Kompleksisten funktioiden ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat. Useiden muuttujien kompleksisten funktioiden derivaatat. Suuntajohdannainen

Hyvin usein käytännön ongelmia ratkaistaessa (esimerkiksi korkeammassa geodesiassa tai analyyttisessä fotogrammetriassa) ilmaantuu monimutkaisia ​​useiden muuttujien funktioita eli argumentteja. x, y, z yksi toiminto f(x,y,z) ) ovat itse uusien muuttujien funktioita U, V, W ).

Joten se tapahtuu esimerkiksi liikkuessa kiinteästä koordinaattijärjestelmästä Oxyz mobiilijärjestelmään O 0 UVW ja takaisin. Tässä tapauksessa on tärkeää tietää kaikki osittaiset derivaatat suhteessa "kiinteisiin" - "vanha" ja "liikkuva" - "uusi" muuttujiin, koska nämä osittaiset derivaatat yleensä luonnehtivat kohteen sijaintia näissä koordinaattijärjestelmissä, ja erityisesti vaikuttavat ilmakuvien vastaavuuteen todelliseen kohteeseen . Tällaisissa tapauksissa sovelletaan seuraavia kaavoja:

Eli annettuna monimutkainen toiminto T kolme "uutta" muuttujaa U, V, W kolmen "vanhan" muuttujan kautta x, y, z Sitten:

Kommentti. Muuttujien lukumäärän vaihtelut ovat mahdollisia. Esimerkiksi: jos

Varsinkin jos z = f(xy), y = y(x) , niin saamme niin sanotun "kokonaisjohdannaisen" kaavan:

Sama kaava "kokonaisjohdannaiselle" seuraavissa tapauksissa:

tulee muodossa:

Myös muut kaavojen (1.27) - (1.32) muunnelmat ovat mahdollisia.

Huomaa: "kokonaisderivaata" -kaavaa käytetään fysiikan jaksossa "Hydrodynamiikka" johdettaessa nesteen liikkeen perusyhtälöjärjestelmää.

Esimerkki 1.10. Annettu:

(1.31) mukaan:

§7 Useiden muuttujien implisiittisesti annetun funktion osittaiset derivaatat

Kuten tiedät, yhden muuttujan implisiittisesti määritelty funktio määritellään seuraavasti: riippumattoman muuttujan funktio x kutsutaan implisiittiseksi, jos se annetaan yhtälöllä, jota ei ole ratkaistu suhteessa y :

Esimerkki 1.11.

Yhtälö

määrittelee implisiittisesti kaksi toimintoa:

Ja yhtälö

ei määrittele mitään toimintoa.

Lause 1.2 (implisiittisen funktion olemassaolo).

Anna toiminnon z \u003d f (x, y) ja sen osittaiset johdannaiset f" x Ja f" y määritelty ja jatkuva jossain naapurustossa U M0 pisteitä M 0 (x 0 y 0 ) . Sitä paitsi, f(x 0 ,y 0 )=0 Ja f"(x 0 ,y 0 )≠0 , niin yhtälö (1.33) määrittää naapurustossa U M0 implisiittinen toiminto y= y(x) , jatkuva ja vaihteleva jossain välissä D keskitetty johonkin pisteeseen x 0 , ja y(x 0 )=y 0 .

Ilman todisteita.

Lauseesta 1.2 seuraa, että tällä välillä D :

eli siinä on identiteetti

jossa "kokonais" derivaatta löytyy kohdan (1.31) mukaisesti

Eli (1.35) antaa kaavan derivaatan löytämiseksi implisiittisesti annettu toiminto yksi muuttuja x .

Kahden tai useamman muuttujan implisiittinen funktio määritellään samalla tavalla.

Esimerkiksi jos jollain alueella V tilaa Oxyz yhtälö täyttyy:

sitten tietyissä toiminnon olosuhteissa F se määrittelee implisiittisesti funktion

Samanaikaisesti analogisesti (1.35) sen osittaiset derivaatat löytyvät seuraavasti:

Esimerkki 1.12. Olettaen, että yhtälö

määrittelee implisiittisesti funktion

löytö z" x , z" y .

siksi saamme vastauksen kohdan (1.37) mukaan.

§8 Toisen ja korkeamman asteen osittaiset johdannaiset

Määritelmä 1.9 Funktion toisen kertaluvun osittaiset derivaatat z=z(x,y) määritellään näin:

Niitä oli neljä. Lisäksi tietyissä olosuhteissa toimintoja z(x,y) tasa-arvo pätee:

Kommentti. Toisen kertaluvun osittaiset derivaatat voidaan merkitä myös seuraavasti:

Määritelmä 1.10 Kolmannen kertaluvun osittaiset derivaatat - kahdeksan (2 3).

