Diskreettien ja jatkuvien satunnaismuuttujien jakaumafunktio. Jatkuvan satunnaismuuttujan matemaattinen odotus. Esimerkki ratkaisusta. Jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyystiheysfunktion ominaisuudet

Satunnaismuuttuja on muuttuja, joka voi saada tietyt arvot eri olosuhteista riippuen, ja satunnainen arvo kutsutaan jatkuvaksi , jos se voi ottaa minkä tahansa arvon jostakin rajatusta tai rajoittamattomasta intervallista. Jatkuvalle satunnaismuuttujalle on mahdotonta määrittää kaikkia mahdollisia arvoja, joten näiden arvojen välit, jotka liittyvät tiettyihin todennäköisyyksiin, on merkitty.

Esimerkkejä jatkuvista satunnaismuuttujista ovat: tiettyyn kokoon käännetyn osan halkaisija, henkilön korkeus, ammuksen kantama jne.

Koska jatkuville satunnaismuuttujille funktio F(x), Toisin kuin diskreetit satunnaismuuttujat, ei hyppää missään, niin jatkuvan satunnaismuuttujan minkä tahansa yksittäisen arvon todennäköisyys on nolla.

Tämä tarkoittaa, että jatkuvan satunnaismuuttujan kohdalla ei ole järkevää puhua sen arvojen välisestä todennäköisyysjakaumasta: jokaisella niistä on nolla todennäköisyys. Tietyssä mielessä jatkuvan satunnaismuuttujan arvojen joukossa on kuitenkin "enemmän ja vähemmän todennäköisiä". Esimerkiksi on epätodennäköistä, että kukaan epäilee, että satunnaismuuttujan arvo - satunnaisesti kohdatun henkilön pituus - 170 cm - on todennäköisempi kuin 220 cm, vaikka käytännössä yksi ja toinen arvo voi esiintyä.

Jatkuvan satunnaismuuttujan jakaumafunktio ja todennäköisyystiheys

Jakaumalakina, joka on järkevä vain jatkuville satunnaismuuttujille, otetaan käyttöön jakautumistiheyden tai todennäköisyystiheyden käsite. Lähestytään sitä vertaamalla jakaumafunktion merkitystä jatkuvalle satunnaismuuttujalle ja diskreetille satunnaismuuttujalle.

Eli satunnaismuuttujan (sekä diskreetin että jatkuvan) jakaumafunktio tai kiinteä toiminto kutsutaan funktioksi, joka määrittää todennäköisyyden, että satunnaismuuttujan arvo X pienempi tai yhtä suuri kuin raja-arvo X.

Diskreetille satunnaismuuttujalle sen arvojen kohdissa x1 , x 2 , ..., x minä,... todennäköisyyksien keskittyneitä massoja s1 , s 2 , ..., s minä,..., ja kaikkien massojen summa on 1. Siirretään tämä tulkinta jatkuvan satunnaismuuttujan tapaukseen. Kuvittele, että massaa, joka on yhtä suuri kuin 1, ei keskity erillisiin pisteisiin, vaan se "siirtyy" jatkuvasti x-akselia pitkin Härkä jollakin epätasaisella tiheydellä. Satunnaismuuttujan osumisen todennäköisyys missä tahansa paikassa Δ x tulkitaan tämän osan massaksi ja tämän osan keskimääräiseksi tiheydeksi - massan ja pituuden suhteeksi. Olemme juuri ottaneet käyttöön tärkeän käsitteen todennäköisyysteoriassa: jakautumistiheyden.

Todennäköisyystiheys f(x Jatkuvan satunnaismuuttujan ) on sen jakautumisfunktion derivaatta:

Tietäen tiheysfunktion, voimme löytää todennäköisyyden, että jatkuvan satunnaismuuttujan arvo kuuluu suljettuun väliin [ a; b]:

todennäköisyys, että jatkuva satunnaismuuttuja X ottaa minkä tahansa arvon väliltä [ a; b], on yhtä suuri kuin sen todennäköisyystiheyden tietty integraali alueella alkaen a ennen b:

Tässä tapauksessa funktion yleinen kaava F(x) jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma, jota voidaan käyttää, jos tiheysfunktio tunnetaan f(x) :

Jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyystiheyden kuvaajaa kutsutaan sen jakautumiskäyräksi (kuva alla).

Kuvion alue (varjostettu kuvassa), jota rajoittaa käyrä, pisteistä vedetyt suorat viivat a Ja b kohtisuorassa abskissa-akseliin ja akseliin nähden vai niin, näyttää graafisesti todennäköisyyden, että jatkuvan satunnaismuuttujan arvo X on alueella a ennen b.

Jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyystiheysfunktion ominaisuudet

1. Todennäköisyys, että satunnaismuuttuja ottaa minkä tahansa arvon väliltä (ja funktion kaavion rajoittamasta luvun alueesta f(x) ja akseli vai niin) on yhtä suuri kuin yksi:

2. Todennäköisyystiheysfunktio ei voi ottaa negatiivisia arvoja:

ja jakauman olemassaolon ulkopuolella sen arvo on nolla

Jakauman tiheys f(x), sekä jakelufunktio F(x), on yksi jakauman lain muodoista, mutta toisin kuin jakaumafunktio, se ei ole universaali: jakautumistiheys on olemassa vain jatkuville satunnaismuuttujille.

Mainitaan kaksi käytännössä tärkeintä jatkuvan satunnaismuuttujan jakautumistyyppiä.

Jos jakautumistiheysfunktio f(x) jatkuva satunnaismuuttuja jollakin äärellisellä aikavälillä [ a; b] ottaa vakioarvon C, ja välin ulkopuolella saa arvon, joka on yhtä suuri kuin nolla, niin tämä jakautumista kutsutaan yhtenäiseksi .

Jos jakautumistiheysfunktion kuvaaja on symmetrinen keskustan suhteen, keskiarvot keskittyvät lähelle keskustaa ja keskustasta poispäin siirryttäessä kerätään keskiarvoista poikkeavia (funktion kaavio muistuttaa leikkausta kello), sitten tämä jakaumaa kutsutaan normaaliksi .

Esimerkki 1 Jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumafunktio tunnetaan:

Etsi ominaisuus f(x) jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyystiheys. Piirrä kaaviot molemmille funktioille. Määritä todennäköisyys, että jatkuva satunnaismuuttuja saa minkä tahansa arvon välillä 4-8: .

Ratkaisu. Saamme todennäköisyystiheysfunktion etsimällä todennäköisyysjakaumafunktion derivaatan:

Funktiokaavio F(x) - paraabeli:

Funktiokaavio f(x) - suora viiva:

Selvitetään todennäköisyys, että jatkuva satunnaismuuttuja saa minkä tahansa arvon välillä 4-8:

Esimerkki 2 Jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyystiheysfunktio annetaan seuraavasti:

Laske kerroin C. Etsi ominaisuus F(x) jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma. Piirrä kaaviot molemmille funktioille. Laske todennäköisyys, että jatkuva satunnaismuuttuja saa minkä tahansa arvon välillä 0-5: .

Ratkaisu. Kerroin C löydämme käyttämällä todennäköisyystiheysfunktion ominaisuutta 1:

Näin ollen jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyystiheysfunktio on:

Integroimalla löydämme toiminnon F(x) todennäköisyysjakaumat. Jos x < 0 , то F(x) = 0. Jos 0< x < 10 , то

x> 10 siis F(x) = 1 .

Näin ollen todennäköisyysjakaumafunktion täydellinen tietue on:

Funktiokaavio f(x) :

Funktiokaavio F(x) :

Selvitetään todennäköisyys, että jatkuva satunnaismuuttuja saa minkä tahansa arvon välillä 0-5:

Esimerkki 3 Jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyystiheys X annetaan tasa-arvolla, kun taas . Etsi kerroin A, todennäköisyys, että jatkuva satunnaismuuttuja X ottaa jonkin arvon väliltä ]0, 5[, jatkuvan satunnaismuuttujan jakaumafunktio X.

Ratkaisu. Ehdolla saavutetaan tasa-arvo

Siksi mistä. Niin,

Nyt löydämme todennäköisyyden, että jatkuva satunnaismuuttuja X ottaa minkä tahansa arvon väliltä ]0, 5[:

Nyt saamme tämän satunnaismuuttujan jakautumisfunktion:

Esimerkki 4 Etsi jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyystiheys X, joka ottaa vain ei-negatiiviset arvot, ja sen jakautumisfunktio .

Artikkelin sisältö

JAKELUTOIMINTO on makroskooppisen järjestelmän hiukkasten jakautumisen todennäköisyystiheys koordinaattien, momenttien tai kvanttitilojen välillä. Jakaumafunktio on pääominaisuus mitä erilaisimmissa (ei vain fyysisissä) järjestelmissä, joille on ominaista satunnainen käyttäytyminen, ts. satunnainen muutos järjestelmän tilassa ja vastaavasti sen parametreissa. Jopa paikallaan pysyvissä ulkoisissa olosuhteissa järjestelmän tila voi olla sellainen, että joidenkin sen parametrien mittauksen tulos on satunnaismuuttuja. Jakelufunktio sisältää suurimmassa osassa tapauksia kaiken mahdollisen ja siten tyhjentävän tiedon tällaisten järjestelmien ominaisuuksista.

