samalla tavalla toimien kuvassa merkityn järjestelmän osan kanssa

Jatkamme siis Gaussin menetelmän suoraa kulkua, kunnes järjestelmä saa muodon

Tästä hetkestä lähtien aloitamme Gaussin menetelmän käänteisen kulkun: laskemme x n viimeisestä yhtälöstä kuten , käyttämällä saatua arvoa x n löydämme toiseksi viimeisestä yhtälöstä x n-1 ja niin edelleen, löydämme x 1 ensimmäisestä yhtälö.

Esimerkki.

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmä.

Ratkaisu.

Jätetään tuntematon muuttuja x 1 pois järjestelmän toisesta ja kolmannesta yhtälöstä. Tätä varten lisäämme toisen ja kolmannen yhtälön molempiin osiin ensimmäisen yhtälön vastaavat osat kerrottuna ja vastaavasti:

Nyt jätetään x 2 pois kolmannesta yhtälöstä lisäämällä sen vasempaan ja oikeaan osaan toisen yhtälön vasen ja oikea osa kerrottuna:

Tällä Gaussin menetelmän eteenpäin suuntautuva kurssi on valmis, aloitamme käänteisen kurssin.

Tuloksena olevan yhtälöjärjestelmän viimeisestä yhtälöstä löydämme x 3:

Toisesta yhtälöstä saamme .

Ensimmäisestä yhtälöstä löydämme jäljellä olevan tuntemattoman muuttujan ja tämä täydentää Gaussin menetelmän käänteisen kurssin.

Vastaus:

X 1 \u003d 4, x 2 = 0, x 3 \u003d -1.

Yleismuotoisten lineaaristen algebrallisten yhtälöiden ratkaiseminen.

Yleisessä tapauksessa järjestelmän p yhtälöiden lukumäärä ei ole sama kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä n:

Tällaisilla SLAE-ratkaisuilla ei voi olla ratkaisuja, niillä voi olla yksi ratkaisu tai niillä voi olla äärettömän monta ratkaisua. Tämä väite koskee myös yhtälöjärjestelmiä, joiden päämatriisi on neliömäinen ja degeneroitunut.

Kronecker-Capellin lause.

Ennen kuin löytää ratkaisun lineaariyhtälöjärjestelmälle, on tarpeen selvittää sen yhteensopivuus. Vastaus kysymykseen, milloin SLAE on yhteensopiva ja milloin se ei ole yhteensopiva, antaa Kronecker-Capellin lause:
jotta p-yhtälöjärjestelmä, jossa on n tuntematonta (p voi olla yhtä suuri kuin n ), olisi johdonmukainen, on välttämätöntä ja riittävää, että järjestelmän päämatriisin järjestys on yhtä suuri kuin laajennetun matriisin järjestys, eli Rank( A) = Sijoitus(T) .

Tarkastellaan esimerkkinä Kronecker-Cappelli-lauseen soveltamista lineaarisen yhtälöjärjestelmän yhteensopivuuden määrittämiseen.

Esimerkki.

Selvitä, onko lineaarisella yhtälöjärjestelmällä ratkaisuja.

Ratkaisu.

. Käytetään alaikäisten rajaamista. Toisen asteen alaikäinen eroaa nollasta. Käydään läpi sitä ympäröivät kolmannen asteen alaikäiset:

Koska kaikki vierekkäiset kolmannen asteen alaikäiset ovat yhtä suuria kuin nolla, päämatriisin arvo on kaksi.

Puolestaan ​​lisätyn matriisin sijoitus on yhtä suuri kuin kolme, koska kolmannen asteen molli

eroaa nollasta.

Täten, Alue(A) , joten Kronecker-Capellin lauseen mukaan voimme päätellä, että alkuperäinen lineaariyhtälöjärjestelmä on epäjohdonmukainen.

Vastaus:

Ratkaisujärjestelmää ei ole.

Olemme siis oppineet määrittämään järjestelmän epäjohdonmukaisuuden Kronecker-Capellin lauseen avulla.