§ 5. Monimutkaisten funktioiden osittaiset derivaatat. monimutkaisten funktioiden differentiaalit

1. Kompleksisen funktion osittaiset derivaatat.

Antaa olla kahden muuttujan funktio, joiden argumentit Ja , ovat itse kahden tai lisää muuttujia. Esimerkiksi anna
,
.

Sitten tahtoa monimutkainen toiminto riippumattomia muuttujia Ja , muuttujia ja se on sitä varten välimuuttujat. Tässä tapauksessa kuinka löytää funktion osittaiset derivaatat suhteessa Ja ?

Voidaan tietysti ilmaista suoraan termeillä ja:

ja etsi tuloksena olevan funktion osittaisia ​​derivaattoja. Mutta lauseke voi olla hyvin monimutkainen ja löytää osittaisia ​​johdannaisia , vaatisi sitten paljon vaivaa.

Jos toimii
,
,
ovat erotettavissa, niin etsi ja se voidaan tehdä turvautumatta suoraan ilmaisuun ja . Tässä tapauksessa kaavat ovat voimassa

(5.1)

Todellakin, annamme argumentin lisäys
, – konst. Sitten toiminnot
Ja saavat lisäykset

ja toimintoa kasvatetaan

Missä , ovat äärettömän pieniä
,
. Jaa viimeisen yhtälön kaikki ehdot . Saamme:

Koska funktiot ja ovat differentioitavissa oletuksen perusteella, ne ovat jatkuvia. Siksi jos
, sitten ja . Joten, siirtämällä viimeinen yhtäläisyys rajaan, saamme:

(koska , ovat äärettömän pieniä , ).

Toinen yhtälö (5.1) todistetaan samalla tavalla.

ESIMERKKI. Antaa
, Missä
,
. Sitten on riippumattomien muuttujien kompleksifunktio ja . Sen osittaisten derivaattojen löytämiseksi käytämme kaavaa (5.1). Meillä on

Korvaamalla (5.1) saamme

,

Kaavat (5.1) yleistyvät luonnollisesti tapaukseen, jossa on suurempi määrä riippumattomia ja väliargumentteja. Nimittäin jos

………………………

ja kaikki tarkasteltavat funktiot ovat differentioitavissa, sitten mille tahansa
tasa-arvo on olemassa

On myös mahdollista, että funktion argumentit ovat vain yhden muuttujan funktioita, ts.

,
.

Silloin on vain yhden muuttujan monimutkainen funktio ja voidaan esittää kysymys johdannaisen löytämisestä . Jos toiminnot
,
ovat erotettavissa, niin se voidaan löytää kaavalla
(5.2)

ESIMERKKI. Antaa
, Missä
,
. Tässä on yhden riippumattoman muuttujan kompleksifunktio. Kaavan (5.2) avulla saamme

.

Ja lopuksi tapaus on mahdollinen, kun riippumattoman muuttujan roolissa on , ts. ,

Missä
.

Kaavasta (5.2) saadaan sitten

(5.3)

(koska
). Johdannainen , joka seisoo kaavassa (5.3) oikealla on funktion osittainen derivaatta suhteessa . Se lasketaan kiinteällä arvolla . Johdannainen kaavan (5.3) vasemmalla puolella kutsutaan funktion kokonaisderivaata . Sitä laskettaessa otetaan huomioon, että se riippuu kahdella tavalla: suoraan ja toisen argumentin kautta.

ESIMERKKI. Etsi ja toimi
, Missä
.

Meillä on
.

Löytääksemme käytämme kaavaa (5.3). Saada

.

Ja tämän alaosan päätteeksi totean, että kaavat (5.2) ja (5.3) voidaan helposti yleistää funktioille, joissa on suuri määrä väliargumentteja.

2. Monimutkaisen funktion differentiaali.

Muista, että jos

on määritelmän mukaan kahden riippumattoman muuttujan differentioituva funktio

, (5.4)

tai muussa muodossa
. (5.5)

Kaavan (5.5) etuna on, että se pysyy tosi vaikka on monimutkainen funktio.

Todellakin, anna , missä , . Oletetaan, että funktiot , ovat differentioituvia. Tällöin myös kompleksifunktio on differentioituva ja sen kokonaisdifferentiaali kaavan (5.5) mukaan on yhtä suuri kuin

.

