Esimerkkinä on funktion maksimi-minimipisteiden käsite. Kuinka löytää funktion maksimi- ja minimipisteet. Toiminnan ääripään välttämätön ehto

Toiminto ja sen ominaisuuksien tutkiminen on yksi modernin matematiikan keskeisistä luvuista. Minkä tahansa funktion pääkomponentti on kaaviot, jotka kuvaavat paitsi sen ominaisuuksia, myös tämän funktion derivaatan parametreja. Katsotaanpa tätä hankalaa aihetta. Mikä on siis paras tapa löytää funktion maksimi- ja minimipisteet?

Tehtävä: Määritelmä

Mitä tahansa muuttujaa, joka riippuu jollain tavalla toisen suuren arvoista, voidaan kutsua funktioksi. Esimerkiksi funktio f(x 2) on neliöllinen ja määrittää arvot koko joukolle x. Oletetaan, että x = 9, niin funktiomme arvo on yhtä suuri kuin 9 2 = 81.

Toimintoja on monenlaisia: loogisia, vektori-, logaritmisi-, trigonometrisiä, numeerisia ja muita toimintoja. Sellaiset erinomaiset mielet kuin Lacroix, Lagrange, Leibniz ja Bernoulli olivat mukana heidän tutkimuksessaan. Heidän kirjoituksensa toimivat tukivarrena nykyaikaisissa toimintojen tutkimisen tavoissa. Ennen minimipisteiden löytämistä on erittäin tärkeää ymmärtää funktion ja sen derivaatan merkitys.

Johdannainen ja sen rooli

Kaikki funktiot ovat riippuvaisia ​​niiden muuttujista, mikä tarkoittaa, että ne voivat muuttaa arvoaan milloin tahansa. Kaaviossa tämä kuvataan käyränä, joka joko laskee tai nousee y-akselia pitkin (tämä on koko numerosarja "y" kaavion pystysuoraa pitkin). Ja niinpä funktion maksimi- ja minimipisteen määrittely liittyy juuri näihin "värähtelyihin". Selvitetään, mikä tämä suhde on.

Minkä tahansa funktion derivaatta piirretään, jotta voidaan tutkia sen pääominaisuuksia ja laskea kuinka nopeasti funktio muuttuu (eli muuttaa arvoaan muuttujan "x" mukaan). Sillä hetkellä, kun funktio kasvaa, myös sen derivaatan kuvaaja kasvaa, mutta minä hetkenä hyvänsä funktio voi alkaa pienentyä, jolloin derivaatan kuvaaja pienenee. Pisteitä, joissa derivaatta siirtyy miinuksesta plussaan, kutsutaan minimipisteiksi. Jotta tiedät kuinka löytää vähimmäispisteet, sinun pitäisi ymmärtää paremmin

Kuinka laskea johdannainen?

Määritelmä ja funktiot sisältävät useita käsitteitä aiheesta Yleisesti ottaen derivaatan määritelmä voidaan ilmaista seuraavalla tavalla: tämä on arvo, joka ilmaisee funktion muutosnopeuden.

Matemaattinen tapa määritellä se näyttää monille opiskelijoille monimutkaiselta, mutta itse asiassa kaikki on paljon yksinkertaisempaa. On tarpeen noudattaa vain vakiosuunnitelmaa minkä tahansa funktion derivaatan löytämiseksi. Seuraavassa kuvataan, kuinka voit löytää funktion minimipisteen soveltamatta differentiaatiosääntöjä ja muistamatta derivaattataulukkoa.

1. Voit laskea funktion derivaatan käyttämällä kuvaajaa. Tätä varten sinun täytyy kuvata itse funktio, ottaa sitten yksi piste siitä (piste A kuvassa), piirtää viiva pystysuoraan alas abskissa-akseliin (piste x 0) ja piirtää tangentin funktion kuvaajalle. toiminto kohdassa A. Abskissa-akseli ja tangentti muodostavat kulman a. Laskeaksesi arvon, kuinka nopeasti funktio kasvaa, sinun on laskettava tämän kulman tangentti a.
2. Osoittautuu, että tangentin ja x-akselin suunnan välisen kulman tangentti on funktion derivaatta pienellä alueella pisteen A kanssa. Tätä menetelmää pidetään geometrisena tapana määrittää derivaatta.

