Eron joukkoteoreettinen merkitys. Kokonaislukujen vähentäminen: säännöt, esimerkit Samansuuruisten kokonaislukujen vähentäminen

Osat: Ala-aste

Luokka: 2

Perustavoitteet:

1) muodostaa käsitys ominaisuudesta vähentää summa luvusta, kyvystä käyttää tätä ominaisuutta laskelmien järkeistämiseen;

2) kouluttaa suullisen laskennan taitoja, kykyä itsenäisesti analysoida ja ratkaista monimutkaisia ​​ongelmia;

3) kehittää tarkkuutta.

Demomateriaali:

1) Dunnon kuva. <Рисунок1 >

2) kortit, joissa on lause: toive - haukku - menestys - hov.

3) tiimalasi.

4) standardi, jolla summa vähennetään luvusta.

a-(b+c) = (a-b)-c = (a-c)-b

5) toimenpiteiden järjestyksen taso. a-(b+c)

6) näyte vaiheen 6 itsetestausta varten:

7) näyte itsetutkimukseen 7. vaihetta varten.

1) 45 -15 = 30 (m) - vasemmalle Denisin kanssa

2) 30 - 13 = 17 (m)

Vastaus: Denisillä on 17 postimerkkiä jäljellä.

Moniste:

1) beige kortti, jossa on yksilöllinen tehtävä vaiheelle 2 jokaiselle opiskelijalle:

2) kortti Vihreä väri yksilöllisen tehtävän kanssa vaiheeseen 5.

3) itsenäistä työskentelyä vaiheelle 6.

4) liikennevalot: punainen, keltainen, vihreä.

Tuntien aikana:

I. Itsemääräämisoikeus oppimistoimintoihin.

1) motivoida toimintaan tunnilla esittelemällä satuhahmoa;

2) määritä oppitunnin sisältö: vähennä määrä numerosta.

Organisaatio koulutusprosessi vaiheessa I.

Mitä teit viime tunnilla? (Lisäysominaisuudet)

Mitkä lisäyksen ominaisuudet on toistettu? (siirtymä ja assosiaatio)

Miksi meidän pitää tietää lisäyksen ominaisuudet? (On kätevämpää ratkaista esimerkkejä)

Tänään meillä on sadun sankari Dunno .<Рисунок1 >

Hän on valmistellut monia mielenkiintoisia tehtäviä ja seuraa, kuinka työskentelemme oppitunnilla. Valmis?

II. Tiedon toteuttaminen ja toimintojen vaikeuksien kiinnittäminen.

1) kouluttaa henkistä toimintaa - yleistys;

2) toistaa toimintojen järjestyksen säännöt suluissa olevissa lausekkeissa;

3) järjestää yksilöllisen toiminnan vaikeus ja sen kiinnittäminen opiskelijoiden toimesta äänekkäästi.

Koulutusprosessin organisointi vaiheessa II.

1) Suullinen tili.

Katso taulua ja tee toiminnot suullisesti. <Приложение 1 >

Jos täytämme ne oikein, luemme toiveen, jonka Dunno salasi meille:

(Lisää 19 27:ään, saat 46;

Vähennä 24 46:sta saadaksesi 22;

Lisää 38 arvoon 22 saadaksesi 60;

Vähennä 5 60:stä, niin saat 55)

Kasvata 55 200:lla. (200+55=255)

Kuvaa luku 255. (255 on kolminumeroinen luku, sisältää kaksisataa, viisi kymmentä ja viisi ykköstä. Edellinen luku on 254, seuraava on 256, bittitermien summa on 200+50+5 , numeroiden summa on 12).

Ilmaise luku 255 eri laskentayksiköissä. (255 = 2s 5p 5p = 25d 5p = 2s 55p)

Express 255 cm eri yksiköissä. (255 = 2 m 5 dm 5 cm = 25 dm 5 cm = 2 m 55 cm)

2) Toimintojen järjestyssäännön toisto suluissa olevissa lausekkeissa. <Приложение 2 >

Miten ilmaisut ovat samanlaisia? (Toimintokomponenttien mukaan, sama toimintojen järjestys)

Miten ilmaisut eroavat toisistaan? (Eri omavastuu)

Miten aliarvot esitetään? (Aliosastot esitetään kahden luvun summana)

Mitä toistimme, kun löysimme ilmaisujen merkitykset? (menettely).

Miksi toimenpide toistetaan?

Missä voimme toistaa toimintojen järjestyssäännön? (Oppikirjassa tai standardeissa <Приложение 3 > )

3) Yksilöllinen tehtävä.

Ota kynä ja pala beigeä paperia. <Приложение 4 >

Katsotaanpa nyt joitain esimerkkejä. Pysäytä päätöksesi käskystäni.

Huomio! Aloitettu! …

Nosta kätesi, kuka ratkaisi kaikki esimerkit?

Nosta kätesi, kuka ratkaisi yhden esimerkin?

Ehdota standardia, jolla ratkaisit esimerkit. (Emme tiedä standardia).

Kuka ei ole ratkaissut esimerkkejä?

III Vaikeuden syiden tunnistaminen ja toiminnan tavoitteen asettaminen.