Mutta kuinka löytää SLAE:n ratkaisu, jos sen yhteensopivuus on vahvistettu?

Tätä varten tarvitsemme matriisin kanta-mollin käsitteen ja matriisin asteen lauseen.

Pieni korkein järjestys kutsutaan matriisia A, joka on nollasta poikkeava perus.

Perusmollin määritelmästä seuraa, että sen järjestys on yhtä suuri kuin matriisin järjestys. Nollasta poikkeavassa matriisissa A voi olla useita perusmolleja, aina yksi perusmolli.

Harkitse esimerkiksi matriisia .

Kaikki tämän matriisin kolmannen kertaluvun alamerkit ovat nollia, koska tämän matriisin kolmannen rivin elementit ovat ensimmäisen ja toisen rivin vastaavien elementtien summa.

Seuraavat toisen asteen alamerkit ovat perusasioita, koska ne ovat nollasta poikkeavia

Alaikäiset eivät ole perus, koska ne ovat yhtä kuin nolla.

Matriisiarvolause.

Jos matriisin, jonka kertaluku on p:llä n, on r, niin kaikki matriisin rivien (ja sarakkeiden) alkiot, jotka eivät muodosta valittua kanta-mollia, ilmaistaan ​​lineaarisesti rivien (ja sarakkeiden) vastaavilla elementeillä. ), jotka muodostavat perustan molli.

Mitä matriisiarvolause antaa meille?

Jos olemme Kronecker-Capellin lauseella todenneet järjestelmän yhteensopivuuden, valitsemme minkä tahansa järjestelmän päämatriisin perusmollin (sen järjestys on yhtä suuri kuin r) ja suljemme pois järjestelmästä kaikki yhtälöt, jotka eivät muodostavat valitun sivuaineen. Tällä tavalla saatu SLAE on ekvivalentti alkuperäisen kanssa, koska hylätyt yhtälöt ovat edelleen redundantteja (matriisiarvolauseen mukaan ne ovat lineaarinen yhdistelmä jäljellä olevista yhtälöistä).

Tämän seurauksena järjestelmän liiallisten yhtälöiden hylkäämisen jälkeen kaksi tapausta on mahdollista.

Jos yhtälöiden lukumäärä r tuloksena olevassa järjestelmässä on yhtä suuri kuin tuntemattomien muuttujien määrä, niin se on määrätty ja ainoa ratkaisu löytyy Cramer-menetelmällä, matriisimenetelmällä tai Gaussin menetelmällä.

Esimerkki.

.

Ratkaisu.

Järjestelmän päämatriisin sijoitus on yhtä suuri kuin kaksi, koska toisen asteen molli eroaa nollasta. Laajennettu matriisiarvo on myös yhtä kuin kaksi, koska kolmannen asteen ainoa molli on yhtä suuri kuin nolla

ja edellä tarkasteltu toisen asteen molli on eri kuin nolla. Kronecker-Capelli-lauseen perusteella voidaan väittää alkuperäisen lineaariyhtälöjärjestelmän yhteensopivuus, koska Rank(A)=Rank(T)=2 .

Otamme lähtökohtana sivuaineen . Se muodostuu ensimmäisen ja toisen yhtälön kertoimista:


Järjestelmän kolmas yhtälö ei osallistu perusmollin muodostukseen, joten jätämme sen pois järjestelmästä matriisirankalauseen perusteella:


Siten olemme saaneet lineaaristen algebrallisten yhtälöiden alkeisjärjestelmän. Ratkaistaan ​​se Cramerin menetelmällä:


Vastaus:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Jos yhtälöiden r määrä tuloksena olevassa SLAE:ssä on pienempi kuin tuntemattomien muuttujien määrä n , niin jätämme yhtälöiden vasempaan osiin perusmollin muodostavat termit ja siirrämme loput yhtälöiden oikeaan osiin. järjestelmästä päinvastaisella merkillä.

