Homogeenisen sauvan pituussuuntaiset värähtelyt. Pituusaallot Tangon pitkittäisvärähtelyjen yhtälö

Viitaten värähtelyjen perusdifferentiaaliyhtälöihin, huomaamme, että kun kerromme ne arvolla - = k 2, ne sisältävät termejä, joista yhdellä on kerroin neliöituna nopeuden kanssa Ja poikittaisvärähtelyt, muut - nopeuden neliö pituussuuntainen vaihtelut.

Pitkittäisten värähtelyjen ensimmäisten termien täytyy kadota yhtälöistä, ja saamme ensimmäisen ryhmän:

Koska pinta p on valintamme mukaan aallon pinta, § 7:n yhtälöissä on säilytettävä yksi värähtely R ja sama kuin nolla värähtelyä /?! Ja R.2, esiintyy aallon tangentissa. Tämän seurauksena löydämme asetuksella // =1:

Koska A = 0, yhtälöt (1) saavat muodon:

Kerrotaan ensimmäinen yhtälöstä (2) //i // 2 :lla, erotetaan p:n suhteen ja kiinnitetään huomiota yhtälöön (4), saadaan:

Mitä yhtälöiden (2) mukaan B ei riipu px tai [–]. Siksi merkitys läpi &F funktion osittainen derivaatta F yksi muuttujista ^, R. 2, saamme yhtälöstä (7):

Korvaamalla tähän lausekkeeseen suuret H 1H 2 löytyy p.p. 3, nollaamalla kertoimet eri asteilla, löydämme seuraavat ehdot, jotka aallon Ф - i on täytettävä

Se tiedetään että sellaiset suhteet pätevät vain pallo, pyöreä sylinteri ja taso.

Siksi meillä on Mitä isotermiset aaltopinnat voivat levittää pitkittäisiä värähtelyjä.

Joten jos tärinäpinta tai alkuaalto ei kuulu isotermisten aaltojen pintoihin, tapahtuu niiden värähtelyjä lähellä sekoitettu , mutta huomattavilta etäisyyksillä aalto lähestyy yhtä isotermistä aallosta, ja ilmiössä havaitaan vaihteluja pituussuuntainen. LOPETTAA!!!

Jää vielä integroida pallon pelkistetyt differentiaaliyhtälöt käyttämällä harmoniset toiminnot!!!

Teslan kokeet – harmoninen oskillaattori - ei voida hyväksyä!!!

varten pallot jo käyttämissämme koordinaateissa meillä on:

Muut muunnokset ovat merkityksettömiä, eikä niitä anneta, koska ne johtavat alkuperäinen yhtälö , jolla ei ole fyysistä merkitystä solitonin kaltaisille aalloille.

Löydetyt johtopäätökset ovat yhtä lailla sovellettavissa valoilmiöihin homogeenisissa kappaleissa ja lisäksi Boussinesqin teoriassa esiintyvien approksimaatioiden rajoissa!?

Täältä:"tuskan hetki" paljastettiin.

N. Umovin matemaattinen kokoelma, osa 5, 1870.

Toinen "kauhea" epävarmuus

Samalla tavalla väittäen voitaisiin helposti saada samanlainen lauseke magneettiselle energialle ja siten virroille. Näemme sen, Vaikka vaadittaisiin yksinkertaisimpia kaavoja, energian lokalisoinnin ongelmaa ei silti voida ratkaista.

Ja meillä on sama energian virtauksen suhteen. Virran energian liikettä voidaan muuttaa mielivaltaisella tavalla lisäämällä Poynting-vektoriin toinen vektori (u, v, w), jonka tulee täyttää vain kokoonpuristumattomien nesteiden yhtälö.

Seurauksena yleiset yhtälöt, ei lisää niihin mitään.

Siksi energian lokalisointi on loogisesti hyödytöntä.(ja joskus haitallista).

Mutta on näkökohta, jossa on tärkeää ottaa huomioon Poyntingin lause.

Pääasia, josta energian säilymisen laki syntyy, oli ja on edelleen kokeellisesti löydetty tosiasia mahdottomuudesta ikiliikkuja , tosiasia - ideoistamme riippumatta, ja sen voidaan katsoa johtuvan energian osista, jotka eetterillä pitäisi olla aineellisten kappaleiden puuttuessa.

Energian säilymisen laki sen klassisessa muodossa W = Const selittää tämän mahdottomuuden.

Osoittamisen lause, jotka edellyttävät muuntautumiskykyä äänenvoimakkuuden integraali(hieman mielivaltainen) sisään pinta, ilmaisee paljon vähemmän. Se myöntää helposti ikuisen liikkeen luomisen kykenemättä osoittamaan sen mahdottomuutta.!

Itse asiassa, kunnes esittelemme hypoteesin hidastuneet mahdollisuudet, jatkuva energian vapautuminen äärettömyydestä tulevista lähentyvistä aalloista on yhtä todennäköistä kuin tosiasiallisesti havaittu energian menetys.

Jos moottori voisi ikuisesti ottaa vain eetterin energian, riippumatta aineellisten kappaleiden läsnäolosta, ikiliikkuja . Siten tulee selväksi, että ennen kuin hyväksymme hidastettujen potentiaalien kaavan, meidän on todistettava, että kiihdytetty hiukkanen menettää energiaa ja sen seurauksena siihen kohdistuu vastavaikutus, joka on verrannollinen sen kiihtyvyyden derivaatan määrään.

Vaihda vain merkki c päästäkseen konvergoivan aallon hypoteesiin.

Sitten löydämme mikä merkki säteilyn vektori myös muuttuu, ja uusi hypoteesi johtaa esimerkiksi värähtelevän hiukkasen tapauksessa amplitudin asteittaiseen kasvuun ajan myötä, mutta yleensä – lisäämään järjestelmän energiaa?!

Luonnossa solitonit ovat:

– nesteen pinnalla tsunami-aallot pitävät joskus luonnosta löydettyjä solitoneita sellaisina

- erityyppiset vesivasarat

– äänirummut – yliäänen voittaminen

– ionosonic ja magnetosonic solitonit plasmassa

ovat solitonit lyhyiden valopulssien muodossa laseraktiivisessa väliaineessa

- oletettavasti esimerkki solitonista on jättiläinen kuusikulmio Saturnuksella

– voidaan pitää solitoneina hermoimpulssit , .

Matemaattinen malli, Korteweg-de Vriesin yhtälö.

Yksi yksinkertaisimmista ja tunnetuimmista malleista, joka sallii solitonien olemassaolon ratkaisussa, on Korteweg-de Vriesin yhtälö:

u t + uu x + β u xxx = 0.

Yksi mahdolliset ratkaisut annettu yhtälö on yksinäinen yksinäinen:

Epävarmuuslauseet harmonisessa analyysissä

Harmoninen oskillaattori kvanttimekaniikassa sitä kuvaa yhtälö Schrödinger,

Yhtälö (217.5) kutsutaan Schrödingerin yhtälöksi paikallaanolleille tiloille.

Kvanttioskillaattorin stationääritilat määräytyvät yhtälöllä Schrödinger ystävällinen

Missä E on oskillaattorin kokonaisenergia.

