Kokonaislukujärjestelmän aksiomaattinen rakentaminen. Reaalilukujen aksioomit. Katso, mitä "Reaalilukujen aksiomatiikka" on muissa sanakirjoissa

Kokonaislukujärjestelmä

Muistakaamme, että luonnollinen sarja näytti listaavan esineitä. Mutta jos haluamme suorittaa joitain toimintoja esineiden kanssa, tarvitsemme aritmeettisia operaatioita numeroille. Eli jos haluamme pinota omenoita tai jakaa kakun, meidän on käännettävä nämä toiminnot numeroiden kielelle.

Huomaa, että operaatioiden + ja * sisällyttämiseksi luonnollisten lukujen kieleen on tarpeen lisätä aksioomia, jotka määrittelevät näiden operaatioiden ominaisuudet. Mutta sitten itse luonnollisten lukujen joukko on myös laajenee.

Katsotaan kuinka luonnollisten lukujen joukko laajenee. Yksinkertaisin toimenpide, jota vaadittiin ensimmäisten joukossa, on lisääminen. Jos haluamme määritellä yhteenlaskuoperaation, meidän on määritettävä sen käänteisvähennys. Itse asiassa, jos tiedämme, mikä on summauksen tulos, esimerkiksi 5 ja 2, meidän pitäisi pystyä ratkaisemaan tehtäviä, kuten: mitä pitäisi lisätä 4:ään, jotta saadaan 11. Eli yhteenliittämiseen liittyvät ongelmat tulevat varmasti vaativat kykyä suorittaa käänteinen toiminta - vähennys. Mutta jos luonnolliset luvut lisäämällä saadaan taas luonnollinen luku, niin luonnollisten lukujen vähentäminen antaa tuloksen, joka ei sovi N:ään. Tarvittiin joitain muita lukuja. Analogisesti ymmärrettävän vähennyksen kanssa lisää Otettiin käyttöön sääntö pienempien vähentämisestä pienemmästä - näin negatiiviset kokonaisluvut ilmestyivät.

Täydentämällä luonnollista sarjaa operaatioilla + ja - saadaan kokonaislukujen joukko.

Z=N+operaatiota(+-)

Rationaalilukujärjestelmä aritmeettisena kielenä

Tarkastellaan nyt seuraavaa monimutkaisinta toimintaa - kertolaskua. Pohjimmiltaan tämä on toistuva lisäys. Ja kokonaislukujen tulo pysyy kokonaislukuna.

Mutta kertolaskujen käänteinen operaatio on jako. Mutta se ei aina anna parasta tulosta. Ja taas olemme dilemman edessä - joko hyväksyä itsestäänselvyytenä, että jaon tulosta ei ehkä ole olemassa, tai keksiä uudentyyppisiä lukuja. Näin rationaaliset luvut ilmestyivät.

Otetaan kokonaislukujärjestelmä ja täydennetään sitä aksioomeilla, jotka määrittelevät kerto- ja jakolaskuoperaatiot. Saamme rationaalilukujärjestelmän.

Q=Z+operaatiot(*/)

Joten rationaalilukujen kieli antaa meille mahdollisuuden tuottaa kaikki aritmeettiset operaatiot numeroiden yli. Luonnollisten lukujen kieli ei riittänyt tähän.

Annetaan aksiomaattinen määritelmä rationaalilukujärjestelmälle.

Määritelmä. Joukkoa Q kutsutaan rationaalilukujen joukoksi ja sen alkioita rationaaliluvuiksi, jos seuraava ehtojoukko, jota kutsutaan rationaalilukujen aksiomatiikaksi, täyttyy:

Summauksen operaation aksioomat. Jokaista tilattua paria kohden x,y elementtejä K jokin elementti on määritelty x+yОQ, nimeltään summa X Ja klo. Tässä tapauksessa seuraavat ehdot täyttyvät:

1. (nollan olemassaolo) On olemassa alkio 0 (nolla), niin että mille tahansa XÎQ

X+0=0+X=X.

2. Kaikille elementeille XО Q on elementti - XО Q (vastakohta X) sellaista

X+ (-X) = (-X) + X = 0.

3. (Kommutatiivisuus) Kaikille x,yО Q

4. (Assosiatiivisuus) mille tahansa x,y,zО Q:lle

x + (y + z) = (x + y) + z

Kertolaskuoperaation aksioomat.

Jokaista tilattua paria kohden x, y elementtejä Q:sta jokin elementti on määritelty xyО Q, nimeltään tuote X Ja u. Tässä tapauksessa seuraavat ehdot täyttyvät:

5. (Yksikköelementin olemassaolo) On alkio 1 О Q sellainen, että mille tahansa XО Q

X . 1 = 1. x = x

6. Kaikille elementeille XО Q , ( X≠ 0) on olemassa käänteinen elementti X-1 ≠0 niin, että

X. x-1 = x-1. x = 1

7. (Assosiatiivisuus) Kaikille x, y, zО Q

X . (y . z) = (x . y) . z

8. (Kommutatiivisuus) Kaikille x, yО Q

Aksiooma yhteen- ja kertolaskuyhteydestä.

9. (Jakelu) Kaikille x, y, zО Q

(x+y) . z = x . z+y . z

Järjestyksen aksioomat.

Mikä tahansa kaksi elementtiä x, y,О Q astuu vertailurelaatioon ≤. Tässä tapauksessa seuraavat ehdot täyttyvät:

10. (X≤klo)L ( klo≤x) ó x=y

11. (X≤y) L ( y≤ z) => x≤z

12. Kenelle tahansa x, yО Q tai x< у, либо у < x .

Asenne< называется строгим неравенством,

Suhdetta = kutsutaan Q:n alkioiden yhtälöksi.

Lisäyksen ja järjestyksen välisen yhteyden aksiooma.

13. Jokaiselle x, y, z ОQ, (x £ y) Þ x+z £ y+z

Kertomisen ja järjestyksen välisen yhteyden aksiooma.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) Þ (0 £ x´y)

Archimedesin jatkuvuuden aksiooma.

15. Jokaiselle a > b > 0 on olemassa m О N ja n О Q siten, että m ³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

Näin ollen rationaalilukujärjestelmä on aritmeettinen kieli.

Tämä kieli ei kuitenkaan riitä ratkaisemaan käytännön laskentaongelmia.

Suositukset on tarkoitettu pedagogisten korkeakoulujen opiskelijoille, jotka opiskelevat tieteenalaa "Algebra ja lukuteoria". Tämän tieteenalan puitteissa opiskellaan valtion standardin mukaisesti 6. lukukaudella jaksoa "Numeeriset järjestelmät". Näissä suosituksissa esitetään materiaalia luonnollisten lukujärjestelmien (Peanon aksioomajärjestelmän), kokonaislukujärjestelmien ja rationaalisten lukujen aksiomaattisesta rakentamisesta. Tämä aksiomatiikka antaa meille mahdollisuuden ymmärtää paremmin, mikä luku on, joka on yksi koulun matematiikan kurssin peruskäsitteistä. Aineiston paremman omaksumisen helpottamiseksi annetaan aiheeseen liittyviä tehtäviä. Suositusten lopussa on vastauksia, ohjeita ja ratkaisuja ongelmiin.

Arvostelija: Pedagogiikan tohtori, prof. Dalinger V.A.

c) Mozhan N.N.