Menetelmät funktion tutkimiseksi

SISÄÄN koulun opetussuunnitelma matematiikassa on mahdollista löytää funktion minimipiste kahdella tavalla. Olemme jo analysoineet ensimmäistä menetelmää kaavion avulla, mutta kuinka määrittää derivaatan numeerinen arvo? Tätä varten sinun on opittava useita kaavoja, jotka kuvaavat derivaatan ominaisuuksia ja auttavat muuntamaan muuttujia kirjoita "x" numeroihin. Seuraava menetelmä on universaali, joten sitä voidaan soveltaa lähes kaikenlaisiin funktioihin (sekä geometrisiin että logaritmiin).

1. On tarpeen rinnastaa funktio johdannaisfunktioon ja sitten yksinkertaistaa lauseke käyttämällä differentiaatiosääntöjä.
2. Joissakin tapauksissa, kun annetaan funktio, jossa muuttuja "x" on jakaja, on tarpeen määrittää hyväksyttävien arvojen alue jättämällä siitä pois piste "0" (sestä yksinkertaisesta syystä, että matematiikassa ei voi koskaan jakaa nollalla).
3. Sen jälkeen funktion alkuperäinen muoto tulee muuntaa yksinkertaiseksi yhtälöksi, joka vastaa koko lauseke nollaan. Esimerkiksi, jos funktio näytti tältä: f (x) \u003d 2x 3 + 38x, niin differentiaatiosääntöjen mukaan sen derivaatta on yhtä suuri kuin f "(x) \u003d 3x 2 + 1. Sitten muutetaan tämä lauseke seuraavan muotoiseksi yhtälöksi: 3x 2 +1 \u003d 0 .
4. Kun yhtälö on ratkaistu ja pisteet "x" on löydetty, ne tulee kuvata x-akselilla ja määrittää, onko derivaatta näillä merkittyjen pisteiden välissä positiivinen vai negatiivinen. Nimeämisen jälkeen käy selväksi, missä vaiheessa funktio alkaa laskea, eli vaihtaa etumerkkiä miinuksesta päinvastaiseksi. Tällä tavalla voit löytää sekä minimi- että maksimipisteet.

Erottamisen säännöt

Peruskomponentti funktion ja sen derivaatan tutkimisessa on erilaistumissääntöjen tuntemus. Vain heidän avullaan on mahdollista muuttaa hankalia ja suuria lausekkeita monimutkaiset toiminnot. Tutustutaanpa niihin, niitä on paljon, mutta ne ovat kaikki hyvin yksinkertaisia ​​sekä potenssi- että logaritmisten funktioiden säännöllisten ominaisuuksien vuoksi.

1. Minkä tahansa vakion derivaatta on nolla (f(x) = 0). Eli derivaatta f (x) \u003d x 5 + x - 160 on seuraavassa muodossa: f "(x) \u003d 5x 4 +1.
2. Kahden termin summan derivaatta: (f+w)" = f"w + fw".
3. Logaritmisen funktion derivaatta: (log a d)" = d/ln a*d. Tämä kaava koskee kaikenlaisia ​​logaritmeja.
4. Tehoderivaata: (x n)"= n*x n-1. Esimerkiksi (9x 2)" = 9*2x = 18x.
5. Sinifunktion derivaatta: (sin a)" = cos a. Jos kulman a sin on 0,5, niin sen derivaatta on √3/2.

ääripisteet

Olemme jo keskustelleet minimipisteiden löytämisestä, mutta on olemassa funktion maksimipisteiden käsite. Jos minimi tarkoittaa niitä pisteitä, joissa funktio siirtyy miinuksesta plussaan, niin maksimipisteet ovat niitä x-akselin pisteitä, joissa funktion derivaatta muuttuu plussasta päinvastaiseksi - miinus.

Löydät sen yllä kuvatulla menetelmällä, vain on otettava huomioon, että ne osoittavat alueita, joissa funktio alkaa pienentyä, eli derivaatta on pienempi kuin nolla.