Differentiaaliyhtälöiden teoriassa on todistettu, että yhtälö (222.2) on ratkaistu vain energian ominaisarvoille

Kaava (222.3) osoittaa, että kvanttioskillaattorin energia on kvantisoitu.

Energia on rajattu alhaalta muualta kuin nollasta, kuten suorakaiteen kohdalla "kuopat"äärettömän korkeilla "seinillä" (katso M. § 220), minimienergia-arvo

E 0 = 1/2 ℏ w 0 . Minimienergian olemassaoloa kutsutaan nollapisteen energia– on tyypillistä kvanttijärjestelmille ja on suora seuraus siitä epävarmuussuhteet.

SISÄÄN harmoninen analyysi epävarmuusperiaate tarkoittaa, että on mahdotonta saada tarkasti funktion arvoja ja sen Fourier-kuvausta - ja tehdä siten tarkat laskelmat.

Eli mallinnus, generointi ja analogia luonnon prosessien ja muotojen samankaltaisuuden periaatteiden mukaisesti käyttäen harmoninen oskillaattori – ei mahdollista.

erilaisia ​​tyyppejä matemaattinensolitonit toistaiseksi tiedetään vähän, eivätkä ne kaikki sovellu objektien kuvaamiseen kolmiulotteinen tilaa, erityisesti siinä tapahtuvia prosesseja Luonto.

Esimerkiksi, tavalliset solitonit, jotka esiintyvät Korteweg–de Vries -yhtälössä, lokalisoidaan vain yhteen ulottuvuuteen, jos sen "juosta" kolmiulotteisessa maailmassa, niin se näyttää siltä loputon litteä kalvo lentää eteenpäin, lievästi sanottuna abrakadabra!!!

Luonnossa tällaisia ​​äärettömiä kalvoja ei havaita, mikä tarkoittaa sitä alkuperäinen yhtälö ei sovellu kolmiulotteisten kohteiden kuvaamiseen.

Tässä piilee harmonisten funktioiden käyttöönoton virhe. – oskillaattorit, kytkennät sekavärähtelyjen tapauksessa.Yhdistetty samankaltaisuuslaki, , mutta se on toinen tarina, joka johtaa solitonien teoria järjestelmällinen epävarmuus, .

Tässä osiossa tarkastellaan homogeenisen sauvan pitkittäisvärähtelyjen ongelmaa. Tanko on lieriömäinen (erityisesti prismamainen) runko, jonka venyttämiseksi tai puristamiseksi on käytettävä tunnettua voimaa. Oletetaan, että kaikki voimat vaikuttavat tangon akselia pitkin ja jokainen tangon poikkileikkaus (kuva 23) liikkuu translaatiosuunnassa vain tangon akselia pitkin.

Tämä oletus on yleensä perusteltu, jos tangon poikittaismitat ovat pienet sen pituuteen verrattuna ja tangon akselia pitkin vaikuttavat voimat ovat suhteellisen pieniä. Käytännössä pitkittäisvärähtelyjä esiintyy useimmiten, kun tankoa ensin hieman venytetään tai päinvastoin puristetaan ja jätetään sitten itsestään. Tässä tapauksessa siinä syntyy vapaita pitkittäisiä värähtelyjä. Johdetaan yhtälöt näille värähtelyille.

Ohjataan abskissa-akseli tangon akselia pitkin (kuva 23); levossa tangon päissä on vastaavasti abskissat Tarkastellaan leikkausta ; - sen abskissa levossa.

Tämän jakson siirtymä milloin tahansa t on karakterisoitu funktiolla, jonka löytämiseksi meidän on muodostettava differentiaaliyhtälö. Ensinnäkin löydetään osien rajoittaman tangon leikkauksen suhteellinen venymä. Jos leikkauksen abskissa levossa , niin tämän leikkauksen siirtymä ajanhetkellä t korkeamman asteen infinitesimaaliin asti on yhtä suuri kuin

Tästä syystä tangon suhteellinen venymä abskissalla hetkellä t on yhtä suuri kuin

Olettaen, että tämän venymän aiheuttavat voimat noudattavat Hooken lakia, saadaan poikkileikkaukseen vaikuttavan vetovoiman T suuruus:

(5.2)

missä on tangon poikkileikkauspinta-ala ja on tangon materiaalin kimmomoduuli (Youngin moduuli). Kaavan (5.2) tulee olla lukijan hyvin tiedossa materiaalien lujuuskurssin perusteella.

Vastaavasti osaan vaikuttava voima on yhtä suuri kuin

Koska voimat korvaavat tangon hylättyjen osien toiminnan, niiden resultantti on yhtä suuri kuin erotus

Ottaen huomioon sauvan valitun osan aineellinen kohta massalla , missä on sauvan bulkkitiheys, ja soveltamalla siihen Newtonin toista lakia, muodostamme yhtälön

Vähentämällä ja ottamalla käyttöön merkintä, saamme differentiaaliyhtälön free pitkittäisvärähtelyt sauva

Jos lisäksi oletetaan, että tankoon kohdistuu tilavuusyksikköä kohti laskettu ulkoinen voima, joka vaikuttaa tangon akselilla, niin suhteen (5 3) oikealle puolelle lisätään termi ja yhtälö (5.4) ottaa muodossa

joka on täsmälleen sama kuin merkkijonon pakotettujen värähtelyjen yhtälö.

Siirrytään nyt ongelman alku- ja reunaehtojen määrittämiseen ja tarkastellaan käytännössä mielenkiintoisinta tapausta, jolloin tangon toinen pää on kiinteä ja toinen vapaa.

Vapaassa päässä rajaehdolla on eri muoto. Koska tässä päässä ei ole ulkoisia voimia, tulee myös osuuteen vaikuttavan voiman T olla nolla, ts.

Värähtelyjä syntyy, koska alkuhetkellä sauva oli vääntynyt (venynyt tai puristettu) ja tangon pisteille annettiin tietyt alkunopeudet. Siksi meidän on tiedettävä tangon poikkileikkausten siirtymä tällä hetkellä

sekä tangon pisteiden alkunopeudet

Joten ongelma toisessa päässä kiinnitetyn tangon vapaista pitkittäisvärähtelyistä, jotka johtuvat alkuperäisestä puristamisesta tai jännityksestä, on johtanut meidät yhtälöön

alkuehtojen kanssa

ja rajaehdot

Se on viimeinen ehto, joka erottaa matemaattiselta kannalta tarkasteltavan ongelman molempiin päihin kiinnitetyn kielen värähtelyongelmasta.