Allekirjoitettu julkaistavaksi - 22.10.98

1. LUONNOLLINEN NUMERO.

1.1 Peanon aksioomajärjestelmä ja yksinkertaisimmat seuraukset.

Peanon aksiomaattisen teorian alkukäsitteet ovat joukko N ​​(jota kutsumme luonnollisten lukujen joukoksi), erikoisluku nolla (0) ja binäärirelaatio "seuraa" N:llä, jota merkitään S(a) (tai a()).
AXIOMS:
1. ((a(N) a"(0 (On luonnollinen luku 0, joka ei seuraa mitään lukua.)
2. a=b (a"=b" (Jokaisen luonnollisen luvun a perässä on luonnollinen luku a" ja vain yksi.)
3. a"=b" (a=b (Jokainen luonnollinen luku seuraa enintään yhtä lukua.)
4. (induktioaksiooma) Jos joukko M(N ja M) täyttää kaksi ehtoa:
A) 0 (M;
B) ((a(N) a(M® a"(M, sitten M=N.
Funktionaalisessa terminologiassa tämä tarkoittaa, että kartoitus S:N®N on injektiivinen. Aksioomasta 1 seuraa, että kartoitus S:N®N ei ole surjektiivinen. Aksiooma 4 on perusta väitteiden todistamiselle "matemaattisen induktion menetelmällä".
Huomioikaa joitain luonnollisten lukujen ominaisuuksia, jotka seuraavat suoraan aksioomista.
Ominaisuus 1. Jokainen luonnollinen luku a(0 seuraa yhtä ja vain yhtä lukua.
Todiste. Merkitään M sitä luonnollisten lukujen joukkoa, jotka sisältävät nollan ja kaikki ne luonnolliset luvut, joista jokainen seuraa jotakin lukua. Riittää, kun osoitetaan, että M=N, ainutlaatuisuus seuraa aksioomasta 3. Sovelletaan induktioaksioomaa 4:
A) 0(M - joukon M rakentamisen perusteella;
B) jos a(M, niin a"(M, koska a" seuraa a.
Tämä tarkoittaa aksioomalla 4, että M=N.
Ominaisuus 2. Jos a(b, niin a"(b).
Ominaisuus todistetaan ristiriidalla käyttäen aksioomaa 3. Se todistetaan samalla tavalla seuraava kiinteistö 3 käyttäen aksioomaa 2.
Ominaisuus 3. Jos a"(b", niin a(b.
Ominaisuus 4. ((a(N)a(a). (Mikään luonnollinen luku ei seuraa itseään.)
Todiste. Olkoon M=(x (x(N, x(x")). Riittää näyttää, että M=N. Koska aksiooman 1 mukaan ((x(N)x"(0, sitten erityisesti 0"(0)) , ja siten aksiooman 4 0(M - ehto A) täyttyy. Jos x(M, eli x(x), niin ominaisuudella 2 x"((x")", mikä tarkoittaa, että ehto B) x ( M® x"(M. Mutta sitten aksiooman 4 mukaan M=N.
Olkoon ( jokin luonnollisten lukujen ominaisuus. Se, että luvulla a on ominaisuus (, kirjoitamme ((a).).
Tehtävä 1.1.1. Todista, että aksiooma 4 luonnollisten lukujen joukon määritelmästä vastaa seuraavaa lausetta: mille tahansa ominaisuudelle (, jos ((0) ja, sitten.
Tehtävä 1.1.2. Kolmielementtijoukossa A=(a,b,c) seuraavalla tavalla unaarioperaatio (: a(=c, b(=c, c(=a)) on määritelty. Mitkä Peanon aksioomeista ovat tosi joukossa A operaatiolla (?
Tehtävä 1.1.3. Olkoon A=(a) singleton joukko, a(=a. Mikä Peanon aksioomeista on tosi joukossa A operaatiolla (?
Tehtävä 1.1.4. Määrittelemme joukolle N unaarioperaation, oletetaan mille tahansa. Selvitä, pitävätkö operaation kannalta muotoiltujen Peanon aksioomien väitteet paikkansa N:ssä.
Ongelma 1.1.5. Anna olla. Todista, että A on suljettu operaatiossa (. Varmista joukon A Peanon aksioomien totuus operaatiolla (.
Ongelma 1.1.6. Anna olla, . Määritellään unaarioperaatio asetukselle A. Mitkä Peanon aksioomeista ovat tosi joukossa A operaatiolla?