1) tunnistaa ja korjata vaikeuden paikka ja syy;

2) sopia oppitunnin tarkoitus ja aihe.

Koulutusprosessin organisointi vaiheessa III.

Toista, mikä oli tehtävä?

Miksi oli ongelma? (Vähän aikaa, ei sopivaa omaisuutta)

Mitä tehdä? (lasten arvaus). Aseta lakanat sivuun.

Yritä muotoilla oppitunnin tarkoitus.

Muotoile oppitunnin aihe.

Oppitunnin aihe: Summan vähentäminen luvusta. Puhu oppitunnin aihe itsellesi alasävyllä. (Oppitunnin aihe on kirjoitettu taululle)

IV. Vaikeuksista poistumisprojektin rakentaminen.

1) järjestää lasten rakentama uusi toimintatapa johtavan vuoropuhelun avulla;

2) vahvistaa uusi toimintatapa symbolisesti ja puheessa.

Koulutusprosessin organisointi vaiheessa IV.

Katso ja lue lauseke: 87 - (7 + 15).

Mikä termi on kätevämpi vähentää ensin? (On kätevämpää vähentää ensimmäinen termi - 7)

Vähensimme ensimmäisen termin, ja meidän on vähennettävä kaksi termiä. Mitä pitää tehdä? (Vähennä toinen termi)

Opettaja kirjoittaa taululle. <Приложение5 >

Katso, korvaan luvun 87 kirjaimella a, luvun 7 kirjaimella b, luvun 15 kirjaimella c, saamme tasa-arvon. <Приложение 6 >

Katsotaanpa. Lue lauseke: 87 - (15 + 7)

Mikä on kätevämpää vähentää termi luvusta 87? (On kätevämpää vähentää toinen termi 7)

Opettaja kirjoittaa taululle.

Olemme vähentäneet toisen termin, ja meidän on vähennettävä kaksi termiä. Mitä pitää tehdä? (Vähennä ensimmäinen termi)

Opettaja kirjoittaa taululle. <Приложение 7 >

Katsotaanpa. Korvaan luvun 87 kirjaimella a, luvun 7 kirjaimella b, luvun 15 kirjaimella c, saadaan tasa-arvo. <Приложение 8 >

Ota selvää, kuinka voit vähentää summan numerosta. (Lasten vastauksia kuullaan)

Mistä voimme tarkistaa, olemmeko tehneet oikeat johtopäätökset? (Oppikirjassa)

Avaa oppikirjasi sivulle 44. Lue sääntö. <Приложение 9 >

V. Ensisijainen lujittaminen ulkoisessa puheessa.

Tarkoitus: luoda olosuhteet tutkitun toimintatavan kiinnittämiseksi ulkoiseen puheeseen.

Koulutusprosessin organisointi vaiheessa V.

Kuka toistaa säännön?

Miksi oli ongelma? (Emme voineet päättää nopeasti)

Ja nyt voimmeko?

Mikä auttoi meitä? (Sääntö summan vähentämiseksi luvusta)

Ota vihreä arkki ja ratkaise esimerkit käskystäni. <Приложение10 >

Huomio! Aloitettu! Lopettaa!

etukysely.

Kuinka paljon siitä tuli ensimmäisessä esimerkissä?

Kuka niin nostaa kätesi.

Kenellä on virhe?

Kuinka paljon siitä tuli toisessa esimerkissä?

Kuka niin nostaa kätesi.

Kenellä on virhe?

Miten päätit? Missä on vika? Mikä on syy?

Voitko sanoa, että olet oppinut ratkaisemaan? (Joo)

Mikä auttoi? (Tiedämme säännön, ratkaisun nopeus on kasvanut)

Missä voimme soveltaa uutta tekniikkaa? (Kun ratkaistaan ​​ongelmia, esimerkkejä).

Ratkaise kotona sivu 44, tehtävä numero 4, uusi sääntö. Keksi ja kirjoita esimerkkisi. (Tehtävä on kirjoitettu taululle). <Приложение11 >

Kuka muistaa säännön?

VI. Itsenäinen työ itsetarkastuksella.

1) järjestää opiskelijoiden itsenäisen suorituksen vakiotehtävistä uudelle toimintatavalle itsetutkiskelulla mallin mukaisesti;

2) järjestää lasten itsearviointi tehtävän oikeellisuudesta.

Koulutusprosessin organisointi vaiheessa VI.

Ja nyt Dunno tarkastelee, kuinka opimme soveltamaan uutta sääntöä.

Itsenäinen työ. <Приложение12 >

Miksi teemme omaa työtämme? (Ota selville vaikeudet ja voita ne, testaa vahvuutesi)

Mitä tapoja vähentää summa luvusta? (On kätevää vähentää yksi termi ja sitten toinen)

Ota valkoinen arkki. Minun käskystäni alamme päättää.

Alkoi...Lopeta.

Ota yksinkertainen kynä ja tarkista näytteestä. <Приложение13 >

Kuka niin, laita "+".

Kenellä on virhe, laita "-".

Nosta kätesi, kuka sen teki?

Nosta kätesi, kenellä on vika? Mistä vaikeus syntyi? (Laskennallinen vastaanotto)

Teit upeaa työtä.

