Peruskonseptit. Toisen asteen yhtälöt. Peruskäsitteet Yleisesti ottaen muunnos näyttää tältä

Oppitunnilla esitellään toisen asteen yhtälön käsite, tarkastellaan sen kahta tyyppiä: täydellinen ja epätäydellinen. Oppitunnilla kiinnitetään erityistä huomiota epätäydellisiin lajikkeisiin toisen asteen yhtälöt, monia esimerkkejä käsitellään oppitunnin toisella puoliskolla.

Aihe:Toisen asteen yhtälöt.

Oppitunti:Toisen asteen yhtälöt. Peruskonseptit

Määritelmä.toisen asteen yhtälö kutsutaan muodon yhtälöksi

Kiinteät reaaliluvut, jotka määrittelevät toisen asteen yhtälön. Näillä numeroilla on erityiset nimet:

Senior-kerroin (kerroin );

Toinen kerroin (kerroin );

Vapaa jäsen (luku ilman kertoimen muuttujaa).

Kommentti. On ymmärrettävä, että esitetty termien kirjoitusjärjestys toisen asteen yhtälössä on standardi, mutta ei pakollinen, ja niiden uudelleenjärjestelyn tapauksessa on välttämätöntä pystyä määrittämään numeeriset kertoimet ei niiden järjestysjärjestelyllä, vaan muuttujiin kuuluvia.

Määritelmä. Ilmaisua kutsutaan neliön trinomi.

Esimerkki 1 Annettu toisen asteen yhtälö . Sen kertoimet ovat:

vanhempi kerroin;

Toinen kerroin (huomaa, että kerroin on merkitty johtavalla merkillä);

Vapaa jäsen.

Määritelmä. Jos , niin neliöyhtälöä kutsutaan vähentämätön, ja jos , niin toisen asteen yhtälöä kutsutaan annettu.

Esimerkki 2 Anna toisen asteen yhtälö . Jaetaan molemmat osat kahdella: .

Kommentti. Kuten edellisestä esimerkistä voidaan nähdä, johtavalla kertoimella jakamalla emme muuttaneet yhtälöä, vaan muutimme sen muotoa (teimme siitä pelkistyneen), samoin se voitaisiin myös kertoa jollain nollasta poikkeavalla luvulla. Siten neliöyhtälöä ei anneta yhdellä lukukolmiolla, vaan sanotaan, että määritetään nollasta poikkeavaan kertoimien joukkoon asti.

Määritelmä.Pelkistetty toisen asteen yhtälö saadaan pelkistämättömästä jakamalla johtavalla tekijällä , ja se on muotoa:

.

Seuraavat nimitykset hyväksytään: . Sitten pelkistetty toisen asteen yhtälö näyttää:

.

Kommentti. Yllä olevassa toisen asteen yhtälön muodossa voidaan nähdä, että toisen asteen yhtälö voidaan määrittää vain kahdella numerolla: .

Esimerkki 2 (jatkuu). Osoitetaan kertoimet, jotka määrittelevät pelkistetyn toisen asteen yhtälön . , . Nämä kertoimet ilmoitetaan myös etumerkki huomioiden. Samat kaksi numeroa määrittelevät vastaavan pelkistämättömän toisen asteen yhtälön .

Kommentti. Vastaavat pelkistämätön ja pelkistetty toisen asteen yhtälöt ovat samat, ts. niillä on samat juuret.

Määritelmä. Jotkut kertoimet pelkistymättömässä muodossa tai pelkistetyssä muodossa toisen asteen yhtälön muodossa voivat olla nolla. Tässä tapauksessa kutsutaan toisen asteen yhtälöä epätäydellinen. Jos kaikki kertoimet ovat nollia poikkeavia, kutsutaan neliöyhtälöä saattaa loppuun.

Epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä on useita tyyppejä.

Jos emme ole vielä harkinneet täydellisen toisen asteen yhtälön ratkaisua, voimme helposti ratkaista epätäydellisen yhtälön jo tuntemillamme menetelmillä.

Määritelmä.Ratkaise toisen asteen yhtälö- tarkoittaa, että etsitään kaikki muuttujan arvot (yhtälön juuret), joissa annettu yhtälö muuttuu oikeaksi numeeriseksi yhtälöksi, tai sen toteamista, ettei tällaisia ​​arvoja ole.

Esimerkki 3 Harkitse esimerkkiä tämän tyyppisistä epätäydellisistä toisen asteen yhtälöistä. Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu. Otetaan pois yhteinen tekijä. Voimme ratkaista tämän tyyppisiä yhtälöitä seuraavan periaatteen mukaisesti: tulo on nolla, jos ja vain jos yksi tekijöistä on nolla ja toinen on olemassa tälle muuttujan arvolle. Täten:

Vastaus.; .

Esimerkki 4 Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu. 1 tapa. Kerro se neliöiden erotuskaavan avulla

, siis samalla tavalla kuin edellisessä esimerkissä tai .

2 tapa. Siirrä vapaa termi oikealle ja pura se Neliöjuuri molemmista osista.

Vastaus. .

Esimerkki 5 Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu. Siirretään vapaa termi oikealle, mutta , eli ei yhtälössä negatiivinen luku vastaa negatiivista, mikä ei ole järkevää millekään muuttujan arvolle, joten juuria ei ole.