1.2. Peanon aksioomajärjestelmän johdonmukaisuus ja kategoriallisuus.

Aksioomijärjestelmää kutsutaan johdonmukaiseksi, jos sen aksioomeista on mahdotonta todistaa lause T ja sen kieltäminen (T. On selvää, että ristiriitaisilla aksioomajärjestelmillä ei ole matematiikassa merkitystä, koska sellaisessa teoriassa voidaan todistaa mitä tahansa ja sellainen teoria ei heijasta todellisen maailman lakeja Siksi aksioomajärjestelmän johdonmukaisuus on ehdottoman välttämätön vaatimus.
Jos lausetta T ja sen negaatioita (T) ei löydy aksiomaattisesta teoriasta, tämä ei tarkoita, että aksioomajärjestelmä olisi johdonmukainen, vaan sellaisia ​​teorioita saattaa ilmaantua tulevaisuudessa. Siksi aksioomajärjestelmän johdonmukaisuus on todistettava. yleisin tapa todistaa johdonmukaisuus on tulkintamenetelmä, joka perustuu siihen tosiasiaan, että jos aksioomajärjestelmästä on tulkinta ilmeisen johdonmukaisessa teoriassa S, niin itse aksioomajärjestelmä on johdonmukainen. silloin lauseet T ja (T olisivat todistettavissa siinä, mutta silloin nämä lauseet olisivat päteviä ja sen tulkinnassa, ja tämä on ristiriidassa teorian S johdonmukaisuuden kanssa. Tulkintamenetelmällä voidaan todistaa vain teorian suhteellinen johdonmukaisuus.
Peanon aksioomajärjestelmälle voidaan rakentaa monia erilaisia ​​tulkintoja. Joukkoteoriassa on erityisen paljon tulkintoja. Osoittakaamme yksi näistä tulkinnoista. Pidämme joukot (, ((), (()), ((())),... luonnollisina lukuina; nollaa erikoislukuna (. Relaatio "seuraa" tulkitaan seuraavasti: joukkoa M seuraa joukko (M), jonka ainoa elementti on itse M. Siten ("=((), ()"=(())) jne. aksioomit 1-4 voidaan todentaa helposti. Tällaisen tulkinnan tehokkuus on kuitenkin pieni: se osoittaa, että Peanon aksioomajärjestelmä on johdonmukainen, jos joukkoteoria on johdonmukainen. Mutta joukkoteoria-aksioomajärjestelmän johdonmukaisuuden todistaminen on vielä vaikeampaa Peanon aksioomajärjestelmän vakuuttavin tulkinta on intuitiivinen aritmetiikka, jonka johdonmukaisuuden vahvistaa sen vuosisatojen kehityskokemus.
Johdonmukaista aksioomajärjestelmää kutsutaan itsenäiseksi, jos tämän järjestelmän jokaista aksioomaa ei voida todistaa lauseeksi muiden aksioomien perusteella. Todistaa, että aksiooma (ei riipu järjestelmän muista aksioomeista
(1, (2, ..., (n, (1)
riittää todistamaan, että aksioomijärjestelmä on johdonmukainen
(1, (2, ..., (n, ((2)
Todellakin, jos (todistettiin järjestelmän (1) jäljellä olevien aksioomien perusteella, niin järjestelmä (2) olisi ristiriitainen, koska siinä lause (ja aksiooma ((.
Joten aksiooman riippumattomuuden osoittamiseksi (järjestelmän (1) muista aksioomeista riittää, että laaditaan tulkinta aksioomijärjestelmästä (2).
Aksioomajärjestelmän riippumattomuus on valinnainen vaatimus. Joskus "vaikeiden" lauseiden todistamisen välttämiseksi rakennetaan tarkoituksella redundantti (riippuvainen) aksioomijärjestelmä. Kuitenkin "ylimääräiset" aksioomit vaikeuttavat aksioomien roolin tutkimista teoriassa sekä sisäisiä loogisia yhteyksiä teorian eri osien välillä. Lisäksi tulkintojen rakentaminen riippuvaisille aksioomajärjestelmille on paljon vaikeampaa kuin itsenäisille; Loppujen lopuksi meidän on tarkistettava "ylimääräisten" aksioomien pätevyys. Näistä syistä aksioomien väliselle riippuvuudelle on annettu ensiarvoisen tärkeää muinaisista ajoista lähtien. Kerran yritettiin todistaa, että Eukleideen aksioomien postulaatti 5 "Pisteen A kautta kulkee korkeintaan yksi suoran kanssa yhdensuuntainen suora (" on lause (eli riippuu jäljellä olevista aksioomeista) ja johtivat Lobatševskin löytämiseen geometria.
Johdonmukaista järjestelmää kutsutaan deduktiivisesti täydelliseksi, jos mikä tahansa tietyn teorian väite A voidaan joko todistaa tai kumota, eli joko A tai (A on tämän teorian lause. Jos on väite, jota ei voida todistaa eikä kumota, silloin aksioomajärjestelmää kutsutaan deduktiivisesti epätäydelliseksi.Deduktiivinen täydellisyys ei myöskään ole pakollinen vaatimus.Esimerkiksi ryhmäteorian, rengasteorian, kenttäteorian aksioomajärjestelmät ovat epätäydellisiä, koska on olemassa sekä äärellisiä että äärettömiä ryhmiä, renkaita, kenttiä , niin näissä teorioissa on mahdotonta todistaa tai kumota väitettä: "Ryhmä (rengas, kenttä) sisältää äärellisen määrän elementtejä."
On huomattava, että monissa aksiomaattisissa teorioissa (eli formalisoimattomissa) lauseiden joukkoa ei voida pitää tarkasti määriteltynä, ja siksi on mahdotonta todistaa tällaisen teorian aksioomajärjestelmän deduktiivista täydellisyyttä. Toista täydellisyyden tunnetta kutsutaan kategoriallisuudeksi. Aksioomajärjestelmää kutsutaan kategoriseksi, jos mitkä tahansa kaksi sen tulkintaa ovat isomorfisia, eli yhden ja toisen tulkinnan alkuobjektijoukkojen välillä on sellainen yksi yhteen vastaavuus, joka säilyy kaikissa alkurelaatioissa. Kategorisuus on myös valinnainen ehto. Esimerkiksi ryhmäteorian aksioomajärjestelmä ei ole kategorinen. Tämä johtuu siitä, että äärellinen ryhmä ei voi olla isomorfinen äärettömälle ryhmälle. Kuitenkin, kun aksiomatisoidaan minkä tahansa numeerisen järjestelmän teoriaa, kategoriallisuus on pakollista; esimerkiksi luonnollisia lukuja määrittävän aksioomijärjestelmän kategorisuus tarkoittaa, että isomorfismiin asti on olemassa vain yksi luonnollinen sarja.
Todistakaamme Peanon aksioomajärjestelmän kategorisuus. Olkoon (N1, s1, 01) ja (N2, s2, 02) mitkä tahansa kaksi tulkintaa Peanon aksioomajärjestelmästä. On ilmoitettava bijektiivinen (yksi yhteen) kartoitus f:N1®N2, jolle seuraavat ehdot täyttyvät:
a) f(s1(x)=s2(f(x)) mille tahansa x:lle Nl:stä;
b) f(01) = 02
Jos molemmat unaarioperaatiot s1 ja s2 merkitään samalla alkuluvulla, ehto a) kirjoitetaan uudelleen muotoon
a) f(x()=f(x)(.
Määritellään binäärirelaatio f joukolle N1(N2) seuraavilla ehdoilla:
1) 01f02;
2) jos xfy, niin x(fy(.
Varmistetaan, että tämä relaatio on kartoitus N1:stä N2:een, eli jokaiselle x:lle N1:stä
(((y(N2) xfy (1)
Olkoon M1 kaikkien N1:n alkioiden x joukko, jolle ehto (1) täyttyy. Sitten
A) 01(M1 johtuu 1);
B) x(M1 ® x((M1 2:n perusteella) ja kohdan 1 ominaisuudet 1.
Tästä päätämme aksiooman 4 mukaan, että M1=N1, ja tämä tarkoittaa, että relaatio f on N1:n kuvaus N2:ksi. Lisäksi kohdasta 1) seuraa, että f(01)=02. Ehto 2) kirjoitetaan muodossa: jos f(x)=y, niin f(x()=y(. Tästä seuraa, että f(x()=f(x)().). Näin ollen f-ehdon näyttämiseksi a ) ja b) täyttyvät, jää todistaa, että kartoitus f on bijektiivinen.
Merkitään M2:lla niiden N2:n alkioiden joukko, joista jokainen on yhden ja vain yhden elementin kuva N1:stä kuvauksen f alla.
Koska f(01)=02, niin 02 on kuva. Lisäksi, jos x(N2 ja x(01), niin kohteen 1 ominaisuudella 1 seuraa jotakin alkiota c N1:stä ja sitten f(x)=f(c()=f(c)((02. Tämä tarkoittaa 02 on kuva ainoasta elementistä 01, eli 02(M2.
Olkoon edelleen y(M2 ja y=f(x), missä x on elementin y ainoa käänteiskuva. Sitten ehdolla a) y(=f(x)(=f(x()), eli y(on elementin x kuva (. Olkoon c mikä tahansa elementin y() käänteiskuva, eli f(c)=y(. Koska y((02, niin c(01 ja c:lle) on edellinen elementti, jota merkitsemme d:llä. Silloin y(=f( c)=f(d()=f(d)(), josta Aksioomalla 3 y=f(d). Mutta koska y(M2, niin d= x, josta c=d(=x(. Olemme osoittaneet , että jos y on yksilöllisen elementin kuva, niin y(on yksilöllisen elementin kuva, eli y(M2 ® y((M2. Molemmat) aksiooman 4 ehdot täyttyvät ja näin ollen M2=N2, mikä täydentää kategoriallisuuden todisteen.
Kaikki esikreikkalainen matematiikka oli luonteeltaan empiiristä. Teorian yksittäiset elementit hukkuivat empiiristen ratkaisujen massaan käytännön ongelmia. Kreikkalaiset alistivat tämän empiirisen materiaalin loogiseen käsittelyyn ja yrittivät löytää yhteyksiä erilaisten empiiristen tietojen välillä. Tässä mielessä Pythagoras ja hänen koulukuntansa (5. vuosisadalla eKr.) näyttelivät suurta roolia geometriassa. Aksiomaattisen menetelmän ajatukset kuuluivat selvästi Aristoteleen (4. vuosisata eKr.) teoksiin. Näiden ajatusten käytännön toteutuksen toteutti kuitenkin Eukleides teoksessaan Elementit (3. vuosisadalla eKr.).
Tällä hetkellä voidaan erottaa kolme aksiomaattisten teorioiden muotoa.
1). Merkittävä aksiomatiikka, joka oli ainoa viime vuosisadan puoliväliin asti.
2). Puolimuodollinen aksiomatiikka, joka syntyi viime vuosisadan viimeisellä neljänneksellä.
3). Formaali (tai formalisoitu) aksiomatiikka, jonka syntymäaikana voidaan pitää vuotta 1904, jolloin D. Hilbert julkaisi kuuluisan ohjelmansa formalisoidun matematiikan perusperiaatteista.
Jokainen uusi muoto ei kiellä edellistä, vaan on sen kehittäminen ja selkeyttäminen niin, että kunkin uusi muoto korkeampi kuin edellinen.
Intensiiviselle aksiomatiikalle on ominaista se, että alkukäsitteillä on intuitiivisesti selkeä merkitys jo ennen aksioomien muotoilua. Siten Eukleideen elementeissä piste tarkoittaa juuri sitä, mitä ymmärrämme intuitiivisesti tällä käsitteellä. Tässä tapauksessa käytetään tavallista kieltä ja tavallista intuitiivista logiikkaa, joka juontaa juurensa Aristotelesta.
Semiformaaliset aksiomaattiset teoriat käyttävät myös tavallista kieltä ja intuitiivista logiikkaa. Toisin kuin mielekkäällä aksiomatiikalla, alkuperäisille käsitteille ei kuitenkaan anneta mitään intuitiivista merkitystä, vaan niille on ominaista vain aksioomat. Tämä lisää kurinalaisuutta, koska intuitio jossain määrin häiritsee kurinalaisuutta. Lisäksi yleisyys saavutetaan, koska jokainen sellaisessa teoriassa todistettu lause on pätevä missä tahansa tulkinnassa. Esimerkki puolimuodollisesta aksiomaattisesta teoriasta on Hilbertin teoria, joka esitetään hänen kirjassaan "Foundations of Geometry" (1899). Esimerkkejä semiformaalisista teorioista ovat myös renkaiden teoria ja monet muut algebran kurssilla esitellyt teoriat.
Esimerkki formalisoidusta teoriasta on lauselaskenta, jota opiskellaan matemaattisen logiikan kurssilla. Toisin kuin substantiivinen ja puolimuodollinen aksiomatiikka, formalisoitu teoria käyttää erityistä symbolista kieltä. Nimittäin on annettu teorian aakkoset, eli tietty joukko symboleja, joilla on sama rooli kuin tavallisen kielen kirjaimet. Mitä tahansa äärellistä merkkijonoa kutsutaan lausekkeeksi tai sanaksi. Lausekkeiden joukossa erotetaan kaavojen luokka, ja on osoitettu tarkka kriteeri, jonka avulla jokainen lauseke voi selvittää, onko se kaava. Kaavoilla on sama rooli kuin tavallisen kielen lauseilla. Jotkut kaavoista ovat julistettuja aksioomeja. Lisäksi määritellään loogiset päättelysäännöt; Jokainen tällainen sääntö tarkoittaa, että tietty kaava seuraa suoraan tietystä kaavajoukosta. Itse lauseen todistus on äärellinen kaavojen ketju, jossa viimeinen kaava on itse lause ja jokainen kaava on joko aksiooma tai aiemmin todistettu lause tai seuraa suoraan ketjun edellisistä kaavoista jonkin kaavan mukaan. päättelyn säännöt. Näin ollen todisteiden ankaruudesta ei ole minkäänlaista kysymystä: joko tietty ketju on todiste tai ei ole; kyseenalaista näyttöä ei ole. Tässä suhteessa formalisoitua aksiomatiikkaa käytetään erityisen hienovaraisissa matemaattisten teorioiden perustelukysymyksissä, kun tavallinen intuitiivinen logiikka voi johtaa virheellisiin johtopäätöksiin, jotka johtuvat pääasiassa tavallisen kielemme epätarkkuuksista ja epäselvyyksistä.
Koska formalisoidussa teoriassa jokaisesta lausekkeesta voidaan sanoa, onko se kaava, niin formalisoidun teorian lausejoukkoa voidaan pitää määrättynä. Tältä osin voidaan periaatteessa esittää kysymys deduktiivisen täydellisyyden ja johdonmukaisuuden osoittamisesta turvautumatta tulkintaan. Numerossa yksinkertaisia ​​tapauksia tämä voidaan toteuttaa. Esimerkiksi lauselaskennan johdonmukaisuus todistetaan ilman tulkintaa.
Formaaloimattomissa teorioissa monet väitteet eivät ole selkeästi määriteltyjä, joten on turha nostaa esiin kysymys johdonmukaisuuden osoittamisesta turvautumatta tulkintaan. Sama koskee kysymystä deduktiivisen täydellisyyden osoittamisesta. Kuitenkin, jos kohdataan ehdotus formalisoimattomasta teoriasta, jota ei voida todistaa eikä kumota, niin teoria on ilmeisesti deduktiivisesti epätäydellinen.
Aksiomaattista menetelmää on pitkään käytetty paitsi matematiikassa myös fysiikassa. Ensimmäiset yritykset tähän suuntaan teki Aristoteles, mutta aksiomaattinen menetelmä sai todellisen sovelluksensa fysiikassa vasta Newtonin mekaniikkateoksissa.
Tieteiden nopean matematisoitumisprosessin yhteydessä tapahtuu myös aksiomatisoitumisprosessi. Tällä hetkellä aksiomaattista menetelmää käytetään jopa joillakin biologian alueilla, esimerkiksi genetiikassa.
Aksiomaattisen menetelmän mahdollisuudet eivät kuitenkaan ole rajattomat.
Ensinnäkin huomaamme, että edes formalisoiduissa teorioissa ei ole mahdollista täysin välttää intuitiota. Itse formalisoidulla teorialla ilman tulkintoja ei ole merkitystä. Tästä syystä formalisoidun teorian ja sen tulkinnan välisestä suhteesta herää useita kysymyksiä. Lisäksi, kuten formalisoiduissa teorioissa, herää kysymyksiä aksioomajärjestelmän johdonmukaisuudesta, riippumattomuudesta ja täydellisyydestä. Kaikkien tällaisten kysymysten kokonaisuus muodostaa toisen teorian sisällön, jota kutsutaan formalisoidun teorian metateoriaksi. Toisin kuin formalisoitu teoria, metateorian kieli on tavallista arkikieltä, ja looginen päättely tapahtuu tavallisen intuitiivisen logiikan sääntöjen mukaan. Siten intuitio, joka on kokonaan poistettu formalisoidusta teoriasta, ilmestyy uudelleen sen metateoriaan.
Mutta tämä ei ole aksiomaattisen menetelmän tärkein heikkous. Mainitsimme jo D. Hilbertin ohjelman, joka loi perustan formalisoidulle aksiomaattiselle menetelmälle. Hilbertin pääideana oli ilmaista klassinen matematiikka formalisoituna aksiomaattisena teoriana ja sitten todistaa sen johdonmukaisuus. Tämä ohjelma osoittautui kuitenkin pääkohdistaan ​​utopistiseksi. Vuonna 1931 itävaltalainen matemaatikko K. Gödel todisti kuuluisat lauseensa, joista seurasi, että molemmat Hilbertin esittämät pääongelmat olivat mahdottomia. Koodausmenetelmäänsä käyttäen hän onnistui ilmaisemaan joitain oikeita oletuksia metateoriasta käyttämällä muodollisen aritmeettisen kaavoja ja osoittamaan, että nämä kaavat eivät ole johdettavissa muodollisessa aritmetiikassa. Näin ollen formalisoitu aritmetiikka osoittautui deduktiivisesti epätäydelliseksi. Gödelin tuloksista seurasi, että jos tämä todistamaton kaava sisällytetään aksioomien määrään, tulee toinen todistamaton kaava, joka ilmaisee jonkin tosi väitteen. Kaikki tämä merkitsi sitä, että ei vain kaikkea matematiikkaa, vaan jopa aritmetiikkaa - sen yksinkertaisinta osaa - ei voitu täysin formalisoida. Erityisesti Gödel rakensi kaavan, joka vastaa lausetta "Formalisoitu aritmetiikka on johdonmukainen" ja osoitti, että tämä kaava ei myöskään ole johdettavissa. Tämä tosiasia tarkoittaa, että formalisoidun aritmeettisen johdonmukaisuutta ei voida todistaa itse aritmetiikassa. Tietysti on mahdollista rakentaa vahvempi formalisoitu teoria ja käyttää sen välineitä formalisoidun aritmeettisen johdonmukaisuuden todistamiseen, mutta sitten herää vaikeampi kysymys tämän uuden teorian johdonmukaisuudesta.
Gödelin tulokset osoittavat aksiomaattisen menetelmän rajoitukset. Ja silti, tietoteoriassa ei ole minkäänlaista perustaa pessimistisille johtopäätöksille, joiden mukaan on olemassa tuntemattomia totuuksia. Se, että on olemassa aritmeettisia totuuksia, joita ei voida todistaa muodollisella aritmetiikalla, ei tarkoita, että on olemassa tuntemattomia totuuksia, eikä tarkoita, että ihmisen ajattelu olisi rajoitettua. Se tarkoittaa vain sitä, että ajattelumme mahdollisuudet eivät rajoitu täysin formalisoituihin menettelyihin ja että ihmiskunnan on vielä löydettävä ja keksittävä uusia todisteluperiaatteita.