Mitä opit tunnilla? (oppinut kätevän tavan vähentää summa numerosta)

Tee johtopäätös. (lasten vastaukset)

Fizminutka.

VII. Sisällyttäminen tiedon ja toiston järjestelmään.

Tarkoitus: toistaa ongelman ratkaisu, löytää sopiva tapa ratkaista se.

Koulutusprosessin organisointi vaiheessa VII.

Missä voit soveltaa opittuja sääntöjä? (Kun ratkaiset ongelmia, esimerkkejä)

Katso ja lue ongelma 3 itsellesi.

Tee tehtäväanalyysi. (Tehtävästä tiedetään, että Denisillä oli 45 postimerkkiä. Hän antoi Petyalle 15 postimerkkiä ja Kolyalle 13 postimerkkiä. Meidän on selvitettävä, kuinka monta postimerkkiä hänellä on jäljellä.

Ongelman kysymykseen vastaamiseksi on vähennettävä niiden postimerkkien määrä, jotka Denis antoi Petyalle ja Kolyalle postimerkkien kokonaismäärästä. Emme voi heti vastata ongelman kysymykseen, koska emme tiedä kuinka monta postimerkkiä Denis antoi Petyalle ja Kolyalle yhteensä. Ja voimme selvittää lisäämällä Petyalle antamiensa postimerkkien määrän Kolyalle antamiensa postimerkkien määrään).

Jos ongelman analysoinnissa on vaikeuksia, opettaja auttaa alla olevissa kysymyksissä:

Mitä ongelmasta tiedetään?

Mitä sinun tulee tietää?

Kuinka vastata tehtävän kysymykseen?

Voimmeko vastata heti ongelman kysymykseen? Miksi?

Voimmeko selvittää? Miten?

Kerro suunnitelma ongelman ratkaisemiseksi. (Ensimmäisessä vaiheessa selvitämme kuinka monta postimerkkiä Denis antoi yhteensä, sitten vastaamme ongelman kysymykseen). <Приложение 14 >

Kuka ratkaisi ongelman toisin? (Ongelman kysymykseen vastaamiseksi on vähennettävä niiden postimerkkien lukumäärä, jotka Denis antoi Petyalle postimerkkien kokonaismäärästä, ja sitten niiden postimerkkien lukumäärä, jotka hän antoi Kolyalle)

Kerro suunnitelma ongelman ratkaisemiseksi toisella tavalla. (Ensimmäinen askel on selvittää, kuinka monta postimerkkiä Denisillä on jättänyt Petyalle annettuaan, ja sitten selvitetään, kuinka monta postimerkkiä hänellä on jäljellä, kun hän antoi Kolyalle 13 postimerkkiä, ja vastaamme ongelman kysymykseen). <Приложение15 >

Mikä on paras tapa ratkaista ongelma? Miksi? (Toiseksi on kätevämpää vähentää yksi osa kokonaisuudesta ja sitten toinen osa)

Kirjoita muistiin ongelman ratkaisu sopivalla tavalla. Esimerkki itsetestauksesta. <Приложение16 >

VIII. Toiminnan heijastus.

1) kiinnitä puheeseen oppitunnilla opittu uusi toimintatapa: summan vähentäminen luvusta;

2) korjata jäljellä olevat vaikeudet ja keinot niiden voittamiseksi;

3) arvioida omaa toimintaansa tunnilla, koordinoida kotitehtäviä.

Koulutusprosessin organisointi vaiheessa VIII.

Joten tänään oppitunnilla tietoomme lisättiin vielä yksi sääntö, muista se. (Tänään oppitunnilla opimme vähentämään summa luvusta. Voit vähentää summan luvusta vähentämällä ensin yhden termin ja sitten toisen)

Kenellä on ongelmia?

Oletko onnistunut voittamaan ne? Miten?

Mitä muuta pitää työstää?

Opettajan arvio oppitunnin työstä.

Kotitehtävä: s.44, nro 4. Keksi ja ratkaise oma esimerkkisi uudesta aiheesta.

Kirjallisuus

1) Oppikirja "Matematiikan luokka 2, osa 2"; LG Peterson. Kustantaja "Yuventa", 2008.

3) L.G. Peterson, I.G. Lipatnikova "Suulliset harjoitukset matematiikan tunneilla luokka 2". M.: "Koulu 2000..."

Vähennyksen käsite ymmärretään parhaiten esimerkin avulla. Päätät juoda teetä makeisten kanssa. Maljakossa oli 10 karkkia. Söit 3 karkkia. Kuinka monta karkkia on maljakossa jäljellä? Jos vähennämme 3 luvusta 10, maljakkoon jää 7 makeista. Kirjoita ongelma matemaattisesti:

Katsotaanpa merkintää tarkemmin:
10 on luku, josta vähennämme tai vähennämme, joten sitä kutsutaan vähennetty.
3 on luku, jonka vähennämme. Siksi sitä kutsutaan omavastuu.
7 on vähennyksen tulos tai sitä kutsutaan myös ero. Ero osoittaa, kuinka paljon ensimmäinen numero (10) on suurempi kuin toinen numero (3) tai kuinka paljon toinen numero (3) on pienempi kuin ensimmäinen numero (10).