Ratkaisemme muotoillun ongelman Fourier-menetelmällä, eli etsimme yhtälön tietyt ratkaisut, jotka täyttävät reunaehdot (5.8), muodossa

Koska ratkaisun jatkokulku on samanlainen kuin 3 §:ssä on jo esitetty, rajoitamme lyhyisiin ohjeisiin. Erottamalla funktio, korvaamalla tuloksena olevat lausekkeet lausekkeella (5.6) ja erottamalla muuttujat, saadaan

(Jätetään lukijan tehtäväksi itse todeta, että reunaehtojen vuoksi oikeanpuoleinen vakio ei voi olla positiivinen luku tai nolla.) Yhteinen päätös yhtälöllä on muoto

Toiminnalle asetettujen ehtojen vuoksi meillä on

Ratkaisut, jotka eivät ole identtisesti yhtä suuret kuin nolla, saadaan vain, jos ehto täyttyy, eli , jossa k voi ottaa arvot

Joten ongelman ominaisarvot ovat numeroita

Jokaisella on oma tehtävänsä

Kuten jo tiedämme, kertomalla mikä tahansa ominaisfunktio mielivaltaisella vakiolla, saamme yhtälön ratkaisun rajaehdoilla. Se on helppo tarkistaa antamalla numero k negatiiviset arvot, emme saa uusia ominaisfunktioita (esimerkiksi kun saamme funktion, joka eroaa ominaisfunktiosta ) vain etumerkillä),

Osoitetaan ensin, että ominaisfunktiot (5.11) ovat ortogonaalisia välillä . Todellakin, klo

Jos sitten

Ominaisuusfunktioiden ortogonaalisuus voidaan todistaa toisella tavalla, ei niiden eksplisiittisiin lausekkeisiin luottaen, vaan käyttämällä vain differentiaaliyhtälöä ja reunaehtoja. Olkoon ja kaksi erilaista ominaisarvoa ja niitä vastaavat ominaisfunktiot. Määritelmän mukaan nämä funktiot täyttävät yhtälöt

ja reunaolosuhteet. Kerro ensimmäinen yhtälöstä toisella ja vähennä yksi toisesta.

ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (tulostus) doi: http://dx.doi UDC 517.956.3

JOUSTAVASTI KIINTEÄN KUORMITETUN TANGAN PITKITÄÄRINÄIDEN ONGELMA

A. B. Beilin

Samaran osavaltio Teknillinen yliopisto, Venäjä, 443100, Samara, st. Molodogvardeyskaya, 244.

huomautus

Tarkastellaan paksun lyhyen tangon yksiulotteisia pitkittäisiä värähtelyjä, jotka on kiinnitetty päihin keskittyneiden massojen ja jousien avulla. Matemaattisena mallina käytetään neljännen asteen hyperbolisen yhtälön alkuraja-arvoongelmaa dynaamisilla rajaehdoilla. Tämän mallin valinta johtuu tarpeesta ottaa huomioon tangon muodonmuutoksen vaikutukset poikittaissuunnassa, jonka laiminlyönti, kuten Rayleigh osoittaa, johtaa virheeseen, jonka vahvistaa nykyaikainen ei- paikallinen käsite värähtelyjen tutkimisesta kiinteät aineet. Tutkittavan ongelman kuorman kanssa ortogonaalisen ominaisfunktiojärjestelmän olemassaolo todistetaan ja niiden esitys saadaan. Ominaisuusfunktioiden vakiintuneet ominaisuudet mahdollistivat muuttujien erottelumenetelmän soveltamisen ja ongelman ainutlaatuisen ratkaisun olemassaolon osoittamisen.

Avainsanat: dynaamiset reunaehdot, pitkittäisvärähtelyt, kuorman ortogonaalisuus, Rayleigh-malli.

Johdanto. Jokaisessa toimivassa mekaanisessa järjestelmässä tapahtuu värähtelyprosesseja, jotka voivat johtua useista syistä. Värähtelyprosessit voivat johtua järjestelmän suunnitteluominaisuuksista tai kuormien uudelleenjaosta normaalisti toimivan rakenteen eri elementtien välillä.

Värähtelyprosessien lähteiden läsnäolo mekanismissa voi vaikeuttaa sen tilan diagnosointia ja jopa johtaa sen toimintatilan rikkomiseen ja joissakin tapauksissa tuhoon. Erilaiset ongelmat, jotka liittyvät mekaanisten järjestelmien tarkkuuden ja suorituskyvyn rikkomiseen joidenkin niiden elementtien värähtelyn seurauksena, ratkaistaan ​​usein käytännössä kokeellisesti.

Samalla värähtelevät prosessit voivat olla erittäin hyödyllisiä esimerkiksi materiaalien käsittelyssä, liitosten kokoamisessa ja purkamisessa. Ultraäänivärähtelyt eivät vain tehosta korkeakovien materiaalien (volframia sisältävät, titaanikarbiditeräkset jne.) leikkausprosesseja (poraus, jyrsintä, hionta jne.),

© 2016 Samaran osavaltion teknillinen yliopisto. Esimerkki lainauksesta

Beilin, A.B., Elastisesti kiinteän kuormitetun tangon pituussuuntaisten värähtelyjen ongelma, Vestn. Itse. osavaltio tekniikka. yliopisto Ser. Fys.-Math. Nauki, 2016. V. 20, No. 2. P. 249258. doi: 10.14498/vsgtu1474. Kirjailijasta

Alexander Borisovich Beilin (tohtori, ass.; [sähköposti suojattu]), apulaisprofessori, osasto automatisoidut kone- ja työkalujärjestelmät.

mutta joissakin tapauksissa siitä tulee ainoa mahdollinen menetelmä hauraiden materiaalien (germanium, pii, lasi jne.) käsittelyyn. Laiteelementti (aaltoputki), joka lähettää ultraäänivärähtelyt lähteestä (vibraattorista) instrumenttiin kutsutaan keskittimeksi ja voi olla eri muotoinen: sylinterimäinen, kartiomainen, porrastettu, eksponentiaalinen jne. Sen tarkoitus on välittää tarvittavan amplitudin vaihtelut instrumentille.

Siten värähtelyprosessien esiintymisen seuraukset voivat olla erilaisia, samoin kuin niitä aiheuttavat syyt, joten luonnollisesti syntyy tarve värähtelyprosessien teoreettiselle tutkimukselle. Matemaattinen malli aallon etenemisestä suhteellisen pitkissä ja ohuissa kiinteissä sauvoissa, joka perustuu toisen asteen aaltoyhtälöön, on hyvin tutkittu ja siitä on tullut pitkään klassikko. Kuten Rayleigh osoittaa, tämä malli ei kuitenkaan ole täysin yhdenmukainen paksun lyhyen sauvan värähtelyjen tutkimuksen kanssa, kun taas monet todellisten mekanismien yksityiskohdat voidaan tulkita lyhyiksi ja paksuiksi sauvoiksi. Tässä tapauksessa on otettava huomioon myös tangon muodonmuutokset poikittaissuunnassa. Matemaattista paksun lyhyen tangon pitkittäisvärähtelyjen matemaattista mallia, joka ottaa huomioon tangon poikittaisliikkeen vaikutukset, kutsutaan Rayleigh-sauvaksi ja se perustuu neljännen asteen hyperboliseen yhtälöön.

^^- IX (a(x)e)-dx (b(x))=; (xL (1)

joiden kertoimet ovat fyysinen merkitys :

g(x) = p(x)A(x), a(x) = A(x)E(x), b(x) = p(x)u2(x)1p(x),

missä A(x) on poikkileikkauspinta-ala, p(x) on tangon massatiheys, E(x) on Youngin moduuli, V(x) on Poissonin suhde, 1P(x) on polaarinen hitausmomentti , u(x, b) - pitkittäissiirtymät määritettävä.