Vastaus. Ei ole juuria.

Esimerkki 6.Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu. Jaa yhtälön molemmat puolet seitsemällä: .

Vastaus. 0.

Harkitse esimerkkejä, joissa sinun on ensin saatettava toisen asteen yhtälö vakiomuotoon ja sitten ratkaistava se.

Esimerkki 7. Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu. Toisen yhtälön saattamiseksi vakiomuotoon on tarpeen siirtää kaikki termit yhteen suuntaan, esimerkiksi vasemmalle, ja tuoda samanlaiset.

On saatu epätäydellinen toisen asteen yhtälö, jonka tiedämme jo ratkaistavan, saamme sen tai .

Vastaus. .

Esimerkki 8 (tekstitehtävä). Kahden peräkkäisen luonnollisen luvun tulo on kaksi kertaa pienemmän luvun neliö. Etsi nämä numerot.

Ratkaisu. Tekstitehtävät ratkaistaan ​​pääsääntöisesti seuraavan algoritmin mukaan.

1) Matemaattisen mallin laatiminen. Tässä vaiheessa on tarpeen kääntää ongelman teksti matemaattisten symbolien kielelle (tee yhtälö).

Anna vähän ensin luonnollinen luku tarkoittaa tuntematonta, sen jälkeen seuraava (peräkkäiset numerot) on . Pienin näistä luvuista on luku, kirjoitamme yhtälön tehtävän ehdon mukaan:

, Missä . Matemaattinen malli on koottu.

Muistutamme, että täydellinen toisen asteen yhtälö on muotoa:

Täydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen on hieman monimutkaisempaa (vain vähän) kuin annettuja.

Muistaa, mikä tahansa toisen asteen yhtälö voidaan ratkaista käyttämällä diskriminanttia!

Jopa epätäydellinen.

Muut menetelmät auttavat sinua tekemään sen nopeammin, mutta jos sinulla on ongelmia toisen asteen yhtälöiden kanssa, hallitse ratkaisu ensin erottimen avulla.

1. Neliöyhtälöiden ratkaiseminen diskriminantilla.

Toisen asteen yhtälöiden ratkaiseminen tällä tavalla on hyvin yksinkertaista, tärkeintä on muistaa toimintojen järjestys ja pari kaavaa.

Jos, niin yhtälöllä on 2 juuria. Kiinnitä erityistä huomiota vaiheeseen 2.

Diskriminantti D kertoo meille yhtälön juurien lukumäärän.

• Jos, niin vaiheen kaava pienennetään arvoon. Siten yhtälöllä on vain juuri.
• Jos, emme pysty erottamaan erottimen juuria vaiheessa. Tämä osoittaa, että yhtälöllä ei ole juuria.

Käännytään geometrinen tunne toisen asteen yhtälö.

Funktion kuvaaja on paraabeli:

Palataanpa yhtälöihimme ja katsotaan muutama esimerkki.

Esimerkki 9

Ratkaise yhtälö

Vaihe 1 ohita.

Vaihe 2

Erottajan löytäminen:

Yhtälöllä on siis kaksi juuria.

Vaihe 3

Vastaus:

Esimerkki 10

Ratkaise yhtälö

Yhtälö on vakiomuodossa, joten Vaihe 1 ohita.

Vaihe 2

Erottajan löytäminen:

Yhtälöllä on siis yksi juuri.

Vastaus:

Esimerkki 11

Ratkaise yhtälö

Yhtälö on vakiomuodossa, joten Vaihe 1 ohita.

Vaihe 2

Erottajan löytäminen:

Tämä tarkoittaa, että emme pysty erottamaan juuria diskriminantista. Yhtälön juuria ei ole.

Nyt tiedämme kuinka kirjoittaa tällaiset vastaukset oikein.

Vastaus: ei juuria

2. Neliöyhtälöiden ratkaiseminen Vieta-lauseen avulla

Jos muistat, on olemassa sellaisen tyyppisiä yhtälöitä, joita kutsutaan pelkistetyiksi (kun kerroin a on yhtä suuri):

Tällaiset yhtälöt on erittäin helppo ratkaista käyttämällä Vietan lausetta:

Juurien summa annettu toisen asteen yhtälö on yhtä suuri ja juurien tulo on yhtä suuri.

Sinun tarvitsee vain valita numeropari, jonka tulo on yhtä suuri kuin yhtälön vapaa termi, ja summa on yhtä suuri kuin toinen kerroin, joka on otettu vastakkaisella merkillä.

Esimerkki 12

Ratkaise yhtälö

Tämä yhtälö sopii ratkaisuun Vieta-lauseen avulla, koska .

Yhtälön juurien summa on ts. saamme ensimmäisen yhtälön:

Ja tuote on:

Luodaan ja ratkaistaan ​​järjestelmä:

• Ja. Summa on;
• Ja. Summa on;
• Ja. Summa on yhtä suuri.

ja ovat järjestelmän ratkaisu:

Vastaus: ; .

Esimerkki 13

Ratkaise yhtälö

Vastaus:

Esimerkki 14

Ratkaise yhtälö

Yhtälö on pelkistetty, mikä tarkoittaa:

Vastaus:

NELIÖYHTÄLÖT. KESKITASO

Mikä on toisen asteen yhtälö?