Yhtälöiden vasemmalle puolelle jääviä tuntemattomia muuttujia (niitä on r) kutsutaan ns. pää.

Tuntemattomia muuttujia (niitä on n - r), jotka päätyivät oikealle puolelle kutsutaan vapaa.

Nyt oletetaan, että vapaat tuntemattomat muuttujat voivat saada mielivaltaisia ​​arvoja, kun taas r tärkeintä tuntematonta muuttujaa ilmaistaan ​​vapailla tuntemattomilla muuttujilla ainutlaatuisella tavalla. Niiden ilmaisu voidaan löytää ratkaisemalla tuloksena oleva SLAE Cramer-, matriisi- tai Gauss-menetelmällä.

Otetaan esimerkki.

Esimerkki.

Ratkaise lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä .

Ratkaisu.

Etsi järjestelmän päämatriisin sijoitus rajaavien alaikäisten menetelmällä. Otetaan 1 1 = 1 nollasta poikkeava ensimmäisen asteen molli. Aloitetaan etsimään nollasta poikkeavaa toisen asteen mollia, joka ympäröi tätä mollia:


Joten löysimme nollasta poikkeavan toisen asteen mollin. Aloitetaan kolmannen asteen nollasta poikkeavan reunustavan molli etsiminen:


Siten päämatriisin sijoitus on kolme. Lisätyn matriisin sijoitus on myös kolme, eli järjestelmä on johdonmukainen.

Kolmannen kertaluvun löydetty nollasta poikkeava molli otetaan perusyksiköksi.

Selvyyden vuoksi näytämme elementit, jotka muodostavat perustan minor:


Jätämme perusmolliin osallistuvat termit järjestelmän yhtälöiden vasemmalle puolelle ja siirrämme loput vastakkaisilla etumerkeillä oikealle:


Annamme vapaat tuntemattomat muuttujat x 2 ja x 5 mielivaltaiset arvot, eli otamme , missä on mielivaltaisia ​​lukuja. Tässä tapauksessa SLAE ottaa muodon


Ratkaisemme saadun lineaaristen algebrallisten yhtälöiden alkeisjärjestelmän Cramer-menetelmällä:


Siksi,.

Älä unohda ilmoittaa vastauksessa ilmaisia ​​tuntemattomia muuttujia.

Vastaus:

Missä on mielivaltaisia ​​numeroita.

Tee yhteenveto.

Yleisen muodon lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmän ratkaisemiseksi selvitetään ensin sen yhteensopivuus Kronecker-Capelli-lauseen avulla. Jos päämatriisin sijoitus ei ole sama kuin laajennetun matriisin sijoitus, päätämme, että järjestelmä on epäjohdonmukainen.

Jos päämatriisin arvo on yhtä suuri kuin laajennetun matriisin arvo, valitsemme perusmollin ja hylkäämme järjestelmän yhtälöt, jotka eivät osallistu valitun perusmollin muodostukseen.

Jos kantamollin järjestys on yhtä suuri kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä, niin SLAE:llä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka voidaan löytää millä tahansa tunnetulla menetelmällä.

Jos kantamollin järjestys on pienempi kuin tuntemattomien muuttujien määrä, niin jätämme termit tärkeimpien tuntemattomien muuttujien kanssa järjestelmän yhtälöiden vasemmalle puolelle, siirremme loput termit oikealle puolelle ja annamme mielivaltaiset arvot ​ilmaisiin tuntemattomiin muuttujiin. Tuloksena olevasta lineaariyhtälöjärjestelmästä löydämme tärkeimmät tuntemattomat muuttujat Cramer-menetelmällä, matriisimenetelmällä tai Gaussin menetelmällä.

Gaussin menetelmä yleismuotoisten lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmien ratkaisemiseen.