Kaavan (5.1) soveltaminen osittaisten derivaattojen laskemiseen monimutkainen toiminto, saamme

Koska funktioiden kokonaisdifferentiaalit ja ovat suluissa, meillä on vihdoin

Olemme siis nähneet, että sekä tapauksessa, jolloin ja ovat riippumattomia muuttujia että tapauksessa, että ja ovat riippuvia muuttujia, funktion differentiaali voidaan kirjoittaa muotoon (5.5). Tässä suhteessa tätä kokonaisdifferentiaalin kirjoitustapaa kutsutaan muuttumaton . Kohdassa (5.4) ehdotettu differentiaalin kirjoitusmuoto ei ole invariantti, vaan sitä voidaan käyttää vain, kun ja ovat riippumattomia muuttujia. Differentiaalin kirjoitusmuoto ei myöskään ole muuttumaton - järjestys. Muista, että osoitimme aiemmin, että järjestysero kahden muuttujan funktiot löytyvät kaavalla

. (4.12)

Mutta jos ja eivät ole riippumattomia muuttujia, niin kaava (4.12) for
lakkaa olemasta totta.

On selvää, että kaikki tässä alajaksossa kahden muuttujan funktiolle tehdyt argumentit voidaan toistaa, jos funktiolla on enemmän argumentteja. Siksi funktiolle differentiaali voidaan kirjoittaa myös kahdessa muodossa:

jossa toinen merkintätapa on muuttumaton, ts. reilua vaikka
eivät ole riippumattomia muuttujia, vaan väliargumentteja.

§ 6. Implisiittisten toimintojen eriyttäminen

Puhuessamme yhden ja useamman muuttujan funktion määrittelymenetelmistä totesimme, että funktion analyyttinen määritelmä voi olla eksplisiittinen tai implisiittinen. Ensimmäisessä tapauksessa funktion arvo löydetään tunnetuista argumenttien arvoista; toisessa funktion arvo ja sen argumentit yhdistetään jollain yhtälöllä. Emme kuitenkaan määrittäneet, milloin yhtälöt

Ja

määritellä implisiittisesti määriteltyjä toimintoja ja vastaavasti. Kätevät riittävät edellytykset implisiittisen toiminnon olemassaololle muuttujat (
) sisältyvät seuraavaan lauseeseen.

LAUSE6.1 . (implisiittisen funktion olemassaolo) Olkoon funktio
ja sen osittaiset johdannaiset
ovat määriteltyjä ja jatkuvia jossain pisteen läheisyydessä. Jos
Ja
, silloin on sellainen naapurusto piste, jossa yhtälö

määrittelee jatkuva toiminto ja

1) Harkitse yhtälöä
. Lauseen ehdot täyttyvät esimerkiksi missä tahansa pisteen ympäristössä
. Siksi jossain pisteen naapurustossa
tämä yhtälö määritellään kahden muuttujan ja implisiittisenä funktiona. Tämän funktion eksplisiittinen lauseke on helppo saada ratkaisemalla yhtälö:

2) Tarkastellaan yhtälöä
. Se määrittelee kaksi funktiota kahdesta muuttujasta ja . Todellakin, lauseen ehdot täyttyvät esimerkiksi missä tahansa pisteen ympäristössä

, jossa annettu yhtälö määrittelee jatkuvan funktion, joka ottaa arvon pisteessä
.

Toisaalta lauseen ehdot täyttyvät missä tahansa pisteen ympäristössä
. Siksi jossain pisteen läheisyydessä yhtälö määrittelee jatkuvan funktion, joka ottaa arvon pisteessä
.

Koska funktio ei voi ottaa kahta arvoa yhdessä pisteessä, se tarkoittaa, että tässä puhutaan kahdesta eri funktiosta.
ja vastaavasti. Etsitään heidän selkeät ilmaisut. Tätä varten ratkaisemme alkuperäisen yhtälön suhteessa . Saada

3) Tarkastellaan yhtälöä
. Ilmeisesti lauseen ehdot täyttyvät missä tahansa pisteen ympäristössä
. Siksi on olemassa tällainen pisteen lähistö
, jossa yhtälö määritellään muuttujan implisiittiseksi funktioksi. Tälle funktiolle on mahdotonta saada eksplisiittinen lauseke, koska yhtälöä ei voida ratkaista suhteessa .

4) Yhtälö
ei määrittele mitään implisiittistä funktiota, koska sellaisia ​​pareja ei ole todellisia lukuja ja se tyydyttää sitä.

Toiminto
, annetaan yhtälöllä
Lauseen 6.1 mukaan on jatkuvat osittaiset derivaatat kaikkien argumenttien suhteen pisteen läheisyydessä. Selvitetään, kuinka voit löytää ne ilman selkeää funktion määritelmää.