Toisin sanoen toisen asteen yhtälö on muodoltaan yhtälö, jossa - tuntematon - lisäksi joitain lukuja.

Numeroa kutsutaan suurimmaksi tai ensimmäinen kerroin toisen asteen yhtälö, - toinen kerroin, A- vapaa jäsen.

Koska jos yhtälöstä tulee välittömästi lineaarinen, koska katoaa.

Tässä tapauksessa ja voi olla nolla. Tässä tuolissa yhtälöä kutsutaan epätäydellinen.

Jos kaikki ehdot ovat paikoillaan, eli yhtälö - saattaa loppuun.

Epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

Aluksi analysoimme menetelmiä epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi - ne ovat yksinkertaisempia.

Seuraavat yhtälötyypit voidaan erottaa:

I. , tässä yhtälössä kerroin ja vapaa termi ovat yhtä suuret.

II. , tässä yhtälössä kerroin on yhtä suuri.

III. , tässä yhtälössä vapaa termi on yhtä suuri kuin.

Harkitse nyt kunkin alatyypin ratkaisua.

Ilmeisesti tällä yhtälöllä on aina vain yksi juuri:

Neliöity luku ei voi olla negatiivinen, koska kun kerrotaan kaksi negatiivista tai kaksi positiivista lukua, tuloksena on aina positiivinen luku. Siksi:

jos, niin yhtälöllä ei ole ratkaisuja;

jos meillä on kaksi juurta

Näitä kaavoja ei tarvitse opetella ulkoa. Tärkeintä on muistaa, että se ei voi olla pienempi.

Esimerkkejä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisesta

Esimerkki 15

Vastaus:

Älä koskaan unohda juuria negatiivisella merkillä!

Esimerkki 16

Luvun neliö ei voi olla negatiivinen, mikä tarkoittaa, että yhtälö

ei juuria.

Kirjoitamme lyhyesti, että ongelmalla ei ole ratkaisuja, käytämme tyhjän sarjan kuvaketta.

Vastaus:

Esimerkki 17

Joten tällä yhtälöllä on kaksi juurta: ja.

Vastaus:

Otetaan yhteinen tekijä pois suluista:

Tulo on nolla, jos ainakin yksi tekijöistä on nolla. Tämä tarkoittaa, että yhtälöllä on ratkaisu, kun:

Joten tällä toisen asteen yhtälöllä on kaksi juurta: ja.

Esimerkki:

Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu:

Laskemme yhtälön vasemman puolen ja etsimme juuret:

Vastaus:

Täydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisumenetelmät

1. Syrjivä

Neliöyhtälöiden ratkaiseminen tällä tavalla on helppoa, tärkeintä on muistaa toimintojen järjestys ja pari kaavaa. Muista, että mikä tahansa toisen asteen yhtälö voidaan ratkaista käyttämällä diskriminanttia! Jopa epätäydellinen.

Huomasitko erottimen juuren juurikaavassa?

Mutta syrjivä tekijä voi olla negatiivinen.

Mitä tehdä?

Meidän on kiinnitettävä erityistä huomiota vaiheeseen 2. Diskriminantti kertoo meille yhtälön juurien lukumäärän.

• Jos, niin yhtälöllä on juuri:
• Jos yhtälöllä on sama juuri, mutta itse asiassa yksi juuri:

  Tällaisia ​​juuria kutsutaan kaksoisjuuriksi.

• Jos, erottajan juuria ei eroteta. Tämä osoittaa, että yhtälöllä ei ole juuria.

Miksi juuria on eri määrä?

Katsotaanpa toisen asteen yhtälön geometrista merkitystä. Funktion kuvaaja on paraabeli:

Tietyssä tapauksessa, joka on toisen asteen yhtälö, .

Ja tämä tarkoittaa, että neliöyhtälön juuret ovat leikkauspisteitä x-akselin (akselin) kanssa.

Paraabeli ei välttämättä ylitä akselia ollenkaan tai se voi leikata sen yhdessä (kun paraabelin huippu on akselilla) tai kahdessa pisteessä.

Lisäksi kerroin vastaa paraabelin haarojen suunnasta. Jos, niin paraabelin oksat on suunnattu ylöspäin ja jos - niin alaspäin.

4 esimerkkiä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemisesta

Esimerkki 18

Vastaus:

Esimerkki 19

Vastaus:.

Esimerkki 20

Vastaus:

Esimerkki 21

Tämä tarkoittaa, että ratkaisuja ei ole.

Vastaus:.

2. Vietan lause

Vietan lauseen käyttäminen on erittäin helppoa.

Kaikki mitä tarvitset on noukkia sellainen lukupari, jonka tulo on yhtä suuri kuin yhtälön vapaa termi ja summa on yhtä suuri kuin toinen kerroin, otettuna vastakkaisella merkillä.

On tärkeää muistaa, että Vietan lausetta voidaan soveltaa vain annetut toisen asteen yhtälöt ().

Katsotaanpa muutamia esimerkkejä:

Esimerkki 22

Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu:

Tämä yhtälö sopii ratkaisuun Vieta-lauseen avulla, koska . Muut kertoimet: ; .