Jos olet epävarma, oletko löytänyt eron oikein, sinun on tehtävä se todentaminen. Lisää eroon toinen luku: 7+3=10

Kun vähennetään l, minuutti ei voi olla pienempi kuin vähennysluku.

Teemme johtopäätöksen siitä, mitä on sanottu. Vähennyslasku- tämä on toiminto, jonka avulla toinen termi löydetään summan ja yhden ehdoista.

Kirjaimellisessa muodossa tämä lauseke näyttää tältä:

a -b=c

a - alennettu,
b - vähennetty,
c on ero.

Ominaisuudet vähentää summa luvusta.

13 — (3 + 4)=13 — 7=6
13 — 3 — 4 = 10 — 4=6

Esimerkki voidaan ratkaista kahdella tavalla. Ensimmäinen tapa on löytää lukujen summa (3 + 4) ja sitten vähentää siitä kokonaismäärä(13). Toinen tapa on vähentää ensimmäinen termi (3) kokonaisluvusta (13) ja sitten toinen termi (4) tuloksena olevasta erotuksesta.

Kirjaimellisessa muodossa ominaisuus summan vähentämiseksi luvusta näyttää tältä:
a - (b + c) = a - b - c

Ominaisuus vähentää luku summasta.

(7 + 3) — 2 = 10 — 2 = 8
7 + (3 — 2) = 7 + 1 = 8
(7 — 2) + 3 = 5 + 3 = 8

Jos haluat vähentää summasta luvun, voit vähentää tämän luvun yhdestä termistä ja lisätä sitten toisen termin erotuksen tulokseen. Ehdolla termi on suurempi kuin vähennetty luku.

Kirjaimellisessa muodossa ominaisuus luvun vähentämiseksi summasta näyttää tältä:
(7 + 3) — 2 = 7 + (3 — 2)
(+b)-c=a + (b - c), jos b > c

(7 + 3) — 2=(7 — 2) + 3
(a + b) - c \u003d (a - c) + b, jos > c

Vähennysominaisuus nollalla.

10 — 0 = 10
a - 0 = a

Jos vähennät luvusta nollan silloin se on sama numero.

10 — 10 = 0
a -a = 0

Jos vähennät saman luvun luvusta silloin se on nolla.

Aiheeseen liittyviä kysymyksiä:
Nimeä esimerkissä 35 - 22 = 13 minuend, aliosa ja erotus.
Vastaus: 35 - vähennetty, 22 - vähennetty, 13 - erotus.

Jos luvut ovat samat, mikä niiden ero on?
Vastaus: nolla.

Suoritetaanko vähennystarkistus 24 - 16 = 8?
Vastaus: 16 + 8 = 24

Vähennystaulukko luonnollisille lukuille 1-10.

Esimerkkejä tehtävistä aiheesta "Luonnollisten lukujen vähentäminen".
Esimerkki 1:
Lisää puuttuva luku: a) 20 - ... = 20 b) 14 - ... + 5 = 14
Vastaus: a) 0 b) 5

Esimerkki 2:
Onko mahdollista vähentää: a) 0 - 3 b) 56 - 12 c) 3 - 0 d) 576 - 576 e) 8732 - 8734
Vastaus: a) ei b) 56 - 12 = 44 c) 3 - 0 = 3 d) 576 - 576 = 0 e) ei

Esimerkki #3:
Lue lauseke: 20 - 8
Vastaus: "Vähennä kahdeksan kahdestakymmenestä" tai "Vähennä kahdeksan kahdestakymmenestä". Äännä sanat oikein

Ei-negatiivisten kokonaislukujen a ja erob on alkioiden lukumäärä joukon B komplementissa joukolle A edellyttäen, ettän(A)= a, n(B)= b, BA, eli A -b = n(A B). Tämä johtuu siitä, että A \u003d B (AB), ts.n(A)= n(B) + n(A B).

Todistetaan se. Koska kunnon mukaan SISÄÄN- joukon oma osajoukko A, niin ne voidaan esittää kuten kuvassa. 3.

Luonnollisten (ei-negatiivisten kokonaislukujen) vähentäminen määritellään summauksen käänteisoperaatioksi: A -b = c () b + c = a.

Ero AB varjostettu tässä kuvassa. Näemme, että sarjat SISÄÄN Ja AB eivät leikkaa ja niiden liitto on yhtä suuri A. Siksi joukon elementtien lukumäärä A löytyy kaavan avulla n(A)=n(B) + n(AB), josta vähennyksen määritelmän mukaan yhteenlaskulle käänteinen operaatio saadaan napata) = A -b.

Samanlainen tulkinta annetaan nollan vähentämiselle sekä vähennykselle A alkaen A. Koska A=A AA=, Että A - 0= a Ja a - a = 0.

Ero A -b ei-negatiivisia kokonaislukuja on olemassa jos ja vain jos .

Toiminta, jolla ero löydetään A -b, kutsutaan vähennyslasku, numero A- alennettu, b- vähennettävä.