Anna toiminnon
täyttää Lauseen 6.1 ehdot. Sitten yhtälö
jatkuva toiminto
. Harkitse monimutkaista funktiota
, Missä . Funktio on yhden muuttujan ja jos monimutkainen funktio
, Tuo

(6.1)

Toisaalta kaavan (5.3) mukaan laskea kokonaisderivaata
(6.2)

(6.1) ja (6.2) saamme, että jos , niin

(6.3)

Kommentti. Jaettuna on mahdollista, koska Lauseen 6.1 mukaan
missä tahansa naapuruston kohdassa.

ESIMERKKI. Etsi yhtälön antama implisiittisen funktion derivaatta ja laske sen arvo at
.

,
.

Korvaamalla osittaiset derivaatat kaavaan (6.3) saadaan

.

Lisäksi, korvaamalla alkuperäisen yhtälön, löydämme kaksi arvoa:
Ja
.

Siksi yhtälö määrittelee pisteen läheisyydessä kaksi funktiota:
Ja
, Missä
,
. Niiden johdannaiset ovat yhtä suuret

Ja
.

Nyt yhtälö
määrittää jossain pisteen ympäristössä
toiminto . Etsitään . Muista, että itse asiassa tämä on tavallinen johdannainen funktiosta, jota pidetään muuttujan funktiona vakioarvolla . Siksi voimme käyttää kaavaa (6.3) löytääksemme sen, pitäen sitä funktiona, - argumenttina, - vakiona. Saada

. (6.4)

Vastaavasti, kun otetaan huomioon funktio, - argumentti, - vakio, saadaan kaavan (6.3) mukaan

. (6.5)

ESIMERKKI. Etsi yhtälön antaman funktion osittaiset derivaatat
.

,
,
.

Kaavoilla (6.4) ja (6.5) saadaan

,
.

Harkitse lopuksi yleistä tapausta, jossa yhtälö

määrittää muuttujien funktion jossain pisteen ympäristössä. Toistamalla kahden muuttujan implisiittisesti annetulle funktiolle suoritettu päättely saadaan

,
, …,
.

§ 7. Suuntajohdannainen

1. Suuntajohdannainen.

Olkoon kahden muuttujan funktio määritelty jossain toimialueessa
kone
, on alueen piste, on vektori mihin tahansa suuntaan. Mennään pisteestä
vektorin suuntaan olevaan pisteeseen. Sen jälkeen toimintoa kasvatetaan

Jaamme funktion lisäyksen
offset-segmentin pituuden mukaan
. Vastaanotettu suhde
antaa funktion keskimääräisen muutosnopeuden kuvaajalla
. Sitten tämän suhteen raja on
(jos se on olemassa ja on äärellinen) on funktion muutosnopeus pisteessä
vektorin suuntaan. Häntä kutsutaan funktion derivaatta pisteessä vektorin suunnassa ja merkitsee
tai
.

Funktion muutosnopeuden arvon lisäksi sen avulla voit myös määrittää funktion muutoksen luonteen vektorin suunnassa olevassa pisteessä (nouseva tai laskeva):

Nämä väitteet todistetaan samalla tavalla kuin samanlaiset väitteet yhden muuttujan funktiolle.

Huomaa, että funktion osittaiset derivaatat ovat suuntaderivaatan erikoistapaus. Nimittäin,
on funktion derivaatta vektorin suunnan suhteen (akselin suunta
), on funktion derivaatta suhteessa vektorin suuntaan (akselin suunta
).

Oletetaan, että funktio on differentioituva pisteessä . Sitten

Missä on äärettömän pieni
.