Rayleighin ideat ovat saaneet vahvistuksensa ja kehittyneensä nykyaikaisissa töissä, jotka on omistettu värähtelyprosesseille sekä plastisuusteorialle. Katsausartikkelissa perustellaan puutteita klassisissa malleissa, jotka kuvaavat kiinteiden aineiden tilaa ja käyttäytymistä kuormituksen alaisena, jolloin a priori kehoa pidetään ihanteellisena jatkumona. Luonnontieteen nykyaikainen kehitystaso edellyttää uusien mallien rakentamista, jotka kuvaavat riittävästi tutkittavia ja viime vuosikymmeninä kehitettyjä prosesseja. matemaattisia menetelmiä anna tämä mahdollisuus. Tällä tiellä viime vuosisadan viimeisellä neljänneksellä ehdotettiin uutta lähestymistapaa monien fysikaalisten prosessien tutkimukseen, mukaan lukien edellä mainitut, ei-lokaalisuuden käsitteen perusteella (katso artikkeli ja siinä oleva lähdeluettelo). Yhtä tekijöiden tunnistamista ei-paikallisista mallien luokista kutsutaan nimellä "heikosti ei-paikallinen". Tähän luokkaan kuuluvia matemaattisia malleja voidaan toteuttaa lisäämällä derivaattoja jotakin prosessia kuvaavaan yhtälöön korkea järjestys, mikä mahdollistaa jossain likimäärin huomioiden tutkimuskohteen sisäisten elementtien vuorovaikutuksen. Siten Rayleigh-malli on ajankohtainen meidän aikanamme.

1. Ongelman kuvaus. Kiinnitetään tangon x = 0, x = I päät kiinteään alustaan ​​keskitettyjen massojen N1, M2 ja jousien avulla, joiden jäykkyydet ovat K1 ja K2. Oletetaan, että sauva on kierroskappale 0x-akselin ympäri ja alkuhetki on levossa tasapainoasennossa. Sitten päästään seuraavaan alkuraja-arvoongelmaan.

Tehtävä. Etsi alueelta Qt \u003d ((0,1) x (0, T) : 1,T< те} "решение уравнения (1), удовлетворяющее начальным данным

u(x, 0) = (p(x), u(x, 0) = φ(x) ja reunaehdot

a(0)ux(0, r) + b(0)uu(0, r) - k^(0, r) - M1u(0, r) = 0, a(1)ux(1, r) + b(1)uu(1, r) + K2u(1, r) + M2uu(1, r) = 0. ()

Artikkelissa tarkastellaan eräitä ongelman (1)-(2) erikoistapauksia ja annetaan esimerkkejä, joissa yhtälön kertoimet ovat eksplisiittisessä muodossa ja M\ = M2 = 0. Artikkeli osoittaa ongelman yksiselitteisen heikon ratkaistavuuden yleisesti tapaus.

Olosuhteet (2) määräytyvät tangon kiinnitysmenetelmällä: sen päät kiinnitetään kiinteisiin alustoihin joidenkin laitteiden avulla, joiden massa on M1, M2, ja jousien avulla, joiden jäykkyys on K1, K2. Massien läsnäolo ja poikittaissiirtymien salliminen johtaa muotoon (2) oleviin olosuhteisiin, jotka sisältävät aikaderivaatat. Aikaderivaatteja sisältäviä rajaehtoja kutsutaan dynaamiksi. Ne voivat syntyä erilaisissa tilanteissa, joista yksinkertaisimmat on kuvattu oppikirjassa ja paljon monimutkaisemmat monografiassa.

2. Tangon luonnollisten värähtelyjen tutkimus. Harkitse homogeeninen yhtälö vastaa yhtälöä (1). Koska kertoimet riippuvat vain x:stä, voimme erottaa muuttujat esittämällä u(x, z) = X(x)T(z). Saamme kaksi yhtälöä:

m""(r) + \2m(r) = 0,

((a(x) - A2b(x))X"(x))" + A2dX(x) = 0. (3)

Yhtälöön (3) liittyy reunaehtoja

(a(0) - \2b(0))X"(0) - (K1 - \2M1)X(0) = 0,

(a(1) - \2b(1))X"(1) + (K2 - \2M2)X(I) = 0. (4)

Siten olemme päässeet Sturm-Liouvillen ongelmaan, joka eroaa klassisesta siinä, että spektriparametri Λ sisältyy yhtälön korkeimman derivaatan kertoimeen sekä reunaehtoihin. Tämä seikka ei salli meidän viitata kirjallisuudesta tunnettuihin tuloksiin, joten välittömänä tavoitteenamme on tutkia ongelmaa (3), (4). Muuttujien erottelumenetelmän onnistuneeseen toteuttamiseen tarvitsemme tietoa ominaisarvojen olemassaolosta ja sijainnista, laadullisista

ominaisfunktioiden ominaisuudet: onko niillä ortogonaalisuuden ominaisuus?

Osoitetaan, että A2 > 0. Oletetaan, että näin ei ole. Olkoon X(x) tehtävän (3), (4) ominaisfunktio, joka vastaa arvoa A = 0. Kerrotaan (3) X(x):llä ja integroidaan tuloksena oleva yhtälö väliin (0,1). Integrointi osilla ja rajaehtojen soveltaminen (4), jälkeen alkeellisia muunnoksia saamme

1(0) - A2b(0))(a(1) - A2b(1)) I (dX2 + bX"2) dx+

N\X 2(0) + M2X 2(1)

I aX "2<1х + К\Х2(0) + К2Х2(1). Jo

Huomaa, että funktioiden a(x), b(x), g(x) ovat positiivisia, Kr, Mr ei-negatiivisia fysikaalisesta merkityksestä. Mutta sitten tuloksena olevasta yhtälöstä seuraa, että X "(x) \u003d 0, X (0) \u003d X (1) \u003d 0, siis X (x) \u003d 0, mikä on ristiriidassa tehdyn oletuksen kanssa. oletus, että tuo nolla on tehtävän (3), (4) ominaisarvo, on väärä.

Yhtälön (3) ratkaisun esitystapa riippuu lausekkeen a(x) - - A2b(x) etumerkistä. Osoitetaan, että a(x)-A2b(x) > 0 Vx e (0,1). Korjaamme mielivaltaisesti x e (0, 1) ja löydämme funktioiden a(x), b(x), q(x) arvot tästä pisteestä. Kirjoitamme yhtälön (3) muotoon

X "(x) + VX (x) \u003d 0, (5)

mihin merkitsimme

valitussa kiinteässä kohdassa, ja ehdot (4) voidaan kirjoittaa muotoon

X "(0) - aX (0) \u003d 0, X" (1) + bX (I) \u003d 0, (6)

missä a, b on helppo laskea.

Kuten tiedetään, klassisessa Sturm-Liouvillen ongelmassa (5), (6) on laskettava joukko ominaisfunktioita arvolle V > 0, josta x:n mielivaltaisuudesta johtuen seuraa haluttu epäyhtälö.

Tehtävän (3), (4) ominaisfunktioilla on ominaisuus ortogonaalisuus kuorman kanssa, ilmaistuna suhteella

I (dXm (x) Xn (x) + bX "m (x) X" p (x))<х+ ■)о

M1Xm(0)Xn(0) + M2Xm(1)Xn (I) = 0, (7)

joka voidaan saada tavanomaisella tavalla (ks. esim. ), jonka toteutus tarkasteltavana olevan ongelman tapauksessa liittyy alkeellisiin, mutta vaivalloisiin laskelmiin. Esitellään lyhyesti sen johtaminen jättämällä pois funktioiden Xr(x) argumentti, jotta vältytään hankalalta.