Määritelmiä käyttämällä osoitamme, että 8 - 5 = 3 . Annetaan kaksi joukkoa siten, että n(A) = 8, n(B) = 5. Ja antaa joukon SISÄÄN on joukon osajoukko A. Esimerkiksi, A ={a, s, d, f, g, h, j, k} , B={a, s, d, f, g} .

Etsi joukon komplementti SISÄÄN monille V: AB ={h, j, k). Me ymmärrämme sen n(AB) = 3.

Siten , 8 - 5 = 3.

Lukujen ja joukkojen vähentämisen välinen suhde antaa meille mahdollisuuden perustella toiminnan valintaa tekstitehtävien ratkaisussa. Selvitetään, miksi seuraava ongelma ratkaistaan ​​vähennyslaskulla ja ratkaistaan ​​se: "Koululla kasvoi 7 puuta, joista 3 oli koivuja, loput lehmuksia. Kuinka monta lehmusta kasvoi koulun lähellä?

Esitetään ongelman tila visuaalisesti kuvaamalla jokainen koulun lähelle istutettu puu ympyrässä (kuva 4). Niiden joukossa on 3 koivua - kuvassa korostamme ne kuoriutumalla. Sitten loput puut - ei varjostetut ympyrät - ovat lehmuksia. Eli niitä on yhtä monta kuin 7:stä vähennetään 3 , eli . 4.

Ongelma tarkastelee kolmea joukkoa: joukko A kaikki puut, monet SISÄÄN- koivut, joka on osajoukko A, ja aseta KANSSA huuli - se on sarjan täydennys SISÄÄN ennen A. Tehtävänä on löytää elementtien lukumäärä tästä lisäyksestä.

Ehdon mukaan n(A) = 7, Huom)= 3 ja BA. Antaa A ={a, b, c, d, e, f, g} , B={a, b, c} . Etsi joukon komplementti A ennen SISÄÄN: AB={d, e, f, g) Ja n(AB) = 4.

tarkoittaa, n(C) = n(AB) = n(A) - n(B)= 7 - 3 = 4.

Tämän seurauksena koulun lähellä kasvoi 4 lehmusta.

Harkittu lähestymistapa ei-negatiivisten kokonaislukujen yhteen- ja vähennyslaskuun antaa meille mahdollisuuden tulkita erilaisia ​​sääntöjä joukkoteoreettisista paikoista.

Sääntö luvun vähentämiseksi summasta: luvun vähentämiseksi summasta riittää, että tämä luku vähennetään yhdestä termistä ja lisätään saatuun tulokseen toinen termi, ts. klo ässä meillä on se (a+b)-c=(a-c)+b; klo eKr meillä on se (a+b)-c=a+(b-c); klo ac Ja eKr mitä tahansa näistä kaavoista voidaan käyttää.

Selvitetään tämän säännön merkitys: Let A, B, C ovat sellaisia ​​sarjoja n(A)=a, n(B)=b Ja AB= , SA(Kuva 5).

On helppo todistaa Eulerin ympyröiden avulla, että yhtäläisyys pätee näille joukoille.

Tasa-arvon oikea puoli näyttää tältä:

Tasa-arvon vasemmalla puolella on muoto: Siksi (a + b) - c = (a - c) + b,at edellyttäen että a>c.

Sääntö summan vähentämiseksi luvusta : jos haluat vähentää luvusta lukujen summan, riittää, että tästä luvusta vähennetään peräkkäin jokainen termi peräkkäin, ts. edellyttäen että a b+c, meillä on A - (b + c) = (a - b) - c.

Selvitetään tämän säännön merkitys. Näille sarjoille tasa-arvo pätee.

Sitten saadaan, että tasa-arvon oikealla puolella on muoto:. Tasa-arvon vasemmalla puolella on muoto: .

Siten (a + b) - c = (a - c) + b, klo edellyttäen että a>c.

Sääntö erotuksen vähentämiseksi luvusta: vähentää siitä A ero b-c, riittää, kun lisäät tähän numeroon aliosan Kanssa ja vähennä tuloksesta minuendi b; klo a > b on mahdollista vähentää vähennetty b luvusta a ja lisätä vähennetty c saatuun tulokseen, ts. A - (b - c) = (a + c) - b = (a - b) + c.

tarkoittaa, A(BC) = .

Siten, n(A(BC)) = n( ) Ja A - (b - c) = (a + c) - b.

Sääntö luvun vähentämiseksi erotuksesta: vähentääksesi kolmannen luvun kahden luvun erotuksesta, pelkistetystä luvusta riittää vähennettävä kahden muun luvun summa, ts. (A -b) - c = a - (b + c). Se on todistettu samalla tavalla kuin sääntö summan vähentämisestä luvusta.

Esimerkki. Mitä tapoja löytää ero: a) 15 - (5 + 6); b) (12 + 6) - 2?

Ratkaisu. a) Käytämme sääntöä summan vähentämiseksi luvusta: 15 - (5 + 6) \u003d (15 - 5) - 6 \u003d 10 - 6 \u003d 4.

Tai 15 - (5 + 6) = (15 - 6) - 5 = 9 - 4 = 4.