Matemaattisessa todennäköisyysteoriassa ja matemaattiset tilastot jakaumafunktio ja todennäköisyystiheys eroavat toisistaan, mutta liittyvät yksiselitteisesti toisiinsa. Jäljempänä käsittelemme lähes yksinomaan todennäköisyystiheyttä, jota (fysiikassa hyväksytyn pitkän perinteen mukaan) kutsutaan todennäköisyysjakauman tiheydeksi tai jakautumistiheydeksi, laittamalla näiden kahden termin väliin yhtäläisyysmerkki.

Satunnainen käyttäytyminen on jossain määrin ominaista kaikille kvanttimekaanisille järjestelmille: alkuainehiukkasia, molekyylin atomit jne. Satunnainen käyttäytyminen ei kuitenkaan ole vain kvanttimekaanisten järjestelmien erityispiirre, monet ovat puhtaasti klassiset järjestelmät omistaa tämän ominaisuuden.

Esimerkkejä.

Kun heitetään kolikkoa kovalle vaakasuoralle pinnalle, ei ole selvää, miten se putoaa: numero ylhäällä vai vaakuna. Tiedetään, että näiden tapahtumien todennäköisyys tietyissä olosuhteissa on yhtä suuri kuin 1/2. Noppia heittäessä on mahdotonta sanoa varmasti, mikä kuudesta numerosta on yläpuolella. Todennäköisyys putoaa kustakin luvusta tietyillä oletuksilla (luu - homogeeninen kuutio ilman halkeamia reunoja ja pisteitä putoaa kovalle, sileälle vaakasuoralle pinnalle) on 1/6.

Molekyylien kaoottinen liike on voimakkainta kaasussa. Jopa kiinteissä ulkoisissa olosuhteissa makroskooppisten parametrien tarkat arvot vaihtelevat (muuttuvat satunnaisesti), ja vain niiden keskiarvot ovat vakioita. Makroskooppisten järjestelmien kuvaus makroparametrien keskiarvojen kielellä on termodynaamisen kuvauksen () ydin.

Olkoon ihanteellinen yksiatominen kaasu ja sen kolme (ei vielä keskiarvoista) makroskooppista parametria: N on kaasun käyttämän astian sisällä liikkuvien atomien lukumäärä; P on kaasun paine astian seinämässä, ja sisäinen energia kaasua. Kaasu on ihanteellinen ja yksiatominen, joten sen sisäinen energia on yksinkertaisesti kaasuatomien translaatioliikkeen kineettisten energioiden summa.

Määrä N vaihtelee ainakin sorptioprosessin (tarttuminen suonen seinämään siihen törmäyksen jälkeen) ja desorptioprosessin (irrotusprosessi, kun molekyyli irtoaa seinästä itsestään tai toisen molekyylin osuessa siihen seurauksena) ), ja lopuksi klusterin muodostumisprosessi - useiden molekyylien lyhytikäiset kompleksit. Jos voisi mitata N välittömästi ja tarkasti, sitten tuloksena oleva riippuvuus N(t) olisi samanlainen kuin kuvassa.

Kuvan vaihteluväli on selvyyden vuoksi voimakkaasti yliarvioitu, mutta pienellä keskiarvolla (b N c ~ 10 2) hiukkasten lukumäärä kaasussa, se on suunnilleen sama.

Jos valitsemme pienen alueen suonen seinämästä mittaamaan tälle alueelle astiassa olevien kaasumolekyylien iskujen seurauksena vaikuttavaa voimaa, niin tämän voiman normaalin pinta-alan komponentin keskiarvon suhde pinta-alaan aluetta kutsutaan yleisesti paineeksi. Eri aikoina eri määrä molekyylejä lentää paikalle ja eri nopeuksilla. Tämän seurauksena, jos tämä voima olisi mahdollista mitata välittömästi ja tarkasti, kuvassa olisi samanlainen kuva kuin kuvassa, sinun tarvitsee vain muuttaa merkintää pystyakselilla:

N(t) YU P(t) ja b N(t) Yu b:n kanssa P(t)Kanssa.

