Integroi sen tyypit ja ominaisuudet. Nukkejen integraalit: miten ratkaistaan, laskentasäännöt, selitys. Vakiotekijä voidaan ottaa pois integraalimerkistä

Anna toiminnon y = f(x) on määritelty aikavälillä [ a, b ], a < b. Suoritetaan seuraavat toiminnot:

1) jakaa [ a, b] pistettä a = x 0 < x 1 < ... < x i- 1 < x i < ... < x n = b päällä n osittaiset segmentit [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ];

2) jokaisessa osissa [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n, valitse mielivaltainen piste ja laske funktion arvo tässä pisteessä: f(z i ) ;

3) löytää töitä f(z i ) · Δ x i , missä on osittaisen segmentin pituus [ x i- 1 , x i ], i = 1, 2, ... n;

4) säveltää kokonaissumma toimintoja y = f(x) segmentillä [ a, b ]:

Geometrialta katsottuna tämä summa σ on niiden suorakulmioiden pinta-alojen summa, joiden kantat ovat osittaisia segmenttejä [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x i- 1 , x i ], ..., [x n- 1 , x n ], ja korkeudet ovat f(z 1 ) , f(z 2 ), ..., f(z n) vastaavasti (kuva 1). Merkitse λ suurimman osittaisen segmentin pituus:

5) selvitä integraalisumman raja milloin λ → 0.

Määritelmä. Jos integraalisummalla (1) on äärellinen raja ja se ei riipu janan jakomenetelmästä [ a, b] osittaisiksi segmenteiksi eikä pisteiden valinnasta z i niissä tätä rajaa kutsutaan selvä integraali toiminnosta y = f(x) segmentillä [ a, b] ja merkitty

Täten,

Tässä tapauksessa toiminto f(x) kutsutaan integroitavissa päällä [ a, b]. Numerot a Ja b kutsutaan integraation ala- ja ylärajaksi, vastaavasti, f(x) on integrandi, f(x ) dx- integrandi, x– integrointimuuttuja; Jana [ a, b] kutsutaan integrointiväliksi.

Lause 1. Jos toiminto y = f(x) on jatkuva segmentillä [ a, b], niin se on integroitavissa tälle aikavälille.

Tarkka integraali, jolla on samat integrointirajat, on yhtä suuri kuin nolla:

Jos a > b, määritämme määritelmän mukaan

2. Määrätyn integraalin geometrinen merkitys

Päästä segmenttiin [ a, b] jatkuva ei-negatiivinen funktio y = f(x ) . Kaareva puolisuunnikas kutsutaan kuvioksi, jota ylhäältä rajoittaa funktion kuvaaja y = f(x), alhaalta - Ox-akselilla, vasemmalle ja oikealle - suorilla viivoilla x = a Ja x = b(Kuva 2).

Ei-negatiivisen funktion määrätty integraali y = f(x) geometrisesta näkökulmasta yhtä suuri kuin pinta-ala kaareva puolisuunnikas, jota ylhäältä rajoittaa funktion kuvaaja y = f(x) , vasemmalla ja oikealla - viivaosien mukaan x = a Ja x = b, alhaalta - Ox-akselin segmentillä.

3. Määrätyn integraalin perusominaisuudet

1. Merkitys selvä integraali ei riipu integrointimuuttujan merkinnästä:

2. Määrätyn integraalin etumerkistä voidaan ottaa vakiotekijä:

3. Kahden funktion algebrallisen summan määrätty integraali on yhtä suuri kuin näiden funktioiden määrällisten integraalien algebrallinen summa:

4.if-toiminto y = f(x) on integroitavissa [ a, b] Ja a < b < c, Tuo

5. (keskiarvon lause). Jos toiminto y = f(x) on jatkuva segmentillä [ a, b], niin tässä segmentissä on sellainen piste, että

4. Newton–Leibnizin kaava

Lause 2. Jos toiminto y = f(x) on jatkuva segmentillä [ a, b] Ja F(x) on mikä tahansa sen antijohdannaisista tässä segmentissä, niin seuraava kaava on totta:

jota kutsutaan Newton-Leibnizin kaava. Ero F(b) - F(a) on kirjoitettu seuraavasti:

jossa merkkiä kutsutaan kaksoisjokerimerkiksi.