Tai 15 - (5 + 6) = 15 - 11 = 4 .

b) Käytämme sääntöä luvun vähentämiseksi summasta: (12 + 6) - 2 = (12 - 2) + 6 = 10 + 6 = 16.

Tai (12 + 6) - 2 = 12 + (6 - 2) = 12 + 4 = 16 .

Tai (12 + 6) - 2 = 18 - 2 = 16.

Nämä säännöt yksinkertaistavat laskelmia ja niitä käytetään laajalti peruskurssi matematiikka.

Artikkelin aiheen kattavaa analyysiä varten esittelemme termit ja määritelmät, ilmaisemme vähennystoiminnon merkityksen ja johdamme säännön, jonka mukaan vähennystoiminto voi johtaa yhteenlaskutoimintoon. Katsotaanpa käytännön esimerkkejä. Ja harkitse myös vähentämisen toimintaa geometrisessa tulkinnassa - koordinaattiviivalla.

Yleisesti ottaen perustermit, joita käytetään kuvaamaan vähennyslaskua, ovat samat kaikille lukutyypeille.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Määritelmä 1

Minuend on kokonaisluku, josta vähennetään.

Subtrahend on vähennettävä kokonaisluku.

Ero on suoritetun vähennysoperaation tulos.

Itse toiminnon ilmaisemiseksi käytetään miinusmerkkiä, joka sijoitetaan minuendin ja aliosan väliin. Kaikki edellä mainitut toiminnan osat on kirjoitettu tasa-arvon muotoon. Eli jos annetaan kokonaisluvut a ja b ja kun ensimmäisestä sekunnista vähennetään, saadaan luku c, vähennystoiminto kirjoitetaan seuraavalla tavalla: a - b \u003d c.

Myös muotoa a - b oleva lauseke merkitään erotukseksi, samoin kuin tämän lausekkeen lopullinen arvo.

Kokonaisluvun vähentämisen merkitys

Luonnollisten lukujen vähennysaiheessa määritettiin yhteen- ja vähennysoperaatioiden välinen suhde, joka mahdollisti vähentämisen määrittelemisen yhden termin etsimiseksi tunnetulla summalla ja toisella termillä. Oletetaan, että kokonaislukujen vähentämisellä on sama merkitys: toinen termi määräytyy tietyllä summalla ja yhdellä termeistä.

Kokonaislukujen vähentämistoiminnon ilmoitettu merkitys mahdollistaa sen, että c - b \u003d a ja c - a \u003d b, jos a + b \u003d c, missä a, b, c ovat kokonaislukuja.

Harkitse yksinkertaisia ​​esimerkkejä teorian vahvistamiseksi:

Kerro meille, että - 5 + 11 \u003d 6, niin ero on 6 - 11 \u003d - 5;

Oletetaan, että tiedetään, että - 13 + (- 5) \u003d - 18, sitten - 18 - (- 5) \u003d - 13 ja - 18 - (- 13) \u003d - 5.

Kokonaisluvun vähennyssääntö

Yllä oleva vähennystoiminnon merkitys ei osoita meille erityistä tapaa laskea ero. Nuo. voimme väittää, että yksi tunnetuista termeistä on tulosta toisen tunnetun termin vähentämisestä summasta. Mutta jos jokin termeistä osoittautuu tuntemattomaksi, emme voi tietää, mikä ero summan ja tunnetun termin välillä on. Siksi vähennystoiminnon suorittamiseksi tarvitsemme kokonaislukuvähennyssäännön:

Määritelmä 1

Kahden luvun välisen eron määrittämiseksi minuuttiin on lisättävä vähennetyn vastakkainen luku, ts. a - b = a + (- b) , jossa a ja b ovat kokonaislukuja; b ja – b ovat vastakkaisia ​​lukuja.

Todistetaan osoitettu vähennyssääntö, ts. Todistakaamme säännössä esitetyn tasa-arvon pätevyys. Tätä varten kokonaislukujen vähentämisen merkityksen mukaan lisäämme a + (- b) vähennettyyn b:hen ja varmistamme, että tuloksena saadaan pelkistetty a, ts. tarkista yhtälön pätevyys (a + (- b)) + b = a . Kokonaislukujen yhteenlaskemisen ominaisuuksien perusteella voimme kirjoittaa yhtäläisyyksien ketjun: (a + (- b)) + b = a + ((- b) + b) = a + 0 = a , se on todiste kokonaislukujen vähennyssäännöstä.

Harkitse kokonaislukujen vähentämissäännön soveltamista tietyissä esimerkeissä.

Positiivisen kokonaisluvun vähennys, esimerkkejä

Kokonaisluvusta 15 on vähennettävä positiivinen kokonaisluku 45 .

Ratkaisu

Säännön mukaan kokonaisluvun vähentämiseksi annetusta luvusta 15 positiivinen luku 45, sinun on lisättävä numero - 45 alennettuun 15:een, ts. päinvastoin kuin annettu 45 . Siten haluttu ero on yhtä suuri kuin kokonaislukujen 15 ja -45 summa. Laskettuaan vaaditun numeroiden summan vastakkaisilla merkeillä, saamme luvun - 30. Nuo. tuloksena luvun 45 vähentäminen luvusta 15 on luku - 30. Kirjoitetaan koko ratkaisu yhdelle riville: 15 - 45 = 15 + (- 45) = - 30 .

