Integrointi - MT1205: Calculus for Economists - Business Informatics. Yksinkertaisimpien (alkeis) murtolukujen integrointi Toisen tyypin yksinkertaisimmalla murtoluvulla on muoto

On annettu kaavojen johtaminen integraalien laskemiseen neljän tyypin yksinkertaisimmista alkeisosista. Monimutkaisemmat integraalit neljännen tyypin murto-osista lasketaan pelkistyskaavalla. Tarkastellaan esimerkkiä neljännen tyypin murto-osan integroinnista.

Katso myös: Epämääräisten integraalien taulukko
Epämääräisten integraalien laskentamenetelmät

Kuten tiedetään, mikä tahansa jonkin muuttujan x rationaalinen funktio voidaan jakaa polynomiksi ja yksinkertaisiksi alkeisosiksi. Yksinkertaisia ​​murtolukuja on neljää tyyppiä:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .
Tässä a, A, B, b, c - todellisia lukuja. Yhtälö x 2+bx+c=0 ei ole oikeita juuria.

Kahden ensimmäisen tyypin murto-osien integrointi

Kahden ensimmäisen murtoluvun integrointi tehdään seuraavilla kaavoilla integraalitaulukosta:
,
, n ≠ - 1 .

1. Ensimmäisen tyypin murto-osan integrointi

Ensimmäisen tyypin murto-osa korvauksella t = x - a pelkistetään taulukkointegraaliksi:
.

2. Toisen tyypin murto-osan integrointi

Toisen tyypin murto-osa pelkistetään taulukkointegraaliksi samalla substituutiolla t \u003d x - a:

.

3. Kolmannen tyypin murto-osan integrointi

Harkitse kolmannen tyypin murto-osan integraalia:
.
Laskemme sen kahdessa vaiheessa.

3.1. Vaihe 1. Valitse osoittajasta nimittäjän derivaatta

Valitsemme murtoluvun osoittajasta nimittäjän derivaatan. Merkitse: u = x 2+bx+c. Erota: u′ = 2 x + b. Sitten
;
.
Mutta
.
Jätimme pois modulo-merkin, koska .

Sitten:
,
Missä
.

3.2. Vaihe 2. Laske integraali, jossa A = 0, B=1

Nyt laskemme jäljellä olevan integraalin:
.

Tuomme murto-osan nimittäjä neliöiden summaan:
,
Missä .
Uskomme, että yhtälö x 2+bx+c=0 ei ole juuria. Siksi .

Tehdään vaihto
,
.
.

Niin,
.

Siten olemme löytäneet integraalin kolmannen tyypin murto-osasta:

,
Missä .

4. Neljännen tyypin murto-osan integrointi

Ja lopuksi, harkitse neljännen tyypin murto-osan integraalia:
.
Laskemme sen kolmessa vaiheessa.

4.1) Valitsemme osoittajasta nimittäjän derivaatan:
.

4.2) Laske integraali
.

4.3) Laske integraalit
,
käyttämällä cast-kaavaa:
.

4.1. Vaihe 1. Irrotetaan osoittajan nimittäjän derivaatta

Valitsemme nimittäjän derivaatan osoittajasta, kuten teimme kohdassa . Merkitse u = x 2+bx+c. Erota: u′ = 2 x + b. Sitten
.

.
Mutta
.

Lopulta meillä on:
.

4.2. Vaihe 2. Integraalin laskenta, jossa n = 1

Laskemme integraalin
.
Sen laskelma on esitetty kohdassa .

4.3. Vaihe 3. Pelkistyskaavan johtaminen

Harkitse nyt integraalia
.

Tuomme neliötrinomin neliöiden summaan:
.
täällä .
Teemme vaihdon.
.
.

Suoritamme muunnoksia ja integroimme osittain.




.

Kerro 2 (n - 1):
.
Palaamme kohtaan x ja I n .
,
;
;
.