Olkoon λm, λn eri ominaisarvoja, λm, λn niitä vastaavat tehtävän (3), (4) ominaisfunktiot. Sitten

((a - L2mb)X"t)" + L2tdXm = 0, ((a - L2nb)X"n)" + L2pdXp = 0.

Kerromme ensimmäisen näistä yhtälöistä Xn:llä ja toisen Xm:llä ja vähennämme toisen ensimmäisestä. Alkeismuunnosten jälkeen saamme tasa-arvon

(Lt - Lp) YHtXp \u003d (aXtXP) "- LP (bXtX" p) "- (aX "tXp)" + Rt (bXtXp)",

jonka integroimme intervallin (0,1) yli. Tuloksena, kun otetaan huomioon (4) ja vähennetään (Лт - Лп), saadaan relaatio (7).

Todistetut lausunnot Sturm-Liouville-ongelman ominaisarvojen ja ominaisfunktioiden ominaisuuksista (3), (4) antavat meille mahdollisuuden soveltaa muuttujien erottelumenetelmää ongelman ratkaisun löytämiseksi.

3. Ongelman ratkaistavuus. Merkitse

C(CT) = (u: u e C(St) P C2(St), uixx e C^m)).

Lause 1. Olkoon a, b e C1 , e C. Silloin on olemassa enintään yksi ratkaisu u e C(m) tehtävälle (1), (2).

Todiste. Oletetaan, että tehtävälle (1), (2), u1(x, z) ja u2(x, z) on kaksi eri ratkaisua. Tällöin niiden ero u = u1 - u2 on tehtävän lineaarisuuden vuoksi ratkaisu homogeeniseen tehtävään, joka vastaa kohtia (1), (2). Osoittakaamme, että sen ratkaisu on triviaali. Huomaamme etukäteen, että yhtälön kertoimien fysikaalisesta merkityksestä ja reunaehtoista funktiot a, b, q ovat positiivisia kaikkialla Qm:ssä, kun taas M^, K^ ovat ei-negatiivisia.

Kerrotaan yhtälö (1) u:lla ja integroidaan alueen Qt yli, missä t e ja mielivaltaisesti, yksinkertaisten muunnosten jälkeen saadaan

/ (di2(x, m) + au2x(x, m) + buXl(x, m)) ux + ./o

K1u2(0, m) + M1u2(0, m) + K2u2(1, m) + M2u2(1, m) = 0,

josta m:n mielivaltaisuuden johdosta lauseen väite seuraa välittömästi. □

Todistetaan ratkaisun olemassaolo vakiokertoimien tapaukselle.

Lause 2. Olkoon<р е С2, <р(0) = <р(1) = (0) = ц>"(\) = 0, sillä on kolmannen asteen paloittain jatkuva derivaatta kohdassa (0,1), φ e C 1, φ(0) = φ(1) = 0, ja sillä on toisen kertaluvun paloittain jatkuva derivaatta kohdassa ( 0,1), f e C(C^m), niin tehtävän (1), (2) ratkaisu on olemassa ja se voidaan saada ominaisfunktioiden sarjan summana.

Todiste. Kuten tavallista, etsimme ratkaisua ongelmaan summan muodossa

jossa ensimmäinen termi on (1) vastaavan homogeenisen yhtälön formuloidun ongelman ratkaisu, toinen on yhtälön (1) ratkaisu, joka täyttää nollan alku- ja reunaehtoa. Käytetään edellisessä kappaleessa tehtyjen tutkimusten tuloksia ja kirjoitetaan yhtälön (3) yleinen ratkaisu:

X(x) = Cr cos A J-+ C2 sin Aw-^rrx.

\¡ a - A2b \¡ a - A2b

Soveltamalla reunaehtoja (4) saamme yhtälöjärjestelmän Cj:lle!

(a - A2b)c2 - (Ki - A2Mi)ci = 0,

(-A(a - A2b) sin Ayja-A¡bl + (K - A2M2) cos A^O-A^l) ci+

Kun sen determinantti lasketaan nollaan, saadaan spektriyhtälö

ctg \u003d (a - A4) A2 "- (K - A? Mí) (K2 - A "M). (8)

b Va - A2b A^q(a - A2b) (Ki + K2 - A2 (Mi + M2))

Selvitetään, onko tällä transsendenttisella yhtälöllä ratkaisu. Tätä varten harkitse sen vasemmalla ja oikealla puolella olevia toimintoja ja tutki niiden toimintaa. Rajoittamatta yleisyyttä liikaa, asetimme

Mi = M2 = M, Kg = K2 = K,

mikä yksinkertaistaa hieman tarvittavia laskelmia. Yhtälö (8) saa muodon

x I q , Aja - A2b Jq K - A2M ctg A\Z-^l =

a - A2b 2(K - A2M) 2A^^0-A2b"

ja kirjoita spektriyhtälö uudella merkinnällä!

aqlß Kql2 + ß2 (Kb - aM)

2Kql2 + 2^2(Kb - aM) 2/j.aql

Viimeisen yhtälön vasemman ja oikean osan funktioiden analyysi antaa meille mahdollisuuden väittää, että on olemassa laskettava joukko sen juuria ja siten Sturm-Liouvillen ongelman (3), (4) laskettava joukko ominaisfunktioita. , joka, kun otetaan huomioon järjestelmästä c¿:n suhteen saatu relaatio, voidaan kirjoittaa

v / l l I q K - x 2pm. l i q

Xn(x) = COS XnJ-myx + ----sin XnJ-myx.

V a - A2b AnVa - ftb^q V a - A2b

Nyt lähdetään etsimään ratkaisua, joka täyttää myös alkuehdot. Voimme nyt helposti löytää ongelman ratkaisun homogeeniselle yhtälölle sarjan muodossa

u(x,t) = ^Tn(t)Xn(x),

jonka kertoimet voidaan löytää lähtötiedoista käyttämällä funktioiden Xn(x) ortogonaalisuusominaisuutta, jonka normi saadaan suhteesta (7):

||X||2 = f (qX2 + bX%)dx + MiX2(0) + M2x2(l). ■ Jo

Myös funktion v(x,t) etsintäprosessi on olennaisesti vakio, mutta huomaamme silti, että ratkaisua etsitään perinteisessä muodossa

v(x,t) = ^ Tn(t)Xn(x),

saamme kaksi yhtälöä. Todellakin, ottaen huomioon ominaisfunktioiden muodon, määritellään sen sarjan rakenne, josta etsimme ratkaisua:

j(x,t) = ^ (Vn(t)cos Xn^J a b x+

Wn(t) K-XnM~sin X^ GAirx). (9)

v JXnVa - xnb^q V a - xn"

Nollan alkuehtojen y(x, 0) = y^x, 0) = 0 täyttämiseksi edellytämme, että Yn(0) = Yn(0) = 0, Wn(0) = W(0) = 0. f( x, d) Fourier-sarjaksi ominaisfunktioiden Xn(x) suhteen, saadaan kertoimet ¡n(b) ja dn(b). Korvaamalla (9) yhtälöön (1), joka on kirjoitettu suhteessa y(x, b) muunnossarjan jälkeen, saadaan yhtälöt Yn(b) ja Shn(b) löytämiseksi:

uc® + >&pYu =

™ + xn Wn (<) = Xn (-a-iKrW g

Ottaen huomioon alkuehdot Yn(0) = Y,(0) = 0, Shn(0) = W,(0) = 0, päädymme Cauchyn ongelmaan kullekin funktiolle Yn(b) ja Shn( b), jonka ainutlaatuinen ratkaistavuus on lauseen ehtojen takaama. Lauseen muotoiltujen lähtötietojen ominaisuudet eivät jätä epäilystäkään kaikkien tutkimuksen aikana syntyneiden sarjojen konvergenssista ja siten ongelman ratkaisun olemassaolosta. □

Johtopäätös. Tutkittavan ongelman kuorman kanssa ortogonaalisen ominaisfunktiojärjestelmän olemassaolo todistetaan ja niiden esitys saadaan.