Yhtälön juurien summa on:

Ja tuote on:

Valitaan sellaiset lukuparit, joiden tulo on yhtä suuri, ja tarkistetaan, onko niiden summa yhtä suuri:

• Ja. Summa on;
• Ja. Summa on;
• Ja. Summa on yhtä suuri.

ja ovat järjestelmän ratkaisu:

Siten ja ovat yhtälömme juuret.

Vastaus: ; .

Esimerkki 23

Ratkaisu:

Valitsemme tuotteessa sellaiset lukuparit ja tarkistamme sitten, onko niiden summa yhtä suuri:

ja: anna yhteensä.

ja: anna yhteensä. Saadaksesi sen, sinun on vain muutettava väitettyjen juurien merkit: ja loppujen lopuksi tuote.

Vastaus:

Esimerkki 24

Ratkaisu:

Yhtälön vapaa termi on negatiivinen, joten juurien tulo on negatiivinen luku. Tämä on mahdollista vain, jos yksi juurista on negatiivinen ja toinen on positiivinen. Juurien summa on siis moduulien eroista.

Valitsemme sellaiset numeroparit, jotka antavat tuotteessa ja joiden ero on yhtä suuri:

ja: niiden ero on - ei sovellu;

ja: - ei sovellu;

ja: - ei sovellu;

ja: - sopiva. Jää vain muistaa, että yksi juurista on negatiivinen. Koska niiden summan on oltava yhtä suuri, niin itseisarvoltaan pienemmän juuren on oltava negatiivinen: . Tarkistamme:

Vastaus:

Esimerkki 25

Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu:

Yhtälö on pelkistetty, mikä tarkoittaa:

Vapaa termi on negatiivinen, ja siksi juurien tulo on negatiivinen. Ja tämä on mahdollista vain, kun yhtälön yksi juuri on negatiivinen ja toinen on positiivinen.

Valitsemme sellaiset lukuparit, joiden tulo on yhtä suuri, ja määritämme sitten, millä juurilla tulee olla negatiivinen etumerkki:

Ilmeisesti vain juuret ja sopivat ensimmäiseen ehtoon:

Vastaus:

Esimerkki 26

Ratkaise yhtälö.

Ratkaisu:

Yhtälö on pelkistetty, mikä tarkoittaa:

Juurien summa on negatiivinen, mikä tarkoittaa, että ainakin yksi juurista on negatiivinen. Mutta koska heidän tuotteensa on positiivinen, se tarkoittaa, että molemmat juuret ovat miinus.

Valitsemme sellaiset lukuparit, joiden tulo on yhtä suuri:

Ilmeisesti juuret ovat numerot ja.

Vastaus:

Samaa mieltä, se on erittäin kätevää - keksiä juuret suullisesti sen sijaan, että laskettaisiin tämä ilkeä erottelutekijä.

Yritä käyttää Vietan lausetta mahdollisimman usein!

Mutta Vieta-lausetta tarvitaan helpottamaan ja nopeuttamaan juurien löytämistä.

Jotta sen käyttäminen olisi kannattavaa, sinun on saatettava toiminnot automatismiin. Ja tätä varten ratkaise viisi muuta esimerkkiä.

Mutta älä huijaa: et voi käyttää erotinta! Vain Vietan lause!

5 esimerkkiä Vietan lauseesta itseopiskeluun

Esimerkki 27

Tehtävä 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Vietan lauseen mukaan:

Aloitamme valinnan tuttuun tapaan tuotteella:

Ei sovellu, koska määrä;

: määrä on mitä tarvitset.

Vastaus: ; .

Esimerkki 28

Tehtävä 2.

Ja jälleen suosikki Vieta-lauseemme: summan pitäisi selvitä, mutta tulo on yhtä suuri.

Mutta koska sen ei pitäisi olla, vaan, muutamme juurien merkkejä: ja (yhteensä).

Vastaus: ; .

Esimerkki 29

Tehtävä 3.

Hmm... Missä se on?

Kaikki ehdot on siirrettävä yhteen osaan:

Juurien summa on yhtä suuri kuin tulo.

Kyllä, lopeta! Yhtälöä ei ole annettu.

Mutta Vietan lause on sovellettavissa vain annetuissa yhtälöissä.

Joten ensin sinun on tuotava yhtälö.

Jos et pysty tuomaan sitä esille, hylkää tämä idea ja ratkaise se toisella tavalla (esimerkiksi diskriminantin avulla).

Haluan muistuttaa, että toisen asteen yhtälön tuominen tarkoittaa, että johtava kerroin on yhtä suuri:

Silloin juurien summa on yhtä suuri ja tulo.

Se on helpompi poimia täältä: loppujen lopuksi - alkuluku (anteeksi tautologia).

Vastaus: ; .

Esimerkki 30

Tehtävä 4.

Vapaa termi on negatiivinen.

Mikä siinä on niin erikoista?

Ja se, että juuret ovat eri merkkejä.

Ja nyt valinnan aikana emme tarkista juurien summaa, vaan niiden moduulien välistä eroa: tämä ero on yhtä suuri, mutta tuote.

Joten juuret ovat yhtä suuret ja, mutta yksi niistä on miinuksella.

Vietan lause kertoo, että juurien summa on yhtä suuri kuin toinen kerroin, jolla on vastakkainen etumerkki, eli.