Vastaus: 15 - 45 = - 30.

Esimerkki 2

Negatiivisesta kokonaisluvusta - 150 on vähennettävä positiivinen kokonaisluku 25 .

Ratkaisu

Lisätään säännön mukaan laskevaan numeroon - 150 - luku - 25 (eli annetun vähennetyn 25 vastakohta). Etsi negatiivisten kokonaislukujen summa: - 150 + (- 25) = - 175 . Siten haluttu ero on yhtä suuri kuin. Kirjoitamme koko ratkaisun näin: - 150 - 25 \u003d - 150 + (- 25) \u003d - 175.

Vastaus: - 150 - 25 = - 175.

Esimerkkejä nollan vähennyksestä

Kokonaisluvun vähennyssääntö mahdollistaa nollan vähentämisen periaatteen kokonaisluvusta - nollan vähentäminen mistä tahansa kokonaisluvusta ei muuta tätä lukua, ts. a - 0 = a, missä a on mielivaltainen kokonaisluku.

Selitetään. Vähennyssäännön mukaan nollan vähennys on nollan vastaisen luvun lisäys minuuttiin. Nolla on itseään vastakkainen luku, ts. nollan vähentäminen on sama kuin nollan lisääminen. Liittymisominaisuuden perusteella nollan lisääminen mihinkään kokonaislukuun ei muuta tätä lukua. Täten,

a - 0 = a + (- 0) = a + 0 = a.

Harkitse yksinkertaisia ​​esimerkkejä nollan vähentämisestä useista kokonaisluvuista. Esimerkiksi ero 61 - 0 on 61 . Jos vähennät nollan negatiivisesta kokonaisluvusta - 874, saat - 874. Jos vähennämme nollan nollasta, saamme nollan.

Negatiivisen kokonaisluvun vähennys, esimerkkejä

Kokonaisluvusta 0 on vähennettävä kokonaisluku negatiivinen luku - 324 .

Ratkaisu

Vähennyssäännön mukaan eron 0 - (- 324) määrittäminen on tehtävä lisäämällä laskevaan numeroon 0 vähennetyn vastakkainen luku - 324. Sitten: 0 - (- 324) = 0 + 324 = 324

Vastaus: 0 - (- 324) = 324

Esimerkki 4

Määritä ero - 6 - (- 13) .

Ratkaisu

Vähennetään negatiivisesta kokonaisluvusta - 6 negatiivinen kokonaisluku - 13 . Tätä varten laskemme kahden luvun summan: pienennetty yksi - 6 ja luku 13 (eli annetun aliluvun vastakohta - 13). Saamme: - 6 - (- 13) \u003d - 6 + 13 \u003d 7.

Vastaus: - 6 - (- 13) = 7 .

Yhdenvertaisten kokonaislukujen vähentäminen

Jos annettu minuendi ja aliosa ovat yhtä suuret, niin niiden ero on yhtä suuri kuin nolla, ts. a - a = 0 , missä a on mikä tahansa kokonaisluku.

Selitetään. Kokonaislukujen vähentämissäännön mukaan a - a = a + (- a) = 0, mikä tarkoittaa: jotta voit vähentää sitä vastaavan kokonaisluvun, sinun on lisättävä tähän numeroon sen vastainen luku, joka tuloksena nolla.

Esimerkiksi yhtäläisten kokonaislukujen - 54 ja - 54 ero on yhtä suuri kuin nolla; suorittamalla toiminnon vähentämällä luku 513 luvusta 513, saamme nollan; kun nollasta vähennetään nolla, saadaan myös nolla.

Tarkistetaan kokonaislukujen vähentämisen tulos

Tarvittava tarkistus suoritetaan lisäystoiminnolla. Tätä varten lisäämme aliosan tuloksena olevaan erotukseen: tuloksena meidän pitäisi saada luku, joka on yhtä suuri kuin vähennettävä luku.

Esimerkki 5

Kokonaisluvusta -300 vähennettiin kokonaisluku -112 ja saatiin erotus -186. Oliko vähennys oikea?

Ratkaisu

Tarkastetaan yllä olevan periaatteen mukaisesti. Lisätään aliosa annettuun eroon: - 186 + (- 112) \u003d - 298. Saimme erilaisen luvun kuin annettu vähennetty, joten eroa laskettaessa tapahtui virhe.

Vastaus: Ei, vähennys on tehty väärin.

Harkitse lopuksi kokonaislukujen vähentämisen geometrista tulkintaa. Piirretään vaakasuuntainen koordinaattiviiva oikealle:

Yllä johdimme vähennystoiminnon suorittamista koskevan säännön sen mukaan: a - b \u003d a + (- b), niin numeroiden a ja b vähentämisen geometrinen tulkinta osuu yhteen geometrinen tunne kokonaislukujen a ja - b yhteenlasku. Tästä seuraa, että kokonaisluvun b vähentämiseksi kokonaisluvusta a on välttämätöntä:

Siirry pisteestä koordinaatilla a paikkaan b yksittäisiä segmenttejä vasemmalle, jos b on positiivinen luku;

Siirrä pisteestä, jonka koordinaatit on a - | b | (luvun b moduuli) yksikkösegmentit oikealle, jos b on negatiivinen luku;

Pysy pisteessä, jonka koordinaatti on a, jos b = 0 .