1.3. Luonnollisten lukujen yhteenlasku

Luonnollisten lukujen yhteen- ja kertolaskuoperaatioita ei ole postuloitu Peanon aksioomajärjestelmässä, vaan me määrittelemme nämä operaatiot.
Määritelmä. Luonnollisten lukujen yhteenlasku on binäärialgebrallinen operaatio + joukossa N, jolla on seuraavat ominaisuudet:
1s. ((a(N) a+0=a;
2c. ((a,b(N) a+b(=(a+b)(.
Herää kysymys: onko tällaista toimintaa olemassa, ja jos on, onko se ainoa?
Lause. Luonnollisten lukujen summa on vain yksi.
Todiste. Binäärialgebrallinen operaatio joukossa N on kuvaus (:N(N®N. On todistettava, että on olemassa ainutlaatuinen kuvaus (:N(N®N)), jonka ominaisuudet: 1) ((x(N) () (x,0)=x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y)().). Jos jokaiselle luonnolliselle luvulle x todistamme kartoituksen olemassaolon fx:N®N ominaisuuksilla 1() fx(0 )=x; 2() fx(y()=fx(y)(), sitten yhtälön ((x) määrittelemä funktio ((x,y) ,y) (fx(y), täyttää ehdot 1) ja 2).
Määrittelemme joukossa N binäärirelaatio fx ehdoilla:
a) 0fxx;
b) jos yfxz, niin y(fxz(.
Varmistetaan, että tämä relaatio on kartoitus N:stä N:ään, eli jokaiselle y:lle N:stä
(((z(N) yfxz (1))
Merkitään M sitä luonnollisten lukujen y joukkoa, jolle ehto (1) täyttyy. Sitten ehdosta a) seuraa, että 0(M, ja ehdosta b) ja lauseen 1 ominaisuudesta 1 seuraa, että jos y(M, niin y((M. Näin ollen aksiooman 4 perusteella päätellään, että M = N , ja tämä tarkoittaa, että relaatio fx on kartoitus N:stä N:ään. Tätä kartoitusta varten seuraavat ehdot täyttyvät:
1() fx(0)=x - johtuu a);
2() fx((y)=fx(y() - b:n perusteella).
Näin ollen lisäyksen olemassaolo on todistettu.
Todistetaan ainutlaatuisuus. Olkoot + ja ( mitkä tahansa kaksi binäärialgebrallista operaatiota joukossa N, jonka ominaisuudet ovat 1c ja 2c. Meidän on todistettava, että
((x,y(N) x+y=x(y
Korjataan se mielivaltainen numero x ja merkitse S:llä niiden luonnollisten lukujen y joukko, joille yhtälö on
x+y=x(y (2)
suoritettu. Koska 1c mukaan x+0=x ja x(0=x, niin
A) 0(S
Olkoon nyt y(S, eli yhtälö (2) täyttyy. Koska x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y)(ja x+y=x(y),)), sitten aksioomalla 2 x+y(=x(y( eli ehto täyttyy).
B) y(S® y((S.
Siten aksiooman 4 mukaan S=N, joka täydentää lauseen todistuksen.
Osoittakaamme joitain lisäyksen ominaisuuksia.
1. Luku 0 on neutraali summausalkio, eli a+0=0+a=a jokaiselle luonnolliselle luvulle a.
Todiste. Yhtälö a+0=a seuraa ehdosta 1c. Todistetaan yhtälö 0+a=a.
Merkitään M:llä kaikkien lukujen joukko, joille se pätee. Ilmeisesti 0+0=0 ja siksi 0(M. Olkoon a(M, eli 0+a=a. Sitten 0+a(=(0+a)(=a(ja siksi a(M) Tämä tarkoittaa M=N, mikä on todistettava.
Seuraavaksi tarvitsemme lemman.
Lemma. a(+b=(a+b)(.
Todiste. Olkoon M kaikkien luonnollisten lukujen b joukko, joille yhtälö a(+b=(a+b) on totta mille tahansa a:n arvolle.
A) 0(M, koska a(+0=(a+0)(;
B) b(M ® b((M. Todellakin, koska b(M ja 2c), meillä on
a(+b(=(a(+b)(=((a+b)())(=(a+b())(,
eli b((M. Tämä tarkoittaa M=N, mikä on todistettava.
2. Luonnollisten lukujen yhteenlasku on kommutatiivista.
Todiste. Olkoon M=(a(a(N(((b(N)a+b=b+a).).) Riittää, kun todistetaan, että M=N. Meillä on:
A) 0(M - ominaisuuden 1 vuoksi.
B) a(M ® a((M. Todellakin, soveltamalla lemmaa ja sitä tosiasiaa, että a(M, saamme:
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.
Tämä tarkoittaa a((M, ja aksioomalla 4 M=N.
3. Lisäys on assosiatiivista.
Todiste. Antaa
M=(c(c(N(((a,b(N)(a+b)+c=a+(b+c)))
On todistettava, että M=N. Koska (a+b)+0=a+b ja a+(b+0)=a+b, niin 0(M. Olkoon c(M, eli (a+b)+c=a+(b+c ) Sitten
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c().
Tämä tarkoittaa c((M ja aksiooman 4 mukaan M=N.
4. a+1=a(, missä 1=0(.
Todiste. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. Jos b(0, niin ((a(N)a+b(a.
Todiste. Olkoon M=(a(a(N(a+b(a).). Koska 0+b=b(0, sitten 0(M. Edelleen, jos a(M, eli a+b(a),), niin ominaisuus 2 kohde 1 (a+b)((a(tai a(+b(a(. Joten a((M ja M=N.
6. Jos b(0, sitten ((a(N)a+b(0.
Todiste. Jos a=0, niin 0+b=b(0, mutta jos a(0 ja a=c(, niin a+b=c(+b=(c+b)(0.). Joten joka tapauksessa a + b(0.
7. (Additiivisen trichotomian laki). Kaikille luonnollisille luvuille a ja b yksi ja vain yksi kolmesta suhteesta on tosi:
1) a=b;
2) b=a+u, missä u(0;
3) a=b+v, missä v(0.
Todiste. Kiinnitetään mielivaltainen luku a ja merkitään M:llä se joukko luonnollisia lukuja b, joille ainakin yksi relaatioista 1), 2), 3) pätee. On todistettava, että M=N. Olkoon b = 0. Sitten jos a=0, niin relaatio 1 on tosi), ja jos a(0, niin relaatio 3 on tosi), koska a=0+a. Joten 0 (M.
Oletetaan nyt, että b(M, eli valitulle a:lle yksi suhteista 1), 2), 3) täyttyy. Jos a=b, niin b(=a(=a+1, eli kun b(suhde 2 pätee). Jos b=a+u, niin b(=a+u( eli kun b() suhde 2). Jos a=b+v, niin kaksi tapausta on mahdollista: v=1 ja v(1. Jos v=1, niin a=b+v=b", eli b":lle relaatiot 1 ovat tyytyväinen). Jos sama v(1, sitten v=c", missä c(0 ja sitten a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, missä c(0, että on b":lle relaatio 3 täyttyy). Olemme siis osoittaneet, että b(M®b"(M, ja siksi M=N, eli mille tahansa a:lle ja b:lle vähintään yksi relaatioista 1), 2), 3 täyttyy). Varmistetaan, ettei kahta niistä voi toteutua samanaikaisesti. Todellakin: jos suhteet 1) ja 2) täyttyisivät, niin niillä olisi b=b+u, missä u(0, ja tämä on ristiriidassa ominaisuuden kanssa 5. 1) ja 3). Lopuksi, jos suhteet 2) ja 3) täyttyisivät, niin meillä olisi a=(a+u)+v = a+ +(u+v), ja tämä on mahdotonta ominaisuuksien 5 ja 6 vuoksi. Ominaisuus 7 on täysin todistettu .
Tehtävä 1.3.1. Olkoon 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9).)). Todista, että 3+5=8, 2+4=6.