Matematiikassa on tapana yleistää molemmat käsitteet korvaamalla ne lauseella "ääripisteet". Kun tehtävä pyytää määrittämään nämä pisteet, tämä tarkoittaa, että on tarpeen laskea tämän funktion derivaatta ja löytää minimi- ja maksimipisteet.

Tästä artikkelista lukija oppii, mikä on toiminnallisen arvon ääriarvo, sekä sen käytännön ominaisuuksista. Tällaisen käsitteen tutkiminen on erittäin tärkeää perusasioiden ymmärtämiseksi korkeampi matematiikka. Tämä aihe on olennainen kurssin syvemmälle tutkimiselle.

Yhteydessä

Mikä on ääripää?

SISÄÄN koulun kurssi"äärimmäisyyden" käsitteelle annetaan monia määritelmiä. Tämän artikkelin tarkoituksena on antaa syvin ja selkein käsitys termistä niille, jotka eivät tiedä asiasta. Joten termi ymmärretään, missä määrin toiminnallinen intervalli saa minimi- tai maksimiarvon tietyssä joukossa.

Ekstreemi on sekä funktion minimi- että maksimiarvo samanaikaisesti. On minimipiste ja maksimipiste, eli kaavion argumentin ääriarvot. Tärkeimmät tieteet, joissa tätä käsitettä käytetään:

• tilastot;
• koneen ohjaus;
• ekonometria.

Ääripisteillä on tärkeä rooli järjestyksen määrittämisessä annettu toiminto. Kuvaajan koordinaattijärjestelmä näyttää parhaimmillaan ääriasennon muutoksen toiminnallisuuden muutoksesta riippuen.

Johdannaisen funktion ääriarvo

On myös sellainen asia kuin "johdannainen". On tarpeen määrittää ääripiste. On tärkeää olla sekoittamatta minimi- tai maksimipisteitä suurimpaan ja pienimpään arvoon. Nämä ovat erilaisia ​​käsitteitä, vaikka ne saattavat näyttää samanlaisilta.

Funktion arvo on tärkein tekijä määritettäessä, kuinka maksimipiste löydetään. Johdannaista ei muodosteta arvoista, vaan yksinomaan sen ääriasemasta tavalla tai toisessa.

Itse derivaatta määritetään ääripisteiden tietojen perusteella, ei suurimman tai pienimmän arvon perusteella. Venäläisissä kouluissa näiden kahden käsitteen välistä rajaa ei vedetä selkeästi, mikä vaikuttaa tämän aiheen ymmärtämiseen yleisesti.

Tarkastellaanpa nyt sellaista asiaa kuin "terävä ääripää". Tähän mennessä on olemassa akuutti minimiarvo ja akuutti maksimiarvo. Määritelmä on annettu venäläisen funktion kriittisten pisteiden luokituksen mukaisesti. Ääripisteen käsite on perusta kriittisten pisteiden löytämiselle kaaviosta.

Sellaisen käsitteen määrittelemiseen käytetään Fermatin lausetta. Se on tärkein ääripisteiden tutkimisessa ja antaa selkeän kuvan niiden olemassaolosta muodossa tai toisessa. Äärimmäisyyden varmistamiseksi on tärkeää luoda tietyt edellytykset kaavion pienenemiselle tai nousulle.

Jotta voit vastata tarkasti kysymykseen "miten löytää maksimipiste", sinun on noudatettava näitä säännöksiä:

1. Tarkan määritelmäalueen löytäminen kaaviosta.
2. Hae funktion ja ääripisteen derivaatta.
3. Ratkaise argumentin alueen standardiepäyhtälöt.
4. Pystyy todistamaan missä funktioissa kuvaajan piste on määritelty ja jatkuva.

Huomio! Funktion kriittisen pisteen etsintä on mahdollista vain, jos on olemassa vähintään toisen asteen derivaatta, jonka takaa ääripisteen läsnäolon suuri osuus.

Toiminnan ääripään välttämätön ehto

Jotta ääriarvo olisi olemassa, on tärkeää, että siinä on sekä minimi- että maksimipisteet. Jos tätä sääntöä noudatetaan vain osittain, ääripään olemassaolon ehtoa rikotaan.

Jokainen toiminto missä tahansa asennossa on erotettava, jotta sen uudet merkitykset voidaan tunnistaa. On tärkeää ymmärtää, että tapaus, jossa piste katoaa, ei ole pääperiaate erotettavissa olevan pisteen löytämisessä.