Tämä tarkoittaa, että pienemmällä juurella on miinus: ja, koska.

Vastaus: ; .

Esimerkki 31

Tehtävä 5.

Mitä pitää tehdä ensin?

Aivan oikein, anna yhtälö:

Jälleen: valitsemme luvun tekijät, ja niiden eron tulee olla yhtä suuri:

Juuret ovat yhtä suuret ja, mutta yksi niistä on miinus. Mikä? Niiden summan on oltava yhtä suuri, mikä tarkoittaa, että miinuksella on suurempi juuri.

Vastaus: ; .

Tee yhteenveto

1. Vietan lausetta käytetään vain annetuissa toisen asteen yhtälöissä.
2. Vieta-lauseen avulla voit löytää juuret valinnalla, suullisesti.
3. Jos yhtälöä ei anneta tai sopivaa vapaan termin tekijäparia ei löytynyt, kokonaislukujuuria ei ole, ja se on ratkaistava toisella tavalla (esimerkiksi diskriminantin kautta).

3. Koko neliön valintamenetelmä

Jos kaikki tuntemattoman sisältävät termit esitetään termeinä lyhennettyjen kertolaskujen kaavoista - summan tai erotuksen neliö -, niin muuttujien muutoksen jälkeen yhtälö voidaan esittää epätäydellisenä tyyppisenä toisen asteen yhtälönä.

Esimerkiksi:

Esimerkki 32

Ratkaise yhtälö: .

Ratkaisu:

Vastaus:

Esimerkki 33

Ratkaise yhtälö: .

Ratkaisu:

Vastaus:

SISÄÄN yleisnäkymä muunnos näyttää tältä:

Tämä tarkoittaa: .

Eikö se muistuta sinua mistään?

Se on se syrjintä! Juuri näin erottelukaava saatiin.

NELIÖYHTÄLÖT. LYHYESTI TÄRKEISTÄ

Toisen asteen yhtälö on yhtälö muotoa, jossa on tuntematon, ovat kertoimet toisen asteen yhtälön, on vapaa termi.

Täydellinen toisen asteen yhtälö- yhtälö, jossa kertoimet eivät ole nolla.

Pelkistetty toisen asteen yhtälö- yhtälö, jossa kerroin, eli: .

Epätäydellinen toisen asteen yhtälö- yhtälö, jossa kerroin ja/tai vapaa termi c ovat nolla:

• jos kerroin, yhtälö on muotoa: ,
• jos se on vapaa termi, yhtälöllä on muoto: ,
• jos ja, yhtälöllä on muoto: .

1. Algoritmi epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi

1.1. Epätäydellinen muodon toisen asteen yhtälö, jossa:

1) Ilmaise tuntematon: ,

2) Tarkista lausekkeen merkki:

• jos yhtälöllä ei ole ratkaisuja,
• jos, niin yhtälöllä on kaksi juuria.

1.2. Epätäydellinen muodon toisen asteen yhtälö, jossa:

1) Otetaan yhteinen tekijä suluista: ,

2) Tulo on nolla, jos ainakin yksi tekijöistä on nolla. Siksi yhtälöllä on kaksi juuria:

1.3. Epätäydellinen muodon toisen asteen yhtälö, jossa:

Tällä yhtälöllä on aina vain yksi juuri: .

2. Algoritmi täydellisten toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi muotoa jossa

2.1. Ratkaisu käyttämällä diskriminanttia

1) Tuomme yhtälöön vakionäkymä: ,

2) Laske diskriminantti kaavalla: , joka ilmaisee yhtälön juurien määrän:

3) Etsi yhtälön juuret:

• jos, niin yhtälöllä on juuri, joka löytyy kaavasta:
• jos, niin yhtälöllä on juuri, joka löytyy kaavasta:
• jos, niin yhtälöllä ei ole juuria.

2.2. Ratkaisu käyttäen Vietan lausetta

Supistetun toisen asteen yhtälön (muodon yhtälö, jossa) juurien summa on yhtä suuri, ja juurien tulo on yhtä suuri, ts. , A.

2.3. Täysi neliöratkaisu

Luokka: 8

Harkitse standardeja (tutkittu koulun matematiikan kurssilla) ja epästandardeja menetelmiä toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseksi.

1. Neliöyhtälön vasemman puolen hajottaminen lineaarisiksi tekijöiksi.

Harkitse esimerkkejä:

3) x 2 + 10x - 24 = 0.

6(x 2 + x - x) = 0 | : 6

x 2 + x - x - \u003d 0;

x(x-) + (x-) = 0;

x(x-) (x+) = 0;

Vastaus: ; – .

Itsenäiseen työhön:

Ratkaise toisen asteen yhtälöt käyttämällä menetelmää, jossa kerrotaan toisen asteen yhtälön vasen puoli lineaarisiksi tekijöiksi.

2. Koko neliön valintamenetelmä.

Harkitse esimerkkejä:

Itsenäiseen työhön.

Ratkaise toisen asteen yhtälöt täysneliömenetelmällä.

3. Neliöyhtälöiden ratkaisu kaavalla.

ax 2 + in + c \u003d 0, (a | 4a

4a 2 x 2 + 4ab + 4ac = 0;

2ax + 2ax 2v + in 2 - in 2 + 4ac \u003d 0;

Harkitse esimerkkejä.