1.4. LUONNONLUKUJEN KERTOMINEN.

1.5. LUONNOLLINEN NUMEROJÄRJESTELMÄN JÄRJESTYS.

1.6. LUONNOLLINEN NUMEROJÄRJESTELMÄN TÄYDELLINEN TILAA.

1.7. INDUKTIOON PERIAATE.

1.8. LUONNONLUKUJEN VÄHENTÄMINEN JA JAKO.

1.10. LUONNOLLINEN NUMEROJÄRJESTELMÄ ERILLISÄ TÄYSIN TILAATTU SARJA.

2. KOKONAISLUKUJA JA RATIONAALILUKUJA.

2.2. KOKO LUKUJÄRJESTELMÄN OLEMASSA.

2.3. KOKO LUKUJÄRJESTELMÄN AINUTLAATUUS.

2.4. RATIONAALILUKUJÄRJESTELMÄN MÄÄRITELMÄ JA OMINAISUUDET.

2.5. RATIONAALILUKUJÄRJESTELMÄN OLEMASSA.

2.6. RATIONAALILUKUJÄRJESTELMÄN AINUTLAATUUS.

VASTAUKSET, OHJEET, RATKAISUT.

KIRJALLISUUS

Kun rakennat aksiomaattisesti mitä tahansa matemaattista teoriaa, varma säännöt:

· Jotkut teorian käsitteet valitaan peruskäsitteiksi ja hyväksytään ilman määritelmää;

· jokaiselle teoriakäsitteelle, joka ei sisälly perusluetteloon, annetaan määritelmä;

· muotoillaan aksioomia - väitteitä, jotka tietyssä teoriassa hyväksytään ilman todisteita; ne paljastavat peruskäsitteiden ominaisuudet;

· jokainen teorian väite, joka ei sisälly aksioomiluetteloon, on todistettava; Tällaisia ​​väitteitä kutsutaan lauseiksi ja ne todistetaan aksioomien ja lauseiden perusteella.

Teorian aksiomaattisessa konstruktiossa kaikki väitteet johdetaan aksioomista todisteiden kautta.

Siksi aksioomijärjestelmää koskevat erityisvaatimukset. vaatimukset:

· johdonmukaisuus (aksioomajärjestelmää kutsutaan johdonmukaiseksi, jos siitä ei voida loogisesti johtaa kahta toisensa poissulkevaa väitettä);

· riippumattomuus (aksioomijärjestelmää kutsutaan itsenäiseksi, jos mikään tämän järjestelmän aksioomista ei ole seurausta muista aksioomista).

Joukkoa, jossa on määritelty relaatio, kutsutaan tietyn aksioomajärjestelmän malliksi, jos kaikki annetun järjestelmän aksioomat täyttyvät siinä.

On monia tapoja rakentaa aksioomijärjestelmä luonnollisten lukujen joukolle. Peruskäsitteeksi voidaan ottaa esimerkiksi lukujen summa tai järjestysrelaatio. Joka tapauksessa sinun on määriteltävä aksioomijärjestelmä, joka kuvaa peruskäsitteiden ominaisuuksia.

Esitetään aksioomajärjestelmä, jossa hyväksytään yhteenlaskuoperaation peruskäsite.

Ei-tyhjä setti N kutsumme sitä luonnollisten lukujen joukoksi, jos operaatio on määritelty siinä (a; b) → a + b, jota kutsutaan lisäykseksi ja jolla on seuraavat ominaisuudet:

1. summaus on kommutatiivista, ts. a + b = b + a.

2. lisäys on assosiatiivista, ts. (a + b) + c = a + (b + c).

4. missä tahansa sarjassa A, joka on joukon osajoukko N, Missä A on numero ja sellainen, että kaikki Ha, ovat tasa-arvoisia a+b, Missä bN.

Aksioomat 1 - 4 riittävät muodostamaan luonnollisten lukujen aritmeettisen kokonaisuuden. Mutta tällaisella rakenteella ei ole enää mahdollista luottaa äärellisten joukkojen ominaisuuksiin, jotka eivät heijastu näissä aksioomissa.

Otetaan peruskäsitteeksi relaatio "seuraa suoraan...", joka on määritelty ei-tyhjälle joukolle N. Tällöin luonnollinen lukusarja on joukko N, jossa määritellään suhde "seuraavat välittömästi" ja kaikkia N:n alkioita kutsutaan luonnollisiksi luvuiksi, ja seuraava pätee: Peanon aksioomit:

AXIOM 1.

YlenmäärinNon elementti, joka ei välittömästi seuraa mitään tämän joukon elementtiä. Kutsumme sitä yhtenäisyydeksi ja merkitsemme sitä symbolilla 1.

AXIOM 2.

Jokaiselle elementille a ofNon yksi elementti a heti a:n jälkeen.

AXIOM 3.

Jokaiselle elementille a ofNSiellä on korkeintaan yksi elementti, jota seuraa välittömästi a.

AXOIMA 4.

Mikä tahansa joukon osajoukko MNosuu yhteenN, jos sillä on seuraavat ominaisuudet: 1) 1 sisältyy M:ään; 2) siitä, että a sisältyy M:ään, seuraa, että a sisältyy myös M:ään.

Joukko N, alkioille, joiden suhde "seuraa suoraan..." on muodostettu, tyydyttää aksioomat 1 - 4, kutsutaan joukko luonnollisia lukuja , ja sen elementit ovat luonnolliset luvut.

Jos settinä N valitse jokin tietty joukko, jolle annetaan tietty relaatio "seuraa suoraan...", joka täyttää aksioomit 1 - 4, niin saadaan erilainen tulkinnat (mallit) annettu aksioomajärjestelmät.

Peanon aksioomajärjestelmän standardimalli on se, joka syntyi prosessissa historiallinen kehitys yhteiskunnassa numerosarja: 1, 2, 3, 4, 5, ...

Peanon aksioomien malli voi olla mikä tahansa laskettava joukko.

Esimerkiksi I, II, III, III, ...

oi oi oi oi...

yksi kaksi kolme neljä, …

Tarkastellaan joukkoa, jossa joukko (oo) on alkualkio, ja jokainen seuraava joukko saadaan edellisestä lisäämällä toinen ympyrä (kuva 15).

Sitten N on joukko, joka koostuu kuvatun muodon joukoista, ja se on malli Peanon aksioomajärjestelmästä.