Olkoon funktio z - f(x, y) määritelty jossain xOy-tason alueella D. Otetaan sisäpiste (x, y) alueelta D ja annetaan x:lle inkrementti Ax siten, että piste (x + Ax, y) on 6 D (kuva 9). Kutsutaan arvoa funktion z osittaiseksi lisäykseksi suhteessa x:ään. Suhteen laatiminen Tietylle pisteelle (x, y) tämä suhde on määritelmän funktio. Jos Ax -* 0:lla relaatiolla ^ on äärellinen raja, niin tätä rajaa kutsutaan funktion z = /(x, y) osittaiseksi derivaatta riippumattoman muuttujan x suhteen pisteessä (x, y) ja on merkitty symbolilla jfc (tai /i(x, jj ), tai z "x (x, Samalla tavalla, määritelmän mukaan, tai, joka on sama, analogisesti Jos ja on n riippumattoman muuttujan funktio, niin huomata että Arz lasketaan muuttujan y arvon ollessa muuttumattomana ja Atz muuttujan x arvon ollessa muuttumaton, osittaisten derivaattojen määritelmät voidaan muotoilla seuraavasti: Osittaiset derivaatat geometrinen tunne kahden muuttujan funktion osittaiset derivaatat Usean muuttujan funktion differentioitavuus Tarvittavat ehdot funktion differentioituvuus Riittävät edellytykset useiden muuttujien funktioiden differentiaatiolle Täydellinen differentiaali. Osittaisdifferentiaalit Osittaisen derivaatan yhdistelmäfunktion derivaattoja funktion z = /(x, y) x:n suhteen kutsutaan tämän funktion tavalliseksi derivaatiksi suhteessa x:iin, joka lasketaan olettaen, että y on vakio; funktion z - /(x, y) osittaisderivaata y:n suhteen on sen derivaatta y:n suhteen, laskettuna olettaen, että x on vakio. Tästä seuraa, että osittaisten johdannaisten laskentasäännöt ovat samat kuin yhden muuttujan funktiolle todistetut säännöt. Esimerkki. Etsi funktion osittaisderivaatat 4 Meillä on substituutioita*. Funktion y = /(x, y) olemassaolo tietyssä osittaisten derivaattojen kohdassa kaikkien argumenttien suhteen ei tarkoita funktion jatkuvuutta tässä pisteessä. Eli funktio ei ole jatkuva pisteessä 0(0,0). Tässä vaiheessa tällä funktiolla on kuitenkin osittaiset derivaatat x:n ja y:n suhteen. Tämä johtuu siitä tosiasiasta, että /(x, 0) = 0 ja /(0, y) = 0, ja siten kahden muuttujan funktion osittaisderivaataiden geometrinen merkitys. Olkoon pinta S kolmiulotteisessa avaruudessa annetaan yhtälöllä, jossa f(x, y) on funktio, jatkuva jossain alueella D ja jolla on osittaiset derivaatat suhteessa x:ään ja y:ään. Selvitetään näiden derivaattojen geometrinen merkitys pisteessä Mo(x0, y0) 6 D, jota piste f(x0)yo) vastaa pinnalla z = f(x)y). Kun etsitään osittaisderivaata pisteestä M0, oletetaan, että z on vain argumentin x funktio, kun taas argumentti y säilyttää vakioarvon y \u003d yo, eli funktio fi (x) esitetään geometrisesti käyrällä L , jota pitkin pinnan S leikkaa taso y \u003d noin. Yhden muuttujan funktion derivaatan geometrisesta merkityksestä johtuen f \ (xo) = tg a, missä a on suoran L tangentin muodostama kulma pisteessä JV0 Ox-akselin kanssa (kuva 10) . Mutta niin Siten osittaisderivaata ($|) on yhtä suuri kuin Ox-akselin välisen kulman a tangentti ja pinnan z \u003d / (x, y) pisteessä N0 olevan tangentin tangentti. y-tason mukaan. Samalla tavalla saadaan, että §6. Usean muuttujan funktion differentioituvuus Olkoon funktio z = /(x, y) määritelty jossain toimialueessa D xOy-tasolla. Otetaan piste (x, y) € D ja annetaan valituille arvoille x ja y mitkä tahansa lisäykset Ax ja Dy, mutta niin, että piste. Määritelmä. Funktiota r = /(x, y) kutsutaan differentioituvaksi * pisteeksi (x, y) € 2E, jos tämän funktion kokonaislisäys, joka vastaa argumenttien lisäyksiä Dx, Dy, voidaan esittää missä A ja B eivät riipu Dx:stä ja D y:stä (mutta yleensä ne riippuvat x:stä ja y:stä), kun taas a(Ax, Dy) ja f(Ax, Dy) ovat yleensä nolla, kun Ax ja Dy ovat yleensä nolla. . Jos funktio z = /(x, y) on differentioituva pisteessä (x, y), niin funktion Dx:n ja Dy:n suhteen lineaarista lisäyksen osaa A Dx 4 - VDy kutsutaan kokonaisdifferentiaaliksi. tämän funktion pisteessä (x, y) ja sitä merkitään symbolilla dz: Tanim tapa, esimerkki. Olkoon r = x2 + y2. Missä tahansa kohdassa (r, y) ja mille tahansa Dx:lle ja Dy:lle, joka meillä on täällä. tästä