Terävä ääripää, samoin kuin funktion minimi, ovat erittäin tärkeä osa päätöstä matemaattinen ongelma käyttämällä ääriarvoja. Tämän komponentin ymmärtämiseksi paremmin on tärkeää viitata funktion määrittämisessä oleviin taulukkoarvoihin.

Toimiva ääripää

Yllä olevan arvon löytämiseksi sinun on noudatettava seuraavia sääntöjä:

• määrittää äärimmäisen suhteen tarvittava ehto;
• ottaa huomioon kaavion ääripisteiden riittävä kunto;
• laskea akuutti ääripää.

On myös käsitteitä, kuten heikko minimi ja vahva minimi. Tämä on otettava huomioon määritettäessä ääriarvoa ja sen tarkkaa laskemista. Samaan aikaan terävä toiminnallisuus on kaikkien tarvittavien edellytysten etsiminen ja luominen funktiokaavion kanssa työskentelyyn.

Tarkastellaan funktiota y = f(x), jota tarkastellaan välillä (a, b).

Jos väliin (a, b) kuuluvalle pisteelle x1 on mahdollista määrittää sellainen b-naapuri, että kaikilla x:illä (x1, b) epäyhtälö f(x1) > f(x) täyttyy, niin y1 = kutsutaan f1(x1). toiminto maksimi y = f(x) katso kuva.

Funktion y = f(x) maksimi on merkitty arvolla max f(x). Jos väliin (a, b) kuuluvalle pisteelle x2 on mahdollista määrittää 6-naapuri siten, että kaikille x:lle se kuuluu O(x2, 6), x ei ole yhtä suuri kuin x2, epäyhtälö f(x2)< f(x) , niin y2= f(x2) kutsutaan funktion y-f(x) minimiksi (ks. kuva).

Esimerkki maksimin löytämisestä, katso seuraava video

Ominaisuuden minimi

Funktion y = f(x) minimiä merkitään min f(x). Toisin sanoen, funktion maksimi tai minimi y = f(x) nimeltään sen arvo, joka on suurempi (pienempi) kuin kaikki muut arvot, jotka on otettu pisteistä, jotka ovat riittävän lähellä annettua ja poikkeavat siitä.

Huomautus 1. Ominaisuus maksimi, jonka epäyhtälö määrittää, kutsutaan tiukaksi maksimiksi; ei-tiukka maksimi määritellään epäyhtälöllä f(x1) > = f(x2)

Huomautus 2. niillä on paikallinen luonne (nämä ovat funktion suurimmat ja pienimmät arvot vastaavan pisteen riittävän pienellä alueella); Jonkin funktion yksittäiset minimit voivat olla suurempia kuin saman funktion maksimi

Tämän seurauksena kutsutaan funktion maksimi (minimi). paikallinen maksimi(paikallinen minimi) toisin kuin absoluuttinen maksimi (minimi) - suurin (pienin) arvo funktion alueella.

Funktion maksimi- ja minimiarvoa kutsutaan ääriarvoksi. . Äärimmäisyydet funktioiden piirtämiseen

Latina äärimmäinen tarkoittaa "äärimmäistä" merkitys. Argumentin x arvoa, jossa ääriarvo saavutetaan, kutsutaan ääriarvopisteeksi. Ekstreemin välttämätön ehto ilmaistaan ​​seuraavalla lauseella.

Lause. Differentioituvan funktion ja sen derivaatan ääripisteessä on nolla.

Lauseena on yksinkertainen geometrinen tunne: differentioituvan funktion kuvaajan tangentti vastaavassa pisteessä on yhdensuuntainen x-akselin kanssa

Toimintoarvot sekä maksimi- ja minimipisteet

Korkein arvo toimintoja

Funktion pienin arvo

Kuten kummisetä sanoi: "Ei mitään henkilökohtaista." Vain johdannaiset!

Tilastojen tehtävää 12 pidetään melko vaikeana, ja kaikki siksi, että kaverit eivät lukeneet tätä artikkelia (vitsi). Useimmissa tapauksissa syy on huolimattomuudesta.