Lähes kaikki sama pätee kaasun sisäiseen energiaan, vain tämän määrän satunnaisiin muutoksiin johtavat prosessit ovat erilaisia. Esimerkiksi lentäessään astian seinämään asti kaasumolekyyli ei törmää abstraktiin, absoluuttisesti elastiseen ja peilimäisesti heijastavaan seinämään, vaan yhteen hiukkasiin, jotka muodostavat tämän seinän materiaalin. Olkoon seinä terästä, silloin nämä ovat rautaioneja, jotka värähtelevät tasapainoasemien - kidehilan solmujen - ympärillä. Jos kaasumolekyyli lentää seinää vasten siinä ionin värähtelyvaiheessa, kun se liikkuu sitä kohti, niin törmäyksen seurauksena molekyyli lentää pois seinästä suuremmalla nopeudella kuin se lensi ylös. Yhdessä tämän molekyylin energian kanssa myös kaasun sisäinen energia kasvaa. E. Jos molekyyli törmää ioniin, joka liikkuu samaan suuntaan kuin se, tämä molekyyli lentää pois nopeudella, jolla se lensi. Lopuksi molekyyli voi päästä välitilaan (tyhjää tilaan kidehilan vierekkäisten solmujen väliin) ja juuttua sinne niin, että voimakaskaan kuumennus ei voi poistaa sitä sieltä. Kahdessa viimeisessä tapauksessa kaasun sisäinen energia E vähentää. Siten, E(t) - Myös satunnainen toiminto aika ja on tämän funktion keskiarvo.

Brownin liike.

Määritettyään Brownin hiukkasen sijainnin jossain vaiheessa t 1, voidaan tarkasti ennustaa vain sen sijainti myöhempänä ajankohtana t 2 ei ylitä ( t 2 –t 1)· c, Missä c on valon nopeus tyhjiössä.

On tapauksia, joissa on diskreetti ja jatkuva tilaspektri ja vastaavasti muuttuja x. Jonkin muuttujan arvospektri ymmärretään sen mahdollisten arvojen koko joukkona.

Diskreetin tilaspektrin tapauksessa todennäköisyysjakauman määrittämiseksi on ensin ilmoitettava satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen täysi joukko

x 1, x 2, x 3,…x k,… (1)

ja toiseksi niiden todennäköisyydet:

W 1, W 2, W 3,…W k,… (2)

Kaikkien mahdollisten tapahtumien todennäköisyyksien summan on oltava yhtä suuri kuin yksi (normalisointiehto)

Todennäköisyysjakauman kuvaus suhteilla (1) - (3) on mahdotonta jatkuvan tilaspektrin ja vastaavasti muuttujan mahdollisten arvojen jatkuvan spektrin tapauksessa x. Antaa x ottaa kaikki mahdolliset todelliset arvot väliltä

x TIETOJA [ a, b] (4)

Missä a Ja b ei välttämättä rajallinen. Esimerkiksi kaasumolekyylin nopeusvektorin moduulille VО makaa koko mahdollisten arvojen alueella, ts. x TIETOJA [ x,x+ D x] TIETOJA [ a, b] (5)

Sitten todennäköisyys D W(x, D x) osumia x välissä (5) on yhtä suuri kuin

Tässä N on mittausten kokonaismäärä x, ja D n(x, D x) on väliin (5) osuvien tulosten määrä.

Todennäköisyys D W riippuu luonnollisesti kahdesta argumentista: x– intervallin paikat sisällä [ a, b] ja D x on sen pituus (oletetaan, vaikka se ei ole ollenkaan välttämätöntä, että D x> 0). Esimerkiksi todennäköisyys saada tarkka arvo x, toisin sanoen osumisen todennäköisyys x nollapituusväliin on mahdottoman tapahtuman todennäköisyys ja on siksi yhtä kuin nolla: D W(x, 0) = 0

Toisaalta arvon saamisen todennäköisyys x jossain (ei väliä missä) koko ajanjakson aikana [ a, b] on tietyn tapahtuman todennäköisyys (aina tapahtuu jotain) ja on siksi yhtä suuri kuin yksi (oletetaan, että b > a):D W(a, b – a) = 1.

Anna D x muutama. Riittävän pienuuden kriteeri riippuu todennäköisyysjakauman D kuvaaman järjestelmän erityisominaisuuksista W(x, D x). Jos D x pieni, sitten funktio D W(x, D x) voidaan laajentaa D:n potenssien sarjassa x:

Jos piirretään riippuvuusgraafi D W(x, D x) toisesta väitteestä D x, jolloin tarkan riippuvuuden korvaaminen likimääräisellä lausekkeella (7) tarkoittaa tarkan käyrän korvaamista (pienellä alueella) paraabelipalalla (7).

Kohdassa (7) ensimmäinen termi on täsmälleen nolla, kolmas ja sitä seuraavat termit, jos D on riittävän pieni, x voidaan jättää pois. Johdatus notaatioon

antaa tärkeä tulos D W(x, D x) » r( x) D x (8)

Suhde (8), joka on tarkempi, mitä pienempi D x tarkoittaa, että lyhyellä aikavälillä todennäköisyys putoaa tähän väliin on verrannollinen sen pituuteen.

Voit silti siirtyä pienestä, mutta lopullisesta D:stä x muodollisesti äärettömään pieneen dx, korvaamalla samanaikaisesti D W(x, D x) päällä dW(x). Sitten likimääräinen yhtälö (8) muuttuu tarkaksi yhtälöksi dW(x) = r( x)· dx(9)

Suhteellisuuskerroin r( x) on yksinkertainen merkitys. Kuten kohdista (8) ja (9) voidaan nähdä, r( x) on numeerisesti yhtä suuri kuin osumistodennäköisyys x yksikköpituuden väliin. Siksi yksi funktion nimistä r( x) on muuttujan todennäköisyysjakauman tiheys x.

Funktio r( x) sisältää kaikki tiedot siitä, miten todennäköisyys dW(x) osumia x tietyn pituuden välissä dx riippuu tämän intervallin sijainnista, ts. se näyttää kuinka todennäköisyys jakautuu x. Siksi funktio r( x) kutsutaan yleisesti muuttujan jakaumafunktioksi x ja siten tämän fyysisen järjestelmän jakaumafunktio sen tilojen spektrin kuvaamiseksi, joissa muuttuja on otettu käyttöön x. Termejä "todennäköisyystiheys" ja "jakaumafunktio" käytetään vaihtokelpoisesti tilastollisessa fysiikassa.

Voidaan harkita todennäköisyyden (6) ja jakaumafunktion (9) määritelmän yleistämistä esimerkiksi kolmen muuttujan tapaukselle. Yleistys tapaukseen mielivaltaisesti suuri numero muuttujat tehdään täsmälleen samalla tavalla.

Olkoon ajassa satunnaisesti vaihtelevan fyysisen järjestelmän tila kolmen muuttujan arvojen perusteella x, y Ja z jatkuvalla spektrillä:

x TIETOJA [ a, b]

y TIETOJA [ c, d]

z TIETOJA [ e, f] (10)

Missä a, b,…, f, kuten ennenkin, eivät välttämättä ole rajallisia. Muuttujat x, y Ja z voivat olla esimerkiksi kaasumolekyylin massakeskuksen koordinaatit, sen nopeusvektorin komponentit x YU V x, y YU V v Ja z YU Vz tai impulssi jne. Tapahtumalla tarkoitetaan kaikkien kolmen muuttujan samanaikaista esiintymistä D-pituisissa intervalleissa x, D y ja D z vastaavasti, eli:

x TIETOJA [ x, x+ D x]

y TIETOJA [ y, y+ D y]

z TIETOJA [ z, z+ D z] (11)

Tapahtuman (11) todennäköisyys voidaan määrittää samalla tavalla kuin (6)

sillä erolla, että nyt D n– mittausten määrä x, y Ja z, jonka tulokset tyydyttävät samanaikaisesti suhteita (11). Käyttämällä sarjalaajennusta, joka on samanlainen kuin (7), saadaan

dW(x, y, z) = r( x, y, z)· dx dy dz(13)

missä r( x, y, z) on jakaumafunktio kolmelle muuttujalle kerralla x, y Ja z.

Matemaattisessa todennäköisyysteoriassa termiä "jakaumafunktio" käytetään merkitsemään suuruutta, joka on eri kuin r( x), nimittäin: olkoon x jokin satunnaismuuttujan arvo x. Funktio Ф(x), joka antaa todennäköisyyden, että x saa arvon, joka ei ole suurempi kuin x, ja sitä kutsutaan jakautumisfunktioksi. Funktioilla r ja Ф on eri merkitys, mutta ne liittyvät toisiinsa. Todennäköisyyslisäyslauseen avulla saadaan (tässä A on mahdollisten arvojen alueen vasen pää x (cm. TODENNÄKÖISYYSTEORIA: , (14) mistä

Käyttämällä likimääräistä relaatiota (8) saadaan D W(x, D x) » r( x) D x.

Vertailu täsmälliseen lausekkeeseen (15) osoittaa, että (8):n käyttö vastaa integraalin korvaamista kohdassa (16) integrandin r() tulolla. x) integrointivälin D pituudella x:

Relaatio (17) on tarkka, jos r = konst, siksi virhe korvattaessa (16) arvolla (17) on pieni, kun integrand muuttuu hieman integrointivälin D pituuden aikana x.

Voit syöttää D x eff on sen välin pituus, jolla jakaumafunktio r( x) muuttuu merkittävästi, ts. itse funktion järjestyksen arvolla tai suurella Dr eff modulo tilaus r. Lagrangen kaavaa käyttämällä voimme kirjoittaa:

mistä seuraa, että D x eff mille tahansa funktiolle r

Jakaumafunktiota voidaan pitää "melkein vakiona" argumentin tietyllä muutosvälillä, jos sen inkrementti |Dr| tällä välillä absoluuttinen arvo on paljon pienempi kuin itse funktio tämän välin kohdissa. Vaatimus |Dr| eff| ~ r (jakaumafunktio r і 0) antaa

D x x eff (20)

integrointivälin pituuden tulee olla pieni verrattuna siihen, jossa integrandi muuttuu merkittävästi. Kuva on kuva. 1.

Integroitu vasemmalla puolella (17) yhtä suuri kuin pinta-ala käyrän alla. Kohdan (17) oikealla puolella oleva tuote on kuvassa varjostetun alueen alue. 1 sarake. Vastaavien alueiden välisen eron pienuuden kriteerinä on epätasa-arvon täyttyminen (20). Tämä voidaan varmistaa korvaamalla integraaliin (17) funktion r( x) valtuuksien sarjassa

Vaatimus, että korjausta ((21):n oikealla puolella olevaa toista termiä verrataan ensimmäiseen pieneen, antaa epäyhtälön (20) D:n kanssa x eff alkaen (19).

Esimerkkejä useista jakautumisfunktioista, joilla on tärkeä rooli tilastollisessa fysiikassa.

Maxwell-jakauma molekyylin nopeusvektorin projektiosta tiettyyn suuntaan (esim. tämä on akselin suunta HÄRKÄ).

Tässä m on kaasumolekyylin massa, T- sen lämpötila k on Boltzmannin vakio.

Maxwell-jakauma nopeusvektorin moduulille:

Maxwell-jakauma molekyylien translaatioliikkeen energialle e = mV 2/2

Boltzmann-jakauma, tarkemmin sanottuna ns barometrinen kaava, joka määrittää molekyylien pitoisuuden tai ilmanpaineen jakautumisen korkeudessa h jostain "nollatasosta" olettaen, että ilman lämpötila ei riipu korkeudesta (isoterminen ilmakehän malli). Itse asiassa alemman ilmakehän lämpötila laskee huomattavasti korkeuden kasvaessa.

Minkä tahansa satunnaisen kokeen tulos voidaan karakterisoida laadullisesti ja kvantitatiivisesti. Laadullinen satunnaisen kokeen tulos - satunnainen tapahtuma. Minkä tahansa määrällinen ominaisuus, joka satunnaisen kokeen seurauksena voi saada jonkin tietyistä arvoista, - satunnainen arvo. Satunnainen arvo on yksi todennäköisyysteorian keskeisistä käsitteistä.

Antaa olla mielivaltainen todennäköisyysavaruus. Satunnaismuuttuja on todellinen numeerinen funktio x \u003d x (w), w W , niin että mille tahansa reaaliarvolle x .

Tapahtuma yleensä kirjoitetaan x:llä< x. Seuraavassa satunnaismuuttujat merkitään pienillä kreikkalaisilla kirjaimilla x, h, z,…

Satunnaismuuttuja on noppaa heittäessä putoavien pisteiden määrä tai tutkimusryhmästä satunnaisesti valitun opiskelijan pituus. Ensimmäisessä tapauksessa olemme tekemisissä diskreetti Satunnaismuuttuja(se ottaa arvot erillisestä numeerisesta joukosta M=(1, 2, 3, 4, 5, 6); toisessa tapauksessa kanssa jatkuva Satunnaismuuttuja(se ottaa arvot jatkuvasta lukujoukosta - numerorivin väliltä minä=).

Jokainen satunnaismuuttuja määräytyy täysin sen mukaan jakelutoiminto.

Jos x on satunnaismuuttuja, niin funktio F(x) = Fx(x) = P(x< x) kutsutaan jakelutoiminto satunnaismuuttuja x. Tässä P(x<x) - todennäköisyys, että satunnaismuuttuja x saa arvon, joka on pienempi kuin x.

On tärkeää ymmärtää, että jakaumafunktio on satunnaismuuttujan "passi": se sisältää kaiken tiedon satunnaismuuttujasta ja siksi satunnaismuuttujan tutkiminen koostuu sen tutkimisesta jakelutoiminnot, usein viitataan yksinkertaisesti jakelu.

Minkä tahansa satunnaismuuttujan jakaumafunktiolla on seuraavat ominaisuudet:

Jos x on diskreetti satunnaismuuttuja ottaa arvot x 1 <x 2 < … <x i < … с вероятностями s 1 <s 2 < … <pi < …, то таблица вида

x 1	x 2	…	x i	…
s 1	s 2	…	pi	…

nimeltään diskreetin satunnaismuuttujan jakauma.