Itsenäiseen työhön.

Ratkaise toisen asteen yhtälöt kaavalla x 1,2 =.

4. Neliöyhtälöiden ratkaiseminen Vieta-lauseen avulla (suora ja käänteinen)

x 2 + px + q = 0 - pelkistetty toisen asteen yhtälö

Jos sitten yhtälöllä on kaksi identtistä juurta etumerkissä ja se riippuu kertoimesta.

Jos p, niin .

Jos p, niin .

Esimerkiksi:

Jos sitten yhtälöllä on kaksi erimerkkistä juurta, ja suurempi juuri on jos p ja on jos p.

Esimerkiksi:

Itsenäiseen työhön.

Ratkaisematta toisen asteen yhtälöä, käytä käänteistä Vieta-lausetta määrittääksesi sen juurten merkit:

a, b, j, l - erilaiset juuret;

c, e, h – negatiivinen;

d, f, g, i, m – positiivinen;

5. Neliöyhtälöiden ratkaisu "siirto"-menetelmällä.

Itsenäiseen työhön.

Ratkaise toisen asteen yhtälöt "flip"-menetelmällä.

6. Neliöyhtälöiden ratkaiseminen kertoimien ominaisuuksien avulla.

I. ax 2 + bx + c = 0, missä a 0

1) Jos a + b + c \u003d 0, niin x 1 \u003d 1; x 2 =

Todiste:

ax 2 + bx + c = 0 |: a

x 2 + x + = 0.

Vietan lauseen mukaan

Ehdolla a + b + c = 0, niin b = -a - c. Seuraavaksi saamme

Tästä seuraa, että x 1 =1; x 2 = . Q.E.D.

2) Jos a - b + c \u003d 0 (tai b \u003d a + c), niin x 1 \u003d - 1; x 2 \u003d -

Todiste:

Vietan lauseen mukaan

Ehdolla a - b + c \u003d 0, ts. b = a + c. Seuraavaksi saamme:

Siksi x 1 \u003d - 1; x 2 \u003d -.

Harkitse esimerkkejä.

1) 345 x 2 - 137 x - 208 = 0.

a + b + c \u003d 345 - 137 - 208 \u003d 0

x 1 = 1; x 2 ==

2) 132 x 2 - 247 x + 115 = 0.

a + b + c = 132 -247 -115 = 0.

x 1 = 1; x 2 ==

Vastaus: 1;

Itsenäiseen työhön.

Ratkaise yhtälöt käyttämällä toisen asteen yhtälön kertoimien ominaisuuksia

II. ax 2 + bx + c = 0, missä a 0

x 1,2 = . Olkoon b = 2k, so. jopa. Sitten saamme

x 1,2 = = = =

Harkitse esimerkkiä:

3x 2 - 14x + 16 = 0.

D 1 \u003d (-7) 2 - 3 16 \u003d 49 - 48 \u003d 1

x 1 = = 2; x 2 =

Vastaus: 2;

Itsenäiseen työhön.

a) 4x 2 - 36x + 77 = 0

b) 15x 2 - 22x - 37 = 0

c) 4x 2 + 20x + 25 = 0

d) 9x 2 - 12x + 4 = 0

Vastaukset:

III. x 2 + px + q = 0

x 1,2 = - ± 2 - q

Harkitse esimerkkiä:

x 2 - 14x - 15 = 0

x 1,2 = 7 = 7

x 1 \u003d -1; x 2 = 15.

Vastaus: -1; 15.

Itsenäiseen työhön.

a) x 2 - 8x - 9 \u003d 0

b) x 2 + 6x - 40 = 0

c) x 2 + 18x + 81 = 0

d) x 2 - 56x + 64 = 0

7. Neliöyhtälön ratkaiseminen graafien avulla.

a) x 2 - 3x - 4 \u003d 0

Vastaus: -1; 4

b) x 2 - 2x + 1 = 0

c) x 2 - 2x + 5 = 0

Vastaus: ei ratkaisua

Itsenäiseen työhön.

Ratkaise toisen asteen yhtälöt graafisesti:

8. Neliöyhtälöiden ratkaiseminen kompassilla ja suoraviivalla.

ax2 + bx + c = 0,

x 2 + x + = 0.

x 1 ja x 2 ovat juuria.

Olkoon A(0; 1), C(0;

Sekanttilauseen mukaan:

OV · OD = OA · OS.

Siksi meillä on:

x 1 x 2 = 1 käyttöjärjestelmä;

Käyttöjärjestelmä = x 1 x 2

K(; 0), missä = -

F(0; ) = (0; ) = )

1) Muodosta piste S(-; ) - ympyrän keskipiste ja piste A(0;1).

2) Piirrä ympyrä, jonka säde R = SA/

3) Tämän ympyrän ja x-akselin leikkauspisteiden abskissat ovat alkuperäisen toisen asteen yhtälön juuria.

3 tapausta on mahdollista:

1) R > SK (tai R > ).

Ympyrä leikkaa x-akselin pisteissä B(x 1; 0) ja D(x 2; 0), missä x 1 ja x 2 ovat toisen asteen yhtälön ax 2 + bx + c = 0 juuret.

2) R = SK (tai R = ).