Joten, I n saimme vähennyskaavan:
.
Käyttämällä tätä kaavaa peräkkäin, vähennämme integraalin I n:ksi I 1 .

Esimerkki

Laske integraali

1. Valitsemme osoittajasta nimittäjän derivaatan.
;
;


.
Tässä
.

2. Laskemme yksinkertaisimman murtoluvun integraalin.

.

3. Käytämme vähennyskaavaa:

integraalille .
Meidän tapauksessamme b = 1 , c = 1 , 4 c - b 2 = 3. Kirjoitamme tämän kaavan arvolle n = 2 ja n = 3 :
;
.
Täältä

.

Lopulta meillä on:

.
Löydämme kertoimen kohdasta .
.

Aiheessa esitetty aineisto perustuu aiheessa "Rationaaliset murtoluvut. Rationaalisten murtolukujen hajottaminen alkeis(yksinkertaisiksi) murtoiksi" esitettyihin tietoihin. Suosittelen vahvasti, että luet ainakin tämän aiheen läpi ennen kuin jatkat tämän materiaalin lukemista. Lisäksi tarvitsemme määrittelemättömien integraalien taulukon.

Muistutan parista termistä. Niistä keskusteltiin kyseisessä aiheessa, joten rajoitan tässä lyhyeen muotoiluun.

Kahden polynomin suhdetta $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ kutsutaan rationaalifunktioksi tai rationaaliseksi murtoluvuksi. Rationaalista murtolukua kutsutaan oikea jos $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется väärä.

Elementaarisia (yksinkertaisimpia) rationaalisia murtolukuja kutsutaan rationaalisiksi murtoluvuiksi neljää tyyppiä:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Huomautus (toivottava tekstin ymmärtämiseksi): näytä\piilota

Miksi $p^2-4q-ehto on välttämätön?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим toisen asteen yhtälö$x^2+px+q=0$. Tämän yhtälön diskriminantti on $D=p^2-4q$. Itse asiassa ehto $p^2-4q< 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Esimerkiksi lausekkeelle $x^2+5x+10$ saamme: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Koska $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

Muuten, tätä tarkistusta varten ei ole välttämätöntä, että kerroin $x^2$:n edessä on 1. Esimerkiksi $5x^2+7x-3=0$ saa: $D=7^2- 4\cdot 5 \cdot (-3) = 109 $. Koska $D > 0$, lauseke $5x^2+7x-3$ voidaan kertoilla.

Esimerkkejä rationaalisista murtoluvuista (säännöllisistä ja virheellisistä) sekä esimerkkejä rationaalisen murtoluvun laajentamisesta alkeisosiksi löytyy. Täällä meitä kiinnostavat vain kysymykset niiden integroinnista. Aloitetaan alkeismurtolukujen integroinnista. Joten jokainen neljästä edellä mainituista alkeismurtotyypeistä on helppo integroida alla olevien kaavojen avulla. Muistutan, että integroitaessa tyyppien (2) ja (4) murtolukuja oletetaan $n=2,3,4,\ldots$. Kaavat (3) ja (4) vaativat ehdon $p^2-4q< 0$.

\begin(yhtälö) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(yhtälö) \begin(yhtälö) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \loppu(yhtälö) \alku(yhtälö) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(yhtälö)

Kohdalle $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ tehdään korvaus $t=x+\frac(p)(2)$, jonka jälkeen tuloksena oleva integraali on jaettu kahtia. Ensimmäinen lasketaan lisäämällä se erotusmerkin alle, ja toinen näyttää tältä $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Tämä integraali otetaan käyttämällä toistuvuusrelaatiota

\begin(yhtälö) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)I_n, \; n\in N \end(yhtälö)

Tällaisen integraalin laskentaa analysoidaan esimerkissä nro 7 (katso kolmas osa).