seuraa, että a ja /3 pyrkivät nollaan, kun Ax ja Dy pyrkivät nollaan. Määritelmän mukaan tämä funktio on differentioitavissa missä tahansa xOy-tason kohdassa. Tässä huomautetaan, että emme pohdinnassamme muodollisesti sulkeneet pois tapausta, jossa inkrementit Dx, Dy erikseen tai jopa molemmat ovat yhtä kuin nolla kerralla. Kaava (1) voidaan kirjoittaa kompaktimmin, jos esittelemme lausekkeen (pisteiden välinen etäisyys (Sitä käyttämällä voimme kirjoittaa Merkimällä lausekkeen suluissa e:llä, saamme missä c riippuu J:stä, Du:sta ja pyrkii nollaan, jos J 0 ja Dy 0, eli lyhyesti sanottuna, jos p 0. Kaava (1), joka ilmaisee ehdon, että funktio z = f(xt y) on differentioituva pisteessä (x, y), voidaan nyt kirjoittaa. kuten So, edellä esimerkissä 6.1 Lause 4. Jos funktio r = f(x, y) on jossain vaiheessa differentioituva, niin se on jatkuva siinä pisteessä.4 Jos funktio r = f(x, y) on differentioituva pisteessä (x, y), niin funktion i lisäys tässä pisteessä""e, joka vastaa argumenttien lisäyksiä j ja dy, voidaan esittää muodossa Lause b. Jos funktio z = f(x, y) on differentioituva tietyssä pisteessä, mo o o u. ) on differentioituva pisteeseen (x, y). Sitten tämän funktion inkrementti Dx, joka vastaa argumenttien lisäyksiä Dx, Ay, voidaan esittää muodossa (1). Kun yhtälössä (1) Dx F 0, Dn = 0, saadaan mistä Koska viimeisen yhtälön oikealla puolella arvo A ei riipu, Tämä tarkoittaa, että pisteessä (x, y) on osittais funktion r \u003d / (x, y) derivaatta x:n suhteen, ja samanlaisella päättelyllä voimme nähdä, että (x, on funktion zу osittainen derivaatta, ja lauseesta seuraa, että Korostamme, että Lause 5 väittää osittaisten derivaattojen olemassaolon vain pisteessä (x, y), mutta ei sano mitään niiden jatkuvuudesta 6.2 Riittävät ehdot useiden muuttujien funktioiden differentioitumiselle Kuten hyvin tiedetään, välttämätön ja riittävä ehto funktion differentiaatiolle Yhden muuttujan y = f(x) pisteessä xo on äärellisen derivaatan / "(x) olemassaolo pisteessä x0. Siinä tapauksessa, että funktio riippuu useista muuttujista, tilanne on paljon monimutkaisempi: kahden itsenäisen muuttujan x, y funktiolle z = /(x, y) ei ole välttämättömiä ja riittäviä ehtoja differentiaatiolle; on vain erikseen välttämättömät ehdot (katso edellä) ja erikseen riittävät ehdot. Nämä riittävät edellytykset useiden muuttujien funktioiden differentiaatiolle ilmaistaan ​​seuraavalla lauseella. Lause c. Jos funktiolla on osittaiset derivaatat /£ ja f"v jossain ohuen viivan (xo, y0) läheisyydessä ja jos nämä derivaatat ovat jatkuvia itse pisteessä (xo, y0), niin funktio z = f(x, y) ) on differentioituva pisteessä (x- Esimerkki Tarkastellaan funktiota Osaderivaatat Kahden muuttujan funktion osittaisderivaataiden geometrinen merkitys Usean muuttujan funktion differentioituvuus Tarvittavat ehdot funktion differentiaatiolle Riittävät ehdot funktioiden differentiaatiolle useista muuttujista Kokonaisdifferentiaali Osadifferentiaalit Kompleksisen funktion derivaatat Se määritellään kaikkialla Osittaisten derivaattojen määritelmän perusteella meillä on tämän funktion ™ pisteessä 0(0, 0), jonka löydämme, ja tämän inkrementti terävöityy. Du 0. Laitetaan D0. Sitten kaavasta (1) meillä on Siksi funktiot / (x, y) \u003d ei ole differentioitavissa pisteessä 0 (0, 0), vaikka sillä on tässä vaiheessa tuotamme fa ja f"r Saatu tulos selittyy sillä, että derivaatat f"z ja f"t ovat epäjatkuvia kohdan 7 kohdassa. täysi erotus. Osadifferentiaalit Jos funktio r - f(z> y) on differentioituva, niin sen viimeinen differentiaali dz on yhtä suuri. Huomaa, että A \u003d B \u003d w, kirjoitetaan kaava (1) seuraavassa muodossa. Laajennamme funktion käsitettä. funktion differentiaali riippumattomiin muuttujiin, riippumattomien muuttujien differentiaalien asettaminen niiden inkrementtien suuruisiksi: Tämän jälkeen funktion kokonaisdifferentiaalin kaava ottaa esimerkin. Olkoon i - 1l(x + y2). Sitten Vastaavasti, jos u =) on n riippumattoman muuttujan differentioituva funktio, niin lauseketta kutsutaan funktion z = f(x, y) laihaksi differentiaaliksi