Gaussin menetelmällä voidaan ratkaista kaikenlaisia ​​lineaarisia algebrallisia yhtälöjärjestelmiä ilman niiden yhteensopivuuden alustavaa tutkimusta. Tuntemattomien muuttujien peräkkäinen eliminointiprosessi mahdollistaa johtopäätöksen sekä SLAE:n yhteensopivuudesta että epäjohdonmukaisuudesta, ja jos ratkaisu on olemassa, se mahdollistaa sen löytämisen.

Laskennallisen työn kannalta Gaussin menetelmä on parempi.

Katso sen yksityiskohtainen kuvaus ja analysoidut esimerkit artikkelista Gaussin menetelmä yleismuotoisten lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmien ratkaisemiseksi.

Homogeenisten ja epähomogeenisten lineaaristen algebrallisten järjestelmien yleisratkaisun kirjaaminen perusratkaisujärjestelmän vektoreilla.

Tässä osiossa keskitymme lineaaristen algebrallisten yhtälöiden homogeenisiin ja epähomogeenisiin yhteisiin järjestelmiin, joilla on ääretön määrä ratkaisuja.

Käsittelemme ensin homogeenisia järjestelmiä.

Peruspäätösjärjestelmä P lineaaristen algebrallisten yhtälöiden homogeeninen järjestelmä, jossa on n tuntematonta muuttujaa, on joukko (n – r) tämän järjestelmän lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja, missä r on järjestelmän päämatriisin kantamollin järjestys.

Jos merkitsemme homogeenisen SLAE:n lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) ovat matriisisarakkeita, joiden mitat ovat n 1 ) , niin tämän homogeenisen järjestelmän yleinen ratkaisu voidaan esittää muodossa lineaarinen yhdistelmä ratkaisujen perusjärjestelmän vektorit mielivaltaisilla vakiokertoimilla С 1 , С 2 , …, С (n-r) , eli .

Mitä termi homogeenisen lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän yleinen ratkaisu (oroslau) tarkoittaa?

Merkitys on yksinkertainen: kaava asettaa kaiken mahdolliset ratkaisut alkuperäinen SLAE, toisin sanoen ottamalla mikä tahansa mielivaltaisten vakioiden С 1 , С 2 , …, С (n-r) arvot, kaavan mukaan saadaan yksi alkuperäisen homogeenisen SLAE:n ratkaisuista.

Siten, jos löydämme perustavanlaatuisen ratkaisujärjestelmän, voimme asettaa tämän homogeenisen SLAE:n kaikki ratkaisut muotoon .

Esitetään prosessi, jossa rakennetaan perusratkaisujärjestelmä homogeeniselle SLAE:lle.

Valitaan alkuperäisen lineaariyhtälöjärjestelmän perusmolli, jätetään kaikki muut yhtälöt pois järjestelmästä ja siirretään järjestelmän yhtälöiden oikealle puolelle vastakkaisilla etumerkeillä kaikki termit, jotka sisältävät vapaita tuntemattomia muuttujia. Annetaan vapaille tuntemattomille muuttujille arvot 1,0,0,…,0 ja lasketaan tärkeimmät tuntemattomat ratkaisemalla tuloksena oleva lineaariyhtälöiden alkeisjärjestelmä millä tahansa tavalla, esimerkiksi Cramer-menetelmällä. Siten saadaan X (1) - perusjärjestelmän ensimmäinen ratkaisu. Jos annamme vapaille tuntemattomille arvot 0,1,0,0,…,0 ja laskemme tärkeimmät tuntemattomat, saadaan X (2) . Ja niin edelleen. Jos annamme vapaille tuntemattomille muuttujille arvot 0,0,…,0,1 ja laskemme tärkeimmät tuntemattomat, saadaan X (n-r) . Näin rakennetaan homogeenisen SLAE:n perusratkaisujärjestelmä ja sen yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa muotoon .

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden epähomogeenisille järjestelmille yleinen ratkaisu esitetään muodossa

Katsotaanpa esimerkkejä.

Esimerkki.

Etsi perusratkaisujärjestelmä ja homogeenisen lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän yleinen ratkaisu .