Siten kaava (2) voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Esimerkki 1 Laske integraali

Ratkaisu. varten integrand f(x ) = x 2 mielivaltaisella antiderivaatilla on muoto

Koska mitä tahansa antiderivaavaa voidaan käyttää Newton-Leibnizin kaavassa, integraalin laskemiseksi otamme antiderivaatin, jolla on yksinkertaisin muoto:

5. Muuttujan muutos määrätyssä integraalissa

Lause 3. Anna toiminnon y = f(x) on jatkuva segmentillä [ a, b]. Jos:

1) toiminto x = φ ( t) ja sen derivaatta φ "( t) ovat jatkuvia varten ;

2) joukko funktioarvoja x = φ ( t) on segmentti [ a, b ];

3) φ ( a) = a, φ ( b) = b, sitten kaava

jota kutsutaan muuttujakaavan muutos määrätyssä integraalissa .

Toisin kuin epämääräinen integraali, tässä tapauksessa ei välttämättä palata alkuperäiseen integrointimuuttujaan - riittää vain löytää uudet integrointirajat α ja β (tätä varten on tarpeen ratkaista muuttujalle t yhtälöt φ ( t) = a ja φ ( t) = b).

Korvauksen sijaan x = φ ( t) voit käyttää korvausta t = g(x) . Tässä tapauksessa uusien integrointirajojen löytäminen muuttujan suhteen t yksinkertaistaa: α = g(a) , β = g(b) .

Esimerkki 2. Laske integraali

Ratkaisu. Otetaan käyttöön uusi muuttuja kaavan mukaan. Neliöimällä yhtälön molemmat puolet, saamme 1 + x= t 2 , missä x= t 2 - 1, dx = (t 2 - 1)"dt= 2tdt. Löydämme integraation uusia rajoja. Tätä varten korvaamme vanhat rajat kaavaan x= 3 ja x= 8. Saamme: , mistä t= 2 ja a = 2; , missä t= 3 ja β = 3. Joten,

Esimerkki 3 Laskea

Ratkaisu. Antaa u=ln x, Sitten, v = x. Kaavan (4) mukaan

Tässä artikkelissa luetellaan määrätyn integraalin tärkeimmät ominaisuudet. Suurin osa näistä ominaisuuksista on todistettu Riemannin ja Darboux'n määrätyn integraalin käsitteiden perusteella.

Määrällisen integraalin laskenta suoritetaan hyvin usein käyttämällä viittä ensimmäistä ominaisuutta, joten niihin viitataan tarvittaessa. Määrällisen integraalin muita ominaisuuksia käytetään pääasiassa eri lausekkeiden arvioimiseen.

Ennen kuin siirrytään määrätyn integraalin perusominaisuudet, olemme samaa mieltä siitä, että a ei ylitä b:tä.

Funktiolle y = f(x) , joka on määritelty arvolle x = a , yhtälö on tosi.

Eli määrätyn integraalin arvo samoilla integrointirajoilla on nolla. Tämä ominaisuus on seurausta Riemannin integraalin määritelmästä, koska tässä tapauksessa jokainen integraalisumma minkä tahansa välin osion ja minkä tahansa pisteen valinnan osalta on yhtä suuri kuin nolla, koska integraalisummien raja on siis nolla.

Segmenttiin integroitavaa toimintoa varten meillä on .

Toisin sanoen, kun integroinnin ylä- ja alarajat käännetään, määrätyn integraalin arvo käännetään. Tämä määrätyn integraalin ominaisuus seuraa myös Riemannin integraalin käsitteestä, vain janan osion numerointi tulee alkaa pisteestä x = b.

funktioille y = f(x) ja y = g(x), jotka voidaan integroida väliin.

Todiste.

Kirjoitamme funktion integraalisumman tietylle janan osuudelle ja tietylle pistevalikolle:

missä ja ovat funktioiden y = f(x) ja y = g(x) integraalisummat segmentin tietylle osiolle.

Ylitys rajalle klo saamme, että Riemannin integraalin määritelmän mukaan se vastaa todistettavan ominaisuuden väitettä.

Vakiotekijä voidaan ottaa pois määrätyn integraalin etumerkistä. Eli segmenttiin integroitavissa olevalle funktiolle y = f(x) ja mielivaltainen numero k .

Todiste tästä määrätyn integraalin ominaisuudesta on täysin samanlainen kuin edellinen:

Olkoon funktio y = f(x) integroitavissa välille X , ja ja sitten .

Tämä ominaisuus on voimassa molemmille ja varten tai .

Todistus voidaan suorittaa määrätyn integraalin aikaisempien ominaisuuksien perusteella.

Jos funktio on integroitavissa segmenttiin, se on myös integroitavissa mihin tahansa sisäiseen segmenttiin.