muuttujan x suhteen; lauseketta kutsutaan muuttujan y funktion z = /(x, y) osittaisdifferentiaaliksi. Kaavoista (3), (4) ja (5) seuraa, että funktion kokonaisdifferentiaali on sen osittaisten differentiaalien summa: Huomaa, että funktion kokonaislisäys Az = /(x, y), yleisesti ottaen , ei ole yhtä suuri kuin osittaisten lisäysten summa. Jos pisteessä (x, y) funktio y = /(x, y) on differentioituva ja differentiaali dz φ 0 tässä pisteessä, niin sen kokonaislisäys eroaa sen lineaarisesta osasta vain viimeisten ehtojen aAx 4 summalla. -/? DE, jotka kohdissa Ax 0 ja Ay -» O ovat äärettömän pieniä enemmän kuin korkea järjestys kuin lineaarisen osan ehdot. Siksi, kun dz Ф 0, differentioituvan funktion lisäyksen lineaarista osaa kutsutaan funktion inkrementin pääosiksi ja käytetään likimääräistä kaavaa, joka on sitä tarkempi, mitä pienempi on funktion lisäyksen itseisarvo. argumentit. §8. Kompleksisen funktion derivaatat 1. Olkoon funktio määritelty jossain alueella D xOy-tasolla, ja jokainen muuttuja x, y on puolestaan ​​argumentin t funktio: Oletetaan, että kun t muuttuu intervalli (vastaavat pisteet (x, y) eivät mene alueen D ulkopuolelle. Jos korvaamme arvot funktioon z = / (x, y), niin saadaan yhden muuttujan t kompleksifunktio. vastaaville arvoille funktio / (x, y) on differentioituva, niin kompleksifunktiolla pisteessä t on derivaatta ja M annetaan t:lle inkrementti Dt. Silloin x ja y saavat joitain lisäyksiä Ax ja Dy. tuloksena, kun (J)2 + (Dy)2 ∩ 0, funktio z saa myös jonkin verran lisäystä Dt, joka funktion z = f , y) differentiatiivisuuden vuoksi pisteessä (x, y) voi esitetään muodossa, jossa a) taipumus olla nolla, koska Ax ja Du ovat yleensä nolla. Määritellään a ja /3 arvoille Ax = Ay = 0 asettamalla a. Silloin a( on jatkuva kun J = Dy = 0. Oletetaan, että relaatio on vakio annetulle, ehdon mukaan derivaattojen olemassaololle on rajat ^ ja pisteessä £ seuraa, että funktiot x = y(t) ja y = ovat jatkuvia tässä pisteessä, joten pisteessä 0 sekä J että Dy pyrkivät nollaan, mikä puolestaan ​​merkitsee a(Ax, Dy) ja P (Ax, Ay) pyrkii nollaan. Siten yhtälön (2) oikealla puolella 0:ssa on raja, joka on yhtä suuri kuin Näin ollen (2):n vasemman puolen raja on olemassa kohdassa At 0, eli on olemassa yhtäläinen Siirtämällä yhtälössä (2) rajaan At -» 0, saadaan vaadittu kaava Siinä erityisessä tapauksessa, että näin ollen z on x:n kompleksifunktio, saadaan y) x:n yli, jonka laskennassa lauseke f(x, y) argumentti y otetaan vakiona.vakio, ja sitä puolestaan ​​pidetään x:n funktiona: y = tp(x)t, ja siksi z:n riippuvuus x:stä on täysin otettu huomioon. Esimerkki. Etsi ja jg jos 2. Tarkastellaan nyt useiden muuttujien kompleksisen funktion differentiaatiota. Olkoon missä vuorostaan ​​niin Oletetaan, että pisteessä (() on jatkuvat osittaiset derivaatat u, 3? » a vastaavassa pisteessä (x, y), jossa funktio f(x, y) on differentioituva. Osoitetaan, että näissä olosuhteissa kompleksifunktiolla z = z(() y) pisteessä t7) on derivaatat ja u, ja etsitään lausekkeet näille derivaatoille. Huomaa, että tämä tapaus ei eroa merkittävästi jo tutkitusta tapauksesta. Todellakin, kun z on differentioitu suhteessa £:iin, toinen riippumaton muuttuja rj otetaan vakioksi, minkä seurauksena x:stä ja y:stä tulee saman muuttujan x" = c), y = c) funktioita tässä operaatiossa, ja derivaatan Φ kysymys ratkaistaan ​​täsmälleen samalla tavalla kuin derivaatan kysymys johdettaessa kaavaa (3) Käyttämällä kaavaa (3) ja korvaamalla sen derivaatat g ja ^ muodollisesti derivaatoilla u ja vastaavasti, saadaan jos monimutkainen funktio on ”Määritetty kaavoilla niin, että silloin meillä on sopivissa olosuhteissa Erityisessä tapauksessa, kun And = jossa Osittaisderivaatat Kahden muuttujan funktion osittaisten derivaattojen geometrinen merkitys Usean muuttujan funktion differentioituvuus Tarvittavat ehdot funktion differentioituvuus Riittävät edellytykset useiden muuttujien funktioiden differentiaaliselle Täysdifferentiaali Osadifferentiaalit Meillä on derivaatat kompleksisesta funktiosta y, d) x:ssä, kun lasketaan k