Kaavio integraalien laskemiseksi rationaalisista funktioista (rationaaliset murtoluvut):

1. Jos integrandi on alkeisosa, käytä kaavoja (1)-(4).
2. Jos integrandi ei ole alkeisosa, esitä se alkeismurtolukujen summana ja integroi sitten kaavoilla (1)-(4).

Yllä olevalla algoritmilla rationaalisten murtolukujen integroimiseksi on kiistaton etu - se on universaali. Nuo. Tätä algoritmia käyttämällä voidaan integroida minkä tahansa rationaalinen murto-osa. Siksi lähes kaikki muuttujien korvaukset epämääräisessä integraalissa (Euler-, Chebyshev-substituutiot, universaali trigonometrinen substituutio) tehdään siten, että tämän korvauksen jälkeen saamme rationaalisen murto-osan välin alle. Ja soveltaa siihen algoritmia. Analysoimme tämän algoritmin suoraa soveltamista esimerkkien avulla pienen muistiinpanon jälkeen.

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

Periaatteessa tämä integraali on helppo saada ilman mekaanista kaavan soveltamista. Jos otamme vakion $7$ pois integraalimerkistä ja otamme huomioon, että $dx=d(x+9)$, niin saadaan:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9) )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Tarkempia tietoja varten suosittelen tutustumaan aiheeseen. Se selittää yksityiskohtaisesti, kuinka tällaiset integraalit ratkaistaan. Muuten, kaava todistetaan samoilla muunnoksilla, joita käytettiin tässä kappaleessa ratkaistaessa "manuaalisesti".

2) Jälleen on kaksi tapaa: soveltaa valmista kaavaa tai olla ilman sitä. Jos käytät kaavaa, sinun tulee ottaa huomioon, että kerroin $x$ (numero 4) edessä on poistettava. Voit tehdä tämän poistamalla ne neljä suluissa:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\left(x+\frac(19)(4)\right)^8). $$

Nyt on aika soveltaa kaavaa:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4) ^8))((8-1)\vasen(x+\frac(19)(4) \oikea)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\left(x+\frac(19)(4) \right)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \left(x+\frac(19)(4) \right )^7)+C. $$

Voit tehdä ilman kaavaa. Ja jopa laittamatta jatkuvaa 4 dollaria pois suluista. Jos otamme huomioon, että $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, niin saamme:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Yksityiskohtaiset selitykset tällaisten integraalien löytämisestä annetaan aiheessa "Integraatio substituutiolla (johdanto differentiaalimerkin alla)" .

3) Meidän on integroitava murto-osa $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Tämän murtoluvun rakenne on $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, jossa $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. Varmista kuitenkin, että tämä on todellakin kolmannen tyypin alkeisosa, sinun on tarkistettava ehto $p^2-4q< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Ratkaistaan ​​sama esimerkki, mutta käyttämättä valmista kaavaa. Yritetään eristää osoittajan nimittäjän derivaatta. Mitä tämä tarkoittaa? Tiedämme, että $(x^2+10x+34)"=2x+10$. Se on lauseke $2x+10$, joka meidän on eristettävä osoittajasta. Toistaiseksi osoittaja sisältää vain $4x+7$ , mutta tämä ei ole pitkä. Käytä seuraavaa muunnosa osoittajaan:

$$ 4x+7=2\cpiste 2x+7=2\cpiste (2x+10-10)+7=2\cpiste(2x+10)-2\cpiste 10+7=2\cpiste(2x+10) -13. $$

Nyt vaadittu lauseke $2x+10$ on ilmestynyt osoittajaan. Ja integraalimme voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Jaetaan integrandi kahtia. No, ja vastaavasti itse integraali on myös "jaettu":

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2) +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \oikea)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Puhutaan ensin ensimmäisestä integraalista, ts. noin $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Koska $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, niin nimittäjädifferentiaali sijaitsee integrandin osoittajassa. Lyhyesti sanottuna, sen sijaan lausekkeen $( 2x+10)dx$ kirjoitamme $d(x^2+10x+34)$.