Todistus perustuu Darboux'n summien ominaisuuteen: jos segmentin olemassa olevaan osioon lisätään uusia pisteitä, niin alempi Darboux'n summa ei pienene eikä ylempi ei kasva.

Jos funktio y = f(x) on integroitavissa väliin ja mille tahansa argumentin arvolle, niin .

Tämä ominaisuus todistetaan Riemannin integraalin määritelmän avulla: mikä tahansa integraalisumma minkä tahansa janan ja pisteiden jakopisteiden valinnassa on ei-negatiivinen (ei positiivinen).

Seuraus.

Intervallille integroitaville funktioille y = f(x) ja y = g(x) seuraavat epäyhtälöt pätevät:

Tämä väite tarkoittaa, että eriarvoisuuksien integrointi on hyväksyttävää. Käytämme tätä seurausta todistamaan seuraavat ominaisuudet.

Olkoon funktio y = f(x) integroitavissa segmentillä , niin epäyhtälö .

Todiste.

Se on selvää . Edellisessä ominaisuudessa havaitsimme, että epäyhtälö voidaan integroida termi kerrallaan, joten se on totta . Tämä kaksois-epäyhtälö voidaan kirjoittaa muodossa .

Olkoon funktiot y = f(x) ja y = g(x) integroitavissa välille ja mille tahansa argumentin arvolle, niin , Missä Ja .

Todistaminen suoritetaan samalla tavalla. Koska m ja M ovat pienimmät ja korkein arvo funktio y = f(x) segmentillä , niin . Kun kaksois-epäyhtälö kerrotaan ei-negatiivisella funktiolla y = g(x), saadaan seuraava kaksois-epäyhtälö. Integroimalla sen segmenttiin pääsemme todistettavaan väitteeseen.

Seuraus.

Jos otamme g(x) = 1 , niin epäyhtälö saa muodon .

Ensimmäinen kaava keskiarvolle.

Olkoon funktio y = f(x) integroitavissa segmentissä , ja , sitten on sellainen numero, että .

Seuraus.

Jos funktio y = f(x) on jatkuva janalla , niin siellä on sellainen luku, että .

Keskiarvon ensimmäinen kaava yleistetyssä muodossa.

Olkoon funktiot y = f(x) ja y = g(x) integroitavissa välillä , ja , ja g(x) > 0 argumentin mille tahansa arvolle. Sitten on sellainen luku .

Toinen kaava keskiarvolle.

Jos segmentillä funktio y = f(x) on integroitavissa ja y = g(x) on monotoninen, niin on olemassa luku, jolla yhtälö .

Differentiaalilaskennassa ongelma on ratkaistu: etsi annetun funktion ƒ(x) alla sen derivaatta(tai erotus). Integraalilaskenta ratkaisee käänteisongelman: löytää funktio F (x) tietäen sen derivaatan F "(x) \u003d ƒ (x) (tai differentiaali). Haluttua funktiota F (x) kutsutaan funktion antiderivaataksi ƒ (x).

Funktiota F(x) kutsutaan primitiivinen funktio ƒ(x) välillä (a; b), jos millä tahansa x є (a; b) yhtälö

F "(x)=ƒ(x) (tai dF(x)=ƒ(x)dx).

Esimerkiksi, antiderivatiivinen funktio y \u003d x 2, x є R, on funktio, koska

Ilmeisesti myös antijohdannaiset ovat mitä tahansa toimintoja

missä C on vakio, koska

Lause 29. 1. Jos funktio F(x) on funktion ƒ(x) antiderivaata kohdassa (a;b), niin kaikkien ƒ(x):n antiderivaataiden joukko saadaan kaavalla F(x)+ C, jossa C on vakioluku.

▲ Funktio F(x)+C on ƒ(x) antiderivaata.

Todellakin, (F(x)+C) "=F" (x)=ƒ(x).

Olkoon F(x) jokin muu, eri kuin F(x), funktion antijohdannainenƒ(х) , eli Ф "(x)=ƒ(х). Silloin meillä on mille tahansa x є (a; b)

Ja tämä tarkoittaa (katso Johtopäätös 25.1) sitä

jossa C on vakioluku. Siksi Ф(х)=F(x)+С.▼

Kutsutaan kaikkien primitiivisten funktioiden F(x)+C joukkoa ƒ(x):lle funktion ƒ(x) epämääräinen integraali ja on merkitty symbolilla ∫ ƒ(x) dx.

