Käänteisen derivaatan geometrinen merkitys. Johdannan fyysinen merkitys. VI. Laboratoriotyöt

Aihe. Johdannainen. Geometrinen ja mekaaninen aisti johdannainen

Jos tämä raja on olemassa, funktion sanotaan olevan differentioituva jossakin pisteessä. Funktion derivaatta merkitään (kaava 2).

1. Derivaatan geometrinen merkitys. Harkitse funktiokaaviota. Kuvasta 1 voidaan nähdä, että kaava 3) voidaan kirjoittaa kahdelle funktion kaavion pisteelle A ja B. Siinä - sekantin AB kaltevuuskulma.

Siten erosuhde on yhtä suuri kuin sekantin kaltevuus. Jos kiinnitämme pisteen A ja siirrämme pistettä B sitä kohti, niin se pienenee loputtomasti ja lähestyy arvoa 0, ja sekantti AB lähestyy tangenttia AC. Siksi erosuhteen raja on yhtä suuri kuin tangentin kaltevuus pisteessä A. Tästä seuraa johtopäätös.

Funktion derivaatta pisteessä on kyseisen funktion kaavion tangentin kulmakerroin kyseisessä pisteessä. Tämä on derivaatan geometrinen merkitys.

1. Tangenttiyhtälö . Johdetaan funktion kaavion tangentin yhtälö pisteessä. Yleisessä tapauksessa suoran ja kaltevuuden yhtälö on muotoa: . Löytääksemme b, käytämme sitä tosiasiaa, että tangentti kulkee pisteen A kautta: . Tämä tarkoittaa: . Kun tämä lauseke korvataan b:llä, saadaan tangenttiyhtälö (kaava 4).

Saadaksesi selville derivaatan geometrisen arvon, tarkastelemme funktion y = f(x) kuvaajaa. Otetaan mielivaltainen piste M koordinaatteineen (x, y) ja piste N lähellä sitä (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y). Piirretään ordinaatit $\overline(M_(1) M)$ ja $\overline(N_(1) N)$ ja piirretään pisteestä M OX-akselin suuntainen viiva.

Suhde $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ on sekantin MN muodostaman kulman $\alpha $1 tangentti OX-akselin positiivisen suunnan kanssa. Kun $\Delta $x pyrkii nollaan, piste N lähestyy M:tä ja käyrän tangentti MT pisteessä M tulee sekantin MN:n rajoittavaksi asemaksi. Siten derivaatta f`(x) on yhtä suuri kuin kulman $\alpha $ tangentti, jonka muodostaa tangentti pisteessä M (x, y) positiivisessa suunnassa OX-akseliin - tangentin kaltevuus (kuva 1).

Kuva 1. Funktiokaavio

Laskettaessa arvoja kaavoilla (1), on tärkeää olla tekemättä virheitä merkkeihin, koska lisäys voi olla negatiivinen.

Käyrällä oleva piste N voi lähestyä M:tä miltä tahansa puolelta. Joten jos kuvassa 1 tangentille annetaan vastakkainen suunta, kulma $\alpha $ muuttuu $\pi $, mikä vaikuttaa merkittävästi kulman tangenttiin ja vastaavasti kaltevuuteen.

Johtopäätös

Tästä seuraa, että derivaatan olemassaolo liittyy käyrän y = f(x) tangentin olemassaoloon ja kulmakerroin -- tg $\alpha $ = f`(x) on äärellinen. Siksi tangentti ei saa olla yhdensuuntainen OY-akselin kanssa, muuten $\alpha $ = $\pi $/2, ja kulman tangentti on ääretön.

Joissakin kohdissa jatkuvalla käyrällä ei välttämättä ole tangenttia tai tangentti on yhdensuuntainen OY-akselin kanssa (kuva 2). Tällöin funktiolla ei voi olla derivaatta näissä arvoissa. Tällaisia ​​pisteitä funktiokäyrällä voi olla mikä tahansa määrä.

Kuva 2. Käyrän poikkeukselliset pisteet

Tarkastellaan kuvaa 2. Olkoon $\Delta $x nolla negatiivisista tai positiivisista arvoista:

\[\Delta x\to -0\begin(array)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(array)\]

Jos tässä tapauksessa suhteilla (1) on äärellinen käytävä, se merkitään seuraavasti:

Ensimmäisessä tapauksessa johdannainen vasemmalla, toisessa derivaatta oikealla.

Rajan olemassaolo kertoo vasemman ja oikean derivaatan ekvivalenssista ja tasa-arvosta:

Jos vasen ja oikea derivaatta eivät ole yhtä suuret, niin tässä kohdassa on tangentit, jotka eivät ole yhdensuuntaisia ​​OY:n kanssa (piste M1, kuva 2). Pisteissä M2, M3 suhteet (1) pyrkivät äärettömään.

N pisteelle M2:n vasemmalla puolella $\Delta $x $

Kohteen $M_2$ oikealla puolella $\Delta $x $>$ 0, mutta lauseke on myös f(x + $\Delta $x) -- f(x) $

Pisteelle $M_3$ vasemmalla $\Delta $x $$ 0 ja f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, ts. lausekkeet (1) ovat sekä positiivisia vasemmalla että oikealla ja yleensä +$\infty $, kun $\Delta $x lähestyy -0:aa ja +0:aa.