Sanotaan nyt muutama sana toisesta integraalista. Erotellaan nimittäjässä oleva täysi neliö: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Lisäksi otamme huomioon $dx=d(x+5)$. Nyt aiemmin saamiemme integraalien summa voidaan kirjoittaa uudelleen hieman eri muodossa:

$2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Jos teemme muutoksen $u=x^2+10x+34$ ensimmäisessä integraalissa, se saa muotoa $\int\frac(du)(u)$ ja se otetaan yksinkertaisesti soveltamalla toista kaavaa kohdasta . Mitä tulee toiseen integraaliin, sille on mahdollista korvata $u=x+5$, jonka jälkeen se saa muotoa $\int\frac(du)(u^2+9)$. Tämä on puhtain vesi, yksitoista kaava määrittelemättömien integraalien taulukosta. Joten, kun palataan integraalien summaan, meillä on:

$2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5) )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Saimme saman vastauksen kuin kaavaa sovellettaessa, mikä ei itse asiassa ole yllättävää. Yleensä kaava todistetaan samoilla menetelmillä, joita käytimme tämän integraalin löytämiseen. Uskon, että tarkkaavaisella lukijalla voi olla tässä yksi kysymys, joten muotoilen sen:

Kysymys 1

Jos käytämme toista epämääräisten integraalien taulukon kaavaa integraaliin $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, niin saadaan seuraava:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Miksi moduuli puuttui ratkaisusta?

Vastaus kysymykseen #1

Kysymys on täysin oikeutettu. Moduuli puuttui vain, koska lauseke $x^2+10x+34$ mille tahansa $x\in R$:lle on suurempi kuin nolla. Tämä on melko helppo näyttää monella tapaa. Esimerkiksi koska $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ ja $(x+5)^2 ≥ 0$, sitten $(x+5)^2+9 > 0$ . On mahdollista arvioida eri tavalla ilman koko neliön valintaa. Koska $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ mille tahansa $x\in R$:lle (jos tämä looginen ketju on yllättävää, suosittelen katsomaan graafista menetelmää neliöepäyhtälöiden ratkaisemiseksi). Joka tapauksessa, koska $x^2+10x+34 > 0$, niin $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, ts. voit käyttää tavallisia sulkumerkkejä moduulin sijasta.

Kaikki esimerkin nro 1 kohdat on ratkaistu, jää vain kirjoittaa vastaus muistiin.

Vastaus:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x) +5)(3)+C$.

Esimerkki #2

Etsi integraali $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

Ensi silmäyksellä integrandi $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ on hyvin samanlainen kuin kolmannen tyypin alkeismurto, ts. arvoon $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Näyttää siltä, ​​että ainoa ero on kerroin $3$ kohdan $x^2$ edessä, mutta kertoimen poistaminen ei kestä kauan (sulkeista). Tämä samankaltaisuus on kuitenkin ilmeinen. Murtoluvulle $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ehto $p^2-4q< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Kertoimemme $x^2$:n edessä ei ole yhtä suuri kuin yksi, joten tarkista ehto $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, joten lauseke $3x^2-5x-2$ voidaan kertoa. Ja tämä tarkoittaa, että murto-osa $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ ei ole kolmannen tyypin alkeismurtoluku, ja se koskee integraalia $\int\frac(7x+12)( 3x^2- 5x-2)dx$-kaava ei ole sallittu.