Satunnaismuuttujan jakaumafunktiolla, jolla on tällainen jakauma, on muoto

Diskreetillä satunnaismuuttujalla on vaiheittainen jakautumisfunktio. Esimerkiksi satunnaiselle määrälle pisteitä, jotka putosivat yhdellä nopanheitolla, jakauman, jakautumisfunktion ja jakautumisfunktion kaavio näyttää tältä:

1	2	3	4	5	6
1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Jos jakelufunktio Fx(x) on jatkuva, silloin kutsutaan satunnaismuuttujaa x jatkuva satunnaismuuttuja.

Jos jatkuvan satunnaismuuttujan jakaumafunktio erottuva, niin satunnaismuuttujan visuaalinen esitys antaa satunnaismuuttujan todennäköisyystiheys p x(x), joka liittyy jakelufunktioon Fx(x) kaavoja

Ja .

Tästä seuraa erityisesti, että mille tahansa satunnaismuuttujalle .

Käytännön ongelmia ratkaistaessa on usein tarpeen löytää arvo x, jossa jakelufunktio Fx(x) satunnaismuuttuja x saa tietyn arvon s, eli sinun täytyy ratkaista yhtälö Fx(x) = s. Tällaisen yhtälön ratkaisut (vastaavat arvot x) kutsutaan todennäköisyysteoriassa kvantiileja.

Kvantiili x p ( s-kvantiili, tasokvantiili s) satunnaismuuttuja, jolla on jakautumisfunktio Fx(x), kutsutaan ratkaisuksi xp yhtälöt Fx(x) = s, s(0, 1). Joillekin s yhtälö Fx(x) = s voi olla useita ratkaisuja, joillekin - ei yhtään. Tämä tarkoittaa, että vastaavalle satunnaismuuttujalle joitain kvantiileja ei ole määritelty yksiselitteisesti ja joitain kvantiileja ei ole olemassa.

Antaa olla mielivaltainen todennäköisyysavaruus. Satunnaismuuttuja on todellinen numeerinen funktio x \u003d x (w), w W , niin että mille tahansa reaaliarvolle x .

Tapahtuma yleensä kirjoitetaan x:llä< x. Seuraavassa satunnaismuuttujat merkitään pienillä kreikkalaisilla kirjaimilla x, h, z,…

Jokainen satunnaismuuttuja määräytyy täysin sen mukaan jakelutoiminto.

Minkä tahansa satunnaismuuttujan jakaumafunktiolla on seuraavat ominaisuudet:

Jos x on diskreetti satunnaismuuttuja ottaa arvot x 1 <x 2 < … <x i < … с вероятностями s 1 <s 2 < … <pi < …, то таблица вида

x 1	x 2	…	x i	…
s 1	s 2	…	pi	…

nimeltään diskreetin satunnaismuuttujan jakauma.

Satunnaismuuttujan jakaumafunktiolla, jolla on tällainen jakauma, on muoto

1	2	3	4	5	6
1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Jos jakelufunktio Fx(x) on jatkuva, silloin kutsutaan satunnaismuuttujaa x jatkuva satunnaismuuttuja.

Ja .

Tästä seuraa erityisesti, että mille tahansa satunnaismuuttujalle .

Jakaumafunktio on yleisin muoto jakautumislain asettamiseen. Sitä käytetään sekä diskreettien että jatkuvien satunnaismuuttujien määrittämiseen. Sitä kutsutaan yleensä nimellä. jakelutoiminto määrittää todennäköisyyden, että satunnaismuuttuja saa pienempiä arvoja kuin kiinteä reaaliluku, ts. . Jakaumafunktio luonnehtii täysin satunnaismuuttujaa todennäköisyyden kannalta. Sitä kutsutaan myös integraalijakaumafunktioksi.

Jakaumafunktion geometrinen tulkinta on hyvin yksinkertainen. Jos satunnaismuuttujaa pidetään akselin satunnaisena pisteenä (kuva 6), joka testin tuloksena voi ottaa yhden tai toisen aseman tällä akselilla, niin jakaumafunktio on todennäköisyys, että satunnaispiste, putoaa testin seurauksena pisteen vasemmalle puolelle.