Harkitse esimerkkiä graafisen kuvan käyttämisestä:

Olkoon kokonaisluvusta 2 vähennettävä positiivinen kokonaisluku 2 . Tätä varten siirrymme yllä olevan kaavion mukaisesti vasemmalle 2 yksikkösegmentin verran, jolloin pääsemme pisteeseen, jonka koordinaatti on - 4, ts. - 2 - 2 = - 4 .

Toinen esimerkki: vähennämme kokonaisluvusta 2 negatiivisen kokonaisluvun - 3 . Siirry sitten kaavion mukaan oikealle | - 3 | = 3 yksikkösegmenttiä, jolloin päästään pisteeseen, jonka koordinaatti on 5 . Saamme yhtälön: 2 - (- 3) = 5 ja havainnollistaminen siihen:

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Soitetaan numero, josta vähennetään minuendi, ja vähennettävä luku on alaosa. Vähennysoperaatioiden tulosta kutsutaan ero.

Kerro meille: 2 luvun summa c Ja b on yhtä suuri a, joten ero a-c tahtoa b, ja ero a-b tahtoa c.

On kätevintä vähentää käyttämällä "sarakkeessa" -menetelmää.

vähennystaulukko.

Vähentämisprosessin hallitsemiseksi helpommin ja nopeammin voit tarkastella ja muistaa luokan 2 vähennystaulukon enintään kymmeneen:

Luonnollisten lukujen vähentämisen ominaisuudet.

• Vähennyslaskulla prosessina EI ole kommutatiivista ominaisuutta: a−b≠b−a.
• Identtisten lukujen ero on yhtä suuri kuin nolla: a-a=0.
• 2 kokonaisluvun summan vähentäminen kokonaisluvusta: a−(b+c)=(a−b)−c.
• Luvun vähentäminen 2 luvun summasta: (a+b)-c=(a-c)+b=a+(b-c).
• Kertolaskun jakautumisominaisuus vähennyksen suhteen: a (b−c)=a b−a c ja (a−b) c=a c−b c.
• Ja kaikki muut kokonaislukujen (luonnollisten lukujen) vähentämisominaisuudet.

Tarkastellaanpa joitain niistä:

Ominaisuus vähentää kaksi yhtä suurta luonnollista lukua.

Kahden identtisen luonnollisen luvun erotus on nolla.

a-a=0,

Missä a- mikä tahansa luonnollinen luku.

Luonnollisten lukujen vähentämisellä EI ole kommutatiivista ominaisuutta.

Yllä kuvatusta ominaisuudesta voidaan nähdä, että kahdelle identtiselle luonnolliselle luvulle vähennyksen kommutatiivinen ominaisuus toimii. Kaikissa muissa tapauksissa (jos minuutti ≠ väkiluku) luonnollisten lukujen vähennyksellä ei ole kommutatiivista ominaisuutta. Tai toisin sanoen, minuendia ja aliosaa ei vaihdeta keskenään.

Kun minuendi on suurempi kuin aliosa ja päätämme vaihtaa ne, vähennämme luonnollisesta luvusta, joka on pienempi, luonnollisesta luvusta, joka on suurempi. Tämä järjestelmä ei vastaa luonnollisten lukujen vähentämisen ydintä.

Jos a Ja b epätasa-arvoinen kokonaislukuja, Tuo a−b≠b−a. Esimerkiksi 45−21≠21−45.

Ominaisuus vähentää kahden luvun summa luonnollisesta luvusta.

Osoitetun luonnollisen luvun vähentämiseksi vaadittu kahden luonnollisen luvun summa on sama, jos vaaditun summan 1. termi vähennetään ilmoitetusta luonnollisesta luvusta, niin toinen termi vähennetään lasketusta erotuksesta.

Se voidaan ilmaista seuraavilla kirjaimilla:

a−(b+c)=(a−b)−c,

Missä a, b Ja c- luonnolliset luvut, ehtojen on täytyttävä a>b+c tai a=b+c.

Ominaisuus vähentää luonnollinen luku kahden luvun summasta.

Luonnollisen luvun vähentäminen kahden luvun summasta on sama kuin luvun vähentäminen yhdestä termistä ja erotuksen ja toisen termin lisääminen. Vähennetty luku EI voi olla suurempi kuin termi, josta tämä luku on vähennetty.

Antaa a, b Ja c- kokonaisluvut. Niin jos a enemmän tai yhtä paljon c, tasa-arvo (a+b)-c=(a-c)+b on totta, ja jos b enemmän tai yhtä paljon c, Tuo: (a+b)-c=a+(b-c). Milloin ja a Ja b enemmän tai yhtä paljon c, joten molemmat viimeiset yhtälöt pätevät, ja ne voidaan kirjoittaa näin:

(a+b)−c=(a−c)+b= a+(b−c).