No, jos annettu rationaalinen murtoluku ei ole alkeisosa, se on esitettävä alkeismurtolukujen summana ja sitten integroitava. Lyhyesti sanottuna, polku hyödyntää . Kuinka rationaalinen murto-osa hajotetaan alkeisosiksi, on kirjoitettu yksityiskohtaisesti. Aloitetaan ottamalla huomioon nimittäjä:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(tasattu) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \ \end(tasattu)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2). $$

Esitämme sisäsisäisen murto-osan seuraavassa muodossa:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)). $$

Laajennataan nyt murtoluku $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ alkeisosiksi:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+) \frac(1)(3)\right)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)( 3)\oikea). $$

Kertoimien $A$ ja $B$ löytämiseksi on kaksi standarditapaa: määrittelemättömien kertoimien menetelmä ja osittaisten arvojen korvausmenetelmä. Sovelletaan osittaisen arvon korvausmenetelmää korvaamalla $x=2$ ja sitten $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\left(2+\frac(1)(3)\right); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\oikea); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Koska kertoimet on löydetty, jää vain kirjoittaa valmis laajennus:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

Periaatteessa voit jättää tämän merkinnän, mutta pidän tarkemmasta versiosta:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Palataksemme alkuperäiseen integraaliin, korvaamme tuloksena olevan laajennuksen siihen. Sitten jaamme integraalin kahteen osaan ja käytämme kaavaa jokaiseen. Otan mieluummin välittömästi pois integraalimerkin ulkopuoliset vakiot:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2) )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Vastaus: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\oikea| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Esimerkki #3

Etsi integraali $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Meidän on integroitava murto-osa $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. Osoittaja on toisen asteen polynomi ja nimittäjä kolmannen asteen polynomi. Koska polynomin aste osoittajassa on pienempi kuin polynomin aste nimittäjässä, ts. 2 dollaria< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Meidän täytyy vain jakaa annettu integraali kolmeen osaan ja soveltaa kaavaa jokaiseen. Otan mieluummin välittömästi pois integraalimerkin ulkopuoliset vakiot:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Vastaus: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

Jatkoa tämän aiheen esimerkkien analyysille on toisessa osassa.

Murtolukua kutsutaan oikea jos osoittajan suurin potenssi on pienempi kuin nimittäjän suurin potenssi. Oikean rationaalisen murtoluvun integraalilla on muoto:

$$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Rationaalisten murtolukujen integrointikaava riippuu polynomin juurista nimittäjässä. Jos polynomissa $ ax^2+bx+c $ on:

1. Vain monimutkaiset juuret, niin siitä on valittava täysi neliö: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(mx+n)(x^2 \pm a^2) $$
2. Erilaiset reaalijuuret $ x_1 $ ja $ x_2 $, niin sinun täytyy laajentaa integraalia ja löytää epämääräiset kertoimet $ A $ ja $ B $: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c ) dx = \int \frac(A)(x-x_1) dx + \int \frac(B)(x-x_2) dx $$
3. Yksi monijuuri $ x_1 $, sitten laajennamme integraalia ja etsimme määrittelemättömät kertoimet $ A $ ja $ B $ tälle kaavalle: $$ \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c) dx = \int \frac(A)((x-x_1)^2)dx + \int \frac(B)(x-x_1) dx $$

Jos murto-osa on väärä, eli osoittajan korkein aste on suurempi tai yhtä suuri kuin nimittäjän suurin aste, niin se on ensin vähennettävä oikea mielessä jakamalla polynomin osoittajasta polynomilla nimittäjästä. Tässä tapauksessa kaava rationaalisen murtoluvun integroimiseksi on:

$$ \int \frac(P(x))(ax^2+bx+c)dx = \int Q(x) dx + \int \frac(mx+n)(ax^2+bx+c)dx $$

Ratkaisuesimerkkejä

Kuten alla nähdään, jokaisella alkeisfunktiolla ei ole alkeisfunktioissa ilmaistua integraalia. Siksi on erittäin tärkeää erottaa sellaiset funktioluokat, joiden integraalit ilmaistaan ​​perusfunktioina. Yksinkertaisin näistä luokista on rationaalisten funktioiden luokka.

Mikä tahansa rationaalinen funktio voidaan esittää rationaalisena murtolukuna, toisin sanoen kahden polynomin suhteena:

Argumentin yleisyyttä rajoittamatta oletetaan, että polynomeilla ei ole yhteisiä juuria.