Siis määritelmän mukaan

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Tässä kutsutaan ƒ(x). integrand, ƒ(x)dx — integrandi, X - integraatiomuuttuja, ∫ -epämääräinen integraalimerkki.

Toimintoa funktion määrittelemättömän integraalin löytämiseksi kutsutaan tämän funktion integraatioksi.

Geometrisesti määrittelemätön integraali on "rinnakkaisten" käyrien perhe y \u003d F (x) + C (jokainen C:n numeerinen arvo vastaa tiettyä perheen käyrää) (katso kuva 166). Kunkin antiderivaatin (käyrän) kuvaajaa kutsutaan integraalikäyrä.

Onko jokaisella funktiolla rajoittamaton integraali?

On olemassa lause, joka sanoo, että "jokaisella (a;b) jatkuvalla funktiolla on antiderivaata tällä välillä", ja näin ollen määrittelemätön integraali.

Huomaamme useita epämääräisen integraalin ominaisuuksia, jotka seuraavat sen määritelmästä.

1. Epämääräisen integraalin differentiaali on yhtä suuri kuin integrandi ja määrittelemättömän integraalin derivaatta on yhtä suuri kuin integrandi:

d(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) "=ƒ(x).

Todellakin, d (∫ ƒ (x) dx) \u003d d (F (x) + C) \u003d dF (x) + d (C) \u003d F "(x) dx \u003d ƒ (x) dx

(∫ ƒ (x) dx) "=(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ(x).

Tämän ominaisuuden ansiosta integroinnin oikeellisuus varmistetaan eriyttämisellä. Esimerkiksi tasa-arvo

∫(3x 2 + 4) dx=x h + 4x+C

totta, koska (x 3 + 4x + C) "= 3x 2 +4.

2. Jonkin funktion differentiaalin epämääräinen integraali on yhtä suuri kuin tämän funktion ja mielivaltaisen vakion summa:

∫dF(x)=F(x)+C.

Todella,

3. Vakiotekijä voidaan ottaa pois integraalimerkistä:

α ≠ 0 on vakio.

Todella,

(laita C 1 / a \u003d C.)

4. Äärillisen määrän jatkuvien funktioiden algebrallisen summan epämääräinen integraali on yhtä suuri kuin funktioiden termien integraalien algebrallinen summa:

Olkoon F"(x)=ƒ(x) ja G"(x)=g(x). Sitten

missä C 1 ± C 2 \u003d C.

5. (Integraatiokaavan muuttumattomuus).

Jos , jossa u=φ(x) on mielivaltainen funktio, jolla on jatkuva derivaatta.

▲ Olkoon x riippumaton muuttuja, ƒ(x) - jatkuva toiminto ja F(x) on sen antijohdannainen. Sitten

Asetetaan nyt u=φ(x), missä φ(x) on jatkuvasti differentioituva funktio. Tarkastellaan kompleksista funktiota F(u)=F(φ(x)). Johtuen funktion ensimmäisen differentiaalin muodon muuttumattomuudesta (katso s. 160), meillä on

Täältä ▼

Näin ollen määrittelemättömän integraalin kaava pysyy voimassa riippumatta siitä, onko integrointimuuttuja riippumaton muuttuja vai mikä tahansa sen funktio, jolla on jatkuva derivaatta.

Siis kaavasta korvaamalla x u:lla (u=φ(x)) saadaan

Erityisesti,

Esimerkki 29.1. Etsi integraali

jossa C \u003d C1 + C 2 + C 3 + C 4.

Esimerkki 29.2. Etsi kokonaisratkaisu:

29.3. Taulukko epämääräisistä perusintegraaleista

Hyödyntämällä sitä tosiasiaa, että integrointi on differentiaalisen käänteisfunktio, voidaan saada perusintegraalitaulukko kääntämällä vastaavat differentiaalilaskennan kaavat (differentiaalitaulukko) ja käyttämällä epämääräisen integraalin ominaisuuksia.

Esimerkiksi, koska

d(sin u)=cos u . du,

Useiden taulukkokaavojen johtaminen annetaan, kun tarkastellaan tärkeimpiä integrointimenetelmiä.

Alla olevan taulukon integraaleja kutsutaan taulukkointegraaleiksi. Ne pitäisi tuntea ulkoa. Integraalilaskennassa ei ole yksinkertaisia ja universaaleja sääntöjä antiderivaatojen löytämiseksi alkeisfunktioista, kuten differentiaalilaskennassa. Menetelmät antijohdannaisten löytämiseksi (eli funktion integroimiseksi) rajoittuvat osoittamaan menetelmiä, jotka tuovat tietyn (toivotun) integraalin taulukkomuotoon. Siksi on tarpeen tuntea taulukkointegraalit ja osata tunnistaa ne.