Ominaisuusfunktioiden määritetyt ominaisuudet mahdollistivat ainutlaatuisen ratkaisun olemassaolon osoittamisen ongelmaan. Huomaa, että artikkelissa saatuja tuloksia voidaan käyttää sekä dynaamisten rajaehtojen ongelmien teoreettisiin lisätutkimuksiin että käytännön tarkoituksiin, nimittäin useiden teknisten kohteiden pitkittäisvärähtelyjen laskemiseen.

Alexander Borisovich Beilin: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860

VIITTEET

1. Nerubay M. S., Shtrikov B. L., Kalashnikov V. V. Ultraäänimekaaninen käsittely ja kokoonpano. Samara: Samara-kirjan kustantaja, 1995. 191 s.

2. Khmelev V. N., Barsukov R. V., Tsyganok S. N. Materiaalien ultraääniulotteinen käsittely. Barnaul: Altain teknillinen yliopisto im. I.I. Polzunova, 1997. 120 s.

3. Kumabe D. Tärinäleikkaus. M.: Mashinostroenie, 1985. 424 s.

4. A. N. Tikhonov ja A. A. Samarskii, Equations of Mathematical Physics. M.: Nauka, 2004. 798 s.

5. Strett J. V. Ääniteoria. T. 1. M.: GITTL, 1955. 504 s.

6. Rao J. S. Advanced Theory of Vibration: Epälineaarinen värähtely ja yksiulotteiset rakenteet. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1992. 431 s.

7. Fedotov I. A., Polyanin A. D., Shatalov M. Yu. Kiinteän sauvan vapaan ja pakotetun värähtelyn teoria Rayleigh-mallin perusteella// DAN, 2007. V. 417, no. s. 56-61.

8. Bazant Z., Jirasek M. Ei-paikalliset integraaliset plastisuuden ja vaurion formulaatiot: Edistymisen tutkimus// J. Eng. Mech., 2002. osa 128, no. 11.s. 1119-1149. doi: 10.1061/(ASCE) 0733-9399(2002)128:11(1119).

9. A. B. Beilin ja L. S. Pulkina, "Dynaamisilla rajaolosuhteilla olevan tangon pitkittäisvärähtelyjen ongelma", Vestn. SamGU. Luonnontiede Ser., 2014. nro 3 (114). s. 9-19.

10. M. O. Korpusov, Murto ei-klassisissa aaltoyhtälöissä. M.: URSS, 2010. 237 s.

Vastaanotettu 10/II/2016; lopullisessa versiossa - 18/V/2016; hyväksytty julkaistavaksi - 27/V/2016.

Vestn. Samar. gos. Tekn. Unta. Ser. Phys.-mat. tiede

2016, voi. 20, ei. 2, s. 249-258 ISSN: 2310-7081 (online), 1991-8615 (tulostus) doi: http://dx.doi.org/10.14498/vsgtu1474

MSC: 35L35, 35Q74

ONGELMA JOUSTAVALLA KIINTEILLÄ VARALTA VARALTA VARTEN PITKITTÄINÄISESSÄ

Samaran osavaltion tekninen yliopisto,

244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100, Venäjän federaatio.

Tässä artikkelissa tutkimme pitkittäistä värähtelyä paksussa lyhyessä tangossa, joka on kiinnitetty pistevoimilla ja jousilla. Matemaattiselle mallille tarkastelemme raja-arvoongelmaa dynaamisilla reunaehdoilla neljännen asteen osittaisdifferentiaaliyhtälöön. Tämän mallin valinta riippuu tarpeesta ottaa huomioon poikittaisen venymän tulos. Rayleigh osoitti, että poikittaisen venymän laiminlyönti johtaa virheeseen. Tämän vahvistaa nykyaikainen ei-lokaalinen värähtelyteoria. Osoitamme ortogonaalien olemassaolon kuorman ominaisfunktioilla ja johdamme niiden esityksen. Ominaisuusfunktioiden vakiintuneet ominaisuudet mahdollistavat muuttujien erottelumenetelmän käytön ja ainutlaatuisen ratkaisun löytämisen ongelmaan.

Avainsanat: dynaamiset rajaehdot, pitkittäinen värähtely, kuormitettu ortogonaalisuus, Rayleigh'n malli.

Alexander B. Beylin: http://orcid.org/0000-0002-4042-2860

1. Nerubai M. S., Shtrikov B. L., Kalashnikov V. V. Ul "trazvukovaia mekhanicheskaia obrabotka i sborka. Samara, Samara Book Publ., 1995, 191 s. (venäjäksi)

2. Khmelev V. N., Barsukov R. V., Tsyganok S. N. Ul "trazvukovaia razmernaia obrabotka materialov. Barnaul, 1997, 120 s. (venäjäksi)

3. Kumabe J. Tärinäleikkaus. Tokyo, Jikkyou Publishing Co., Ltd., 1979 (japaniksi).

4. Tikhonov A. N., Samarsky A. A. Uravneniia matematicheskoi fiziki. Moskova, Nauka, 2004, 798 s. (Venäjäksi)

5. Strutt J. W. Ääniteoria, voi. 1. London, Macmillan and Co., 1945, xi+326 s.

6. Rao J. S. Advanced Theory of Vibration: Epälineaarinen värähtely ja yksiulotteiset rakenteet. New York, John Wiley & Sons, Inc., 1992, 431 s.

Beylin A.B. Ongelma elastisella kiinnityksellä varustetun tangon pitkittäisvärähtelyssä, Vestn. Samar. gos. Tekniikka. Univ., Ser. Phys.-Mat. Tiede, 2016, voi. 20, ei. 2, s. 249-258. doi: 10.14498/vsgtu1474. (englanniksi) Tekijän tiedot:

Alexander B. Beylin (Cand. Techn. Sci.; [sähköposti suojattu]), apulaisprofessori, osasto automaatiokonetyökalut ja työkalujärjestelmät.

7. Fedotov I. A., Polyanin A. D., Shatalov M. Yu. Jäykän tangon vapaan ja pakotetun värähtelyn teoria Rayleigh-mallin perusteella, Dokl. Phys., 2007, osa 52, no. 11, s. 607-612. doi: 10.1134/S1028335807110080.

8. Bazant Z., Jirasek M. Ei-paikalliset integraaliset plastisuuden ja vaurion formulaatiot: Survey of Progress, J. Eng. Mech., 2002, osa 128, no. 11, s. 1119-1149. doi: 10.1061/(ASCE) 0733-9399(2002)128:11(1119).

9. Beylin A. B., Pulkina L. S. Prolem on pitkittäisvärähtelyt tangossa dynaamisilla reunaehdoilla, Vestnik SamGU. Estestvenno-Nauchnaya Ser., 2014, no. 3(114), s. 919 (venäjäksi).

10. Korpusov M. O. Razrushenie vastaan ​​neklassicheskikh volnovykh uravneniakh. Moskova, URSS, 2010, 237 s. (Englanniksi)

Vastaanotettu 10/II/2016;

vastaanotettu tarkistetussa muodossa 18/V/2016;

MÄÄRITELMÄ

Pituussuuntainen aalto- tämä on aalto, jonka etenemisen aikana väliaineen hiukkasten siirtyminen tapahtuu aallon etenemisen suunnassa (kuva 1, a).

Pitkittäisen aallon esiintymisen syy on puristus / laajeneminen, ts. väliaineen vastustuskyky sen tilavuuden muutokselle. Nesteissä tai kaasuissa tällaiseen muodonmuutokseen liittyy väliaineen hiukkasten harventumista tai tiivistymistä. Pituusaallot voivat levitä missä tahansa väliaineessa - kiinteässä, nestemäisessä ja kaasumaisessa.

Esimerkkejä pitkittäisaalloista ovat aallot elastisessa sauvassa tai ääniaallot kaasuissa.

poikittaiset aallot

MÄÄRITELMÄ

poikittaisaalto- tämä on aalto, jonka etenemisen aikana väliaineen hiukkasten siirtyminen tapahtuu aallon etenemiseen nähden kohtisuorassa suunnassa (kuva 1b).

Poikittaisen aallon syy on väliaineen yhden kerroksen leikkausmuodonmuutos suhteessa toiseen. Kun poikittaisaalto etenee väliaineessa, muodostuu harjanteita ja kouruja. Nesteillä ja kaasuilla, toisin kuin kiinteillä aineilla, ei ole elastisuutta kerroksen leikkauksen suhteen, ts. älä vastusta muodonmuutosta. Siksi poikittaiset aallot voivat levitä vain kiinteissä aineissa.

Esimerkkejä poikittaisista aalloista ovat aallot, jotka kulkevat venytettyä köyttä tai lankaa pitkin.

Nesteen pinnalla olevat aallot eivät ole pitkittäisiä eivätkä poikittaisia. Jos heität kellukkeen veden pinnalle, voit nähdä sen liikkuvan, heiluen aalloilla, ympyrämäisesti. Siten nestepinnalla olevalla aallolla on sekä poikittais- että pitkittäiskomponentit. Nesteen pinnalla voi esiintyä myös erityisiä aaltoja - ns pinta-aallot. Ne syntyvät pintajännityksen toiminnan ja voiman seurauksena.

Esimerkkejä ongelmanratkaisusta

ESIMERKKI 1

Taajuusmenetelmää ehdotetaan poikkileikkaukseltaan porrastetusti vaihtelevien tankojen pitkittäisvärähtelyjen ongelman ratkaisemiseksi joko huomioiden energiahäviö jäykkään esteen törmäyksessä tai ilman. Tangon pitkittäisvärähtelyjen yhtälö muunnetaan Laplacen mukaan nollasta poikkeavien alkuolosuhteiden läsnä ollessa. Raja-arvotehtävä on ratkaistu, jossa etsitään Laplace-muunnetut reunan pituussuuntaiset voimat reunasiirtymien funktioina. Sitten laaditaan solmujen tasapainon yhtälöjärjestelmä, jonka ratkaisemiseksi rakennetaan sauvan kiinnostaville osille amplitudi-vaihe-taajuusominaisuudet (APFC). Suorittamalla käänteinen Laplace-muunnos konstruoidaan transienttiprosessi. Testiesimerkkinä tarkastellaan vakiopituista tankoa. Vertailu tunnettuun aaltoratkaisuun esitetään. Ehdotettu menetelmä tangon dynaamiseksi laskentaan törmäyksessä jäykän esteen kanssa mahdollistaa yleistykset mielivaltaiseen sauvajärjestelmään rajoittamattoman määrän elastisesti kiinnittyneiden massojen läsnä ollessa mielivaltaisella voimalla, joka kohdistetaan tangon päihin ja pituuteen. .

taajuusmenetelmä

tangon pitkittäisvärähtelyt

1. Biderman, V.L. Soveltava mekaanisten värähtelyjen teoria / V.L. Biderman. - M.: Higher School, 1972. - 416 s.

2. Lavrentiev, M.A. Kompleksisen muuttujan funktioteorian menetelmät / M.A. Lavrentiev, B.V. Sapatti. – M.: Nauka, 1973. – 736 s.

3. Sankin, Yu.N. Viskoelastisten järjestelmien dynaamiset ominaisuudet hajautetuilla parametreilla / Yu.N. Sankin. - Saratov: Sarat Publishing House. un-ta, 1977. - 312 s.

4. Sankin, Yu.N. Tankojärjestelmien ei-kiinteät tärinät törmäyksessä esteen kanssa / Yu.N. Sankin, N.A. Yuganova; alle yhteensä toim. Yu.N. Sankin. - Uljanovsk: UlGTU, 2010. - 174 s.

5. Sankin, Y.N. Poikkileikkaukseltaan vaihtelevan poikkileikkauksen omaavien elastisten tankojen pitkittäisvärähtelyt törmäävät jäykkään esteeseen \ Yu. N. Sankin ja N.A. Yuganova, J. Appl. Maths Mechs, Voi. 65, nro 3, s. 427-433, 2001.

Tarkastellaan taajuusmenetelmää porrastetusti muuttuvan poikkileikkauksen omaavien tankojen pitkittäisvärähtelyjen ongelman ratkaisemiseksi, ottaen huomioon energian haihaaminen törmäyksessä jäykään esteeseen tai ilman, jota verrataan tunnettuun aaltoratkaisuun ja ratkaisuun. värähtelytilojen sarjan muodossa (14) .

Tangon pitkittäisvärähtelyjen differentiaaliyhtälö, ottaen huomioon sisäisen vastuksen voimat, on muotoa:

Asetetaan seuraavat raja- ja alkuehdot:

. (2)

Muunnetaan yhtälö (1) ja reunaehdot (2) Laplacen mukaan annetuille alkuehdoille (2). Sitten yhtälö (2) ja reunaehdot (2) kirjoitetaan seuraavasti:

; (3)

,

missä ovat sauvan pisteiden Laplace-muunnetut siirtymät; p on Laplacen muunnosparametri.

Yhtälö (3) ottaa huomioon energiahäviön (at = 0) saa muotonsa:

. (4)

Tuloksena olevalle epähomogeeniselle differentiaaliyhtälölle ratkaistaan ​​raja-arvotehtävä, joka koostuu Laplacen muunnettujen reunan pituussuuntaisten voimien löytämisestä reunasiirtymien funktioina.

Tätä varten tarkastelemme tangon pitkittäisvärähtelyjen homogeenista yhtälöä ottaen huomioon energian haihtumisen

(5)

merkitsee

ja siirryttäessä uuteen muuttujaan , saamme (5) sijaan

(6)

Jos, missä on taajuusparametri, niin

.