Jos osoittaja on nimittäjän asteen alapuolella, niin murtolukua kutsutaan oikeaksi, muuten murto-osaa kutsutaan virheelliseksi.

Jos murtoluku on virheellinen, jakamalla osoittaja nimittäjällä (polynomien jakamissäännön mukaan), voit esittää tämän murtoluvun polynomin ja jonkin säännöllisen murtoluvun summana:

tässä on polynomi, ja se on oikea murtoluku.

Esimerkki t. Olkoon virheellinen rationaalinen murtoluku

Jakamalla osoittajan nimittäjällä (polynomien jakosäännön mukaan), saamme

Koska polynomien integrointi ei ole vaikeaa, suurin vaikeus rationaalisten murtolukujen integroinnissa on oikeiden rationaalisten murtolukujen integrointi.

Määritelmä. Muodon oikeat rationaaliset murtoluvut

kutsutaan tyyppien I, II, III ja IV yksinkertaisimmiksi jakeiksi.

Tyyppien I, II ja III yksinkertaisimpien jakeiden integrointi ei ole kovin vaikeaa, joten integroimme ne ilman lisäselityksiä:

Monimutkaisemmat laskelmat edellyttävät tyypin IV yksinkertaisimpien murtolukujen integrointia. Annetaan tämän tyyppinen integraali:

Tehdään muunnoksia:

Ensimmäinen integraali otetaan korvaamalla

Toinen integraali - merkitsemme sitä ja kirjoitamme sen muotoon

Oletuksena on, että nimittäjän juuret ovat monimutkaisia, ja siksi jatkamme seuraavaksi seuraavalla tavalla:

Muunnetaan integraali:

Meillä on integrointi osilla

Korvaamalla tämän lausekkeen yhtälöllä (1), saamme

Oikealla puolella on integraali, joka on samaa tyyppiä kuin nimittäjän eksponentti integrand yksi alla; siis ilmaisimme termillä . Jatkamalla samaa polkua saavutamme tutun integraalin.

Ennen kuin jatkat yksinkertaisimpien murtolukujen integrointia murto-rationaalisen funktion määrittelemättömän integraalin löytämiseksi, on suositeltavaa päivittää osion "Murto-osan hajottaminen yksinkertaisimmiksi" muisti.

Esimerkki 1

Etsitään epämääräinen integraali∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x .

Ratkaisu

Valitsemme kokonaislukuosan jakamalla polynomin sarakkeen polynomilla ottaen huomioon, että integrandin osoittajan aste on yhtä suuri kuin nimittäjän aste:

Joten 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x . Saimme oikean rationaalisen murtoluvun - 2 x + 3 x 3 + x, jonka nyt laajennamme yksinkertaisiksi murtoluvuiksi - 2 x + 3 x 3 + x \u003d 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1. Siten,

∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = ∫ 2 + 3 x - 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 2 d x + ∫ 3 x d x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 log x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x

Olemme saaneet integraalin kolmannen tyypin yksinkertaisimmasta murto-osasta. Voit ottaa sen tuomalla sen tasauspyörästön merkin alle.

Koska d x 2 + 1 = 2 x d x , niin 3 x d x = 3 2 d x 2 + 1 . Siksi
∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = ∫ 3 x x 2 + 1 d x + ∫ 2 x 2 + 1 = 3 2 ∫ d x 2 + 1 x 2 + 1 + 2 ∫ d x x 2 + 1 = 3 2 ln + 1 + 2 a r c t g x + C 1

Siten,
∫ 2 x 3 + 3 x 3 + x d x = 2 x + 3 ln x - ∫ 3 x + 2 x 2 + 1 d x = 2 x + 3 ln x - 3 2 ln x 2 + 1 - 2 a r c tan x + C , jossa C \u003d - C 1

Kuvataanpa menetelmiä kunkin neljän tyypin yksinkertaisimpien murtolukujen integroimiseksi.