Ympyrä koskettaa x-akselia ahdistuksessa B 1 (x 1; 0), missä x 1 on toisen asteen yhtälön juuri

ax2 + bx + c = 0.

3) R< SK (или R < ).

Ympyrällä ei ole yhteisiä pisteitä x-akselin kanssa, ts. ei ole ratkaisuja.

1) x 2 - 2x - 3 = 0.

Keskus S(-; ), ts.

x 0 = = - = 1,

y 0 = = = – 1.

(1; – 1) on ympyrän keskipiste.

Piirretään ympyrä (S; AS), jossa A(0; 1).

9. Neliöyhtälöiden ratkaiseminen nomogrammin avulla

Ratkaisua varten nelinumeroiset matemaattiset taulukot V.M. Bradys (levy XXII, s. 83).

Nomogrammi mahdollistaa ratkaisematta toisen asteen yhtälön x 2 + px + q = 0, määrittää yhtälön juuret kertoimillaan. Esimerkiksi:

5) z2 + 4z + 3 = 0.

Molemmat juuret ovat negatiivisia. Siksi teemme korvaavan: z 1 = - t. Saamme uuden yhtälön:

t 2 - 4t + 3 = 0.

t 1 \u003d 1; t2 = 3

z 1 \u003d - 1; z 2 \u003d - 3.

Vastaus: - 3; - 1

6) Jos kertoimet p ja q ovat asteikon ulkopuolella, suorita substituutio z \u003d k t ja ratkaise yhtälö nomogrammin avulla: z 2 + pz + q \u003d 0.

k 2 t 2 + p kt + q = 0. |: k 2

k otetaan sillä odotuksella, että epätasa-arvoa tapahtuu:

Itsenäiseen työhön.

y 2 + 6y - 16 = 0.

v 2 + 6v = 16, |+ 9

v 2 + 6v + 9 = 16 + 9

y 1 = 2, y 2 = -8.

Vastaus: -8; 2

Itsenäiseen työhön.

Ratkaise geometrisesti yhtälö y 2 - 6y - 16 = 0.

Neliöyhtälöitä tutkitaan luokalla 8, joten tässä ei ole mitään monimutkaista. Kyky ratkaista ne on välttämätöntä.

Neliöyhtälö on muotoa ax 2 + bx + c = 0 oleva yhtälö, jossa kertoimet a , b ja c ovat mielivaltaisia ​​numeroita, ja a ≠ 0.

Ennen kuin tutkimme tiettyjä ratkaisumenetelmiä, huomaamme, että kaikki toisen asteen yhtälöt voidaan jakaa kolmeen luokkaan:

1. ei ole juuria;
2. Niillä on täsmälleen yksi juuri;
3. Niillä on kaksi eri juurta.

Tämä on tärkeä ero toisen asteen ja lineaaristen yhtälöiden välillä, joissa juuri on aina olemassa ja on ainutlaatuinen. Kuinka määrittää kuinka monta juurta yhtälöllä on? Tässä on hieno asia - syrjivä.

Syrjivä

Olkoon toisen asteen yhtälö ax 2 + bx + c = 0. Tällöin diskriminantti on yksinkertaisesti luku D = b 2 − 4ac .

Tämä kaava on tiedettävä ulkoa. Mistä se tulee, ei ole nyt merkitystä. Toinen asia on tärkeä: erottimen merkillä voit määrittää, kuinka monta juurta toisen asteen yhtälöllä on. Nimittäin:

1. Jos D< 0, корней нет;
2. Jos D = 0, on juuri yksi juuri;
3. Jos D > 0, on kaksi juuria.

Huomaa: diskriminantti osoittaa juurien määrän, ei ollenkaan niiden merkkejä, kuten jostain syystä monet ajattelevat. Katso esimerkkejä ja ymmärrät kaiken itse:

Tehtävä. Kuinka monta juurta toisen asteen yhtälöillä on:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x2 − 6x + 9 = 0.

Kirjoitamme ensimmäisen yhtälön kertoimet ja löydämme diskriminantin:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Diskriminantti on siis positiivinen, joten yhtälöllä on kaksi eri juuria. Analysoimme toista yhtälöä samalla tavalla:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminantti on negatiivinen, ei ole juuria. Jäljelle jää viimeinen yhtälö:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminantti on yhtä suuri kuin nolla - juuri on yksi.

Huomaa, että jokaiselle yhtälölle on kirjoitettu kertoimet. Kyllä, se on pitkä, kyllä, se on tylsää - mutta et sekoita kertoimia etkä tee typeriä virheitä. Valitse itse: nopeus vai laatu.

Muuten, jos "täytät kätesi", sinun ei enää hetken kuluttua tarvitse kirjoittaa kaikkia kertoimia. Suoritat tällaiset toiminnot päässäsi. Useimmat ihmiset alkavat tehdä tätä jossain 50-70 ratkaistun yhtälön jälkeen - yleensä ei niin paljon.