Homogeenisen yhtälön (6) ratkaisulla on muoto:

Integrointivakiot c1 ja c2 löytyvät alkuehdoista:

u = u0; N = N0,

Nuo. ;

Tämä ratkaisu vastaa seuraavaa siirtomatriisia:

. (7)

Korvaamalla saadut lausekkeet siirtomatriisin elementeille siirtymämenetelmän kaavoiksi saadaan:

; (8)

;

Indeksit n ja k osoittavat vastaavasti sauvan osan alkua ja loppua. Ja geometriset ja fysikaaliset vakiot indekseillä nk ja kn viittaavat tiettyyn sauvan osaan.

Jakamalla sauvan elementeiksi kaavojen (8) avulla laadimme solmujen dynaamisen tasapainon yhtälöt. Nämä yhtälöt ovat yhtälöjärjestelmä tuntemattomille solmujen siirtymille. Koska vastaavat kertoimet saadaan tarkalla integroinnilla, tangon osien pituutta ei ole rajoitettu.

Ratkaisemalla tuloksena olevan yhtälöjärjestelmän, rakennamme amplitudi-vaihe-taajuus-ominaisuudet meitä kiinnostaville sauvan osille. Näitä AFC:itä voidaan pitää graafisena kuvana yksipuolisesta Fourier-muunnoksesta, joka osuu yhteen Laplace-muunnoksen kanssa impulsiivisissa toimissa. Koska vastaavien lausekkeiden kaikki singulaaripisteet sijaitsevat imaginaariakselin vasemmalla puolella, voidaan käänteismuunnos suorittaa asettamalla , ts. käyttämällä rakennettua AFC:tä. Aputehtävä konstruoida AFC, jossa alkunopeuksien kenttä kerrottuna sauvan tiheydellä esiintyy voimana. Yleensä AFC:t rakennetaan häiritsevien voimien vaikutuksesta, sitten käänteinen Laplace-muunnos suoritetaan numeerisella integroinnilla tai jollain muulla tavalla.

Tarkastellaan yksinkertaisena esimerkkinä suoraa sauvaa, jonka pituus on l, joka törmää pituussuunnassa jäykkään esteeseen nopeudella V0 (kuva 1).

Määritetään tangon pisteiden siirtymä iskun jälkeen. Oletetaan, että törmäyksen jälkeen esteen ja tangon välinen kontakti säilyy, ts. sauvan palautumista ei tapahdu. Jos yhteys on ei-pidättävä, niin ongelmaa voidaan pitää paloittain lineaarisena. Toiseen ratkaisuun siirtymisen kriteeri on nopeuden etumerkin muutos kosketuspisteessä.

Lavrentiev M.A.:n monografiassa Shabat B.V. yhtälön (4) aaltoratkaisu on annettu:

ja löysi sen alkuperäisen

, (9)

missä on yksikköaskelfunktio.

Toinen lähestymistapa tämän ongelman ratkaisemiseksi voidaan suorittaa kohdassa kuvatulla taajuusmenetelmällä. Tätä ongelmaa varten meillä on:

; ;

; ;

; ;

. (10)

Etsitään alkuperäinen (11)

Ratkaistaan ​​sama ongelma taajuudella. Ensimmäisen solmun tasapainoyhtälöstä:

(12)

saamme kaavan tangon pään siirtämiseksi.

Jos nyt poikkileikkaukseltaan vakio testisauva jaetaan kahteen mielivaltaiseen osaan, joiden pituus on l1 ja l2 (katso kuva 1), niin solmujen tasapainon ehdot ovat seuraavat:

(13)

Ratkaisujärjestelmän (13) tuloksena saamme kaaviot vaihevasteesta siirtymille 1. ja 2. osassa (U1 ja U2, vastaavasti). Joten reunan siirtymän kuva suljetussa muodossa, energiahäviö huomioon ottaen, tapauksissa (12) ja (13) osuu yhteen ja sillä on muoto:

. (14)

Tarkastetaan tulosten yhteensopivuus sauvan päässä. Kuvassa Kuva 2 esittää kaavioita ratkaisusta (10) x = 10.1 ja ratkaisujärjestelmän (13) tuloksena. Ne sopivat täydellisesti.

Diskreetin Fourier-muunnoksen avulla voidaan saada transienttiprosessi. Tulos voidaan saada suorittamalla numeerinen integrointi kohdassa t=0… kaavalla

. (15)

AFC:ssä (katso kuva 2) vain yksi näkyvä kela ilmenee merkittävästi. Siksi sarjan (15) yksi termi tulisi ottaa. Kuvan 3 kaavioista näkyy, kuinka tarkasti ratkaisu (9) ja värähtelymuotojen mukainen ratkaisu (11) osuvat yhteen ehdotetun taajuusratkaisun kanssa. Virhe ei ylitä 18%. Tuloksena oleva ero selittyy sillä, että ratkaisut (9) ja (11) eivät ota huomioon energiahäviötä sauvamateriaalissa.

Riisi. 3. Ohimenevä prosessi sauvan päähän; 1, 2, 3 - kaaviot, jotka on muodostettu kaavojen (9), (11), (15) mukaisesti.

Tarkastellaan monimutkaisempana esimerkkinä ongelmaa porrastetun sauvan (kuva 4) pitkittäisvärähtelyjen ongelmasta, jonka päässä on kuorma ja joka törmää jäykkään esteeseen nopeudella V0, ja anna kuorman massan olla yhtä suuri kuin massa tangon viereisestä osasta:.

Riisi. 4. Porrastetun tangon pitkittäisvärähtelyjen laskentakaavio, jonka päässä on kuorma

Esittelemme tangon ominaisosat 1,2,3, joissa lasketaan siirtymät. Muodostamme yhtälöjärjestelmän:

(16)

Ratkaisujärjestelmän (16) tuloksena saamme AFC-kaaviot (kuva 5) siirtymille toisessa ja kolmannessa osassa (U2 () ja U3 (), vastaavasti. Laskelmat tehtiin seuraavilla vakioarvoilla: l = 2 m; E = 2,1 × 1011 Pa; F = 0,06 m2; = 7850 kg/m3; V = 10 m/s. Saatuilla AFC:illä vain kaksi näkyvää käännettä näkyvät merkittävästi. Siksi, kun rakennamme transienttiprosessia valituissa osissa, otamme kaksi termiä sarjasta (16). Tätä varten sinun on ensin määritettävä

Riisi. Kuva 5. Siirtymien AFC porrastetun tangon toisessa ja kolmannessa osassa (katso kuva 4)

Samalla tavalla kaavan (15) mukaisesti rakennetaan ohimenevä prosessi.

Johtopäätös: on kehitetty menetelmä tankojen pituussuuntaisten värähtelyjen laskemiseksi törmäyksessä esteeseen.

Arvostelijat:

Lebedev A.M., teknisten tieteiden tohtori, apulaisprofessori, Uljanovskin korkeamman ilmailukoulun (instituutin) professori, Uljanovski.

Antonets I.V., teknisten tieteiden tohtori, Uljanovskin valtion teknisen yliopiston professori, Uljanovski.

Bibliografinen linkki