Diskreetille satunnaismuuttujalle , joka voi ottaa arvot,, … ,, jakaumafunktiolla on muoto

jossa summamerkin alla oleva epäyhtälö tarkoittaa, että summa ulottuu kaikkiin arvoihin, jotka ovat suuruudeltaan pienempiä. Tästä kaavasta seuraa, että diskreetin satunnaismuuttujan jakaumafunktio on epäjatkuva ja kasvaa hyppyissä kulkiessaan pisteiden,, …, läpi, ja hyppy on yhtä suuri kuin vastaavan arvon todennäköisyys (kuva 7). Jakaumafunktion kaikkien hyppyjen summa on yhtä suuri kuin yksi.

Jatkuvalla satunnaismuuttujalla on jatkuva jakautumisfunktio, tämän funktion kuvaaja on tasaisen käyrän muotoinen (kuva 8).

Riisi. 7. Kuva. 8.

Harkitse jakaumafunktioiden yleisiä ominaisuuksia.

Kiinteistö 1. Jakaumafunktio on ei-negatiivinen funktio, joka on nollan ja yhden välissä:

Tämän ominaisuuden pätevyys seuraa siitä, että jakaumafunktio määritellään siitä koostuvan satunnaisen tapahtuman todennäköisyydestä.

Kiinteistö 2. Todennäköisyys, että satunnaismuuttuja putoaa väliin, on yhtä suuri kuin jakaumafunktion arvojen erotus tämän intervallin päissä, ts.

Tästä seuraa, että jatkuvan satunnaismuuttujan minkä tahansa yksittäisen arvon todennäköisyys on nolla.

Kiinteistö 3. Satunnaismuuttujan jakaumafunktio on ei-pienevä funktio, eli for .

Kiinteistö 4. Miinus äärettömässä jakaumafunktio on nolla ja plus äärettömyydessä jakaumafunktio on yhtä suuri kuin yksikkö, ts.

Esimerkki 1 Jatkuvan satunnaismuuttujan jakaumafunktio saadaan lausekkeella

Etsi kerroin ja rakenna kaavio. Määritä todennäköisyys, että satunnaismuuttuja saa kokeen tuloksena arvon väliltä.

Ratkaisu. Koska jatkuvan satunnaismuuttujan jakaumafunktio on jatkuva, saamme: . Täältä. Funktion kaavio on esitetty kuvassa. 9.

Jakaumafunktion toisen ominaisuuden perusteella meillä on:

4. Todennäköisyysjakauman tiheys ja sen ominaisuudet.

Jatkuvan satunnaismuuttujan jakaumafunktio on sen todennäköisyysominaisuus. Mutta sillä on haittapuoli, joka koostuu siitä, että on vaikea arvioida satunnaismuuttujan jakauman luonnetta numeerisen akselin yhden tai toisen pisteen pienessä ympäristössä. Visuaalisemman esityksen jatkuvan satunnaismuuttujan jakauman luonteesta antaa funktio, jota kutsutaan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauman tiheydeksi tai differentiaalijakaumafunktioksi.

Jakauman tiheys on yhtä suuri kuin jakaumafunktion derivaatta, ts.

Jakaumatiheyden merkitys on se, että se ilmaisee, kuinka usein satunnaismuuttuja esiintyy tietyllä pisteen alueella, kun kokeita toistetaan. Satunnaismuuttujan jakautumistiheyttä kuvaavaa käyrää kutsutaan jakautumiskäyrä.

Harkitse jakautumistiheyden ominaisuuksia.

Kiinteistö 1. Jakaumatiheys on ei-negatiivinen, ts.

Kiinteistö 2. Satunnaismuuttujan jakaumafunktio on yhtä suuri kuin tiheyden integraali välissä ts.

Kiinteistö 3. Todennäköisyys sille, että jatkuva satunnaismuuttuja osuu segmenttiin, on yhtä suuri kuin tämän segmentin jakautumistiheyden integraali, ts.

Kiinteistö 4. Jakaumatiheyden äärettömien rajojen integraali on yhtä suuri kuin yksikkö:

Esimerkki 2 Satunnaismuuttuja on tiheyden jakauman lain alainen

Määritä kerroin ; rakentaa kaavio jakautumistiheydestä; selvitä todennäköisyys osua satunnaismuuttujaan segmentissä alkaen -; määritä jakaumafunktio ja piirrä sen kuvaaja.

Ratkaisu. Jakaumakäyrän rajoittama alue on numeerisesti yhtä suuri kuin

Kun otetaan huomioon jakautumistiheyden ominaisuus 4, saadaan: . Siksi jakautumistiheys voidaan ilmaista seuraavasti:

Jakaumatiheyden käyrä on esitetty kuvassa. 10. Kiinteistön 3 mukaan meillä on

Jakaumafunktion määrittämiseksi käytämme ominaisuutta 2:

Näin ollen meillä on

Jakaumafunktiokaavio on esitetty kuvassa. yksitoista.