Todellakin, monissa N on elementti (oo), joka ei välittömästi seuraa mitään annetun joukon alkiota, ts. Aksiooma 1 täyttyy. Jokaiselle sarjalle A Tarkasteltavana olevasta väestöstä on yksi joukko, joka saadaan A lisäämällä yksi ympyrä, ts. Aksiooma 2 pätee jokaiselle sarjalle A on enintään yksi joukko, josta joukko muodostetaan A lisäämällä yksi ympyrä, ts. Aksiooma 3 pätee MN ja tiedetään, että monet A sisältyvät M, tästä seuraa, että joukko, jossa on yksi ympyrä enemmän kuin joukossa A, sisältyy myös M, Tuo M =N, ja siksi aksiooma 4 täyttyy.

Luonnollisen luvun määritelmässä mitään aksioomia ei voida jättää pois.

Selvitetään mikä kuvassa esitetyistä joukoista. 16 ovat malli Peanon aksioomista.

Ratkaisu. Kuvassa 16 a) on esitetty joukko, jossa täyttyvät aksioomat 2 ja 3. Todellakin, jokaiselle elementille on heti perässä oma yksilöllinen elementti ja sitä seuraa yksi ainoa elementti. Mutta tässä joukossa aksiooma 1 ei täyty (aksioomassa 4 ei ole järkeä, koska joukossa ei ole elementtiä, joka ei välittömästi seuraa mitään muuta). Siksi tämä joukko ei ole Peanon aksioomien malli.

Kuva 16 b) esittää joukkoa, jossa aksioomat 1, 3 ja 4 täyttyvät, mutta elementin takana A kaksi elementtiä seuraa välittömästi, eikä yksi, kuten aksioomassa 2 vaaditaan. Siksi tämä joukko ei ole malli Peanon aksioomista.

Kuvassa 16 c) esittää joukkoa, jossa aksioomit 1, 2, 4 täyttyvät, mutta alkio Kanssa seuraa välittömästi kahta elementtiä. Siksi tämä joukko ei ole Peanon aksioomien malli.

Kuvassa 16 d) esittää joukon, joka täyttää aksioomat 2, 3, ja jos otamme numeron 5 alkuelementiksi, niin tämä joukko täyttää aksioomat 1 ja 4. Eli tässä joukossa jokaiselle elementille on heti yksilöllinen. seuraa sitä, ja siinä on yksi elementti, jota se seuraa. On myös elementti, joka ei välittömästi seuraa mitään tämän joukon elementtejä, tämä on 5 , nuo. Aksiooma 1 täyttyy. Vastaavasti myös Aksiooma 4 täyttyy, joten tämä joukko on malli Peanon aksioomista.

Peanon aksioomien avulla voimme todistaa useita väitteitä, esimerkiksi, että kaikilla luonnollisilla luvuilla epäyhtälö x x.

Todiste. Merkitään A joukko luonnollisia lukuja, joille a a. Määrä 1 kuuluu A, koska se ei seuraa mitään numeroa N, mikä tarkoittaa, että se ei seuraa itsestään: 1 1. Antaa aA, Sitten a a. Merkitään A kautta b. Aksiooman 3 perusteella Ab, nuo. b b Ja bA.

Annettu kokonaislukuteorian aksioomijärjestelmä ei ole itsenäinen, kuten harjoituksessa 3.1.4 todetaan.

Lause 1. Kokonaislukujen aksiomaattinen teoria on johdonmukainen.

Todiste. Todistamme kokonaislukujen aksiomaattisen teorian johdonmukaisuuden sillä oletuksella, että luonnollisten lukujen aksiomaattinen teoria on johdonmukainen. Tätä varten rakennamme mallin, johon kaikki teoriamme aksioomit täyttyvät.

Ensin rakennetaan rengas. Harkitse sarjaa

N´ N = {(a, b)ï a, bÎ N}.

a, b) luonnolliset luvut. Tällaisella parilla ymmärrämme luonnollisten lukujen eron a–b. Mutta ennen kuin on todistettu sellaisen kokonaislukujärjestelmän olemassaolo, jossa tällainen ero on olemassa, meillä ei ole oikeutta käyttää tällaista nimitystä. Samalla tällainen ymmärrys antaa meille mahdollisuuden asettaa parien ominaisuudet haluamiksemme.

Tiedämme, että luonnollisten lukujen erilaiset erot voivat olla yhtä suuria kuin sama kokonaisluku. Sen mukaisesti esitellään kuvauksissa N´ N tasa-arvosuhde:

(a, b) = (CD) Û a + d = b + c.

On helppo nähdä, että tämä suhde on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen. Siksi se on ekvivalenssisuhde ja sillä on oikeus kutsua sitä tasa-arvoksi. Factor settiä N´ N Z. Kutsumme sen elementtejä kokonaisluvuiksi. Ne edustavat parijoukon ekvivalenssiluokkia. Luokka, joka sisältää parin
(a, b), merkitse [ a, b].

Z a, b] entä ero a–b

[a, b] + [CD] = [a+c, b+d];

[a, b] × [ CD] = [ac+bd, ad+bc].

On pidettävä mielessä, että tiukasti ottaen toimintasymbolien käyttö ei ole täysin oikein. Sama symboli + tarkoittaa luonnollisten lukujen ja parien yhteenlaskua. Mutta koska on aina selvää, missä joukossa tietty operaatio suoritetaan, emme tässä esitä erillistä merkintää näille operaatioille.

On tarkistettava näiden operaatioiden määritelmien oikeellisuus, eli että tulokset eivät riipu elementtien valinnasta a Ja b, määrittelee parin [ a, b]. Todellakin, anna

[a, b] = [a 1 , b 1 ], [s, d] = [Kanssa 1 , d 1 ].

Se tarkoittaa sitä a+b 1 = b+a 1 , c + d 1 =d + Kanssa 1 . Kun lisäämme nämä yhtäläisyydet, saamme

a+b 1 + c + d 1 = b+a 1 +d + Kanssa 1 Þ[ a + b, c + d] = [a 1 +Kanssa 1 , b 1 + d 1] Þ

Þ [ a, b] + [CD] = [a 1 , b 1 ] + [c 1 , d 1 ].

Kertomisen määritelmän oikeellisuus määritetään samalla tavalla. Mutta tässä sinun pitäisi ensin tarkistaa, että [ a, b] × [ CD] = [a 1 , b 1 ] × [ CD].

Nyt pitäisi tarkistaa, että tuloksena oleva algebra on rengas, eli aksioomit (Z1) – (Z6).

Tarkastetaan esimerkiksi summauksen kommutatiivisuus eli aksiooma (Z2). Meillä on

[CD] + [a, b] = = [a+c, b+d] = [a, b] + [CD].

Kokonaislukujen yhteenlaskennan kommutatiivisuus johdetaan luonnollisten lukujen yhteenlaskennan kommutatiivisuudesta, jonka katsotaan jo tiedoksi.

Aksioomit (Z1), (Z5), (Z6) tarkistetaan samalla tavalla.

Nollan roolia esittää pari. Merkitään se numerolla 0 . Todella,

[a, b] + 0 = [a, b] + = [a+ 1,b+ 1] = [a, b].

Lopuksi -[ a, b] = [b, a]. Todella,

[a, b] + [b, a] = [a+b, b+a] = = 0 .

Tarkastetaan nyt laajennusaksioomat. On pidettävä mielessä, että rakennetussa renkaassa ei ole luonnollisia lukuja sellaisenaan, koska renkaan elementit ovat luonnollisten lukuparien luokkia. Siksi meidän on löydettävä osabalgebra, joka on isomorfinen luonnollisten lukujen puolijohteisuuden kanssa. Tässä taas idea parista [ a, b] entä ero a–b. Luonnollinen luku n voidaan esittää kahden luonnollisen erotuksena esimerkiksi seuraavasti: n = (n+ 1) – 1. Tästä syystä syntyy ehdotus kirjeenvaihdon luomiseksi f: N ® Z säännön mukaan

f(n) = [n + 1, 1].

Tämä kirjeenvaihto on injektiivinen:

f(n) = f(m) Þ [ n + 1, 1]= [m+ 1, 1] Þ ( n + 1) + 1= 1 + (m+ 1) Þ n = m.

Näin ollen meillä on henkilökohtainen kirjeenvaihto N ja jotkut osajoukot Z, jota merkitsemme N*. Tarkistetaan, että se tallentaa toiminnot:

f(n) + f(m) = [n + 1, 1]+ [m + 1, 1] = [n + m+ 2, 2]= [n + m+ 1, 1] = f(n+m);

f(n) × f(m) = [n+ 1, 1] × [ m + 1, 1] = [nm + n + m+ 2, n+m+ 2]= [nm+ 1, 1] = f(nm).

Tämä vahvistaa sen N* muotoja sisään Z suhteessa yhteen- ja kertolaskuoperaatioihin aligebra isomorfinen N

Merkitään paria [ n+ 1, 1] alkaen N* n, kautta n a, b] meillä on

[a, b] = [a + 1, 1] + = [a + 1, 1] – [b + 1, 1] = a – b .

Tämä vihdoinkin perustelee ajatuksen parista [ a, b] luonnollisten lukujen erotuksena. Samalla todettiin, että jokainen elementti rakennetusta joukosta Z on esitetty kahden luonnollisen erotuksena. Tämä auttaa varmistamaan minimaalisuuden aksiooman.

Antaa M – osajoukko Z, sisältävät N* ja yhdessä kaikkien elementtien kanssa A Ja b niiden ero a – b. Todistakaamme se tässä tapauksessa M =Z. Itse asiassa mikä tahansa elementti Z on esitetty kahden luonnollisen luvun erotuksena, jotka ehdon mukaan kuuluvat M sekä sen eroavaisuudet.