Huomaa, että perusintegraalitaulukossa integrointimuuttuja ja voi merkitä sekä itsenäistä muuttujaa että riippumattoman muuttujan funktiota (integrointikaavan invarianssiominaisuuden mukaan).

Alla olevien kaavojen pätevyys voidaan varmistaa ottamalla oikeanpuoleinen differentiaali, joka on yhtä suuri kuin kaavan vasemmalla puolella oleva integrandi.

Todistakaamme esimerkiksi kaavan 2 pätevyys. Funktio 1/u on määritelty ja jatkuva kaikille u:n nollasta poikkeaville arvoille.

Jos u > 0, niin ln|u|=lnu, niin Siksi

Jos sinä<0, то ln|u|=ln(-u). НоKeinot

Joten kaava 2 on oikea. Samalla tavalla tarkistetaan kaava 15:

Taulukko perusintegraalista

Ystävät! Kutsumme sinut keskustelemaan. Jos sinulla on mielipide, kirjoita meille kommentteihin.

Antiderivatiivinen ja määrittelemätön integraali.

Antiderivatiivinen funktio f(x) välillä (a; b) on sellainen funktio F(x), joka pätee mille tahansa x:lle annetusta intervallista.

Jos otamme huomioon sen tosiasian, että vakion C derivaatta on yhtä suuri kuin nolla, niin tasa-arvo . Siten funktiolla f(x) on joukko antiderivaatteja F(x)+C mielivaltaiselle vakiolle C, ja nämä antiderivaatat eroavat toisistaan mielivaltaisen vakioarvon verran.

Koko funktion f(x) antiderivaattien joukkoa kutsutaan tämän funktion määrittelemättömäksi integraaliksi ja merkitään .

Lauseketta kutsutaan integrandiksi ja f(x) integrandiksi. Integrandi on funktion f(x) differentiaali.

Tuntemattoman funktion löytämistä sen annetulla differentiaalilla kutsutaan epämääräiseksi integraatioksi, koska integroinnin tulos ei ole yksi funktio F(x), vaan sen antiderivaatojen F(x)+C joukko.

Taulukon integraalit

Integraalien yksinkertaisimmat ominaisuudet

1. Integrointituloksen derivaatta on yhtä suuri kuin integrandi.

2. Funktion differentiaalin epämääräinen integraali on yhtä suuri kuin itse funktion ja mielivaltaisen vakion summa.

3. Kerroin voidaan ottaa pois epämääräisen integraalin etumerkistä.

4. Funktioiden summan/eron epämääräinen integraali on yhtä suuri kuin funktioiden epämääräisten integraalien summa/ero.

Selvyyden vuoksi on annettu epämääräisen integraalin ensimmäisen ja toisen ominaisuuden väliyhtälöt.

Kolmannen ja neljännen ominaisuuden osoittamiseksi riittää, kun löydetään yhtälöiden oikeanpuoleiset derivaatat:

Nämä derivaatat ovat yhtä suuria kuin integrandit, mikä on todiste ensimmäisen ominaisuuden perusteella. Sitä käytetään myös viimeisissä siirtymissä.

Siten integraatioongelma on käänteinen erilaistumisongelma, ja näiden ongelmien välillä on hyvin läheinen yhteys:

ensimmäinen ominaisuus mahdollistaa integraation tarkistamisen. Suoritetun integroinnin oikeellisuuden tarkistamiseksi riittää laskea saadun tuloksen derivaatta. Jos differentioinnin tuloksena saatu funktio osoittautuu yhtä suureksi kuin integrandi, niin tämä tarkoittaa, että integrointi on suoritettu oikein;

määrittelemättömän integraalin toinen ominaisuus antaa meille mahdollisuuden löytää sen antiderivaata funktion tunnetusta differentiaalista. Epämääräisten integraalien suora laskenta perustuu tähän ominaisuuteen.