Esimerkki. Etsi jos, missä.

Ratkaisu. Kaavan (1) mukaan meillä on:

Esimerkki. Etsi osittaisderivaata ja kokonaisderivaata jos .

Ratkaisu. .

Kaavan (2) perusteella saamme .

2°. Useiden riippumattomien muuttujien tapaus.

Antaa z = f(x;y) - kahden muuttujan funktio X Ja y, joista jokainen on funktio

itsenäinen muuttuja t: x = x(t), y = y(t). Tässä tapauksessa toiminto z=f(x(t);y(t)) On

yhden riippumattoman muuttujan kompleksinen funktio t; muuttujia x ja y ovat välimuuttujia.

Lause. Jos z == f(x; y) - erottuva jossain kohdassa M(x; y) D toiminto

Ja x = x(t) Ja klo =y(t) - riippumattoman muuttujan differentioituvat funktiot t,

sitten kompleksifunktion derivaatta z(t) == f(x(t);y(t)) lasketaan kaavalla

(3)

Erikoistapaus: z = f(x; y), missä y = y(x), nuo. z= f(x;y(x)) - monimutkainen toiminto

itsenäinen muuttuja X. Tämä tapaus pienenee edelliseen ja muuttujan rooliin

t pelaa X. Kaavan (3) mukaan meillä on:

.

Viimeistä kaavaa kutsutaan kokonaisjohdannaisen kaavat.

Yleinen tapaus: z = f(x;y), Missä x = x(u;v), y=y(u;v). Sitten z = f(x(u;v);y(u;v)) - monimutkainen

riippumattomien muuttujien funktio Ja Ja v. Sen osittaiset johdannaiset löytyvät

käyttämällä kaavaa (3) seuraavalla tavalla. Korjaus v, vaihda siihen

vastaavat osittaiset johdannaiset

Joten yhdistelmäfunktion (z) derivaatta kunkin riippumattoman muuttujan suhteen (Ja Ja v)

on yhtä suuri kuin tämän funktion (z) osittaisten derivaattojen tulojen summa sen välituotteen suhteen

muuttujia (x ja y) niiden johdannaisiin suhteessa vastaavaan riippumattomaan muuttujaan (u ja v).

Kaikissa tarkastelluissa tapauksissa kaava

(kokonaiseron invarianssin ominaisuus).

Esimerkki. Etsi ja jos z= f(x,y), jossa x=uv, .

Osittaisderivaataita käytetään usean muuttujan funktioissa. Löytämissäännöt ovat täsmälleen samat kuin yhden muuttujan funktioille, sillä ainoa ero on, että yhtä muuttujista on pidettävä vakiona (vakioluku) differentiaatiohetkellä.

Kaava

Kahden muuttujan $ z(x,y) $ osittaiset derivaatat kirjoitetaan muodossa $ z"_x, z"_y $ ja ne löydetään kaavoilla:

Ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat

$$ z"_x = \frac(\partial z)(\partial x) $$

$$ z"_y = \frac(\partial z)(\partial y) $$

Toisen kertaluvun osittaiset derivaatat

$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$

sekoitettu johdannainen

$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial x) $$

Yhdistetyn funktion osittainen derivaatta

a) Olkoon $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, niin kompleksifunktion derivaatta määritetään kaavalla:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt) $$

b) Olkoon $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, niin funktion osaderivaatat löydetään kaavasta:

$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

Implisiittisesti annetun funktion osittaiset derivaatat

a) Olkoon $ F(x,y(x)) = 0 $, sitten $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) Olkoon $ F(x,y,z)=0 $, sitten $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

Ratkaisuesimerkkejä