Z

Lause 2. Kokonaislukujen aksiomaattinen teoria on kategorinen.

Todiste. Osoittakaamme, että mitkä tahansa kaksi mallia, joihin kaikki tämän teorian aksioomat täyttyvät, ovat isomorfisia.

Olkoon á Z 1 , +, ×, N 1 ñ ja á Z 2, +, ×, N 2 ñ – kaksi teoriamme mallia. Tarkkaan ottaen niiden toiminnot on osoitettava erilaisilla symboleilla. Poistumme tästä vaatimuksesta, jotta laskelmat eivät sotkeudu: joka kerta on selvää, mistä operaatiosta puhumme. Tarkasteltavana oleviin malleihin kuuluvat elementit varustetaan vastaavilla indekseillä 1 tai 2.

Aiomme määritellä isomorfisen mappauksen ensimmäisestä mallista toiseen. Koska N 1 ja N 2 ovat luonnollisten lukujen puolirenkaita, silloin on olemassa isomorfinen kuvaus j ensimmäisestä puolirenkaasta toiseen. Määritellään kartoitus f: Z 1® Z 2. Jokainen kokonaisluku X 1 Î Z 1 esitetään kahden luonnollisen erotuksena:
X 1 =a 1 -b 1 . Me uskomme

f (x 1) = j( a 1) – j( b 1).

Todistetaan se f-isomorfismi. Karttaus on määritetty oikein: jos X 1 = klo 1 missä y 1 = c 1 – d 1 siis

a 1 -b 1 = c 1 – d 1 Þ a 1 +d 1 = b 1 + c 1 Þ j( a 1 +d 1) = j( b 1 + c 1) Þ

Þ j( a 1) + j( d 1) = j( b 1) + j( c 1) Þ j( a 1)– j( b 1)= j( c 1) – j( d 1) Þ f(x 1) =f (y 1).

Seuraa, että f – yksi yhteen kartoitus Z 1 tuumaa Z 2. Mutta kenelle tahansa X 2 / Z 2 löydät luonnollisia elementtejä a 2 ja b 2 sellaista X 2 =a 2 -b 2. Koska j on isomorfismi, näillä elementeillä on käänteiset kuvat a 1 ja b 1 . tarkoittaa, x 2 = j( a 1) – j( b 1) =
= f (a 1 -b 1), ja jokaiselle elementille alkaen Z 2 on prototyyppi. Siksi kirjeenvaihto f Yksi yhteen. Tarkistetaan, että se tallentaa toiminnot.

Jos X 1 =a 1 -b 1 , y 1 =c 1 –d 1 siis

X 1 + y 1 = (a 1 + c 1) – (b 1 +d 1),

f(X 1 + y 1) = j( a 1 + c 1) – j( b 1 +d 1) =j( a 1)+ j( c 1) – j( b 1) – j( d 1) =

J( a 1) – j( b 1)+ j( c 1)– j( d 1) =f(X 1) + f(y 1).

Samalla tavalla varmistetaan, että kertolasku säilyy. Tämä vahvistaa sen f on isomorfismi, ja lause on todistettu.

Harjoitukset

1. Todista, että mikä tahansa rengas, joka sisältää luonnollisten lukujen järjestelmän, sisältää myös kokonaislukujen renkaan.

2. Todista, että jokainen minimijärjestetty kommutatiivinen rengas, jolla on identtisyys, on isomorfinen kokonaislukujen renkaan kanssa.

3. Todista, että jokainen järjestetyssä rengas, jossa on yksi ja ei nollaa jakajaa, sisältää vain yhden alirenkaan, joka on isomorfinen kokonaislukujen renkaaseen nähden.

4. Todista, että toisen kertaluvun matriisien rengas reaalilukukentän päällä sisältää äärettömän monta kokonaislukujen renkaan kanssa isomorfista alirengasta.

Rationaalilukujen kenttä

Rationaalilukujärjestelmän määrittely ja rakentaminen suoritetaan samalla tavalla kuin kokonaislukujärjestelmälle.

Määritelmä. Rationaalilukujärjestelmä on minimaalinen kenttä, joka on kokonaislukurenkaan jatke.

Tämän määritelmän mukaisesti saamme seuraavan aksiomaattisen rationaalilukujärjestelmän konstruktion.

Ensisijaiset ehdot:

K– rationaalilukujen joukko;

0, 1 – vakiot;

+, × – binäärioperaatiot päällä Q;

Z– osajoukko K, joukko kokonaislukuja;

Å, Ä – binäärioperaatiot päällä Z.

Aksioomit:

minä Kenttäaksioomit.

(Q1) a+ (b+c) = (a+b) + c.

(Q2) a + b = b + a.

(Q3) (" a) a + 0 = a.

(Q4) (" a)($(–a)) a + (–a) = 0.

(Q5) a× ( b× c) = (a× b) × c.

(Q6) a× b = b× a.

(Q7) A× 1 = A.

(Q8) (" a¹ 0)($ a –1) a × a –1 = 1.

(Q9) ( a+b) × c = a × c + b× c.

II. Laajennusaksioomit.

(Q10) b Z, Å, Ä, 0, 1ñ – luonnollisten lukujen rengas.

(Q11) Z Í K.

(Q12) (" a,bÎ Z) a + b = aÅ b.

(Q13) (" a,bÎ Z) a× b = aÄ b.

III. Minimaalisuuden aksiooma.

(Q14) MÍ K, ZÍ M, ("a, bÎ M)(b ¹ 0 ® a× b–1 О M)Þ M = K.

Määrä a× b–1:tä kutsutaan lukujen osamääräksi A Ja b, merkitty a/b tai .

Lause 1. Jokainen rationaalinen luku voidaan esittää kahden kokonaisluvun osamääränä.

Todiste. Antaa M– joukko rationaalilukuja, jotka voidaan esittää kahden kokonaisluvun osamääränä. Jos n- siis kokonaisena n = n/1 kuuluu M, siis, ZÍ M. Jos a, bÎ M, Tuo a = k/l, b = m/n, Missä k, l, m, nÎ Z. Siten, a/b=
= (kn) / (lm)Î M. Aksiooman mukaan (Q14) M= K, ja lause on todistettu.

Lause 2. Rationaalilukujen kenttä voidaan järjestää lineaarisesti ja tiukasti ja ainutlaatuisella tavalla. Järjestys rationaalilukujen kentässä on Arkhimedeen ja jatkaa järjestystä kokonaislukujen renkaassa.

Todiste. Merkitään K+ joukko lukuja, jotka voidaan esittää murtolukuna, missä kl> 0. On helppo nähdä, että tämä ehto ei riipu lukua edustavan murto-osan tyypistä.

Tarkistetaan se K + – positiivinen osa alaa K. Koska kokonaisluku kl kolme tapausta on mahdollista: kl = 0, klÎ N, –kl Î N, niin arvolle a = saadaan yksi kolmesta mahdollisuudesta: a = 0, aО K+ , –aО K + . Edelleen, jos a = , b = kuuluvat K+ sitten kl > 0, mn> 0. Sitten a + b = , ja ( kn + ml)ln = kln 2 + mnl 2 > 0. Joten a + bО K + . Se voidaan todentaa samalla tavalla kuin abО K + . Täten, K + – positiivinen osa alaa K.

Antaa K++ – positiivinen osa tätä alaa. Meillä on

l =.l 2 О K ++ .

Täältä NÍ K++. Lauseen 2.3.4 mukaan myös luonnollisten lukujen käänteiset kuuluvat K++. Sitten K + Í K++. Lauseen 2.3.6 nojalla K + =K++. Siksi myös positiivisten osien määrittämät järjestykset ovat samat K+ ja K ++ .

Koska Z + = NÍ K+, niin järjestys on K jatkaa tilausta sisään Z.

Olkoon nyt a => 0, b => 0. Koska järjestys Arkhimedeen kokonaislukujen renkaassa, niin positiiviselle kn Ja ml siinä on jotain luonnollista Kanssa sellasta Kanssa× kn>ml. Täältä Kanssa a = Kanssa> = b. Tämä tarkoittaa, että järjestys rationaalilukujen kentässä on Arkhimedeen.

Harjoitukset

1. Todista, että rationaalilukujen kenttä on tiheä, eli kaikille rationaaliluvuille a < b on rationaalista r sellasta a < r < b.

2. Todista, että yhtälö X 2 = 2:ssa ei ole ratkaisuja K.

3. Todista, että joukko K laskettava.

Lause 3. Rationaalilukujen aksiomaattinen teoria on johdonmukainen.

Todiste. Rationaalilukujen aksiomaattisen teorian johdonmukaisuus todistetaan samalla tavalla kuin kokonaislukujen kohdalla. Tätä varten rakennetaan malli, jonka päälle kaikki teorian aksioomat täyttyvät.

Otamme pohjaksi setin

Z´ Z* = {(a, b)ï a, bÎ Z, b ¹ 0}.

Tämän joukon elementit ovat pareja ( a, b) kokonaislukuja. Tällaisella parilla ymmärrämme kokonaislukujen osamäärän a/b. Tämän mukaisesti asetamme parien ominaisuudet.