Ratkaisu.

Homogeenisten lineaaristen yhtälöjärjestelmien päämatriisin järjestys on aina yhtä suuri kuin laajennetun matriisin arvo. Etsitään päämatriisin sijoitus alaikäisten fringing-menetelmällä. Ensimmäisen kertaluvun nollasta poikkeavaksi molliksi otetaan järjestelmän päämatriisin alkio a 1 1 = 9. Etsi toisen kertaluvun reunustava nollasta poikkeava molli:

Toisen asteen molli, joka eroaa nollasta, löytyy. Käydään läpi sitä rajaavat kolmannen asteen alaikäiset etsimään nollasta poikkeavaa ykköstä:

Kaikki kolmannen asteen rajaavat alaikäiset ovat yhtä suuria kuin nolla, joten pää- ja laajennetun matriisin arvo on kaksi. Otetaan perus-molli. Selvyyden vuoksi panemme merkille sen muodostavat järjestelmän elementit:

Alkuperäisen SLAE:n kolmas yhtälö ei osallistu perusmollin muodostukseen, joten se voidaan sulkea pois:

Jätetään tärkeimmät tuntemattomat sisältävät termit yhtälöiden oikealle puolelle ja siirretään termit vapailla tuntemattomilla oikealle:

Rakentakaamme perusratkaisujärjestelmä alkuperäiselle homogeeniselle lineaariyhtälöjärjestelmälle. Tämän SLAE:n perusratkaisujärjestelmä koostuu kahdesta ratkaisusta, koska alkuperäinen SLAE sisältää neljä tuntematonta muuttujaa ja sen perusmollin järjestys on kaksi. Löytääksemme X (1) annamme vapaille tuntemattomille muuttujille arvot x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, sitten löydämme tärkeimmät tuntemattomat yhtälöjärjestelmästä
.

Homogeeniset järjestelmät lineaariset algebralliset yhtälöt

Oppituntien sisällä Gaussin menetelmä Ja Yhteensopimattomat järjestelmät/järjestelmät, joilla on yhteinen ratkaisu mietimme epähomogeeniset lineaariyhtälöjärjestelmät, Missä vapaa jäsen(joka on yleensä oikealla) ainakin yksi yhtälöistä poikkesi nollasta.
Ja nyt, hyvän lämmittelyn jälkeen matriisin arvo, jatkamme tekniikan hiomista alkeellisia muunnoksia päällä homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä.
Ensimmäisten kappaleiden mukaan materiaali saattaa tuntua tylsältä ja tavalliselta, mutta tämä vaikutelma on petollinen. Tekniikkojen edelleen kehittämisen lisäksi tulee paljon uutta tietoa, joten yritä olla laiminlyömättä tämän artikkelin esimerkkejä.

Mikä on homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä?

Vastaus ehdottaa itseään. Lineaarinen yhtälöjärjestelmä on homogeeninen, jos vapaa termi kaikille järjestelmäyhtälö on nolla. Esimerkiksi:

Se on aivan selvää Homogeeninen järjestelmä on aina johdonmukainen eli siihen on aina ratkaisu. Ja ennen kaikkea ns triviaali ratkaisu . Triviaali niille, jotka eivät ymmärrä adjektiivin merkitystä ollenkaan, tarkoittaa bespontovoe. Ei tietenkään akateemisesti, mutta ymmärrettävästi =) ... Miksi ryöstää, katsotaan onko tällä järjestelmällä muita ratkaisuja:

Esimerkki 1

Ratkaisu: homogeenisen järjestelmän ratkaisemiseksi on tarpeen kirjoittaa järjestelmämatriisi ja tuoda se porrastettuun muotoon alkeismuunnosten avulla. Huomaa, että vapaan jäsenen pystypalkkia ja nollasaraketta ei tarvitse kirjoittaa tänne - loppujen lopuksi, mitä tahansa teet nollien kanssa, ne pysyvät nollina:

(1) Ensimmäinen rivi lisättiin toiseen riviin kerrottuna -2:lla. Ensimmäinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna -3:lla.