12 tehtävää on kahta tyyppiä:

1. Etsi korkein/matalin piste (pyytää löytämään "x"-arvot).
2. Etsi ominaisuuden suurin/pienin arvo (pyydetään löytämään "y"-arvot).

Etsi High/Llow Point

1. Vertaa se nollaan.
2. Löytyi tai löytyi "x", ja se on vähimmäis- tai enimmäispiste.
3. Määritä merkit intervallimenetelmällä ja valitse mikä piste tehtävässä tarvitaan.

Tehtävät kokeen yhteydessä:

Etsi funktion maksimipiste

• Otamme johdannaisen:

Etsi funktion minimipiste

• Muunna ja ota johdannainen:

• Loistava! Ensin funktio pienenee, sitten kasvaa - tämä on minimipiste!

Etsi funktion suurin/pienin arvo

1. Ota ehdotetun funktion derivaatta.
   
2. Vertaa se nollaan.
   
3. Löytynyt "x" on minimi- tai maksimipiste.
   
4. Määritä merkit intervallimenetelmällä ja valitse mikä piste tehtävässä tarvitaan.
5. Tällaisissa tehtävissä asetetaan aina aukko: kappaleen 3 x:t on sisällytettävä tähän aukkoon.
6. Korvaa alkuperäisessä yhtälössä saadun maksimi- tai minimipisteen, saamme funktion suurimman tai pienimmän arvon.

Tehtävät kokeen yhteydessä:

Etsi funktion suurin arvo väliltä [−4; −1]

Vastaus: -6

Etsi segmentin funktion suurin arvo

• Funktion suurin arvo on "11" maksimipisteessä (tässä segmentissä) "0".

Vastaus: 11

Johtopäätökset:

1. 70% virheistä on, että kaverit eivät muista mitä vastasivat funktion suurin / pienin arvo, joka sinun täytyy kirjoittaa "y", ja edelleen kirjoita maksimi/minimipiste "x".
2. Onko derivaatalla ratkaisu funktioarvojen etsimiseen?Älä huoli, laita se päälle äärimmäisiä pisteitä aukko!
3. Vastaus voidaan aina kirjoittaa numerona tai desimaalina. Ei? Vaihda sitten esimerkkiä.
4. Useimmissa tehtävissä saadaan yksi piste ja laiskuus tarkistaa maksimi- tai minimiarvo on perusteltua. Saimme yhden pisteen - voit kirjoittaa vastaukseksi turvallisesti.
5. Ja täällä Kun etsit funktion arvoa, sinun ei pitäisi tehdä tätä! Varmista, että tämä on haluttu piste, muuten raon ääriarvot voivat olla suurempia tai pienempiä.

1°. Funktion ääripään määrittäminen.

Kahden muuttujan funktion maksimi-, minimi-, ääriarvokäsite on samanlainen kuin vastaavat yhden riippumattoman muuttujan funktion käsitteet.

Anna toiminnon z=f(x; y) määritelty jollain alueella D, piste N(x 0;y0) D.

Piste (x 0;y0) kutsutaan pisteeksi enimmäismäärä toimintoja z= f(x;y ), jos sellainen pisteen -naapuri on olemassa (x 0;v 0), että jokaiselle pisteelle (x; y), erilainen (x 0;y0) tämä naapurusto tyydyttää eriarvoisuuden f(x;y )< f(x 0;y0). Kuva 12: N 1 - maksimipiste, a N 2 - funktion minimipiste z=f(x;y ).

Pointti minimi toiminnot: kaikille pisteille (x 0;v 0), muu kuin (x 0;v 0), pisteen d-naapurustosta (x 0;y0) seuraava epätasa-arvo pätee: f(x 0;y 0) >f(x 0;y0).

Samalla tavalla määritetään kolmen tai useamman muuttujan funktion ääriarvo.

Kutsutaan funktion arvo maksimipisteessä (minimi). maksimi (minimi) toimintoja.

Kutsutaan funktion maksimi ja minimi äärimmäinen.

Huomaa, että määritelmän mukaan funktion ääripiste sijaitsee funktion toimialueen sisällä; maksimi ja minimi ovat paikallinen(paikallinen) merkki: funktion arvo pisteessä (x 0;y0) verrataan sen arvoihin riittävän lähellä olevissa kohdissa (x 0;y0). Alueella D Funktiolla voi olla useita ääriarvoja tai ei yhtään.