Esittelemme kuvauksissa Z´ Z* tasa-arvosuhde:

(a, b) = (CD) Û mainos = eKr.

Huomaamme, että se on ekvivalenssisuhde ja sitä voidaan kutsua tasa-arvoksi. Factor settiä Z´ Z* tämän tasa-arvosuhteen mukaan, jota merkitsemme K. Kutsumme sen elementtejä rationaaliluvuiksi. Luokka, joka sisältää parin ( a, b), merkitse [ a, b].

Esittelemme rakennettuun joukkoon K yhteen- ja kertolaskuoperaatiot. Tämä auttaa meitä ymmärtämään elementin [ a, b] yksityisenä a/b. Tämän mukaisesti oletamme määritelmän mukaan:

[a, b] + [CD] = [ad+bc, bd];

[a, b] × [ CD] = [ac, bd].

Tarkistamme näiden operaatioiden määritelmien oikeellisuuden, eli että tulokset eivät riipu elementtien valinnasta a Ja b, määrittelee parin [ a, b]. Tämä tehdään samalla tavalla kuin Lauseen 3.2.1 todistuksessa.

Nollan roolia esittää pari. Merkitään se numerolla 0 . Todella,

[a, b] + 0 = [a, b] + = [a× 1+0× b, b× 1] = [a, b].

Vastapäätä [ a, b] on pari –[ a, b] = [–a, b]. Todella,

[a, b] + [–a, b]= [ab – ab, bb] = = 0 .

Yksikkö on pari = 1 . Käänteinen pariin [ a, b] - pari [ b, a].

Tarkastetaan nyt laajennusaksioomat. Perustetaan kirjeenvaihto
f: Z ® K säännön mukaan

f(n) = [n, 1].

Tarkistamme, että tämä on henkilökohtainen vastaavuus Z ja jotkut osajoukot K, jota merkitsemme Z*. Tarkistamme lisäksi, että se säilyttää toiminnot, mikä tarkoittaa, että se muodostaa isomorfismin välillä Z ja renkaan alla Z* V K. Tämä tarkoittaa, että laajennusaksioomit on varmistettu.

Merkitään paria [ n, 1] alkaen Z*, vastaava luonnollinen luku n, kautta n . Sitten mielivaltaiselle parille [ a, b] meillä on

[a, b] = [a, 1] × = [ a, 1] / [b, 1] = a /b .

Tämä oikeuttaa ajatuksen parista [ a, b] kokonaislukujen osamääränä. Samalla todettiin, että jokainen elementti rakennetusta joukosta K on esitetty kahden kokonaisluvun osamääränä. Tämä auttaa varmistamaan minimaalisuuden aksiooman. Varmentaminen suoritetaan Lauseen 3.2.1 mukaisesti.

Siis rakennetulle järjestelmälle K kaikki kokonaislukuteorian aksioomat täyttyvät, eli olemme rakentaneet mallin tästä teoriasta. Lause on todistettu.

Lause 4. Rationaalilukujen aksiomaattinen teoria on kategorinen.

Todistus on samanlainen kuin Lauseen 3.2.2.

Lause 5. Arkhimedeen järjestyskenttä on rationaalisten lukujen kentän laajennus.

Todiste on harjoitus.

Lause 6. Antaa F– Arkhimedean järjestyskenttä, a > b, Missä a, bÎ F. On olemassa rationaalinen luku Î F sellasta a > > b.

Todiste. Antaa a > b³ 0. Sitten a–b> 0 ja ( a–b) –1 > 0. On olemassa luonnollinen T sellasta m×1 > ( a–b) –1 , mistä m –1 < a–b £ A. Lisäksi on luonnollista k sellasta k× m–1 ³ a. Antaa k – pienin numero, jolle tämä epätasa-arvo pätee. Koska k> 1, voimme laittaa k = n + 1, n Î N. Jossa
(n+ 1) × m–1 ³ a, n× m –1 < a. Jos n× m-1 £ b, Tuo a = b + (a–b) > b+m–1 ³ n× m –1 + m –1 =
= (n+ 1) × m-1. Ristiriita. tarkoittaa, a >n× m –1 > b.

Harjoitukset

4. Osoita, että mikä tahansa kenttä, joka sisältää kokonaislukujen renkaan, sisältää myös rationaalilukujen kentän.

5. Osoita, että jokainen minimaalinen järjestyskenttä on isomorfinen rationaalilukujen kentän kanssa.

Oikeita lukuja

Reaaliluvuille, joita merkitään (ns. R-katkottu), lisätään yhteenlaskuoperaatio ("+"), eli jokaiselle alkioparille ( x,y) reaalilukujoukosta alkio määrätään x + y samasta joukosta, nimeltään summa x Ja y .

Kertomisen aksioomat

Kertolasku ("·") otetaan käyttöön, eli jokaiselle alkioparille ( x,y) reaalilukujoukosta määritetään elementti (tai lyhyesti sanottuna xy) samasta sarjasta, jota kutsutaan tuotteeksi x Ja y .

Yhteenlasku- ja kertolaskusuhde

Järjestyksen aksioomat

Tietylle suhteelle, jonka kertaluokka on "" (pienempi tai yhtä suuri kuin), eli mille tahansa parille x, y vähintään yhdestä ehdosta tai .

Tilauksen ja lisäyksen välinen suhde

Järjestyksen ja kertolaskujen välinen suhde

Jatkuvuuden aksiooma

Kommentti

Tämä aksiooma tarkoittaa, että jos X Ja Y- kaksi ei-tyhjää reaalilukujoukkoa siten, että mikä tahansa alkio alkaen X ei ylitä mitään elementtiä Y, niin näiden joukkojen väliin voidaan lisätä reaaliluku. Rationaaliluvuille tämä aksiooma ei päde; klassinen esimerkki: harkitse positiivisia rationaalilukuja ja kohdista ne joukkoon X ne numerot, joiden neliö on pienempi kuin 2, ja muut - to Y. Sitten väliin X Ja Y Et voi lisätä rationaalilukua (se ei ole rationaaliluku).

Tämä keskeinen aksiooma tarjoaa tiheyden ja mahdollistaa siten matemaattisen analyysin rakentamisen. Havainnollistaaksemme sen tärkeyttä, tuomme esiin kaksi perustavanlaatuista seurausta siitä.

Aksioomien seuraukset

Jotkut aksioomit seuraavat suoraan tärkeitä ominaisuuksia esimerkiksi reaalilukuja

• nollan ainutlaatuisuus,
• vastakkaisten ja käänteisten elementtien ainutlaatuisuus.

Kirjallisuus

• Zorich V. A. Matemaattinen analyysi. Osa I. M.: Phasis, 1997, luku 2.

Katso myös

Linkit

Wikimedia Foundation. 2010.

Katso, mitä "Reaalilukujen aksiomatiikka" on muissa sanakirjoissa:

Reaaliluku eli reaaliluku on matemaattinen abstraktio, joka syntyi tarpeesta mitata ympäröivän maailman geometrisia ja fysikaalisia suureita sekä suorittaa sellaisia ​​operaatioita kuin juurien poimiminen, logaritmien laskeminen, ratkaiseminen... ... Wikipedia

Reaaliluvut eli reaaliluvut ovat matemaattinen abstraktio, joka palvelee erityisesti fyysisten suureiden arvojen edustamista ja vertailua. Tällainen luku voidaan intuitiivisesti esittää kuvaavan pisteen sijaintia suoralla... ... Wikipedia

Reaaliluvut eli reaaliluvut ovat matemaattinen abstraktio, joka palvelee erityisesti fyysisten suureiden arvojen edustamista ja vertailua. Tällainen luku voidaan intuitiivisesti esittää kuvaavan pisteen sijaintia suoralla... ... Wikipedia

Reaaliluvut eli reaaliluvut ovat matemaattinen abstraktio, joka palvelee erityisesti fyysisten suureiden arvojen edustamista ja vertailua. Tällainen luku voidaan intuitiivisesti esittää kuvaavan pisteen sijaintia suoralla... ... Wikipedia

Reaaliluvut eli reaaliluvut ovat matemaattinen abstraktio, joka palvelee erityisesti fyysisten suureiden arvojen edustamista ja vertailua. Tällainen luku voidaan intuitiivisesti esittää kuvaavan pisteen sijaintia suoralla... ... Wikipedia

Reaaliluvut eli reaaliluvut ovat matemaattinen abstraktio, joka palvelee erityisesti fyysisten suureiden arvojen edustamista ja vertailua. Tällainen luku voidaan intuitiivisesti esittää kuvaavan pisteen sijaintia suoralla... ... Wikipedia

Reaaliluvut eli reaaliluvut ovat matemaattinen abstraktio, joka palvelee erityisesti fyysisten suureiden arvojen edustamista ja vertailua. Tällainen luku voidaan intuitiivisesti esittää kuvaavan pisteen sijaintia suoralla... ... Wikipedia

Wikisanakirjassa on artikkeli "aksiooma" Axiom (muinaiskreikkalainen ... Wikipedia

Aksiooma, joka esiintyy erilaisissa aksiomaattiset järjestelmät. Reaalilukujen aksiomatiikka Hilbertin euklidisen geometrian aksiomatiikka Kolmogorovin todennäköisyysteorian aksiomatiikka ... Wikipedia