Toisen yhtälön juuret

Siirrytään nyt ratkaisuun. Jos diskriminantti D > 0, juuret löytyvät kaavoilla:

Peruskaava toisen asteen yhtälön juurille

Kun D = 0, voit käyttää mitä tahansa näistä kaavoista - saat saman numeron, joka on vastaus. Lopuksi, jos D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Ensimmäinen yhtälö:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ yhtälöllä on kaksi juuria. Etsitään ne:

Toinen yhtälö:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ yhtälöllä on jälleen kaksi juuria. Etsitään ne

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(tasaa)\]

Lopuksi kolmas yhtälö:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ yhtälöllä on yksi juuri. Mitä tahansa kaavaa voidaan käyttää. Esimerkiksi ensimmäinen:

Kuten esimerkeistä näet, kaikki on hyvin yksinkertaista. Jos tunnet kaavat ja osaat laskea, ei ole ongelmia. Useimmiten virheitä tapahtuu, kun negatiiviset kertoimet korvataan kaavaan. Tässä taas yllä kuvattu tekniikka auttaa: katso kaavaa kirjaimellisesti, maalaa jokainen vaihe - ja päästä eroon virheistä hyvin pian.

Epätäydelliset toisen asteen yhtälöt

Tapahtuu, että toisen asteen yhtälö on jonkin verran erilainen kuin määritelmässä annettu. Esimerkiksi:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

On helppo nähdä, että yksi termeistä puuttuu näistä yhtälöistä. Tällaiset toisen asteen yhtälöt ovat jopa helpompia ratkaista kuin tavalliset: niiden ei tarvitse edes laskea diskriminanttia. Esittelemme siis uuden konseptin:

Yhtälöä ax 2 + bx + c = 0 kutsutaan epätäydelliseksi toisen asteen yhtälöksi, jos b = 0 tai c = 0, ts. muuttujan x eli vapaan alkion kerroin on nolla.

Tietysti erittäin vaikea tapaus on mahdollinen, kun molemmat kertoimet ovat nolla: b \u003d c \u003d 0. Tässä tapauksessa yhtälö saa muotoa ax 2 \u003d 0. On selvää, että tällaisella yhtälöllä on yksi ainoa juuri: x \u003d 0.

Mietitään muita tapauksia. Olkoon b \u003d 0, niin saamme epätäydellisen toisen asteen yhtälön muodossa ax 2 + c \u003d 0. Muunnetaan sitä hieman:

Koska aritmeettinen neliöjuuri on olemassa vain ei-negatiivisesta luvusta, viimeisellä yhtälöllä on järkeä vain, kun (−c / a ) ≥ 0. Johtopäätös:

1. Jos epätäydellinen toisen asteen yhtälö muotoa ax 2 + c = 0 tyydyttää epäyhtälön (−c / a ) ≥ 0, on kaksi juuria. Kaava on annettu yllä;
2. Jos (-c / a )< 0, корней нет.

Kuten näette, diskriminanttia ei vaadittu - epätäydellisissä toisen asteen yhtälöissä ei ole lainkaan monimutkaisia ​​laskelmia. Itse asiassa ei tarvitse edes muistaa epäyhtälöä (−c / a ) ≥ 0. Riittää, kun ilmaistaan ​​x 2:n arvo ja katsotaan mitä on yhtäläisyysmerkin toisella puolella. Jos on positiivinen luku, on kaksi juuria. Jos negatiivinen, juuria ei ole ollenkaan.

Käsitellään nyt yhtälöitä, jotka ovat muotoa ax 2 + bx = 0, joissa vapaa alkio on yhtä suuri kuin nolla. Täällä kaikki on yksinkertaista: aina on kaksi juurta. Riittää, että polynomi kerrotaan kertoimella:

Tulo on nolla, kun vähintään yksi tekijöistä on nolla. Täältä juuret tulevat. Lopuksi analysoimme useita näistä yhtälöistä:

Tehtävä. Ratkaise toisen asteen yhtälöt:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Ei ole juuria, koska neliö ei voi olla yhtä suuri kuin negatiivinen luku.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Tämä opetusvideo näyttää, kuinka voit ratkaista toisen asteen yhtälön. Neliöyhtälöiden ratkaisua aletaan yleensä tutkia yleissivistävä koulu, 8. luokka. Neliöyhtälön juuret löydetään käyttämällä erityistä kaavaa. Olkoon neliöyhtälö muotoa ax2+bx+c=0, jossa x on tuntematon, a, b ja c kertoimia, jotka ovat todellisia lukuja. Ensin sinun on määritettävä diskriminantti kaavalla D=b2-4ac. Sen jälkeen on vielä laskettava toisen asteen yhtälön juuret tunnetulla kaavalla. Yritetään nyt ratkaista tietty esimerkki. Otetaan alkuyhtälöksi x2+x-12=0, ts. kerroin a=1, b=1, c=-12. Tunnetun kaavan mukaan voit määrittää erottimen. Sitten laskemme ne yhtälön juurten löytämiseksi kaavalla. Meidän tapauksessamme diskriminantti on yhtä suuri kuin 49. Että diskriminantin arvo on positiivinen luku, kertoo meille, että tällä toisen asteen yhtälöllä on kaksi juuria. Yksinkertaisten laskelmien jälkeen saadaan, että x1=-4, x2=3. Siten ratkaisimme toisen asteen yhtälön laskemalla sen juuret Videotunti ”Kesäyhtälöiden ratkaiseminen (luokka 8). Löydämme juuret kaavalla ”voit katsoa verkossa milloin tahansa ilmaiseksi. Onnea sinulle!