2°. Tarvittavat ehdotääripää.

Tarkastellaan funktion ääripään olemassaolon ehtoja.

Geometrisesti tasainen f"y (x 0;y0)= 0 ja f"y (x 0;y 0) = 0 tarkoittaa, että funktion ääripisteessä z = f(x; y) funktiota kuvaavan pinnan tangenttitaso f(x; y), yhdensuuntainen tason kanssa Oh hu koska tangentin tasoyhtälö on z=z0.

Kommentti. Funktiolla voi olla ääriarvo pisteissä, joissa ainakin yhtä osittaisderivaattaista ei ole. Esimerkiksi funktio on maksimi pisteessä NOIN(0;0), mutta sillä ei ole osittaisia ​​derivaattoja tässä vaiheessa.

Piste, jossa funktion ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat z = f(x;y ) ovat yhtä kuin nolla, ts. f"x = 0, f" y= 0, soitettu paikallaan oleva piste toimintoja z.

Kutsutaan paikallaan olevia pisteitä ja pisteitä, joissa ei ole vähintään yhtä osittaista derivaattaa kriittiset kohdat.

Kriittisissä pisteissä funktiolla voi olla ääriarvo tai ei. Osittaisten johdannaisten yhtäläisyys nollaan on välttämätön, mutta ei riittävä ehto ääripään olemassaololle. Harkitse esimerkiksi funktiota z = hu. Sille piste 0(0; 0) on kriittinen (ne katoavat siinä). Kuitenkin ääripää toimii siinä z = xy ei ole, koska pisteen O(0;0) riittävän pienessä ympäristössä on pisteitä, joille z > 0 (pisteet I ja III neljännes) ja z< 0 (pisteet II ja IV neljännes).

Siten funktion ääripisteen löytämiseksi tietyltä alueelta, kukin Kriittinen piste toimintoja on tutkittava tarkemmin.

Kiinteät pisteet löydetään ratkaisemalla yhtälöjärjestelmä

(ääripään välttämättömät ehdot).

Järjestelmä (1) vastaa yhtä yhtälöä df(x, y)=0. Yleensä ääripisteessä P(a, b) toimintoja f(x, y) tai df(x, y)=0, tai df(a, b) ei ole olemassa.

3°. Riittävät olosuhteet ääripäälle. Antaa P(a; b)- toiminnon kiinteä piste f(x, y), eli . df(а, b) = 0. Sitten:

ja jos d2f (a, b)< 0 klo , sitten f(a, b) On enimmäismäärä toimintoja f (x, y);

b) jos d2f (а, b) > 0 klo , sitten f(a, b)On minimi toimintoja f (x,y);

c) jos d2f (a, b) vaihtaa merkkiä sitten f (a, b) ei ole funktion ääriarvo f (x, y).

Yllä olevat ehdot vastaavat seuraavia: anna Ja . Sävellytään syrjivä ∆=AC-B2.

1) jos Δ > 0, niin funktiolla on pisteessä ääriarvo P (a; b) eli maksimi jos A<0 (tai KANSSA<0 ), ja minimi jos A>0(tai С>0);

2) jos Δ< 0, то экстремума в точке P(a; b) Ei;

3) jos Δ = 0, niin kysymys funktion ääripään olemassaolosta pisteessä P(a; b) jää auki (vaatii lisätutkimuksia).

4°. Monen muuttujan funktion tapaus. Toimintoon kolme ja lisää muuttujat, välttämättömät ehdot ääripään olemassaololle ovat samanlaiset kuin ehdot (1), ja riittävät ehdot ovat samanlaisia ​​kuin ehdot a), b), c) 3°.

Esimerkki. Tutki ääripään funktiota z=x³+3xy²-15x-12y.

Ratkaisu. Etsitään osittaiset derivaatat ja laaditaan yhtälöjärjestelmä (1):

Ratkaisemalla järjestelmän saamme neljä kiinteää pistettä:

Etsitään 2. kertaluvun johdannaisia

ja tehdä erottaja ∆=AC - B² jokaiselle paikallaan olevalle pisteelle.