Ensimmäisen tyypin A yksinkertaisimpien jakeiden integrointi x - a

Käytämme suoraa integrointimenetelmää tämän ongelman ratkaisemiseen:

∫ A x - a d x = A ∫ d x x - a = A ln x - a + C

Esimerkki 2

Etsi setti antiderivatiiviset toiminnot y = 3 2 x - 1.

Ratkaisu

Integrointisäännön, antiderivaatan ominaisuuksien ja antiderivaatataulukon avulla löydämme määrittelemättömän integraalin ∫ 3 d x 2 x - 1: ∫ f k x + b d x = 1 k F k x + b + C

∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 ∫ d x 2 x - 1 2 = 3 2 ∫ d x x - 1 2 = 3 2 ln x - 1 2 + C

Vastaus: ∫ 3 d x 2 x - 1 = 3 2 ln x - 1 2 + C

Toisen tyypin A x - a n yksinkertaisten murtolukujen integrointi

Tässä käytetään myös suoran integroinnin menetelmää: ∫ A x - a n d x = A ∫ x - a - n d x = A - n + 1 x - a - n + 1 + C = A 1 - n x - a n - 1 + C

Esimerkki 3

On tarpeen löytää epämääräinen integraali ∫ d x 2 x - 3 7 .

Ratkaisu

∫ d x 2 x - 3 7 = ∫ d x 2 x - 3 2 7 = 1 2 7 ∫ x - 3 2 - 7 d x = = 1 2 7 1 - 7 + 1 x - 3 2 - 7 + 1 + C = 1 2 7 - 6 x - 3 2 6 + C = = 1 2 - 6 2 6 x - 3 2 6 + C = - 1 12 1 2 x - 3 6 + C

Vastaus:∫ d x 2 x - 3 7 = - 1 12 1 2 x - 3 6 + C

Kolmannen tyypin yksinkertaisten murtolukujen integrointi M x + N x 2 + p x + q , D = p 2 - 4 q< 0

Aluksi esitämme epämääräisen integraalin ∫ M x + N x 2 + p x + q summana:

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q

Ottaaksemme ensimmäisen integraalin, käytämme summausmenetelmää differentiaalimerkin alle:

∫ M x x 2 + p x + q d x = d x 2 + p x + q = 2 x + p d x = 2 x d x + p d x ⇒ 2 x d x = d x 2 + p x + q - p d x ⇒ M x x d x = M 2 d x 2 + p p M 2 d x = = ∫ M 2 d x 2 + p x + q - p M 2 d x x 2 + p x + q = = M 2 ∫ d x 2 + p x + q x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 log x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

Siksi,
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = ∫ M x x 2 + p x + q d x + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q + N ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q

Olemme saaneet integraalin ∫ d x x 2 + p x + q . Muunnetaan sen nimittäjä:

∫ d x x 2 + p x + q = ∫ d x x 2 + p x + p 2 2 - p 2 2 + q = = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = ∫ d x x + p 2 2 - p 2 4 + q = = ∫ d x x + p 2 2 + 4 q - p 2 4 = 2 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

Siten,

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 ∫ d x x 2 + p x + q = = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 2 2 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C 1

Kaava kolmannen tyypin yksinkertaisimpien murtolukujen integroimiseksi on seuraavanlainen:
∫ M x + N x 2 + p x + q d x = M 2 ln x 2 + p x + q + 2 N - p M 4 q - p 2 a r c t g 2 x + p 2 4 q - p 2 + C

Esimerkki 4

On tarpeen löytää epämääräinen integraali ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x .