Tapaus derivaatan puuttumisesta suoran tietyissä kohdissa (x = c) on esitetty kuvassa 3.

Kuva 3. Johdannaisten puuttuminen

Esimerkki 1

Kuvassa 4 on funktion kuvaaja ja kaavion tangentti kohdassa, jossa on abskissa $x_0$. Etsi funktion derivaatan arvo abskissasta.

Ratkaisu. Derivaata pisteessä on yhtä suuri kuin funktion inkrementin ja argumentin inkrementin suhde. Valitaan tangentista kaksi pistettä, joilla on kokonaislukukoordinaatit. Olkoon nämä esimerkiksi pisteet F (-3.2) ja C (-2.4).

Matemaattiset ongelmat löytävät sovelluksensa monissa tieteissä. Näitä ovat fysiikan, kemian, tekniikan ja taloustieteen lisäksi myös lääketiede, ekologia ja muut tieteenalat. Yksi tärkeä käsite, joka on hallittava, jotta voidaan löytää ratkaisuja tärkeisiin pulmiin, on funktion johdannainen. fyysinen merkitys sen selittäminen ei ole ollenkaan niin vaikeaa kuin se saattaa näyttää asian pohjimmiltaan tietämättömältä. Riittää, kun löytää tästä sopivia esimerkkejä tosielämästä ja arkipäivän tilanteista. Itse asiassa jokainen autoilija selviää samanlaisen tehtävän kanssa joka päivä, kun hän katsoo nopeusmittaria ja määrittää autonsa nopeuden tietyllä hetkellä kiinteänä ajankohtana. Loppujen lopuksi juuri tässä parametrissa on johdannaisen fyysisen merkityksen ydin.

Kuinka löytää nopeus

Jokainen viidesluokkalainen voi helposti määrittää tiellä olevan henkilön nopeuden tietäen kuljetun matkan ja matka-ajan. Tätä varten ensimmäinen annetuista arvoista jaetaan toisella. Mutta jokainen nuori matemaatikko ei tiedä, että hän tällä hetkellä löytää funktion ja argumentin lisäyssuhteen. Todellakin, jos kuvittelemme liikkeen kaavion muodossa, jossa polku on y-akselia pitkin ja aika abskissaa pitkin, se on juuri sitä.

Jalankulkijan tai minkä tahansa muun kohteen nopeus, jonka määrittelemme suurella osalla polkua, liikkeen tasaiseksi katsoen, voi hyvinkin muuttua. Fysiikassa on monia liikemuotoja. Se voidaan suorittaa paitsi jatkuvalla kiihtyvyydellä, myös hidastaa ja lisätä mielivaltaisella tavalla. On huomattava, että tässä tapauksessa liikettä kuvaava viiva ei ole enää suora. Graafisesti se voi ottaa monimutkaisimmat kokoonpanot. Mutta mille tahansa kaavion pisteelle voimme aina piirtää tangentin, jota edustaa lineaarinen funktio.

Siirtymän muutoksen parametrin tarkentamiseksi ajasta riippuen on tarpeen pienentää mitattuja segmenttejä. Kun niistä tulee äärettömän pieniä, laskettu nopeus on hetkellinen. Tämä kokemus auttaa meitä määrittämään johdannaisen. Sen fyysinen merkitys seuraa loogisesti myös tällaisesta päättelystä.

Geometrian suhteen

Tiedetään, että mitä suurempi kappaleen nopeus on, sitä jyrkempi on siirtymän aikariippuvuuden käyrä ja siten käyrän tangentin kaltevuuskulma tietyssä pisteessä. Tällaisten muutosten ilmaisin voi olla x-akselin ja tangenttiviivan välisen kulman tangentti. Hän määrittää derivaatan arvon ja lasketaan vastakkaisen ja viereisen haaran pituuksien suhteella suorakulmaisessa kolmiossa, jonka muodostaa tietystä pisteestä x-akselille laskettu kohtisuora.

Tämä on ensimmäisen derivaatan geometrinen merkitys. Fyysinen paljastuu siinä, että meidän tapauksessamme vastakkaisen jalan arvo on kuljettu matka ja viereisen aika. Niiden suhde on nopeus. Ja taas tulemme siihen johtopäätökseen, että hetkellinen nopeus, joka määräytyy, kun molemmat raot pyrkivät äärettömän pieniksi, on olemus osoittaen sen fyysistä merkitystä. Toinen derivaatta tässä esimerkissä on kehon kiihtyvyys, joka puolestaan ​​osoittaa nopeuden muutoksen asteen.

Esimerkkejä derivaattojen löytämisestä fysiikassa

Johdannainen on minkä tahansa funktion muutosnopeuden indikaattori, vaikka emme puhukaan liikkeestä sanan kirjaimellisessa merkityksessä. Otetaanpa muutama konkreettinen esimerkki tämän osoittamiseksi selvästi. Oletetaan, että virran voimakkuus muuttuu ajasta riippuen seuraavan lain mukaan: minä= 0,4t2. On löydettävä nopeuden arvo, jolla tämä parametri muuttuu prosessin 8. sekunnin lopussa. Huomaa, että itse haluttu arvo, kuten yhtälöstä voidaan päätellä, kasvaa jatkuvasti.

Ratkaisua varten on löydettävä ensimmäinen derivaatta, jonka fyysistä merkitystä tarkasteltiin aiemmin. Tässä dI/ dt = 0,8 t. Seuraavaksi löydämme sen osoitteessa t=8 , saadaan, että nopeus, jolla virran voimakkuuden muutos tapahtuu, on yhtä suuri kuin 6,4 A/ c. Tässä katsotaan, että virran voimakkuus mitataan ampeereina ja vastaavasti aika sekunneissa.

Kaikki on muutettavissa

Näkyy maailma, joka koostuu aineesta, muuttuu jatkuvasti ja on siinä tapahtuvien erilaisten prosessien liikkeessä. Niiden kuvaamiseen voidaan käyttää erilaisia ​​parametreja. Jos niitä yhdistää riippuvuus, ne kirjoitetaan matemaattisesti funktiona, joka näyttää selvästi niiden muutokset. Ja missä on liikettä (missä tahansa muodossa se voidaan ilmaista), on olemassa myös johdannainen, jonka fyysistä merkitystä tarkastelemme tällä hetkellä.

Tältä osin seuraava esimerkki. Oletetaan, että kehon lämpötila muuttuu lain mukaan T=0,2 t 2 . Sinun pitäisi löytää sen kuumenemisnopeus 10. sekunnin lopussa. Ongelma ratkaistaan ​​samalla tavalla kuin edellisessä tapauksessa. Eli löydämme derivaatan ja korvaamme sen arvon t= 10 , saamme T= 0,4 t= 4. Tämä tarkoittaa, että lopullinen vastaus on 4 astetta sekunnissa, eli lämmitysprosessi ja lämpötilan muutos asteina mitattuna tapahtuvat juuri tällä nopeudella.

Käytännön ongelmien ratkaisu

Tietysti tosielämässä kaikki on paljon monimutkaisempaa kuin teoreettisissa ongelmissa. Käytännössä määrien arvo määritetään yleensä kokeen aikana. Tässä tapauksessa käytetään laitteita, jotka antavat lukemia mittausten aikana tietyllä virheellä. Siksi laskelmissa on käsiteltävä parametrien likimääräisiä arvoja ja turvauduttava epämukavien lukujen pyöristämiseen sekä muihin yksinkertaistuksiin. Kun tämä on otettu huomioon, siirrymme jälleen derivaatan fyysistä merkitystä koskeviin ongelmiin, koska ne ovat vain eräänlainen matemaattinen malli monimutkaisimmista luonnossa tapahtuvista prosesseista.

Purkaus

Kuvittele, että tulivuori purkautuu. Kuinka vaarallinen hän voi olla? Tähän kysymykseen vastaamiseksi on otettava huomioon monia tekijöitä. Yritämme ottaa yhden niistä huomioon.

"Tulen hirviön" suusta heitetään kivet pystysuunnassa ylöspäin, ja niillä on alkunopeus siitä hetkestä lähtien, kun ne poistuvat ulos. On tarpeen laskea kuinka korkealle ne voivat saavuttaa maksimikorkeuden.

Halutun arvon löytämiseksi laadimme yhtälön metreinä mitatun korkeuden H riippuvuudelle muista suureista. Näitä ovat alkunopeus ja aika. Kiihtyvyysarvon katsotaan olevan tiedossa ja se on suunnilleen 10 m/s 2 .

Osittainen johdannainen

Tarkastellaan nyt funktion derivaatan fyysistä merkitystä hieman eri kulmasta, koska yhtälö itsessään voi sisältää ei yhden, vaan useita muuttujia. Esimerkiksi edellisessä tehtävässä tulivuoren tuuletusaukosta sinkoutuneiden kivien korkeuden riippuvuutta ei määrittänyt vain aikaominaisuuksien muutos, vaan myös alkunopeuden arvo. Jälkimmäistä pidettiin vakiona kiinteänä arvona. Mutta muissa tehtävissä, joissa on täysin erilaiset olosuhteet, kaikki voi olla toisin. Jos määrät, joista monimutkainen toiminto, useita, laskelmat tehdään alla olevien kaavojen mukaisesti.

Toistuvan derivaatan fyysinen merkitys tulee määrittää tavalliseen tapaan. Tämä on nopeus, jolla funktio muuttuu jossain tietyssä pisteessä muuttujan parametrin kasvaessa. Se lasketaan siten, että kaikki muut komponentit otetaan vakioiksi, vain yhtä pidetään muuttujana. Sitten kaikki tapahtuu tavallisten sääntöjen mukaan.

Ymmärtäen johdannaisen fyysisen merkityksen, ei ole vaikeaa antaa esimerkkejä monimutkaisten ja monimutkaisten ongelmien ratkaisemisesta, joihin vastaus löytyy tällaisella tiedolla. Jos meillä on toiminto, joka kuvaa polttoaineenkulutusta auton nopeudesta riippuen, voimme laskea millä jälkimmäisen parametreilla bensiinin kulutus on pienin.

Lääketieteessä voidaan ennustaa, kuinka ihmiskeho reagoi lääkärin määräämään lääkkeeseen. Lääkkeen ottaminen vaikuttaa useisiin fysiologisiin parametreihin. Näitä ovat muun muassa verenpaineen, sykkeen, kehon lämpötilan ja muiden muutosten muutokset. Kaikki ne riippuvat käytetyn lääkkeen annoksesta. Nämä laskelmat auttavat ennustamaan hoidon kulkua sekä suotuisissa ilmenemismuodoissa että ei-toivotuissa onnettomuuksissa, jotka voivat vaikuttaa kuolettavaan muutoksiin potilaan kehossa.

Epäilemättä on tärkeää ymmärtää johdannaisen fyysinen merkitys teknisissä asioissa, erityisesti sähkötekniikassa, elektroniikassa, suunnittelussa ja rakentamisessa.

Jarrutusmatkat

Mietitään seuraavaa ongelmaa. Tasaisella nopeudella liikkunut auto joutui 10 sekuntia ennen sisäänkäyntiä hidastamaan siltaa lähestyvän vauhtia, kun kuljettaja huomasi yli 36 km/h nopeudella liikkumista kieltävän liikennemerkin. Rikkoiko kuljettaja sääntöjä, jos jarrutusmatka voidaan kuvata kaavalla S = 26t - t 2?

Laskettuamme ensimmäisen derivaatan löydämme nopeuden kaavan, saamme v = 28 - 2t. Seuraavaksi korvaamme arvon t=10 määritettyyn lausekkeeseen.

Koska tämä arvo ilmoitettiin sekunneissa, nopeus osoittautuu 8 m / s, mikä tarkoittaa 28,8 km / h. Tämän avulla on mahdollista ymmärtää, että kuljettaja alkoi hidastaa vauhtia ajoissa eikä rikkonut liikennesääntöjä ja siten nopeuskyltissä ilmoitettua rajoitusta.

Tämä todistaa johdannaisen fyysisen merkityksen tärkeyden. Esimerkki tämän ongelman ratkaisemisesta osoittaa tämän käsitteen käytön laajuuden eniten eri alueita elämää. Myös arjen tilanteissa.

Johdannainen taloustieteessä

Ennen 1800-lukua taloustieteilijät käsittelivät enimmäkseen keskiarvoja, oli kyseessä sitten työn tuottavuus tai tuotannon hinta. Mutta jostain vaiheesta lähtien raja-arvot tulivat tarpeellisempia tehokkaiden ennusteiden tekemiseen tällä alueella. Näitä ovat rajahyöty, tulot tai kustannukset. Tämän ymmärtäminen antoi sysäyksen luoda täysin uusi taloustutkimuksen työkalu, joka on ollut olemassa ja kehittynyt yli sata vuotta.

Tällaisten laskelmien tekemiseksi, joissa minimi- ja maksimikäsitteet ovat vallitsevia, on yksinkertaisesti välttämätöntä ymmärtää derivaatan geometrinen ja fyysinen merkitys. Tekijöiden joukossa teoreettinen perusta Näitä tieteenaloja voidaan kutsua sellaisiksi merkittäviksi englantilaisiksi ja itävaltalaisiksi taloustieteilijöiksi kuin W. S. Jevons, K. Menger ja muut. Taloudellisten laskelmien raja-arvot eivät tietenkään aina ole käteviä käyttää. Ja esimerkiksi neljännesvuosittaiset raportit eivät välttämättä sovi olemassa olevaan järjestelmään, mutta silti tällaisen teorian soveltaminen on monessa tapauksessa hyödyllistä ja tehokasta.

Oppitunnin tavoitteet:

Opiskelijoiden tulisi tietää:

• mitä kutsutaan suoran viivan kaltevuudeksi;
• viivan ja x-akselin välinen kulma;
• mikä on derivaatan geometrinen merkitys;
• funktion kuvaajan tangentin yhtälö;
• menetelmä paraabelin tangentin muodostamiseksi;
• osaa soveltaa teoreettista tietoa käytännössä.

Oppitunnin tavoitteet:

Kasvatus: luoda edellytykset opiskelijoille hallita tiedon, taitojen ja kykyjen järjestelmä johdannaisen mekaanisen ja geometrisen merkityksen käsitteillä.

Kasvatus: muodostaa opiskelijoille tieteellinen maailmankuva.

Kehittäminen: kehittää opiskelijoiden kognitiivista kiinnostusta, luovuutta, tahtoa, muistia, puhetta, huomiokykyä, mielikuvitusta, havainnointikykyä.

Opetuksen ja kognitiivisen toiminnan järjestämismenetelmät:

• visuaalinen;
• käytännöllinen;
• henkiseen toimintaan: induktiivinen;
• materiaalin assimilaation mukaan: osittain tutkiva, lisääntyvä;
• riippumattomuusasteen mukaan: laboratoriotyöt;
• stimuloiva: rohkaisu;
• valvonta: suullinen frontaalinen tutkimus.

Tuntisuunnitelma

1. Suulliset harjoitukset (etsi johdannainen)
2. Opiskelijan viesti aiheesta "Syyt esiintymiseen matemaattinen analyysi”.
3. Uuden materiaalin oppiminen
4. Phys. Minuutti.
5. Ongelmanratkaisu.
6. Laboratoriotyöt.
7. Yhteenveto oppitunnista.
8. Kommentoi kotitehtäviä.

Varusteet: multimediaprojektori (esitys), kortit (laboratoriotyöt).

"Ihminen saavuttaa jotain vain siellä, missä hän uskoo itseensä"

L. Feuerbach

Luokan organisointi koko oppitunnin ajan, oppilaiden valmius oppituntiin, järjestys ja kuri.

Oppimistavoitteiden asettaminen opiskelijoille sekä koko oppitunnille että sen yksittäisille vaiheille.

Selvitä opittavan materiaalin merkitys sekä tässä aiheessa että koko kurssilla.

Sanallinen laskenta

1. Etsi johdannaisia:

" , ()" , (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "

2. Logiikkatesti.

a) Lisää puuttuva lauseke.

Tieteen kehityksen yleisen suunnan määräävät viime kädessä ihmisen toiminnan harjoittamisen vaatimukset. Muinaisten valtioiden, joissa on monimutkainen hierarkkinen hallintojärjestelmä, olemassaolo olisi ollut mahdotonta ilman aritmetiikan ja algebran riittävää kehitystä, koska verojen kantaminen, armeijan tarvikkeiden järjestäminen, palatsien ja pyramidien rakentaminen sekä kastelujärjestelmien rakentaminen vaativat monimutkaiset laskelmat. Renessanssin aikana keskiaikaisen maailman eri osien väliset siteet laajenivat, kauppa ja käsityö kehittyivät. Tuotannon teknisen tason nopea nousu alkaa, teollisesti hyödynnetään uusia energialähteitä, jotka eivät liity ihmisten tai eläinten lihaksiin. XI-XII vuosisatojen aikana ilmestyivät kutomakoneet ja kutomakoneet ja XV-luvun puolivälissä painokone. Tänä aikana yhteiskunnallisen tuotannon nopean kehityksen tarpeen myötä antiikista lähtien kuvailevien luonnontieteiden olemus muuttuu. Luonnontieteiden tavoitteeksi tulee luonnollisten prosessien, ei esineiden, syvällinen tutkiminen. Antiikin kuvaava luonnontiede vastasi matematiikkaa, joka toimi vakioarvoilla. Oli tarpeen luoda matemaattinen laite, joka ei kuvaisi prosessin tulosta, vaan sen virtauksen luonnetta ja sen luontaisia ​​kuvioita. Tämän seurauksena 1100-luvun loppuun mennessä Newton Englannissa ja Leibniz Saksassa saivat päätökseen ensimmäisen vaiheen matemaattisen analyysin luomisessa. Mitä on "matemaattinen analyysi"? Miten minkä tahansa prosessin piirteitä voidaan karakterisoida ja ennustaa? Käytätkö näitä ominaisuuksia? Tunkeutua syvemmälle tämän tai tuon ilmiön olemukseen?

Mennään Newtonin ja Leibnizin polkua pitkin ja katsotaan, kuinka voimme analysoida prosessia, pitäen sitä ajan funktiona.

Esittelemme joitakin käsitteitä, jotka auttavat meitä edelleen.

Lineaarifunktion y=kx+ b kuvaaja on suora, kutsutaan lukua k suoran kaltevuus. k=tg, missä on suoran kulma, eli tämän suoran ja Ox-akselin positiivisen suunnan välinen kulma.

Kuva 1

Tarkastellaan funktion y \u003d f (x) kuvaajaa. Piirrä sekantti minkä tahansa kahden pisteen kautta, esimerkiksi sekantti AM. (Kuva 2)

Sekantin kaltevuus k=tg. Suorakulmaisessa kolmiossa AMC<МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

Kuva 2

Kuva 3

Itse termi "nopeus" kuvaa yhden suuren muutoksen riippuvuutta toisen suuren muutoksesta, eikä jälkimmäisen tarvitse olla aikaa.

Siten sekantin jyrkkyyden tangentti tg = .

Olemme kiinnostuneita arvojen muutoksen riippuvuudesta lyhyemmässä ajassa. Tehdään argumentin lisäys nollaan. Tällöin kaavan oikea puoli on funktion derivaatta pisteessä A (selitä miksi). Jos x -> 0, niin piste M siirtyy kuvaajaa pitkin pisteeseen A, mikä tarkoittaa, että suora AM lähestyy jotakin suoraa AB, joka on tangentti funktion y \u003d f (x) kuvaajalle pisteessä A. (Kuva 3)

Sekantin kaltevuuskulma pyrkii tangentin kaltevuuskulmaan.

Derivaatan geometrinen merkitys on, että derivaatan arvo pisteessä on yhtä suuri kuin funktion kaavion tangentin kaltevuus pisteessä.

Johdannan mekaaninen merkitys.

Tangentin kulmakertoimen tangentti on arvo, joka osoittaa funktion hetkellisen muutosnopeuden tietyssä pisteessä, eli tutkittavan prosessin uuden ominaisuuden. Leibniz kutsui tätä määrää johdannainen, ja Newton sanoi, että hetkellinen nopeus.

Nro 91(1) sivu 91 - näytä taululla.

Käyrän tangentin f (x) \u003d x 3 kaltevuus pisteessä x 0 - 1 on tämän funktion derivaatan arvo kohdassa x \u003d 1. f '(1) \u003d 3x 2; f'(1) = 3.

Nro 91 (3.5) - sanelussa.

Nro 92 (1) - taululle halutessaan.

Nro 92 (3) - itsenäisesti suullisella tarkastuksella.

nro 92 (5) - hallituksessa.

Vastaukset: 45 0, 135 0, 1,5 e 2.

Tarkoitus: "johdannaisen mekaanisen merkityksen" käsitteen kehittäminen.

Derivaatan sovellukset mekaniikkaan.

Laki on annettu suoraviivaista liikettä pisteet x = x(t), t.

1. Keskimääräinen liikkeen nopeus määritetyn ajanjakson aikana;
2. Nopeus ja kiihtyvyys hetkellä t 04
3. pysähdyspisteet; jatkaako piste liikkumista samaan suuntaan pysähtymishetken jälkeen vai alkaako se liikkua vastakkaiseen suuntaan;
4. Suurin liikenopeus tietyn ajan.

Työ suoritetaan 12 vaihtoehdon mukaan, tehtävät erotetaan monimutkaisuustason mukaan (ensimmäinen vaihtoehto on alin monimutkaisuustaso).

Ennen työn aloittamista keskustelu seuraavista kysymyksistä:

1. Mikä on siirtymän derivaatan fyysinen merkitys? (Nopeus).
2. Löydätkö nopeuden derivaatan? Käytetäänkö tätä määrää fysiikassa? Miksi sitä kutsutaan? (Kiihtyvyys).
3. Hetkellinen nopeus on nolla. Mitä voidaan sanoa kehon liikkeestä tällä hetkellä? (Tämä on pysähdyskohta).
4. Mikä on seuraavien lauseiden fysikaalinen merkitys: liikkeen derivaatta on yhtä suuri kuin nolla pisteessä t 0; muuttaako derivaatan etumerkkiä kulkiessaan pisteen t 0 läpi? (Keho pysähtyy; liikkeen suunta muuttuu päinvastaiseksi).

Esimerkkityö opiskelijoille.

x (t) \u003d t 3 -2 t 2 +1, t 0 \u003d 2.

Kuva 4

Vastakkaiseen suuntaan.

Piirretään kaavamainen nopeuskaavio. Suurin nopeus saavutetaan pisteessä

t = 10, v (10) = 3 10 2 -4 10 = 300 - 40 = 260

Kuva 5

1) Mikä on derivaatan geometrinen merkitys?
2) Mikä on derivaatan mekaaninen merkitys?
3) Tee johtopäätös työstäsi.

Sivu 90. nro 91 (2,4,6), nro 92 (2,4,6), s. 92 nro 112.

Käytetyt kirjat

• Oppikirja Algebra ja analyysin alku.
  Kirjailija: Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin.
  Toimittanut A. B. Zhizhchenko.
• Algebra 11 luokka. Tuntisuunnitelmat Sh. A. Alimovin, Yu. M. Kolyaginin, Yu. V. Sidorovin oppikirjan mukaan. Osa 1.
• Internet-resurssit: http://orags.narod.ru/manuals/html/gre/12.jpg

Funktion f (x) derivaatta pisteessä x0 on raja (jos se on olemassa) pisteessä x0 olevan funktion lisäyksen suhteelle argumentin Δx lisäykseen, jos argumentin inkrementti pyrkii nolla ja sitä merkitään f '(x0). Toimintoa, jossa funktion derivaatta etsitään, kutsutaan differentiaatioksi.
Funktion derivaatalla on seuraava fyysinen merkitys: funktion derivaatta tietyssä pisteessä on funktion muutosnopeus tietyssä pisteessä.

Derivaatan geometrinen merkitys. Derivaata pisteessä x0 on yhtä suuri kuin funktion y=f(x) kuvaajan tangentin kaltevuus tässä pisteessä.

Johdannan fyysinen merkitys. Jos piste liikkuu x-akselia pitkin ja sen koordinaatti muuttuu x(t)-lain mukaan, niin pisteen hetkellinen nopeus:

Differentiaalin käsite, sen ominaisuudet. Erottamisen säännöt. Esimerkkejä.

Määritelmä. Funktion differentiaali jossain pisteessä x on funktion inkrementin pääosa, lineaarinen osa. Funktion y = f(x) differentiaali on yhtä suuri kuin sen derivaatan ja riippumattoman muuttujan x inkrementin tulo. Perustelu).

Se on kirjoitettu näin:

tai

Tai


Differentiaaliset ominaisuudet
Differentiaalilla on samanlaiset ominaisuudet kuin derivaatalla:





TO erottelun perussäännöt sisältää:
1) renderöinti vakiotekijä johdannaisen merkiksi
2) summan derivaatta, erotuksen derivaatta
3) funktioiden tulon derivaatta
4) kahden funktion osamäärän derivaatta (murtoluvun derivaatta)

Esimerkkejä.
Todistetaan kaava: Derivaatan määritelmän mukaan meillä on:

Rajalle siirtymisen merkistä voidaan ottaa mielivaltainen tekijä (tämä tiedetään rajan ominaisuuksista), joten

Esimerkiksi: Etsi funktion derivaatta
Ratkaisu: Käytämme sääntöä, jossa kerroin otetaan pois derivaatan etumerkistä :

Usein joutuu ensin yksinkertaistamaan differentioituvan funktion muotoa voidakseen käyttää derivaattataulukkoa ja sääntöjä derivaatan löytämiseen. Seuraavat esimerkit vahvistavat tämän selvästi.

Erotuskaavat. Differentiaalin soveltaminen likimääräisissä laskelmissa. Esimerkkejä.

Differentiaalin käyttö likimääräisissä laskelmissa mahdollistaa differentiaalin käytön funktioarvojen likimääräisiin laskelmiin.
Esimerkkejä.
Laske likimääräinen differentiaali
Tämän arvon laskemiseksi käytämme teorian kaavaa
Esitellään funktio a aseta arvo edustaa muodossa
sitten Laske

Korvaamalla kaikki kaavaan, saamme lopulta
Vastaus:

16. L'Hopitalin sääntö muotoa 0/0 tai ∞/∞ olevien epävarmuustekijöiden paljastamiseksi. Esimerkkejä.
Kahden äärettömän pienen tai kahden äärettömän suuren määrän suhteen raja on yhtä suuri kuin niiden johdannaisten suhteen raja.

1)

17. Kasvava ja laskeva toiminto. funktion ääripää. Algoritmi monotonisuuden ja ääripään funktion tutkimiseen. Esimerkkejä.

Toiminto lisääntyy välissä, jos tämän välin kahdelle pisteelle, jotka liittyvät suhteeseen , epäyhtälö on tosi. Eli suurempi argumentin arvo vastaa suurempaa funktion arvoa, ja sen kaavio kulkee "alhaalta ylös". Demotoiminto kasvaa ajanjakson kuluessa

Samoin toiminto vähenee on väli, jos millä tahansa kahdella pisteellä tietyn välin, niin että , Epäyhtälö on totta. Toisin sanoen argumentin suurempi arvo vastaa pienempää funktion arvoa, ja sen kaavio kulkee "ylhäältä alas". Meidän vähenee väliajoin pienenee väliajoin .

Äärimmäisyydet Pistettä kutsutaan funktion y=f(x) maksimipisteeksi, jos epäyhtälö on tosi kaikille x:ille sen naapurustosta. Kutsutaan funktion arvo maksimipisteessä toiminto maksimi ja merkitsee.
Pistettä kutsutaan funktion y=f(x) minimipisteeksi, jos epäyhtälö on tosi kaikille x:ille sen naapurustosta. Kutsutaan funktion arvo minimipisteessä funktion minimi ja merkitsee.
Pisteen lähialue ymmärretään intervalliksi , jossa on riittävän pieni positiivinen luku.
Minimi- ja maksimipisteitä kutsutaan ääripisteiksi ja ääripisteitä vastaavia funktioarvoja ns. funktion äärimmäinen.

Tutkiaksesi toimintoa yksitoikkoisuuden vuoksi käytä seuraavaa kaaviota:
- Etsi toiminnon laajuus;
- Etsi funktion derivaatta ja derivaatan alue;
- Etsi derivaatan nollat, ts. argumentin arvo, jolla derivaatta on nolla;
- Merkitse numeeriseen säteeseen funktion alueen yhteinen osa ja sen derivaatan alue ja siihen - derivaatan nollat;
- Määritä derivaatan merkit kullakin saadulla aikavälillä;
- Määritä derivaatan etumerkeillä, millä aikaväleillä funktio kasvaa ja missä se pienenee;
- Merkitse asianmukaiset välit puolipisteillä erotettuina.

Tutkimusalgoritmi jatkuva toiminto y = f(x) monotonisuudelle ja äärimmäisyydelle:
1) Etsi derivaatta f ′(x).
2) Etsi funktion y = f(x) stationaariset (f ′(x) = 0) ja kriittiset (f ′(x) ei ole olemassa) pisteet.
3) Merkitse paikallaan ja kriittiset kohdat numeroviivalla ja määritä derivaatan etumerkit tuloksena oleville intervalleille.
4) Tee johtopäätökset funktion monotonisuudesta ja sen ääripisteistä.

18. Funktion kupera. Käännepisteet. Algoritmi funktion konveksiteetti (koveruus) tutkimiseksi Esimerkkejä.

kupera alaspäin X-välillä, jos sen kuvaaja ei ole alempana kuin sen tangentti missä tahansa X-välin kohdassa.

Differentioituvaa funktiota kutsutaan kupera ylöspäin X-välillä, jos sen kuvaaja ei sijaitse sen tangentin yläpuolella missään X-välin kohdassa.

Pistekaavaa kutsutaan kaavion käännepiste funktio y \u003d f (x), jos tietyssä pisteessä on funktion kaavion tangentti (se voi olla Oy-akselin suuntainen) ja pistekaavan naapuri on sellainen, jonka sisällä funktion kuvaaja funktiolla on eri kuperasuunnat pisteen M vasemmalle ja oikealle puolelle.

Intervallien etsiminen kuperalle:

Jos funktiolla y=f(x) on äärellinen toinen derivaatta välillä X ja jos epäyhtälö (), silloin funktion kuvaajalla on konveksiteetti, joka on suunnattu alas (ylös) X:ssä.
Tämän lauseen avulla voit löytää funktion koveruuden ja kuperuuden intervallit, sinun tarvitsee vain ratkaista epäyhtälöt ja vastaavasti alkuperäisen funktion määritelmäalue.

Esimerkki: Selvitä aikavälit, joilla funktion kaavio Selvitä välit, joilla funktion kaavio sillä on ylöspäin suunnattu kupera ja alaspäin suunnattu kupera. sillä on ylöspäin suunnattu kupera ja alaspäin suunnattu kupera.
Ratkaisu: Tämän funktion toimialue on koko joukko todellisia lukuja.
Etsitään toinen derivaatta.

Toisen derivaatan määritelmäalue on sama kuin alkuperäisen funktion määritelmäalue, joten koveruuden ja konveksisuuden välien selvittämiseksi riittää ratkaisemaan ja vastaavasti. Siksi funktio on alaspäin kupera välikaavassa ja ylöspäin kupera välikaavassa.

19) Funktion asymptootit. Esimerkkejä.

Suora soitto vertikaalinen asymptootti funktion kaavio, jos vähintään yksi raja-arvoista tai on yhtä suuri kuin tai .

Kommentti. Viiva ei voi olla pystysuora asymptootti, jos funktio on jatkuva kohdassa . Siksi vertikaalisia asymptootteja tulisi etsiä funktion epäjatkuvuuspisteistä.

Suora soitto horisontaalinen asymptootti funktion kaavio, jos vähintään yksi raja-arvoista tai on yhtä suuri kuin .

Kommentti. Funktiokaaviossa voi olla vain oikea vaaka-asymptootti tai vain vasen.

Suora soitto vino asymptootti funktion kaavio if

ESIMERKKI:

Harjoittele. Etsi funktion kaavion asymptootit

Ratkaisu. Toiminnan laajuus:

a) pystyasymptootit: suora on pystysuora asymptootti, koska

b) vaakasuuntaiset asymptootit: löydämme funktion rajan äärettömästä:

eli ei ole horisontaalisia asymptootteja.

c) vinot asymptootit:

Siten vino asymptootti on: .

Vastaus. Pystyasymptootti on suora viiva.

Vino asymptootti on suora viiva.

20) Yleinen kaavio funktion tutkimisesta ja piirtämisestä. Esimerkki.

a.
Etsi funktion ODZ ja keskeytyspisteet.

b. Etsi funktion kuvaajan leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa.

2. Suorita funktion tutkimus käyttämällä ensimmäistä derivaatta, eli etsi funktion ääripisteet sekä kasvu- ja laskuvälit.

3. Tutki funktiota toisen kertaluvun derivaatan avulla, eli löydä funktiograafin käännepisteet sekä sen konveksiteetti- ja koveruusvälit.

4. Etsi funktion kaavion asymptootit: a) pystysuora, b) vino.

5. Rakenna tutkimuksen perusteella funktion kuvaaja.

Huomaa, että ennen piirtämistä on hyödyllistä selvittää, onko tietty funktio parillinen vai pariton.

Muista, että funktiota kutsutaan, vaikka funktion arvo ei muutu argumentin etumerkin muuttuessa: f(-x) = f(x) ja funktiota kutsutaan parittomaksi jos f(-x) = -f(x).

Tässä tapauksessa riittää tutkia funktiota ja piirtää sen kuvaaja positiiviset arvot ODZ:lle kuuluva väite. Argumentin negatiivisilla arvoilla graafi täydennetään sillä perusteella, että parillisen funktion kohdalla se on symmetrinen akselin suhteen Oy, ja parittomat alkuperän suhteen.

Esimerkkejä. Tutustu funktioihin ja rakenna niiden kaavioita.

Toiminnan laajuus D(y)= (–∞; +∞). Taukopisteitä ei ole.

Akselin leikkaus Härkä: x = 0,y= 0.

Funktio on pariton, joten sitä voidaan tutkia vain väliltä )