(2) Toinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna -1:llä.

Kolmannen rivin jakaminen kolmella ei ole kovin järkevää.

Alkuainemuunnosten tuloksena saadaan ekvivalentti homogeeninen järjestelmä , ja käyttämällä Gaussin menetelmän käänteistä liikettä on helppo varmistaa, että ratkaisu on ainutlaatuinen.

Vastaus:

Muotoilkaamme ilmeinen kriteeri: homogeenisella lineaariyhtälöjärjestelmällä on ainoa triviaali ratkaisu, Jos järjestelmämatriisin arvo(tässä tapauksessa 3) on yhtä suuri kuin muuttujien lukumäärä (tässä tapauksessa 3 kpl).

Lämmitämme ja viritämme radiomme alkeismuutosten aaltoon:

Esimerkki 2

Ratkaise homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä

Artikkelista Kuinka löytää matriisin sijoitus? muistamme rationaalisen menetelmän satunnaisesti pienentää matriisin lukuja. Muuten joudut teurastamaan suuria ja usein purevia kaloja. Näyte Näyte tehtävä oppitunnin lopussa.

Nollat ​​ovat hyviä ja käteviä, mutta käytännössä tapaus on paljon yleisempi, kun järjestelmän matriisin rivit lineaarisesti riippuvainen. Ja sitten yleisen ratkaisun ilmestyminen on väistämätöntä:

Esimerkki 3

Ratkaise homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä

Ratkaisu: kirjoitamme järjestelmän matriisin ja saamme sen alkeismuunnoksilla askelmuotoon. Ensimmäisen toimenpiteen tarkoituksena ei ole vain yhden arvon saaminen, vaan myös ensimmäisen sarakkeen numeroiden vähentäminen:

(1) Kolmas rivi lisättiin ensimmäiseen riviin kerrottuna -1:llä. Kolmas rivi lisättiin toiselle riville kerrottuna -2:lla. Vasemmassa yläkulmassa sain yksikön, jossa on "miinus", joka on usein paljon kätevämpi jatkomuunnoksille.

(2) Kaksi ensimmäistä riviä ovat samat, yksi niistä on poistettu. Rehellisesti, ei mukauttanut ratkaisua - se tapahtui. Jos teet muunnoksia mallissa, niin lineaarinen riippuvuus rivit ilmestyvät hieman myöhemmin.

(3) Lisää kolmannelle riville toinen rivi kerrottuna 3:lla.

(4) Ensimmäisen rivin etumerkkiä on muutettu.

Alkuainemuunnosten tuloksena saadaan vastaava järjestelmä:

Algoritmi toimii täsmälleen samalla tavalla kuin heterogeeniset järjestelmät. Muuttujat "istuivat portailla" ovat tärkeimmät, muuttuja, joka ei saanut "askeleita", on vapaa.

Ilmaisemme perusmuuttujat vapaalla muuttujalla:

Vastaus: yhteinen päätös:

Triviaaliratkaisu sisältyy yleiskaavaan, eikä sitä tarvitse kirjoittaa erikseen.

Varmistus suoritetaan myös tavanomaisen kaavion mukaan: tuloksena oleva yleinen ratkaisu on substituoitava järjestelmän kunkin yhtälön vasempaan puolelle ja kaikille substituutioille saadaan oikeutettu nolla.

Tämä voitaisiin hiljaa lopettaa, mutta homogeenisen yhtälöjärjestelmän ratkaisu on usein esitettävä vektorimuodossa käyttämällä perustavanlaatuinen päätösjärjestelmä. Unohda tilapäisesti analyyttinen geometria, koska nyt puhumme vektoreista yleisessä algebrallisessa mielessä, jonka avasin hieman artikkelissa matriisin arvo. Terminologiaa ei tarvitse varjostaa, kaikki on melko yksinkertaista.