1.4 Integrointimuotojen muuttumattomuus.

Invariantti integrointi on eräänlainen integrointi funktioille, joiden argumentit ovat ryhmän elementtejä tai homogeenisen avaruuden pisteitä (mikä tahansa tällaisen avaruuden piste voidaan siirtää toiseen ryhmän tietyllä toiminnolla).

funktio f(x) pelkistetään differentiaalimuodon f.w integraalin laskemiseen, missä

Eksplisiittinen kaava r(x):lle annetaan alla. Sopimusehdolla on muoto .

tässä Tg tarkoittaa siirtooperaattoria X:ssä käyttämällä gOG:ta: Tgf(x)=f(g-1x). Olkoon X=G topologia, ryhmä, joka vaikuttaa itseensä vasemmalle siirtymällä. Minä ja. olemassa, jos ja vain jos G on paikallisesti kompakti (etenkin äärettömän ulottuvuuden ryhmissä int. ei ole olemassa). I. ja. ominaisfunktio cA (yhtä kuin 1 A:lla ja 0 A:n ulkopuolella) määrittää vasemman Haar-mitan m(A). Tämän suuren määrittävä ominaisuus on sen invarianssi vasemmalle siirtyneiden alaisena: m(g-1A)=m(A) kaikille gОG:lle. Ryhmän vasen Haar-mitta määritellään yksilöllisesti asetettuun skalaaritekijään asti. Jos Haar-mitta m tunnetaan, niin I. ja. funktio f on annettu kaavalla . Oikealla Haar-mitalla on samanlaiset ominaisuudet. On olemassa jatkuva homomorfismi (kartoitus, joka säilyttää ryhmän ominaisuuden) DG ryhmä G ryhmään (suhteessa kertolasku) asetettu. numerot, joille

missä dmr ja dmi ovat oikea ja vasen Haar-mitta. Funktiota DG(g) kutsutaan. ryhmän G moduuli. Jos , niin ryhmää G kutsutaan. yksimodulaarinen; tässä tapauksessa oikea ja vasen Haar-mitat ovat samat. Kompaktit, puoliyksinkertaiset ja nilpotenttit (erityisesti kommutatiiviset) ryhmät ovat yksimodulaarisia. Jos G on n-ulotteinen Lie-ryhmä ja q1,...,qn on kanta G:n vasemmanpuoleisten invarianttien 1-muotojen avaruudessa, niin G:n vasen Haar-mitta saadaan n-muodolla . Paikallisissa koordinaateissa laskemista varten

muotoja qi, voit käyttää mitä tahansa ryhmän G matriisitoteutusta: matriisin 1-muoto g-1dg on vasen-invariantti ja sen kerroin. ovat vasen-invariantteja skalaari 1-muotoja, joista valitaan haluttu kanta. Esimerkiksi täysi matriisiryhmä GL(n, R) on unimodulaarinen ja sen Haar-mitta on annettu muodolla. Antaa X=G/H on homogeeninen tila, jolle paikallisesti kompakti ryhmä G on muunnosryhmä ja suljettu alaryhmä H jonkin pisteen stabiloija. Jotta I.I. olisi olemassa X:ssä, on välttämätöntä ja riittävää, että yhtälö DG(h)=DH(h) pätee kaikille hОH. Tämä pätee erityisesti silloin, kun H on kompakti tai puoliksi yksinkertainen. Täydellinen teoria I. ja. ei ole olemassa äärettömän ulottuvuuden monistimessa.

Muuttujien muutos.

Näitä ominaisuuksia käytetään integraalin muunnoksiin, jotta se saadaan johonkin alkeisintegraaliin ja lasketaan edelleen.

1. Epämääräisen integraalin derivaatta on yhtä suuri kuin integrandi:

2. Epämääräisen integraalin differentiaali on yhtä suuri kuin integrandi:

3. Jonkin funktion differentiaalin epämääräinen integraali on yhtä suuri kuin tämän funktion ja mielivaltaisen vakion summa:

4. Integraalimerkistä voidaan ottaa vakiotekijä:

Lisäksi a ≠ 0

5. Summan (eron) integraali on yhtä suuri kuin integraalien summa (erotus):

6. Omaisuus on ominaisuuksien 4 ja 5 yhdistelmä:

Lisäksi a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Epämääräisen integraalin invarianssiominaisuus:

Jos sitten

8. Kiinteistö:

Jos sitten

Itse asiassa tämä ominaisuus on muuttujamuutosmenetelmää käyttävän integroinnin erikoistapaus, jota käsitellään tarkemmin seuraavassa osiossa.

Harkitse esimerkkiä:

Aluksi käytimme ominaisuutta 5, sitten ominaisuutta 4, sitten käytimme antiderivaattitaulukkoa ja saimme tuloksen.

Online-integraalilaskimemme algoritmi tukee kaikkia yllä lueteltuja ominaisuuksia ja löytää helposti yksityiskohtaisen ratkaisun integraalillesi.