1) Kohdalle: , ∆ = AC-B² = 36-144<0 . Joten pisteessä ei ole ääripäätä.

2) Kohta P2: A = 12, B = 6, C = 12; Δ=144-36>0, A>0. Pisteessä P2 funktiolla on minimi. Tämä minimi on yhtä suuri kuin funktion arvo at x = 2, y = 1: zmin = 8 + 6-30-12 = -28.

3) Kohdalle: A = -6, B = -12, C = -6; A = 36-144<0 . Ei ole äärimmäistä.

4) Kohta P 4: A = -12, B = -6, C = -12; Δ=144-36>0. Pisteessä P4 funktion maksimi on yhtä suuri kuin Zmax=-8-6+30+12=28.

5°. Ehdollinen ääripää. Yksinkertaisimmassa tapauksessa ehdollinen ääripää toimintoja f(x,y) on tämän funktion maksimi tai minimi, joka saavutetaan sillä ehdolla, että sen argumentit liittyvät yhtälöön φ(x,y)=0 (yhteysyhtälö). Löytää funktion ehdollinen ääripää f(x, y) suhteen läsnä ollessa φ(x, y) = 0, muodostavat ns Lagrange-toiminto

F(x ,y )=f(x ,y )+λφ (x ,y ),

missä λ on määrittelemätön vakiotekijä, ja etsi tämän apufunktion tavallinen ääriarvo. Ekstreemin välttämättömät ehdot pelkistetään kolmen yhtälön järjestelmäksi

kolmen tuntemattoman kanssa x, y, λ, josta yleisesti ottaen nämä tuntemattomat voidaan määrittää.

Kysymys ehdollisen ääripään olemassaolosta ja luonteesta ratkaistaan ​​Lagrangen funktion toisen differentiaalin etumerkin tutkimisen perusteella.

testatulle arvojärjestelmälle x, y, λ saatu kohdasta 2 edellyttäen, että dx Ja du liittyy yhtälöön

.

Nimittäin toiminto f(x,y) sisältää ehdollisen maksimiarvon jos d²F< 0 ja ehdollinen minimi jos d²F>0. Erityisesti, jos funktion diskriminantti Δ F(x, y) paikallaan olevassa pisteessä on positiivinen, niin tässä pisteessä on funktion ehdollinen maksimi f(x, y), Jos A< 0 (tai KANSSA< 0), ja ehdollinen minimi, jos A > O(tai С>0).

Samoin kolmen tai useamman muuttujan funktion ehdollinen ääripää löytyy yhden tai useamman yhteysyhtälön läsnä ollessa (joiden lukumäärän tulee kuitenkin olla pienempi kuin numero muuttujat). Tässä on tarpeen lisätä Lagrange-funktioon niin monta määräämätöntä tekijää kuin on yhteysyhtälöitä.

Esimerkki. Etsi funktion ääripää z = 6-4x-3y edellyttäen, että muuttujat X Ja klo täyttää yhtälön x²+y²=1.

Ratkaisu. Geometrisesti ongelma rajoittuu suurimman ja suurimman löytämiseen pienimmät arvot applikaatiot z kone z = 6 - 4x - Zu sylinterin leikkauspisteille x2+y2=1.

Luo Lagrange-funktio F(x,y)=6-4x-3y+λ(x2+y2-1).

Meillä on . Tarvittavat ehdot antavat yhtälöjärjestelmän

ratkaisu, jonka löydämme:

.

,

d²F = 2λ (dx²+dy²).

Jos ja sitten d²F > 0, ja siksi tässä vaiheessa funktiolla on ehdollinen minimi. Jos ja sitten d²F<0, ja siksi tässä vaiheessa funktiolla on ehdollinen maksimi.

Täten,

6°. Toiminnon suurimmat ja pienimmät arvot.

Anna toiminnon z=f(x; y) määritelty ja jatkuva rajoitetussa suljetussa verkkotunnuksessa . Sitten se saavuttaa joissain kohdissa hänen suurin M ja vähiten T arvot (ns. globaali äärimmäinen). Nämä arvot saavutetaan funktiolla alueen sisällä sijaitsevissa pisteissä , tai alueen rajalla sijaitsevissa pisteissä.