Ratkaisu

Sovelletaan kaavaa:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 p x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = M = 2, N = 1, p = 2, q = 10 = = 1 3 2 2 ln x 2 + 2 x + 10 + 2 1 - 2 2 4 10 - 2 2 a r c t g 2 x + 2 2 4 10 - 2 2 + C = = 1 3 k x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Toinen ratkaisu näyttää tältä:

∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 p x = 1 3 ∫ 2 x + 1 x 2 + 2 x + 10 d x = d (x 2 + 2 x + 10 = (2 x + 2) d x = = 1 3 ∫ 2 x + 2 - 1 x 2 + 2 x + 10 d x = 1 3 ∫ d (x 2 + 2 x + 10) x 2 + 2 x + 10 = 1 3 ∫ d x x 2 + 2 x + 10 = \u003d r a n d e n t ja d a n t = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 3 ∫ d (x) x + 1 2 + 9 = = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 t 9 + C 1 t 9

Vastaus: ∫ 2 x + 1 3 x 2 + 6 x + 30 d x = 1 3 ln x 2 + 2 x + 10 - 1 9 a r c t g x + 1 3 + C

Neljännen tyypin yksinkertaisimpien murtolukujen integrointi M x + N (x 2 + p x + q) n , D = p 2 - 4 q< 0

Ensinnäkin suoritamme summauksen differentiaalin merkin alla:

∫ M x + N x 2 + p x + q d x = d (x 2 + p x + q) = (2 x + p) d x = = M 2 ∫ d (x 2 + p x + q) (x 2 + p x + q) ) n + N - p M 2 ∫ d x (x 2 + p x + q) n = = M 2 (- n + 1) 1 (x 2 + p x + q) n - 1 + N - p M 2 ∫ d x ( x 2 + p x + q) n

Sitten löydetään integraali muotoa J n = ∫ d x (x 2 + p x + q) n käyttäen toistuvia kaavoja. Tietoja toistuvista kaavoista löytyy aiheesta "Integrointi toistuvilla kaavoilla".

Ongelmamme ratkaisemiseksi toistuva kaava muotoa J n \u003d 2 x + p (n - 1) (4 q - p 2) (x 2 + p x + q) n - 1 + 2 n - 3 n - 1 2 4 q - p 2 · J n - 1 .

Esimerkki 5

On tarpeen löytää epämääräinen integraali ∫ d x x 5 x 2 - 1 .

Ratkaisu

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x

Käytämme korvausmenetelmää tämän tyyppiselle integrandille. Otetaan käyttöön uusi muuttuja x 2 - 1 = z 2 x = (z 2 + 1) 1 2 d x = z (z 2 + 1) - 1 2 d x

Saamme:

∫ d x x 5 x 2 - 1 = ∫ x - 5 (x 2 - 1) - 1 2 d x = = ∫ (z 2 + 1) - 5 2 z - 1 z (z 2 + 1) - 1 2 d z = ∫ d z (z 2 + 1) 3

Päädyimme löytämään neljännen tyypin murto-osan integraalin. Meidän tapauksessamme meillä on kertoimet M = 0, p = 0, q = 1, N = 1 ja n = 3. Käytämme rekursiivista kaavaa:

J 3 \u003d ∫ d z (z 2 + 1) 3 \u003d 2 z + 0 (3 - 1) (4 1 - 0) z 2 + 1 3 - 1 + 2 3 - 3 3 - 1 2 4 1 - 0 ∫ d z (z 2 + 1) 2 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 4 2 z (2 - 1) (4 1 - 0) (z 2 + 1) 2 - 1 + 2 2 - 3 2 - 11 2 4 1 - 0 ∫ d z z 2 + 1 = = z 4 (z 2 + 1) 2 + 3 8 z z 2 + 1 + 3 8 a r c t g (z) +C

Käänteisen substituution jälkeen z = x 2 - 1 saamme tuloksen:
∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

Vastaus:∫ d x x 5 x 2 - 1 = x 2 - 1 4 x 4 + 3 8 x 2 - 1 x 2 + 3 8 a r c t g x 2 - 1 + C

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter